Mathématiques en Première S. David ROBERT

Transcription

1 Mathématiques en Première S David ROBERT

2

3 Sommaire Introduction ix I Géométrie : géométrie dans l espace Sections planes 3. Introduction Sections planes d un tétraèdre Sections planes d un cube Repérage dans l espace 5. Généralités Équations de quelques surfaces Équations de plans Équations de sphères Équations de cylindres de révolution Équation d un cône de sommet O et d angle θ Exercices Vecteurs de l espace 9 3. Activités Vecteurs dans l espace Définition vectorielle d une droite Définition vectorielle d un plan Vecteurs coplanaires Exercices Barycentres 3 4. Activités Historique (par Frédéric DEMOULIN) Barycentre de deux points pondérés Théorème d existence et définition Autres caractérisations du barycentre Bilan des propriétés caractéristiques du barycentre Autres propriétés du barycentre Isobarycentre Coordonnées du barycentre de deux points Barycentre de plusieurs points pondérés Généralisation Associativité du barycentre Centre d inertie d une plaque homogène Généralités Exemple Exercices Transformations 5 5. Introduction Symétries, rotations, translations Définitions Ensembles invariants

4 SOMMAIRE Première S Propriétés Transformations réciproques Extension à l espace L homothétie Définition et conséquences Propriétés de l homothétie Transformations et angles orientés Transformations et barycentres Exercices II Géométrie : produit scalaire et applications 35 6 Angles orientés Activité Orientation du plan Mesures de l angle orienté d un couple de vecteurs non nuls Ensemble des mesures Mesure principale d un angle orienté Angle nul, angle plat, angles droits Propriétés des mesures des angles orientés Propriétés de base Relation de CHASLES Conséquences de la propriété de base et de la relation de CHASLES Cosinus et sinus d un angle orienté Lignes trigonométriques des angles associés Rappels Lignes trigonométriques Exercices Produit scalaire : définitions et premières propriétés Activités Définitions Propriétés Formules de la médiane Exercices Exercices Lignes de niveau Équations cartésiennes d une droite ou d un cercle 5 8. Équations cartésiennes d une droite Équation cartésienne d un cercle Exercices Relations métriques dans le triangle Formule d AL-KASHI Formule de l aire Formule des sinus Formule de HÉRON Exercices Trigonométrie Rappels D autres formules Formules d addition Formules de duplication Formules de linéarisation Démonstrations des formules Exercices iv David Robert

5 Première S SOMMAIRE Coordonnées polaires 63. Coordonnées polaires Activité Définitions Lien entre coordonnées polaires et cartésiennes Courbe en coordonnées polaires Activité Définition Quelques équations de figures usuelles en coordonnées polaires Exercices III Analyse : fonctions 69 Généralités sur les fonctions 7. Rappels sur la notion de fonction Définition, vocabulaire et notations Ensemble de définition Courbe représentative Parité Périodicité Comparaison de fonctions Égalité de deux fonctions Comparaison de deux fonctions Opérations sur les fonctions Opérations algébriques sur les fonctions Fonctions associées Composition des fonctions Variations d une fonction Rappels Variations de f + g Variations de f + k Variations de k f Variations de g o f Éléments de symétrie d une courbe Exercices Second degré 8 3. Activités Trinôme Définition, forme développée Forme canonique Racines et discriminant Forme factorisée, signe d un trinôme Fonction trinôme Définition Sens de variation Courbe représentative Bilan Exercices et problèmes Exercices Problèmes Nombre dérivé Activités Nombre dérivé Interprétation graphique du nombre dérivé Approximation affine d une fonction Exercices David Robert v

6 SOMMAIRE Première S Fonction dérivée Activités Fonction dérivée Fonctions dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dérivées Dérivée des fonctions de la forme f (x)= g (mx+ p) Variations d une fonction Extremum local Exercices et problèmes Exercices Problèmes Exercices supplémentaires Comportement asymptotique Activités Limite d une fonction En l infini En un réel a Limite des fonctions usuelles Opérations sur les limites Règle essentielle Limite d une somme Limite d un produit Limite de l inverse Limite d un quotient Cas des formes indéterminées Fonctions polynôme et rationelle Règles d encadrement Asymptotes Asymptote verticale Asymptote horizontale Asymptote oblique Exercices et problèmes Exercices Problèmes IV Analyse : suites 7 Suites : généralités 3 7. Activité Notations Modèles Remarques importantes sur le tableur Au travail Petit historique sur les suites Définition et notations Modes de génération d une suite Relevés chronologiques Définition par une formule explicite Définition par récurrence Représentation graphique d une suite Cas général Exemple Cas particulier : cas d une suite récurrente Monotonie d une suite Définitions Méthodes Convergence d une suite Généralités Étude de la limite d une suite vi David Robert

7 Première S SOMMAIRE 7.8 Exercices Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques Activité Suites arithmétiques Définition et premières propriétés Variations d une suite arithmétique Convergence d une suite arithmétique Somme de termes consécutifs d une suite arithmétique Suites géométriques Définition et premières propriétés Variations d une suite géométrique Convergence d une suite géométrique Somme de termes consécutifs d une suite géométrique Exercices et problèmes Exercices Problèmes V Statistiques et probabilités 43 9 Statistiques Rappels de Seconde C est quoi? Un peu de vocabulaire Traitement des données Interpréter des séries statistiques Mesures centrales Mesures de dispersion Un problème Le problème Résolution du problème Médiane, quartiles et déciles Définitions Propriétés Représentation graphique Effet d une transformation affine des données Moyenne, variance et écart-type Définitions Propriétés Effet d une transformation affine des données Exercices Probabilités Activité Vocabulaire des ensembles Expériences aléatoires Issues, univers Événements Probabilités Loi de probabilité sur un univers Ω Une situation fondamentale : l équiprobabilité Loi des grands nombres Espérance, variance, écart type d une loi de probabilité Variables aléatoires Définition Loi de probabilité d une variable aléatoire Espérance, variance, écart type Exercices David Robert vii

8 SOMMAIRE Première S VI Devoirs 69 Devoirs surveillés 7 Devoir surveillé n : Généralités sur les fonctions Sections planes Repères cartésiens Devoir surveillé n : Géométrie vectorielle Second degré Devoir surveillé n : corrigé Devoir surveillé n 3 : Angles orientés Produit scalaire Équations cartésiennes Devoir surveillé n 4 : Produit scalaire Dérivation Équations cartésiennes Devoir surveillé n 4 : corrigé Devoir surveillé n 5 : Fonction dérivée Devoir surveillé n 6 : Barycentres Statistiques Devoir surveillé n 7 : Relations métriques Trigonométrie Suites Devoir surveillé n 7 : corrigé Devoir surveillé n 8 : Comportement asymptotique Devoir surveillé n 9 : Suites Probabilités Devoirs communs 0 Devoir commun n : Généralités sur les fonctions Géométrie vectorielle Second degré Devoir commun n : corrigé Devoir commun n : Dérivation Produit scalaire Barycentres Devoir commun n : corrigé Devoirs maisons 3 Devoir maison n : Lieux de points Devoir maison n : corrigé Devoir maison n : Second degré Équations cartésiennes Devoir maison n : corrigé Devoir maison n 3 : Produit scalaire Devoir maison n 3 : corrigé Devoir maison n 4 : Fonction dérivée Devoir maison n 4 : corrigé Devoir maison n 5 : Fonction dérivée Barycentres Devoir maison n 5 : corrigé Devoir maison n 6 : Statistiques Applications du produit scalaire Devoir maison n 6 : corrigé viii David Robert

9 Introduction Ce document est une compilation, légèrement retravaillée, de ceux distribués aux élèves de la classe de Première S dont j avais la responsabilité en tant que professeur de mathématiques pendant l année scolaire J ai puisé l essentiel de son contenu sur Internet et tout particulièrement sur Bac à maths qui a fourni la majorité des exercices, voire des cours. On y trouve en ligne et téléchargeable le travail considérable de Gilles CONSTANTINI, mais aussi les conséquentes contributions de Frédéric DEMOULIN. Qu ils en soient remerciés. D autres sites ont fourni aussi quelques pierres à l édifice, comme : MathADoc Homeomath X maths In f (X) Venenum bac annales Ce document n existerait pas sans l aide précieuse de Pascal GÉHANNE, aussi bien sur la forme (pour le traitement de texte LATEX avec lequel il a été conçu) que sur le fond et ses nombreuses corrections, ni sans le dynamisme communicatif et les nombreuses idées de Michel DUPLESSIS. Qu ils en soient tous deux remerciés. Merci aussi à Frédéric BOSQUAUX pour ces nombreuses suggestions. Les chapitres sont rangés ici par thèmes, et non dans l ordre dans lequel ils ont été traités avec les élèves. La progression est celle donnée dans le tableau ci-dessous, où sont indiqués les semaines durant lesquelles les chapitres ont été entamés, certains chapitres se terminant parfois après le commencement du suivant. Par exemple nous avons continué à résoudre des équations trigonométriques du chapitre sur les angles orientés pendant deux semaines en module alors que les heures de classe entière étaient déjà consacrées au chapitre suivant sur le produit scalaire. Pour plus de détail vous pouvez consulter le cahier de texte en ligne sur le site http ://robertddl.free.fr/. Une autre progression est proposée page xi. Remarques.. Fonctions : On peut faire le comportement asymptotique plus tôt mais l objectif est de finir le nombre dérivé avant Noël et la fonction dérivée avant les vacances d hiver.. Espace : l ordre peut être totalement modifié, un chapitre sur les vecteurs dans l espace (coplanarité ici, mais cela peut être barycentres) sert de rappel sur les vecteurs avant d entamer le produit scalaire. 3. Suites : la convergence irait bien dans les généralités mais je la fais après le comportement asymptotique (des fonctions). 4. Produit scalaire : le but est de traiter le produit scalaire avant décembre pour nos collègues de physique ; après l enchaînement angles orientés / produit scalaire, les chapitres peuvent être faits dans n importe quel ordre. Ici par exemple les formules de la médiane et les équations de droites et de cercle sont dans le chapitre produit scalaire mais peuvent être intégrées dans les suivants ou faire l objet d un chapitre proprement dit. Les coordonnées polaires peuvent très bien aller aussi dans le chapitre sur le angles orientés, mais j aime bien finir l année sur des tracés de courbes en coordonnées polaires. Pascal Géhanne dispose aussi d un site : Maths au Lycée Dupuy de Lôme Il y a une semaine manquante entre la rentrée de Noël et les vacances d hiver mais je ne sais pas pourquoi. ix

10 Première S Mois Semaine Intitulé du chapitre Devoir Septembre Généralités sur les fonctions () 3 Sections planes () et repères cartésiens dans l espace () DM (VI) 4 Second degré (3) DS (VI) Octobre 5 6 Vecteurs de l espace (3) DM (VI) 7 8 Angles orientés (6) DS (VI) Vacances d automne Novembre 9 Produit scalaire (7) 0 Équations cartésiennes (8) DM3 (VI) Nombre dérivé (4) DC (VI) et DS3 (VI) Décembre 3 4 Fonction dérivée (5) 5 DS4 (VI) Vacances de Noël Janvier 6 DM4 (VI) 7 Barycentres (4) DS5 (VI) 8 Février 9 0 Statistiques (9) DM5 (VI) Vacances d hiver Trigonométrie (0) et relations métriques (9) Mars DS6 (VI) 3 Généralités sur les suites (7) DC (VI) 4 DM6 (VI) 5 DS7 (VI) Vacances de printemps Avril 6 Comportement asymptotique (6) 7 Mai 8 Suites arithmétiques et géométriques (8) DS8 (VI) 9 Probabilités (0) 30 3 Transformations (5) DS9 (VI) 3 Juin 33 Coordonnées polaires () x David Robert

11 Première S FIG. Une autre progression Statistiques et probabilités Probabilités Produit scalaire Coordonnées polaires Trigonométrie Relations métriques Pdt scalaire + éq dtes, cercles Angles orientés Nombre dérivé Second degré Statistiques Généralités Sectionsplanes Repérageetéquations Coplanarité Généralités Convergence, arithmétiques, géométriques Suites Fonction dérivée Comportement asymptotique Barycentres Transformations Espace Fonctions David Robert xi

12

13 Première partie Géométrie : géométrie dans l espace

14

15 Chapitre Sections planes Sommaire. Introduction Sections planes d un tétraèdre Sections planes d un cube Introduction Il s agit dans ce (mini) chapitre de déterminer quelles peuvent être les intersections d un plan et d un solide usuel. Plus précisément, on s attachera à déterminer l intersection du plan avec chacune des faces, l ensemble formant une figure plane, puisqu incluse dans le plan, qu on appellera parfois la trace du plan sur le solide. Il s agit avant tout de développer un savoir-faire, aucune notion ou propriété nouvelle n étant au programme.. Sections planes d un tétraèdre Dans chacune des activités ci-dessous, placer les points I et K, puis, à l aide des propriétés de géométrie dans l espace vues en Seconde, construire sur le dessin en perspective la trace du plan (I JK ) sur le tétraèdre ABC D. On donne B J = 3 BD Activité.. Activité.. DI = 3 D A et C K = 3C D DI = 3 D A et AK = 3 AC D D J C J C A A B B Conformément au programme, on se limitera aux cubes et aux tétraèdres. 3

16 .3 Sections planes d un cube Première S Activité.3. DI = 3 D A et K centre de gravité de ABC D Activité.4. AI = AD et C K = C B 3 D 3 J C J C A A B B.3 Sections planes d un cube Dans chacune des activités ci-dessous, à l aide des propriétés de géométrie dans l espace vues en Seconde, construire sur le dessin en perspective la trace du plan (I JK ) sur le cube ABC DEFG H. On donne : AB = 6 cm ; E I = cm ; J milieu de [HG]. Activité.5. DK = cm Activité.6. K D = cm E I H J F G E I H J F G K D C D K C A B A B Activité.7. K = C Activité.8. K milieu de [BC ] E I H J F G E I H J F G D K C D K C A B A B 4 David Robert

17 Chapitre Repérage dans l espace Sommaire. Généralités Équations de quelques surfaces Exercices Généralités De la même façon qu on a défini un repère pour le plan, on définit un repère dans l espace de la façon suivante : ( Définition.. Un quadruplet O; ı, j, ) k est un repère de l espace si O et les points I, J et K tels que OI = ı, O J = j et OK = k ne sont pas coplanaires. Remarques. ( O est appelé origine du repère et ı ; j ; ) k est appelée la base du repère. Si les droites (OI ), (O J) et (OK ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal. Si le repère est orthogonal et que ı = j = k, le repère est dit orthonormal (ou orthonormé). ( Propriété. (Définition, existence et unicité des coordonnées de vecteurs et de points). Le plan est muni d un repère O; ı, j, ) k. Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que u= x ı+ y j+ z k. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que OM = x ı+ y j+ z k. On l admettra. On notera indifférement u(x ; y ; z), u= (x ; y ; z), u x y z ou u= La notation en ligne prend moins de place mais celle en colonne est très pratique pour les calculs sur les coordonnées de vecteurs. On notera M(x ; y ; z). Remarque. Par définition les coordonnées de M et de OM sont donc les mêmes. x y z. Propriété. (Coordonnées du milieu, coordonnées du vecteur AB). Si A et B ont pour coordonnées respectives (x A ; y A ; z A ) et (x B ; y B ; z B ) : x B x A les coordonnées de I, milieu de [AB], sont : AB = y B y A ; ( ) ( x A + x B xi ; y I ; z I = ; y A+ y B ; z A+ z ) B. z B z A Preuve. AB = AO+ OB = OB OA= x B y B z B x A y A z A = x B x A y B y A z B z A 5

18 . Équations de quelques surfaces Première S OI = OA+ AI = OA+ AB = x A y A z A + x B x A y B y A zb z A Or les coordonnées de I et de OI sont les mêmes. = x A + (x B x A ) y A + (y B y A ) z A + (z B z A ) = x A +x B y A +y B z A +z B. Propriété.3 (Distance et norme dans un repère orthonormal). Soit u= (x ; y ; z), A(x A ; y A ; z B ) et B(x B ; y B ; z B ). Si le repère est orthonormal alors : u = x + y + z ; AB = AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ). Preuve. On considère le représentant du vecteur u d origine O et d extrémité M. u = OM = OM. Les coordonnées de OM sont les mêmes que celles de u, donc x M = x, y M = y et z M = z. Le repère étant orthonormal, sur le dessin ci-dessous, on a OM H rectangle en H, donc OM = M H +OH. Or M H = z M. Par ailleurs, le repère étant orthonormal, OH = x M + y M. Finalement OM = x M + y M + z M OM = x M + y M + z M u = x + y + z. Par ailleurs AB = x B x A y B y A z B z A, donc, en posant x = x B x A, y = y B y A et z = z B z A, on obtient le second point. y M z M k j 0 ı M H x M Propriété.4 (Condition d orthogonalité dans un repère orthonormal). Soit u= (x ; y ; z) et v = (x ; y ; z ). Si le repère est orthonormal alors u v xx + y y + zz = 0 Preuve. Soit M et N tels que u= OM et v = ON. u v OM ON OM N rectangle en O OM +ON = M N x + y + z + x + y + z = (x x) + (y y) + (z z) car repère orthonormal x + y + z + x + y + z = x xx + x + y y y+ y + z zz + z 0= xx y y zz xx + y y + zz = 0. Équations de quelques surfaces ( L espace est muni d un repère O; ı, j, ) k... Équations de plans Conformément au programme, on se limitera aux plans parallèles aux axes de coordonnées. Propriété.5. Une équation du plan P parallèle au plan (xo y) est... Une équation du plan Q parallèle au plan (xoz) est... Une équation du plan R parallèle au plan (yoz) est... On l admettra. Exercice. Dans un dessin en perspective, représenter des plans P, Q et R vérifiant les conditions de la propriété précédente et, par lecture graphique, compléter la propriété. 6 David Robert

19 Première S Équations de quelques surfaces.. Équations de sphères Propriété.6. Si le repère est orthonormal, une équation de la sphère S de centre O et de rayon r est x + y + z = r. Preuve. Par définition, la sphère de centre O et de rayon r est l ensemble des points M(x; y; z) de l espace tels que OM = r. Étant dans un repère orthonormal, on a : OM = (x M x O ) + (y M y O ) + (z M z O ) = x + y + z = r. r 0 car c est une longueur donc x + y + z = r x + y + z = r. Remarque. Une autre équation possible est, par exemple, x + y + z = r, c est pour cela que x + y + z = r est une équation de la sphère. Exercice. Déterminer une équation de la sphère S de centre A(, 4) et de rayon Équations de cylindres de révolution Propriété.7. Si le repère est orthonormal, le cylindre de révolution C de rayon r de centre O admet pour équation : x + y = r s il a pour axe (Oz) ; x + z = r s il a pour axe (O y) ; y + z = r s il a pour axe (Ox). Preuve lorsque l axe est (Oz). Le cylindre d axe (Oz) et de rayon r est par définition l ensemble des points M tels que M M = r. Soit M(x; y; z) et H son projeté orthogonal sur (xo y) (voir schéma de la présente page). On a M M = OH Or OH = x + y. On a donc : M sur le cylindre M M = r OH = r x + y = r x + y = r FIG.. Schéma pour la preuve de la propriété.7 M M k j 0 ı H..4 Équation d un cône de sommet O et d angle θ Propriété.8. Si le repère est orthonormal, le cône de révolution C de sommet O et d angle θ admet pour équation : x + y = z tan θ s il a pour axe (Oz) ; x + z = x tan θ s il a pour axe (O y) ; y + z = x tan θ s il a pour axe (Ox). Démonstration lorsque l axe est (Oz). Le cône de sommet O, d axe (Oz) et dont la directrice fait un angle aigu θ avec l axe est, par définition, l ensemble des points M tels que l angle entre (Oz) et (OM) est θ (voir schéma page suivante). Soit H, le projeté de M sur (xo y) et M le projeté de M sur (Oz). On a OH = x + y = M M. Or OM M est rectangle en M donc tanθ= M M OM = x +y z x + y = z tan θ David Robert 7

20 .3 Exercices Première S FIG.. Schéma pour la preuve de la propriété.8 M M k j 0 ı H.3 Exercices Exercice.. Déterminer :. l équation du cylindre de révolution (R), d axe (O y) et de rayon ;. l équation du cône de révolution (C ), de sommet O, d axe (O y) et contenant A(;;0) ; 3. l équation du cylindre de révolution (C ) d axe (Ox) contenant B(;; 3). Exercice.. Quelle est la nature de l intersection du plan (P ) et de la sphère (S ) donnés par les équations suivantes :. (P ) : x = 3 et (S ) : x + y + z = 3. (P ) : y = et (S ) : x + y + z = 4 3. (P ) : z = 4 et (S ) : x + y + z = 5 Exercice.3. Quelle est : la nature de (C ) ; la nature de l intersection du plan (P ) et de (C ) ; donnés par les équations suivantes :. (P ) : z = 0 et (C ) : x + y = z. (P ) : y = 0 et (C ) : x + z = y 3. (P ) : z = 0 et (C ) : y + z = x 8 David Robert

21 Chapitre 3 Vecteurs de l espace Sommaire 3. Activités Vecteurs dans l espace Définition vectorielle d une droite Définition vectorielle d un plan Vecteurs coplanaires Exercices Activités Activité 3. (Vecteurs égaux). ABC DEFG H est un cube représenté sur la figure 3. de la présente page. Les points P et Q sont tels que : EP = EG+ F H et BQ = B H+ EC.. (a) Construire le point P. (b) Exprimer le vecteur EP en fonction du vecteur E H.. Construire le point Q et expliquer pourquoi les vecteurs BQ et BC sont colinéaires. 3. (a) Expliquer pourquoi HP = CQ. (b) Quelle est la nature du quadrilatère HPQC? FIG. 3. Figure de l activité 3. Activité 3.. ABC D est un tétraèdre représenté sur la figure 3. de la présente page. I, J, K et L sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BC ], [C D] et [AD].. (a) Exprimer le vecteur I L en fonction du vecteur BD. (b) Exprimer le vecteur JK en fonction du vecteur BD. (c) Que peut-on en conclure pour les points I, J, K et L?. (a) Exprimer le vecteur I K en fonction des vecteurs AC et BD. (b) Que peut-on alors dire de ces trois vecteurs? FIG. 3. Figure de l activité 3. H G D E F C A D C B A B 9

22 3. Vecteurs dans l espace Première S Vecteurs dans l espace Les définitions et propriétés concernant les vecteurs vues en Seconde dans le plan s étendent naturellement à l espace. Il en va ainsi : de la définition d un vecteur (direction, sens, norme) ; de la somme de deux vecteurs ; du produit d un vecteur par un réel ; de la colinéarité de deux vecteurs ; de l orthogonalité de deux vecteurs. 3.3 Définition vectorielle d une droite Définition 3.. Soit A un point de l espace et v un vecteur non nul de l espace. La droite passant par A et ayant la même direction que celle de v est l ensemble des points M de l espace tels que AM = x v. On pourra éventuellement noter =(A; v). Remarques. Une telle définition est tout à fait valable dans le plan. v et tous les vecteurs colinéaires à v) sont appelés vecteurs directeurs de. Le couple (A ; v) définit aussi un repère de, c est-à-dire qu à tout point M, on peut associer un unique réel x permettant de repérer M par rapport à A : le réel tel que AM = x v. 3.4 Définition vectorielle d un plan Définition 3.. Soit A un point de l espace et u et v deux vecteurs non nuls et non colinéaires de l espace. Le plan P contenant A et deux représentants de u et v d origine A est l ensemble des points M de l espace tels que AM = x u+y v. On pourra éventuellement noter P = (A ; u, v). Remarque. Le triplet (A ; u, v) définit un repère de P, c est-à-dire qu à tout point M P, on peut associer un unique couple (x ; y) permettant de repérer M par rapport à A : le couple tel que AM = x u+y v. 3.5 Vecteurs coplanaires Définition 3.3 (Coplanarité de vecteurs). Des vecteurs sont dits coplanaires si l on peut trouver des représentants de ces vecteurs tels que leurs origines et leurs extrémités sont coplanaires. Deux vecteurs sont toujours coplanaires puisqu en prenant des représentants de ces vecteurs ayant la même origine on obtient trois points et trois points sont forcément coplanaires. La question ne se pose que lorsqu il y a trois vecteurs (ou plus) et dans ce cas on a la propriété suivante : Propriété 3.. Soient trois vecteurs u, v et w. Ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si il existe un triplet (a ; b ; c) (0; 0; 0) tel que a u+ b v+ c w = 0. On l admettra. Remarque. Cette propriété n est valable qu avec trois vecteurs. Pour quatre vecteurs on trouve toujours (a ; b ; c ; d) (0; 0; 0; 0) tel que a u+ b v+ c w+ d x = 0 (admis). Il faudra donc, dans ce cas, montrer que trois d entre eux sont coplanaires, par exemple u, v et w, puis que le dernier est aussi coplanaire avec les précédents, par exemple u, v et x. Cette propriété est équivalente à la suivante, beaucoup plus facile à utiliser dans les démonstrations : Propriété 3.. Soient trois vecteurs u, v et w. Ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si il existe un couple (α; β) tel que u= α v+ β w (ou bien v = α w+ β u, ou bien w = α u+ β v). Démonstration de l équivalence des deux propriétés. Supposons qu il existe un triplet (a; b; c) (0; 0; 0) tel que a u + b v + c w = 0. Ayant (a ; b ; c) (0; 0; 0), l un au moins des trois réels est non nul. On peut supposer que c est a. Alors a u= b v c w u= b a v c a w. 0 David Robert

23 Première S Exercices Supposons qu il existe un couple (α; β) tel que u= α v+ β w. Alors u α v β w = 0 donc le triplet (; α; β) convient. On a les conséquences suivantes à la coplanarité de trois vecteurs : Propriété 3.3. Soit A, B, C, D, E et F des points distincts de l espace tels que A, B et C non alignés. Il existe (a ; b) tels que AD = a AB+ b AC si et seulement si A, B, C et D sont coplanaires. Il existe (a ; b) tels que EF = a AB+ b AC si et seulement si la droite (EF ) est parallèle au plan (ABC ) Preuve. Le premier point découle de la définition des vecteurs coplanaires. (EF )//(ABC ) il existe une droite parallèle à (EF ) contenu dans le plan (ABC ) EF = a AB+ b AC. 3.6 Exercices Exercice 3.. ABC D est un tétraèdre.. Construire les points E, F, G et H tels que : AE = AB+ C D ; AF = AD+ BC ;. Que peut-on dire des points E, F, G et H? AG = AC+ DB ; ( AH = 3 AB+ AC+ AD ). Exercice 3.. ABC D est un tétraèdre. I et L sont les milieux respectifs de [AD] et [DC ], J est le point tel que AJ = 3 4 AB et K est le point tel que BK = BC. Les points I, J, K et L sont-ils coplanaires? 4 Exercice 3.3. ABC DEFG H est un cube. I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC ] et [FG]. On veut prouver que la droite (AK ) est parallèle au plan (I J H).. Traduire par des relations vectorielles : «la droite (AK ) est parallèle au plan (I J H).». Exprimer le vecteur AK à l aide de deux vecteurs formés avec les points I, J et K. Conclure. Exercice 3.4. ABC DEFG H est un cube. I, J et K sont les milieux respectifs des segments [AE], [E H] et [AD]. G est le centre de gravité du triangle DC H.. Montrer que (C K )//(I JB).. Montrer que (K L)//(I JB). 3. Que peut-on en conclure? 4. Tracer la trace de ces deux plans sur le cube. Exercice 3.5. ABC D est un tétraèdre tel que les faces ABC, AC D et ADB sont des triangles rectangles en A et tel que BC D est un triangle équilatéral. Soit G le centre de gravité du triangle BC D.. Démontrer que les triangles ABC, ABD et AC D sont isocèles.. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale aux droites (BC ) et (BD). 3. En déduire que (AG) est perpendiculaire au plan (BC D). Exercice 3.6. Le plan est muni d un repère orthonormal.. On donne A(; ; 3), B(; ; 0), C ( ; ; ) et D( ; ; 5). ABC D est-il un parallélogramme? Un rectangle?. On donne A( 3; ; 4), B( ; ; 7), C ( 4; ; ) et D( 5; 5; 4). Les droites (AB) et (C D) sont-elles parallèles? 3. On donne A(; ; 3), B( +; 0; ) et C ( +; ; ). Nature du triangle ABC? 4. On donne A(; ; 3), B(0; 4; 4) et C (4; 0; 0). Les points A, B et C sont-ils alignés? David Robert

24 3.6 Exercices Première S Exercice 3.7. ( Dans le repère orthonormal O; ı, j, ) k, on donne les points A(; 0; 0), B(0; 3; ) et C (5; ; 3).. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. Préciser le sommet de l angle droit.. Soit M le point de coordonnées (; 7; 5). Démontrer que M est un point du plan (ABC ). 3. Soit D le point de coordonnées (9; 6; 6). Démontrer que la droite (DM) est perpendiculaire au plan (ABC ). 4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD. Exercice 3.8. ABC D est un tétraèdre. Soit I milieu de [BC ], J milieu de [C D], H centre de gravité du triangle BC D et K centre de gravité du triangle AC D. (. Exprimer, dans le repère A ; AB, AC, ) AD, les coordonnées des points I, J, K et H.. Soit G le point tel que AG = 3 4 AH. Quelles sont les coordonnées de G? 3. Démontrer que BG = 3 4 BK. 4. Démontrer que G A+ GB+ GC+ GD = 0. Exercice 3.9. ( ABC DEFG H est un cube de côté égal à. On considère le repère A ; AB, AD, ) AE.. Calculer la longueur C E.. Calculer les coordonnées du centre de gravité I de AHF et du centre de gravité J de BDG. 3. Démontrer que la droite (I J) est orthogonale au plan (AHF ) ainsi qu au plan (BDG). (Rappel : pour montrer que d une droite d est orthogonale à un plan P, on montre qu elle est orthogonale à deux droites sécantes d et d de P). 4. Démontrer que I J = 3 BC. David Robert

25 Chapitre 4 Barycentres Sommaire 4. Activités Historique (par Frédéric DEMOULIN) Barycentre de deux points pondérés Barycentre de plusieurs points pondérés Centre d inertie d une plaque homogène Exercices Activités Donnez-moi un point d appui, je soulèverai le monde On apprend en physique que l équilibre d un système de leviers est réalisé lorsque les produits de la masse par la longueur du bras correspondant sont égaux. Avec les notations du schéma ci-dessous, on a équilibre lorsque ml = m l. l l m m FIG. 4. Schéma Activité 4. (Mobiles).. Déterminer la position du point d équilibre dans les cas suivants : m= et m = ; m= et m = ; m= 3 et m = 5.. Le mobile du schéma page suivante est formé de tiges et de fils de masses négligeables tel que AB = 30 cm et C D = EF = 0 cm et de sept billes de 0 g chacune. Il est en équilibre. Déterminer les positions exactes de I, J et G. 3. Même question avec les mobiles du schéma 3 page suivante. Phrase attribuée à ARCHIMÈDE 87 av. J.-C. av. J.-C. 3

26 4. Activités Première S FIG. 4. Schéma A B G C D E F I J FIG. 4.3 Schéma 3 A B G C D E F I J A B G C D E F I J Activité 4. (Balance romaine). Contrairement à une balance classique, dans une balance romaine, les deux bras du fléau n ont pas la même longueur. Le bras du côté de la masse inconnue a une longueur constante alors que la longueur du bras qui supporte le contre-poids est variable. Dans cette balance, on n obtient pas l équilibre en égalisant les deux masses, mais en agissant sur la longueur du bras qui porte le contre-poids. L équilibre se fait lorsqu en déplaçant ce contre-poids le long de sa tige, le fléau atteint la position horizontale. Le bras le plus long porte des divisions avec indication des poids correspondants. Il suffit alors de lire le poids de l objet. Il faut noter que la différence de longueur entre les bras permet de peser des charges beaucoup plus importantes que celle du contre-poids. Pour cette activité on modélisera une balance romaine de la façon suivante : la balance est constituée d une tige AB indéformable et de masse négligeable telle que AB =,5 m ; la balance est fixée au plafond en G, tel que BG = 0,5 m ; la masse inconnue m est fixée au bout d un crochet de masse négligeable fixé en B ; un contre-poids de deux kilogrammes est fixé en M au bout d un crochet de masse négligeable, tel que M [AB]. On note x = MG. Cette balance n est pas d origine romaine, son nom provient de l arabe rommäna (balance) ou, selon les sources, de l arabe roummana (grenade, le fruit) pour désigner le peson mobile se déplaçant sur la réglette. 4 David Robert

27 Première S Activités A M G B m. Déterminer m dans chacun des cas suivants : x = 50 cm ; x = m ; x =,5 m.. Déterminer x dans chacun des cas suivants : m= kg ; m= 3 kg ; m= 5 kg. 3. Quelle est la portée (masse minimale et masse maximale qu elle peut mesurer) de cette balance? Activité 4.3 (Modélisation mathématique). Soient A et B deux points. On considère 3 points M, N, P non situés sur la droite (AB).. Construire les points M, N, P vérifiant les égalités suivantes : M M = M A+ 0,5 MB ; N N = N A+ 0,5 N B ;. Tracer les droites (M M ), (N N ), (PP ). Que constate-t-on? 3. Soit G le point d intersection des droites (AB) et (M M ) ; (a) construire G le point qui vérifie : GG = G A+ 0,5GB (b) En déduire en une définition vectorielle de G. 4. (a) Sur le même dessin construire les points I, J, K, L vérifiant les égalités suivantes : 4 I A+ I B = 0 ; J A 0,5 JB = 8 K A+ K B = 0 ; 0 ; L A+ 0,5 LB = 0. (b) Que constate-t-on? Pouvait-on le prévoir? Activité 4.4 (Avec l ordinateur). Les résultats seront notés clairement sur une feuille rendue à la fin de la séance. PP = PA+ 0,5 PB. Mode d emploi Avant de faire l une des actions décrites ci-dessous, cliquer d abord sur le bouton ayant la forme d une flèche. Pour déplacer le point M approcher le curseur de M lorsque le logiciel affiche «ce point M»tenir le bouton gauche de la souris enfoncé et déplacer la souris. Pour modifier la valeur de a, cliquer sur le nombre. Modifier la valeur en utilisant les boutons apparaissant à droite de la boîte.. Ouvrir le fichier barycentre0.fig. Dans cette figure le point M est libre et le point M est l image de M par la fonction qui à M fait correspondre M tel que M M = a M A+ b MB. (a) Que remarque-t-on concernant la droite (M M )? (b) Soit G le point fixe de cette droite. Quelle est l image de G? (c) En déduire une définition vectorielle de G. (d) Que se passe-t-il si a= et b=?. Ouvrir le fichier barycentre.fig. Le logiciel place le barycentre de deux points A et B en fonction des coefficients a et b attribués à chaque point. (a) Remplir le tableau page suivante où x représente l abscisse du barycentre. On appellera Zone I la demi droite d origine A ne contenant pas B, Zone II le segment [AB] et Zone III la demi-droite d origine B ne contenant pas A (voir schéma ci-dessous). Zone I A Zone II B Zone III (b) Généralisation. Après avoir rempli le tableau conjecturer les conditions que doivent vérifier a et b pour que le barycentre soit : i. sur la demi droite d origine A ne contenant pas B ; David Robert 5

28 4. Historique (par Frédéric DEMOULIN) Première S a b x Zone TAB. 4. Position du barycentre selon les valeurs de a et b ii. sur le segment [AB] ; iii. sur la demi-droite d origine B ne contenant pas A ; iv. confondu avec A, confondu avec B. 3. Ouvrir le fichier barycentre3.fig. Le logiciel place le barycentre de A, B et C en fonction des coefficients a, b et c attribués aux trois points. Donner à a la valeur 5 et à b la valeur 3. (a) Faire varier c dans l intervalle [ 50;50] en conservant la trace du barycentre G. (b) Que constate-t-on pour l ensemble des points obtenus? (c) Pour quelle valeur de c, G est-il sur la droite (AB)? On appellera G ce point. (d) Comparer 5G A et 3G B. En déduire que G peut être considéré comme le barycentre de (A, a) et (B,b) où a et b sont des réels à déterminer. (e) Pour quelles valeurs de c, G est-il entre G et C? (f) Pour quelles valeurs de c, G vérifie-t-il l égalité suivante : CG = CG? 4. Ouvrir le fichier barycentre4.fig. (a) Déterminer expérimentalement les valeurs à donner à a, b et c pour que G soit confondu avec le point M. (b) Même question pour les points N, P, Q. Activité 4.5 (Coefficients au baccalauréat). Le tableau page ci-contre donne quelques uns des coefficients des matières au baccalauréat en fonction de la filière générale choisie. Un élève de Seconde calcule, avec ses notes de l année, la moyenne qu il obtiendrait, suivant la section, en utilisant les coefficients du bac. Ses notes sont : 4 en français 4 en LV 0 en H. G. 3 en math 6 en EPS 0 en SES 7 en LV en Physique 5 en SVT. Quelle est sa moyenne dans chaque section? (On ne tiendra pas compte de la philosophie).. (a) Quelle note minimale devrait-il avoir en philosophie pour obtenir la mention AB ( de moyenne)? (b) Dans quelles sections est-ce possible? La moyenne pondérée est l équivalent en statistique du barycentre de points pondérés en géométrie. 4. Historique (par Frédéric DEMOULIN) La notion de barycentre 3 a été introduite par ARCHIMÈDE 4 au III e siècle avant notre ère alors qu il s intéressait à l équilibre des leviers. C est à cette occasion qu il aurait prononcé la célèbre phrase «donnez-moi un point d appui, je soulèverai le monde». ARCHIMÈDE apporta une solution au problème simple vu dans l activité. Les barycentres sont donc d abord considérés d un point de vue physique concret. Il faut attendre de XIX e siècle pour les considérer d un point de vue purement mathématique. Le mathématicien August Ferdinand MÖBIUS 5 dans son mémoire intitulé Der barycentrische Calcül rédigé en 87, utilise des systèmes de points auxquels il affecte un coefficient, ou masse, pouvant être aussi bien positif que négatif. La notion de barycentre devient alors indépendante de la Physique. 3 Du grec barus qui signifie lourd, massif. 4 Illustre scientifique grec, mathématicien, physicien et ingénieur (87 a. J.-C. av. J.-C.). 5 Mathématicien et astronome allemand, connu surtout pour sa découverte du ruban de Möbius ( ). 6 David Robert

29 Première S Barycentre de deux points pondérés Filière Matière SES L S Spécialité SES Maths LV LV Maths Maths Phys S.V.T. Français/Lettres H. G Maths SES LV LV Philosophie EPS Physique-Chimie S.V.T TAB. 4. Coefficients au baccalauréat De nos jours, les applications des barycentres ne manquent pas... Les problèmes d équilibre de balance, de centre de gravité, de centre d inertie, de moyenne en statistique, la colorimétrie ainsi que les courbes de BÉZIER 6 en CFAO 7 sont autant de domaines dans lesquels intervient la notion de barycentre. 4.3 Barycentre de deux points pondérés 4.3. Théorème d existence et définition Théorème 4.. Soient A et B deux points de l espace, α et β deux réels tels que α+β 0. Il existe un unique point G vérifiant : α G A+ βgb = 0 Preuve. On a : α ( ) G A+ βgb = 0 αg A+ β G A+ AB = 0 (α+β) G A+ βab = 0 (α+β) G A= βab (α+β) AG = βab AG = β AB α+β avec α+β 0. Ainsi, chercher un point G vérifiant α β G A+ βgb = 0 revient à chercher un point G tel que AG = AB. α+β Si α+β 0, les points A et B ainsi que les réels α et β étant donnés, il existe un unique point G tel que AG = β AB. α+β Définition 4.. Soient A et B deux points de l espace, α et β deux réels tels que α+β 0. L unique point G vérifiant α { } G A+ βgb = 0 est appelé barycentre du système de points pondérés (A ; α) ; (B ; β). On dit encore que G est le barycentre des points pondérés ou des points massifs (A ; α) et (B ; β). Remarque. Si α+β=0, alors le barycentre n est pas défini. Exemple 4.. [AB] est un segment de longueur 6 cm. Le barycentre G de {(A ; ) ; (B ; )} vérifie : AG = AB = + 3 AB. Le barycentre G de {(A ; 7) ; (B ; )} vérifie : AG = AB = +7 6 AB. G A G B 6 Ingénieur français chez Renault (90 999). 7 Acronyme de Conception et fabrication assistée par ordinateur David Robert 7

30 4.3 Barycentre de deux points pondérés Première S Autres caractérisations du barycentre Théorème 4.. Soit α et β deux réels tels que α+β 0 et G un point de l espace. Dans ces conditions on a : G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } Pour tout M de l espace α M A+ β MB = (α+β) MG Preuve. G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } α G A+ β GB = 0 or α ( ( G A+ βgb = 0 α GM+ M A )+β GM+ MB )= 0 pour tout M (α+β) GM+ α M A+ β MB = 0 α M A+ β MB = (α+β) MG Ce théorème est particulièrement important car il permet de simplifier énormément le calcul vectoriel en réduisant les expressions. Exemple 4.. On peut remplacer, au besoin, le vecteur AC+3 BC par le vecteur 5 GC, où G barycentre de {(A ; ) ; (B ; 3)} car En effet, pour tout M, on a M A+ 3 MB = 5 MG et, en particulier, quand M = C, C A+ 3C B = 5CG donc AC + 3BC = 5 GC. Cette réduction des expressions est appelée réduction vectorielle de LEIBNIZ 8. Remarque. Lorsque α+β=0 le vecteur α M A+ β MB est indépendant de M. Exemple 4.3. M A MB = M A+ B M = B A Théorème 4.3. Soit α et β deux réels tels que α+β 0 et G un point de l espace. Dans ces conditions on a : G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } AG = β α AB BG = B A α+β α+β Preuve. La première forme a été obtenue dans la démonstration du théorème, la seconde s obtient de la même manière. Remarque. Cette caractérisation du barycentre est surtout utilisée pour construire le barycentre (implication). En effet, il n est pas évident de voir que AC = 3 AB signifie que C barycentre de {(A ; ) ; (B ; )} (réciproque) Bilan des propriétés caractéristiques du barycentre Au final on a les équivalences suivantes : Soit α et β deux réels tels que α+β 0 et G un point de l espace. Alors on a : G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } α G A+ β GB = 0 Pour tout M de l espace α M A+ β MB = (α+β) MG AG = β BG = α AB α+β B A α+β Autres propriétés du barycentre Dans toute la suite on supposera α+β 0. 8 Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ (646 76) était un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand. 8 David Robert

31 Première S Barycentre de deux points pondérés Homogénéité du barycentre Théorème 4.4. Si G est le barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } { }, alors, pour tout réel k non nul, G est le barycentre de (A ; kα) ; (B ; kβ). Autrement dit, on ne change pas le barycentre de deux points en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul. Preuve. Soit k un réel non nul. On a : α ( G A+ βgb = 0 k α ) G A+ βgb = 0 kα G A+ kβgb = 0. Comme kα+kβ 0, G est aussi le barycentre de { (A ; kα) ; (B ; kβ) }. Exemple 4.4. Le barycentre du systeme {(A ; 60) ; (B ; )} est encore le barycentre du système {(A ; 5) ; (B ; )} Barycentre et alignement Théorème 4.5. Si G est le barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) }, alors G est situé sur la droite (AB). Preuve. On a vu que α G A+ β GB = 0 AG = β Ainsi, AG et AB sont colinéaires, donc G (AB). AB. α+β Remarque. Ce théorème est particulièrement utilisé pour démontrer que des droites sont concourantes La réciproque du théorème est vraie : Théorème 4.6. Si G (AB) alors il existe des réels α et β tel que M barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) }. Preuve. M (AB) il existe k tel que AM = k AB. Or : AM = k AB AM = k AM+ kmb ( k) M A+ kmb = 0 Or ( k)+k 0 donc M est barycentre de {(A ; k) ; (B ; k)}. Barycentre et segment On peut vouloir situer plus précisément G sur la droite (AB) selon les valeurs de α et β. On a : Propriété 4.7. Soit G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) }. On a : α et β sont de même signe G [AB] ; α=0 G = B et β=0 G = A ; α=β G milieu de [AB] ; Preuve. On a vu que AG = β AB α+β Examinons d abord le cas où α=0 (donc β 0 car α+β 0). α=0 β α+β = AG = AB G = B Examinons le cas où β=0 (donc α 0 car α+β 0). β=0 β α+β = 0 AG = 0 G = A Considérons maintenant le cas où α et β non nuls et de même signe. Deux possibilités :. α et β strictement positifs : α>0 et β>0 0<β<α+β 0< β α+β <. α et β strictement négatifs : α<0 et β<0 0>β>α+β 0< β α+β < (division par un négatif) Dans les deux cas : α et β sont de même signe AG = k AB avec 0<k < G [AB] Enfin, regardons le cas où α=β. α=β β α+β = β β =. Donc α=β AG = AB G milieu de [AB]. Remarque. Une conséquence de la propriété est que : α et β sont de signes opposés G est sur la droite (AB) privée du segment [AB]. David Robert 9

32 4.4 Barycentre de plusieurs points pondérés Première S Isobarycentre Définition 4.. Le barycentre de A et B affectés du même coefficient non nul est appelé isobarycentre de A et de B. Remarque. On ne précise pas alors les coefficients. On a vu dans la propriété précédente que l isobarycentre de A et de B est aussi le milieu de [AB]. On peut en faire un théorème : Théorème 4.8. L isobarycentre G de deux points A et B est le milieu du segment [AB] Coordonnées du barycentre de deux points ( Théorème 4.9. L espace est muni d un repère O; ı, j, ) k. Soit A, B et G des points de coordonnées respectives A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) et G(x G ; y G ; z G ). On a : Si G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } alors : x G = αx A+ βx B α+β ; y G = αy A+ βy B α+β ; z G = αz A+ βz B α+β Preuve. On sait que G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } Pour tout M de l espace α M A+ β MB = (α+β) MG. Posons M = O, l origine du repère. On a alors : α OA+ βob = (α+β) OG donc OG = α OA+ β OB. α+β α+β Donc x G = αx A+βx B α+β et il en va de même pour les autres coordonnées. 4.4 Barycentre de plusieurs points pondérés 4.4. Généralisation On peut généraliser les définitions et propriétés à plusieurs points pondérés. Nous nous limiterons à trois points pour la bonne intelligence du propos, mais la généralisation est valable pour un ensemble fini quelconque de points. Définition 4.3. Soit A, B et C trois points de l espace et α, β et γ trois réels tels que α+β+γ 0. Il existe un unique point G de l espace vérifiant α G A+ βgb + γgc = 0, qui est appelé barycentre du système de points pondérés { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) }. Théorème 4.0. Soit α, β et γ trois réels tels que α+β+γ 0 et G un point de l espace. Alors on a : G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) } α G A+ βgb+ γgc = 0 Pour tout M de l espace α M A+ β MB+ γ MC = (α+β+γ) MG β γ AG = AB+ AC α+β+γ α+β+γ α γ BG = B A+ BC α+β+γ α+β+γ α β CG = C A+ C B. α+β+γ α+β+γ Si G est le barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) } { }, alors, pour tout réel k non nul, G est le barycentre de (A ; kα) ; (B ; kβ) ; (C ; kγ). ( L espace étant muni d un repère O; ı, j, ) k où A, B, C et G de coordonnées respectives A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ), C (x C ; y C ; z C ) et G(x G ; y G ; z G ). On a : Si G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) } alors x G = αx A+βx B +γx C α+β+γ, y G = αy A+βy B +γy C α+β+γ et z G = αz A+βz B +γz C α+β+γ On admettra ces propriétés (les démonstrations sont similaires à celles du barycentre de deux points). Définition 4.4. Le barycentre de A, B et C affectés du même coefficient non nul est appelé isobarycentre de A, B et C. Propriété 4.. L isobarycentre de A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. 0 David Robert

