Exo7 Eude mérique des courbes Exercices de Jean-Louis ouge erouver aussi cee fiche sur wwwmahs-francefr * rès facile ** facile *** difficulé moyenne **** difficile ***** rès difficile I : Inconournable T : pour ravailler e mémoriser le cours Exercice Longueur L de Γ dans chacun des cas suivans : { x acos Γ es l asroïde de représenaion paramérique 3 y asin 3 a > donné { x sin Γ es l arche de cycloïde de représenaion paramérique, π y cos 3 Γ es l arc de parabole d équaion carésienne x py, x a p > e a > donnés 4 Γ es la cardioïde d équaion polaire r a + cosθ a > donné Correcion [5535] Exercice Déerminer e consruire la développée { x cos + ln an y sin { x sin y cos 3 y x 3 Correcion [5536] Exercice 3 Trouver le poin de la courbe d équaion y lnx en lequel la valeur absolue du rayon de courbure es minimum Correcion [5537] Exercice 4 Soi Γ la courbe d équaion y lncosx, pour π < x < π Calculer l abscisse curviligne s quand O es l origine des abscisses curvilignes e l orienaion es celle des x croissans Trouver une relaion enre e s Tracer Γ e sa développée Correcion [5538] Exercice 5 Pour λ, on noe Γ λ la courbe d équaion y λxe x Quel es le lieu des cenres de courbure C λ en O à Γ λ quand λ décri Correcion [5539]
Correcion de l exercice L asroïde complèe es obenue quand décri [ π,π] e pour des raisons de symérie, L 4 π Or dm asin cos cos 3acos sin 3a sin cos e donc sin dm 3a 3a sin cos sin L 4 π/ [ ] dm 6a π/ π/ sin 6a cos 6a dm cos sin L π L 6a sin sin/ sin cos cos/ 3 Une représenaion paramérique de Γ es L a x + y [ p u u + a ] a/p e donc π sin [ 4 cos a/p + a p L + pargsh { x L 8 y p a, a e donc sin ] π 8 + a/p p p u + du u u + du a a, p + a p p a/p u + u + du e donc L a + a + pargsh a p p 4 La cardioïde complèe es obenue quand θ décri [ π,π] dθ a sinθ u θ + + cosθ v θ acos θ Comme le veceur sin θ u θ + cos θ v θ es uniaire, L π π u θ + cos θ v θ sin θ dm dθ acos θ acos θ 4a π cos [ θ 8a sin θ ] π 8a L 8a Correcion de l exercice On obien la courbe complèe quand décri ] π,[ ],π[ Puisque M s Ox M e Mπ s Oy M, on se conene d éudier e de consruire la courbe quand ], π [ on obien la courbe complèe par réflexions successives d axe Oy d axe Ox Pour ], π [, sin + sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos coan sin
Puisque coan > pour ], π [ cos e que le veceur es uniaire, on a sin On a donc n au poin M, sin cos ds coan cos τ sin e d aure par, on peu prendre α En noan ρ le rayon de courbure ρ ds dα ds/ dα/ coan, Ω M + ρ cos + ln an n sin ln an sin sin + coan cos ln an La développée cherchée es l arc, ] π, [ ], π[ en compléan par symérie Quand sin décri ],π[, on effecue alors le changemen de paramères ln an u qui es un C -difféomorphisme de ],π[ sur On obien x u y an +an an + an eu/ +e u/ ch u Le suppor de la développée sur ],π[ es aussi le suppor de l arc u chaînee d équaion carésienne y ch x u ch u, u ou encore la 3
Ωθ y ch x Mθ Quand décri [,π], on obien une arche de cycloïde complèe Les aures arches s en déduisen par ranslaions de veceurs kπ i Pour [,π] cos sin sin sin cos Le poin M es régulier pour ],π[ e pour ],π[, sin sin > Puisque le veceur cos es uniaire, on a ds sin e sin cos π τ cos sin π cos On en dédui que n de courbure au poin M, sin e d aure par, on peu prendre α π En noan ρ le rayon ρ ds dα ds/ dα/ sin sin, 4
e donc Ω M + ρ sin n cos + sin cos 4sin + sin La développée cherchée es l arc cos + π sin Ω + π + cos sin cos cos sin Poursuivons π + sin + sin cos cos u M où u π, Ainsi, le cenre de courbure au poin M + π es le ranslaé du poin M dans la ranslaion de veceur π, e donc la développée de la cycloïde es la ranslaée de la cycloïde par la ranslaion de veceur π, En pariculier, c es encore une cycloïde M u M + π Ω + π C es le suppor de la courbe paramérée M Pour, dm 3 Par suie Donc, d une par n +9 4 peu prendre α arccos +9 4 3 ds + 9 4 e τ +9 4 3 M es birégulier si e seulemen si /neq e d aure par, que les coordonnées de τ son posiives, on Par suie, pour dα 36 3 + 9 4 / 6 +9 4 +9 4 ds/ dα/ +94 3/ 6, e donc Ω M + n 3 + +94 6 95 5 3 + 6 5
8 7 6 5 4 3 3 4 6 7 8 Correcion de l exercice 3 C es le suppor de l arc paraméré / ln +, > / + / + Donc, ds + e on peu prendre α arcsin + + + + dα + 3/ +, + e finalemen ds/ dα/ + 3/ 6
Pour >, posons f + 3/ f es dérivable sur ],+ [ e pour >, f + 3/ + 3 + / + + + 3 + f adme un minimum en égal à + 3/ 3 3 Le rayon de courbure minimum es 3 3 e es le rayon de courbure en M, π < < π Correcion de l exercice 4 C es le suppor de l arc paraméré Puisque cos cos > e que sin sin, α cos lncos sin/cos cos cos sin es uniaire, on a successivemen ds cos, cos τ sin ds/ dα/ ds cos Ensuie, si s es l abscisse curviligne d origine orienée dans le sens des croissans, s s u du cosu du ln an + π 4, n Enfin, Ω M + n lncos sin cos cos an lncos 3 4 5 6 7 7
Correcion de l exercice 5 Soi λ C λ es le suppor de l arc paraméré λe C es l axe Ox e donc C n es pas défini, C λ es la symérique de C λ par rappor à l axe Ox e donc C λ es le symérique de C λ par rappor à l axe Ox Dans ce qui sui, on suppose λ > λ e Par suie ds + λ e, τ +λ e λ e, n λ e e on peu prendre α arccos car τ a +λ e +λ e une abscisse sricemen posiive Ensuie, e donc dα λ +λ 3/ λ +λ dα λ e +λ e 3/ +λ e ds/ +λ dα/ λ + λ 3/ e donc C λ Ω M + n O λ + λ 3/ λ +λ L ensemble des C λ, λ, es le suppor de l arc λ + λ / + λ /λ, λ + λ / + λ /λ 8
7 6 5 4 3 C 3 C 7 6 3 4 5 6 7 C C 3 6 7 9