33 Première S Centre d inertie d une plaque homogène Preuve. G barycentre de {(A ; α) ; (B ; α) ; (C ; α)} α G A+αGB+αGC = 0 G A+ GB+ GC = 0 qui est la définition vectorielle du centre de gravité du triangle ABC Théorème 4.. Soit α, β et γ trois réels tels que α+β+γ 0 et A, B, C et G quatre points de l espace tels que les points A, B et C ne sont pas alignés. Alors on a : G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) } G appartient au plan (ABC ). Preuve. G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) } AG = et AC sont coplanaires et les points A, B, C et G sont dans le même plan. Si G (ABC ) alors il existe a et b tels que AG = a AB+ b AC or : ( AG = a AB+ b AC AG = a AG+ GB )+b β γ AB+ AC donc les vecteurs AG, AB α+β+γ α+β+γ ( ) AG+ GC ( a b) G A+ agb+ bgc = 0 Or ( a b)+ a+ b 0 donc G barycentre de {(A ; a b) ; (B ; a) ; (C ; b)} Associativité du barycentre Théorème 4.3. Si G barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) ; (C ; γ) } et H barycentre de { (A ; α) ; (B ; β) } alors G barycentre de { (H ; α+β) ; (C ; γ) } Remarques. Le théorème induit que α+β+γ 0 mais aussi que α+β 0 (sinon H n est pas défini). Ce théorème permet de ramener la construction du barycentre de trois (ou plus) points à la construction du barycentre de deux points. Il est très utile pour démontrer que des droites sont concourantes. Exemple 4.5. Construire G, barycentre de {(A ; ) ; (B ; 4) ; (C ; 3)}. H barycentre de {(B ; 4) ; (C ; 3)} existe car 4 3 0, donc G barycentre de {(A ; ) ; (H ; 4 3)}={(A ; ) ; (H ; )}. G est donc le milieu de [AH]. Il ne reste plus qu à construire H puis le milieu de [AH]. Exemple 4.6. Démontrons que le point G vérifiant G A+ GB+ GC = 0 est bien le centre de gravité du triangle ABC. Soit I, J et K les milieux respectifs des segments [BC ], [AC ] et [AB] (voir schéma). K A J Par définition on a : G barycentre de {(A ; ) ; (B ; ) ; (C ; )} ; I isobarycentre de B et C donc, par exemple, de {(B ; ) ; (C ; )} ; J isobarycentre de A et C donc, par exemple, de {(A ; ) ; (C ; )} ; K isobarycentre de A et B donc, par exemple, de {(A ; ) ; (B ; )} ; On a donc : G barycentre de {(A ; ) ; (I ; )} donc G (AI ) ; G barycentre de {(B ; ) ; (J ; )} donc G (B J) ; G barycentre de {(C ; ) ; (K ; )} donc G (C K ) ; Les trois droites (AI ), (B J) et (C K ) sont donc concourantes en G. Or ces droites sont les médianes du triangles ABC donc G est bien le centre de gravité du triangle ABC. B I C 4.5 Centre d inertie d une plaque homogène 4.5. Généralités Soit P une plaque, d épaisseur négligeable. Le centre d inertie I de la plaque est l isobarycentre de tous les points de la plaque. (C est donc un barycentre d une infinité de points!). C est une notion mathématiquement difficile à définir. Cependant, il est souvent facile de construire le centre d inertie d une plaque grâce aux propriétés suivantes (admises à notre niveau) : David Robert

34 4.6 Exercices Première S Cas simples Le centre d inertie d une tige est le milieu de cette tige. Le centre d inertie d un triangle est l isobarycentre de ses trois sommets. Attention! Le centre d inertie d un quadrilatère ABC D (ou d un polygone de plus de 3 sommets) est, en général, différent de l isobarycentre des sommets A, B, C et D! Principes de symétrie Si la plaque admet un centre de symétrie, alors c est son centre d inertie. Si la plaque admet un axe de symétrie alors son centre d inertie est sur cet axe. Principe de juxtaposition Si une plaque P d aire a a pour centre d inertie I et une plaque P d aire a a pour centre d inertie I alors la plaque P P admet pour centre d inertie le barycentre I de (I, a ) et (I, a ). Remarque. Comme les plaques sont homogènes, leurs aires a et a sont proportionnelles à leurs masses m et m, on a donc aussi (d après l homogénéité des coefficients) : I barycentre de {(I ; m ) ; (I ; m )} 4.5. Exemple On se propose de déterminer le centre d inertie de la plaque homogène ci-dessous, constituée d un rectangle ABC E avec AB = 4 et BC = et d un triangle C DE équilatéral. D Le rectangle ABC E a pour centre de symétrie, donc pour centre d inertie, I, intersection de ses diagonales et pour aire 4=8. Le triangle AC E a pour centre d inertie son centre de gravité I, intersection des médianes. Son aire est ECHD = 4 3. { I, centre d inerie de la plaque, est donc le barycentre de (I ; 8) ; (I ; 4 3) } ou encore de { (I ; ) ; (I ; 3) }. E H I C Donc I est le point tel que I I = plus qu à construire. 3 + I I qu il ne reste 3 A B 4.6 Exercices Exercice 4.. ABC D est un quadrilatère et G est le barycentre de {(A ; ) ; (B ; ) ; (C ; 3) ; (D ; 3)}. Construire le point G. (Argumenter) Exercice 4.. ABC est un triangle.. G est le barycentre de {(A ; ) ; (B ; ) ; (C ; 3)}. Construire le point G. (Argumenter). G est le barycentre de {(A ; ) ; (B ; 3) ; (C ; 3)}. Construire le point G. (Argumenter) 3. Démontrer que (AG ) est parallèle à (BC ). Exercice 4.3. B est le milieu de [AC ]. Démontrer que le barycentre de {(A ; ) ; (C ; 3)} est confondu avec celui de {(B ; ) ; (C ; )}. Exercice 4.4. Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de {(A ; ) ; (B ; ) ; (C ; 5)}. Démontrer que G, C et E sont alignés. Exercice Placer dans un repère les points A( ; ), B( 3 ; 4) et C ( ; 5).. Soit G le barycentre des points pondérés {(A ; 3) ; (B ; ) ; (C ; 4)}. (a) Quelles sont les coordonnées de G? Placer G. (b) La droite (BG) passe-t-elle par l origine du repère? (Justifier) David Robert

35 Première S Exercices Exercice 4.6. Une balance est constituée d une masse M et d un plateau fixé aux extrémités d une tige (voir schéma de la présente page). Pour peser une masse m, le vendeur place, à une position précise, un crochet sur la tige. Cette balance a l avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses. On supposera que M = kg.. Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l équilibre? m= 3 kg m= 5 kg. Le point G est tel que AG = 3 AB. Quelle est la masse m pesée? M m Exercice 4.7. ABC est un triangle. On considère le barycentre A de {(B ; ) ; (C ; 3)}, le barycentre B de {(A ; 5) ; (C ; 3)} ainsi que le barycentre C de {(A ; 5) ; (B ; )}. Démontrer que les droites (A A ), (BB ) et (CC ) sont concourantes. Indication : on pourra considérer le barycentre G de {(A ; 5) ; (B ; ) ; (C ; 3)}. Exercice 4.8. Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et B A= 5 cm. Soit I le milieu de [BC ].. Placer le point F tel que BF = B A et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l on déterminera.. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes : PB+ PC PA+ PB PB PA 3. Déterminer et représenter l ensemble des points M et N du plan vérifiant : MB+ = =. MC M A+ MB ; N B+ NC N B N A Exercice 4.9. Dans un repère ( O; ı, j ), placer les points A( ; ), B( ; 5), C (5 ; 7) et G ( ; 5 ). Déterminer les coordonnées de l isobarycentre I des points B et C.. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC. 3. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de {(A ; ) ; (B ; k)}? Justifier. Exercice 4.0. On considère un segment [AB] de médiatrice d. Soient C et D points de d et G l isobarycentre de A, B, C et D. Démontrer que G d. Exercice 4.. ABC DE est une pyramide à base carrée BC DE. Soit G l isobarycentre de A, B, C, D et E. On note O le centre du carré BC DE (c est-à-dire l intersection des diagonales (C E) et (BD)). Démontrer que O est l isobarycentre de B, C, D, et E.. Démontrer que G est le barycentre de {(O ; 4) ; (A ; )}. 3. Soit G le centre de gravité du triangle ABE et I le milieu de [C D]. Démontrer que G (G I ). (Pour cet exercice, une figure est recommandée) Exercice 4.. ABC D est un tétraèdre et G est le barycentre de {(A ; 4) ; (B ; ) ; (C ; ) ; (D ; )}. On note H le centre de gravité du triangle BC D (c est-à-dire H est l isobarycentre de B, C et D).. Démontrer que G est le barycentre de {(H ; 3) ; (A ; 4)}.. Situer le point G sur la droite (AH). (Pour cet exercice, une figure est recommandée) Exercice 4.3. ABC D est un carré.. Quel est l ensemble E des points M du plan tels que M A MB+ MC = AB?. Représenter cet ensemble E. David Robert 3

36 4.6 Exercices Première S Exercice 4.4. = ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm. Déterminer l ensemble Γ des points M du plan tels que : M A+ MB+ MC MB+ 3 MC. Exercice 4.5. ABC est un triangle. I et G sont définis par : AI = AB et CG = C I.. Exprimer G comme barycentre des points A, B et C.. La droite (BG) coupe le segment [AC ] en un point J. Déterminer la position de J sur [AC ]. 3. Déterminer et tracer l ensemble F des points M du plan tels que 3 M A MB = M A. M I Exercice 4.6. ABC est un triangle, I est milieu de [AB]. J et L sont définis par AJ = 5 AB et AL= 3AC. La droite parallèle à (AC ) menée par J coupe la droite (BC ) en K.. Exprimer : I comme barycentre de A et B ; L comme barycentre des points A et C ; K comme barycentre de B et C.. Démontrer que les points I, K et L sont alignés et préciser la position de ces points. Exercice 4.7. Soit A, B et C trois points non alignés. Soit D le barycentre de {(B ; ) ; (C ; )}, E le barycentre de {(C ; 4) ; (A ; )}, F le barycentre de {(B ; ) ; (A ; )} et G le barycentre de {(A ; ) ; (B,) ; (C,4)}.. Construire les points D, E et F.. Démontrer que les droites (AD), (BE) et (C F ) sont concourantes en G. 3. Déterminer l ensemble Θ des points M du plan tels que M A+ MB = MB+ MC. Exercice 4.8. ABC D est un tétraèdre. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC ]. E et F sont les points tels que C E = BC et AF = DE.. Montrer que E est barycentre de {(B ; ) ; (C ; 3)}.. Montrer que F est barycentre de {(A ; ) ; (D ; ) ; (E ; )}. 3. En déduire que F est barycentre de {(A ; ) ; (D ; ) ; (B, ) ; (C,3)}. 4. En déduire que F est barycentre de {(I ; ) ; (J,6) ; (D, )}. Que peut-on en conclure pour les points I, J, D et F? 5 Exercice 4.9. Une plaque homogène P d épaisseur négligeable est un quadrilatère ABC D tel que ABC est équilatéral et de côté m et AC D est rectangle et isocèle en C. B. Déterminer I le centre d inertie de ABC.. Déterminer I le centre d inertie de AC D. 3. Déterminer I le centre d inertie de P. 4. Déterminer G l isobarycentre de A, B, C et D. 5. Que constate-t-on? A D C Exercice 4.0. Une plaque homogène P d épaisseur négligeable est constituée d un disque D, de centre O et rayon m duquel on a enlevé un disque d de centre O et de rayon 50 cm avec O situé à la moitié d un rayon de D. O O Déterminer la position du centre d inertie de cette plaque. 4 David Robert

37 Chapitre 5 Transformations Sommaire 5. Introduction Symétries, rotations, translations L homothétie Transformations et angles orientés Transformations et barycentres Exercices Ce chapitre fait appel à la notion de coplanarité, traitée dans le chapitre 3, à celle de barycentre, traitée dans le chapitre 4 et à celle d angle de vecteurs, traitée dans le chapitre Introduction Vous avez vu depuis l entrée au collège les transformations du plan suivantes : les symétries axiales (en Sixième), les symétries centrales (en Cinquième), les translations (en Quatrième et en Troisième) et les rotations (en Troisième). Nous allons étendre la définition de quelques unes d entre elles à l espace. Nous en instituerons une nouvelle : celle qui est sous-jacente derrière THALÈS ou les réductions et agrandissements vus au collège. Enfin nous regarderons leurs effets sur les nouveaux objets géométriques introduits cette année : les angles orientés de vecteurs et les barycentres. Remarque. La définition mathématique exacte de ce qu est une transformation t du plan (ou de l espace) n est pas au programme mais elle est aisément compréhensible pour un élève de Première : c est une bijection du plan (ou de l espace) dans lui même, c est-à-dire que : chaque point M du plan (ou de l espace) a pour image un unique point t(m)= M du plan (ou de l espace) ; chaque point M du plan (ou de l espace) a un unique antécédent M par t dans le plan (ou l espace). Exemples 5.. La fonction qui à x associe x n est pas une bijection de R dans R car, si chaque réel x a bien une unique image dans R, certains réels n ont pas d antécédents (les réels strictements négatifs) et certains réels en ont plusieurs (les antécédents de 4 sont et, par exemple). La fonction qui à x associe son inverse est une bijection de R dans R car chaque réel x 0 à une unique image dans R et chaque réel y 0 à un unique antécédent dans R. L application qui à chaque point de l espace associe son projeté orthogonal sur une droite n est pas une bijection du plan vers la droite car si chaque point du plan a bien une unique image dans, chaque point de à plusieurs antécédents dans le plan. L application qui à chaque point d une droite D non perpendiculaire à qui associe à chaque point de D son projeté orthogonal sur est, elle, une bijection de D vers car chaque point de D à une unique image dans et chaque point de à un unique antécédent dans D. Une translation de vecteur u est une bijection du plan dans lui-même car chaque point M du plan a une unique image dans le plan : le point M tel que M M = u ; et chaque point N du plan a un unique antécédent dans le plan : le point N tel que N N = u. Étant une bijection du plan dans lui-même on dit que c est une transformation du plan. de la même manière qu une fonction numérique associe à chaque nombre de son ensemble de définition un unique nombre 5

38 5. Symétries, rotations, translations Première S Symétries, rotations, translations Procédons à quelques rappels (les propriétés ne seront donc pas démontrées). 5.. Définitions Définition 5.. Une symétrie d axe ou réflexion d axe est une transformation qui à tout point M du plan associe le point M tel que est la médiatrice du segment [M M ]. On la note généralement S ou S quand il n y a pas de risque de confusion. Définition 5. (vectorielle). Une symétrie de centre Ω est une transformation qui à tout point M du plan associe le point M tel que ΩM = ΩM. On la note généralement S Ω ou S quand il n y a pas de risque de confusion. Définition 5.3. Une translation de vecteur u est une transformation qui à tout point M du plan associe le point M tel que M M = u. On la note généralement t u ou t quand il n y a pas de risque de confusion. Définition 5.4. Une rotation de ( centre Ω et d angle θ est une transformation qui à tout point M du plan associe le point M tel que ΩM = ΩM et ΩM ; ΩM ) = θ. On la note généralement r (Ω; θ) ou r quand il n y a pas de risque de confusion. 5.. Ensembles invariants Définition 5.5. Soit t une transformation du plan (ou de l espace). L ensemble I des points I du plan (ou de l espace) tels que t(i ) = I est appelé l ensemble des points invariants par t. Propriété 5.. On note P le plan. Soit S la symétrie d axe. L ensemble I des points du plan invariants par S est I =. Soit S la symétrie de centre Ω. L ensemble I des points du plan invariants par S est I = {Ω}. Soit t la translation de vecteur u. L ensemble I des points du plan invariants par t est I = si u 0, I = P si u = 0. Soit r la rotation de centre Ω et d angle θ. L ensemble I des points du plan invariants par r est I = {Ω} si θ 0, I = P si θ= Propriétés Ces quatre transformations ont les propriétés communes suivantes : Elles conservent les longueurs (on dit que ce sont des isométries) : Soient M et N deux points du plan et M et N leurs images, alors M N = M N. Elles conservent les rapports de longueurs (en particulier les milieux) : Soient M, N et P trois points du plan et M, N et P leurs images, si M N = kmp alors M N = km P. Elles conservent l alignement et le parallélisme : Soient M, N et P trois points du plan et M, N et P leurs images, si M N = k MP alors M N = k M P (alignement) ; Soient u et v deux vecteurs du plan et u et v leurs images, si u = k v alors u = k v (parallélisme). Elles conservent les mesures des angles géométriques (en particulier l orthogonalité) : Soient M, N et P trois points du plan et M, N et P leurs images, alors M N P = M N P Transformations réciproques Définition 5.6. Deux transformations t et t sont réciproques si, pour tout M du plan (ou de l espace), (t t )(M)= M. On note alors t = t. Propriété 5.. Soit S une symétrie (axiale ou centrale) alors S = S. Soit t la translation de vecteur u alors t = t u. Soit r la rotation de centre Ω et d angle θ alors r = r (Ω; θ). 6 David Robert

39 Première S L homothétie 5..5 Extension à l espace Les translations et symétries centrales étant définies entièrement de façon vectorielle, leur définition se prolonge naturellement à l espace à ceci près qu on associe une image à tout point de l espace. Les propriétés du plan restent valables. À celles-ci viennent s ajouter les propriétés suivantes qu on admettra : Propriété 5.3. Une translation ou une symétrie centrale conservent la coplanarité et l image d un plan par ces transformations est un plan parallèle. Si deux plans sont parallèles (resp. perpendiculaires), leurs images par une translation ou une symétrie centrale sont des plans parallèles (resp. perpendiculaires). L image d une sphère de centre C par une translation ou une symétrie centrale est une sphère de même rayon et de centre C l image de C et, plus généralement, l image d un polyèdre est un polyèdre de mêmes dimensions. Une translation ou une symétrie centrale conservent les volumes. 5.3 L homothétie 5.3. Définition et conséquences Définissons vectoriellement la transformation sous-jacente derrière THALÈS ou les agrandissements et réductions vus au collège. Définition 5.7. Soit Ω un point du plan ou de l espace et k un réel non nul. On appelle homothétie de centre Ω et de rapport k la transformation qui à tout point M du plan ou de l espace associe le point M tel que ΩM = k ΩM. On la note généralement h(ω; k) ou h quand il n y a pas de risque de confusion. Exemples 5.. Prenons trois exemples : h(ω; ) h(ω; ) h ( Ω; Ω M M Ω M Ω M M ) M La définition induit la première propriété suivante : Théorème 5.4. Soit h(ω; k) l homothétie de centre Ω et de rapport k, M un point quelconque du plan et M = h(m). Alors Ω, M et M sont alignés. Preuve. Triviale. On obtient aussi facilement la propriété fondamentale suivante : Théorème 5.5. Soit h(ω; k) l homothétie de centre Ω et de rapport k, M et N deux points quelconque du plan (ou de l espace), M = h(m) et N = h(n ). Alors : M N = k M N. Preuve. M N = M Ω+ ΩN = k MΩ+k ΩN = k M N. Exemple 5.3. Considérons l homothétie de centre Ω et de rapport,5 : N N Ω M M On retrouve une configuration de THALÈS. Remarque. Selon les valeurs de k, on a : si k =, tous les points du plan ou de l espace sont invariants (on dit que l homothétie est la transformation identité) ; si k =, l homothétie est la symétrie de centre Ω ; si < k <, l homothétie est une réduction ; si k >, l homothétie est un agrandissement. David Robert 7

40 5.3 L homothétie Première S Propriétés de l homothétie Points invariants Propriété 5.6. L ensemble I des points invariants du plan P (ou de l espace E ) par une homothétie de rapport k est I = {Ω} si k, I = P (ou I = E ) si k =. Preuve. On cherche l ensemble des points I tels que ΩI = k ΩI ( k) ΩI = 0. Donc soit k = et tous les points conviennent, soit k et dans ce cas ΩI = 0 Ω= I. Transformation réciproque Propriété 5.7. Soit h une homothétie du plan (ou de l espace) de centre Ω et de rapport k. Alors h = h ( Ω; k ). Preuve. Notons h = h ( Ω; ) k. h(m)= M tel que ΩM = k ΩM. h h(m)=h (M )= M c est-à-dire le point M tel que : ΩM = ( k ΩM = k k ) ΩM = ΩM donc M = M. Conservations L homothétie ne conserve pas les longueurs quand k. On a vu que M N = k M N, donc M N = k M N. Il en résulte que, lorsque k et k, une homothétie n est pas une isométrie. Plus précisément on admettra la propriété suivante : Propriété 5.8. Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k, les aires par k = k, les volumes par k 3 ( k 3 ). L homothétie conserve : les rapports de longueurs : Soient M, N, P et Q quatre points distincts et M, N, P et Q leurs images respectives par l homothétie h de rapport k. On a M N P Q = k M N k PQ = M N PQ. l alignement et le parallélisme : M N = cmp km N = kcmp M N = c M P ; u = c v k u = kc v u = c v. les angles géométriques (en particulier les angles droits). Nous verrons cela en même temps que les effets d une homothétie sur les angles orientés (paragraphe 5.4). Images de quelques figures usuelles Propriété 5.9. L image d une droite par une homothétie est une droite parallèle à Preuve. Soit A un point de et v un vecteur directeur de ; on a alors = ( A ; v ). Considérons la droite = ( A ; v ) où A = h(a). Tout point M de est tel qu il existe un réel c tel que AM = c v, donc M = h(m) est tel que A M = k AM = kc v et il appartient bien à et on a h( ). Tout point de N de est tel qu il existe un réel c tel que A M = c v, mais alors on peut trouver un point N sur dont N est l image : le point tel que AN = c v k et on a h( ). Finalement, comme ( A ; v ) et ( A ; v ), on peut en conclure que ( A ; v ) =. Or ( A ; v ) est parallèle à ( A ; v ) =. Remarque. Pour tracer l image d une droite, il suffit de connaître l image d un point de cette droite puis de tracer la parallèle à passant par cette image. Propriété 5.0. L image d un segment [AB] par une homothétie de rapport k est un segment [A B ] ayant la même direction que celle de [AB] et de longueur A B = k AB. Preuve. La démonstration est identique à la précédente avec un réel 0 c. 8 David Robert

41 Première S Transformations et angles orientés Propriété 5.. L image d un plan par une homothétie est un plan parallèle. L homothétie conserve la coplanarité. Preuve. La démonstration est identique à la précédente avec le plan P = ( A ; u, v ) et le plan P = ( A ; u, v ). Propriété 5.. L image d un triangle (resp. d un quadrilatère, d un polygone) par une homothétie est un triangle (resp. un quadrilatère, un polygone) semblable. Preuve dans le cas d un triangle. Soit un triangle de mesures a, b et c. L image de chaque côté est un segment, donc l image du triangle est bien un triangle. Comme de plus a a = b b = c c = k, les deux triangles sont donc semblables. Propriété 5.3. L image d un cercle C (Ω; r ) par une homothétie h de rapport k est un cercle C (Ω ; r ) tel que Ω = h(ω) et r = k r. L image d une sphère S (Ω; r ) par une homothétie h de rapport k est une sphère S (Ω ; r ) telle que Ω = h(ω) et r = k r. On l admettra. 5.4 Transformations et angles orientés Propriété 5.4. ( Une symétrie centrale, une translation, une rotation ou une homothétie conservent les mesures des u angles orientés : ; v ) = ( u ; ) v ( u Une symétrie axiale transforme un angle orienté en un angle orienté de mesure opposée : ; v ) = ( u ; ) v Preuve. Soient A, B et C tels que u = AB et v = AC. On note A, B, C u et v leurs images respectives. Translation t de vecteur w. A B = A A+ AB+ BB = w + AB+ w = AB et, de même, A C = AC. Donc u = u et v = ( u v et ; v ) = ( u ; ) v Homothétie h de rapport k. ( u ; v ) = ( k u ; k v ) = ( u ; v ) d après les propriétés des angles orientés. Symétrie centrale. Une symétrie centrale est une homothétie de rapport, donc elle conserve les angles orientés. Symétrie axiale : on l admettra. Remarque. Comme ABC ( ), = B A ; BC les angles géométriques sont donc conservés pour toutes ces transformations. 5.5 Transformations et barycentres Propriété 5.5. Les symétries, translation, rotation et homothétie conservent les barycentres : si G est le barycentre d un système de points pondérés alors son image G est le barycentre des images des points pondérés des mêmes coefficients. Preuve. Nous ne la ferons que dans le cas de trois points mais elle est identique pour un nombre n fini quelconque de points. Translation t : on sait que u = u donc α G A+ βgb+ γgc = 0 α G A + βg B + γg C = 0 Homothétie h de rapport k : α G A+ βgb+ γgc = 0 αkg A+ βkgb+ γkgc = 0 α G A + βg B + γg C = 0 Symétrie centrale : c est une homothétie de rapport. Symétrie axiale : admis. 5.6 Exercices Sauf indication contraire, dans tous les exercices on se place dans le plan. David Robert 9

42 5.6 Exercices Première S Exercice 5.. Partie A C est un cercle de centre O, M est un point de C. La médiatrice de [OM] coupe C en deux points P et P. On note s la réflexion d axe (OM).. Démontrer que l image de P par s est P.. Démontrer que l image par s de la tangente à C en P est la tangente à C en P. 3. En déduire que les tangentes à C en P et P et la droite (OM) sont concourantes en un point O puis que O P = O P. Partie B Dans la figure 5. de la présente page, les trois droites sont tangentes au cercle. On sait que AT = 4 cm. Quel est le périmètre du triangle ABC? On pourra utiliser les résultats de la partie A. FIG. 5. Figure de l exercice 5. FIG. 5. Figure de l exercice 5. A I D T J B B C C A Exercice 5.. Dans la figure 5. de la présente page, ABC D est un carré de sens direct et les triangles DC J et BC I sont équilatéraux de sens direct.. Soit K le point tel que AKC soit équilatéral de sens direct. Montrer que B, D et K sont alignés.. À l aide d une transformation, montrer que les points A, I et J sont alignés et que BD = I J. Exercice 5.3. Construire l image de la droite d par l homothétie de centre O qui transforme A en A. A d O A Exercice 5.4. C est le cercle de centre O et de rayon r. A est un point de C. Soit h l homothétie de centre Ω transformant A en A. Construire le cercle C, image de C par h (justifier). 30 David Robert

43 Première S Exercices A O Ω A Exercice 5.5. Soit h une homothétie de centre O de rapport k. Montrer qu une droite d est globalement invariante par h si et seulement si O appartient à d. Exercice 5.6. Soit ABC un triangle, A, B et C les milieux respectifs de [BC ], [AC ] et [AB].. Montrer qu il exite une homothétie h de centre C transformant B en A et A en B. Donner en fonction de l aire A du triangle ABC, l aire A du triangle A B C.. De la même manière, donner en fonction de A, les aires A et A 3 des triangles AB C et A BC. 3. Déduire des question précédentes que l aire A du triangle A B C est le quart de l aire A. 4. Retrouver ce résultat en utilisant une homothétie de centre G, isobarycentre de A, B et C. Exercice 5.7. Soit ABC un triangle, A, B et C les milieux respectifs de [BC ], [AC ] et [AB].. Montrer que A, B et C sont les images des sommets par une homothétie h que l on précisera.. Montrer que h transforme les hauteurs en les médiatrices des côtés. 3. Justifier que h transforme l orthocentre H en O le centre du cercle circonscrit à ABC. 4. En déduire que le centre de gravité G du triangle, H et O sont alignés. Remarque. La droite qui contient ces trois points est appellée droite d Euler du triangle. Exercice 5.8. On considère un trapèze ABC D de bases [AB] et [C D] et O le point d intersection des diagonales (AC ) et (BD).. Justifier qu il existe un réel k non nul tel que OC = koa.. Soit h l homothétie de centre O et de rapport k. Déterminer A = h(a). 3. Soit B = h(b). Justifier que B (C D). En déduire que B = D. 4. Soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [C D]. En utilisant h, montrer que O, I et J sont alignés. 5. On suppose dans cette question que ABC D n est pas un parallélogramme. Soit O le point d intersection des droites (AD) et (BC ). (a) Montrer que O, I et J sont alignés. (b) En déduire un moyen d obtenir, à la règle seulement, les milieux des bases d un trapèze qui n est pas un parallélogramme. Exercice 5.9. On considère un trapèze ABC D de bases [AB] et [C D] et O le point d intersection des diagonales (AC ) et (BD).. Justifier qu il existe une homothétie h de centre O trasnformant (AB) en (C D). Soit k son rapport.. Exprimer AC en fonction de AO et de k. 3. La droite passant par O et parallèle à (C D) coupe (AD) en E et (BC ) en F. Exprimer OE en fonction de C D. David Robert 3

44 5.6 Exercices Première S Montrer que O est le milieu de [EF ]. 5. Les droites (BE) et (AF ) coupent (C D) respectivement en K et en F. Montrer que K D = DC = C L. Exercice 5.0. On considère un parallélogramme ABC D. Soit I le milieu de [C D], J le point d intersection des droites (B I ) et (AC ) et K le point d intersection des droites (AI ) et (BD).. Que représente J pour le triangle BC D?. Déterminer une homothétie h transformant (JK ) en (AB). 3. Justifier que (JK ) est aprallèle à (AB). 4. Que représente l aire du triangle I JK par rapport à l aire du parallélogramme? Exercice 5.. Soit ABC un triangle, A, B et C les milieux respectifs de [BC ], [AC ] et [AB]. À tout point M on associe le point f k (M)= M défini par : M M = k M A+ MB+ MC.. Montrer que l application f est une homothétie dont on précisera les caractéristiques. Quelle est alors l image du triangle ABC par f?. Montrer que l application f est une translation dont on précisera les caractéristiques. 3. Donner la nature et les éléments caractéristiques de f k lorsque k. Exercice 5.. On considère deux points distincts A et B. On considère les applications u et v qui à tout point M du plan associent respectivement u(m)= I milieu de [AM] et v(m)= G barycentre de {(A ; ); (B ; ); (M ; )}.. Faire une figure.. Montrer que u et v sont des transformations du plan dont on précisera les caractéristiques. 3. En déduire : (a) les lieux des points I et G lorsque M décrit le cercle de diamètre [AB] ; (b) les lieux des points I et G lorsque M décrit la droite perpendiculaire à (AB) passant par B. Exercice 5.3. Soit C un cercle de centre O et A un point de ce cercle. On considère l application g qui : à tout point M A associe g (M)= M le projeté orthogonal de O sur la corde [AM] ; à A associe g (A)= A.. Montrer que g est une transformation dont on précisera les caractéristiques.. En déduire le lieu des points M lorsque M décrit C. Exercice 5.4. On se place pour cet exercice dans l espace. On considère le cube ABC DEFG H, I, J et K les milieux respectifs de [AE], [AH] et [AG] et L le symétrique de A par rapport à G. On appelle t la translation de vecteur AD et h l homothétie h(a ; ) et h l homothétie h ( L ; ). Sur la figure 5.4 page ci-contre :. Construire I, J, K et L.. Construire t(i )= I, t(j)= J et t(k )=K. 3. Construire h(i )= I, h(j)= J et h(k )=K. 4. Construire h (I )= I 3, h (J)= J 3 et h (K )=K Construire enfin en bleu, vert et rouge les images du cube ABC DEFG H par, respectivement, t, h et h Exercice 5.5. On donne deux demi-droites d et d de même origine O et un point A situé dans l angle aigu formé par ces deux demidroites (voir la figure 5.3 page suivante). Construire à la règle et au compas un cercle passant par ce point et tangent aux deux demi-droites. On pourra d abord rechercher l ensemble des cercles du plan qui sont tangents aux deux demi-droites. 3 David Robert

45 Première S Exercices Figure de l exercice 5.4 E H F G A D B C FIG. 5.3 Figure de l exercice 5.5 d A O d David Robert 33

46

47 Deuxième partie Géométrie : produit scalaire et applications 35

48

49 Chapitre 6 Angles orientés Sommaire 6. Activité Orientation du plan Mesures de l angle orienté d un couple de vecteurs non nuls Propriétés des mesures des angles orientés Cosinus et sinus d un angle orienté Lignes trigonométriques des angles associés Exercices Activité Soit un repère orthonormal ( O; ı, j ), le cercle C de centre O et de rayon et la droite D d équation x = qui coupe l axe (Ox) en I. À tout nombre a, on associe le point M de la droite D, d abscisse et d ordonnée a. «L enroulement»de la droite D autour du cercle C met en coïncidence le point M avec un point N de C. Plus précisément, si a est positif, le point N est tel que I N = I M = a, l arc étant mesuré dans le sens inverse des aiguilles d une montre et, si a est négatif, le point N est tel que I N = I M = a, l arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d une montre. N O J D M I a. Le point N est le point du cercle C associé au nombre Activité 6... Placer les points de la droite M i dont les ordonnées y i sont données par le tableau suivant : Refaire le dessin sur votre feuille au besoin. M i M M M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 π y i 0 π π π π π π π 3 3. Placer les points N, N, N 3, N 4, N 5, N 6, N 7, N 8, N 9 du cercle associés à ces nombres. 3. Indiquer un nombre associé à chacun des points I, J, B( ;0) et B (0; ). 4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point? Si oui, donner quatre nombres associés au point J. 37

50 6. Orientation du plan Première S Orientation du plan Définition 6. (Orientation d un cercle, du plan, cercle trigonométrique). On utilisera le vocabulaire suivant : Orienter un cercle, c est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct (ou positif). L autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde). Orienter le plan, c est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d une montre (appelé aussi sens trigonométrique). Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon. Lorsque le plan est muni d un repère ( O; ı, j ), le cercle trigonométrique est le cercle orienté dans le sens direct, de centre O et de rayon. Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique. Définition 6. (Abscisse curviligne, arc orienté, mesures d un arc orienté). Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ). Soit I (0; ) un point du cercle trigonométrique C et D la tangente en I à C, munie du repère (I ; j) (voir schéma 6.). On appelle abscisse curviligne d un point M du cercle trigonométrique, l abscisse de tout point N de la droite D associé à M par enroulement. (Remarque : un point à plusieurs abscisses curvilignes). Si les points A et B du cercle trigonométrique ont pour abscisses curvilignes α et β, alors le couple (A ; B) est appelé arc orienté et noté AB. Une des mesures de l arc orienté AB est β α. 6.3 Mesures de l angle orienté d un couple de vecteurs non nuls 6.3. Ensemble des mesures Définition 6.3 (Angle orienté). Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté. On appelle angle orienté, noté ( u ; v), le couple de ces deux vecteurs. Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point quelconque et C le cercle trigonométrique de centre O. On considère A et B les points définis par OA = u et OB = v. Les demi-droites [OA ) et [OB ) coupent le cercle trigonométrique C respectivement en A et en B (voir le schéma de la présente page). FIG. 6. Mesures d un angle orienté A v A B u B O Définition 6.4 (Mesures d un angle orienté). Une mesure de l angle orienté ( u ; v), en radian, est une mesure de l arc orienté associé AB du cercle trigonométrique. 38 David Robert

51 Première S Propriétés des mesures des angles orientés Remarque. Si une des mesures de ( u ; v) est α, alors toutes les mesures sont de la forme α+kπ avec k Z. Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures. On écrit par exemple ( u ; v)= π signifiant qu une des mesures de ( u ; v) est π, les autres étant de la forme π +kπ avec k Z. On écrit aussi ( u ; v)= π + kπ avec k Z, ou encore ( u ; v)= π [π] qui se lit «π modulo π» Mesure principale d un angle orienté Définition 6.5 (Mesure principale). La mesure principale d un angle orienté est l unique mesure de cet angle orienté qui appartient à ] π; π] Angle nul, angle plat, angles droits Définition 6.6 (Colinéarité, orthogonalité). Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté. Dire que u et v sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de ( u ; v) est 0 (angle nul) ou est π (angle plat). Dire que u et v sont orthogonaux revient à dire que la mesure principale de ( u ; v) est π (angle droit direct) ou (angle droit indirect). π Définition 6.7 (Repère orthonormal direct ou indirect). Soit ( O; ı, j ) un repère du plan. On dit que ( O; ı, j ) est : direct si une des mesures de ( ı ; j) est π ; indirect si une des mesures ( ı ; j) est π. 6.4 Propriétés des mesures des angles orientés 6.4. Propriétés de base Propriété 6.. Soit un vecteur non nul u du plan orienté et k R. ( u ; u)=0 et ( u ; u)=π. Si k > 0 alors ( u ; k u)=0. Si k < 0 alors ( u ; k u)=π. Preuve. Cela découle de la définition Relation de CHASLES Propriété 6.. Soit u, v et w trois vecteurs non nuls du plan orienté. ( u ; v)+( v ; w)=( u ; w) On l admettra Conséquences de la propriété de base et de la relation de CHASLES Propriété 6.3. Soit u et u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k deux réels. ( u ; v)= ( v ; u). ( u ; v)=( u ; v)+π. ( u ; v)=( u ; v)+π. ( u ; v)=( u ; v). Si k et k sont de même signe, (k u ; k v)=( u ; v). Si k et k sont de signes opposés, (k u ; k v)=( u ; v)+π. Preuve. ( u ; v)+( v ; u)=( u ; u)=0 donc ( u ; v)= ( v ; u). ( u ; v) ( u ; v)=( u ; v)+( v ; u)=( v ; u)+( u ; v)=( v ; v)=π donc ( u ; v)=( u ; v)+π. ( u ; v) ( u ; v)=( u ; v)+( v ; u)=( u ; u)=π donc ( u ; v)=( u ; v)+π. ( u ; v) ( u ; v)=( u ; v)+π ( u ; v)=( u ; v)+π ( u ; v)=0 donc ( u ; v)=( u ; v). Si k et k positifs alors (k u ; k v)=( u ; k v)=( u ; v). Si k et k négatifs alors (k u ; k v)=( u ; k v)+π=( u ; v)+π=( u ; v). Si k négatif et k positif alors (k u ; k v)=( u ; k v)+π=( u ; v)+π. Si k positif et k négatif alors (k u ; k v)=( u ; k v)=( u ; v)+π. David Robert 39

52 6.5 Cosinus et sinus d un angle orienté Première S Cosinus et sinus d un angle orienté Sauf indication contraire, l unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d un repère orthonormal direct ( O; ı, j ) ; on considère le cercle trigonométrique C de centre O. Définition 6.8 (Cosinus et sinus( d un réel). Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure de OA ; OM L abscisse du point M est le cosinus de x (noté cos x). L ordonnée du point M est le sinus de x (noté sin x) Définition 6.9 (Cosinus et sinus d un angle orienté). Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. le sinus) de l angle orienté de vecteurs ( u ; v) est le cosinus (resp. le sinus) de l une quelconque de ses mesures. On note cos( u ; v) et sin( u ; v). Lien entre cosinus de l angle orienté et cosinus de l angle géométrique Notons α la mesure en radians de l angle géométrique AOB formé par u et v, et notons x la mesure principale de ( u ; v). On a α= x. Deux cas se présentent : si x 0, x = x et par suite cosα=cos x ; si x 0, x = x et par suite cosα=cos( x)=cos x On a donc cos( u ; v)=cos( AOB). Ce n est pas vrai pour le sinus : sin( AOB)= sin( u ; v) 6.6 Lignes trigonométriques des angles associés 6.6. Rappels Propriété 6.5 (Sinus et cosinus des angles usuels). Propriété 6.4 (fondamentale). cos x+ sin x = x 0 sin x 0 cos x π 6 3 π 4 π 3 3 π Lignes trigonométriques Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. Elles seront démontrées plus tard dans l année. cos ( π + x) = sin x sin ( π + x) = cos x cos ( π x) = sin x sin ( π x) = cos x cos(π x)= cos x sin(π x)=sin x π x π + x π x x cos(π+ x)= cos x sin(π+ x)= sin x π+ x x cos x = cos x sin x = sin x 40 David Robert

53 Première S Exercices 6.7 Exercices Exercice 6.. Sur un cercle trigonométrique C, on considère les points A et B tels que : ( OI ) ; OA = 5π 6 et ( OI ) ; OB = π 3 Déterminer ( la mesure principale des angles suivants : ) (. OA ; O J ) ; 5. OA ; BO ; ( O ). J ; OB ; ( ) ( ) 6. AO ; BO ; 3. OA ; OB ; ( ) ( 4. AO ; OB ; 7. OA ; 3OB ). I J J O I Exercice 6.. Dans un repère orthonormal ( O; ı, j ) (, on considère le point B(;) et le point A d asbcisse tel que ı, ) B A = π 3. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. A j B O ı Exercice 6.3. ABC D est un parallélogramme de centre O. D C O ( (. Démontrer que AB ; AD )+ C B ; C D )=0. A. Quelle propriété du parallélogramme a-t-on démontré? ( 3. On suppose que AB ; AD )= π 4. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : ( ) ( ) (a) C D ; C B ; (c) DC ; D A ; ( ) ( (b) B A ; D A ; (d) BC ; D A ). B Exercice 6.4. ( ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que I A ; I B )= π 3. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : A. ( AI ) ; I B ;. ( AI ) ; IC ; 3. ( I A ; C B ). π 3 B I C David Robert 4

54 6.7 Exercices Première S Exercice 6.5. ABC D est un carré de sens direct. AB J et C BK sont des triangles équilatéraux de sens direct. D C J K A (. Déterminer une mesure de l angle DC ; D J ). (. Déterminer une mesure de l angle DC ; DK ). 3. Démontrer que les points D, J et K sont alignés. Exercice 6.6. Pour chacune des équations suivantes :. les résoudre dans R, c est-à-dire déterminer l ensemble des réels x i vérifiant l équation ; (. placer sur le cercle trigonométrique les points M i tels que ı ; OM i )= x i ; 3. Donner leurs mesures principales. 3 cosx = ; cos3x = 0 ; cos4x = ; B cos x = ; sinx = sin3x = ; ; sin x = 0 ; sin6x = 4. Exercice 6.7. Mêmes questions que l exercice précédent avec : cosx = cos x ; cosx = cos(3x+ π) ; sin3x = sin x ; sin x = sin x 3 ; cosx = sin3x ; cos x = sinx ; sin4x = cosx. Exercice 6.8. Mêmes questions que l exercice précédent avec : tan x = 3 ; tanx = ; tan ( x+ π 6 ) = 3. Exercice Résoudre sur [ π; π], à l aide d un cercle trigonométrique, les inéquations suivantes : (a) cos x 0 (b) cos x.. En déduire les solutions sur [ π; π] de l inéquation : cos x+ cos x 0. 4 David Robert

55 Chapitre 7 Produit scalaire : définitions et premières propriétés Sommaire 7. Activités Définitions Propriétés Formules de la médiane Exercices Ce chapitre fait appel à la notion d angle de vecteurs, traitée dans le chapitre Activités Activité 7.. Soit u et v deux vecteurs et A, B, C et D quatre points tels que : u= AB, v = AC et u+ v = AD. Prouver que u et v sont orthogonaux si et seulement si u+ v u v = 0. On s intéressera dans ce chapitre à la quantité u+ v u v Que devient-elle lorsque les vecteurs u et v ne sont plus orthogonaux? Peut-elle être positive? Négative? Définition. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v le nombre réel, noté u. v, défini par : u. v = ( u+ v u v ) La présence du coefficient sera justifiée ultérieurement. Activité 7... Compléter le tableau page suivante en utilisant le graphique de cette même page où u= AB.. Conjecturer des réponses aux questions suivantes : (a) Dans quel(s) cas un produit scalaire est-il positif? Négatif? Nul? (b) Existe-t-il des points différents qui donnent le même produit scalaire? À quelle configuration géométrique les points concernés semblent-ils appartenir? (c) Que peut-on dire du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires? Activité Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; ı, j ) quelconque. Soit deux vecteurs u(x ; y) et v(x ; y ). (a) Démontrer que u. v = xx + y y. (b) Soit A(; ). Combien vaut u. v dans ( A ; ı, j )? Combien vaut u. v dans ( A ; ı, j )? (c) Que peut-on en déduire? (. Soit A, B et C trois points distincts du plan orienté tels que AB ; AC )=α. On choisit le repère orthonormal direct ( A ; ı, j ) ( tel que ı ; ) AB = 0. H est le projeté orthogonal de C sur (AB), c est-à-dire le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par C. 43

56 7. Activités Première S FIG. 7. Schéma de l activité 7. G D F J E H C L I A M K B FIG. 7. Tableau à compléter v v u+ v u. v A A AC AD AB AE AF AG AH AI AJ AK AL AM 44 David Robert

57 Première S Définitions (a) Exprimer en fonction de AB, AC et α les coordonnées des points B, C et H. (b) Calculer AB. AC et AB. AH. (c) Démontrer les conjectures de l activité précédente. Activité 7.4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O; ı, j ) quelconque, on considère les vecteurs u(x ; y), v(x ; y ) et w(x ; y ).. Comparer u. v et v. u.. Comparer u.( v+ w) et u. v+ u. w. 3. Soit k un réel. Comparer (k u). v et k( u. v). Activité 7.5. Démontrer que si u et v sont deux vecteurs non nuls, alors u. v = u v cos( u; v). En déduire que si A, B et C sont trois points distincts, alors AB. AC = AB AC cos B AC. Activité 7.6. ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A ; I est le milieu de [BC ] ; P et Q sont les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC ). B Montrer que AI. PQ = 0. Que peut-on en déduire pour les droites (AI ) et (PQ)? I Indications (à justifier) : P M AB+ AC = AI AB. PQ = AB. QP = AB. AH AC. PQ = AC. AH A Q C 7. Définitions Rappelons la définition du produit scalaire. Définition 7.. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v le nombre réel, noté u. v, défini par : u. v = ( u+ v u v ) Remarque. Étant une somme de normes, l existence du produit scalaire sous-entend l existence d une unité, et en particulier, si le plan est muni d un repère, celui-ci sera orthonormal. Remarque. u et v sont des vecteurs, u. v est un nombre. Remarque. Le mot scalaire provient du latin scala qui signifie échelle. Il a plusieurs significations aussi bien en mathématiques qu en physique. Il faut le comprendre ici comme un nombre. Ainsi le produit (scalaire) de deux vecteurs n est pas un vecteur mais un nombre. On précisera systématiquement que c est un produit scalaire, car vous verrez plus tard un autre type de produit de vecteurs qui ne donne pas un nombre mais un vecteur. Théorème 7. (Autres expressions du produit scalaire). Soit u et v deux vecteurs du plan.. Le plan étant muni d un repère orthonormal où u(x ; y) et v(x ; y ) alors u. v = xx + y y. Lorsque u 0 et v 0, u. v = u v cos( u; v) 3. Lorsque u 0, u. v = u. v où v est le projeté orthogonal de v sur la direction donnée par u. David Robert 45

58 7.3 Propriétés Première S Théorème 7. (Cas de trois points). Soit A, B et C trois points du plan. Lorsque AB 0 et AC 0, AB. AC = AB AC cos B AC. Lorsque A et B distincts, soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) : AB. AC = AB AH si AB et AH sont de même sens. AB. AC = AB AH si AB et AH sont de sens opposé. Démonstrations des deux théorèmes. Voir activités. 7.3 Propriétés Théorème 7.3. Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u= 0 ou v = 0, alors u. v = 0. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0. u. u= u. On notera alors u. u= u. Preuve. Posons u= 0. Alors u. v = ( u+ v u v ) = ( v v ) = 0. Soit A, B et C tels que u= AB et v = BC. On a alors u+ v = AC. u et v orthogonaux ABC rectangle en B AB + AC = BC u + v = u+ u 0= u+ u u v u. v = 0 u. u= ( u+ u u u ) = ( u u ) = ( 4 u u ) = u Remarque. La dernière ligne explique la présence du. Il est là pour qu on puisse avoir une similitude entre le produit des réels (x x = x ) et le produit scalaire ( u. u = u ). Sans lui on aurait u. u = u, ce qui serait moins intuitif à manipuler dans les calculs. Remarque. Les deux derniers points sont extrêmement importants. Le deuxième permet de démontrer bien des cas d orthogonalité avec la souplesse des vecteurs. Le dernier permet de passer aisément des longueurs aux vecteurs et réciproquement, permettant ainsi de faire appel aux vecteurs, et à leur souplesse, dans bien des démonstrations concernant les longueurs. Propriété 7.4 (Règles de calcul). Soit u, v et w des vecteurs et k un réel. u. v = v. u u.( v+ w)= u. v+ u. w et ( u+ v). w = u. w+ v. w (k u). v = k( u. v) et u.(k v) = k( u. v) Preuve. Voir activité 7.4. Remarque. Le deuxième point sera souvent utilisé pour déterminer des produits scalaires en décomosant un des vecteurs (ou les deux) selon des directions bien choisies (en général orthogonales). Propriété 7.5 (Identités remarquables). Soit u et v deux vecteurs. ( u+ v) = u + u. v+ v ( u v) = u u. v+ v ( u+ v)( u v)= u v Preuve. En appliquant le deuxième point de la propriété précédente on obtient facilement ces résultats. Propriété 7.6 (Produit scalaire et coordonnées). Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) (orthonormal). Soit u(x ; y) un vecteur. x = u. ı et y = u. j Preuve. u. ı = x + y 0=x et u. j = x 0+ y = y 7.4 Formules de la médiane Théorème 7.7 (Formules de la médiane). Soit A et B deux points quelconques du plan et I le milieu du segment [AB]. Alors, pour tout point M du plan on a : M A + MB = M I + AB ; M A MB = M I. B A ; M A. MB = M I 4 AB. Remarques. La droite (M I ) étant, pour le triangle M AB, la médiane issue de A, ces formules sont appelées formules de la médiane. 46 David Robert

59 Première S Exercices Ces formules ne sont pas à apprendre, par contre on doit savoir les retrouver en utilisant les carrés scalaires (voir la preuve ci-dessous). Ces formules sont particulièrement utiles quand on cherche tous les points M vérifiant, par exemple, M A + MB = 4 puisqu elles permettent de passer d une expression à deux inconnues (M A et MB) à une expression à une inconnue (M I ). Preuve. Montrons que M A + MB = M I + AB. M A + MB = M A + ( MB ) + ( ) = M I + I A M I + I B = M I + ( ) M I. I A+ I B + I A + I B = M I + M I. 0 + ( AB ) = M I + AB Les autres démonstrations sont du même type et sont laissées en exercice pour le lecteur. 7.5 Exercices Dans tous les exercices les repères sont orthonormaux 7.5. Exercices Exercice 7.. Soit ABC D un carré de sens direct. On construit un rectangle APQR de sens direct tel que : P [AB] et R [AD] ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.. Justifier que ( ) CQ. PR = CQ. AR AP D R Q C. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires. A P B Exercice 7.. Démontrer les deuxième et troisième formules de la médiane. Exercice 7.3. ( ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que I A, I B )= π 3 et que B I = C I = et AI = 3 Calculer :. AB. AC ;. AB + AC ; 3. AB AC ; 4. AB et AC. A π 3 B I C Exercice 7.4. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC ]. Calculer les produits scalaires suivants :. B A. BC ;. C A. C I ; 3. ( AB AC ). AI. Exercice 7.5. ABC est un triangle dans lequel AB = et AC = 3. De plus AB. AC = 4. Ce triangle est-il rectangle? Exercice 7.6. M N PQ est un carré avec M N = 6. I est le centre du carré. Calculer les produits scalaires suivants : David Robert 47

60 7.5 Exercices Première S M N. QP ;. M N. P N ; 3. I N. I P ; 4. QI. N I. Exercice 7.7. ABC D est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Calculer AB. AD. En déduire BD Exercice (a) Montrer que u+ v u v = 4 u. v. (b) Montrer que u+ v + u v = ( u + v ) (c) Que peut-on en déduire pour le parallélogramme et le losange?. (a) Montrer que ( u+ v).( u v)= u v. (b) En déduire qu un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux. Exercice 7.9. ABC D est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].. Calculer les lognueurs AC et DE.. En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD, calculer le produit scalaire AC. DE. ( ) DE; AC en de- 3. En déduire la valeur de l angle θ = grés à 0,0 près. D θ A E B C Exercice 7.0. Soit le triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC ). On donne : AB = 6, BK = 4 et KC = 7. I est le milieu de [BC ] et G le centre de gravité du triangle ABC.. Faire une figure.. Calculer les produits scalaires suivants : (a) B A. BC ; (b) BC. C A ; ainsi que la somme : G A. AC + GB. AC + GC. AC 3. Déterminer et représenter en rouge l ensemble des points M du plan tels que 4. Déterminer et représenter en vert l ensemble des points M du plan tels que (c) IG. I B ; B M. BC = 44. ( ) M A+ MB+ MC. AC = 0 Exercice 7.. C est un cercle de centre O, re rayon r et A est un point fixé du plan. d est une droite passant par A et coupant C en deux points P et Q. Le but du problème est d établir la propriété suivante : A P Q d Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit scalaire AP. AQ est constant.. Soit P le point diamétralement opposé à P. Montrer que AP. AQ = AP. AP.. Montrer que AP. AP = AO r 3. Conclure. Remarque. On appelle cette quantité la puissance d un point par rapport à un cercle. C O Exercice 7.. [AB] est un segment de milieu I et AB = cm.. Montrer que pour tout point M du plan : M A MB = I M. AB. Trouver et représenter l ensemble des points M du plan tels que : M A MB = 4. Exercice 7.3. ABC D est un tétraèdre régulier de côté a. I est le milieu du côté [AB] et J est le milieu du côté [C D].. Calculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : AB. AC et AB. D A. 48 David Robert

61 Première S Exercices. Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB. DC. 3. Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB. I J Exercice 7.4. Le but de cet exercice est de démontrer, à l aide du produit scalaire, que les hauteurs d un triangle sont concourantes. Soit ABC un triangle. On note A, B et C les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC ), (AC ) et (AB). On note H = (BB ) (CC ).. Que valent les produits scalaires suivants : B H. AC et C H. AB?. Calculer AH. BC. 3. Conclure. Exercice 7.5. ABC D est un rectangle de longueur L et de largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC ). A D K L H B l C. Calculer HK en fonction des longueurs des côtés L et l. (On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire C A. BD).. Comment choisir L et l pour avoir AC = HK? Exprimer alors l aire du parallélogramme B HDK en fonction de l aire du rectangle ABC D. Exercice 7.6. À quelle condition sur les points A, B et C a-t-on : ( AB+ AC ) = (AB+ AC )? Exercice 7.7. ABC D est un losange de sens direct et de centre O On donne AC = 0 et BD = 6.. Calculer AB. AD.. On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP Lignes de niveau Définition 7.. Soit f une fonction qui, à tout point M du plan (ou de l espace), associe un nombre f (M). On appelle ligne de niveau k l ensemble des points M tels que f (M)=k. On retrouve la notion de ligne de niveau en topographie (altitude), en météorologie (isobarre), en physique (courbe de niveau), etc. Par exemple, on peut associer, à chaque point d une carte topographique, l altitude de ce point. La ligne de niveau 0 sera l ensemble des points situés à une altitude de 0 m, celle de niveau 0 sera l ensemble des points situés à 0 m d altitude, etc. Et on peut dessiner ces lignes sur la carte, ce qui donne à un randonneur une idée de la dénivélation, ou, dans le cas de cartes maritimes, cela permet au plaisancier d éviter les hauts-fonds. On retrouve la même chose sur les cartes météorologiques ou, à chaque point, est associé la pression atmosphérique en ce point et on fait apparaître sur la carte les lignes de niveau à intervalles réguliers (qu on appelle isobares). Nous allons nous intéresser ici à des lignes de niveau plus abstraites. Exercice 7.8. A et B sont deux points du plan tels que AB = 6 cm. On définit les fonctions f, g et h qui tout point M du plan associent respectivement les nombres : f (M)= M A MB g (M)= M A + MB h(m)= M A. MB Pour chacune de ces fonctions, déterminer et tracer les lignes de niveau k pour : k = 0 ; k = 0 ; k = 0 ; k = 0 ; k = 30 ; k = 40. David Robert 49

62

63 Chapitre 8 Équations cartésiennes d une droite ou d un cercle Sommaire 8. Équations cartésiennes d une droite Équation cartésienne d un cercle Exercices La plupart des démonstrations nécessitent d avoir traité le chapitre 7 sur le produit scalaire. 8. Équations cartésiennes d une droite Théorème 8.. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ). Toute droite du plan admet une équation de la forme ax+ by+ c = 0 avec (a ; b) (0; 0). L ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0; 0) est une droite Preuve. On a vu en Seconde que toute droite du plan non parallèle à l axe des ordonnées admet une équation de la forme y = mx+ p. Donc toute droite du plan non parallèle à l axe des ordonnées admet une équation de la forme mx+y p = 0. En posant (a ; b ; c)=( m ; ; p) on obtient le premier point. Par ailleurs toute droite parallèle à l axe des ordonnées admet une équation de la forme x = k donc admet aussi une équation de la forme x k = 0. En posant (a ; b ; c)=(; 0; k) on obtient le premier point. Soit D l ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant ax+ by+ c = 0 avec (a ; b) (0; 0). Si b 0 on a y = a b x c b = mx+ p donc D est une droite (non parallèle à l axe des ordonnées). Si b= 0 on a forcément a 0 donc x = c a = k donc D est une droite (parallèle à l axe des ordonnées). Définition 8.. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ). On appelle vecteur directeur d une droite D tout vecteur u 0 tel que il existe A et B (distincts) appartenant à la droite avec v = AB. On appelle vecteur normal à une droite D tout vecteur n 0 orthogonal à un vecteur directeur de D. Remarque. On a déjà vu qu on pouvait définir la droite passant A et de direction celle de v comme l ensemble des points M tels que AM = k v. Théorème 8.. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal. Soit n= (a ; b) un vecteur non nul. Toute droite de vecteur normal n admet une équation de la forme ax+ by+ c = 0. Toute droite admettant une équation de la forme ax+ by+ c = 0 admet n= (a ; b) comme vecteur normal. Preuve. Soit A(x a ; y a ) un point de la droite D de vecteur normal n. Pour tout M(x ; y) d distinct de A on a AM directeur de D donc AM n donc AM. n= 0. Or AM. n= a(x x a )+b(y y a )= ax+ by+ c avec c = ax a by a. Donc D admet une équation de la forme ax+ by+ c = 0. 5

64 8. Équation cartésienne d un cercle Première S Soit A(x a ; y a ) et B(x b ; y b ) deux points distincts de D donc vérifiant ax+ by+ c = 0 avec (a ; b) (0; 0). Supposons b 0. On a alors A ( ( ) x a ; a b x a c ) ( b et B xb ; a b x b c ) x b, donc AB = b x a a b (x. b x a ) Alors AB. n= a(x b x a ) a b (x b x a )b = a(x b x a ) a(x b x a ) = 0 Donc AB n : n est bien normal à D. Supposons b= 0. On a alors A ( c a ; y ) ( a et B c a ; y ) b, donc AB = (0; yb y a ) et n= (a ; 0). AB. n= 0. Donc AB n : n est bien normal à D. Théorème 8.3. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal. Toute droite admettant une équation de la forme ax+ by+ c = 0 admet v = ( b ; a) comme vecteur directeur. Preuve. n = (a ; b) est normal à la droite or v. n = a( b) + ab = 0 alors v n et donc v est directeur de la droite. Théorème 8.4 (Distance d un point à une droite). Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal. Soit D : ax+ by+ c = 0 une droite et M(α; β) un point quelconque du plan. La distance de M à D, notée d(m,d) est d(m,d)= aα+bβ+c a + b Preuve. D admet n = (a ; b) comme vecteur normal. Soit P = (x p ; y p ) un point quelconque de D. On a OP = (xp ; y p ) et OP. n= axp + by p. Mais ax p + by p + c = 0 donc OP. n= axp + by p = c. Considérons maintenant H le projeté orthogonal de M sur D. Comme H est un point de la droite, OH. n= c. Par ailleurs OM. n= aα+bβ. Enfin ( ) H M. n= HO+ OM. n= OM. n OH. n= aα+bβ+c. Mais H M et n, étant tous deux normaux à D, sont colinéaires donc H M. n = H M n = aα+bβ+c. Comme n = a + b ( 0) il vient H M = aα+bβ+c a +b H M. n=h M n ou H M. n= H M n donc 8. Équation cartésienne d un cercle Théorème 8.5. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal. Soit C le cercle de centre Ω(x 0 ; y 0 ) et de rayon r. Alors tout point de M de C a ses coordonnées qui vérifient (x x 0 ) + (y y 0 ) = r. Preuve. Par définition ΩM = r or, comme ΩM est une longueur : ΩM = r ΩM = r (x x 0 ) + (y y 0 ) = r Théorème 8.6. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal. Soit A(x a ; y a ) et B(x b ; y b ) et C le cercle de diamètre [AB]. Alors tout point M de C a ses coordonnées qui vérifient (x x a )(x x b )+(y y a )(y y b )=0. Preuve. Soit M un point quelconque du plan. On a M A. MB = (x x a )(x x b )+(y y a )(y y b ). Si M = A ou M = B alors M A= 0 ou MB = 0 donc M A. MB = 0. Si M distinct de A et de B alors le triangle AMB est rectangle en M donc V M A. MB = 0. 5 David Robert

65 Première S Exercices 8.3 Exercices Dans tous les exercices, le plan est muni d un repère orthonormal. Exercice 8.. On donne A(; ), B(; ) et C ( 3; 0). Déterminer les équations des droites suivantes :. D passant par C et de vecteur normal AB ;. D passant par C et de vecteur directeur AB ; 3. parallèle à D passant par A ; 4. parallèle à D passant par B. Exercice 8.. Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle :. x + y x 6y+ 5=0 ;. x + y x 3y+ 3=0 ; 3. x + y x+ 8y+ 0=0. Exercice 8.3. Déterminer l équation du cercle de centre Ω(5; ) et tangent à la droite D d équation x+y 4=0. Exercice 8.4. On considère un triangle ABC avec A( ; ), B(3; ) et C (; 4).. Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].. Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Exercice 8.5. On donne Ω(; 3).. Déterminer l équation du cercle C de centre Ω et de rayon r = 5.. Démontrer que le point A( ; 0) est un point du cercle C. 3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C. Exercice 8.6. Soit A(3; 5). Chercher une équation de la tangente en A au cercle C de centre O et de rayon OA. Exercice 8.7. Trouver une équation du cercle C de centre A(; ) et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d intersection de C avec les axes de coordonnées. Exercice 8.8. Soient A(3; ) et B( ; 4). Déterminer l ensemble Γ des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient : (x 3)(x+ )+(y )(y 4)=0 Exercice Déterminer une équation du cercle C passant par A(; ) et B(; 3) et dont le centre Ω est situé sur la droite D d équation x+y+ =0. Indication : chercher d abord les coordonnées de Ω. Même question pour le cercle C passant par C (4; ) et D(; 6) et dont le cercle Ω est situé sur la droite d équation x+y+ =0. David Robert 53

66

67 Chapitre 9 Relations métriques dans le triangle Sommaire 9. Formule d AL-KASHI Formule de l aire Formule des sinus Formule de HÉRON Exercices La plupart des démonstrations nécessitent d avoir traité le chapitre 7 sur le produit scalaire. Dans tout le chapitre, on parle d un triangle ABC non aplati dont on note les longueurs a= BC, b=ac et c = AB et S son aire. c A b B a C 9. Formule d AL-KASHI Vous avez vu en Seconde les trois cas d isométrie de triangles :. par définition, deux triangles dont les longueurs des trois côtés sont respectivement égales sont isométriques (superposables) ;. deux triangles ayant un angle de même mesure compris entre deux côtés dont les longueurs sont respectivement égales sont isométriques (si b= b, c = c et Â= Â, alors a= a ) ; 3. deux triangles ayant un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement de même mesure sont isométriques (si Â= Â, B = B et c = c, alors a= a et b= b ). Dans le deuxième cas d isométrie, cela signifie que la longueur du troisième côté est fixe et dépend à la fois des longueurs des deux autres côtés et de l angle entre ces côtés. La formule d AL-KASHI précise ce lien : Théorème 9.. Avec les conventions de notations vues plus haut, on a a = b + c bc cos  Remarques. Si le triangle est rectangle en A, on retrouve le théorème de PYTHAGORE qui n en est qu un cas particulier. La formule d AL-KHASI s appelle aussi Pythagore généralisé. En permutant les côtés et les angles, on a aussi : b = a + c ac cos B ; c = a + b ab cosĉ. 55

68 9. Formule de l aire Première S Preuve. a = BC = ( BC ) = ( ) = B A+ AC AC AB = AC + AB AC. AB = AC + AB AC AB cos C AB = b + c bc cos  9. Formule de l aire Toujours dans le deuxième cas d isométrie, les triangles étant superposables, leur aire est fixe et dépend à la fois des longueurs des deux autres côtés et de l angle entre ces côtés. La formule de l aire précise ce lien : Propriété 9.. Avec les conventions de notations vues plus haut : S= bc sin Â= ac sin B = ab sinĉ Preuve. Deux situations sont à considérer : Situation (triangle acutangle) C C Situation (triangle obtusangle) A H B H A B L aire du triangle est donnée par : S= ABC H. Or C H = AC sin  (situation ) ou C H = AC sin ( π  ) = AC sin  (situation ). Dans les deux cas, S= AB AC sin Â= bc sin Â. En permutant, on obtient les deux autres égalités. 9.3 Formule des sinus Dans le dernier cas d isométrie, lorsqu on connaît la longueur d un côté et les mesures des angles qui lui sont adjacents, la longueur des deux autres côtés est fixe et dépend de cette longueur et de ces angles. La formule des sinus précise ce lien : Propriété 9.3. Avec les conventions de notation vues plus haut : a sin  = b sin B = c sinĉ Preuve. D après ce qui précède, on a : S= bc sin Â= ac sin B = ab sinĉ. S En multipliant par abc, on obtient abc = sin  a = sin B b = sinĉ c. Le triangle étant non aplati, les angles sont non nuls et les sinus de ces angles aussi, on peut donc inverser ces quotients : abc S = a sin  = b sin B = c sinĉ Exemple 9.. Soit ABC un triangle tel que c = AB = 5 cm,  = 40 et B = 30. a Alors Ĉ = = 0 et, comme sin  = b sin B = c a, on obtient sinĉ sin40 = b sin30 = 5 sin0 puis a 3,4 cm et b,66 cm. 56 David Robert

69 Première S Formule de HÉRON 9.4 Formule de HÉRON Propriété 9.4. Avec les conventions de notations vues plus haut et en notant p le demi-périmètre du triangle (p = a+ b+ c), on a : S= p(p a)(p b)(p c) On l admettra. 9.5 Exercices Exercice 9.. ABC est un triangle tel que a=, b= 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l aire S de ABC Exercice 9.. ABC est un triangle tel que b= 3, c = 8 et Â= 60. Calculer la valeur exacte de a ainsi que les mesures de B et Ĉ (en degrés à 0 près). Exercice 9.3. ABC est un triangle tel que b= 6, Â= 05 et Ĉ = 45. Calculer les valeurs exactes de a et c. Exercice 9.4. ABC est un triangle tel que BC = 4, B = π 4 rad et Ĉ = π 3 rad.. Montrer que sin Â= Calculer les valeurs exactes de AB et AC. 3. Calculer la valeur exacte de l aire de ABC Exercice 9.5. ABC est un triangle tel que S= 5 cm, c = AB = 3 cm et b=ac = cm. Calculer la (ou les) longueur(s) possible(s) du troisième côté a= BC. Exercice 9.6. ABC est un triangle tel que AB = 7, AC = 4 et Â= 60.. Calculer la valeur exacte de BC.. Calculer la valeur exacte de sin B. Exercice 9.7. ABC est un triangle. Démontrer que b c a b+ c. Exercice 9.8. ABC D est un quadrilatère convexe. On note θ l angle entre ses deux diagonales (AC ) et (BD). Démontrer que l aire S du quadrilatère ABC D est donnée par : A θ D B S= AC BD sinθ C Exercice 9.9. Un promeneur marche 5 km en direction de l Est, puis km en direction du Nord-Est. Surpris par le mauvais temps, il retourne directement à son point de départ en courant. Sur quelle distance d a-t-il couru? (On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à 0 m). Exercice 9.0. Montrer que : ABC est un triangle rectangle en A sin Â= sin B+ sin Ĉ David Robert 57

70

71 Chapitre 0 Trigonométrie Sommaire 0. Rappels D autres formules Exercices Des démonstrations nécessitent d avoir traité le chapitre 7 sur le produit scalaire. 0. Rappels On a déjà vu, en Seconde et lors du chapitre 6 sur les angles orientés, les propriétés suivantes : cos x+ sin x = x 0 sin x 0 cos x π 6 3 π 4 π 3 3 π 0 cos ( π + x) = sin x sin ( π + x) = cos x cos ( π x) = sin x sin ( π x) = cos x cos(π x)= cos x sin(π x)=sin x π x π + x π x x cos(π+ x)= cos x sin(π+ x)= sin x π+ x x cos x = cos x sin x = sin x 59

72 0. D autres formules Première S D autres formules 0.. Formules d addition Propriété 0.. Pour tous réels a et b on a : cos(a b)=cos a cosb+ sin a sinb cos(a+ b)=cos a cosb sin a sinb sin(a b)=sin a cosb cos a sinb sin(a+ b)=sin a cosb+ cos a sinb 0.. Formules de duplication Propriété 0.. Pour tout réel a on a : cos(a)=cos a sin a sin(a)=sin a cosb 0..3 Formules de linéarisation Propriété 0.3. Pour tout réel a on a : cos a= +cos(a) sin a= cos(a) 0..4 Démonstrations des formules Le point de départ de toutes les formules Étudions la quantité cos(a b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé ( O; ı, j ) considérons deux vecteurs u et v unitaires (c est-à-dire de norme ) et tels que ( ı ; u ) = a et ( ı ; v ) = b (voir le schéma). v j u b O a ı On sait que ( u ; ) ( v = u ; ) ( ı + ı ; ) v = b a. Or on a u. v = u v cos ( u ; ) v = cos(b a) donc u. v = cos(b a)=cos(a b) car cos x = cos( x). On sait aussi que u = ( cos a sin a ) et v = ( cosb sinb Et donc u. v = cos a cosb+ sin a sinb. Ce qui nous donne la première formule de trigonométrie : De celle-ci on va déduire toutes les autres. Les autres formules d addition On a démontré que cos(a b)=cos a cosb+ sin a sinb. Montrons que cos(a+ b)=cos a cosb sin a sinb : ). cos(a b)=cos a cosb+ sin a sinb cos(a+ b)=cos(a ( b)) Montrons que sin(a b)=sin a cosb cos a sinb : = cos a cos( b)+sin a sin( b) = cos a cosb sin a sinb 60 David Robert

73 Première S ( π ) ( π ) sin(a b)=cos (a b) = cos a+ b) ( π ) ( π ) = cos a cosb sin a sinb = sin a cosb cos a sinb 0.3 Exercices Montrons que sin(a+ b)=sin a cosb+ cos a sinb : sin(a+ b)=sin(a ( b)) = sin a cos( b) cos a sin( b) = sin a cosb+ cos a sinb Les formules de duplication Montrons que cos(a)=cos a sin a : Montrons que sin(a) = sin a cosb : cos(a)=cos(a+ a)=cos a cos a sin a sin a= cos a sin a sin(a)=sin(a+ a)=sin a cos a+ cos a sin a= sin a cosb Les formules de linéarisation Montrons que cos a= +cos(a) : donc Montrons que sin a= cos(a) cos(a)=cos a sin a= cos a ( cos a)=cos a cos(a)=cos a +cos(a)=cos a : +cos(a) = cos a cos(a)=cos a sin a= ( sin a) sin a= sin a donc cos(a)= sin a cos(a) = sin a cos(a) = sin a sin a= cos(a) 0.3 Exercices Exercice 0.. Montrer que, pour tous réels a et b : sin(a+ b)sin(a b)=sin a sin b Exercice 0.. En utilisant les formules d addition, calculer la valeur exacte de sin 7π 7π et cos. On pourra utiliser l égalité 7π = π 4 + π 3. Exercice 0.3. Montrer que, pour tout réel x : cos 4 x sin 4 x = cos(x) Exercice 0.4. Montrer que, pour tout réel x différent de k π sin3x, où k Z : sin x cos3x cos x = Exercice 0.5. Résoudre dans R les équations suivantes : sin 3 x 7sin x+ 7sin x+ 8=0 ; cos 3 x 7cos x+ 3=0 ; sin 3 x+ cos x 5sin x 3=0. David Robert 6

74 0.3 Exercices Première S Exercice 0.6. Dans cet exercice, on dipose de la donnée suivante : tan π 8 =. On rappelle que tan x = sin x { π } cos x pour tout x D = R + kπ où k Z.. Démontrer que pour tout x D : tan(π+ x)=tan x. En déduire la valeur exacte de tan 9π 8.. Démontrer que pour tout x D : +tan x = cos x. En déduire la valeur exacte de cos π 8 puis de sin π Calculer la valeur exacte de cos 5π 8. Exercice 0.7. Dans cet exercice, on dipose de la donnée suivante : tan π = 3.. Soit x ] 0; π [ (. Démontrer que tan π x) = tan x.. En déduire que tan 5π = + 3. Exercice 0.8. Dans cet exercice on donne : cos π 5 = + 5. Calculer la valeur exacte de cos π 4 5 puis de cos 3π 5 Exercice 0.9. Démontrer que, pour tout x ] 0; π [ cos(x) : tan x =. En déduire les valeurs exactes de tan π sin(x) 8 et tan π. Exercice 0.0. ABC est un triangle non rectangle. tan A+ tanb. Démontrer que tan(a+ B)= tan A tanb.. Démontrer que tan(a + B) = tanc. 3. En déduire la relation : tan A + tanb + tanc = tan A tanb tanc 6 David Robert

75 Chapitre Coordonnées polaires Sommaire. Coordonnées polaires Courbe en coordonnées polaires Exercices Ce chapitre fait appel à la notion d angle de vecteurs, traitée dans le chapitre 6 et nécessite quelques outils de trigonométrie du même chapitre ou rappelés dans le chapitre 0. De plus certaines démonstrations font appel au produit salaire traité dans le chapitre 7.. Coordonnées polaires.. Activité Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal et orienté.. (a) Placer dans le plan les points A, A, A 3 et A 4 de coordonnées respectives (; ), ( ; 3 ), ( 3; ) et (4; 4). ( (b) Pour tout i variant de à 4, déterminer OA i et ı ; OAi ).. (a) Placer dans ce même repère les points B, B, B 3, B 4, B 5 et B 6 sachant que : ( OB = 3 et ı ; OB )= π ( ; OB 3 = et ı ; OB3 )= π ( ( 4 OB = et ı ; OB )=π ; OB 5 = et ı ; OB5 )= π ( ; OB 4 = 3 et ı ; OB4 )= 5π 3 ; ; OB 6 = 0. (b) Pour tout i variant de à 6, déterminer les coordonnées de B i... Définitions Définition.. Le plan est muni d un point O et d un vecteur ı. Les coordonnées polaires d un point M du plan distinct sont les réels ρ et θ tels que : { ρ= OM si M O, ( θ= ı ) si M = O, ρ= 0 et θ quelconque. ; OM On note alors M[ρ ; θ] ou M(ρ ; θ) s il n y a pas de risque de confusion avec un système de coordonnées cartésiennes. ρ M Remarques. Si chaque couple [ρ ; θ] définit bien un unique point, un point a plusieurs coordonnées polaires possibles : M = [ρ ; θ]=[ρ ; θ+ π]= etc. O est appelé le pôle du repère et la droite ( O ; ı ) l axe polaire. O ı θ 63

76 . Courbe en coordonnées polaires Première S Lien entre coordonnées polaires et cartésiennes Propriété (.. Le plan est muni d un repère cartésien y = ρ sinθ ) O; ı, j orthonormal et orienté dans le sens direct et du repère polaire ( O; ı ). On note (x ; y) et [ρ ; θ] les coordonnées, respectivement cartésiennes et polaires de M. Alors on a : ρ= x + y j { x θ x = ρ cosθ cosθ= si ρ 0 et y = ρ sinθ x + y O ı y sinθ= x + y si ρ 0 ρ= x + y M x = ρ cosθ Preuve. On sait que x = ı. OM = ı On sait que y = j. OM = j OM cos x + y = (ρ cosθ) + (ρ sinθ) = ρ (cos θ+ sin θ)=ρ. ( OM cos ı ( ; OM )=OM cos ı ; OM )=ρ cosθ. ( j ( ( j ; OM )=OM cos ; ) ( ı + ı ; OM ))=ρ cos Enfin comme x = ρ cosθ et y = ρ sinθ, si ρ 0, cosθ= x ρ et sinθ= y ρ. ( θ π ) = ρ sinθ.. Courbe en coordonnées polaires Cette partie est hors programme, mais tellement jolie..... Activité Le plan est muni d un repère cartésien ( O; ı, j ) orthonormal et orienté dans le sens direct et du repère polaire ( O; ı ). On s intéresse à l ensemble C des points [ρ ; θ] du plan vérifiant ρ= ρ(θ)=3cosθ.. Montrer que ρ(θ + π) = ρ(θ). On étudiera la fonction ρ(θ) que sur l intervalle [0; π].. Résoudre sur [0; π] l équation 3cosθ= 0. Que peut-on en déduire pour l ensemble C? 3. Compléter les tableaux de valeurs ci-dessous : θ 0 ρ x y π 6 π 4 π 3 π π 3 3π 4 5π 6 π θ π 6 π 4 π 3 π π 3 3π 4 5π 6 ρ x y 4. Placer les points dans le repère page ci-contre et extrapoler l allure de C à partir des points placés. Remarque. Par convention [ρ ; θ] = [ ρ ; θ + π]... Définition Définition.. Le plan est muni d un repère cartésien ( O; ı, j ) orthonormal et orienté dans le sens direct et du repère polaire ( O; ı ). Une courbe C définie en coordonnées polaires par ρ = f (θ) = ρ(θ) sur un ensemble D est l ensemble des points M dont les coordonnées polaires vérifient [ ρ(θ); θ ] avec θ D. Remarques. Les coordonnées cartésiennes vérifient alors ( ρ(θ)cosθ ; ρ(θ)sinθ ). En général la fonction ρ est périodique et son étude peut se limiter à un intervalle [0; k] où k est un multiple de la période et de π. 64 David Robert

77 Première S Exercices FIG.. Repère de l activité.. y 3 j 3 O ı 3 x 3..3 Quelques équations de figures usuelles en coordonnées polaires Figure Droite passant par l origine Droite ne passant pas par l origine Équation polaire θ est constant et ρ décrit R avec (α; β) (0; 0) αcosθ+ βsinθ ρ= r et θ décrit au mons un intervalle d amplitude π Cercle de centre O et de rayon r Cercle de centre A[ρ 0 ; θ 0 ] passant par l origine ρ= ρ 0 cos(θ θ 0 ) Cercle de centre A[ρ 0 ; θ 0 ] ρ ρ 0 ρ cos(θ θ 0 )+ρ 0 = r.3 Exercices Dans tous les exercices, le plan est muni d un repère cartésien ( O; ı, j ) orthonormal et orienté dans le sens direct et du repère polaire ( O; ı ). Exercice... Placer les points au fur et à mesure dans le repère page suivante.. Déterminer les coordonnées polaires des points suivants : A( 3; ) ; B(; 3) ; C ( 3; 3) ; D(0; 4) ; E(3; 3 3) ; F ( ; 0) ; 3. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points suivants : David Robert 65

78 .3 Exercices Première S [ G ; π ] [ ; H [; π] ; 6 I ; 3π ] [ ; J ; π ] [ ; 4 K 3; π ] [ ; L 4; π ] ; 3 3 FIG.. Repère de l exercice. y j O ı x Exercice.. On considère un point A de coordonnées polaires [ρ ; θ]. Soit B tel que OAB est un triangle équilatéral direct. Déterminer les coordonnées cartésiennes de B. Exercice.3. On considère les points : A(4; 0) et B ( ; ).. Faire une figure que l on complétera au fur et à mesure.. Déterminer les coordonnées polaires des points A et B. Que peut-on en déduire pour le triangle BOA? 3. Calculer les coordonnées cartésiennes du point I milieu du segment [AB]. 4. Calculer la longueur OI et une mesure de l angle 5. Déduire des question 3 et 4 que : cos 3π 8 = Exercice.4. On considère le point M de coordonnées M ( 3; ).. Faire une figure que l on complétera au fur et à mesure.. Déterminer les coordonnées polaires de M. ( OA ; OI ). En déduire les coordonnées polaires du point I. et que sin 3π 8 = + 3. On considère le point N tel que ON = ( OM et OM ; ON )= 3π. Déterminer les coordonnées polaires de N En utilisant les formules d addition, calculer cos π π et sin. En déduire les coordonnées cartésiennes de N. 5. Montrer que la distance M N est égale à 5+ ( et donner une valeur approchée à 0 près par défaut de MO ; M N ). 66 David Robert

79 Première S Exercices Exercice.5. Représenter dans le repère de la présente page les courbes d équations polaires : ρ= ; ρ= sinθ ; ρ= cos(θ+ ). FIG..3 Repère de l exercice.5 y j O ı x Exercice.6. À l aide de la calculatrice, représenter les courbes d équations polaires : ρ = aθ en faisant varier a (spirales d ARCHIMÈDE) ; ρ= p cosθ sin θ ; ρ = a cosθ en faisant varier a (lemniscates de BERNOUILLI) ; ρ = a cosθ+ b en faisant varier a et b (limaçons de PASCAL) ; ρ=a(+cosθ) (cardioïdes) ; ρ=a sinbθ en faisant varier a et b. David Robert 67

80

81 Troisième partie Analyse : fonctions 69

82

83 Chapitre Généralités sur les fonctions Sommaire. Rappels sur la notion de fonction Comparaison de fonctions Opérations sur les fonctions Variations d une fonction Éléments de symétrie d une courbe Exercices Rappels sur la notion de fonction.. Définition, vocabulaire et notations Soit D un intervalle ou une réunion d intervalles de R. Définition.. Définir une fonction f sur un ensemble D, c est associer, à chaque réel x D, au plus un réel noté f (x). On dit que f (x) est l image de x par f et que x est un antécédent de f (x). Remarque. f désigne la fonction, f (x) désigne le réel qui est l image de x par f. On note : f : D R x f (x) et on lit «f, la fonction de D dans R qui à x associe f (x)»... Ensemble de définition Définition.. L ensemble des réels possédant une image par une fonction est appelé ensemble de définition de la fonction. On le note en général D f. On le détermine par le calcul. À notre niveau les seuls problèmes de définition portent sur les fonctions comportant la variable x au dénominateur ou sous une racine. Exemples... f : x x+ n est définie que lorsque x+ 0 x donc D f = [ ;+ [.. g : x x 3 n est pas définie quand x 3=0 x = 3 donc D g = R\ { 3 }...3 Courbe représentative Définition.3. Dans un repère, l ensemble des points M de coordonnées ( x ; f (x) ) où x décrit D f est appelé courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f. On la note en général C f. On dit que la courbe C f a pour équation y = f (x). On veillera à ne pas confondre la fonction et sa représentation graphique. 7

84 . Comparaison de fonctions Première S Parité Fonction paire Définition.4. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est paire si : I est centré en 0 ; pour tout x I, f ( x)= f (x). Propriété.. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Exemple.. Les fonctions carrée, valeur absolue et cosinus sont paires. Fonction impaire Définition.5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est impaire si : I est centré en 0 ; pour tout x I, f ( x)= f (x). Propriété.. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine du repère. Exemple.3. Les fonctions cube, inverse et sinus sont impaires. Remarque. Les démonstrations de ces propriétés sont du programe de la Seconde...5 Périodicité Définition.6. Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est périodique s il existe un réel t tel que, pour tout x appartenant à D : x+ t D ; f (x+ t)= f (x). On appelle période T de f le plus petit des réels t positifs. Exemples.4. Les fonctions cosinus, sinus sont périodiques et de période π. La fonction tangente est périodique et de période π.. Comparaison de fonctions.. Égalité de deux fonctions Définition.7. Soit f et g deux fonctions. On dit que f et g sont égales si : f et g ont même ensemble de définition D ; pour tout x D, f (x)= g (x). On note alors f = g. Exemples.5.. Soit f, g et h définies sur R par, respectivement : f (x)= x, g (x)= x et h(x)= x On a f = g sur R ; f ( )= h( )= donc elles ne sont pas égales sur R (seulement sur R + ) ; de même pour g et h. (x 5)(x+ ). Soit f définie que R {5} par f (x)= et g définie sur R par g (x)= x+ x 5 f et g ne sont pas égales car f n est pas définie sur R mais f = g sur R {5}.. Comparaison de deux fonctions Cas général Définition.8. Soit D une partie de R et f et g deux fonctions définies au moins sur D. On dit que f est inférieure à g sur D lorsque f (x) g (x) pour tout x D. On note f g sur D. Remarque. On dit parfois que f est majorée par g sur D ou que g est minorée par f sur D. 7 David Robert

85 Première S Opérations sur les fonctions Exemple.6. Soit f et g définies sur R par f (x)= x et g (x)= x. Pour comparer f (x) et g (x) selon les valeurs de x, il est pratique d étudier le signe de f (x) g (x)=x x = x( x). Ainsi on a : Donc : x 0 + signe de x signe de x signe de f (x) g (x) quand x ] ; 0] [;+ [, f (x) g (x) 0 f (x) g (x), donc sur ] ; 0] [;+ [ f g ; sur [0; ] f g. Les conséquences graphiques sont les suivantes : Propriété.3. Soient f et g deux fonctions définies au moins sur D, C f et C g leurs courbes respectives. Alors si f g sur D, C f est au-dessous de C g. Preuve. Immédiat. Exemple.7. Dans l exemple précédent C f est au-dessous de C g sur ] ; 0] [;+ [ et au-dessus sur [0; ] 4 3 y C g j 3 O ı C f x Cas particulier Fonction majorée, minorée, bornée Dans les cas ou l une des deux fonctions est constante on a : Définition.9. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que : f est minorée sur I s il existe un réel m tel que, pour tout x I, f (x) m. m est un minorant de f sur I ; f est majorée sur I s il existe un réel M tel que, pour tout x I, f (x) M. M est un majorant de f sur I ; f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I. La représentation graphique de f est alors : au-dessus de la droite d équation y = m si elle est minorée par m ; au-dessous de la droite d équation y = M si elle est majorée par M ; dans une bande horizontale délimitée par les droites d équation y = m et y = M si elle est bornée par m et M..3 Opérations sur les fonctions.3. Opérations algébriques sur les fonctions De la même manière qu on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des nombres, on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des fonctions. David Robert 73

86 .4 Variations d une fonction Première S Définition.0. Soit f et g deux fonctions définies au moins sur D et k un réel. Le tableau suivant regroupe les opérations sur les fonctions f et g : Opération Notation Définition Définie pour Somme de la fonction f et du réel k f + k (f + k)(x)= f (x)+k Produit de la fonction f et du réel k k f (k f )(x) = k f (x) x D f Somme des fonctions f et g f + g (f + g )(x)= f (x)+ g (x) Différence des fonctions f et g f g (f g )(x)= f (x) g (x) x D f D g Produit des fonctions f et g f g (f g )(x)= f (x) g (x) ( ) f f Quotient des fonctions f et g (x)= f (x) x D f D g et g (x) 0 g g g (x).3. Fonctions associées Définition.. Soit f une fonction définie sur D et k un réel. On appelle fonctions associées à f les fonctions : x f (x)+k x f (x+ k) x k f (x) Remarque. Ces fonctions ne sont en général pas définies sur le même ensemble de définition que f. Propriété.4. Soit f une fonction définie sur D et k un réel. La courbe de f + k s obtient à partir de celle de f par une translation de vecteur u(0;k) La courbe de x f (x+ k) s obtient à partir de celle de f par une translation de vecteur u( k;0) Dans un repère orthogonal, la courbe de f s obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l axe des abscisses On l admettra..3.3 Composition des fonctions Soient f une fonction dont l ensemble de définition est D f et g une fonction dont l ensemble de définition est D g. Définition.. Si, pour tout x D f, f (x) D g, alors la composée de f et de g est définie par g ( f (x) ) et on la note g f. Ainsi (g f )(x)= g ( f (x) ). Exemples.8.. Si f et g sont deux fonctions définies (sur R) par f (x)= x+ et g (x)= x, alors on a : (g f )(x)= g (f (x))=(f (x)) =(x+ ) = x + x. Si f et g sont deux fonctions définies par : f (x)= x+ (D f = R) et g (x)= x (D g = R ), alors on a, pour x+ 0, (g f )(x)= g (f (x))= f (x) = x+ Dans ce deuxième exemple, l ensemble de définition de g f (ici R { }) est différent de ceux de f et g..4 Variations d une fonction.4. Rappels Définition.3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a< b, alors f (a) f (b) ; f est décroissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a< b, alors f (a) f (b) ; f est monotone sur I si f ne change pas de sens de variation sur I. Remarque. On obtient les définitions de strictement croissante ou décroissante en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes. 74 David Robert

87 Première S Variations d une fonction FIG.. Graphique de l activité. y j O ı 3 4 x.4. Variations de f + g Activité... Tracer sur le graphique. de la présente page la courbe représentant la fonction f, somme des deux fonctions déjà représentées.. Donner, par lecture graphique, les variations de la fonction f. 3. Y a-t-il un lien entre les variations des deux fonctions représentées et celles de f? Propriété.5. Soit deux fonctions f et g définies au moins sur un ensemble D. Si f et g sont deux fonctions croissantes sur D, alors la fonction f + g est croissante sur D. Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors la fonction f + g est décroissante sur D. Preuve. Voir l exercice Variations de f + k Propriété.6. Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et k un réel. Les fonctions f et f + k ont même sens de variation sur I. Preuve. Si f est croissante et a< b, alors f (a) f (b). Donc f (a)+k f (b)+k donc f + k est aussi croissante. On démontre de la même manière si f est décroissante. Exemple.9. La fonction f : x x + a les mêmes variations que la fonction carrée..4.4 Variations de k f Propriété.7. Soit f une fonction définie et monotone sur D. Si k > 0 alors les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D. Si k < 0 alors les fonctions f et k f ont des sens de variation opposés sur D. Preuve. Voir l exercice Variations de g f Théorème.8 (Sens de variation de g f ). Soient f une fonction définie sur un ensemble I et g définie sur un ensemble J telles que pour tout x I, f (x) J. Le tableau ci-dessous donne les variations de g f : g croissante g décroissante f croisssante g f croissante g f décroissante f décroissante g f décroissante g f croissante David Robert 75

88 .5 Éléments de symétrie d une courbe Première S Preuve. Nous ne ferons la preuve que pour f croissante et g décroissante, les autres étant quasiment identiques. Soient a et b, éléments de I, tels que a< b. f étant croissante, on a donc f (a) f (b). On a donc f (a) et f (b), éléments de f (I ), tels que f (a) f (b). g étant décroissante sur f (I ), on a donc g ( f (a) ) g ( f (b) ), c est-à-dire que (g f )(a) (g f )(b). Donc g f décroissante sur I. Exemple.0. Étudier le sens de variation de la fonction h définie par : h(x)= + x. On décompose h de la façon suivante : h= g f où f (x)=+ x et g (x)= x. La fonction f est décroissante sur R et la fonction g est croissante sur f (R )=];+ [, donc h est décroissante sur R. La fonction f est croissante sur R + et la fonction g est croissante sur f (R + )=];+ [, donc h est croissante sur R +. Voir les courbes de la figure. de la présente page. Exemple.. Étudier le sens de variation de la fonction h définie par : h(x)= x Notons que l ensemble de définition de h est ] ;], donc l étude des variations de h se fera sur ] ;]. On décompose h de la façon suivante : h= g f où f (x)= x et g (x)= x. La fonction f est toujours décroissante (c est une fonction affine de coefficient directeur négatif). De plus, l image de l intervalle ] ;] par f est R + et la fonction g est croissante sur R +. Donc h est décroissante sur ] ;]. Voir les courbes de la figure.3 de la présente page. FIG.. Courbes de l exemple.0 y FIG..3 Courbes de l exemple. y C f C f C h C g 3 C h j j 4 3 O ı C g 3 x 4 3 O ı 3 x.5 Éléments de symétrie d une courbe Propriété.9. Soit C la courbe représentative dans un repère orthogonal d une fonction f définie sur D. La droite d équation x = a est axe de symétrie de C si et seulement si, pour tout h tel que (a+ h) D, (a h) D et f (a+ h)= f (a h) On l admettra. Le point Ω(a;b) est centre de symétrie de C si et seulement si, pour tout h tel que (a+ h) D, (a h) D et f (a+h)+f (a h) = b Remarque. Cette propriété traduit en terme de coordonnées les symétries axiales et centrales, comme l illustrent les schémas page ci-contre. Ainsi : Symétrie axiale (figure.4 page suivante) : M et M étant symétriques par rapport à, elle-même orthogonale aux axes, ils ont même ordonnée et des abscisses symétriques par rapport à a : (a+ h)+(a h) = a f (a+ h)= f (a h) ; Symétrie centrale (figure.5 page ci-contre) : Ω étant centre de symétrie, il est le milieu du segment [M M ], donc leurs abscisses sont symétriques par rapport à a et leurs ordonnées, symétriques par rapport à b : (a+ h)+(a h) f (a+ h)+ f (a h) = a = b. 76 David Robert

89 Première S FIG..4 Courbe présentant un axe de symétrie y M M.6 Exercices FIG..5 Courbe présentant un centre de symétrie y f (a+ h) Ω b M f (a h) M j O ı a h a a+ h x a h j O ı a a+ h x.6 Exercices Exercice.. Soit f définie sur R par f (x)= x( x). En étudiant le signe de 4 f (x), montrer que f est majorée sur R par 4. Exercice.. Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x)= et g (x)= + x4 + x. Calculer f (x) g (x). (On réduira au même dénominateur.). En déduire l intervalle sur lequel on a f g. Exercice.3. On considère les fonctions f définie par f (x)= x sur R ; g définie par g (x) = x sur Donner une formule explicite pour ] ; ] ; h définie par h(x)= x sur R.. f g et pour g f ;. f h et pour h f. Exercice.4. Soit f et g les fonctions définies sur R par f (x)=x et g (x)=4x 3 3x. Démontrer que f g = g f. Exercice.5 (Preuve de la propriété.5).. Montrer que si a et b sont deux nombres de D tels que a < b et que f et g sont croissantes sur D, alors (f + g )(a) (f + g )(b). Conclure.. Que faut-il changer dans les conditions initiales pour qu on puisse en déduire que f +g est strictement croissante? 3. Mêmes questions lorsque f et g sont décroissantes sur D. Exercice.6 (Preuve de la propriété.7). Montrer que si a et b sont deux nombres de D tels que a< b alors k f (a) kf (b). Conclure. si f croissante sur D et si k < 0 Exercice.7. Donner une décomposition de la fonction f définie par f (x)=(x 3) + qui permette d en déduire son sens de variation sur l intervalle ] ;3] Exercice.8. Soit f, g, h, k, l les fonctions définies par : f (x)= x pour x R + g (x)=3+ x pour x R + h(x)= x+ 4 pour x [ 4;+ [ k(x)= x pour x R + l(x)=4 x pour x R +. Dans le repère page suivante, où la courbe représentative de f est déjà tracée, tracer la courbe représentative de g.. Décrire la transformation permettant de passer de la courbe de f à celle de g en précisant ses caractéristiques si cette transformation est une transformation usuelle (symétrie, etc.). David Robert 77

90 .6 Exercices Première S FIG..6 Repère de l exercice.8 y 4 3 j O ı 3 4 x Mêmes questions pour les autres fonctions. Exercice.9.. On considère la fonction g définie par : g (x)= 4 x+. À partir du tableau de variations de la fonction inverse, déduire, en justifiant, le tableau de variations de g et son ensemble de définition.. On considère la fonction f définie sur ] ; [ ] ;+ [ par : f (x)= x + x 3. x+ Déterminer les réels a, b et c tels que f (x)= ax+ b+ c x+ 3. À l aide des questions précédentes, déterminer les variations de la fonction f. 4. On appelle C la représentation graphique de f dans le repère page ci-contre. (a) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C avec chacun des axes du repère. (b) Montrer que le point A( ;0) est centre de symétrie de C. (c) Placer les points trouvés aux questions précédentes dans le repère fourni en annexe page suivante et tracer soigneusement C. 78 David Robert

91 Première S Exercices FIG..7 Repère de l exercice.9 y j O ı x David Robert 79

92

93 Chapitre 3 Second degré Sommaire 3. Activités Trinôme Fonction trinôme Bilan Exercices et problèmes Activités Activité 3.. On appelle C f la parabole représentant la fonction carré : x x dans un repère ( O; ı, j ). On transforme la parabole C f par la translation de vecteur u= ı 3 j. On obtient une nouvelle courbe C g. Déterminer, avec ce que vous savez sur les fonctions associées, la fonction g dont la courbe C g est la courbe représentative. Tracer C f et C g. Activité 3.. Soit la fonction définie sur R par h(x)= x + 6x+ 5. On appelle C h sa courbe représentative.. Montrer que h(x)=(x+ 3) En déduire une transformation qui permet de passer de la courbe de la fonction carré f : x x à C h. 3. En déduire le tableau des variations de h et son extremum. 4. En déduire la (ou les) valeur(s) de x telle(s) que h(x)=0, si il y en a. 5. Représenter C h sur le repère précédent. Plus généralement : Propriété. Toute fonction de type f (x)=ax + bx+ c où a, b et c sont des réels avec a 0 peut s écrire sous la forme f (x)=α(x+ β) + γ où α, β et γ sont des réels. Cette forme est appelée forme canonique. Elle sera démontrée plus tard. Activité Soit g (x)=x x et f (x)=x (a) Mettre g sous forme canonique. (b) En déduire la transformation qui permet de passer de la courbe de f à celle de g. (c) En déduire les variations de k et son extremum. (d) En déduire la (ou les) valeur(s) de x telle(s) que g (x)=0, si il y en a. (e) En déduire le signe de g (x) selon les valeurs de x.. Mêmes questions avec g (x)= x + x 4 et f (x)= x. 3. Mêmes questions avec g (x)=4x + 4x+ et f (x)=4x. 4. Mêmes questions avec g (x)= ax + bx+ c et f (x)= ax. 8

94 3. Trinôme Première S Trinôme 3.. Définition, forme développée Définition 3.. On appelle trinôme toute expression qui peut s écrire sous la forme ax +bx+c où a, b et c sont des réels et a 0. Cette forme s appelle la forme développée du trinôme. 3.. Forme canonique Théorème 3.. Tout trinôme ax + bx+ c peut s écrire sous la forme α(x+ β) + γ où α, β et γ sont des réels. Cette forme s appelle la forme canonique du trinôme. Preuve. ( ax + bx+ c = a x + b a x+ c ) car a 0 a (( = a x+ b ) b a 4a + c ) (( = a x+ b a a ) b 4ac 4a ) ( = a x+ b ) ( a b 4ac a 4a = a x+ b ) b 4ac a 4a En posant α= a, β= b a et γ= b 4ac 4a on obtient le résultat. Remarque. Pour alléger les écritures, et parce que cette quantité aura un rôle important plus tard, on notera : =b 4ac. La forme canonique devient alors : 3..3 Racines et discriminant ax + bx+ c = a ( x+ b ) a 4a Définitions 3.. Soit un trinôme ax + bx+ c. On appelle : racine du trinôme tout réel solution de l équation ax + bx+ c = 0 ; discriminant du trinôme, noté, le nombre =b 4ac. avec =b 4ac Propriété 3.. Soit ax + bx+ c un trinôme et =b 4ac son discrimant. Si <0, alors le trinôme n a pas de racine. Si =0, alors le trinôme a une unique racine : x 0 = b a. Si >0, alors le trinôme a deux racines : x = b+ a et x = b a Remarques. Le signe de permet discriminer les équations de type ax + bx+ c = 0 qui ont zéro, une ou deux solutions, c est la raison pour laquelle on l appelle le discriminant. Si Del t a = 0 les formules permettant d obtenir x et x donnent x = x 0 et x = x 0 ; pour cette raison, on appelle parfois x 0 la racine double du trinôme. ( ( ) ) ( ) Preuve. On a vu que ax + bx+ c = a x+ b a donc (E ) : ax + bx+ c = 0 x+ b 4a a = 0 4a Si > 0 alors ax + bx + c est égal à la somme de deux quantités positives (la seconde strictement) donc 4a ax + bx+ c > 0 et (E ) n a pas de solution. Or > 0 < 0 <0. ( ) 4a 4a ( ) = Si = 0 alors ax +bx+c = a x+ b 4a a donc ax +bx+c = 0 x+ b a 0 x+ b b a = 0 x = a. (E ) a une unique solution. Or = 0 =0. 4a Si < 0 alors ax + bx+ c est de la forme a(a B ) donc : 4a ( ) ( )( ) ax + bx+ c = 0 (A B )=0 x+ b a = 0 x+ b 4a a + x+ b 4a a 4a donc deux solutions :. x = b a 4a = b a 4a = b a a. Donc, si a> 0, x = b a et, si a< 0, x = b+ a. Discriminer. v. tr. Faire la discrimination, c est-à-dire l action de distinguer l un de l autre deux objets, ici des équations 8 David Robert

95 Première S Fonction trinôme. x = b a + 4a = b a + 4a = b a + a. Donc,si a> 0, x = b+ a et, si a< 0, x = b a. Donc, dans tous les cas, E a deux solutions qui sont x = b+ a et x = b a. Or < 0 > 0 >0. 4a 4a 3..4 Forme factorisée, signe d un trinôme Propriété 3.3. Soit ax + bx+ c un trinôme. Si le trinôme a deux racines x et x alors ax + bx+ c = a(x x )(x x ). Si le trinôme a une racine x 0 alors ax + bx+ c = a(x x 0 )(x x 0 )= a(x x 0 ). Si le trinôme n a pas de racine, il n a pas de forme factorisée. Cette écriture, lorsqu elle existe, est appelée forme factorisée du trinôme. Preuve. On a obtenu les formes factorisées dans la démonstration précédente. Propriété 3.4. Soit ax + bx+ c un trinôme. Si le trinôme n a pas de racine, ax + bx+ c est strictement du signe de a pour tout x. Si le trinôme a une racine, ax + bx+ c est strictement du signe de a pour tout x b a Si le trinôme a deux racines x et x, ax + bx+ c est : strictement du signe de a quand x ] ; x [ ]x ;+ [ ; strictement du signe opposé de a quand x ]x ; x [ ; s annule en x et en x. et s annule en b a. On peut aussi énoncer cette propriété de la façon synthétique suivante : Propriété 3.5. Un trinôme ax + bx+ c est du signe de a sauf entre les racines, si elles existent. (( Preuve. On a vu que ax + bx+ c = a x+ b ) ) a 4a ( ) Dans le cas où < 0, x+ b a est la somme de deux quantités positives, la seconde strictement, donc le 4a signe de ax + bx+ c est strictement celui de a. ( ), Dans le cas où =0, ax + bx+ c = a x+ b a donc le signe de ax + bx+ c est celui de a. Plus précisement : il ne s annule qu en x 0 = b a et est sinon strictement du signe de a. Dans le cas où >0, ax + bx+ c = a(x x )(x x ) où x et x sont les racines. En supposant que x < x (sinon il suffit d inverser les racines), le tableau de signe ci-desous donne le résultat. x x x + (x x ) (x x ) 0 + (x x )(x x ) ax + bx+ c = a(x x )(x x ) signe de a 0 signe de a 0 signe de a 3.3 Fonction trinôme 3.3. Définition Définition 3.3. On appelle fonction trinôme une fonction f, définie sur R, qui à x associe f (x) = ax + bx+ c où a 0. David Robert 83

96 3.4 Bilan Première S Sens de variation Propriété 3.6. Soit f (x) = ax + bx+ c une fonction trinôme. Alors f a les variations résumées dans les tableaux ci-dessous : Si a> 0 : Si a< 0 : x b a f x b a 4a + 4a f ( ) Preuve. Comme f (x) = ax + bx + c = a x+ b a 4a, f est une fonction associée à la fonction carrée et, avec les propriétés des fonctions associées, on a les tableaux de variations indiqués. En particulier : si a> 0 les sens de variations de la fonction carrée ne sont pas inversés, si a< 0, ils le sont Courbe représentative Propriété 3.7. La courbe représentative d une fonction ( trinôme ) f (x)= ax + bx+ c est obtenue à partir de celle de la fonction x ax par une translation de vecteur : u b a ; 4a. ( ) Preuve. Comme f (x)= ax + bx+ c = a x+ b a 4a, f est une fonction associée à la fonction x ax et donc... Propriété 3.8. La courbe représentative d une fonction trinôme f (x) = ax + bx+ c admet la droite d équation D d équation x = b a comme axe de symétrie. Preuve. On peut le démontrer de deux façons : ( ) Comme f (x)= ax + bx+ c = a x+ b a 4a, f est une fonction associée à la fonction x ax et que la courbe représentative de cette fonction admet l axe des ordonnées, d équation x = 0 comme axe de symétrie, celle de f admet l image de cet droite comme axe de symétrie par la translation de vecteur u Ou bien : ( f ( b a + h)= a b a + h+ b a f ( b a h)= a ( b a h+ b a ) 4a = ah 4a ) 4a = ah 4a b b donc f ( a + h)= f ( a h). ( b a ; 4a ), c est-à-dire D 3.4 Bilan Un bilan des principales propriétés vous est proposé sous forme de tableau page ci-contre. 3.5 Exercices et problèmes 3.5. Exercices Exercice 3.. Résoudre dans R les équations suivantes : x = 9 ; x = 3 ; (x 5) = 3 ; (x ) + x( x)=4x ; (3x+ 5) = (x+ ) ; (5x 4) (3x+ 7) = 0. Exercice 3.. Résoudre l équation 004x 4 + x 005=0. Exercice 3.3. Soit P la fonction trinôme définie sur R par P(x)= ax + bx+ c avec a 0). Montrer que si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle. La réciproque est-elle vraie? 84 David Robert

97 Première S Exercices et problèmes TAB. 3. Bilan du second degré =b 4ac <0 =0 >0 ax + bx+ c = 0 n a pas de solution dans R ax + bx+ c = 0 a une solution : x 0 = b a ax + bx+ c = 0 a deux solutions x = b a et x = b+ a ax + bx+ c n a pas de racine ax + bx+ c a une racine double ax + bx+ c a deux racines Aucune factorisation ax + bx+ c = a(x x 0 ) ax + bx+ c = a(x x )(x x ) y y y Si a> 0 b x a x O x b a O x O x 0 = b a x Si a< 0 ax + bx+ c > 0 sur R O y b a x ax + bx+ c 0 sur R y x 0 = b a O x ax + bx+ c 0 sur ] ; x ] [x ;+ [ et ax + bx+ c 0 sur [x ; x ] y x x O b a x ax + bx+ c < 0 sur R ax + bx+ c 0 sur R ax + bx+ c 0 sur ] ; x ] [x ;+ [ et ax + bx+ c 0 sur [x ; x ] David Robert 85

98 3.5 Exercices et problèmes Première S Exercice 3.4. Soit P la fonction trinôme définie sur R par P(x)= x + bx+ c admettant deux racines x et x (éventuellement confondues). Exprimer b et c en fonction de x et de x. Exercice 3.5. Résoudre dans R les équations suivantes : 4x x 3=0 ; (t+ ) + 3=0 ; (x+ ) (x+ ) 6=0 ; x x = 0. Exercice 3.6. Résoudre les équations suivantes : x = x = 3. 6x4 5x + =0. Exercice 3.7. On note P(x)= x + 7x 5.. Résoudre l équation : P(x)=0.. Factoriser P(x). 3. Résoudre l inéquation : P(x) 0. Exercice 3.8. Résoudre les équations suivantes : x 5 x = x x+ x x+ x+ = x+ 3 Exercice 3.9. Résoudre l équation : x+ =x 3. Exercice 3.0. Résoudre les inéquations suivantes : x + 7x 5 0 ; x + 9x+ 0 ; (x + x+ ) < 6 ; 3x + x+ x 3x 0 > 0. Exercice 3.. Soit f la fonction polynôme définie sur R par f (x)= x 3 3x + 3x+ 5.. Montrer que x = est racine de ce polynôme.. Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x)=(x+ )(ax + bx+ c). 3. (a) Terminer la factorisation de f (x). (b) Résolvez l inéquation f (x) > 0. Exercice 3.. Déterminer le signe de x + 0x+ 5 x selon les valeurs de x. 7x 3 Exercice 3.3. Soit f la fonction définie sur R par f (x)= 3x +x+. On note C la courbe représentative de f dans un repère ( O; ı, j ).. Précisez la nature de la courbe C et les coordonnées de son sommet S.. Montrer que la courbe C coupe l axe des abscisses en deux points A et B dont on précisera les coordonnées. 3. Pour quelles valeurs de x la courbe C est-elle situé au dessus de l axe des abscisses? Exercice 3.4. On donne le trinôme P défini sur R par : P(x)=4x ( ) x Montrer que P admet pour racine. 4. Trouver l autre racine (valeur exacte). 86 David Robert

99 Première S Exercices et problèmes 3.5. Problèmes Problème 3.. Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540. Problème 3.. ABC D est un rectangle de largeur x et de longueur x (avec 0< x ).. Pour quelle(s) valeur(s) de x l aire du rectangle est-elle égale à 9?. Pour quelle(s) valeur(s) de x l aire du rectangle est-elle maximale? Problème 3.3. Une zone de baignade rectangulaire est délimitée par une corde (agrémentée de bouées) de longueur 50 m. Quelles doivent être les dimensions de la zone pour que la surface soit maximale? zone de baignade plage Problème 3.4. Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC ] et [AB] tels que AD = BE = x. Déterminer x pour que l aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC. Problème 3.5. Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires est 55? Si oui, préciser quelles sont les valeurs que doivent avoir les côtés. Même question avec 57. Problème 3.6. Quelle largeur doit-on donner à la croix pour que son aire soit égale à l aire restante du drapeau? 3 cm x 4 cm Problème 3.7. Pour se rendre d une ville A à une ville B distantes de 95 km, deux cyclistes partent en même temps. L un d eux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4 km/h à celle de l autre, arrive heure plus tôt. Quelles sont les vitesses des deux cyclistes? Problème 3.8. Le montage en dérivation ci-dessous a une résistance de,5 kω. Le montage en série ci-desous a une résistance de 8 kω. Calculer les valeurs des résistances R et R. R R R R Problème 3.9. On appelle format f d un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur l (f = L l ).. Quel est le format d un rectangle de longueur L= 5 cm et de largeur l = cm?. On considère un rectangle ABC D de largeur l = cm et de longueur L= x cm (< x < ). A R D (a) Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ABC D. (b) On découpe dans le rectangle ABC D un carré ABOR. Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ORDC. (c) Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABC D et ORDC aient le même format? 3. On note Φ cette valeur. Déterminer Φ ; Φ(Φ ) et Φ. l B O C x David Robert 87

100

101 Chapitre 4 Nombre dérivé Sommaire 4. Activités Nombre dérivé Interprétation graphique du nombre dérivé Approximation affine d une fonction Exercices Activités Activité 4.. Un corps en chute libre, lâché sans vitesse initiale, parcourt au bout de t secondes la distance d(t) (en mètres) exprimée par : d(t)=5t. Calculer la distance parcourue par le corps en chute libre au bout de 0,,, 3, 4, 5 secondes. Tracer la courbe représentative C de la fonction d sur l intervalle [0;5].. Calculer la vitesse moyenne du corps en chute libre dans les intervalles de temps [0;] ; [;] ; [;3] ; [3;4] ; [4;5]. Que constate-t-on? Comment peut-on retrouver graphiquement ces vitesses moyennes? 3. Inventer une manière d obtenir la vitesse instantanée à l instant t =. Activité 4.. On s intéresse à la parabole P d équation y = x + 5 (voir figure page suivante). On appelle T le point de P d abscisse, T h celui d abscisse +h et d la sécante (T T h ) d équation réduite y = mx+ p.. Déterminer m dans chacun des cas suivants : h= ; h= 0,5 ; h= 0, ; h= 0,0.. Montrer que, dans le cas général, m= h pour h 0 3. Quand h tend vers 0 : (a) Vers quelle valeur tend m? (b) Vers quel point tend M h? (c) Vers quelle droite tend la sécante d? (d) En déduire l équation réduite de cette droite. On appellera tangente à P au point d abscisse, la droite de laquelle se rapproche la sécante d quand h tend vers 0 et on appellera nombre dérivé de f (x) en le coefficient directeur de la tangente. 4. Nombre dérivé Définition. On appelle accroissement moyen d une fonction f entre deux nombres distincts a et b le nombre : f (b) f (a) b a On écrit la plupart du temps a+ h à la place de b et la définition devient alors : 89

102 4.3 Interprétation graphique du nombre dérivé Première S FIG. 4. P d équation y = x + 5 y 5 T Th O +h 3 4 x 5 Définition 4. (Accroissement moyen d une fonction entre a et a +h). On appelle accroissement moyen d une fonction f entre deux nombres distincts a et a+ h le nombre : f (a+ h) f (a) h Les deux définitions sont équivalentes (il suffit de poser b= a+ h). C est la seconde que nous utiliserons pour la suite. f (x) Remarque. On note parfois x ce nombre, surtout en physique. x est la différence entre deux valeurs de x (ou t, quand la variable est t), f (x) celle entre les deux valeurs correspondantes de f (x) (ou f (t), quand la variable est t). Ce nombre correspond à des quantités concrêtes qui dépendent de la nature de la fonction f ou de la variable. Ainsi, si f (t) est la distance parcourue au bout d un temps t, la variation moyenne ne sera rien d autre que la vitesse moyenne. On a vu dans les activités que cet accroissement moyen tendait vers l accroissement «instantané»quand h tendait vers 0. Cet accroissement «instantané»est appelé nombre dérivé en mathématiques, et on a donc la définition suivante : f (a+h) f (a) Définition 4. (Dérivabilité et nombre dérivé). Si, quand h tend vers 0, la quantité h tend vers un nombre A, on dit que la fonction f est dérivable en a et on appelle A le nombre dérivé de f en a. On le note souvent f (a). df (x) Remarque. On note parfois dx ce nombre, surtout en physique. Le d indique là encore une différence ( est la lettre grecque correspondant à D) mais entre deux valeurs infiniment proches. Exemple 4.. La fonction f définie sur R par f (x)= x 3 7 est-elle dérivable en a=? f (+h) f () Pour le savoir étudions la quantité suivante :. h f (+h) f () h = (+h)3 3 h = h+ 6h + h 3 h = +6h+ h avec h 0 = 8+h+ 6h + h 3 8 h = h(+6h+ h ) h Lorsque h tend vers 0 (en restant différent de 0), +6h+ h tend vers. Donc f est dérivable en a= et son nombre dérivé en est. On note alors f ()=. 4.3 Interprétation graphique du nombre dérivé Définition 4.3 (Tangente à une courbe). On appelle tangente à une courbe C en un point M, appartenant à C, une droite passant par M et qui, si elle existe, est aux alentours de M, la droite la plus proche de C. 90 David Robert

103 Première S Approximation affine d une fonction Soit C la courbe représentative de la fonction f et A(a; f (a)) et B(a+ h; f (a+ h)), deux points de cette courbe. La quantité f (a+h) f (a) h est le coefficient directeur de la droite (AB), sécante à la courbe. Lorsque h tend vers 0, la sécante (AB) tend vers la tangente à la courbe au point A et le nombre coefficient directeur de la tangente en A. On a donc la propriété suivante, qu on admettra : Propriété 4.. Soit f une fonction dérivable en a et C la courbe représentative de f. Le nombre dérivé f (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d abscisse a. f (a+h) f (a) h tend vers le Le schéma ci-contre illustre cette propriété. y Rappel : si l équation réduite d une droite est y = mx+ p et qu un point A(x a ; y a ) appartient à cette droite, alors le point B(x a + ; y a + m) appartient aussi à cette droite, ou, dit autrement, «quand on augmente x de, y augmente de m». Dans le cas de la tangente, m= f (a). Remarque. Le point A(a; f (a)) est un point de la courbe et est aussi un point de la tangente ; en particulier, ses coordonnées vérifient l équation de la tangente. f (a) A a f (a) x 4.4 Approximation affine d une fonction L idée de l approximation affine est de trouver une fonction affine qui au voisinage de a serait la plus proche possible de f. On a vu que la tangente à la courbe au point d abscisse a était la droite la plus proche de la courbe au voisinage de a. Or comme toute droite non parallèle à l axe des ordonnées (c est le cas de la tangente), elle est la représentation graphique d une fonction affine. Il est donc «naturel»de choisir comme approximation affine de la courbe au voisinage de a la fonction dont la représentation graphique est la tangente à la courbe au point d abscisse a. On a donc : Définition 4.4. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant a. On appelle approximation affine de f au voisinage de a, la fonction g, telle que : g (x)= f (a)+ f (a)(x a) Propriété. La représentation graphique de g est la tangente à la courbe de f au point d abscisse a Preuve. La tangente est la droite passant A(a; f (a)) et de coefficient directeur f (a) or : g (a)= f (a)+ f (a)(a a)= f (a) donc A(a; f (a)) appartient à la représentation graphique de g. Par ailleurs g (x)= f (a)+ f (a)(x a)= f (a)x+ f (a) a f (a)=mx+ p donc le coefficient directeur de la droite représentant g est f (a) Lorsque x est proche de a la différence entre f (x) et g (x) est petite et g (x) fournit une bonne approximation de la valeur de f (x) tout en étant beaucoup plus facile à calculer. Cette approximation est, dans bien des cas, suffisante et elle est souvent utilisée, en particulier en économie. En posant x = a+ h, on obtient : g (x)= g (a+ h)= f (a)+ f (a)(a+ h a)= f (a)+h f (a). Et on peut écrire : y C f Quand h est proche de 0, f (a+ h) f (a)+h f (a) Le schéma ci-contre illustre cela : ǫ(h) est l erreur commise lorsqu on prend f (a)+h f (a) comme valeur de f (a+ h). Elle tend vers 0 quand h tend vers 0. f (a+ h) f (a)+h f (a) f (a) tangente en A A a a+ h ǫ(h) x Exemple 4.. Application à l économie. Un produit coûtant 00 euros au er janvier 006 a augmenté de % le er février 006 et le er mars 006. On peut calculer son coût exact : 00 ( + 00) = 04,04 David Robert 9

104 4.5 Exercices Première S On peut aussi choisir d utiliser l approximation affine de f (x)= x au voisinage de : (+h) +h. Ici, comme h est proche de 0 (h= 00 ), +h fourni une approximation souvent suffisante de (+h) et on a : 00 ( + ) ( ) = 04 L erreur commise est donc de 0,04 euros, ce qui peut être, dans certains cas, considéré comme négligeable. 4.5 Exercices Exercice 4.. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [ 3;3] ayant les popriétés suivantes : f est décroissante sur [ 3;0] ; f (0)= et f (0)=0 ; f est paire ; f (3)=9. Exercice 4.. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [0;9] ayant les popriétés suivantes : f (0)=0 ; f ()=3 et f ()= ; f (3)=6 et f (3)= ; f (5)=7 et f (5)=0 ; f (6)=6 et f (6)= 4. Exercice 4.3. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [0;5] ayant les popriétés suivantes : f (0)= ; f est décroissante sur l intervalle [0;] ; f admet en un minimum égal à -3 ; f (3)= et f (5)= ; f ()=0, f (3)= et f (5)= ; pour tout x [;5], f (x)<0. Exercice 4.4. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [ 4;4] 0 ayant les popriétés suivantes : f est impaire ; f (0,5)=4 et f (0,5)= ; f ()= et f ()= ; C admet la droite d équation y = x comme axe de symétrie. Exercice 4.5. Montrer que l approximation affine de f (x)= x en de l exemple page précédente est la bonne Exercice 4.6. On pose f (x)=(+ x) 3 et on cherche g (x), une approximation affine de f au voisinage de 0.. Déterminer g (x) ;. Calculer, de tête, g (x) lorsque x = 0,, lorsque x = 0,0 et lorsque x = 0,00 ; 3. Calculer f (x) pour chacune de ces valeurs et déterminer l erreur commise lorsqu on prend g (x) comme valeur approchée de f (x) pour chacune de ces valeurs de x. Exercice 4.7. Déterminer les approximations affines des fonctions suivantes au voisinage de 0 :. f (x)= +x ;. g (x)= + x ; 3. Calculer, de tête, des valeurs approchées de :,,,0, 0,99,,,,0 et 0,99. Exercice 4.8. On donne page suivante la courbe représentative C de la fonction f en y indiquant les droites tangentes aux points A, B et C.. Donner par lecture graphique f ( ) et f (6). Donner par lecture graphique f ( ), f (6) et f () 3. Déterminer l équation de la tangente à C au point d abscisse -. À l aide d une approximation affine de f, donner une estimation de f (,9) Exercice 4.9. La courbe C page ci-contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R, dans un repère orthogonal.. Déterminer graphiquement : (a) f (0) et f (0) ; (b) f ( ) et f ( ) ; 9 David Robert

105 Première S Exercices (c) f () et f () ; (d) L équation de la tangente T au point d abscisse - ; (e) L équation de la tangente T au point d abscisse 0.. La droite T tangente à la courbe C au point d abscisse - et d ordonnée - passe par le point A de coordonnées (; 6) (a) Déterminer par le calcul une équation de T. (b) En déduire f ( ). FIG. 4. Figure de l exercice 4.8 A j 0 i B C FIG. 4.3 Figure de l exercice j ı David Robert 93

106

107 Chapitre 5 Fonction dérivée Sommaire 5. Activités Fonction dérivée Fonctions dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dérivées Dérivée des fonctions de la forme f (x)= g (mx+ p) Variations d une fonction Extremum local Exercices et problèmes Exercices supplémentaires Activités Activité 5. (Plusieurs nombres dérivés). Soit f la fonction définie sur R par f (x)= x + 4 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé, donnée ci-contre. 4 3 y. Déterminer les valeurs des nombres dérivés aux points d abscisse a dans les cas suivants : a= ; a= ; a= 0 ; a= 0,5 ; a=. j 3 O ı x. Cas général : déterminer, en fonction de a, la valeur du nombre dérivé. 3 On obtient ainsi une fonction, qui dépend de f, qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x. Une telle fonction est appelée fonction dérivée de f et est notée f. Ainsi, pour f (x)= x, f (x)= x, pour tout x R. Activité 5. (Fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles). Déterminer les fonctions dérivées des fonctions usuelles suivantes : f (x)=k ; f (x)=mx+ p ; f (x)= x ; f (x)= x 3. Activité 5.3 (Variations d une fonction). Reprenons la fonction de l activité 5. : f (x)= x +4 et rappelons que le nombre dérivé en x est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse x.. Déterminer, par lecture graphique, les variations de f en fonction de x.. Comment cela se traduit-il pour les coefficients directeurs des tangentes à la courbe? 3. En déduire un lien entre les variations de f et la fonction dérivée f. 95

108 5. Fonction dérivée Première S Activité 5.4 (Extremum local). On s intéresse à la fonction définie sur R par f (x)= x 3 3x. Montrer que f (x)=3x 3.. Etudier le signe de f (x) selon les valeurs de x. 3. Dresser le tableau des variations de f, en faisant apparaître une ligne indiquant le signe de f. 4. Qu observe-t-on en et en, pour f? Comment cela se traduit-il pour f? On dit que f admet en et en des extremums locaux. 5. Fonction dérivée Définition 5.. On dit qu une fonction f est dérivable sur un ensemble I lorsqu elle est dérivable en tout nombre de cet ensemble et on note f la fonction qui a tout nombre x de cet ensemble associe le nombre dérivé de f en x. Cette fonction s appelle la fonction dérivée de f. 5.3 Fonctions dérivées des fonctions usuelles On admettra que les fonctions usuelles ont les fonctions dérivées suivantes : Propriété 5.. Les fonctions dérivées des fonctions usuelles sont données par le tableau suivant : Fonction f définie sur Fonction dérivée f définie sur f (x)=k (constante) R f (x)=0 R f (x)=mx+ p R f (x)=m R f (x)= x n avec n N R f (x)=nx n R f (x)= x n avec n N R f (x)= n x n+ R f (x)= x R + = [0;+ [ f (x)= x R + =]0;+ [ Remarque. Si l on remarque que f (x)= x n = x n et que f (x)= n x n+ = nx n, on a alors : f (x)= x n pour n Z a pour fonction dérivée f (x)=nx n. Ainsi, pour obtenir la fonction dérivée de f (x)= x = x, on peut appliquer l une ou l autre formule : f (x)= n = xn+ x + = x 3 ou f (x)=nx n = x = x 3 = x Opérations sur les fonctions dérivées Propriété 5.. Soient u et v définies et dérivables sur un même intervalle I. Fonction Fonction dérivée Exemple ku avec k R ku Si f (x)=4x 3 alors f (x)=4 ( 3x ) = x u+ v u + v Si f (x)= x+ x alors f (x)= x u v u v+ uv Si f (x)= x x alors f (x)= x+x x = x+ x = 3 x avec x 0 u n avec n N nu u n Si f (x)= ( x ) 4 alors f (x)=4(x) ( x ) 3 ( = 8x x ) 3 v avec v(x) 0 v v u v avec v(x) 0 u v uv v Preuve. Montrons que (ku) = ku Si f (x)= 3x +x+ alors f (x)= 6x+ (3x +x+) Si f (x)= x 3x+ alors f (x)= ()(3x+) (x )(3) (3x+) = ku(a+ h) ku(a) k[u(a+ h) u(a)] = h h u(a+ h) u(a) = k h 7 (3x+) ku(a+ h) ku(a) u(a+ h) u(a) Donc, lorsque h tend vers 0, tend vers la même chose que k, c est-à-dire ku h h Certaines démonstrations ont été faites en activité ou seront faites en exercice 96 David Robert

109 Première S Dérivée des fonctions de la forme f (x)= g (mx+ p) Montrons que (u+ v) = u + v (u+ v)(a+ h) (u+ v)(a) u(a+ h)+ v(a+ h) u(a) v(a) u(a+ h) u(a) v(a+ h) v(a) = = + h h h h (u+ v)(a+ h) (u+ v)(a) Donc, lorsque h tend vers 0, tend vers la même chose que h u(a+ h) u(a) v(a+ h) v(a) +, c est-à-dire u + v h ( ) h Montrons que = u u u u(a+h) u(a) = h u(a) u(a+h) u(a+h)u(a) h ( ) u(a) u(a+ h) = h u(a+ h)u(a) u(a) u(a+ h) Lorsque que h tend vers 0, tend, par définition, vers u (a) et h u(a+h) u(a) tend vers u (a) h u (a) On admettra que (uv) = u v+ uv ( u ) = u v uv Montrons que v v On a vu que (uv) = u v+ uv, or u v = u ( u v, donc v On admettra les autres propriétés. ) = u v + u ( v v u(a+ h)u(a) tend vers u (a), donc ) = u v v uv v Remarque. Seules les deux premières formules sont intuitives, les autres sont à apprendre par coeur. En particulier la dérivée d un produit (ou d un quotient) n est pas égal au produit (ou au quotient) des dérivées. Un exemple : cherchons la dérivée de (x+ )(x+ 3) On peut l obtenir en développant : (x+ )(x+ 3)=x + 5x+ 6 dont la dérivée est x+ 5. Or la dérivée de chaque facteur est, et x+ 5! La formule, elle, donne la bonne dérivée (x+ ) (x+ 3)+(x+ )(x+ 3) = (x+ 3)+(x+ )=x Dérivée des fonctions de la forme f (x) = g (mx + p) On admettra le résultat suivant : Propriété 5.3. Soit f (x)= g (mx+p) où m et p sont des réels et g une fonction définie et dérivable, alors f est dérivable et f (x)=mg (mx+ p) Exemple 5.. Soit f définie sur [ 3 ;+ [ par f (x)= 3x. On a f (x)= g (3x ) avec g (X )= X. Or g (X )= pour X > 0. X Donc f (x)=3g (3x )=3 = 3 3x pour x ] 3x 3 ;+ [ 5.6 Variations d une fonction On a vu que la tangente à la courbe au point d abscisse x est la droite la plus proche de la courbe au voisinage du point de la courbe d abscisse x. Il est naturel de penser que lorsque la tangente monte, la courbe monte et que lorsque la tangente descend, la courbe descend, et réciproquement ou, plus mathématiquement, que lorsque la fonction affine dont la tangente est la représentation graphique est croissante (respectivement décroissante), f est aussi croissante (respectivement décroissante) et réciproquement. Or la croissance et la décroissance d une fonction affine dépendent du signe de son coefficient directeur, ici f (x). Ainsi, étudier les variations de f revient donc à étudier le signe de sa fonction dérivée selon les valeurs de x. On admettra donc le résultat suivant : Théorème 5.4. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f sa fonction dérivée f (x) 0 pour tout x I f croissante sur I f (x) 0 pour tout x I f décroissante sur I f (x)=0 pour tout x I f constante sur I David Robert 97

110 5.7 Extremum local Première S On admettra aussi la propriété suivante : Propriété 5.5. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f sa fonction dérivée Si f (x)>0 pour tout x I (respectivement f (x)<0), alors f est strictement croissante sur I (resp. strictement décroissante) Remarque. On notera qu on n a pas l équivalence ( ) dans ce cas, une fonction pouvant être strictement croissante avec une dérivée qui s annule seulement en quelques valeurs. C est le cas, par exemple, de la fonction cube, dont la dérivée s annule seulement en Extremum local Par ailleurs, lorsque la fonction change de sens de variation en a, on dit qu elle admet un extremum local en a (minimum ou maximum). On a donc : Propriété 5.6. Soit f une fonction définie et dérivable su un intervalle I contenant a et f sa fonction dérivée. f s annule et change de signe en a f admet un extremum local en a On l admettra On a un maximum lorsque f (x) est positive avant a et négative après, et un minimum lorsque f (x) est négative avant a et positive après. Remarque. Local signifie qu aux alentours de a ce sera un extremum mais, qu ailleurs, il se peut que f prenne des valeurs supérieures ou inférieures à cet extremum comme on a pu le voir dans l activité 5.4 page Exercices et problèmes 5.8. Exercices Exercice 5.. Montrer que la fonction racine carrée est dérivable en tout nombre appartenant à ]0;+ [ mais pas en 0 Exercice 5.. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :. f (x)=3x 4 x 3 + 5x 4. f (x)= x ( ) x 3. f (x)= x+ 5 x + 4. f (x)=4x 3x+ Exercice 5.3. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :. f (x)= ( x + x+ ). f (x)=(x ) (3 x) 3 3. f (x)=(x ) 4 (x+ ) 4 4. f (x)= x 3( + x ) 5. f (x)=4x x 5. f (x)=(x+ 3)(3x 7) 6. f (x)= x+ 4 3x pour x 3 7. f (x)= ( x + 3x+ ) 5 ) 4 ( + x 6. f (x)= x 7. f (x)= ( x )( ) x x+ x 8. f (x)= x Exercice 5.4. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous : x ( ). f (x)= x+ x sur ]0;+ [ ; 3. g (x)= sur R { }. + x Exercice 5.5. Soit f (x)=x + 3x+ 4 définie sur R.. Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x.. En déduire les variations de f. 3. Dresser le tableau des variations de f en y indiquant le signe de la fonction dérivée. 4. Montrer que f admet un extremum. Exercice 5.6. On donne f (x)=8x 3 5x + 8x 7 définie sur [0;]. 98 David Robert

111 Première S Exercices et problèmes. Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x.. En déduire les variations de f. 3. Dresser le tableau des variations de f. 4. Tracer les tangentes à la courbe représentative de f aux points d abscisse 0, et ainsi qu aux extremums locaux, puis la courbe de f. Exercice 5.7. On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= x 3 4x + 4x. Calculer la dérivée f de f. Étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f en précisant les éventuels extremums.. Tracer la courbe représentative de f sur l intervalle [ ;3]. 3. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d intercetion de la courbe avec l axe des abscisses. Exercice 5.8. On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= x 3 3x 3 On note C sa représentation graphique.. Calculer la dérivée f de f. Étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f.. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d abscisse Tracer T et C. 4. Démontrer que l équation f (x)=0 admet une unique solution α dans l intervalle [;3]. 5. Donner une valeur approchée de α, par défaut, à 0 près. Exercice 5.9. On considère la fonction g définie sur R par : g (x)= x + x. Déterminer g (x) pour x R.. Étudier le signe de la dérivée g. 3. Dresser le tableau des variations de g. 4. Déterminer si g admet des extremums locaux. 5. Tracer la représentation graphique de la fonction g Exercice 5.0. Soit f la fonction définie sur R {} par : f (x)= x+ 3 x. On note C sa représentation grahique.. Calculer la dérivée f de f.. Soit A le point d intersection de C avec l axe des abscisses. Calculer les coordonnées de A, puis une équation de la tangente T A à la courbe C en A. 3. Soit B le point d intersection de C avec l axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de B, puis une équation de la tangente T B à la courbe C en B. 4. Tracer dans un même repère T A, T B et C. Exercice 5.. On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x)= x 3x et g (x)= x 3 3x.. Calculer la dérivée f de f, étudier son signe et dresser le tableau des variations de f.. Faire de même pour g. 3. (a) Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes C f et C g représentant les fonctions f et g. (On se limitera à l intervalle [ ;] et on prendra un pas de 0,5). (b) Á l aide du graphique, déterminer le nombre de points d intersection entre C f et C g et leurs coordonnées. (c) Retrouver ces résultats par le calcul. Exercice 5.. On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= x x +. Démontrer que f est une fonction impaire.. Calculer la dérivée f de la fonction f et étudier son signe. 3. Dresser le tableau des variations de f en précisant la valeur M de son maximum et la valeur m de son minimum. 4. Tracer la représentation graphique de f sur l intervalle [ 4;4]. David Robert 99

112 5.8 Exercices et problèmes Première S Exercice 5.3. On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x)= x et g (x)= x x. Calculer la dérivée f de f, étudier son signe et en déduire le tableau des variations de f.. Calculer la dérivée g de g, étudier son signe et en déduire le tableau des variations de g. 3. (a) Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes C f et C g représentant les fonctions f et g. (On se limitera à l intervalle [ 3;5] et on prendra un pas de 0,5). (b) Á l aide du graphique, déterminer le nombre de points d intersections entre C f et C g et leurs coordonnées. (c) Retrouver ces résultats par le calcul. Exercice 5.4. Question préliminaire : factoriser le polynôme P(x)= x + x 3 On considère les fonctions f et g définies sur R par : f (x)= x + et g (x)= x 3 3x+.. Étudier la parité des fonctions f et g.. Calculer les dérivées f et g. Étudier leur signe. 3. Dresser les tableaux des variations des fonctions f et g. 4. Tracer les représentations graphiques C f et C g des fonctions f et g. (On se limitera à l intervalle [ 3;3]). 5. Résoudre par le calcul l inéquation f (x) g (x). (On pourra utiliser la question préliminaire). Exercice 5.5. Soit f la fonction définie sur R {} par : f (x)= x 3x+ 6. x On appelle C sa représentation graphique dans un repère ( O; ı, j ).. Préciser l ensemble de dérivabilité de la fonction f et déterminer f (x).. Étudier le sens de variation de f. 3. déterminer une équation de la tangente T à C au point d abscisse. 4. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l axe des abscisses. 5. Peut-on trouver des points de C où la tangente est parallèle à la droite d équation y = x? 6. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente a pour coefficient direteur (a) Déterminer une approximation affine locale au voisinage de. (b) En déduire une valeur aprochée de f (,003) et de f (,996). 8. Démontrer que le point Ω(; ) est centre de symétrie de C 5.8. Problèmes Problème 5.. On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.. Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à 3 4 cm. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale. (a) Exprimer S en fonction de l (b) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x( x). Calculer la dérivée f et étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f. Tracer sa représentation graphique C sur l intervalle [0;]. Problème 5.. (c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l aire S est maximale.. On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=x 3 60x + 450x (a) Étudier les variations de f sur l intervalle [0;0]. Dresser le tableau des variations de f. (b) Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de f au point d abscisse 0. (c) Déterminer, par calcul, les coordonnées des points d intersection de C f avec l axe des abscisses. (d) Tracer et la représentation graphique de f pour x [0; 0].. Un fabricant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de même largeur dans une feuille carrée (voir la figure page suivante). Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm et on désigne par x la mesure (en centimètres) de la largeur des bandes découpées. On suppose que 0< x < 5. (a) Démontrer que le volume (en cm 3 ) de la boîte est V (x)=x 3 60x + 450x. 00 David Robert

113 Première S Exercices et problèmes (b) Pour quelle valeur de x le volume V (x) est-il maximal? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres. bande découpée Découpages et pliages x x Lait Lait 30 bande découpée x x 30 Problème 5.3. Un fermier décide de réaliser un poulailler (de forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 39 m. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale? La figure ci-dessous représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaque piquet au mur et y la distace entre les deux piquets A et B. (On a donc x > 0 et y > 0).. Sachant que l aire du poulailler est de 39 m, exprimer y en fonction de x.. Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x)= x + 39 x 3. Calculer la dérivée l de l. en déduire le tableau des variations de l. 4. En déduire les dimensions x et y pour lesquelle la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur. Mur de la ferme x x A y B Problème 5.4. Un camion doit faire un trajet de 50 km. Sa consommation de gasoil est de 6+ v litres par heure, où v désigne sa 300 vitesse en km/h. Le prix du gasoil est de 0,9 le litre et on paie le chauffeur par heure.. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse v.. Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v. 3. Quelle doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal? Problème 5.5. Soit C la représentation graphique d la fonction f définie sur R {} par : f (x)= x + ax+ b où a,b R. x. Déterminer f (x).. Déterminer a et b tels que la droite d équation y = 8 soit tangente à C au point d abscisse Déterminer l abscisse de l autre point de C où la tangente est horizontale. Problème 5.6. Une parabole P admet, dans un repère ( O; ı, j ), une équation du type : y = ax + bx+ c avec a 0 Déterminer les coefficients a, b et c sachant que P coupe l axe des abscisses au point A d abscisse 3, l axe des ordonnées au point B d ordonnées et qu elle admet en ce point la droite d équation y = x+ pour tangente. Indiquer l abscisse du second point d intersection de P avec l axe des abscisses. David Robert 0

114 5.9 Exercices supplémentaires Première S Exercices supplémentaires Ces exercices sont des adaptations de sujets d annales du baccalauréat de la série ES (005 et 006). On y rencontre parfois le nombre e qui, comme π, est un irrationnel. Il sera la vedette de l année de terminale. On a : e, Exercice 5.6. La courbe ( C f ) de la figure ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 4 ; + [. On donne les renseignements suivants : les points A( 3; 0), B ( ; e ) et C (0; 3) sont des points de la courbe ( C f ) ; l axe des abscisses est asymptote à la courbe ( C f ) en +. la fonction f est décroissante sur l intervalle [ ;+ [ ; la droite tangente à la courbe ( C f ) en son point C passe par le point D(; ). On note f la fonction dérivée de la fonction f. B A j 4 3 O i y e C 3 4 D x ( C f ) 3 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.. f (0)=.. Pour tout x élément de l intervalle [ ;+ [, on a : f (x) Soit une fonction g telle que g = f sur l intervalle [ 4;+ [, alors la fonction g est décroissante sur l intervalle [ ;+ [. Exercice 5.7. Questionnaire à choix multiples Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] 5; + [ dont le tableau de variations est donné ci-dessous. x f (x) ,5 On désigne par C la courbe représentative de f.. Sur l intervalle ] 5;+ [, l équation f (x)= admet une seule solution admet deux solutions admet quatre solutions.. On sait que f ()=0. L équation de la tangente à C au point d abscisse est : y = 4 y = 4(x ) x = On sait que l équation de la tangente à C au point de coordonnées ( ; ) est y = 3x. On a : f ()= f ()= f ()=3. 4. Sur l intervalle [ ; 0], la fonction g définie par g (x)= f (x) est croissante est décroissante n est pas monotone. 0 David Robert

115 Première S Exercices supplémentaires Exercice 5.8. On a représenté ci-contre, dans un repère orthonormal, la courbe représentative Γ d une fonction g définie et dérivable sur R. La courbe Γ passe par les points O(0; 0) et A(; ). La droite (AB) est la tangente en A à la courbe Γ. La tangente à Γ au point C d abscisse est parallèle à l axe des abscisses.. Déterminer graphiquement les valeurs de g (0), g (), g () et g ().. Une des représentations graphiques page suivante, représente la fonction dérivée g de g. Déterminer laquelle. 3. Une des représentations graphiques page suivante, représente une fonction h telle que h = f sur R. Déterminer laquelle. y 4 3 j O i 3 C A 3 B x Vous justifierez vos choix à l aide d arguments basés sur l examen des représentations graphiques. 4 5 Exercice 5.9. On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d une fonction f définie sur R. La courbe Γ passe par les points A(0 ; ) et C( ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son point D d abscisse est parallèle à l axe des abscisses.. Déterminer, à l aide des renseignements fournis par l énoncé, les valeurs de f (0) et de f (0). D 3 A. Parmi les trois représentations graphiques cidessous, une représente la fonction dérivée f de f et une autre représente une fonction h telle que h = f sur R. Déterminer la courbe associée à Ia fonction f et celle qui est associée à la fonction h. 3 C B 3 Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix Courbe Courbe Courbe O 4 O 4 4 O 4 6 David Robert 03

116 5.9 Exercices supplémentaires Première S FIG. 5. Courbes de l exercice 5.8 y Courbe Courbe y j O i x j O i x 6 Courbe 3 Courbe 4 y 4 y j O i x j O i x David Robert

117 Première S Exercices supplémentaires Exercice 5.0. La courbe C f ci-contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. 6 5 y B C f 4 Soit A le point du plan de coordonnées ( ; 0) et B le point du plan de coordonnées (; 5). Le point B appartient à la courbe C f. 3 B. La droite (AB) est la tangente à la courbe C f au point A j O ı x. Déterminer f (), où f est la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [0;6].. L une des trois courbes C, C, et C 3 représentées sur les figures, et 3 de la présente page représente la fonction f. Laquelle? Justifier votre réponse. y Figure C j O ı x y Figure 3 Figure y C 3 C j j O ı x O ı x David Robert 05

118

119 Chapitre 6 Comportement asymptotique Sommaire 6. Activités Limite d une fonction Limite des fonctions usuelles Opérations sur les limites Asymptotes Exercices et problèmes Activités Activité 6.. Soit f et g définies sur R respectivement par f (x)= x et g (x)= x 3 et h, définie sur [0;+ [, par h(x)= x.. Calculer les images de 0, 0, 0 6 et 0 0 par chacune de ces fonctions. Comment semblent-elles se comporter quand x devient grand?. Résoudre sur [0;+ [ : f (x)>0 f (x)>0 4 f (x)> M où M est un réel quelconque. 3. Faire de même pour g et h. Finalement, on peut rendre f (x), g (x) et h(x) aussi grands que l on veut : il suffit de prendre x suffisamment grand. On dira que leur limite, quand x tend vers l infini, est+ et on écrira : lim f (x)=+ x + Activité 6.. L objectif de cette activité est d observer, graphiquement, le comportement de la fonction définie par f (x)= x x+ aux bornes de son domaine de définition et d essayer de «mathématiser»cette observation. On appellera C sa représentation graphique. Partie A. Déterminer D f, l ensemble de définition de f.. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Partie B. Représenter C sur une calculatrice graphique en faisant varier les paramètres de la fenêtre de la façon suivante : y [ 4; 4] et (a) x [ 0; 0] ; (b) x [ 00; 00] ; (c) x [ 0000; 0000]. Comment se comporte C quand x devient très grand en valeur absolue?. Justifier que dire que «C se rapproche de la droite d équation y = quand x devient très grand»équivaut à dire que «la quantité f (x) devient proche de zéro quand x devient grand». 3. Résoudre, pour x ]; + [ : qu on peut imaginer très grand 07

120 6. Activités Première S (a) f (x) <0? (b) f (x) <0 6? (c) f (x) <ǫ, où ǫ est un réel strictement positif quelconque? Finalement, on peut rendre f (x) aussi proche que l on veut de : il suffit de prendre x suffisamment grand. On dira que : la limite de f, quand x tend vers+, est et on écrira : lim f (x)= ; x + la droite d équation y = est une asymptote (horizontale) à la courbe C en l infini. Partie C. Représenter C sur une calculatrice graphique en faisant varier les paramètres de la fenêtre de la façon suivante : x [ 4; 4] et (a) y [ 0; 0] ; (b) y [ 00; 00] ; (c) y [ 0000; 0000]. Comment se comporte C quand x devient très proche de?. Justifier que dire que «C se rapproche de la droite d équation x =»équivaut à dire que «la quantité f (x) tend vers l infini quand x proche de». 3. Pour quelles valeurs de x a-t-on : (a) f (x)>0 4? (b) f (x)>0 6? (c) f (x) > M, où M est un réel quelconque? Finalement, on peut rendre f (x) aussi grand que l on veut : il suffit de prendre x suffisamment proche de et supérieur strictement à. On dira que la limite de f, quand x tend vers et que x >, est+ et on écrira : lim f (x)=+ ; x x> la droite d équation x = est une asymptote (verticale) à la courbe C. Activité 6.3. L objectif de cette activité est d observer, graphiquement, le comportement de la fonction définie sur D f =] ; [ ];+ [ par f (x)= x 3x+ 4 quand x devient grand et d essayer de «mathématiser»cette observation. On appellera C sa représentation x graphique.. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.. Déterminer f (0), f ( 0 4) et f ( 0 6). Comment semble se comporter f quand x devient grand? 3. (a) Représenter C sur une calculatrice graphique en faisant varier les paramètres de la fenêtre de la façon suivante : i. x [ 0; 0] et y [ 0; 0] ; ii. x [ 00; 00] et y [ 00; 00] ; iii. x [ 0000; 0000] et y [ 0000; 0000]. (b) Comment se comporte C quand x devient très grand en valeur absolue? (c) De quelle fonction simple g semble se rapprocher la fonction f quand x devient grand? 4. Déterminer, par le calcul, les réels a, b et c tels que : f (x)= ax+ b+ c x Que constate-t-on? 5. Justifier que dire que «C se rapproche de la droite d équation y = x quand x devient très grand»équivaut à dire que «la quantité f (x) (x ) devient proche de zéro quand x devient grand». Finalement, on admettra qu on peut rendre f (x) aussi proche que l on veut de x : il suffit de prendre x suffisamment grand. On dira que la limite de f, quand x tend+, est+ et on écrira : lim ( ) f (x)=+ ; x + et, comme lim f (x) (x ) = 0, on dira que la droite d équation y = x est une asymptote (oblique) à la courbe x C en+. qu on peut imaginer très proche de 0 08 David Robert

121 Première S Limite d une fonction 6. Limite d une fonction 6.. En l infini Définition 6.. Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a ;+ [. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue et positives, on dit aussi «lorsque x tend vers +», si les nombres f (x) deviennent de plus en plus : grands en valeur absolue et positifs (tendent vers+ ), on dit que f a pour limite+ en+ et on note lim f (x)= x + + ; grands en valeur absolue et négatifs (tendent vers ), on dit que f a pour limite en + et on note lim f (x)= ; x + proches d un réel l (tendent vers l), on dit que f a pour limite l en+ et on note lim f (x)=l. x + Remarque. Ces définitions sont, conformément au programme, très intuitives. Il en existe de plus rigoureuses, mais elles ne sont pas exigibles : Si pour tout réel M positif, il existe un réel A tel que, si x A alors f (x) M, alors on a lim f (x)=+ ; x + Si pour tout réel M négatif, il existe un réel A tel que, si x A alors f (x) M, alors on a lim f (x)= ; x + Si pour tout réel ǫ strictement positif, il existe un réel A tel que, si x A alors f (x) l <ǫ, alors on a lim f (x)=l. x + Remarque. On utilisera parfois dans la suite les termes de «limite infinie»quand la limite d une fonction est+ ou et de «limite finie»quand la limite d une fonction est un nombre l. On a des définitions correspondantes en : Définition 6.. Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type ] ; a]. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue et négatives, on dit aussi «lorsque x tend vers, si les nombres f (x) deviennent de plus en plus : grands en valeur absolue et positifs (tendent vers+ ), on dit que f a pour limite+ en et on note lim f (x)= x + ; grands en valeur absolue et négatifs (tendent vers ), on dit que f a pour limite en et on note lim f (x)= ; x proches d un réel l (tendent vers l), on dit que f a pour limite l en et on note lim f (x)=l. x Exemples 6.. Quatre exemples où le lien entre la limite de la fonction et l allure de la courbe est souligné, sur la courbe, par une flèche : ( lim + ) lim = x x =+ x + x j O ı j O ı lim x =+ x + lim 3x =+ x j j O ı O ı David Robert 09

122 6. Limite d une fonction Première S Exemple 6.. Certaines fonctions n ont pas de limite en l infini. C est le cas, par exemple, de la fonction sin x : j O ı π 6.. En un réel a Définition 6.3. Soit f une fonction définie sur un domaine D contenant a ou tel que a soit une borne de D. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, on dit aussi «lorsque x tend vers a», si les nombres f (x) deviennent de plus en plus : grands en valeur absolue et positifs (tendent vers + ), on dit que f a pour limite + en a et on note lim f (x)= x a + ; grands en valeur absolue et négatifs (tendent vers ), on dit que f a pour limite en a et on note lim f (x)= x a ; proches d un réel l (tendent vers l), on dit que f a pour limite l en a et on note lim f (x)=l. x a Exemples 6.3. Trois exemples où le lien entre la limite de la fonction et l allure de la courbe est souligné, sur la courbe, par une flèche : ( lim x 0 x =+ lim ( lim 0,5x )= + ) = 3 x x 0 x j O ı j O ı j O ı En un réel a, à droite ou à gauche Certaines fonctions n ont pas de limite en un réel a, au sens de la définition précédente. C est le cas de la fonction inverse. Lorsque x tend vers 0, les nombres x tendent vers+, quand x est positif, et vers quand x est négatif. On parle alors de «limite à droite de 0»et de «limite à gauche de 0»(les x positifs et les x négatifs étant situés en général respectivement à droite de 0 et à gauche de 0 sur l axe des abscisses). On dit aussi que la limite de la fonction inverse en 0 + (quand x tend vers 0 et est positif) est+ et que la limite de la fonction inverse en 0 (quand x tend vers 0 et est négatif) est. On notera alors indifféremment : lim x = lim =+ et x 0 + x lim x = lim x 0 x = x 0 x>0 Par abus de langage, on écrira «x a +»pour dire «x tend vers a et x > a»et «x a»pour dire «x tend vers a et x < a», même si, lorsque a 0, x a + ou x a n est pas du tout lié au signe de x. Ainsi : lim x x = lim et lim x + x x x = lim sont les limites respectivement à droite et à gauche de (et x x x> x< valent respectivement+ et ) et dans les deux cas x tend vers et est positif. Finalement, ce n est que lorsque la limite à droite et à gauche de a sont égales qu on dit que f admet une limite en a, comme par exemple la fonction f (x)= en 0. Lorsque les limites à gauche et à droite sont différentes, la fonction x n a pas de limite en a. Ainsi, comme lim x = lim =+, on peut écrire lim =+ et comme lim =+ lim =, la fonction x 0 x x 0 x x 0 x x x 0 x>0 x<0 inverse n a pas de limite en 0. x 0 x 0 x<0 x>0 x 0 x<0 0 David Robert

123 Première S Limite des fonctions usuelles 6.3 Limite des fonctions usuelles Propriété 6.. Soit f une des fonctions usuelles (affine, carré, cube, inverse, racine carrée, sinus et cosinus) et D f leurs ensembles de définition respectifs. Si a D f, alors lim f (x)= f (a) x a Sinon, aux bornes de leur ensemble de définition, les fonctions usuelles ont les limites résumées dans le tableau cidessous : f D f Limites Si m> 0 lim (mx+ p)=+ et lim (mx+ p)= x + x f (x)=mx+ p R Si m< 0 lim (mx+ p)= et lim (mx+ p)=+ x + x Si m= 0 lim (mx+ p)= lim (mx+ p)= p f (x)= x R lim x + x = lim f (x)= x 3 R lim x + x3 =+ et f (x)= x R lim x + lim x x 0 x>0 x + x x x =+ x = 0+, lim x x3 = lim x = 0 x =+ et lim x 0 x<0 x = f (x)= x R lim x + x = lim x x = 0+, lim x 0 x n =+ x 0 f (x)= x R + lim x = 0=0 et lim x =+ x 0 x + sin x et cos x R Pas de limite en+ ou en Les définitions rigoureuses des limites étant hors programme, les démonstrations de ces propriétés et des suivantes le sont aussi, mais les activités montrent comment elles peuvent se faire. Remarques. Les fonctions constantes (f (x) = k) et linéaires (f (x) = kx) sont aussi des fonctions usuelles mais sont considérées comme des cas particuliers des fonctions affines f (x)=mx+ p avec, respectivement, m = 0 et p = 0. f (x) = x n où n N et n 4 a les mêmes limites que f (x) = x si n est pair et que f (x) = x 3 si n est impair (on l admettra). f (x)= x n où n N et n 4 a les mêmes limites que f (x)= x si n est impair et que f (x)= si n est pair (on x l admettra). 6.4 Opérations sur les limites Dans les paragraphes suivants, nous parlerons parfois de «forme indéterminée», notée F.I. Cela ne veut pas forcément dire qu il n y a pas de limite, mais que la règle énoncée ne permet pas de conclure dans le cas général, qu il faut étudier chaque cas particulier Règle essentielle On admettra que les sommes, les produits, les inverses, les quotients ou les composées des fonctions usuelles qui nous étudierons en première vérifient tous : Si a D f, où D f est l ensemble de définition de f, alors lim x a f (x)= f (a). Dans les autres cas, aux bornes de leur ensemble de définition, on appliquera les propriétés des paragraphes suivants. David Robert

124 6.4 Opérations sur les limites Première S Limite d une somme Propriété 6.. On note α ce vers quoi tend x, α pouvant être un réel,+ ou. Soit f et g deux fonctions ayant en α une limite finie ou infinie. La fonction somme f + g admet une limite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : lim x α lim x α l + l l+ l F.I. F.I. On l admettra. Exemples 6.4. lim ( x+ x ) = car lim ( x )= et lim x + x + x + x = 0 lim ( x+ x ) =+ car lim ( x )= 0 = et lim x 0 x 0 x 0 x =+ x>0 ( x>0 x>0 lim x + x ) ( est une forme indéterminée car lim x ) =+ et lim (x )=. Nous verrons plus tard x x x comment «lever l indétermination» Limite d un produit Propriété 6.3. On note α ce vers quoi tend x, α pouvant être un réel,+ ou. Soit f et g deux fonctions ayant en α une limite finie ou infinie. La fonction produit f g admet une limite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : lim lim x α x α l 0 l = 0 ± l 0 l l 0 ± l = F.I. ± ± F.I. ± On l admettra. Remarque. Le signe, lorsque la limite du produit est±, est donné par la règle des signes des produits. ( Exemples 6.5. lim 5x ) = car lim ( 5)= 5 et lim x + x + x + x =+ ( ) ( ) lim x x3 x =+ car lim x x = et lim x x3 = ( lim x + x ) ( est indéterminée car lim =+ et lim x + x ) = 0+0=0. Nous verrons plus tard comment «lever x 0 x x 0 x x 0 x>0 x>0 x>0 l indétermination» Limite de l inverse Propriété 6.4. On note α ce vers quoi tend x, α pouvant être un réel,+ ou. Soit f une fonction ayant en α une limite finie ou infinie. La fonction f admet une limite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : lim f (x) l 0 l = 0 + l = 0 + x α + 0 (0 + ) 0 (0 ) f (x) l lim x α On l admettra. Exemples 6.6. lim x lim x x + x+ = 4 lim x x 0 x 0 =+ car lim x 0 x = 0 et x > 0 quand x R x = 0 car lim x = x ( car lim x + x+ ) = 4 x David Robert

125 Première S Opérations sur les limites Limite d un quotient Propriété 6.5. On note α ce vers quoi tend x, α pouvant être un réel,+ ou. Soit f et g deux fonctions ayant en α une limite finie ou infinie. La fonction quotient f admet une limite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : g lim x α lim x α l 0 l = 0 ± l 0 l l ± 0 l = 0 0 F.I. 0 ± ± ± F.I. Remarque. Le signe, lorsque la limite du quotient est±, est donné par la règle des signes des produits (qui est aussi la règle des signes des quotients). f Preuve. g = f or, d après les limites de l inverse, g si lim g (x)=l 0 alors lim x α x α g (x) = l ; si lim g (x)=0 alors lim x α x α g (x) =± ; si lim g (x)=± alors lim x α x α g (x) = 0. En appliquant les propriétés des limites d un produit, on obtient : lim g (x) x α l 0 l = 0 ± lim x α g (x) ( 0) ± 0 lim x α f (x) l l 0 l l = l l ± 0 l = 0 0 F.I. 0 ± ± ± F.I. Exemple lim cos x. lim x 0 x x x>0 ) 3. lim x + x = car lim x 0 3 x + 3 = 0 car lim x 3= 3 et lim x (x + 3)=+ cos x = cos0=, lim(x x)=0 et x x = x(x )<0 (négatif entre les racines 0 et x 0 x>0 x x x 3 est une forme indéterminée car + x lim x + ( x x ) ( =+ et lim x 3 + x ) =+ x Cas des formes indéterminées Finalement, il y a quatre cas d indétermination qui sont, en utilisant un abus d écriture qui ne vous sera pas autorisé sur vos copies : «0 0» «0» Pour lever l indétermination, on peut tenter transformer l expression (par exemple développer s il s agit d un produit). Si cela ne donne rien, il est toujours possible de mettre en facteur le terme de plus haut degré (les termes quand il s agit d un quotient) : cela résoud la plupart des problèmes. David Robert 3

126 6.4 Opérations sur les limites Première S Quelques exemples (. Nous avons vu que lim x + x ) était une forme indéterminée. x Comme x, on peut considérer que x 0, et donc écrire, en factorisant le terme de plus haut degré : ( x + x = x + x ) x or, comme lim x = 0, on a : xn lim x (+ x x ) = +0+0= lim x x =+ lim x x (. Nous avons vu que lim x + x ) est une forme indéterminée. x 0 x x>0 Avec x > 0, donc x 0, on peut écrire, en développant : ( x + x ) = x+ x ( or lim (x+ )=0+= donc lim x + x ) = x x 0 x>0 x 0 x>0 (+ x x ) ( = lim x + x ) =+ x x x 3. Nous avons vu que lim x + x 3 est une forme indéterminée. + x Comme x + on peut considérer que x 0 et, en factorisant le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, on obtient : ( x x ) x x 3 + x = x ( x 3 + x ) = x x 3 x (+ x x ) 3 or, comme lim = 0, on a : x + xn ( lim ) = 0= x + x lim x + ( 4. lim x 0 x ) x x>0 (+ x x 3 ) = +0 0= lim x + x x (+ x x ) = lim 3 est une forme indéterminée car lim =+ et lim x x =+. x 0 x>0 x 0 x>0 En réduisant au même dénominateur, on obtient : x x = x x or lim(x )=0 = x 0 x>0 lim x = 0 et x > 0 x 0 x> Fonctions polynôme et rationelle lim x 0 x>0 x x x + x = lim x + ( = lim x 0 x ) x = x>0 x x x 3 + x = 0 On peut procèder de la même manière qu aux exemples et 3 du paragraphe précédent pour toute fonction polynôme ou rationelle et démontrer ainsi les propriétés suivantes : Propriété 6.6. Soit f une fonction polynôme de degré n : f (x)= a n x n + a n x n a x+ a 0 avec a n 0 Alors : lim f (x)= lim a n x n =± ; x + x + qui s énonce aussi de la façon suivante : lim f (x)= lim a n x n =±. x x «La limite en l infini d une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré.» 4 David Robert

127 Première S Asymptotes Propriété 6.7. Soit f une fonction rationelle : f (x)= a n x n + a n x n a x+ a 0 b m x m + b m x m +...+b x+ b 0 avec a n 0 et b m 0. Alors : a n x n lim f (x)= lim x + x + b m x m ; lim f (x)= lim x x a n x n b m x m. Le détail de ces deux démonstrations est laissé en exercice au lecteur Règles d encadrement On admettra les théorèmes suivants : Théorème 6.8. Soient f et g deux fonctions définies au moins sur [a ;+ [. Si on a : pour tout x assez grand, f (x) g (x) ; lim g (x)=+ x + alors lim f (x)=+ x + Théorème 6.9. Soient f et g deux fonctions définies au moins sur [a ;+ [. Si on a : pour tout x assez grand, f (x) g (x) ; lim g (x)= x + alors lim f (x)= x + Théorème 6.0 (des gendarmes). Soient f, u et v, trois fonctions définies au moins sur [a ;+ [. Si on a : pour tout x assez grand, u(x) f (x) v(x) ; lim u(x)= lim v(x)=l x + x + alors lim f (x)=l x + Ces théorèmes ont leurs équivalents quand x tend vers. 6.5 Asymptotes Définition 6.4. On appelle courbe asymptote une courbe simple (droite, cercle, etc.) dont une courbe plus complexe peut s approcher. Nous ne parlerons au lycée que de droite asymptote, en omettant le plus souvent de préciser même le terme de droite. Une asymptote sera donc une droite dont la courbe représentative d une fonction s approche (sans forcément l atteindre). Nous avons vu dans les activités les trois types d asymptote Asymptote verticale Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction f admet une limite infinie en un réel a. On a alors : Définition 6.5. Si f une fonction admet une limite infinie à gauche ou à droite de a, réel, on dit alors que la droite d équation x = a est une asymptote (verticale) à la courbe de f. lim f (x)= ou x a x>a lim f (x)= x a x<a x = a asymptote à C Remarque. Il suffit qu on ait soit une limite à droite, soit une limite à gauche qui vaut ± pour avoir une asymptote verticale. David Robert 5

128 6.6 Exercices et problèmes Première S Asymptote horizontale Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction f admet une limite finie en l infini. On a alors : Définition 6.6. Si f une fonction admet une limite finie b en l infini, on dit alors que la droite d équation y = b est une asymptote (horizontale) à la courbe de f en l infini. lim f (x)=b y = b asymptote à C en l infini x Remarque. Une courbe peut avoir une asymptote en+ sans en avoir pour autant en : il faut faire l étude aux deux bornes Asymptote oblique Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction f se comporte de plus en plus comme une fonction affine. On a alors : Définition 6.7. Soit f une fonction. S il existe une fonction affine g (x)=mx+ p telle que la fonction f g admet comme limite 0 en l infini, on dit alors que la droite d équation y = mx+ p est une asymptote (oblique) à la courbe de f en l infini. ( ) y = mx+ p asymptote à lim f (x) (mx+ p) = 0 x C en l infini Remarque. Même remarque que ci-dessus. 6.6 Exercices et problèmes 6.6. Exercices Technique Exercice 6.. Déterminer les limites suivantes : (. lim x + x3 ). lim ( ) x x x3 ( ) 3. lim x x x 0 x>0 ( ) 6 4. lim x 0 x x>0 Exercice 6.. Déterminer les limites suivantes : ( ). lim x + x + x+ 3 (. lim 3 x+ x ) x + ( ) 5 3. lim x x + x ( ) 4. lim x 0 x + 3x x>0 ( ) 3 5. lim x x + 5x+ 7 x> ( 6. lim x x+ + ) x< Exercice 6.3. Déterminer les limites des fonctions polynômes suivantes : (. lim x 3 + x ) ( 3. lim x 4 x 3 + 5x+ 4 ) x + (. lim x 3 + x ) x + ( 4. lim x 4 x 3 + 5x+ 4 ) x x Lectures graphiques Exercice 6.4. On donne sur la figure ci-dessous les courbes représentatives C f, C g et C h de trois fonctions f, g et h. Pour chacune des trois fonctions :. déterminer D, son ensemble de définition ;. conjecturer les limites de la fonction aux bornes de cet ensemble de définition. 6 David Robert

129 Première S Exercices et problèmes 5 y C f C h 4 3 j O ı C g x Exercice 6.5. Même exercice que le précédent (la courbe C h est en deux parties). 5 y C f 4 C g 3 j O ı C h x Étude de fonctions Exercice 6.6. Soit f la fonction définie sur R par : f (x)= ( x ) (x 00) 00. Étudier la limite de f en+. Exercice 6.7. On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= + x. Montrer que f est bornée par 0 et.. Étudier les variations de f. 3. Déterminer, si elles existent, les limites de f en+, en et en 0. Exercice 6.8. Soit f la fonction définie par : f (x)= x+ x+ 3. On appelle C sa courbe représentative.. Déterminer D f, l ensemble de définition de f. David Robert 7

130 6.6 Exercices et problèmes Première S Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les éventuelles asymptotes de C. 3. Étudier les variations de f. 4. Dresser le tableau des variations de f en y faisant apparaître les limites aux bornes. Exercice 6.9. Le but de cet exercice est de déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction : f (x) = x 4x+. x 3 Pour la suite, on notera P(x)= x 4x+ et Q(x)= x 3, et C la courbe représentative de f.. Étude en+ et en : (a) Déterminer lim x + P(x) et lim x + (b) Montrer que, pour tout x 0 : (c) En déduire lim x + f (x) et lim f (x). x Q(x). Que peut-on en conclure? (d) C admet-elle une asymptote horizontale en l infini? (e) 4 f (x)= x x + x 3 x i. Déterminer trois réels a, b et c tels que : f (x)= ax+ b+ c x 3 ii. En déduire que la droite d équation y = x est une asymptote de C.. Étude au voisinage de 3 : (a) Déterminer lim P(x) et lim Q(x). En déduire lim f (x). x 3 x>3 x 3 x>3 (b) Procéder de même pour déterminer lim f (x) Exercice 6.0. x 3 x<3 (c) C admet-elle une asymptote verticale? x 3 x>3 On considère la fonction f définie sur R {} par : f (x)= x 3x+. x On note C la courbe représentative de f.. Étudier les limites de f en+ et.. Montrer que la droite d équation y = x+ est une asymptote de C. 3. (a) Étudier la limite de x 3x+ et de x en. La limite de f en est-elle une forme indéterminée? (b) Écrire x 3x+ sous forme factorisée. Exercice 6.. (c) En déduire que, pour x, f (x) = x +, puis la limite de f (x) en. Soit f la fonction définie sur R par : f (x)= x3 + x + 9x+ x. + On note C sa représentation graphique.. Déterminer trois réels a, b et c tels que : f (x)= ax+ b+ cx x +. Étudier les limites de f en+ et. 3. Montrer que la droite d équation y = x+ est une asymptote de C. 4. Déterminer la position relative de C et. Exercice 6.. x Soit f la fonction qui a x associe f (x) = x + x+ 3.. Déterminer D f, l ensemble de définition de f.. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 3. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe représentative de f. 8 David Robert

131 Première S Exercices et problèmes 6.6. Problèmes Exercice 6.3. Soit f la fonction définie pour x [;+ [ par : f (x)= x+ x. Le but de cet exercice est d étudier la limite de f en+.. Étudier lim x + x+ et lim x + x. Que peut-on en conclure?. Montrer que, pour tous réels A et B strictement positifs, on a : A B = A B A+ B 3. En déduire que, pour tout x [;+ [, on a : f (x)= x+ + x 4. En déduire lim x + f (x) Exercice 6.4. Soit f, u et v les fonctions définies sur [;+ [ par : x+ sin x f (x)= x. Montrer que, pour tout x [; + [ :u(x) f (x) v(x).. Étudier les limites en+ de u et de v. 3. En déduire la limite de f en+. u(x)= x x v(x)= x+ x David Robert 9

132

133 Quatrième partie Analyse : suites

134

135 Chapitre 7 Suites : généralités Sommaire 7. Activité Petit historique sur les suites Définition et notations Modes de génération d une suite Représentation graphique d une suite Monotonie d une suite Convergence d une suite Exercices Activité 7.. Notations On s intéresse, dans cette activité, aux effectifs d une population donnée à chacune de ses générations successives. Ces effectifs sont notés P n, avec n entier naturel. Ainsi P 0 est l effectif de la population initiale, P celui de la première génération, P celui de la seconde, etc. P n étant l effectif d une génération quelconque, P n+ sera l effectif de la génération suivante. 7.. Modèles Pour modéliser l évolution d une population (animale ou végétale) en fonction du temps, il existe plusieurs approches. La première consiste à considérer que l accroissement de cette population d une année à l autre est proportionnel à l effectif de cette population. Plus précisément, si on note P n l effectif de la population à la génération n et P n+ l effectif de la population à la génération suivante, on a P n+ = ap n où a est un coefficient positif. Par exemple, si l on sait que la population double d une génération à la suivante, on aura P n+ = P n. Ou bien si la population diminue de 0 % d une génération à la suivante, on aura P n+ = P n = 0,9P n. Dans ce type d approche, des facteurs extérieurs, comme des migrations régulières d individus ou l intervention de l homme, peuvent influer sur la population, ce qui peut se traduire par une «injection»de nouveaux individus à chaque nouvelle génération. On aura ainsi P n+ = ap n +b où b est le nombre d individus (qu on suppose ici constant) ajoutés à chaque nouvelle génération. Par exemple, dans une réserve naturelle comportant une espèce en voie de disparition où chaque nouvelle génération est moins nombreuse que la précédente, on peut décider d y injecter, à chaque génération, une certaine quantité d invididus. Ainsi, si, constatant que sans l intervention de l homme la population diminue de moitié d une génération à l autre, on décide d introduire 00 individus à chaque nouvelle génération, on aura alors P n+ = P n +00=0,5P n +00. En réalité, un certain nombre de facteurs viennent freiner cette croissance. Le cas le plus fréquent est celui où le territoire sur lequel vit cette population est limité et ne permet pas de faire vivre plus de M individus, et où la génération n peut consommer la plupart des ressources si elle est proche de ce maximum 3

136 7. Activité Première S en ne laissant rien à la génération suivante (la n+ ) qui sera alors en nombre très faible. Étant en nombre très faible, le territoire pourra alors se reconstituer et leurs descendants (la génération n + ) seront en nombre beaucoup plus important. Les biologistes modélisent cette situation par la relation P n+ = ap n ( P n M territoire. Ainsi, plus P n se rapproche du maximum théorique M, plus le quotient P n ( ) M P n M se rapproche de 0. ) où a est un coefficient qui dépend du se rapproche de et plus le facteur 7..3 Remarques importantes sur le tableur On va étudier dans cette activité, à l aide du tableur et des modèles précédents, l évolution de la population d animaux d une réserve. Vous voudrez bien garder en tête les choses suivantes : Si l on veut indiquer au tableur de procèder à un calcul, on doit commencer la ligne par le signe «=»; ainsi entrer dans une case «4+»signifie qu on veut afficher le texte «4+», alors qu entrer «= 4+»signifie qu on veut afficher le résultat du calcul «4 +». Si l on veut utiliser le contenu d une autre case dans une autre, il suffit d indiquer les coordonnées de cette case ; ainsi entrer dans la case A la formule «= B+3»signifie qu on veut afficher le résultat du calcul «somme du contenu de la case B et de 3». Les notions de référence relative et référence absolue sont essentielles dans l utilisation du tableur. Référence relative Entrer dans la case A la formule «= B4+8»c est utiliser une référence relative : le tableur doit aller chercher dans la case située une colonne à droite (B A = + = une colonne à droite) et trois lignes plus bas (4 =+3= trois lignes plus bas). Et si on copie/colle cette formule dans une autre case, par exemple en D6, le tableur traduit la formule en «=E9+8»(D+ colonne à droite= E ; 6+3 lignes plus bas = 9). Référence absolue On peut vouloir que le tableur aille chercher le contenu d une case donnée, toujours la même, même en copiant une formule. Il suffit de lui indiquer les références absolues d une case en précédent la colonne par un $ et de la ligne par un $. Ainsi entrer dans la case A la formule «= B$4 9»c est dire au tableur d aller chercher le contenu de la case située une colonne à droite (B A=+=une colonne à droite) dans la ligne 4, soit une référence relative pour la colonne et une absolue pour la ligne. Si l on copie cette formule, par exemple en D6, le tableur traduit la formule en «= E$4 9»(D+ colonne à droite = E ; ligne 4). De la même manière la formule «= $C $3+»indique que la somme doit toujours se faire avec le contenu de la case $C $3, les $ indiquant que les références de la colonne et de la ligne sont absolues. Une copie de la formule ne changera rien à la formule Au travail On va étudier dans cette activité, à l aide du tableur et des modèles précédents, l évolution de la population d animaux d une réserve qui comporte à l origine 500 individus, population qui ne peut dépasser 000, en observant ce qui se passe sur plusieurs générations (graphique des valeurs). On a donc P 0 = 500 et M = Croissance de type P n+ = ap n (a) Déterminer a quand la population, d une génération à l autre : augmente de 3,5% ; augmente de 0 % ; augmente de 5 % ; diminue de 3,5 % ; diminue de 0 % ; diminue de 5 %. (b) En utilisant le tableur, calculer, dans le premier cas, les 0 premières valeurs de P n et faire une représentation graphique de ces valeurs. On pourra procéder comme suit : Colonne A : entrer 0 et dans les cases deux premières cases ; sélectionner ces deux cases ; placer le pointeur sur le carré en bas à droite de la sélection ; cliquer et tirer vers le bas : le tableur complète automatiquement. Colonne C : entrer la valeur de a dans une case (par exemple en C 3). Colonne B : entrer 500 dans la première case et la formule de calcul dans la deuxième case en indiquant les références absolues de la case contenant a (suivi de ENTRÉE) ; sélectionner la case de la formule ; placer le pointeur sur le carré en bas à droite de la sélection ; cliquer et tirer vers le bas : le tableur complète automatiquement. Sélectionner ensuite les deux colonnes A et B puis utiliser l assistant graphique (nuage de points) 4 David Robert

137 Première S Activité (c) Que peut-on conjecturer pour l évolution de la population? Va-t-elle tendre vers un état d équilibre et si oui lequel? (d) Mêmes questions avec les autres valeurs de a. (e) En faisant ainsi varier les valeurs de a, regrouper, par intervalles, celles pour lesquelles l évolution de la population serait du même type. Cette croissance ou décroissance est dite exponentielle pure.. Croissance de type P n+ = ap n + b (a) On suppose, dans toute cette partie, que, sans l intervention de l homme, la population baisse d une génération à l autre de 0%. Montrer que P n+ = 0,8P n. (b) Pour compenser cela, à chaque génération on introduit b individus provenant d une autre réserve. On a alors P n+ = 0,8P n + b. En utilisant le tableur, calculer les 0 premières valeurs de P n en prenant b = 50 et faire une représentation graphique de ces valeurs. On pourra procéder comme suit : Colonne A : même chose que précédemment. Colonne C : entrer la valeur de b dans une case (par exemple en C3). Colonne B : entrer 500 dans la première case et la formule de calcul dans la deuxième case en indiquant les références absolues de la case contenant b ; puis même chose que précédemment. Sélectionner ensuite les deux colonnes puis utiliser l assistant graphique. (c) Que peut-on conjecturer pour l évolution de la population? Va-t-elle tendre vers un état d équilibre et si oui lequel? (d) Mêmes questions avec : b= 0 ; b= 00 ; b= 00. (e) En faisant ainsi varier les valeurs de b, regrouper, par intervalles, celles pour lesquelles l évolution de la population serait du même type. Ce type de croissance est dite décroissance exponentielle et apport constant, l apport étant la valeur de b. ) 3. Modèles du type P n+ = ap n ( P n M. On rappelle qu ici M = 000. (a) En utilisant le tableur, calculer les 0 premières valeurs de P n en prenant a=,8 et faire une représentation graphique de ces valeurs. Utiliser une case de la colonne C pour a comme précédemment (b) Que peut-on conjecturer pour l évolution de la population? Va-t-elle tendre vers un état d équilibre et si oui lequel? (c) Mêmes questions avec : David Robert 5

138 7. Petit historique sur les suites Première S a= ; a= ; a= 3, ; a= 3,5 ; a= 4. (d) En faisant varier ainsi les valeurs de a, regrouper, par intervalles, celles pour lesquelles l évolution de la population serait du même type. Vous pourrez ainsi observer aisément l influence de a sur le comportement de la suite et constater que ce comportement peut être très sensible aux petites variations du coefficient a. Par exemple : a= 3,558 ; a= 3,5688 ; a= 3,588 ; a= 3,6303 ; a= 3,675 ; 7. Petit historique sur les suites Par Frédéric Demoulin L un des premiers travaux portant sur les suites de nombres semble provenir d un certain ARCHIMÈDE (j en entends déjà se dire d ici : «encore lui!», eh oui... ). Dans son traité La mesure du cercle, pour trouver une valeur approchée de π, il avait eu la brillante idée de considérer des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle de rayon : d abord deux triangles équilatéraux, puis deux carrés, deux pentagones, etc. FIG. 7. Exemples de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle : pentagone, hexagone et octogone. Comme on peut le voir sur la figure 7., plus le nombre de côtés du polygone inscrit au cercle est grand et plus son périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui restant inférieur. De même, plus le nombre de côtés du polygone circonscrit au cercle est grand et plus son périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui restant supérieur. Les périmètres de ces polygones forment ainsi deux suites de nombres qui encadrent la circonférence du cercle, en l occurence π. Comme ARCHIMÈDE, de nombreux autres grands scientifiques (FIBONACCI, LUCAS, BERNOULLI, NEWTON, MOIVRE, CAUCHY, WALLIS, pour ne citer qu eux... ) vont, historiquement, s intéresser aux suites dans le but d approcher des valeurs numériques. Au cours du XVII e et du XVIII e siècle, l intuition et le génie de mathématiciens tels EULER ou BERNOULLI amènent à l établissement de nombreux résultats relatifs aux suites, reléguant parfois au second plan les limites de validité de leurs découvertes. Il faut donc attendre le début du XIX e siècle pour qu AUGUSTIN LOUIS CAUCHY pose les fondements rigoureux de la théorie des suites. CAUCHY prend ainsi sa revanche sur les illustres mathématiciens du XVII e et du XVIII e. Deux événements décisifs viennent alors donner un élan supplémentaire aux suites : l introduction de la notation indicielle 3 qui consiste à repérer chaque terme d une suite par une même lettre affectée d un indice et le point de vue de PEANO 4 qui définit une suite comme étant une fonction de N dans R. Plus récemment, dans la seconde moitié du XX e siècle, le développement des outils de calcul va logiquement donner un nouvel essor à l étude des suites. À l heure actuelle, les domaines d application des suites sont bien vastes : Analyse numérique, Mathématiques financières, Physique... ou encore Biologie comme on a pu le voir en activité d introduction. Très brillant scientifique grec de Sicile, mathématicien, physicien et ingénieur (87 av. J.C. av. J.C.). Mathématicien français réputé pour sa finesse et sa rigueur ( ). 3 La notation indicielle est due, semble-t-il, au grand mathématicien et astronome italien JOSEPH LOUIS LAGRANGE (736 83). 4 Mathématicien italien, la définition axiomatique des entiers naturels porte son nom (858 93). 6 David Robert

139 Première S Définition et notations 7.3 Définition et notations Définition 7.. Une suite numérique u est une fonction de N dans R, c est-à-dire une fonction qui à tout entier naturel n { associe un réel, noté u(n) ou, plus généralement, u n. N R Ainsi u : n u n Exemples 7... La suite des carrés des nombres entiers est 0 ; ; 4 ; 9 ; 6 ; etc. On peut écrire ces termes sous la forme u 0 = 0 ; u = ; u = 4 ; u 3 = 9 ; etc. On définit alors, pour tout n N, la suite (u n ) de terme général u n = n.. La suite de terme général u n = n n est définie que pour n, on la note (u n) n. 3. La suite de terme général u n = n 5 n est définie que pour n 5, on la note (u n ) n 5. Remarques (Vocabulaire, notations). n est l indice (ou le rang) et u n est le terme de rang n. Lorsque la suite n est définie qu à partir d un certain rang k, on note la suite : (u n ) n k. Si elle est définie pour tout n N, ce qui sera le cas de toutes les suites étudiées, sauf indication contraire, on n écrit pas (u n ) n 0 mais plus simplement (u n ). C est un abus d écriture mais qui évite les surcharges de notation. Attention : (u n ) désigne la suite alors que u n désigne le terme de rang n. 7.4 Modes de génération d une suite 7.4. Relevés chronologiques Dans la «vie courante», les principales suites rencontrées sont obtenues par des relevés, en général chronologiques, en économie, ou des mesures en physique. En mathématiques, nous nous intéresserons essentiellement aux suites définies mathématiquement (par des formules) dont l objet sera la modélisation des suites précédentes et à l étude de leurs propriétés mathématiques Définition par une formule explicite Une suite explicite est une suite dont le terme général s exprime en fonction de n. Elle est du type u n = f (n) où f est une fonction. On a donc la définition suivante : Définition 7.. Soit f une fonction définie au moins sur R +. On peut alors définir une suite (u n ) de la façon suivante : Pour tout n N, u n = f (n). Remarques. On peut donc caculer directement n importe quel terme de la suite à partir de l indice n. C est le côté agréable des suites explicites. Si f n est définie que sur [k;+ [, avec k > 0, la suite n est alors définie que pour n k. Exemples 7... La suite (u n ) définie, pour tout n N, par u n = n. On a u n = f (n) avec f : x x. Par exemple u 4 = 4 =7.. Les suites de l exemple précédent sont toutes des suites explicites. Les deux dernières sont définies, respectivement, pour n et pour n Définition par récurrence Une suite récurrente est définie par la donnée des premiers termes et la relation liant les termes de la suite (en général consécutifs). Plus généralement, on peut définir une suite récurrente de la façon suivante : Définition 7.3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x I, f (x) I. On peut alors définir une suite (u n ) par la donnée de u 0 I et de la relation de récurrence u n+ = f (u n ). { u0 I (u n ) : u n+ = f (u n ) { u0 = 4 Exemple 7.3. (u n ) : u n+ = u n 5 donne : David Robert 7

140 7.5 Représentation graphique d une suite Première S u 0 = 4 ; u = u 0 5=3 ; u = u 5= ; etc. Remarques. Contrairement aux suites explicites, on ne peut pas, a priori, calculer un terme quelconque de la suite, sans avoir obtenu, avant, tous les termes le précédant. De nombreux exercices seront consacrés à obtenir, malgré tout, des moyens de calculer directement un terme donné, c est-à-dire à transformer, lorsque c est possible, la suite récurrente en une suite explicite. Toutes les fonctions f ne conviennent pas. Par exemple si u 0 = 3 et f (x)= x, c est-à-dire u n+ = u n, on a u = u 0 = =. Par contre on ne peut pas calculer u, donc la suite n est pas définie. 7.5 Représentation graphique d une suite Dans tout ce paragraphe, on rapporte le plan à un repère orthonormé ( O; ı, j ) Cas général Définition 7.4. Dans un repère ( O; ı, j ), la représentation graphique d une suite (u n ) est l ensemble des points M n de coordonnées (n;u n ). Remarque. Contrairement à une fonction, la représentation graphique d une suite n est pas une courbe mais un nuage de points car la suite n est définie que pour n N. u,5 n a, mathématiquement, pas de sens et donc le point (,5;u,5 ) non plus Exemple Prenons comme exemple la suite (u n ) définie, pour tout n de N, par u n = n,5. Le terme général de cette suite est définie par une formule explicite, on a u n = f (n) où f : x x,5. Calculons les premiers termes. On a : u 0 = 0,5 =,5 ; u =,5 = 0,5 ; u =,5 = 0,5 ; u 3 = 3,5 =,5 ; u 4 = 4,5 =,5 ; u 5 = 5,5=3,5. On peut regrouper ces résultats dans un tableau. n u n,5 0,5 0,5,5,5 3,5 La représentation graphique de la suite (u n ) est l ensemble des points M 0 (0;,5), M (; 0,5), M (;0,5), etc. (voir schéma de la présente page) FIG. 7. u n = n,5 u 5 4 C f 3 u 4 u 3 M 3 M 4 M 5 j u M O i u u 0 M M 0 8 David Robert

141 Première S Représentation graphique d une suite Cas particulier : cas d une suite récurrente Dans le cas d une suite récurrente, on ne cherche pas en général à représenter graphiquement la suite au sens de la définition ci-dessus (on pourrait très bien le faire). On préfère représenter ses premiers termes sur un axe (celui des abscisses par exemple) en s appuyant sur la courbe représentative de la fonction définissant la relation de récurrence. On procède alors ainsi :. On trace la représentation graphique de f ;. On place le premier terme u 0 sur l axe des abscisses ; 3. On utilise C f pour construire u = f (u 0 ) sur l axe des ordonnées ; 4. On reporte u sur l axe des abscisses ; 5. On utilise C f pour construire u = f (u ) sur l axe des ordonnées ; 6. etc. Exemple 7.4. Prenons comme exemple la suite (u n ) définie par u 0 = et, pour tout n de N, u n+ = 3u n + 4. Le terme général de cette suite est définie par la relation de récurrence u n+ = f (u n ) où f : x 3x+ 4. On obtient alors le diagramme suivant : u 4 u 3 3 u 4 C f j u u 0 u u u 3 u 4 O i 3 4 Toutefois le report de u n depuis l axe des ordonnées jusqu à l axe des asbcisses peut se faire de façon plus efficace (et moins fastidieuse) en utilisant la droite d équation y = x, appelée première bissectrice, qui permet dans la pratique d échanger abscisse et ordonnée. On procède alors ainsi :. On trace les représentations graphiques de f et de la première bissectrice d équation y = x.. On place le premier terme u 0 sur l axe des abscisses. 3. On utilise C f pour construire u = f (u 0 ) sur l axe des ordonnées. 4. On reporte u sur l axe des abscisses à l aide de la première bissectrice. 5. On utilise C f pour construire u = f (u ) sur l axe des ordonnées. 6. etc. On obtient alors un diagramme «en escalier»ou en «escargot». On peut alors faire des conjectures en termes de variation, de comportement asymptotique, etc. Exemple 7.5. Avec la suite de l exemple précédent, on obtient la construction suivante : David Robert 9

142 7.6 Monotonie d une suite Première S u 4 u 3 4 C f 3 u y = x j u u 0 u u u 3 u 4 O i 3 4 Ici la suite semble être croissante et, plus n devient grand, plus ses termes semblent se rapprocher de Monotonie d une suite 7.6. Définitions Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de variation pour une suite. Définition 7.5. Soit (u n ) une suite, n 0 un entier naturel. On dit que : la suite (u n ) est croissante à partir du rang n 0 si, pour tout entier n n 0 : u n+ u n ; la suite (u n ) est décroissante à partir du rang n 0 si, pour tout entier n n 0 : u n+ u n ; la suite (u n ) est stationnaire à partir du rang n 0 si, pour tout entier n n 0, u n = u n+. Définition 7.6. Soit (u n ) une suite, n 0 un entier naturel. On dit que (u n ) est monotone à partir du rang n 0 si son sens de variation ne change pas à partir du rang n 0 (elle reste croissante à partir du rang n 0 ou décroissante à partir du rang n 0 ) Étudier la monotonie d une suite c est donc étudier ses variations. Remarques. On obtient les définitions de strictement croissante, décroissante ou monotone en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes. Si la suite est définie et stationnaire à partir du rang n 0, alors la suite (u n ) est constante 7.6. Méthodes Signe de la différence u n+ u n Pour étudier le sens de variation d une suite, on peut étudier le signe de la différence u n+ u n. Cette méthode est très générale et fonctionne tout le temps. Exemple 7.6. Soit (u n ) la suite définie, pour tout n N, par u n = n n. On a, pour tout n N : u n+ u n = (n+ ) (n+ ) n + n= n + n+ n n + n= n. Pour tout n N, n 0 donc u n+ u n 0 donc u n+ u n. La suite (u n ) est croissante. Comparaison de u n+ u n à Pour étudier le sens de variation d une suite à termes strictement positifs, on peut comparer u n+ u n à. Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites dont le terme général contient une puissance ou un produit. Exemple 7.7. Soit (u n ) la suite définie, pour tout n N, par u n = n n. La suite (u n) est à termes strictement positifs car n N. 30 David Robert

143 Première S Convergence d une suite On a, pour tout n N : u n+ n+ n+ = u n n n = n+ n n n+ = n n n n+ = n n+. n Or, n+ n n+ n, donc, pour tout n, u n+ u n donc u n+ u n car u n > 0. La suite (u n ) est croissante à partir du rang. Variations de la fonction associée Pour étudier les variations d une suite définie par une formule explicite, on peut étudier les variations de la fonction associée. On s appuie alors sur le théorème suivant. Théorème 7.. Soit (u n ) la suite définie par la relation u n = f (n) où f est une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme [a;+ [ (ou ]a ;+ [) avec a R + et n 0 le premier entier supérieur à a. Si la fonction f est monotone sur [a ;+ [ (ou ]a ;+ [), alors la suite (u n ) est monotone à partir du rang n 0 et a même sens de variation que f. Preuve. Voyons le cas où f est croissante sur [a;+ [, les autres cas se démontrant de manière analogue. Supposons f croissante sur [a;+ [. Pour tout n [n 0 ;+ [, on a n 0 n< n+ donc f (n)< f (n+) donc u n < u n+. La suite (u n ) est donc croissante à partir de n 0. Cette méthode concerne donc uniquement les suites définies par une formule explicite, elle est intéressante lorsque les variations de la fonction associée sont simples à déterminer. Exemple 7.8. Soit (u n ) la suite définie, pour tout n N tel que n par u n = n. On a u n = f (n) où f : x x, définie sur [;+ [. La fonction f est une fonction associée à la fonction racine et, comme la fonction racine est croissante sur R +, d après les propriétés des fonctions asociées, f est croissante sur [;+ [. D après le théorème précédent, la suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang. Remarque. La réciproque du théorème est fausse. En effet, considérons la suite (u n ) définie, pour tout n N, par u n = n+ sin(πn). On a u n = f (n) où f : x x+ sin(πx), définie sur [0;+ [. Étudions les variations de la suite (u n ). En remarquant que, pour tout n de N, sin(πn)=0, il vient u n+ u n = >0, la suite (u n ) est donc strictement croissante. Qu en est-il des variations de la fonction f sur [0;+ [? 4 u 4 M 4 3 u 3 M 3 C f u M j u M M 0 u 0 O i 3 4 Comme on peut le voir graphiquement, la fonction f n est pas monotone sur [0; + [. Moralité, pour étudier les variations d une fonction, on ne pourra pas introduire une suite et s appuyer sur les variations de cette dernière. 7.7 Convergence d une suite 7.7. Généralités Définition 7.7. On dit qu une suite converge vers un réel l (on dit aussi admet pour limite l) lorsque tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Dans les autres cas, on dit que la suite diverge. David Robert 3

144 7.7 Convergence d une suite Première S Remarque. Comme pour les fonctions, on pourra écrire pour les suites lim u n mais, l étude de la convergence d une n + suite se faisant toujours lorsque n tend vers+, on peut omettre de le préciser. L écriture devient alors limu n. Remarque. Plus mathématiquement, la définition peut s énoncer ainsi : Pour tout réel ǫ strictement positif (qu on peut imaginer très petit), il existe un rang N tel que si n N alors u n l <ǫ. Graphiquement, cela se traduit ainsi : Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang à partir duquel tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. Exemple 7.9. Considérons la suite définie pour tout n> par :u n = ( )n n y j ǫ O -ǫ i N x Le graphique permet de conjecturer que lim ( )n n = 0. Nous verrons plus tard comment le démontrer. Remarque. Parmi les suites divergentes, il en existe de deux types : celles dont la limite est infinie comme la suite définie pour tout n N par u n = n ; celles qui n ont pas de limite comme la suite définie pour tout n N par u n = ( ) n (qui vaut ou selon la parité de n) Étude de la limite d une suite Cas des suites explicites : u n = f (n) Théorème 7.. Soit (u n ) une suite définie pour tout n N par u n = f (n), alors : Si lim f (x)=l alors lim u n = l x + n + On l admettra. Ce théorème permet de «récuperer»toutes les propriétés sur les limites vues durant le chapitre Comportement asymptotique, en particulier les théorèmes de comparaison, et l étude de la convergence d une suite explicite reviendra presque systématiquement à étudier la limite en l infini de la fonction associée. Exemple 7.0. Soit (u n ) la suite définie pour tout n N par : u n = n 4 (cosn ). On a cosn 3 cosn, donc u n n 4. Or lim x + x4 = donc lim n + n4 = et limu n =. Exemple 7.. Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n strictement positif par : u n = ( )n n. On a ( ) n donc n u n n. Or lim n = lim n = 0 donc limu n = 0. 3 David Robert

145 Première S Exercices 7.8 Exercices Exercice 7.. On connaît les premiers termes de quelques suites. Suite (a n ) Suite (b n ) Suite (c n ) Suite (d n ) Suite (e n ) a 0 = 0 c 0 = e 0 = 00 a = b = c =,5= 3 d = e = 0 a = 4 b = a 3 = 9 b 3 = 3 a 4 = 6 b 4 = 4 a 5 = 5 b 5 = 5 c =,75= 7 4 c 3 =,875= 5 8 c 4 =,9375= 3 6 c 5 =,96875= 63 3 d = 3 e = 4 d 3 = 5 e 3 = 0,8 d 4 = 7 e 4 = 0,6 d 5 = 9 e 5 = 0,03. Conjecturer, dans chaque cas, une formule explicite satisfaisante (c est-à-dire, une formule vérifiée par les premiers termes connus).. À l aide des formules explicites obtenues, calculer, pour chacune des cinq suites ci-dessus, le terme d indice Étudier la monotonie de chacune de ces suites. 4. (a) Montrer que, pour tout n N, a n 0. (b) Montrer qu il existe deux réels m et M tels que, pour tout n N, m b n M. (c) Montrer que pour tout n N, c n. 5. Déterminer une relation de récurrence pour les suites (a n ), (c n ), (d n ) et (e n ). 6. On note (S n ) la suite définie par : S n = d + d +...+d n (a) Calculer S, S, S 3 et S 4. (b) Montrer que : S n = n. 7. Quelles conjectures peut-on faire concernant ces suites quant à leur comportement quand n devient très grand? Exercice 7.. Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :. u n = + n pour n ;. v n = n+ n pour n ; 3. w n = ( 3) n pour n N. Exercice 7.3. Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :. u n = n+ pour n N ;. v n = n+ n+3 pour n N ; Exercice 7.4. (v n ) est la suite définie pour tout entier strictement positif par v n = n n. Calculer ses quatre premiers termes. 3. u n = n n pour n N ; 4. w n = 3 n pour n N.. On cherche à montrer que la suite est croissante à partir du rang n= 3. (a) Résoudre l inéquation (b) Montrer que v n+ v n (c) Conclure. = n (n+). x >. (x+) Exercice 7.5. On donne les suites définies par récurrence suivantes : { { u0 = 3 v0 = (u n ) : u n+ = 3 u n+ (v n ) : v n+ = Pour chacune de ces suites : { ( ) w0 = 0 vn (w n ) : w n+ = w n+3 +v n w n +4. Construire leur représentation graphique en «escargot»(dans des repères distincts) ;. Conjecturer leur monotonie et leur comportement quand n devient grand. David Robert 33

146 7.8 Exercices Première S Exercice 7.6. On considère la suite (u n ) définie par récurrence par : (u n ) :. Montrer que u, u et u 3 appartiennent à [0; ].. Montrer que si 0 u n alors 0 u n+. 3. En déduire que 0 u n pour tout n N { u0 = u n+ = +u n Remarque. Ce type de démonstration est appelé «une démonstration par récurrence». Ainsi si on veut démontrer par récurrence que tous les termes d une suite vérifient une propriété P, on procède de la façon suivante : On montre que le ou les premiers termes vérifient P On montre que si u n vérifie P, alors u n+ vérifie P (on dit qu elle est héréditaire) On peut alors conclure qu elle est vraie pour tout n N (car étant vraie pour u elle l est aussi pour u, étant vraie pour u elle l est aussi pour u 3 et ainsi de suite). Vous aurez l occasion d y revenir longuement en Terminale. Exercice 7.7. { u0 = et u = On considère la suite (u n ) définie par récurrence par : (u n ) : u n+ = 6u n+ 5u n. Calculer u, u 3 et u 4.. On veut démontrer par récurrence que, pour tout n N, la propriété P suivante est vérifiée : P : u n = A 5 n + B où A et B sont deux réels à déterminer. (a) À l aide de u 0 et u, déterminer les seules valeurs possibles pour A et B et regarder si u, u 3 et u 4 vérifient P. (b) On suppose que u n et u n+ vérifient P, c est-à-dire que u n = A 5 n + B et que u n+ = A 5 n+ + B. Montrer qu alors u n+ vérifie P. (c) Conclure. 3. En déduire u 0. Exercice 7.8. Étudier la convergence des suites :. u n = + n pour n. u n = n+ pour n n Exercice sinn+ cosn+ 5n Étudier la convergence de la suite définie pour n par : u n = n 34 David Robert

147 Chapitre 8 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques Sommaire 8. Activité Suites arithmétiques Suites géométriques Exercices et problèmes Activité Un étudiant loue un chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail : Premier contrat : un loyer de 00 pour le premier mois, puis une augmentation de 5 par mois jusqu à la fin du bail ; Second contrat : un loyer de 00 pour le premier mois, puis une augmentation de % par mois jusqu à la fin du bail.. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c est-à-dire celui du 36 è mois. 3. Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans? (Justifier à l aide de calculs). 8. Suites arithmétiques 8.. Définition et premières propriétés Définition 8.. On appelle suite arithmétique toute suite (u n ) telle que Pour tout entier naturel n, u n+ = u n + r où r R r est appelé la raison de la suite arithmétique. Remarque. Pour démontrer qu une suite est arithmétique, il suffit de montrer que, pour tout n, la différence u n+ u n est constante. Cette constante sera alors la raison de la suite. Exemples 8.. La suite contituée des montants des loyers correspondants au premier contrat de l activité est une suite arithmétique définie par u 0 = 00 et u n+ = u n + 5 (qui s arrête toutefois à n= 36). La suite formée par les nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique. Celle formée par les nombres entiers naturels impairs aussi. La suite définie par : pour tout n, u n = 3n est arithmétique. En effet u n+ u n = 3(n+ ) (3n )=3 u n+ = u n + 3 (de raison 3). La suite définie par : pour tout n, u n = n n est pas arithmétique. En effet u n+ u n = (n+ ) n = n+ constante. On peut le voir encore plus facilement sur les premiers termes : u u 0 = u u = 3 35

148 8. Suites arithmétiques Première S Propriété 8.. Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et raison r. Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que 0 p n, on a : u n = u p + (n p)r Et en particulier, avec p = 0 : u n = u 0 + nr Remarque. Cette propriété est importante car elle transforme une suite arithmétique, définie par récurrence (u n+ = f (u n )), en une suite définie explicitement (u n = f (n)). Preuve. Commençons par démontrer par récurrence le second point :. Pour n = 0, la formule est trivialement vraie : u 0 = u 0 + 0r. De même pour n = : par définition de la suite, u = u 0 + r.. Si u n = u 0 + nr alors u n+ = u n + r = u 0 + nr + r = u 0 + (n+ )r. 3. () La propriété est vérifiée pour n = 0 et n = ; () si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+ ; (3) donc elle est vraie pour tout n. Démontrons alors le premier point : u p + (n p)r = u 0 + pr + (n p)r = u 0 + nr = u n 8.. Variations d une suite arithmétique Propriété 8.. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Alors : si r > 0, (u n ) est strictement croissante ; si r < 0, (u n ) est strictement décroissante ; si r = 0, (u n ) est constante. Preuve. Pour tout n 0 on a u n+ u n = u n + r u n = r, ce qui donne le résultat Convergence d une suite arithmétique Propriété 8.3. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Alors si r > 0, lim u n =+ n + si r < 0, lim u n = n + si r = 0, lim u n = u 0 n + Preuve. On a u n = u 0 + nr = f (n) avec f (x) = r x+ u 0 qui est une fonction affine. On obtient alors les limites de la propriété avec celles des fonctions affines Somme de termes consécutifs d une suite arithmétique Pour obtenir ce résultat, nous avons besoin de la petite propriété suivante (on appelle ça un lemme : une propriété qui sert à la démonstration d une autre) Lemme 8.4. Soit S= n la somme des n premiers entiers. Alors S= n= (+n)n Preuve. Écrivons S de deux manières : S = n + n et S = n + n donc S = n+ + n n+ + n+ Donc S= n(n+ ) S= (+n)n Démontrons alors que : Voir l exercice 7.6 pour plus de détails sur ce type de démonstration. 36 David Robert

149 Première S Suites géométriques Propriété 8.5. Soit (u n ) une suite arithmétique et n et p deux entiers naturels tels que 0 p n. Alors : n i=p En particulier, en posant p = 0, on obtient : u i = u p + u p u n = (u p+ u n )(n p+ ) n i=0 u i = u 0 + u +...+u n = (u 0+ u n )(n+ ) Preuve. Commençons par le second point. Pour tout i on a u i = u 0 + i r. n u i = u 0 + u +...+u n + u n = u 0 + (u 0 + r )+...+(u 0 + (n )r )+(u 0 + nr ) i=0 ( ) (+n)n = (n+ )u 0 + r (+...+n) = (n+ )u 0 + r d après le lemme = (n+ )u 0+ r (+n)n = (n+ )(u 0+ u 0 + nr ) Passons au premier point. n i=p = (n+ )(u 0+ nr ) = (u 0+ u n )(n+ ) car u 0 + nr = u n u i = u p + u p u n = u p + (u p + r )+...+(u p + (n p)r ) = (n p+ )u p + r (+...+(n p)) =... = (n p+ )(u p+ u p + (n p)r ) = (u p+ u n )(n p+ ) Cette formule peut se retenir de la façon suivante : 8.3 Suites géométriques 8.3. Définition et premières propriétés La somme S de termes consécutifs d une suite arithmétique est : S= (er terme+dernier)(nb de termes) Définition 8.. On appelle suite géométrique toute suite (u n ) telle que q est appelé la raison de la suite géométrique. Remarques. Pour tout entier naturel n, u n+ = q u n où q R. Si q = 0, tous les termes de la suite, hormis peut-être u 0 sont nuls. Si u 0 = 0, tous les termes de la suite sont nuls. En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents de zéro.. Pour démontrer qu une suite est géométrique (en dehors des deux cas triviaux), il suffit de montrer que, pour tout n, le quotient u n+ est constant. Cette constante sera alors la raison de la suite. u n Exemples 8.. La suite contituée des montants des loyers correspondants au second contrat de l activité est une suite géométrique définie par u 0 = 00 et u n+ =,0u n (qui s arrête toutefois à n= 36). La suite définie par : pour tout n, u n = n est géométrique. En effet u n+ = n+ u n n = u n+= u n (de raison ). La suite définie par : pour tout n, u n = n n est pas arithmétique. En effet u n+ (n+ ) = u n n constante. On peut le voir encore plus facilement sur les premiers termes : u = 4 u 3 = 9 u u 4 David Robert 37

150 8.3 Suites géométriques Première S Propriété 8.6. Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 et raison q. Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que 0 p n, on a : u n = q n p u p Et en particulier, avec p = 0 : u n = q n u 0 Remarque. Cette propriété est importante car elle transforme une suite géométrique, définie par récurrence (u n+ = f (u n )), en une suite définie explicitement (u n = f (n)). Preuve. Commençons par démontrer par récurrence le second point :. Pour n = 0, la formule est trivialement vraie : u 0 = q 0 u 0. De même pour n = : par définition de la suite, u = q u 0.. Si u n = q n u 0 alors u n+ = qu n = q q n u 0 = q n+ u () La propriété est vérifiée pour n = 0 et n = ; () si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+ ; (3) donc elle est vraie pour tout n. Démontrons alors le premier point : q n p u p = q n p q p u 0 = q n u 0 = u n 8.3. Variations d une suite géométrique On ne s intéresse, en première, qu aux variations de suites géométriques de raison positive. Propriété 8.7. Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 0. Alors, si u 0 > 0 : si q = 0, (u n ) est stationnaire pour n si 0< q <, (u n ) est strictement décroissante ; si q =, (u n ) est constante ; si q >, (u n ) est strictement croissante ; Remarque. Si u 0 < 0 les sens de variations sont inversés dans le cas q > ou 0< q <. On l admettra Preuve. Hormis le premier cas, trivial : pour tout n 0 on a u n+ u n = q, ce qui donne le résultat Convergence d une suite géométrique Propriété 8.8. Soit (u n ) une suite géométrique de raison q telle que u 0 > 0. Alors : si q <, (u n ) est divergente si < q <, lim u n = 0 n + si q =, lim u n = u 0 n + si q >, lim u n =+ n + Remarque. Si u 0 < 0 et q >, lim u n = n + On l admettra Somme de termes consécutifs d une suite géométrique Pour obtenir ce résultat, nous avons besoin du lemme suivant : Lemme 8.9. Soit q et S= + q+ q q n. Alors S= + q+ q q n = qn+ q. Preuve. Remarquons que q S= q+ q q n + q n+. Donc S qs= q n+ S( q)= q n+ donc, pour q, S= Démontrons alors que : qn+ q. 38 David Robert

151 Première S Exercices et problèmes Propriété 8.0. Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et n et p deux entiers naturels tels que 0 p n. Alors : n q n p+ u i = u p q En particulier, en posant p = 0, on obtient : i=p n q n+ u i = u 0 + u +...+u n = u 0 i=0 q Preuve. On ne démontrera que le second point. Pour tout i on a u i = q i u 0. n u i = u 0 + u +...+u n + u n = u 0 + qu 0 + q u q n u 0 i=0 = u 0 (+ q+...+ q n ) = u 0 q n+ q Cette formule peut se retenir de la façon suivante : 8.4 Exercices et problèmes 8.4. Exercices La somme S de termes consécutifs d une suite géométrique est : S= er de termes qnb terme q Exercice 8.. Pour chacune des suites données ci-dessous : u 0 = 0 et u n+ = u n + pour tout n N v n = 5 n pour tout n N w n = (n+ ) n pour tout n N x n = 3n pour tout n N ( n+ ) n y n = pour tout n N. Calculer les trois premiers termes.. La suite est-elle géométrique? arithmétique? 3. Si elle est arithmétique ou géométrique : (a) calculer le terme de rang 00 ; (b) calculer la somme des termes jusqu au rang 00. Exercice 8... La suite (u n ) est artihmétique de raison r = 8. On sait que u 00 = 650. Que vaut u 0?. La suite (u n ) est arithmétique de raison r. On sait que u 50 = 406 et u 00 = 806. (a) Déterminer r et u 0. (b) Calculer S= u 50 + u u 00. Exercice 8.3. On considère une suite géométrique (u n ) de premier terme u = et de raison q =.. Calculer u, u 3 et u 4.. Calculer u Calculer la somme S= u + u +...+u 0. Exercice 8.4. Que vaut u 0?. La suite (u n ) est géométrique de raison q =. On sait que u 8=.. La suite (u n ) est géométrique de raison q. On sait que u 4 = 0 et u 6 = 0. (a) Déterminer q et u 0. (b) Calculer S= u 50 + u u 00. Exercice Calculer les sommes suivantes : David Robert 39

152 8.4 Exercices et problèmes Première S (a) S = et S = (b) S 3 = (c) S 4 = et S 5 = (d) A= et B = Lequel des deux nombres suivants est le plus grand? A= 005( ) B = 006( ) 8.4. Problèmes Problème 8.. Jean est en train de lire un livre. En additionnant les numéros de toutes les pages qu il a déjà lues, il obtient 35. en additionnant les numéros de toutes les pages qu il lui reste à lire, il obtient À quelle page en est Jean?. Combien de pages comporte ce livre? On supposera que le livre commence à la page n. Problème 8.. On considère les deux suites (u n ) et (v n ) définies, pour tout n N, par : u n = 3n 4n+ 3. Soit (w n ) la suite définie par w n = u n + v n. Démontrer que (w n ) est une suite géométrique.. Soit (t n ) la suite définie par t n = u n v n. Démontrer que (t n ) est une suite arithmétique. 3. Exprimer la somme suivante en fonction de n : S n = u 0 + u +...+u n et v n = 3n + 4n 3 Problème 8.3. Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l année n = 0, où il y a eu 00 clients. Chaque année, sa clientèle est composée de 50% des clients de l année précédente auxquels s ajoutent 400 nouveaux clients.. Soit u n le nombre de clients l année n. Justifier que u n+ = 0,5u n + 400, puis calculer u,u, u 3 et u 4.. La fonction f définie sur [0;+ [ par : f (x)=0,5x+ 400 est représentée par la courbe C page ci-contre, ainsi que la première bissectrice d équation y = x. Construire la représentation en escalier de la suite (u n ). 3. (a) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d intersection des deux droites (b) Que laisse supposer cette représentation sur la limite de la suite (u n )? 4. On considère la suite (v n ) définie par v n = u n 800. (a) Vérifier que v n+ = 0,5v n. (b) Quelle est la nature de la suite (v n )? (c) En déduire l expression de v n, puis celle de u n, en fonction de n. (d) Étudier la limite de la suite (u n ). Que peut on en déduire concernant le nombre de clients du fournisseur? 40 David Robert

153 Première S Exercices et problèmes C O 000 Problème 8.4. Le er janvier 005, une grande entreprise compte 500 employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 0% de l effectif du er janvier partira à la retraite au cours de l année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l entreprise embauche 00 jeunes dans l année. Pour tout entier n on appelle u n le nombre d employés le er janvier de l année (005+n).. Déterminer u 0, u, u et u 3. (a) Montrer que u n+ = 0,9u n (b) Cette suite est-elle arithmétique? Cette suite est-elle géométrique? 3. On pose v n = u n 000. (a) Déterminer v 0, v, v et v 3. (b) Montrer que (v n ) est géométrique. (c) En déduire v n en fonction de n. (d) En déduire u n en fonction de n. (e) En déduire quel sera l effectif de l entreprise le er janvier de l année 07 Problème 8.5. Un étudiant souhaite s acheter une super collection de CD d une valeur de 000. Pour économiser une telle somme, il ouvre un compte épargne à la banque qui rapporte 0,5% mensuellement. À l ouverture, il dépose 00 le premier d un mois, et ensuite 50 le er de chaque mois. On pose c 0 = 00 et on note c n le capital le premier de chaque mois après le versement initial.. Calculer les capitaux c, c et c 3 du premier, deuxième et troisième mois.. Montrer que (c n ) vérifie une relation de récurrence de la forme c n+ = ac n +b, où a et b sont des réels à déterminer. 3. On pose u n = c n (a) Montrer que cette suite est géométrique. (b) En déduire c n puis u n en fonction de n. 4. Montrer que (c n ) est croissante. 5. Déterminer le nombre de mois nécessaires pour l achat de la collection. Problème 8.6. Une ville comprenait habitants au premier janvier 950. On estime que la ville accueille tous les ans % de nouveaux arrivants et a un taux annuel de natalité de 3%. On constate curieusement un nombre fixe de décès et de départ de 800 personnes par an. On veut déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en Quelle était la population estimée de la ville le premier janvier 95? David Robert 4

154 8.4 Exercices et problèmes Première S On note p n la population de la ville à l année 950+n. Exprimer p n+ en fonction de p n. 3. On pose q n = p n (a) Montrer que cette suite est une suite géométrique. (b) Exprimer q n puis p n en fonction de n. 4. Montrer que ( p n ) est croissante. 5. Déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en 950. Problème 8.7. On considère la suite (u n ) définie par : (u n ) u 0 = 7 u n+ = 7u n+ 36 pour tout n N u n 5. Calculer u et u. La suite (u n ) est-elle arithmétique? géométrique?. On pose v n = pour tout n N. u n + 6 (a) Calculer v 0, v et v. Que peut-on conjecturer sur la nature de (v n )? (b) Démontrer votre conjecture. (c) En déduire l expression de v n en fonction de n puis celle de u n. (d) Étudier la monotonie de (u n ). (e) Étudier la convergence de (u n ). (f) Calculer u 0. 4 David Robert

155 Cinquième partie Statistiques et probabilités 43

156

157 Chapitre 9 Statistiques Sommaire 9. Rappels de Seconde Un problème Médiane, quartiles et déciles Moyenne, variance et écart-type Exercices Rappels de Seconde 9.. C est quoi? La statistique (par opposition à une statistique) est l activité qui consiste à recueillir, traiter et interpréter un ensemble de données d informations. Le traitement des données consiste à produire des statistiques (au pluriel). Le but de la statistique est d extraire des informations pertinentes d une liste de nombres difficile à interpréter par une simple lecture. La statistique est une activité vieille comme le monde (les premiers écrits connus sont des relevés statistiques de bétail) mais elle a pris une importance particulière dès lors que des états se sont constitués et ont eu besoin de mesurer leur population dans le but de prévoir (structures, etc.). Le nom de cette activité en garde la trace puisque statistique vient du latin status signifiant état. 9.. Un peu de vocabulaire L ensemble sur lequel porte une étude statistique est appelé population, même s il s agît d objets, constitué d individus sur lesquels on observe un caractère. Si la population est trop grande on s intéresse à un échantillon de cette population. Ainsi on peut s intéresser à une classe (population), comportant des élèves (individus) et observer leur nombre de frères et soeurs (caractère) ou une chaîne d usine produisant des bras de suspension pour voiture (population), et observer sur chaque pièce (individu) ses dimensions exactes (caractère) ou encore s intéresser à la population française (population dont on prendra un échantillon représentatif) comportant des individus (individus) et estimer leur intention de vote (caractère) pour la prochaine présidentielle. L ensemble des observations collectées constitue la série statistique qui est dite quantitative quand le caractère observé est mesurable (nombre de frères et soeurs, dimensions d une pièce) et qualitative sinon (candidat pour lequel un individu à l intention de voter). Dans le cas d une série quantitative, celle-ci est dite discrète si les valeurs pouvant être prises par le caractère est limité à un ensemble fini de valeurs (le nombre de frères et soeurs ne peut être qu un élément de l ensemble {0; ;... ; 0}) et continue si le caractère étudié peut prendre n importe quelle valeur dans un intervalle (les dimensions d une pièce) Traitement des données Une fois les données collectées, celles-ci sont triées. Chaque valeur se voit attribuer un effectif qui est le nombre de fois que la valeur revient dans la série, une fréquence qui est l effectif de la valeur sur l effectif total, parfois exprimée en pourcentage. Dans une série statistique quantitative, s il y a trop de valeurs différentes, elles sont rangées par classe (intervalle), l effectif de la classe étant alors le nombre de données de la série appartenant à cet intervalle. 45

158 9. Rappels de Seconde Première S Interpréter des séries statistiques Pour faire parler ces (souvent longues) séries, il est nécessaire de les résumer : on produit alors des statistiques. Tout résumé met en évidence certaines caractéristiques de la série mais engendre une perte d information, toutes les données n étant plus accessibles. Le résumé peut être un graphique. En Seconde vous avez vu le diagramme en bâtons et l histogramme (pour des séries rangées en classes). Nous en verrons un autre cette année. Il peut aussi être numérique dans le cas d une série satistique quantitative. Ces résumés numériques sont de deux types : les mesures centrales et les mesures de dispersion Mesures centrales Elles visent à résumer la série par une seule valeur qu on espère représentative de toutes les valeurs de la série. En Seconde vous en avez vu trois : le mode, la moyenne, la médiane. Rappelons leur définition. Mode Définition 9.. Le mode d une série statistique est la donnée la plus fréquente de la série. Remarques. S il y a plusieurs données arrivant à égalité, il y a plusieurs modes. Si les données sont rangées en classe, on parle de classe modale. Le mode est défini aussi bien pour les séries quantitatives que qualitatives. Moyenne Définition 9.. La moyenne d une série statistique quantitative est le nombre x tel que la somme de toutes les valeurs de la série est inchangée si on remplace chaque valeur par x On démontre facilement la propriété suivante : Propriété 9.. moyenne de S, notée x, est x = Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = {x, x,..., x i,..., x n }. Alors la n x i i= n Remarque. Le symbole indique une somme. Ici il faut lire «somme de i = à n des valeurs x i»soit, en d autres termes, n x i = x + x x n. i= Preuve. Par définition de x, n x i = } x+ x+ {{...+ x } = nx, donc x = n i= n x i i= n Médiane Définition 9.3. On appelle médiane d une série statistique quantitative tout nombre m tel que : la moitié au moins des valeurs de la série est inférieure à m la moitié au moins des valeurs de la série est supérieure à m Remarques. Rappel : mathématiquement «inférieur»et «supérieur»signifient, en français, «inférieur ou égal»et «supérieur ou égal». On admettra qu un tel nombre existe toujours. Plusieurs valeurs peuvent parfois convenir pour la médiane (voir exemple ci-dessous). La médiane partage la série en deux sous-séries ayant quasiment le même effectif ; quasiment car si plusieurs valeurs de la série sont égales à la médiane, les données inférieures à la médiane et les données supérieures à la médiane ne seront pas forcément en nombre égal. Il faut comprendre la médiane comme «la valeur du milieu». 46 David Robert

159 Première S Rappels de Seconde Exemples 9.. L élève A a obtenu les 8 notes suivantes : x = 5; x = 5; x 3 = 6; x 4 = 9; x 5 = 0; x 6 = ; x 7 = 3; x 8 = 3 Pour cette série, tout nombre compris dans l intervalle [9; 0] est une médiane. En effet il faut au moins 8 = 4 données inférieures et supérieures à la médiane m, donc la médiane sera supérieure aux quatre plus petites valeurs de la série, donc m 9 et elle sera inférieure aux quatre plus grandes valeurs de la série, donc m 0. Donc tout nombre de l intervalle [9; 0] est une médiane. L usage veut qu alors on prenne comme médiane la moyenne des valeurs centrales x 4 et x 5, soit 9,5. L élève B a obtenu les 9 notes suivantes : x = ; x = 3; x 3 = 5; x 4 = 6; x 5 = 8; x 6 = 9; x 7 = 9; x 8 = 0; x 9 = 0 Pour cette série, seul 8 convient comme médiane. En effet, il faut au moins 9 = 4,5 valeurs inférieures et supérieures à la médiane m, donc 5. La médiane devra donc être supérieure aux 5 plus petites valeurs, donc m 8 et inférieure aux 5 plus grandes valeurs, donc m 8. La seule possibilité est m= 8. On peut en faire une propriété qu on admettra : Propriété 9.. Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = {x, x,..., x i,..., x n } telles que x x... x n. Si n est impair, la médiane m de S est le n+ -ième élément de la série : m= x n+ Si n est pair, tout nombre compris entre le n -ième et le ( n généralement m= x n +x ( n + ) + ) -ième élément de la série est une médiane. On prend Avantages et défauts de ces trois mesures Mode Le mode est un résumé sommaire d une série qui fournit un type d information assez limité. Il pourra intéresser un publicitaire. Moyenne La moyenne a des avantages calculatoires. Ainsi si l on connaît les moyennes et les effectifs de deux séries (ou deux sous-séries), on peut obtenir la moyenne de la série constituée l agrégation de ces deux séries. Exemple 9.. Dans une classe, 0 élèves font anglais en langue vivante et ce groupe a une moyenne de 8,9 au premier trimestre et 0 élèves font allemand et ce groupe a obtenu une moyenne de au premier trimestre. La moyenne de cette classe en langue vivante est 08, En effet, par définition de la moyenne, la somme de toutes les notes obtenues en anglais est égale à nx = 08,9, celle de toutes les notes obtenues en allemand est égale à nx = 0. Pour obtenir la moyenne de classe, on additionne toutes les notes d anglais et d allemand et on divise par l effectif total. La formule ci-dessus donne donc bien la moyenne de classe en langue vivante. La moyenne a le défaut d être très sensible aux valeurs extrêmes. Exemple 9.3. Un élève ayant obtenu les notes : 3, 4, 5, 4 en mathématique au premier trimestre aura une moyenne de,5. Or cette moyenne est inférieure à toutes les notes qu il a obtenue, sauf une, et est finalement assez peu représentative de son travail dans cette matière. Cela est dû au fait que le 4 est extrême (par rapport aux autres valeurs) et «tire»beaucoup la moyenne vers le bas. En présence de données aberrantes, le statisticien procède parfois au calcul de la moyenne élaguée, c est-à-dire de la moyenne de la série initiale de laquelle on a retiré les données aberrantes. Médiane La médiane a l avantage de ne pas être influencée par les valeurs extrêmes. Exemple 9.4. Soit S et S deux séries : S : {8,9,3,3,3} S : {,,3,0,0}. Ces deux séries ont la même médiane : 3, mais pas la même moyenne : x =, x = 5,4. Dans le premier cas, le 8 et le 9 tirent la moyenne vers le bas (et aucune valeur ne tire la moyenne vers le haut), dans le second, les deux 0 tirent la moyenne vers le haut (et aucune ne la tire vers le bas). Dans les deux cas ces données n influencent aucunement la médiane. La médiane n a aucun avantage pratique dans les calculs, puisque pour connaître la médiane d une série constituée de l agrégation de deux séries, il faut nécessairemlent re-ordonner la nouvelle série pour trouver sa médiane, qui n aura pas de lien avec les deux médianes des deux séries initiales. David Robert 47

160 9. Un problème Première S Mesures de dispersion En Seconde, les seules mesures de dispersion abordées sont les valeurs extrêmes (valeurs minimale et maximale) et l étendue (différence entre les valeurs extrêmes de la série). Un des objectifs de la première est de les compléter par d autres mesures plus fines. 9. Un problème 9.. Le problème Le couple moyenne-médiane fournit de bonnes informations sur une série dans certains cas : Si la moyenne est supérieure à la médiane, on peut conjecturer les données supérieures à la médiane sont éloignées de celle-ci ou que les données inférieures à la médiane sont proches de celle-ci (le mode peut alors indiquer laquelle de ces deux possibilités est la plus probable) ; si la moyenne est très supérieure à la médiane on peut conjecturer que les deux facteurs jouent. Si la moyenne est inférieure à la médiane, on peut conjecturer les données supérieures à la médiane sont proches de celle-ci ou que les données inférieures à la médiane sont éloignées de celle-ci (le mode peut alors indiquer laquelle de ces deux possibilités est la plus probable) ; si la moyenne est très inférieure à la médiane on peut conjecturer que les deux facteurs jouent. Dans ces cas là, avec seulement nombres (médiane et moyenne), on peut avoir un bon résumé de la série. Par contre si moyenne et médiane sont proches, la seule chose qu on peut dire c est les données inférieures et supérieures à la médiane se compensent pour la moyenne. Soit pas grand chose. On va voir dans le problème qui suit qu il nous faut d autres outils pour faire résumer une série. Problème 9.. Soit S, S et S 3 les trois séries de notes suivantes : S ; ; 4; 4; 6; 0; 4; 6; 6; 8; 8 S ; 8; 9; 0; 0; 0; ; ; 8 S 3 ; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 9; 0; ; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 8. Pour chacune de ces séries, déterminer les valeurs extrêmes, la moyenne et la médiane. Que constate-t-on?. Ces trois séries ont-elles la même allure? Inventer des mesures permettant de témoigner des différences entre elles. 9.. Résolution du problème Les trois séries proposées ont les mêmes valeurs extrêmes, la même moyenne et la même médiane, cependant on peut observer qu elles n ont pas la même allure. Dans S, deux blocs de notes extrêmes de part et d autre des valeurs centrales et se compensent pour la moyenne. Dans S, hormis les valeurs extrêmes, toutes les notes sont regroupées autour des valeurs centrales. Dans S 3, deux gros blocs sont situés de part et d autre des valeurs centrales, l un autour de 5, l autre autour de 5, et se compensent pour la moyenne et un petit bloc est centré sur 0. Il s agît donc d inventer des mesures témoignant de la dispersion globale des données autour des valeurs centrales. Ce nouvel indicateur devra indiquer un écart important pour S, un écart réduit pour S et un écart moyen pour S 3. Première approche Une autre façon de mesurer la dispersion d une série est d examiner comment sont réparties les plus petites valeurs d une part, et les plus grandes valeurs d autre part. Or on connait la valeur qui les sépare : c est la médiane. On s intéresse alors, pour chaque série, aux deux sous-séries que constituent les données inférieures à la médiane et les données supérieures à la médiane. Moyenne On peut en faire les moyennes qu on peut appeler moyenne inférieure ( x ) ) et moyenne supérieure (x +. On obtient alors : S x 4,7; x + 5,3 S x = 7,8; x + =, S 3 x = 6; x + = 4 Ces indicateurs fournissent une bonne mesure de la dispersion de chacune des séries autour de la médiane. 48 David Robert

161 Première S Un problème Médiane On peut en faire les médianes qu on peut appeler médiane inférieure (m ) et médiane supérieure ( m +). On obtient alors : S m = 4; m + = 6 S m = 9; m + = S 3 m = 5; m + = 5 Ces indicateurs fournissent là encore une bonne mesure de la dispersion de chacune des séries autour de la médiane. On notera que au moins 5% des données de la série sont comprises entre la valeur minimale et m, 5% entre m et m, 5% entre m et m + et enfin 5% entre m + et la valeur maximale. Ces trois nombres partagent donc la série en quarts et sont appelés quartiles. m est le premier quartile, noté Q, m est le deuxième quartile, noté m, et m + le troisième quartiel, noté Q 3. C est cette seconde mesure de dispersion qui a été retenue par les statisticiens. Une seconde approche Une façon de procéder est de mesurer l écart de chaque donnée avec les valeurs centrales que sont la médiane et la moyenne en faisant la différence entre chaque donnée et ces valeurs centrales. Ainsi on obtient : S 8; 8; 6; 6; 4; 0;+4;+6;+6;+8;+8 S 8; ; ; 0; 0; 0;+;+;+8 S 3 8; 5; 5; 5; 5; 4; 4; 3; ; 0;+;+3;+4;+4;+5;+5;+5;+5;+8 Le problème est que la somme de ces écarts est nulle (ou proche de 0 dans des cas moins particuliers que ces séries)! Valeur absolue Une première solution est de prendre la valeur absolue de chacun de ces écarts. Cet indicateur donne 64 pour S, pour S et 80 pour S 3 et témoigne que S est moins dispersée que les autres, par contre il fournit une mauvaise indication pour S et S 3. Cela est dû au fait que si les données de S sont plus dispersées que celles de S 3, il y en a moins, donc cet indicateur est faussé par les effectifs. Pour contourner ce problème, il suffit de passer à la moyenne. Ainsi la moyenne des écarts aux valeurs centrales est 64 5,8 pour S, 9,4 pour S et , pour S 3. On obtient ainsi une bonne mesure de la dispersion. On admettra que pour cette mesure de dispersion, c est la médiane qui fournit la valeur la plus centrale. Carré Une seconde solution est de prendre les carrés de chacun de ces écarts et d en faire la moyenne pour compenser les différences d effectifs comme précédemment. On obtient ( 8) +( 8) +( 6) ,3 pour S, 5,3 pour S et,7 pour S 3. On obtient là encore ainsi une bonne mesure de la dispersion. On démontre que pour cette mesure de dispersion, c est la moyenne qui fournit la valeur la plus centrale. C est cette seconde mesure de dispersion qui a été choisie par les statisticiens. Elle est nommée variance de la série. Dépendant des carrés des écarts à la moyenne, son unité peut parfois poser problème. Ainsi, si les données sont en mètre, la variance est en mètre carré. Par ailleurs, avec la mesure en valeur absolue, on obtenait des écarts à la médiane parlants («les écarts à la médiane de S sont en moyenne de 5,8»est plus parlant que «la variance de S est 39,3»). Pour toutes ces raisons, et d autres encore, c est la racine carrée de la variance qu on fournit comme résumé et on appelle cette mesure de dispersion l écart-type de la série. Ainsi les écarts-types des séries S, S et S 3 sont, respectivement, 6,3, 3,9 et 4,7. Même si cela n est pas tout à fait exact, on peut penser l écart-type comme étant l écart moyen à la moyenne de toutes les données de la série. David Robert 49

162 9.3 Médiane, quartiles et déciles Première S Médiane, quartiles et déciles 9.3. Définitions Définition 9.4. Soit S une série statistique quantitative. On appelle premier quartile, noté Q, tout réel tel que au moins 5% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q On appelle deuxième quartile ou médiane, noté m (ou parfois Q ), tout réel tel que au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à m au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à m On appelle troisième quartile, noté Q 3, tout réel tel que au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q 3 au moins 5% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q 3 De la même manière qu on a défini les quartiles, on peut définir les déciles : ce sont les 9 nombres qui partagent la série en dixièmes (comme les trois quartiles partagent la série en quarts). On s intéressera à deux d entre eux : Définition 9.5. Soit S une série statistique quantitative. On appelle premier décile, noté D, tout réel tel que au moins 0% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à D au moins 90% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à D On appelle neuvième décile, noté D 9, tout réel tel que au moins 90% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à D 9 au moins 0% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à D 9 On admettra que de tels nombres existent toujours. Définition 9.6. Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = {x, x,..., x i,..., x n } telles que x x... x n. On appelle étendue de la série la différence e = x n x (différence entre les termes extrêmes de la série) ; écart interquartile la différence Q 3 Q ; intervalle interquartile l intervalle [Q ; Q 3 ]. écart interdécile la différence D 9 D ; intervalle interdécile l intervalle [D ; D 9 ]. Remarque. Toutes ces mesures statistiques sont dans la même unité que les valeurs de la série Propriétés Comme pour la médiane, selon le nombre n de données dans la série, il y a parfois plusieurs possibilités pour Q et Q 3 et parfois une seule, selon que n est ou n est pas multiple de 4, ce qui peut compliquer leur recherche. Heureusement, une formule permet de trouver une valeur covenable dans tous les cas : Théorème 9.3. Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = {x, x,..., x i,..., x n } telles que x x... x n. Les réels : Q = x ( E ( ) ) n 4 + m= x ( E ( ) ) n + Q = x ( E ( ) ) 3n 4 + définissent toujours des valeurs convenables pour le premier quartile, la médiane et le troisième quartile. On l admettra. Remarques. E(x) est la partie entière de x, c est-à-dire l entier n tel que n x < n+. Par exemple, E(,3)= et E(3)=3. Les réels obtenus avec le théorème sont toujours des éléments de la série. Exemple 9.5. Appliquons ce théorème aux séries S, S et S 3 vues dans l activité. Pour S, n= donc : E ( ) 4 + =+=3, E ( ) + =5+=6, E ( ) =8+=9. Ainsi Q = x 3 = 4, m= x 6 = 0 et Q 3 = x 9 = 6 conviennent. 50 David Robert

163 Première S Médiane, quartiles et déciles Pour S, n= 9 donc : E ( 9 4) + =+=3, E ( 9 ) + =4+=5, E ( ) =6+=7. Ainsi Q = x 3 = 9, m= x 5 = 0 et Q 3 = x 7 = conviennent. Pour S 3, n= 9 donc : E ( ) =4+=5, E ( ) 9 + =9+=0, E ( ) =4+=5. Ainsi Q = x 5 = 5, m= x 0 = 0 et Q 3 = x 5 = 5 conviennent. Propriété 9.4. Soit une série statistique quantitative comportant n données : S= {x, x,..., x i,..., x n } avec n 5. On ne change les quartiles et la médiane si on remplace x par n importe quel nombre de l intervalle ] ; x ] et x n par n importe quel nombre de l intervalle [x n ;+ [. Preuve. Comme on ne change pas le nombre de valeurs de la série, il y en aura toujours autant inférieures et supérieures à Q, à m et à Q Représentation graphique On peut représenter graphiquement les valeurs extrêmes, les quartiles et la médiane par un diagramme en boite, appelé aussi boite à moustaches, conçues de la manière suivante : au centre une boite allant du premier au troisième quartile, séparée en deux par la médiane ; de chaque côté une moustache allant du minimum au premier quartile pour l une, et du troisième quartile au maximum pour l autre. Pour nos trois séries, on obtient : S 3 S S Ces diagrammes permettent une interprétation visuelle et rapide de la dispersion des séries statistiques. Ils permettent également d apprécier des différences entre des séries (lorsqu elles ont des ordres de grandeurs comparables). Remarques. C est parce que nos séries sont très particulières que la médiane partage en deux boites égales la boite centrale, mais on peut très bien avoir : La hauteur des boites est arbitraire (on les fait parfois proportionnelles à l effectif total de la série). La boite contient les 50% des données centrales. On coupe parfois les moustaches de part et d autre à la hauteur du premier et neuvième décile ; on fait alors apparaître les minimum et maximum par un point Effet d une transformation affine des données Théorème 9.5. Soit S une série statistique quantitative comportant n données : S = {x, x,..., x i,..., x n } telles que x x... x n, où Q, Q 3, m et Q sont respectivement les premier et troisième quartile, la médiane et l écart interquartile et S la série S = {y, y,..., y i,..., y n }, où Q, Q 3, m et Q sont respectivement les premier et troisième quartile, la médiane et l écart interquartile et telle que y i = ax i + b pour tout i, a 0 et b étant deux réels. Si a > 0, alors Q = aq + b, m = am+ b et Q 3 = aq 3+ b sont respectivement des premier quartile, médiane et troisième quartile de S. Si a < 0, alors Q = aq 3+ b, m = am+ b et Q 3 = aq + b sont respectivement des premier quartile, médiane et troisième quartile de S. Q = a Q. David Robert 5

164 9.4 Moyenne, variance et écart-type Première S Preuve. Si a > 0, f (x) = ax+ b est une fonction affine croissante et y ;... ; y n sont rangés dans le même ordre que x ;... ; x n. Q étant un premier quartile de S, f (Q ) = Q est tel que 5% au moins des données de S sont inférieures à Q, et 75% sont lui sont supérieures. Il en va de même pour f (m)=m et f (Q 3 )= Q 3. Si a< 0, f est décroissante et y ;... ; y n sont rangés l ordre inverse de x ;... ; x n. Q 3 étant le troisième quartile de S, f (Q 3 )= Q est tel que 5% au moins des données de S sont inférieures à Q, et 75% sont lui sont supérieures (l ordre est inversé. Il en va de même pour f (m)=m et f (Q )= Q 3. La preuve du dernier point est laissée en exercice. 9.4 Moyenne, variance et écart-type 9.4. Définitions Définition 9.7. Soit S une série statistique quantitative comportant N données : S= {x, x,..., x i,..., x N }. On appelle : N moyenne de S, notée x, le nombre tel que x i = N x x = N x i. i= N i= N variance de S, notée V, le nombre V = ( ) N x xi écart-type de S, noté s, le nombre s= V. Les formules de la définition sont équivalentes aux suivantes : i= Propriété 9.6. Soit S une série statistique quantitative comportant n données : S= {x, x,..., x i,..., x N }. Dans le cas où n i est l effectif de la valeur x i et où f i = n i N est sa fréquence, les formules deviennent : x = n i x i = f i x i N i i V = ( ) = ( ) n i x xi f i x xi N i i Preuve. La valeur x i ayant pour effectif n i, pour chaque valeur on a : x i + x i x } {{ } i = n i x i n i et donc la somme de toutes les valeurs est bien égale à la somme des n i x i. On a : x = N n i x i = N (n x +...+n N x N )= n N x n N N x N = f x f N x N i La démonstration est identique pour la variance. Rappelons ce que nous avons vu dans le problème d introduction. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle mesure donc la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Elle n est pas très parlante car elle s exprime dans le carré de l unité du caractère. L écart-type a l avantage de s exprimer dans la même unité que le caractère. L écart-type permet de comparer la dispersion de deux séries, quand l ordre de grandeur des données des deux séries est le même. Contrairement à l écart interquartile, il tient compte de l ensemble de la population Propriétés On dispose d une formule plus pratique pour calculer la variance : Théorème 9.7. Soit S une série statistique quantitative comportant N données : S= {x, x,..., x i,..., x N }, n i l effectif de la donnée x i et f i sa fréquence. Alors on a : ( ) ( ) V = n i x i x = f i x i x N i i 5 David Robert

165 Première S Moyenne, variance et écart-type Preuve. On a : V = ( ) = ( n i x xi n i x xx i + x ) i N i N i = [ ( n x xx + x ) ( +...+nn x xx N + x N N)] = [ (n +...+n N )x x(x x N ) +n x N +...+n N xn] Or n +...+n N = N car c est la somme des effectifs de chaque valeur et x x N = N x par définition de la moyenne. On a donc : V = [ N x x(n x)+n x N +...+n N xn] [ = N x N x + n x N +...+n N xn] = [ N x + n x N +...+n N x ] N = x + ( n x N +...+n N xn) = x + n i x i N i On démontre la formule avec les fréquences de la même manière que dans la démonstration de la propriété 6. On a dit dans le problème d introduction que la moyenne était la plus centrale pour la variance. Démontrons-le. Problème 9.. Soit S une série statistique quantitative comportant N données : S = {x, x,..., x i,..., x N } et d(x) la fonction qui à un réel x associe d(x)=(x x ) +...+(x x N ). On peut voir d comme la fonction qui à un nombre x associe la somme des distances de ce nombre à chacune des valeurs de la série, la distance entre deux nombres x et y étant définie ici comme (x y). On cherche la valeur centrale associée à cette distance, c est à dire le nombre x 0 tel que d(x 0 ) est le minimum de d, autrement dit le nombre le plus proche de toutes les valeurs de la série pour cette distance. On a d(x)=(x x ) +...+(x x N ) = x xx + x x xx N + x N = N x x (x x N )+ x x N d est donc de la forme ax + bx+ c avec a= N, b= (x x N ) et c = x x N. a= N étant positif on sait que ce trinôme admet un minimum atteint en : x 0 = b a = (x x N ) = x x N or x x N = x! N N N d(x) est donc minimum quand x = x. On note que le minimum de la fonction d(x) n est rien d autre que la variance. N Finalement, lorsque la distance entre deux nombres x et y est définie par (x y), la variance n est rien d autre que le minimum de la fonction qui à x associe la moyenne des distances de x à chacune des valeurs de la série, minimum atteint en x 0 = x. On admettra que, lorsque la distance entre deux nombres x et y est définie par x y, le minimum de la fonction qui à x associe la moyenne des distances de x à chacune des valeurs de la série est atteint en x 0 = m Effet d une transformation affine des données Théorème 9.8. Soit S une série statistique quantitative comportant N données : S= {x, x,..., x i,..., x N } de moyenne x, de variance V x et d écart-type s x et S la série S = {y, y,..., y i,..., y N } de moyenne y, de variance V y et d écart-type s y telle que y i = ax i + b pour tout i, a 0 et b étant deux réels. Alors : y = ax+ b V y = a V x s y = a s x Preuve. On a : y = y y N N On a : V y = N = ax + b+...+ ax N + b N ( yi y ) ( = axi + b ax b ) = i N s y = V y = a V x = a s x. i = a (x x N )+ N b N N i a ( x i x ) = a N = a x x N N + b= ax+ b ( xi x ) = a V x i David Robert 53

166 9.5 Exercices Première S Exercices Exercice 9.. Huit sprinters effectuent deux 00 m. Leurs temps sont donnés dans le tableau suivant : Sprinter A B C D E F G H Sprint Sprint Soit (x i ) les temps respectifs des sprinters A, B,..., H au sprint et (yi ) les temps respectifs des sprinters A, B,..., H au sprint.. Calculer les moyennes x et y des séries (x i ) et (y i ).. Calculer les écarts-types s x et s y des séries (x i ) et (y i ). 3. Lequel des deux sprints a été le plus homogène? Exercice 9.. Soit S une série statistique quantitative comportant n données : S = {x, x,..., x i,..., x n } telles que x x... x n, où Q, Q 3, m et Q sont respectivement les premier et troisième quartile, la médiane et l écart interquartile et S la série S = {y, y,..., y i,..., y n }, où Q, Q 3, m et Q sont respectivement les premier et troisième quartile, la médiane et l écart interquartile et telle que y i = ax i + b pour tout i, a 0 et b étant deux réels. Démontrer que Q = a Q. Exercice 9.3. Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Mathématiques et en Physique : Notes Maths Physique Le but de l exercice est de comparer la dispersion des notes en Maths et en Physique.. Utilisation des quartiles (a) Calculer médiane m e et quartiles Q et Q 3 en Maths (b) Calculer médiane m e et quartiles Q et Q 3 en Physique (c) Représenter les diagrammes en boîte des notes en Maths et en Physique. Interpréter.. Utilisation des écarts-types (a) Calculer la moyenne m des notes en Maths et la moyenne des notes m en Physique. Interpréter. (b) Calculer l écart-type s des notes en Maths et l écart-type s des notes en Physiques. Interpréter. (On considérera que les notes en Maths et les notes en Physique sont des grandeurs comparables et qu il n y a pas lieu de relativiser les écarts-types) Exercice 9.4. Quarante candidats passent un examen (noté de 0 à 0). Leur moyenne est de 9,5 et l écart-type est égal à. On veut effectuer une péréquation affine afin d obtenir une moyenne de 0 et un écart-type de 3. Notons (xi ) les notes initiales et (yi ) les notes obtenues après changement affine. On a donc : x = 9 ; s x =. On pose : y i = ax i + b où a (avec a> 0) et b sont à déterminer afin d avoir y = 0 ; s y = 3.. Exprimer y en fonction de a, b et x.. Exprimer s y en fonction de a et s x. 3. En déduire les valeurs de a et b. Quelle est la nouvelle note d un candidat ayant initialement 5, 6? (On arrondira à 0 ) 4. Quelles doivent être les valeurs extrêmes des x i afin que cette péréquation soit réalisable? (On arrondira à 0 ) Exercice Calculer, pour chaque mois de l année, le jour médian ainsi que les jours qui correspondent au premier quartile et au troisième quartile.. Même question pour une année entière de 365 jours. Exercice 9.6. Le tableau suivant donne les temps de cinq sportifs qui ont couru un 500 m et un m. Coureur Coureur Coureur 3 Coureur 4 Coureur m m David Robert

167 Première S Exercices On veut déterminer quelle est la course la plus homogène. Le problème est que les données de chaque série ne sont pas du même ordre de grandeur. En effet un écart moyen de la première série de 30 s sera proportionnellement plus important qu un écart moyen de min pour la seconde de min. Pour palier à cette difficulté on utilise l écart-type relatif, noté C v, appelé coefficient de variation définit par C v = s x et un écart interquartile relatif, définit par Q 3 Q m.. Utilisation des coefficients de variation (a) Calculer le temps moyen m, l écart-type s puis le coefficient de variation C v = s pour le 500 m. (On pourra m convertir tous les temps en secondes). (b) Faire de même pour le m. (c) Conclure.. Utilisation de l interquartile relatif (a) Déterminer la médiane m e et les quartiles Q et Q 3 pour le 500 m. En déduire l interquartile relatif Q 3 Q m e. (b) Faire de même pour le m. (c) Conclure. 3. Donner une explication à la contradiction entre.c) et.c). Exercice 9.7. Démontrer que : n n ( xi x ) = 0 i= n ( ) xi x j = 0 n i= j= n ( ) = xi x j n V (x) i= j= David Robert 55

168

169 Chapitre 0 Probabilités Sommaire 0. Activité Vocabulaire des ensembles Expériences aléatoires Probabilités Variables aléatoires Exercices Activité Un sondage réalisé un lundi après-midi à la sortie d un supermarché auprès de 350 femmes, a donné les résultats suivants : 86% d entre elles sont des femmes au foyer, les autres sont salariées ; 66% d entre elles ont dépensé entre 40 et 00 euros ; parmi les femmes salariés, 47 ont dépensé entre 40 et 00 euros, et deux ont dépensé plus de 00 euros ; aucune femme au foyer n a dépensé plus de 00 euros. Les résultats ont été relevés sur des fiches.. Recopier et compléter le tableau suivant : Catégorie Dépense Au foyer Salariée Total Moins de 40 euros Entre 40 et 00 euros Plus de 00 euros Total. On prend au hasard une des fiches de ces personnes interrogées. À combien peut-on estimer la chance de prendre : (a) la fiche d une personne salariée? (b) la fiche d une personne ayant dépensé moins de 40? (c) la fiche d une personne salariée et ayant dépensé moins de 40? (d) la fiche d une personne salariée ou ayant dépensé moins de 40? 0. Vocabulaire des ensembles Les mathématiques utilisent toutes sortes d ensembles (finis, infinis dénombrables, infinis non dénombrables). Le but de ce paragraphe n est pas de faire une étude systématique de la théorie des ensembles (qui s avérerait très complexe) mais de proposer une approche des notions les plus utilisées de cette théorie. Ainsi, nous ne tenterons pas de définir rigoureusement ce qu est un ensemble. Disons simplement qu un ensemble s apparente à une liste (finie ou non) d objets distincts possédant un propriété commune (par exemple l ensemble des entiers naturels pairs, l ensemble des entiers qui n ont que deux diviseurs (nombres premiers), l ensemble des polynômes de degré, etc.). On considère ces objets dans leur globalité sans tenir compte d un ordre éventuel. Un ensemble se note avec des accolades : par exemple si E est l ensemble des entiers naturels pairs inférieurs à 9, on notera E = {0; ; 4; 6; 8}. 57

170 0. Vocabulaire des ensembles Première S On utilisera les symboles et pour signifier qu un élément appartient ou n appartient pas à un ensemble : par exemple {0; ; ; 3; 4; 5} et 3 {0; ; 4; 6; 8}. Enfin, nous noterons l ensemble qui n a pas d éléments (ensemble vide). Définition 0. (Intersection). L intersection de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui sont communs à A et B. On la note A B. A e B Ainsi e A B signifie e A et e B. Remarque. Lorsque A B =, on dit que les ensembles A et B sont disjoints. Définition 0. (Réunion). La réunion de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B. On la note A B. A e B Ainsi e A B signifie e A ou e B. Définition 0.3 (Inclusion). On dit qu un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont des éléments de B. On note alors A B. A B On dit alors que A est une partie de B ou que A est un sous-ensemble de B. Remarque. et E sont toujours des parties de E (partie vide et partie pleine). On notera P (E) l ensemble de toutes les parties de E. Exemples 0.. On a toujours : A A B ; B A B ; A B A ; A B B ; A B A B ; A ; A= ; A= A. Définition 0.4 (Complémentaire). Soit E un ensemble et A une partie de E. Le complémentaire de A dans E est l ensemble des éléments de E qui n appartiennent pas à A. On le note E\A ou A ou encore C E (A). A E A Remarque. A A= E et A A=. Définition 0.5. Des parties A, A,..., A p d un ensemble E constituent une partition de E si elles sont deux à deux disjointes et si leur réunion est E. Ainsi : Pour tous i et j de {;... ; p} : i j A i A j = ; p A i = A A... A p = E. i= A A A 3 A 4... A p E 58 David Robert

171 Première S Expériences aléatoires Définition 0.6 (Cardinal). Le nombre d éléments d un ensemble fini E est appelé cardinal de E. Ce nombre est noté Card(E). On convient que Card( )= 0. Exemple 0.. Si E = {0; ; ; 3; 4; 5} alors Card(E)= 6. Remarque. La notion de cardinal ne s applique pas aux ensembles infinis (comme N, Z, Q, R, etc.). Exercice 0.. Soit A l ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 0 qui sont pairs. Soit B l ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 0 qui sont divisibles par 3.. Donner les éléments de A B et A B.. Décrire un ensemble C qui soit inclus dans B. 3. Décrire A et B. 4. Trouver un ensemble D tel que A et D soient disjoints. 0.3 Expériences aléatoires Le but de chapitre est de construire un modèle pour décrire les expériences aléatoires, c est à dire des expériences dont on ne peut prévoir le résultat parmi plusieurs éventualités possibles. De telles expériences sont par exemple : le numéro obtenu en lançant un dé, la face obtenue en lançant une pièce de monnaie, la carte obtenue en la tirant au hasard d un jeu, le tirage du loto, etc. Le besoin d avoir une méthode systématique de description de telles expériences est justifié par le fait que certains résultats qui nous sont parfois intuitivement évidents et que nous n arrivons pas toujours à expliquer sont en fait faux! Comme en témoigne l exercice suivant : Un homme rend visite à une famille ayant deux enfants. L un des deux enfants, un garçon, entre dans la pièce, calculer la probabilité que les deux enfants soient des garçons Issues, univers Lancer une pièce de monnaie et observer le côté exposé de la pièce est une expérience aléatoire. Elle comporte deux issues possibles : pile ou face. (Ou plus selon le point de vue adopté) De même, tirer un jeton d une urne contenant 00 jetons numérotés 00, 0, 0,..., 99 et observer le nombre obtenu est une expérience aléatoire comportant cent issues. Définition 0.7. L ensemble de toutes les issues d une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possibles). On note généralement cet ensemble Ω. À notre niveau, Ω sera toujours un ensemble fini. Exemples 0.3. On lance un dé et on regarde la face obtenue : Ω={; ; 3; 4; 5; 6} On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : Ω={P ; I } On lance une pièce de monnaie : Ω={P ; F } On lance deux pièces de monnaie : Ω={PP ; PF ; F P ; F F } On lance deux dés : Ω={(i ; j ) où i 6 et j 6} Remarquons qu une même expérience peut déboucher sur des univers différents suivant les hypothèses faites : par exemple, si on lance deux dés et qu on fait le produit P ou la somme S des deux chiffres obtenus, on obtient respectivement : Ω P = {; ; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 0; ; 5; 6; 8; 0; 4; 5; 30; 36} ; Ω S = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; } Événements Exemple : on lance deux dés et on considère la somme S obtenue. L ensemble de toutes les issues possibles (univers) est Ω={; 3; ; ; }. Le tableau ci-dessous définit le vocabulaire relatif aux événements (en probabilité) : David Robert 59

172 0.4 Probabilités Première S Vocabulaire Signification Illustration L une des issues de la Événement élémentaire situation étudiée (un Obtenir 7 : ω={7} (noté ω) élément de Ω) Événement (notation quelconque) Événement impossible (noté ) Événement certain (noté Ω) Événement «A et B» (noté A B) Événement «A ou B» (noté A B) Événements incompatibles (on note alors A B = ) Événements contraires (l événement contraire de A se note A) Ensemble de plusieurs issues C est un événement qui ne peut pas se produire C est un événement qui se produira obligatoirement Événement constitué des issues communes aux événements Événement constitué de toutes les issues des deux événements Ce sont des événements qui n ont pas d éléments en commun Ce sont deux événements incompatibles dont la réunion forme la totalité des issues (Ω) Obtenir un nombre pair : A= {; 4; 6; 8; 0; } Obtenir un multiple de trois : B = {3; 6; 9; } Obtenir une somme supérieure à 0 : C = {0; ; } Obtenir une somme inférieure à 6 : D = {; 3; 4; 5; 6} «Obtenir 3»est un événement impossible. «Obtenir entre et»est un événement certain. A B = {6; } A B = {; 3; 4; 6; 8; 9; 0; } C D = donc C et D sont incompatibles. Par contre, A et B ne le sont pas. Ici, A représente l événement «obtenir une somme impaire». On a alors : A A= (ensembles disjoints) A A= Ω 0.4 Probabilités 0.4. Loi de probabilité sur un univers Ω Définition 0.8. Soit Ω={ω ; ω ; ; ω n } l univers d une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité P sur Ω, c est associer, à chaque événement élémentaire w i, des nombres p i [0; ], appelés probabilités, tels que : p i = p + p + + p n = ; i la probabilité d un événement A, notée P(A), est la somme des probabilités p i des événements élémentaires ω i qui constituent A. Remarque. On note aussi : p i = P({ω i })=P(ω i ). Exemple 0.4. Soit un dé truqué dont les probabilités d apparitions des faces sont données par le tableau suivant : Issue ω Probabilité P(ω) 0,05 0,05 0, 0, 0, inconnue. Calculer la probabilité de l événement A=«obtenir un résultat inférieur ou égal à 4». D après la définition, P(A)=P()+P()+P(3)+P(4)=0,3.. Calculer la probabilité d obtenir 6 : D après la définition, P()+P()+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=, donc P(6)=0,5. La notation rigoureuse est P({}) mais on peut noter P() quand il n y a pas de risque de confusion. 60 David Robert

173 Première S Probabilités Propriété 0.. Soit A et B deux événements de Ω, alors : La probabilité de l événement certain est : P(Ω)= ; La probabilité de l événement impossible est 0 : P( )=0 ; Si A B, alors P(A) P(B) ; P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) ; Si A et B sont incompatibles, P(A B)=P(A)+P(B) ; P(A)= P(A) ; P(A\B)=P(A) P(A B). Preuve. Par définition d une loi de probabilité P(Ω)= p + p + + p n = Par convention P( ) = 0 Si A B, deux possibilités :. soit A= B et dans ce cas P(A)=P(B). soit A B, et comme A B, il existe au moins un événement élémentaire ω tel que ω A et ω B. Donc P(A)<P(A)+P(ω) P(B) A B est la réunion des événements élémentaires : a i appartenant à A sans être dans B (A\B) ; b i appartenant à B sans être dans A (B\A) ; c i appartenant à A et à B (A B). Par définition : P(A)= a i + c i ; i i P(B)= i b i + i c i ; P(A B)= i a i + i b i + i c i ; P(A B)= i c i. On a donc P(A B)=P(A)+P(B) P(A B). Si A et B sont incompatibles, P(A B)=0, donc P(A B)=P(A)+P(B) P(A B)=P(A)+P(B). Par définition A A= et A A= Ω, donc P(A A)=P(A)+P(A) d une part, et P(A A)=P(Ω)= d autre part. Donc P(A)+P(A)= P(A)= P(A) A= (A\B) (A B) et (A\B) (A B)= donc P(A)=P(A\B)+P(A B) P(A\B)=P(A) P(A B). Exemple 0.5. Dans une classe, 0% des élèves jouent d un instrument à corde, 0% des élèves jouent d un instrument à vent et 5% des élèves jouent d un instrument à corde et d un instrument à vent. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu il joue d un instrument à corde ou à vent? Notons C l événement : «l élève joue d un instrument à corde»et V : «l élève joue d un instrument à vent». D après les données, on a : P(C )=0, ; P(V )=0, et P(C V )=0,05. D après la propriété, on obtient : P(C V )=P(C )+P(V ) P(C V )=0, Une situation fondamentale : l équiprobabilité Définition 0.9. Lorsque toutes les issues d une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu il y a équiprobabilité ou que la loi de probabilité est équirépartie. Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d un événement A est la suivante : Propriété 0.. Dans une situation d équiprobabilité sur un univers Ω, pour tout événement élémentaire ω et tout événement A on a : P(ω)= Card(Ω) P(A)= nombre d issues favorables nombre d issues possibles = Card(A) Card(Ω) Preuve. Notons N = Card(Ω). Comme tous les événements élémentaires ont la même probabilité p i = p et que i p i = alors N p = p = N. Notons n= Card(A). P(A)= N + N + + N = n N = n N David Robert 6

174 0.4 Probabilités Première S Exemples On lance un dé (non truqué) ; Ω={; ; 3; 4; 5; 6} : situation d équiprobabilité. Calculons la probabilité d obtenir 5 : P(5)= 6. (5 est un événement élémentaire) Calculons la probabilité d obtenir un nombre pair ; P(«obtenir un nombre pair»)= 3 6 =.. Dans la situation du dé truqué (voir ci-dessus), on n a pas équiprobabilité puisque P() P(). 3. Dans la situation du lancer de deux dés où l on fait la somme des résultats obtenus, l univers est constitué d événements non équiprobables (Ω={; 3; ; ; } et on a, par exemple, P()= 36 et P(7)= 6 36 ) Certaines expériences ne sont pas des situations d équiprobabilité, mais on peut parfois s y ramener tout de même. Exemple 0.7. On lance deux dés équilibrés et on s intéresse à la somme des deux dés. L univers est Ω = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; } mais il n y a pas équiprobabilité car chaque événement n a pas la même probabilité. Ainsi il est plus difficile d obtenir que 7. On se ramène à une situtation d équiprobabilité : chaque dé étant équilibré, on a équiprobabilité sur chaque dé (chaque face à une probabilité de 6 ). Il reste à déterminer la façon d obtenir chaque somme. Le tableau ci-dessous résume les possibilités pour chaque dé et la somme obtenue : Chaque «case»étant équiprobable ( 36 ) on obtient : dé dé ω i Total p i Loi des grands nombres Définition 0.0. Lorsque qu on répète une expérience aléatoire, on appelle fréquence d apparition d une éventualité ω donnée le nombre : f i = nombre de fois où l éventualité ω apparaît nombre de fois où l expérience est répétée On constate que si l on répète un grand nombre de fois l expérience donnée, les différentes fréquences d apparition ont tendance à se stabiliser, ce qui n est parfois que théorique car répéter une expérience aléatoire dans les mêmes conditions n est pas toujours envisageable. Ce constat est un résultat mathématique appelé La loi des grands nombres ; il se démontre, mais la démonstration est largement hors de nos compétences : Théorème 0.3 (Loi des grands nombres). Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient grand. Remarques. Dans certains cas, on utilise ce résultat pour valider ou rejeter un modèle (une loi de probabilité) choisi à priori. Dans d autres cas, lorsqu on ne connaît pas de loi de propabibilité relativement à une expérience aléatoire, on peut ainsi en introduire une à partir des fréquences déterminées lors d un grand nombre d expériences Espérance, variance, écart type d une loi de probabilité Si les issues de l expérience aléatoire sont des nombres réels, on peut définir les nombres ci-contre : 6 David Robert

175 Première S Variables aléatoires Définition 0.. Soit Ω={ω ; ω ; ; ω n } un univers associé à une expérience aléatoire telle que ω i R et P une loi de probabilité sur cette univers. n L espérance mathématique de la loi de probabilité est le nombre µ défini par : µ= p i w i La variance de la loi de ( probabilité ) est le nombre V défini par : n n V = p i (ω i µ) = p i ω i µ i= i= L écart type de la loi de probabilité est le nombre σ défini par : σ= V i= Exemple 0.8. On lance deux dés et on s intéresse à la somme des deux. Chaque issue étant un réel, on peut définir l espérance, la variance et l écart type. On a : ω i Total p i p i ω i = 7 p i ω i On a donc µ=7 (on peut espérer obtenir 7 en moyenne sur un très grand nombre de tirages) ; V = = 35 (la variance sera d environ 5,83) ; 6 35 σ= 6,4 (l écart type sera d environ,4). 0.5 Variables aléatoires 0.5. Définition Définition 0.. Soit Ω l univers d une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire toute fonction X de Ω dans R qui, à tout élément de Ω, fait correspondre un nombre réel x. L événement noté {X = x} est l ensemble des éléments de Ω qui ont pour image x par X. L ensemble image de Ω par X est l ensemble de toutes les images des éléments de Ω par X. Cet ensemble est noté Ω. Remarques. Une variable aléatoire n est pas un nombre, mais une fonction. Les valeurs d une variable aléatoire sont toujours des nombres. En général, une variable aléatoire est notée X, Y, Z. Exemples On lance deux dés et on s intéresse à la somme des deux dés. On peut, par exemple, définir une variable aléatoire X de la façon suivante : X = 0 si le nombre est pair ; L ensemble image de Ω par X est Ω = {0; } X = si le nombre est impair.. Une roue dans une fête foraine est partagée en 8 secteurs égaux : de couleur rouge, 3 de couleur verte et 4 de couleur bleue. Pour chacun peut jouer et gagne : 0 si le bleu sort ; si le vert sort ; 5 si le rouge sort ; Lorsqu on lance la roue, l univers est donc Ω={bleu; vert; rouge} et l on peut définir la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain engendré. Ainsi : X : bleu (0 pour pouvoir jouer) X : vert X : rouge 4 David Robert 63

176 0.6 Exercices Première S Loi de probabilité d une variable aléatoire Définition 0.3. Soit Ω={ω ; ω ; ; ω n } un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a été définie une loi de probabilité et Ω = {x ; x ; ; x n } l ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X. La loi de probabilité de X est la fonction définie sur Ω, qui à chaque x i fait correspondre le nombre p i = P(X = x i ). On démontre facilement que i p i =. Exemples 0.0. En reprenant les deux exemples ci-dessus, on a :. P(X = 0) est la probabilité que la variable aléatoire soit égale à 0, c est-à-dire que la somme soit paire. On a ainsi P(X = 0)=P()+P(4)+P(6)+ +P()= 8 36 =. De même P(X = )=P()+P(3)+P(5)+ +P()= 8 36 =. On présente généralement la chose de la manière suivante :. Dans le cas de la roue on a : Espérance, variance, écart type x i 0 P(X = x i ) x i P(X = x i ) L univers associé à une variable aléatoire étant, par définition, constitué de réels, on peut systématiquement associer à une loi de probabilité définie sur cette univers une espérance, une variance et un écart type. Définition 0.4. L espérance mathématique, la variance et l écart type de la variable aléatoire X sont respectivement l espérance mathématique, la variance et l écart type de la loi de probabilité de X définie sur Ω. Les notations respectives sont E(X ), V (X ) et σ(x ). Exemples 0.. Toujours avec les exemples précédant :. (X = 0 si la somme des dés est paire, X = si elle est impaire) E(X )= i p i x i = 0+ = V (X )= i p i x i (E(X )) = = 4 σ(x )= V (X )=. (X est le gain à la roue de la fête foraine) E(X )= 4 8 ( ) = 3 8 (le gain qu on peut espérer est en moyenne de 0,375 ) V (X )= 4 8 ( ) ( ) = σ(x )= 64, Exercices Exercice 0.. On jette un dé dont les faces sont numérotées de à 6 et on s intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure.. Décrire l ensemble Ω, univers associé à cette expérience aléatoire.. Écrire sous forme de partie (d ensemble) de Ω les événements : A : «obtenir un numéro inférieur ou égal à» ; B : «obtenir un numéro impair» ; C : «obtenir un numéro strictement supérieur à 4». 3. Pour chacun des événements suivants, les écrire sous forme de partie de Ω et les décrire par une phrase la plus simple possible. 64 David Robert

177 Première S Exercices A B ; A B ; A C ; A B ; C B ; C B ; A ; A C ; A C ; 4. Parmi tous ces événements, en citer deux qui soient contraires l un de l autre. Exercice 0.3. On choisit au hasard une carte dans un jeu de 3 cartes.. Combien y a-t-il d issues possibles?. On considère les événements : A : «obtenir un as» ; P : «obtenir un pique». (a) Combien y a-t-il d éventualités dans A? (b) Combien y a-t-il d éventualités dans P? (c) Traduire par une phrase les événements A P et A P. (d) Déterminer Card(A P) et Card(A P). Exercice 0.4. Un dé (à 6 faces) est truqué de la façon suivante : chaque chiffre pair a deux fois plus de chance de sortir qu un numéro impair.. Calculer la probabilité d obtenir un 6.. On lance deux fois le dé. (a) Calculer la probabilité d obtenir deux fois un chiffre pair. (b) Calculer la probabilité d obtenir deux fois un 6. Exercice 0.5. Un sac contient quatre jetons rouges, trois jetons verts et deux jetons bleus. On tire des jetons, sans remise, jusqu à obtention d un jeton de même couleur qu un des jetons précédemment tirés. Calculer la probabilité que les deux jetons de même couleur soient bleus. Exercice 0.6. E est l ensemble des nombres de à 0 inclus. On choisit au hasard l un de ces nombres.. Quelle est la probabilité des événements suivants : A : «il est un multiple de» B : «il est un multiple de 4». Calculer la probabilité de : C : «il est un multiple de 5» D : «il est un multiple de mais pas de 4» A B ; A B ; A C ; A C. Exercice 0.7. Deux lignes téléphoniques A et B arrivent à un standard. On note : E : «la ligne A est occupé» ; E : «la ligne B est occupée». Après étude statistique, on admet les probabilités : p(e )=0,5 ; p(e )=0,6 ; p(e E )=0,3. Calculer la probabilité des événements suivants : F : «la ligne A est libre» ; G : «une ligne au moins est occupée» ; H : «une ligne au moins est libre». Exercice 0.8. On considère un jeu de 3 cartes (la composition d un jeu de 3 cartes est la suivante : 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; valet ; dame ; roi ; as pour chacune des 4 «couleurs» : coeur ; carreau ; trèfle et pique.) On tire, au hasard, une carte du paquet, chaque carte ayant autant de chance d être choisie. On considère les événements suivants : V : «Obtenir un valet» ; F : «Obtenir une figure»(les figures sont les valets, les dames et les rois) ; T : «Obtenir un trèfle».. Calculer les probabilités suivantes : David Robert 65

178 0.6 Exercices Première S p(v ) ; p(f ) ; p(t ).. Décrire l événement F T puis calculer sa probabilité p(f T ). En déduire la probabilité p(f T ) d obtenir une figure ou un trèfle. 3. Décrire l événement F et calculer (simplement!) sa probabilité p(f ). Exercice 0.9. On lance n dés (n ). On note A l événement «obtenir au moins un 6».. Décrire A.. Exprimer en fonction de n la probabilité p(a). 3. En déduire que p(a)= ( 5 n. 6) 4. Compléter le tableau suivant : n p(a) 5. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d obtenir au moins un six soit supérieure à 3 4? 6. Le lièvre et la tortue font la course. Le lièvre se divertit longuement mais quand il part, il file à l arrivée. La tortue, quant à elle, avance inexorablement mais lentement vers l arrivée. On considère qu on peut assimiler cette course au lancement d un dé : si le 6 sort, le lièvre avance ; sinon la tortue avance d une case et au bout de 4 cases la tortue a gagné. Voir figure 0.. FIG. 0. Figure de l exercice 0.9 Départ de la tortue 3 Départ du lièvre Arrivée Déterminer la probabilité que le lièvre l emporte et celle que la tortue l emporte. Exercice 0.0. Un couple de futurs parents décide d avoir trois enfants. On fait l hypothèse qu ils auront, à chaque fois, autant de chances d avoir un garçon qu une fille et qu il n y aura pas de jumeaux. Calculer la probabilité des événements : A : «ils auront trois filles» ; B : «ils auront trois enfants de même sexe» ; C : «ils auront au plus une fille» ; D : «les trois enfants ne seront pas du même sexe». Exercice 0.. Dans une loterie, 00 billets sont vendus et il y a 7 billets gagnants. Quelle est la probabilité de gagner au moins un lot si on achète : Un billet? Deux billets? Exercice 0.. Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de manière indépendante, que l automobiliste s arrête s il voit le feu orange ou rouge et qu il passe si le feu est vert. On suppose de plus que chaque feu est vert durant un temps égal à rouge et orange (autrement dit, l automobiliste à autant de chance de passer que de s arrêter).. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.. Quelle est la probabilité que l automobiliste ait : 66 David Robert

179 Première S Exercices (a) les trois feux verts? (b) deux des trois feux verts? Exercice 0.3. On jette un dé dont les faces sont numérotées de à 6. On définit une variable alétoire X en associant à chaque tirage le nombre : 0 si on tire le numéro ; 0 si on tire le numéro 6 ; 0 dans tous les autres cas.. Définir l univers Ω associé à l expérience aléatoire et l univers X (Ω) associé à la variable alétoire.. On suppose que le dé est parfaitement équilibré. Donner la loi de probabilité de X. Exercice 0.4. On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de à 6. L ensemble E des couples (x ; y), avec x 6 et y 6, est associé à une loi de probabilité équirépartie. À chaque couple (x ; y), on associe x y. On définit ainsi une variable aléatoire X sur l ensemble E.. Définir la loi de probabilité de X.. Calculer l espérance et la variance de X. Exercice 0.5. On jette trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on appelle «tirage»le résultat obtenu. Ainsi (Face ; Face ; Pile) est un tirage (qu on notera F F P).. Faire un arbre décrivant l ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire et donner le cardinal de Ω, l univers des possibles.. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de «Pile»obtenues. (a) Décrire Ω, l univers des possibles pour X. (b) Déterminer la loi de probabilité associée à X (on la présentera sous forme de tableau). (c) Déterminer E(X ), V (X ) et σ(x ) respectivement l espérance, la variance et l écart type de X. Exercice 0.6. On considère une roue partagée en 5 secteurs égaux tels que : il y a un secteur de couleur rouge (R) il y a cinq secteurs de couleur bleue (B) il y a neuf secteurs de couleur verte (V ) La roue tourne sur son axe central et s arrête sur l une des couleurs, chaque secteur ayant la même probabilité. Pour pouvoir faire tourner la roue, un joueur doit payer et, selon la couleur sur laquelle elle s arrête, il gagne : 0 si le vert sort ; si le bleu sort ; x si le rouge sort ; On appelle X la variable aléatoire associée au gain final (gain mise de départ) du joueur.. Décrire l univers X (Ω) associé à X.. Décrire la loi de probabilité associée à X (on la présentera sous forme de tableau). 3. Exprimer en fonction de x l espérance de gain du joueur. 4. On suppose que x =. (a) Quelle est l espérance de gain du joueur? (b) Qui est le plus avantagé : l organisateur du jeu ou le joueur? 5. Mêmes questions pour x = On dit que le jeu est équitable lorsque l espérance de gain est égale à zéro, car alors ni l organisateur du jeu ni le joueur ne sont avantagés. Combien doit valoir x pour que le jeu soit équitable? David Robert 67

180

181 Sixième partie Devoirs 69

182

183 Devoirs surveillés Sommaire Devoir surveillé n : Généralités sur les fonctions Sections planes Repères cartésiens Devoir surveillé n : Géométrie vectorielle Second degré Devoir surveillé n : corrigé Devoir surveillé n 3 : Angles orientés Produit scalaire Équations cartésiennes Devoir surveillé n 4 : Produit scalaire Dérivation Équations cartésiennes Devoir surveillé n 4 : corrigé Devoir surveillé n 5 : Fonction dérivée Devoir surveillé n 6 : Barycentres Statistiques Devoir surveillé n 7 : Relations métriques Trigonométrie Suites Devoir surveillé n 7 : corrigé Devoir surveillé n 8 : Comportement asymptotique Devoir surveillé n 9 : Suites Probabilités

184 Première S Devoir surveillé n Généralités sur les fonctions Sections planes Repères cartésiens EXERCICE Soit f et g deux fonctions définies sur R par f (x)=(5x+ )(x+ )+ x g (x)=(3 x)(+ x) 3 points. Montrer que f (x) g (x)=7x(x+ ).. Déterminer le signe de f (x) g (x) selon les valeurs de x. 3. En déduire les positions relatives des courbes C f et C g représentatives respectivement de f et de g. EXERCICE Déterminer les sens de variations des fonctions suivantes en indiquant les propriétés utilisées :. f (x)= x+ 3 x sur [0;+ [ ;. g (x)= x 3 sur [0;+ [ ; 3. h(x)=u v(x) sur ] ;0] avec u(x)=x+ 5 et v(x)= x ,5 points EXERCICE 3 3 points On considère une fonction f définie pour t [ 3;3] dont la représentation graphique est donnée en annexe page suivante. Sans justifier, préciser l ensemble de définition et représenter chacune des fonctions définies ci-dessous : f (t)= f (t) ; f (t)= f (t) ; f 3 (t)= f (t)+ ; f 4 (t)= f (t+ ). EXERCICE 4 4 points Le plan est muni d un repère ( O; ı, j ). Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x 4x+ 4. On appelle C sa courbe représentative.. Montrer que f (x)=(x ) Expliquer comment obtenir C à partir de la courbe représentative de la fonction carré puis la tracer soigneusement dans le repère page ci-contre (la courbe donnée est celle de la fonction carré). 3. Montrer que C admet la droite d équation x = comme axe de symétrie. 4. Montrer que f est minorée par Montrer que 5 4 est le minimum de f sur R. 6. Résoudre par le calcul f (x) = 0. EXERCICE 5 points Tracer, sur le schéma page suivante, la trace du plan (I JK ) sur le cube ABC DEFG H (on ne demande aucune justification mais on laissera les traits de construction et on indiquera les parallélismes éventuels utilisés pour tracer les objets). EXERCICE 6 L espace est muni d un repère orthonomal ( ) O; ı, j, k.. Déterminer une équation des objets suivants : (a) Le cylindre de révolution R d axe (Ox) de rayon. (b) Le cône de révolution C d axe (Oz) passant par A(; ; ). On précisera son angle. (c) La sphère S de centre B(,3, ) passant par l origine C (;;). On précisera son rayon.. Décrire la surface dont les coordonnées des points vérifient l équation x + y + z y+ 4z = 4. 3,5 points Vendredi 9 septembre Durée : h00 7 David Robert

185 Première S Annexes FIG. 0. Repère de l exercice 3 y j E I FIG. 0.3 Schéma de l exercice 5 H J F G 4 3 O ı 3 x 3 D K C A B FIG. 0.4 Repère de l exercice 4 y j 4 3 O ı 3 x 3 David Robert 73

186 Première S Devoir surveillé n 3 Géométrie vectorielle Second degré EXERCICE Déterminer, selon les valeurs de x, le signe de f (x)= x + 3x 0 x + 4x 3. Indication : Pour aller plus vite on n oubliera pas de chercher d abord les éventuelles racines évidentes. 4,5 points EXERCICE 6,5 points On fabrique une plaque de tôle de la manière suivante : à partir d un demi-disque de diamètre [AB], on enlève deux demi-disques de diamètres respectifs [AM] et [MB], avec M [AB]. On pose : AB = 0 cm et AM = x cm. (c) Où se situe alors M? A. Quelles sont les valeurs possibles pour x?. Montrer que l aire A (x) de la plaque de tôle est : ( x + 0x ) x A (x)= π 4 3. Pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on : (a) A (x)=0? M 0 A (x) (b) A (x)=3π? (c) A (x)=7π? 4. (a) Montrer que A (x) atteint une valeur maximale. EXERCICE 3 (b) Quelle est cette valeur maximale et pour quelle valeur de x est-elle atteinte? Soit ABC DEFG H un cube d arête m, I, J et K les milieux respectifs de [AB], [G H] et [FG] et L le centre du cube (c est-à-dire l intersection et milieu des diagonales principales du cube). ÀB 9 points. (a) Montrer que I, J, K et L sont coplanaires. (b) i. Montrer que (EL) (I K ). ii. Montrer que (EL) (JK ). iii. Que peut-on en conclure? (c) Montrer que le triangle I JK est rectangle. (d) En déduire le volume du tétraèdre 4 I JK E.. (a) Montrer que (AF )//(I JK ). (b) Construire en rouge sur le schéma de la présente page, sans justifier, la trace de (I JK ) sur le cube. Barème détaillé EXERCICE 6,5 points (c) point EXERCICE 3 9 points (c) point. 0,5 point. points 3. (a) 0,5 point (b) point 4. (a) 0,5 point (b) point (c) 0,5 point. (a) point (b) i. point ii. point iii. 0,5 point (d) point. (a) 3 points (b) 0,5 point 3 Lundi 3 octobre Durée : h00 4 On rappelle que le volume d un tétraèdre est donné par la formule : Volume= 3 aire de la basehauteur 74 David Robert

187 Première S Devoir surveillé n : corrigé EXERCICE Déterminer, selon les valeurs de x, le signe de f (x)= x + 3x 0 x + 4x 3. Indication : Pour aller plus vite on n oubliera pas de chercher d abord les éventuelles racines évidentes. 4,5 points Numérateur et dénominateur étant des trinômes (ax +bx+c), ils sont du signe de a sauf entre les éventuelles racines. Comme est une racine évidente du numérateur et une racine évidente du dénominateur, on obtient facilement (x )(x 5) f (x)= (x )( x+ 3) Les racines du numérateur sont donc et 5 et celles du dénominateur et 3 (qui sont aussi des valeurs interdites). On peut dresser un tableau de signe : x x + 3x x + 4x f (x) Finalement f (x) est positif lorsque x [ 5;[ [;3[ ; négatif lorsque x ] ; 5] ];] ]3;+ [ Barème : Racines du numérateur : 0.5 point Racines du dénominateur : 0.5 point Signe du numérateur : point Signe du dénominateur : point Valeurs interdites : 0,5 point Signe de f (x) : 0,5 point Conclusion : 0,5 point EXERCICE 6,5 points On fabrique une plaque de tôle de la manière suivante : à partir d un demi-disque de diamètre [AB], on enlève deux demi-disques de diamètres respectifs [AM] et [MB], avec M [AB] On pose : AB = 0 cm et AM = x cm.. Quelles sont les valeurs possibles pour x? On a M [AB] et AM = x donc x [0;0]. Montrer que l aire A (x) de la plaque de tôle est A (x)= π 4 ( x + 0x ) (0,5 point) En notant r le rayon et d le diamètre, l aire d un disque est donnée par A = πr donc celle d un demi-disque ( ) = π d par A= πr = πd 8 L aire recherchée est égale à l aire du demi-disque de diamètre [AB] à laquelle il faut retrancher les aires des demi-disques de diamètres respectifs [AM] et [MB]. A (x)= π0 πx π(0 x) = π ( 00 x (00 0x+ x ) ) = π d 4 = π 8 (00 x 00+0x x )= π 8 ( x + 0x) = π 8 ( x + 0x)= π 4 ( x + 0x) 3. Pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on : (a) A (x)=0? ( points) A (x)=0 π 4 ( x + 0x)=0 x + 0x = 0 x( x+ 0)=0 x = 0 ou x = 0 ( point) (b) A (x)=3π? A (x)=3π π 4 ( x + 0x)=3π x + 0x = 0= x 0x+ De la forme ax + bx+ c = 0, on va donc passer par le déterminant (pas de racine évidente) : =b 4ac = 00 48=5>0 donc deux racines. x = b = 0 5 = 0 3 = 5 3 et x = a Ces deux racines sont bien dans l intervalle [0;0], ce sont donc des solutions de A (x)=3π ( point) David Robert 75

188 Première S (c) A (x)=7π? A (x)=7π π 4 ( x + 0x)=7π x + 0x = 8 0= x 0x+ 8 De la forme ax + bx+ c = 0, on va donc passer par le déterminant (pas de racine évidente) : =b 4ac = 00 = <0 donc pas de racine. L équation A (x)=7π n a pas de solution. ( point) 4. (a) Montrer que A (x) atteint une valeur maximale. A (x)= π 4 ( x + 0x)= π 4 x + 5π x donc A (x) est une fonction trinôme avec a = π 4, b = 5π étant négatif elle admet un maximum. et c = 0. a (0,5 point) (b) Quelle est cette valeur maximale et pour quelle valeur de x est-elle atteinte? L extremum d une fonction trinôme est atteint en x 0 = b donc ici : a x 0 = = 5π 4 π = 5 5π π 4 Il vaut A (5)= π 4 ( )= 5π 4 (0,5 point) (0,5 point) (c) Où se situe alors M? M est alors le milieu de [AB]. (0,5 point) EXERCICE 3 9 points Soit ABC DEFG H un cube d arête m, I, J et K les milieux respectifs de [AB], [G H] et [FG] et L le centre du cube (c est-à-dire l intersection et milieu des diagonales principales du cube).. (a) Montrer que I, J, K et L sont coplanaires. Il semble que L est le milieu de [I J]. Si nous arrivons à le démontrer, I, J, L alignés et K point extérieur à la droite (I J) seront forcément coplanaires. Or AI = AB = HG = JG donc AIG J parallélogramme et L, milieu de [AG] est ausi milieu de [I J]. Donc I, J, K et L sont coplanaires. (0,5 point) (b) i. Montrer que (EL) (I K ). ( Plaçons nous dans le repère A; AB, AD, ) AE orthonormé car ABC DEFG H cube. EL= ( EC = ( EF + FG+ GC )= ) AB+ AD AE = ( ; ; ) I K = I B+ BF + F K = AB+ AE+ ( AD = ; ;) Le repère étant orthonormé, calculons xx + y y + zz. xx + y y + zz = = 0 donc (EL) (I K ). ii. Montrer que (EL) (JK ). ( JK = JG+ GK = AB AD = ; ) ;0 Le repère étant orthonormé, calculons xx + y y + zz. xx + y y + zz = =0 donc (EL) (JK ). ( point) ( point) ( point) (0,5 point) ( point) (0,5 point) iii. Que peut-on en conclure? (EL) est orthogonale à deux droites concourrantes de (IJK) donc (EL) (I JK ) (Oubli de «concourrantes» : 0,5 point) (0,5 point) (c) Montrer que le triangle I JK est rectangle. On dispose des coordonnées de I K et de JK. Commençons par regarder si ces vecteurs sont orthogonaux. Le repère étant orthonormal, calculons xx + y y + zz. xx + y y + zz = 4 + 0=0 donc le triangle est rectangle en K. 4 (0,5 point) 76 David Robert

189 Première S (d) En déduire le volume du tétraèdre I JK E. (EL) (I JK ) et L (I JK ) donc, en choisissant I JK comme base, EL est la hauteur du tétraèdre. Comme le repère est orthonormal, on a si AB = (a;b;c) alors AB = AB = a + b + c I JK étant rectangle en K, son aire est : A= I K JK = = = 4 Par ailleurs : EL= = = Finalement V = = 8 (0,5 point). (a) Montrer que (AF )//(I JK ). AF = AB+ BF = AB+ AE = (;0;) ( point) Les coordonnées des vecteurs I K et JK étant disponibles, regardons s il existe un couple de réels (a;b) tel que AF = a I K + b JK. AF = ai K + b JK 0 = a = a + b (L ) 0= a b (L ) = a (L 3 ) +b 0 L 3 donne a= ; L donne b= et a= et b= vérifient L. Donc AF = I K + JK et donc (AF )//(I JK ). (0,5 point) (b) Construire en rouge, sans justifier, la trace de (I JK ) sur le cube. Voir schéma. (0,5 point) E H J F K G L D C A I B David Robert 77

190 Première S Devoir surveillé n 3 5 Angles orientés Produit scalaire Équations cartésiennes EXERCICE 5 points On donne ci-contre le cercle trigonométrique dans le plan orienté muni d un repère ( O; ı, j ) orthonormal direct. J. (a) Résoudre dans R l équation cos3x =. ( OI (b) Sachant que, OM i )= x+kπ où k Z, placer les points M, M, etc. correspondants aux solutions de l équation précédente. j (c) Donner leurs mesures principales. O ı I. (a) Résoudre dans R l équation sinx = cosx. ( OI (b) Sachant que, ON i )= x+ kπ où k Z, placer les points N, N, etc. correspondants aux solutions de l équation précédente. (c) Donner leurs mesures principales. EXERCICE 5points ABC D est un carré de sens direct et de côté a. On appelle I, J et K les milieux respectifs des segments [AB], [BC ] et ([C D]. AJ, ) On note θ= IC. En décomposant judicieusement, à l aide de la relation de CHASLES, les vecteurs AJ et IC, déterminer le produit scalaire AJ. IC en fonction de a.. Déterminer les longueurs AJ et IC en fonction de a puis exprimer le produit scalaire AJ. IC en fonction de a et de θ. 3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cosθ puis celle de θ, en degré, à 0, près. D A K J θ j ı I C B EXERCICE 3 0 points On se place dans la même figure que dans l exercice précédent mais avec les données supplémentaires suivantes : le plan est muni du repère ( A; ı, j ) orthonormal direct ; les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives (0;0), (6;0), (6;6) et (0;6) ; les points I, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC ] et [C D] et ont pour coordonnées respectives (3;0), (6;3) et (3;6). On appelle M l intersection des droites (AJ) et (BK ). Montrer qu une équation de la droite (AJ) est x y = 0.. (a) Déterminer une équation de la droite D passant par K et perpendiculaire à (AJ). (b) i. Montrer que B appartient à D. ii. Que peut-on en déduire pour les droites (AJ) et (BK )? iii. Obtenir ce résultat d une autre manière à l aide du produit scalaire et des coordonnées. 3. Montrer que les coordonnées de M sont (4,8;,4). 4. On appelle C le cercle de centre D et passant par A (a) Tracer C et conjecturer si M appartient à C. (b) Déterminer une équation du cercle C puis valider ou invalider votre conjecture. 5. Déterminer une équation du cercle C de centre D et tangent à la droite (AJ) 5 Jeudi 30 novembre Durée : h00 78 David Robert

191 Première S Devoir surveillé n 4 6 Produit scalaire Dérivation Équations cartésiennes Les exercices sont rangés dans ce qui me semble être l ordre croissant de difficulté mais vous pouvez les traiter dans l ordre que vous voulez. EXERCICE points Tracer sur le repère ci-dessous la représentation graphique C d une fonction f vérifiant les conditions suivantes : f est définie sur [ 5 ; 5] ; Le point Ω de coordonnées (0 ; 3) est centre de symétrie de C et appartient à C ; f ()= et f (4)= ; f (0)=, f ()=0 et f (4)=. On fera apparaître toutes les tangentes qu on peut déduire de l énoncé j O ı Vendredi décembre Durée : h00 David Robert 79

192 Première S EXERCICE 3,5 points On donne ci-dessous la courbe représentative C d une fonction définie f sur R ainsi que les tangentes à cette courbe en certains points. j O ı. Donner par lecture graphique f ( 3), f () et f (9).. Donner par lecture graphique f ( 3), f () et f (9). 3. (a) Déterminer l équation réduite de T, la tangente à C au point d abscisse 3. (b) À l aide d une approximation affine de f, donner une estimation de f (,99). EXERCICE 3 3 points ABC D est un carré de sens direct et de côté a. C BF et DC E sont des triangles équilatéraux de sens direct. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [BC ] et [C D]. E. Montrer que I F = JE = a 3 D J C. À l aide du produit scalaire montrer que les droites (AF ) et (BE) sont perpendiculaires. On pourra décomposer les vecteurs AF et BE à l aide de la relation de CHASLES selon des directions orthogonales ou bien se servir d un repère bien choisi. A I B F EXERCICE 4 Donner les fonctions dérivées des fonctions suivantes :. f (x)= x x. g (x)= x + x 3 3. h(x)= x k(x)= ( x 3 + ) 4 4 points 80 David Robert

193 Première S EXERCICE 5 Soit C un cercle de centre Ω et de rayon r et A un point extérieur à C. On cherche les tangentes à C passant par A. 4 points. Montrer que B et C, les points de contact des tangentes T B et T C à C passant par A, sont les points d intersection de C et du cercle C de diamètre [ΩA].. On se place dans un repère orthonormé ( O; ı, j ) tel que Ω( ; ), r = 5 et A(4 ; ). (a) Déterminer une équation de C. (b) Déterminer une équation de C. (c) Déterminer les coordonnées de B et C. (d) Déterminer les équations de T B et T C. EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur ] ; [ par : f (x)= x 3,5 points. (a) En utilisant la définition du nombre dérivé, démontrer que la fonction f est dérivable en 0 et que f (0)=. (b) En déduire une approximation affine de f au voisinage de 0.. On ne traitera cette question que lorsque tout le reste sera fini. En mécanique classique, l énergie cinétique E c d un corps en mouvement est proportionnelle à sa masse m et au carré de sa vitesse v. Plus précisément E c = mv Dans la théorie de la relativité d EINSTEIN (utilisée principalement pour les vitesses proches de la vitesse de la lumière), l énergie cinétique est donnée par la formule : où c est la vitesse de la lumière dans le vide. E c = v c mc (a) Que peut-on dire de la quantité v c quand la vitesse v est très inférieure à la vitesse de la lumière c? (b) En posant x = v et à l aide des questions précédentes, montrer que l énergie cinétique telle que la donne c la mécanique classique est une bonne approximation de celle que donne la mécanique relativiste quand la vitesse v est très inférieure à celle de la lumière c. David Robert 8

194 Première S Devoir surveillé n 4 : corrigé Le barème est provisoire. Le devoir est noté sur 5 et la note est ramenée ensuite sur 0 (0,8). Pas de question hors barème mais les questions difficiles (intersections des deux cercles et la question qui suit, ainsi que la dérivabilité de f (x)= en 0) sont assez peu payées, donc ne «coûtent»pas énormément si elles n ont pas été x traitées, et, conséquemment, ne rapportent pas énormément (3 points à elles trois). EXERCICE 3 points Tracer sur le repère ci-dessous la représentation graphique C d une fonction f vérifiant les conditions suivantes : f est définie sur [ 5 ; 5] ; Le point Ω de coordonnées (0 ; 3) est centre de symétrie de C et appartient à C ; f ()= et f (4)= ; f (0)=, f ()=0 et f (4)=. On fera apparaître toutes les tangentes qu on peut déduire de l énoncé. A 5 B 4 3 Ω B j A O ı Barème : A et B : 0,5 point ; A et B : 0,5 point ; Ω : 0,5 point ; Tangentes : 0,55=,5 points ; courbe allant de l abscisse 5 à l abscisse 5 : 0,5 point ; courbe parfaitement symétrique par rapport à Ω : 0,5 point ; courbe épousant les tangentes au voisinage des points de tangence : 0,5 point. EXERCICE 4 points 8 David Robert

195 Première S On donne ci-dessous la courbe représentative C d une fonction définie f sur R ainsi que les tangentes à cette courbe en certains points. j O ı. Donner par lecture graphique f ( 3), f () et f (9). f ( 3)=, f ()=4 et f (9)= (0,5 point). Donner par lecture graphique f ( 3), f (), et f (9). f ( 3)= 3, f ()= 4 et f (9)=0. (,5 point) 3. (a) Déterminer l équation réduite de T, la tangente à C au point d abscisse 3. Posons T : y = mx+ p. On sait que f ( 3)= 3 or f ( 3)=m donc T : y = 3 x+ p. On sait que f ( 3)= donc le point de coordonnées ( 3 ; ) T donc = 3 ( 3)+ p d où p = + 9 =. Finalement T : y = 3 x+. (b) À l aide d une approximation affine de f, donner une estimation de f (,99). (,5 point) La tangente à la courbe au point d abscisse 3 n est rien d autre que la représentation graphique de l approximation affine de f au voisinage de 3 donc f (x) 3 x+ au voisinage de 3. Or,99 est proche de 3 donc f (,99) 3 (,99)+ =,05. (0,5 point) EXERCICE 3 ABC D est un carré de sens direct et de côté a. C BF et DC E sont des triangles équilatéraux de sens direct. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [BC ] et [C D]. 4 points. Montrer que I F = JE = a 3. I milieu de [BC ] donc (I F ) est la médiane issue de F dans le triangle BFC. Comme ce triangle est équilatéral c est aussi la hauteur issue de F. Le triangle I BF est donc rectangle en I. Appliquons PYTHAGORE : B I + I F = BF ( ) a + I F = a I F = a a 4 = 3 4 a I F = a 3 (I F est une longueur). Les triangles étant isométriques I F = JE = a 3. ( point). À l aide du produit scalaire montrer que les droites (AF ) et (BE) sont perpendiculaires. David Robert 83

196 Première S ( ( ) AF. BE = AB+ B I + I F ). BC+ C J+ JE = AB. C J+ B I. BC+ B I. JE+ I F. C J = a + a + a 3 4 = 0 a 3 4 Donc les droites (AF ) et (BE) sont perpendiculaires. (3 points) E D J C I F A B EXERCICE 4 Donner les fonctions dérivées des fonctions suivantes :. f (x)= x x 3. h(x)= x+ 3 6 points f = uv avec u(x)= x et v(x)= x. Or f = u v+ uv donc f (x)= x+ x. (,5 point) x. g (x)= x + x 3 g = u v avec u(x)= x + et v(x)= x 3. Or f = u v uv v donc f (x)= x(x 3) (x +) (x 3) = x 6x (x 3). (,5 point) h(x) = g (x + 3) avec g (x) = x donc h (x) = g (x+ 3)=. (,5 point) x+3 4. k(x)= ( x 3 + ) 4 = x+3 k = u 4 avec u(x)= x 3 +. Or k = 4u u 3 donc k (x)=43x ( x 3 + ) 3 = x ( x 3 + ) 3. (,5 point) EXERCICE 5 Soit C un cercle de centre Ω et de rayon r et A un point extérieur à C. On cherche les tangentes à C passant par A. 5 points. Montrer que B et C, les points de contact des tangentes T B et T C à C passant par A, sont les points d intersection de C et du cercle C de diamètre [ΩA]. T B = (AB) et la tangente T B est perpendiculaire à (ΩB), donc le rectangle ΩB A est rectangle en B donc B appartient au cercle de diamètre [ΩA] qui est l ensemble des points M tels que ΩM A est rectangle en M. De même pour C. ( point). On se place dans un repère orthonormé ( O; ı, j ) tel que Ω( ; ), r = 5 et A(4 ; ). (a) Déterminer une équation de C. C : (x x Ω ) + ( y y Ω ) = r donc C : (x ) + ( y ) = 5. ( point) (b) Déterminer une équation de C. C : (x x Ω )(x x A )+ ( y y Ω )( y y A ) = 0 donc C : (x )(x 4)+ ( y )( y ) = 0. ( point) (c) Déterminer les coordonnées de B et C. 84 David Robert

197 Première S Les coordonnées de B et de C vérifient les équations de C et de C donc sont solution du système : { (x ) (S) : + ( y ) = 5 (x )(x 4)+ ( y )( y ) = 0 Résolvons-le : { x x+ + y 4y+ 4=5 L (S) x 5x+ 4+ y 3y+ =0 L { x x+y 4y = 0 L x 5x+y 3y+ 6=0 L { x x+ + y 4y+ 4=5 L 3x y 6=0 L = L L { x x+ + y 4y+ 4=5 L y = 3x 6 L Substituons y dans L : { x x+ +(3x 6) 4(3x 6)+4=5 L (S) y = 3x 6 L { x x+ +9x 36x+ 36 x+ 4+4=5 L y = 3x 6 L { 0x 50x+ 60=0 L y = 3x 6 L Cherchons les solutions de 0x 50x+ 60=0 x 5x+ 6=0. est une racine évidente, on a donc x 5x+ 6=0 (x )(x 3)=0 x = ou x = 3. Sachant que y = 3x 6, on obtient les coordonnées des deux points : B(3 ; 3) et C ( ; 0). ( point) (d) Déterminer les équations de T B et T C. ( xb x Ω ΩB = y B y Ω ) ( = B(3 ; 3) T B donc x B + y B + c = 0 c = 9. Finalement ( T B : x+y 9=0. ΩC = C ( ; 0) T C donc x C y C + c = 0 c =. Finalement T C : x y =0. ) est normal à T B donc T B : x+y+ c = 0. ) est normal à T C donc T C : x y+ c = 0. (0,5 point) (0,5 point) 4 3 B Ω j O ı A C 3 4 EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur ] ; [ par : f (x)= x 3 points. (a) En utilisant la définition du nombre dérivé, démontrer que la fonction f est dérivable en 0 et que f (0)=. David Robert 85

198 Première S f (a+ h) f (a) Étudions A= avec a= 0. a+ h a ( f (0+h) f (0) f (h) f (0) A= = = 0+h 0 h ( ) h = h h h ) h h = h h h Il y a toujours un facteur h au dénominateur qu il faut essayer de faire disparaître. Le «truc»est de multiplier numérateur et dénominateur par + h pour obtenir (a+ b)(a b) : A= h h h + h + h = h h ( h ) ( + ) h ( h) = h ( h + h ) = h h ( h + ) = h ( h + h ) pour h 0 Ainsi il n y a plus de facteur h au dénominateur et quand h 0, A f (0)=. donc f est dérivable en 0 et ( point) (b) En déduire une approximation affine de f au voisinage de 0. Au voisinage de 0, f (x) f (0)+ f (0)(x 0)=+ x. (0,5 point). On ne traitera cette question que lorsque tout le reste sera fini. En mécanique classique, l énergie cinétique E c d un corps en mouvement est proportionnelle à sa masse m et au carré de sa vitesse v. Plus précisément E c = mv. Dans la théorie de la relativité d EINSTEIN (utilisée principalement pour les vitesses proches de la vitesse de la lumière), l énergie cinétique est donnée par la formule : E c = dans le vide. (a) Que peut-on dire de la quantité v v c mc où c est la vitesse de la lumière c quand la vitesse v est très inférieure à la vitesse de la lumière c? Quand la vitesse v est très inférieure à la vitesse de la lumière c, v c est proche de 0. (0,5 point) (b) En posant x = v et à l aide des questions précédentes, montrer que l énergie cinétique telle que la donne c la mécanique classique est une bonne approximation de celle que donne la mécanique relativiste quand la vitesse v est très inférieure à celle de la lumière c. On a vu qu au voisinage de 0, On a donc : + x x donc + v v. c c ( ) + v mc v c mc c mv. E c = mc v c Donc l énergie cinétique telle que la donne la mécanique classique est une bonne approximation de celle que donne la mécanique relativiste quand la vitesse v est très inférieure à celle de la lumière c. ( point) 86 David Robert

199 Première S Devoir surveillé n 5 7 Fonction dérivée EXERCICE 4 points La courbe (C ) de la figure ci-dessous est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d une fonction f définie et dérivable sur R. On donne les renseignements suivants : la courbe admet une tangente horizontale au point d abscisse ; le point B( ; ) appartient à (C ) ; la tangente à la droite au point B passe par le point C (4 ; 0) ; l axe des abscisses est asymptote à la courbe (C ) en +. 3 j O ı 3 A B C Déterminer graphiquement f (), f () et f ().. Une des représentations graphiques ci-dessous, représente la fonction dérivée f de f, une autre représente une fonction h telle que h = f. En justifiant vos choix à l aide d arguments basés sur l examen des représentations graphiques : (a) déterminer la courbe associée à la fonction f. (b) déterminer la courbe associée à la fonction h. 3 6 j O ı C 4 j O ı 4 C j O ı C j O ı C Vendredi 9 janvier Durée : h30 David Robert 87

200 Première S EXERCICE points Soit f la fonction définie sur R {} par : f (x)= x + x+ et C sa représentation graphique dans un repère ( O; ı, j ). x. Préciser l ensemble de dérivabilité de la fonction f et déterminer f (x).. Étudier le sens de variation de f et dresser le tableau des variations de f. 3. (a) Déterminer, s il y en a, les coordonnées des points d intersection de C avec les axes de coordonnées. (b) Bonus 8 : Démontrer que le point Ω(;3) est centre de symétrie de C. 4. Déterminer, s il y en a : (a) les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l axe des abscisses. (b) une équation de T 0, la tangente à C au point d abscisse 0. (c) les abscisses des points de C où la tangente a pour coefficient directeur. (d) les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à la droite d équation y = x. 5. (a) Dans un repère orthogonal placer les points et représenter les tangentes rencontrés dans les questions précédentes. (unités graphiques cm = unité sur l axe des abscisses et cm = unités sur l axe des ordonnées) (b) Tracer C dans le même repère. EXERCICE 3 4 points On dispose d une feuille de dimensions cm 9,7 cm avec laquelle on veut fabriquer une boite sans couvercle. Pour cela on découpe aux quatre coins de la feuille un carré de côté x. On obtient le patron de la boite. On se propose d étudier le volume de la boite en fonction de x.. Quelles sont les valeurs possibles pour x?. On appelle V (x) le volume de la boite. (a) Montrer que V (x)= x(9,7 x)( x). (b) Étudier les variations de V. (c) En déduire la (ou les) valeur(s) de x pour laquelle (lesquelles) le volume de la boite est maximum. On donnera le(s) résultat(s) au millimètre. 9,7 x Barème 9 EXERCICE 4 points EXERCICE points EXERCICE 3 4 points. point. (a),5 point (b),5 point. points. points 3. (a) point (b) + point 4. 4,5 points 5.,5 points. 0,5 point. (a) point (b) points (c) 0,5 point 8 À ne traiter qu une fois tout le reste du devoir terminé. 9 Provisoire. 88 David Robert

201 Première S Devoir surveillé n 6 0 Barycentres Statistiques EXERCICE ABC D est un carré tel que AB = 5 cm. I est le milieu de [BC ]. On appelle : G le barycentre de {(A ; ); (B ; )} ; H le barycentre de {(A ; ); (B ; ); (C ; )} ; J le barycentre de {(H ; ); (G ; )} ; K le barycentre de {(H ; ); (G ; )}. Les questions.,., 3. et 4. sont indépendantes. 7 points. (a) Question préliminaire : Soit A, B et G trois points de l espace et α, β deux réels non nuls tels que α+β 0. Montrer que «G barycentre de {(A ; α); (B ; β)}»équivaut à «A barycentre de {(G ; α β); (B ; β)}.» On pourra écrire par la suite {(G ; α+β)}={(a ; α); (B ; β)} {(A ; α)}={(g ; α β); (B ; β)} (b) En déduire que A est le milieu du segment [BG] et que H est le milieu de [GK ].. Montrer, à l aide des barycentres, que K = C. 3. (a) Sachant que AB = DC et à l aide de la relation de CHASLES, exprimer D comme barycentre de A, de B et de C. (b) En déduire que H est le milieu du segment [AD]. 4. (a) Faire un schéma et construire G, H, I, J et K. (b) Déterminer et construire les ensembles E i des points M du plan vérifiant : E : M A MB+ MC = MB M A ; E : M A MB+ MC = MB+ MC ; E 3 : M A MB+ MC = M A+ MB ; EXERCICE ABC est un triangle du plan tel que AB = 5 cm, BC = 6 cm et AC = 7 cm et I, J et K sont les points tels que : AI = 5 AB ; C J = 3C B ; AK = 4 7 AC.. Faire un schéma et construire I, J et K.. Exprimer : I comme barycentre de A et B ; J comme barycentre de C et B ; K comme barycentre de C et A. 3. Soit H, barycentre de {(A ; 3); (B ; ); (C ; 4)}. Montrer que les droites (AJ), (BK ) et (C I ) sont concourantes en H. 4 points 0 Vendredi mars Durée : h00 David Robert 89

202 Première S EXERCICE 3 points Une plaque homogène ABC DE est constituée d un carré ABDE de côté 6 cm et d un triangle équilatéral BC D (voir schéma). Déterminer et construire G, le centre de gravité de la plaque. A B C E D EXERCICE 4 7 points Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Mathématiques et en Sciences de la vie et de la terre : Note Maths SVT (a) Déterminer les rangs des quartiles et de la médiane des deux séries puis donner leurs valeurs. (b) Faire le diagramme en boite des deux séries sur une même échelle puis commenter le diagramme.. (a) Déterminer la moyenne des notes de Mathématiques et la comparer à la médiane en expliquant ce qui cause cet écart. (b) Déterminer la moyenne des notes de Sciences de la vie et de la terre. L écart avec la moyenne est-il le même? Pourquoi? (c) Déterminer les écarts types des deux séries (arrondis au dixième) et commenter vos résultats. (d) Le professeur de mathématiques désire appliquer un changement affine (y = ax+ b avec a > 0) à chacune des notes de façon à ce que la moyenne et l écart type des notes de mathématique soient égaux à ceux des notes de Sciences et vie de la terre. i. Combien doivent valoir a et b? On donnera les résultats à 0 près. ii. Ce changement affine est-il possible? Barème EXERCICE. (a) point (b) point. point 3. (a) 0,5 point (b) point 4. (a) 0,5 point (b) points EXERCICE. 0,5 point.,5 point 3. points EXERCICE 4. (a),75 point (b) point. (a) 0,75 point (b) 0,5 point (c),75 point (d) i. 0,75 point ii. 0,5 point 90 David Robert

203 Première S Devoir surveillé n 7 Relations métriques Trigonométrie Suites Pour des raisons de mise en page, les exercices ne sont pas dans l ordre croissant de difficulté. Il est conseillé mais pas obligatoire de les faire dans l ordre suivant :, puis 3, puis. Le barème provisoire est détaillé en fin d énoncé. EXERCICE Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 3 u n+ = +u n pour tout n N. Calculer les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite. Que peut-on en déduire quant à la monotonie de la suite?. Soit f la fonction définie sur R { } par f (x) = + x. On appelle C sa représentation graphique. (a) Étudier les variations de f (b) Dans le repère ci-contre, tracer C. 3. Tracer dans ce même repère la droite D d équation y = x ainsi que la représentation graphique «en chemin»de la suite (u n ). 4. On admettra que (u n ) converge vers le réel l positif tel que le point d intersection de C et D a pour coordonnées (l ; l). (a) Conjecturer à l aide de la représentation graphique la valeur de l. (b) Déterminer par le calcul la valeur exacte de l. O ı 3 j 3 7 points 3 EXERCICE 8 points L objectif de cet exercice est de trouver l ensemble des réels x de l intervalle [0; π[ solutions de l équation : tan x+ 4tan x+ =0 tan a+ tanb tan a tanb. Démontrer que tan(a+ b)= puis que tan(a b)= tan a tanb +tan a tanb. Calculer A= π 4 + π 3 et B = π 4 π En utilisant les relations précédentes, montrer que tan 7π = 3 et que tan ( π ) = Résoudre l équation X + 4X + =0 5. Déterminer l ensemble des réels x de l intervalle [0; π[ solutions de l équation : tan x+ 4tan x+ =0. Vendredi 3 mars Durée : h00 David Robert 9

204 Première S EXERCICE 3 5 points Le bateau de Pascal rejoint son mouillage situé sur la Laïta, rivière dont l embouchure, au Pouldu, est signalée par une tour dite du mât pilote (T sur le schéma). Le bateau se déplace suivant une ligne droite (γ). Frédéric et Michel ont décidé de faire une surprise à Pascal et d être à l arrivée à son mouillage. Afin de connaître le plus tôt possible l heure d arrivée du bateau à l embouchure, ils se placent sur la côte, Frédéric à 5 km de l embouchure, au Fort-Bloqué (F sur le schéma), Michel à 6 km de l embouchure, à proximité du Courégant (M sur le schéma), tous les deux parfaitement alignés avec la tour. Chacun d eux est muni d un appareil de mesure des angles. À 9 h, le bateau était en B : Michel note F MB = 00 et Frédéric MF B = 64. À 9 h 30, le bateau était en B : Michel note F MB = 7 et Frédéric MF B = 95.. (a) Calculer les mesures exactes des côtés de F MB puis celles de F MB. (b) En déduire B B au mètre près.. (a) Calculer la distance au mètre près qu il reste à parcourir au bateau avant d arriver à l embouchure. (b) Pour des raisons de marée, le bateau doit atteindre l embouchure de la Laïta avant h00. En supposant que celui-ci garde la même allure, déterminer si ce sera le cas. T (γ) F B M B Les distances en mer et les angles ne sont pas respectés sur ce schéma EXERCICE 4 n ( Soit (x i ) i n une série statistique et x sa moyenne. Démontrer que xi x ) = 0. i= Bonus : + point Ainsi nommée car elle était jadis surmonté d un mât indiquant aux bateaux désirant entrer dans l embouchure, par un système de codes, les manœuvres à effectuer 9 David Robert

205 Première S Devoir surveillé n 7 : corrigé EXERCICE u 0 = 3 Soit (u n ) la suite définie par u n+ = pour tout n N +u n. Calculer les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite. Que peut-on en déduire quant à la monotonie de la suite? u 0 = 3 u = +u 0 = +3 = u = = +u + = 4 3 u 3 = = +u + 4 = u 4 = = = 4 +u On a donc u 0 > u et u < u : la suite n est pas monotone. 7 points 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt. Soit f la fonction définie sur R { } par f (x)= + x. On appelle C sa représentation graphique. (a) Étudier les variations de f Deux méthodes ici : étudier le signe de la dérivée de f ou bien utiliser les fonctions associées. On remarque que f (x) = i (x + ) où i est la fonction inverse. D après les propriétés des fonctions associées, comme : x 0 + i (x) x + f (x) Alors : pt (b) Dans le repère ci-contre, tracer C. 3. Tracer dans ce même repère la droite D d équation y = x ainsi que la représentation graphique «en chemin»de la suite (u n ). pt Voir schéma page suivante. 0,5 +,5 pt 4. On admettra que (u n ) converge vers le réel l positif tel que le point d intersection de C et D a pour coordonnées (l ; l). (a) Conjecturer à l aide de la représentation graphique la valeur de l. Il semble que l = car la représentation en chemin de la suite semble converger vers le point (; ). 0,5 pt (b) Déterminer par le calcul la valeur exacte de l. Déterminons les coordonnées des points d intersections de D et de C. Ce sont les couples (x ; y) solutions du système : { { y = x y = x { y = x y = x y = x = x + x = avec x x + x =(x )(x+ )=0 + x + x avec x Donc (x ; y)=(; ) ou (x ; y)=( ; ). Or on a admis que l positif, donc l =. pt EXERCICE 8 points L objectif de cet exercice est de trouver l ensemble des réels x de l intervalle [0; π[ solutions de l équation : tan x+ 4tan x+ =0 David Robert 93

206 Première S j O ı 3 u u 3 u 4 u u 0 3 tan a+ tanb. Démontrer que tan(a+ b)= tan a tanb puis que tan(a b)= tan a tanb +tan a tanb sin(a+ b) sin a cosb+ cos a sinb) tan(a+ b)= = cos(a+ b) cos a cosb sin a sinb On peut ensuite voir qu en mettant en facteur au numérateur et au dénominateur cos a cosb on obtient le résultat demandé. Cependant, si nous n avons pas cette intuition, cela semble une impasse. Il faut alors travailler le second membre de l égalité : tan a+ tanb tan a tanb = sin a cos a + sinb cosb sin a sinb cos a cosb = sin a cosb+cos a sinb) cos a cosb cos a cosb sin a sinb cos a cosb tan a+ tanb On a donc tan(a+ b)= tan a tanb. Par ailleurs tan( x) = tan x. On a alors : tan a+ tan( b) tan(a b)=tan(a+ ( b))= tan a tan( b). Calculer A= π 4 + π 3 et B = π 4 π 3. sin a cosb+ cos a sinb) = cos a cosb sin a sinb = tan a tanb +tan a tanb pt 0,5 pt A= π 4 + π 3 = 7π. B = π 4 π 3 = π. 0,5 pt 3. En utilisant les relations précédentes, montrer que tan 7π = 3 et que tan ( π ) = + 3. On a : tan π 3 = sin π 3 cos π = 3 3 = 3. 0,5 pt tan π 4 = sin π 4 tan 7π ( π = tan 4 + π ) = tan π 4 + tan π 3 3 tan π 4 tan π 3 = = = = 4+ 3 = 3. pt ( tan π cos π 4 = ) = tan = 3 =. 0,5 pt ( π 4 π ) = tan π 4 tan π 3 3 +tan π 4 tan π = 3 = = 4 3 = + 3. pt 94 David Robert

207 Première S Résoudre l équation X + 4X + =0 Il n y a pas de racine évidente, on va donc passer par le discrimant : =4 4=>0, il y a donc deux racines : x = 4 = 4 3 = 3 et x = 4+ 3 = + 3 pt 5. Déterminer l ensemble des réels x de l intervalle [0; π[ solutions de l équation : tan x+ 4tan x+ =0. En posant X = tan x, il vient : tan x = 3 ou tan x = + 3. Or on a vu que tan 7π = 3 et que tan ( ) π = + 3. On a donc : tan x = tan 7π x = 7π [π] ou tan x = ( π ) x = π Sur [0; π[ les solutions sont donc 7π et 9π [π]. π d une part et et 3π d autre part. pt EXERCICE 3 Données : T F = 5 km T M = 6 km T, B et B alignés T, F et M alignés À 9 h, le bateau était en B : Michel note F MB = 00 et Frédéric MF B = 64. À 9 h 30, le bateau était en B : Michel note F MB = 7 et Frédéric MF B = points. (a) Calculer les mesures exactes des côtés de F MB puis celles de F MB. F M B F M B Dans le triangle F MB, on a F M =, F MB = 00 et MF B = 64. F M Or = F B sin( ) sin00 = MB sin64 donc F B = sin00 sin6 et MB = sin64 pt sin6 (b) En déduire B B au mètre près. Dans le triangle F MB, on a F M =, F MB = 7 et MF B = 95. F M Or sin( ) = F B sin7 = MB sin95 donc F B = sin7 sin3 et MB = sin95 pt sin3 On peut travailler dans le triangle F B B ou MB B. Choisissons F B B. Dans le triangle F B B, on a F B = sin00 sin6, F B = sin7 sin3 et B F B = 95 64=3. Or B B = F B + F B F B F B cos3 4,744 donc B B,78 km. B B F pt. (a) Calculer la distance au mètre près qu il reste à parcourir au bateau avant d arriver à l embouchure. On peut travailler dans T F B, T F B, T MB ou T MB. Choisissons T F B. Dans T F B on a T F = 5, F B = sin7 sin3 et T F B = 80 95=85. Or T B = F T + F B F T F B cos85 39,90 donc T B 6,60 km. Il reste donc, à 9h30, 6,60 km à parcourir au bateau avant d arriver à l embouchure. T F B pt (b) Pour des raisons de marée, le bateau doit atteindre l embouchure de la Laïta avant h00. En supposant que celui-ci garde la même allure, déterminer si ce sera le cas. David Robert 95

208 Première S Le bateau a parcouru B B,78 km en 30 min. À 9h30, il lui reste T B 6,60 km à parcourir. À la même allure, cela lui prendra environ 6,6030,78 86, min 86 min. Il atteindra l embouchure vers 9h30+86 min=0h56. Il atteindra donc l embouchure avant h00. pt EXERCICE 4 n ( Soit (x i ) i n une série statistique et x sa moyenne. Démontrer que xi x ) = 0. i= Bonus : + point n ( xi x ) = x x+ x x+...+ x n x i= = x + x x n nx Or, par définition de la moyenne, nx = x + x x n. On a donc le résultat. 96 David Robert

209 Première S Devoir surveillé n 8 3 Comportement asymptotique EXERCICE 4,5 points On donne sur la figure ci-dessous les courbes représentatives C f, C g et C h de trois fonctions f, g et h (la courbe C h est en deux parties). Pour chacune des trois fonctions, sans justifier :. déterminer D, son ensemble de définition ;. conjecturer les limites de la fonction aux bornes de cet ensemble de définition. 5 y C f 4 C g 3 j O ı C h x C h EXERCICE Déterminer les limites suivantes : (. lim x ) ; x 0 x x>0 ( ). lim x x x 3 + x+ ( x+ 3. lim x + x ( x 4 4. lim x x x x< ; ) ( + x ) ; ). 5 points 3 Vendredi 4 mai Durée : h30 David Robert 97

210 Première S EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur D f = R\ { 7 } x + x 3 par : f (x)=. On appelle C sa courbe représentative. x+ 7. Étudier la limite de f en 7 + et en 7. Que peut-on dire de la droite d équation x = 7 pour la courbe C?. Étudier la limite de f en+ et. La courbe C admet-elle une asymptote horizontale en+ ou en? 3. (a) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x D f : f (x)= ax+ b+ c x+ 7. (b) En déduire que la droite D d équation y = x 3 4 est une asymptote de C (c) Déterminer les positions relatives de C et de D selon les valeurs de x. 4. On appelle f la fonction dérivée de f. (a) Montrer que, pour tout x D f : f (x)= (x + 7x+ 0) (x+ 7). (b) Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x. 0,5 points (c) Dresser le tableau des variations de f en y faisant apparaître les limites aux bornes de son ensemble de définition. 5. Dans le repère ci-dessous : (a) tracer les asymptotes de C ; (b) tracer les éventuelles tangentes à C horizontales ; (c) tracer C. y 3 j O ı 3 x David Robert

211 Première S Devoir surveillé n 9 4 Suites Probabilités EXERCICE 5 points ABEL et CAÏN jouent avec quatre dés cubiques parfaitement équilibrés. Le premier dé comporte quatre faces marquées d un 4 et deux faces marquées d un 0. Le deuxième dé comporte six faces marquées d un 3. Le troisième dé comporte quatre faces marquées d un et deux faces marquées d un 6. Le quatrième dé comporte trois faces marquées d un 5 et trois faces marquées d un. À chaque partie CAÏN choisit d abord un dé puis ABEL choisit un des trois autres. Ils lancent chacun leurs dés et celui qui obtient le chiffre le plus élevé l emporte. On appelle A l événement «ABEL l emporte» et C l événement «CAÏN l emporte». Pour chacune des questions on pourra s aider d un arbre ou d un tableau.. Pour la première partie CAÏN choisit le premier dé et ABEL, après réflexion, le quatrième. Montrer que p(a)= 3.. Pour la deuxième partie CAÏN choisit le quatrième dé et ABEL, après réflexion, le troisième. Montrer que p(a)= Pour la troisième partie CAÏN choisit le troisième dé. Quel dé doit choisir ABEL pour que p(a)= 3? 4. Pour la quatrième partie CAÏN choisit le deuxième dé. Quel dé doit choisir ABEL pour que p(a)= 3? EXERCICE 6 points Une roue de fête foraine comporte huit secteurs de taille identique dont cinq sont colorés en blanc, deux en vert et un en rouge. La roue tourne sur son axe et s arrête sur un secteur, chaque secteur étant parfaitement équiprobable. Pour jouer, un candidat à la fortune doit payer (mise de départ) et, si la roue s arrête sur un secteur : blanc, il ne gagne rien ; vert, il gagne 3 ; rouge, il gagne x. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque partie associe la somme avec laquelle le joueur repart (gain mise de départ).. Décrire la loi de probabilité de X en fonction de x. On la présentera sous forme de tableau.. Déterminer E(X ), l espérance de la variable aléatoire X, si x = 5. Le jeu est-il avantageux pour un candidat? 3. Déterminer E(X ), l espérance de la variable aléatoire, X si x = 5. Le jeu est-il avantageux pour un candidat? 4. Déterminer x pour que le jeu soit équitable, c est-à-dire que E(X )=0. Calculer alors σ(x ), l écart type de la variable aléatoire X. EXERCICE 3 6 points Un étudiant souhaite s acheter une super collection de CD d une valeur de 000. Pour économiser une telle somme, il ouvre un compte épargne à la banque qui rapporte 0,5% mensuellement. À l ouverture, il dépose 00 le premier d un mois, et ensuite 50 le er de chaque mois. On pose c 0 = 00 et on note c n le capital le premier de chaque mois après le versement initial.. Calculer les capitaux c, c et c 3 du premier, deuxième et troisième mois.. Montrer que, pour tout n N, c n+ =,005c n On pose u n = c n (a) Montrer que cette suite est géométrique. (b) En déduire u n puis c n en fonction de n. 4. Étudier la monotonie de (c n ). 5. Étudier la convergence de (c n ). 6. À l aide de la calculatrice, déterminer le nombre de mois nécessaires pour l achat de la collection. EXERCICE 4 u 0 = On considère la suite (u n ) définie par : u n+ = + pour tout n N +u n Le but de cet exercice est de démontrer par récurrence la propriété P suivante :. Montrer que P est vérifiée pour n= 0, n= et n=. P : pour tout entier naturel n, on a u n. 3 points. On suppose que P est vérifiée au rang p, c est-à-dire que u p. Montrer qu alors P est vérifiée au rang p+, c est-à-dire que u p+. 3. Conclure. 4 Vendredi 5 mai Durée : h30 David Robert 99

212

213 Devoirs communs Sommaire Devoir commun n : Généralités sur les fonctions Géométrie vectorielle Second degré Devoir commun n : corrigé Devoir commun n : Dérivation Produit scalaire Barycentres Devoir commun n : corrigé

214 Première S Devoir commun n 5 Généralités sur les fonctions Géométrie vectorielle Second degré EXERCICE Étude d une fonction (6 points) L objectif de cet exercice est d étudier la fonction f (x)= x + x 3 et de x+ tracer C, sa représentation graphique, dans le repère joint en annexe.. On considère la fonction g définie par : g (x)= 4 x+ À partir du tableau de variations de la fonction inverse, déduire, en justifiant, le tableau de variations de g et son ensemble de définition.. On considère la fonction f définie sur ] ; [ ] ;+ [ par : f (x)= x + x 3 x+ Montrer que, pour tout x ] ; [ ] ;+ [, f (x)= x+ 4 x+ 3. À l aide des questions précédentes, déterminer les variations de la fonction f. 4. On appelle C la représentation graphique de f. (a) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C avec chacun des axes du repère et les placer dans le repère. (b) Montrer que le point A( ;0) est centre de symétrie de C. (c) On a construit C, sur le repère donné en annexe, pour x ] ; [. À l aide des questions précédentes, compléter soigneusement le tracé de C. EXERCICE Géométrie dans l espace (4,5 points) ABC DEFG H est un cube d arête m (voir la figure en annexe). I, J et K sont les points tels que : B I = 3 BC ; J est le milieu de [DH] ; C K = C D (a) Placer I, J et K sur la figure. ( (b) Déterminer par le calcul leurs coordonnées dans le repère A; AB, AD, ) AE. (a) Montrer que le triangle E I J est rectangle en J. (b) Le triangle E I J est-il isocèle? Justifier. 3. Montrer que les points E, I, J et K sont coplanaires. 4. Représenter en rouge, sans justifier, la trace du plan (I JK ) sur chacune des faces du cube. On laissera les éventuels traits de construction. EXERCICE 3 Une équation de degré 3 (4 points) L objectif de cet exercice est de résoudre dans R l équation (E ) : x 3 + 6x + 0x+ 3=0 On pose x = y.. Montrer que l équation (E ) est équivalente à l équation (E ) : y 3 y =0. (a) Montrer que est une solution de (E ). (b) En déduire a, b et c tels que y 3 3y+ =(y+ )(ay + by+ c). (c) En déduire les solutions de (E ) 3. En déduire les solutions de (E ). 5 Jeudi 30 novembre Durée : h00 0 David Robert

215 Première S EXERCICE 4 Un bâton sur un terril (5,5 points) Au sommet d un terril 6 de 5 m de haut, se trouve un bâton de m de haut. On se pose la question de savoir à quelle distance d du terril il faut se placer pour apercevoir le bout du bâton de mètre de haut. 6 5 H Pour modéliser, on admet que : La ligne de pente de ce terril est une portion de la parabole P d équation y = x + 5 ; L oeil de l observateur est exactement au niveau du sol ; Le sol est parfaitement horizontal. 0 On nommera : H le bout du bâton ; M le point où se trouve l observateur ; T, T, etc. les éventuels points d intersection de la droite (H M) avec P. O 5 d M Soit y = mx + p, l équation réduite de (H M).. Expliquer pourquoi les éventuels points { d intersection entre P et la droite (H M) sont les points dont les coordonnées vérifient le système : (S ) y = mx+ p y = x + 5. Déterminer p. 3. En déduire que le nombre de points d intersection de la droite (H M) avec P est le même que le nombre de solutions de l équation x + mx+ =0. 4. En déduire que l observateur au sol voit une partie du bâton lorsque m (a) En déduire les valeurs possibles de m telles que l observateur voit juste l extrémité du bâton. (b) Quel sens donner au fait qu il y en a deux? On ne conservera pour la suite que la valeur correspondant au schéma. (c) Que représente alors la droite (H M) pour P? En donner l équation réduite. (d) Déduire, dans ce cas, l abscisse de T, l intersection de (H M) et de P, ainsi que la distance d. 6. Bonus (+0,5 point) : Le travail s est fait sur un plan de coupe du terril. Décrire dans l espace, sans justifier, l ensemble des points M quand l observateur voit juste l extrémité du bâton? 7 6 Un terril est constitué par l accumulation des stériles, sous-produits de l exploitation minière, composés principalement de schiste. On prononce terri et on peut l écrire aussi de cette façon. Dans certaines régions, notamment le sud de la France et à Saint-Étienne, il est appelé un crassier. D après Wikipédia (http ://fr.wikipedia.org). 7 On suppose que l axe (O y) est un axe de révolution du terril, c est-à-dire que, quel que soit le plan de coupe, perpendiculaire au sol et passant par le sommet, la pente du terril est toujours une portion de la parabole P d équation y = x + 5 David Robert 03

216 Première S Annexes 6 y j A O ı x E H F G A D B C 04 David Robert

217 Première S Devoir commun n : corrigé EXERCICE Étude d une fonction (8,5 points). On considère la fonction g définie par : g (x)= 4 x+ À partir du tableau de variations de la fonction inverse, déduire, en justifiant, le tableau de variations de g et son ensemble de définition. On a g (x)= 4i (x+ ) où i (x)= x, or Donc, d après les propriétés des fonctions associées : x x 0 x g (x) 0 Et g définie sur R { }.. On considère la fonction f définie sur ] ; [ ] ;+ [ par : f (x)= x + x 3 x+ Montrer que, pour tout x ] ; [ ] ;+ [, f (x)= x+ 4 x+ x+ 4 (x+ ) = x+ x+ 4 x+ = x + x+ 4 = x + x 3 = f (x) x+ x+ 3. À l aide des questions précédentes, déterminer les variations de la fonction f. f (x)=u(x)+ v(x) avec u(x)= x+ et v(x)= g (x). Or u et v sont croissantes sur ] ; [ et croissantes sur ] ; + [. Donc f est une somme de fonctions croissantes sur ] ; [ et croissantes sur ] ;+ [, elle est donc croissante sur ] ; [ et croissante sur ] ;+ [. 4. On appelle C la représentation graphique de f. (a) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C avec chacun des axes du repère et les placer dans le repère. Axe des ordonnées : On cherche l ensemble des points dont les coordonnées vérifient y = f (x) et x = 0. On a donc x = 0 et y = f (0)= 3. On obtient le point B(0; 3). Axe des abscisses : On cherche l ensemble des points dont les coordonnées vérifient y = f (x) et y = 0. On a donc y = 0 et f (x)=0 x + x 3 = 0 x + x 3=0 et x+ 0 x+ (x )(x+ 3)=0 et x+ 0 car racine évidente. x = et x = 3 On obtient les points C (;0) et D( 3;0). (b) Montrer que le point A( ;0) est centre de symétrie de C. 4 f ( +h)=( +h)+ +h+ = h 4 h 4 f ( h)=( h)+ h+ = h+ 4 h f ( +h)+ f ( h) = 0= y A donc A( ;0) est centre de symétrie de C (c) On a construit C, sur le repère donné en annexe, pour x ] ; [. À l aide des questions précédentes, compléter soigneusement le tracé de C. Voir annexe. David Robert 05

218 Première S EXERCICE Géométrie dans l espace (9 points) ABC DEFG H est un cube d arête m (voir la figure en annexe). I, J et K sont les points tels que : B I = 3 BC ; J est le milieu de [DH] ; C K = C D (a) Placer I, J et K sur la figure. ( (b) Déterminer par le calcul leurs coordonnées dans le repère A; AB, AD, ) AE 3 AI = AB+ B I = AB+ AJ = AD+ D J = AK = AB+ BC+ C K = AB+ BC = AB+ 3 ( AD. Donc I ; ;0). AD+ DH = AD+ ( AE. Donc J 0;; ). AD+ C D = AB+ AD ( AB. Donc K ;;0).. (a) Montrer que le triangle E I J est rectangle en J. E J = = 0. I J = = 4. Comme le repère est orthonormal (ABC DEFG H est un cube) on peut utiliser la condition d orthogonalité : xx + y y + zz = 0( )+ 4 = 4 4 = 0 Donc E J et I J sont orthogonaux, donc E I J rectangle en J. (b) Le triangle E I J est-il isocèle? Justifier. Comme le triangle E I J est rectangle en J, il ne peut être isocèle qu en J. Le repère étant orthonormal, on a I J = ( ) + ( + ( ) = 4) = = 6 E J = ( ) = + 4 = = 0 6 Donc E J I J, il n est donc pas isocèle. 3. Montrer que les points E, I, J et K sont coplanaires. On a déjà E J = 0 et I J = 4 Déterminons les coordonnées du vecteur I K. 4 5 I K = = Regardons s il existe des réels a et b tels que I J = a E J+ b I K. I J = ae J+ bi K 4 = a 0 +b = 5 b L 4 = a + 4 b L = a L 3 L donne b= 5. L 3 donne a=. a= et b= 5 vérifient bien L. Donc I J = E J 5 I K ce qui signifie que les points I, J, K et E sont coplanaires. 4. Représenter en rouge, sans justifier, la trace du plan (I JK ) sur chacune des faces du cube. EXERCICE 3 (E ) : x 3 + 6x + 0x+ 3=0 On pose x = y. Une équation de degré 3 (6 points) 06 David Robert

219 Première S Montrer que l équation (E ) est équivalente à l équation (E ) : y 3 y =0 Avec x = y, (E ) x 3 + 6x + 0x+ 3=0 (y ) 3 + 6(y ) + 0(y )+3=0 (y )(y 4y+ 4)+6(y 4y+ 4)+0y 0+3=0 y 3 4y + 4y y + 8y 8+6y 4y+ 4+0y 7=0 y 3 y =0. (a) Montrer que est une solution de (E ). ( ) 3 ( ) = + =0 donc solution de (E ). (b) En déduire a, b et c tels que y 3 y =(y+ )(ay + by+ c). a= a+ b= 0 Par identification : b+ c = c = (c) En déduire les solutions de (E ) (y+ )(ay + by+ c)=ay 3 + by + c y+ ay + by+ c a= b= c = = ay 3 + (a+ b)y + (b+ c)y+ c (E ) : y 3 y =0 (y+ )(y y )=0 On a donc : soit y =, soit y y =0. y y =0 est de la forme ay + by+ c = 0. On peut passer par le discrimant : =b 4ac = ( ) 4( )=5>0 On a donc deux solutions supplémentaires : y = b a = 5 et y = b+ a = + 5. Finalement les solutions de (E ) sont y 0 =, y = 5 et y = En déduire les solutions de (E ). On sait que x = y donc les solutions de(e ) sont : x 0 = = 3, x = 5 = 3 5 et x = + 5 = EXERCICE 4 Soit y = mx + p, l équation réduite de (H M). Un bâton sur un terril (6,5 points). Expliquer pourquoi les éventuels points { d intersection entre P et la droite (H M) sont les points dont les coordonnées vérifient le système : (S ) y = mx+ p y = x + 5 Les points d intersection entre { P et la droite (H M) vérifient les équations de (H M) : y = mx+ p et de P : y = y = mx+ p x + 5 donc le système (S ) y = x + 5. Déterminer p. H(0;6) (H M) donc ses coordonnées vérifient y = mx+ p donc p = En déduire que le nombre de points d intersection de la droite (H M) avec P est le même que le nombre de solutions de l équation x + mx+ =0. { y = mx+ 6 y = x + 5 { y = mx+ 6 mx+ 6= x + 5 { y = mx+ 6 x + mx+ =0 Donc le système a autant de solutions que l équation x +mx+=0. Or le nombre de solutions du système est aussi le nombre de points d intersection de la droite (H M) avec P. David Robert 07

220 Première S En déduire que l observateur au sol voit une partie du bâton lorsque m 4 0. x + mx+ =0 est de la forme ax + bx+ c = 0. On peut utiliser le discrimant : =b 4ac = m 4. L observateur ne voit pas le bâton lorsqu il y a plusieurs intersections entre (H M) et P donc quand est strictement positif et le voit sinon, c est-à-dire quand m (a) En déduire les valeurs possibles de m telles que l observateur voit juste l extrémité du bâton. L observateur voit juste l extrémité du bâton lorsque l intersection entre (H M) et P est réduite à une solution, donc quand =0 m 4=0 m= ou m=. (b) Quel sens donner au fait qu il y en a deux? Le schéma est symétrique par rapport à l axe des ordonnées, la solution négative correspond à la position où l observateur est à droite de l axe et la solution positive à la position où l observateur est à gauche de l axe. (c) Que représente alors la droite (H M) pour P? La droite n a qu une intersection avec la parabole, c est une tangente à celle-ci. En donner l équation réduite. On a y = mx+ 6 et m= donc y = x+ 6 (d) Déduire, dans ce cas, l abscisse de T, l intersection de (H M) et de P, ainsi que la distance d. x + mx+ =0 x x+ =0 a une unique solution x 0 = b a = = qui est l abscisse de T. (H M) : y = x+ 6. Or la droite coupe l axe des abscisses lorsque y = 0 x = 3. P : y = x + 5. Or la parabole coupe l axe des abscisses lorsque y = 0 x = 5 (ou x = 5 mais on ne s intéresse qu à la partie droite du schéma). Finalement d = 3 5=8. 6. Bonus (+ point) : Le travail s est fait sur un plan de coupe du terril. Décrire dans l espace, sans justifier, l ensemble des points M quand l observateur voit juste l extrémité du bâton? 8 C est un cercle de centre O, l origine du repère, et de rayon 3. Barème EXERCICE EXERCICE EXERCICE 3 EXERCICE 4.,5 point. point 3. point 4. (a) points (b) points (c) point. (a) 0,5 point (b),5 points. 3,5 points 3. points 4. point.,5 point. (a) 0,5 point (b) points (c),5 point 3. 0,5 point. 0,5 point. 0,5 point 3. point 4. point 5. (a),5 point (b) 0,5 point (c) 0,5 point (d) point 6. + point 8 On suppose que l axe (O y) est un axe de révolution du terril, c est-à-dire que, quel que soit le plan de coupe, perpendiculaire au sol et passant par le sommet, la pente du terril est toujours une portion de la parabole P d équation y = x David Robert

221 Première S Annexes 6 y j D 3 A O ı C x B E H F G J A D B I C K David Robert 09

222 Première S Devoir commun n 9 Dérivation Produit scalaire Barycentres Les exercices,, 3, 5 sont communs à toutes les classes. L exercice 4 est différent selon la classe. La dernière feuille est une feuille d annexes et est à rendre avec votre copie, même si vous n avez rien fait dessus. EXERCICE La courbe (C ) de la figure ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d une fonction f définie et dérivable sur R. On donne les renseignements suivants : 3 4,5 points la courbe admet une tangente horizontale au point d abscisse ; le point B( ; ) appartient à (C ) ; la tangente à la courbe (C ) au point B passe par le point C (4 ; 0) ; j O ı 3 C B A. Déterminer graphiquement f (), f () et f ().. Une des représentations graphiques ci-dessous, représente la fonction dérivée f de f, une autre représente une fonction h telle que h = f. En justifiant vos choix à l aide d arguments basés sur l examen des représentations graphiques : (a) déterminer la courbe associée à la fonction f. (b) déterminer la courbe associée à la fonction h. 3 3 j C O ı j O ı C 3 3 j O ı j O ı C C Mardi 3 mars Durée : h00 0 David Robert

223 Première S EXERCICE 5 points ABC D est un trapèze rectangle indirect de bases [AB] et [C D] tel que AB = 5 cm, AD = 4 cm et DC = 8 cm. On appelle H le projeté orthogonal de B sur (C D). A 5 B. Calculer DC. AD, BD. AD et BC. B A.. Montrer que BC. BD =. 3. Calculer BC et BD. 4. Déduire des questions. et 3. une mesure en degré à 0 près de l angle DBC. 4 D 8 H C EXERCICE 3 5 points Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; ı, j ). On considère les points A ( ; 5) et B (3; ). Le but de l exercice est de trouver l équation du cercle C passant par A et B et dont le centre Ω se trouve sur la droite D dont une équation est : x+ 4y+ =0.. Dans le repère joint en annexe page 3, placez A et B et tracez D.. Montrez qu une équation de la médiatrice du segment [AB] est : x y+ =0. Tracez-la. 3. Montrez que les coordonnées de Ω sont ( 4; ). 4. Déduisez-en le rayon du cercle C et donnez l équation de ce cercle. Tracez-le. EXERCICE 4 Pour les élèves n étant pas en S 5,5 points ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 4 cm. Les points D, E et F sont les points tels que : AD = 4 5 AB ; E est le symétrique de A par rapport à C ; F est le symétrique de C par rapport à B.. Faire un schéma.. Montrer que : (a) D est le barycentre de {(A ; ); (B ; 4)} ; (b) E est le barycentre de {(A ; ); (C ; )} ; (c) F est le barycentre de {(B ; ); (C ; )} ; 3. Montrer que les droites (AF ), (BE) et (C D) sont concourantes. On pourra introduire le point G barycentre de {(A ; α); (B ; β); (C ; γ)} où α, β et γ sont des réels bien choisis. 4. Déterminer et tracer l ensemble E des points M du plan vérifiant : M A MC = MB MC EXERCICE 4 Les questions. et. sont indépendantes.. Résoudre sur [0; π] les équations suivantes : (a) sin(3x)=cos x (b) tan ( x+ π 6 ) = 3 Pour les élèves en S seulement 5,5 points. (a) Résoudre sur [ π; π], à l aide d un cercle trigonométrique, les inéquations suivantes : i. cos x 0 ii. cos x. (b) En déduire les solutions sur [ π; π] de l inéquation : cos x+ cos x 0 On pourra penser à utiliser un tableau de signes. David Robert

224 Première S EXERCICE 5 Les questions.,. et 3. sont indépendantes. f est la fontion définie sur R {3} par : f (x)= x x+ 8. x 3 On note C la courbe représentative de f dans un repère du plan. 0,5 points. Bonus (à ne traiter qu une fois le reste terminé) : Démontrer que le point Ω de coordonnées (3; 5) est un centre de symétrie de C.. f est dérivable sur R {3} et on note f la fonction dérivée de f. (a) Justifer que f (x)= x 6x+ 5 (x 3). (b) Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x. (c) Établir le tableau de variation de la fonction f (on indiquera les extremums locaux de f ). (d) Soit A le point de la courbe C dont l abscisse est 4. Soit T la tangente en A à la courbe C. i. Déterminer une équation de la droite T. ii. Déterminer une fonction g, approximation affine de f au voisinage de 4. iii. Indiquer une approximation, à 0,00 près, de l image de 3,999 par la fonction f. 3. (a) Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x)= ax+ b+ c pour tout réel x 3. x 3 (b) Soit h la fonction affine définie sur R par h(x)= x 8. On note D la droite qui représente la fonction h. i. Étudier le signe du réel f (x) h(x). ii. Indiquer la position relative de la courbe C et de la droite D. 4. Dans le repère fourni en annexe page 4 : (a) placer Ω, les points correspondant aux extremums locaux de f et enfin A ; (b) tracer T et les tangentes horizontales à la courbe C ; (c) tracer D puis C. Barème (provisoire) EXERCICE 4,5 points.,5 point (0,5+0,5+0,5). (a),5 point (b),5 point EXERCICE 5 points. points (0,5+0,75+0,75). point 3. point (0,5+0,5) 4. point EXERCICE 3 5 points. point (0,5+0,5+0,5).,5 point + 0,5 point (tracé) 3. point 4.,5 point (0,5+0,5+0,5) EXERCICE 4. 0,5 point. (a) 0,5 point (b) 0,5 point (c) 0,5 point 3. points 4.,5 points (+0,5 (tracé)) EXERCICE 4. (a) point (b) point. (a) i. 0,75 point ii. point (b),5 point Sauf S 5,5 points S 5,5 points EXERCICE 5 0,5 points. Bonus +. (a) point (b),5 point (c) point (d) i. point ii. 0,5 point iii. 0,5 point 3. (a),5 point (b) i. 0,5 point ii. 0,5 point 4. (a) 0,5 point (b) point (0,5+0,5+0,5) (c) point (0,5+0,75) David Robert

225 Première S Annexes FIG. 0.5 Annexe de l exercice j O ı David Robert 3

226 Première S FIG. 0.6 Annexe de l exercice O ı j David Robert

227 Première S Devoir commun n : corrigé EXERCICE. Déterminer graphiquement f (), f () et f (). f ()= ; f ()=0 (tangente horizontale) ; f ()= y x =. 4,5 points (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt). (a) déterminer la courbe associée à la fonction f. f ()= ; la courbe représentative de f ne peut donc être que C ou C 3. (0,5 pt) Par ailleurs f est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [;+ [ donc f (x) 0sur ] ; ] et f (x) 0 sur [;+ [ ; la courbe représentative de f ne peut donc être que C ou C 4. ( pt) C est donc C. (b) déterminer la courbe associée à la fonction h. f (x)=h (x) 0 sur ] ; 0] et f (x)=h (x) 0 sur [0;+ [ donc h est croissante sur ] ; 0] et décroissante sur [0;+ [ ; la courbe représentative de h ne peut donc être que C ou C 3. ( pt) h ()= f ()= ; la courbe représentative de h ne peut donc être que C. (0,5 pt) Remarque. Le second argument permet directement de trouver la courbe représentative de h. EXERCICE. Calculer DC. AD, BD. AD et BC. B A. DC. AD = 0 car les vecteurs sont orthogonaux ; BD. ( ) AD = B A+ AD. AD = B A. AD+ AD = 0+ AD car B A et AD sont orthogonaux = 6 5 points (0,5 pt) BC. ( ) B A= B H+ HC. B A= B H. B A+ HC. B A = 0 (8 5)5car B H B A et HC et B A de sens contraire = 5 (0,75 pt) (0,75 pt). Montrer que BC. BD =. BC. ( ( ) BD = B H+ HC ). B H+ HD = B H + B H. HD+ HC. B H+ HC. HD = car (B H) (DC ) et HC et HD de sens contraire = 3. Calculer BC et BD. (B H) (DC ) donc : BC =BC = B H + HC = 5=5 BD =BD = B H + HD = 4 ( pt) (0,5 pt) (0,5 pt) 4. Déduire des questions. et 3. une mesure en degré à 0 près de l angle DBC. David Robert 5

228 Première S EXERCICE 3 On a BC. BD =. On a aussi BC. BD = BC BC cos DBC = 5 4cos DBC (0,5 pt) Donc =5 4cos DBC cos DBC = 5 4 donc DBC 88, (0,5 pt). Dans le repère joint en annexe, placez A et B et tracez D. A et B Il suffit de deux points pour tracer D : si x = 0, y = 3 ; si x = 8, y =. Montrez qu une équation de la médiatrice du segment [AB] est : x y+ =0. Tracez-la. : ax+ by+ c = 0 est normale à ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 4 a AB = = =. 5 4 b Donc : 4x 4y+ c = 0. I, milieu de [AB], appartient à donc 4x I 4y I + c = 0. Or ( ) ( x I ; y I = x A +x B ; y A+y B ) = (; 3). Donc 4 +c = 0 c = 8. Finalement : 4x 4y+ 8=0 x y+ =0 Tracé 3. Montrez que les coordonnées de Ω sont ( 4; ). 5 points (0,5 pt) (0,5 pt) ( pt) (0,5 pt) (0,5 pt) Ω étant le centre du cercle passant par A et B, il est à égale distance de A et de B, donc il appartient à, médiatrice de [AB] et il appartient aussi à D, c est donc l intersection de D et de. (0,5 pt) Regardons si le point de coordonnées ( 4; ) appartient aux deux droites : x+ 4y+ = 4 8+=0 donc ( 4; ) D x y+ = 4 ( )+=0 donc ( 4; ) Donc Ω( 4; ) (0,5 pt) 4. Déduisez-en le rayon du cercle C et donnez l équation de ce cercle. Tracez-le. Le repère étant orthonormal, r = ΩA= (x Ω x A ) + ( ) = y Ω y A 9+49= 58 (0,5 pt) C : (x x Ω ) + ( ) = y y Ω r (x+ 4) + ( y+ ) = 58 Tracé (0,5 pt) (0,5 pt) EXERCICE 4 Pour les élèves n étant pas en S 5,5 points ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 4 cm. Les points D, E et F sont les points tels que : AD = 4 5 AB ; E est le symétrique de A par rapport à C ; F est le symétrique de C par rapport à B.. Faire un schéma. À l échelle : E C A E D B G F (0,5 pt) 6 David Robert

229 Première S Montrer que : (a) D est le barycentre de {(A ; ); (B ; 4)} ; V AD = 4 5 AB 5AD 4AB = 0 5AD 4AD 4DB = 0 AD+ 4BD = 0. Donc D est le barycentre de {(A ; ); (B ; 4)} (0,5 pt) (b) E est le barycentre de {(A ; ); (C ; )} ; E symétrique de A par rapport à C C milieu de [AE]. Or : C milieu de [AE] EC = E A E A EC = 0. Donc E est le barycentre de {(A ; ); (C ; )} (0,5 pt) (c) F est le barycentre de {(B ; ); (C ; )} ; F symétrique de C par rapport à B B milieu de [C F ]. Or : B milieu de [C F ] F B = FC F B FC = 0. Donc F est le barycentre de {(B ; ); (C ; )} (0,5 pt) 3. Montrer que les droites (AF ), (BE) et (C D) sont concourantes. Soit G barycentre de {(A ; ); (B ; 4); (C ; )}. On a : G barycentre de {(D ; 5); (C ; )} car D est le barycentre de {(A ; ); (B ; 4)}, donc G (C D) ; (0,5 pt) G barycentre de {(E ; ); (B ; 4)} car E est le barycentre de {(A ; ); (C ; )}, donc G (EB) ; (0,5 pt) G barycentre de {(F ; ); (A ; )} car F est le barycentre de {(B ; ); (C ; )}={(B ; 4); (C ; )}, donc G (AF ) ; (0,5 pt) G appartient aux trois droites, elles sont donc concourantes en G. 4. Déterminer et tracer l ensemble E des points M du plan vérifiant : M A MC = MB MC (0,5 pt) M A MC = ( ) ME = ME car E est le barycentre de {(A ; ); (C ; )} MB MC = ( ) MF = MF car F est le barycentre de {(B ; ); (C ; )} donc : M A MC = MB MC ME = MF ME = MF. E est donc l ensemble des points équidistants de E et de F : c est donc la médiatrice de [EF ]. Tracé ( pt) (0,5 pt) EXERCICE 4 Les questions. et. sont indépendantes. Pour les élèves en S seulement 5,5 points. Résoudre sur [0; π] les équations suivantes : (a) sin(3x)=cos x sin(3x)=cos x sin(3x)=sin ( π x) 3x = π x[π] ou 3x = π ( π x) [π] 4x = π [π] ou x = π [π] x = π [ π ] 8 ou x = π 4 [π] Dans [0; π] les solutions sont donc π 8, 5π 8, 9π 8 (b) tan ( x+ π 6 ) = 3 3π et 8 d une part et π 4 et 5π 4 d autre part. ( pt) tan ( x+ π ) 6 = 3 tan ( x+ π ) ( 6 = tan π ) ( ) 3 = tan π 3 x+ π 6 = π 3 [π] x = π [π] x = π [ π ] 4. Dans [0; π] les solutions sont donc π 4, 3π 4, 5π 4 et 7π 4. ( pt). (a) Résoudre sur [ π; π], à l aide d un cercle trigonométrique, les inéquations suivantes : i. cos x 0 David Robert 7

230 Première S j O ı Dans [ π; π] il faut donc que x [ π ; π ]. (0,75 pt) ii. cos x. j O ı Dans [ π; π] il faut donc que x [ π 3 ; π 3 (b) En déduire les solutions sur [ π; π] de l inéquation : cos x+ cos x 0 cos x+ cos x 0 cos x ( cos x+ ) 0 Le signe de cos x a été étudié ci-dessus. cos x+ est positif quand cos x et négatif sinon. On peut donc dresser un tableau de signe : ]. ( pt) x π π 3 π cos x cos x cos x ( cos x+ ) [ Il faut donc que : x π; π ] [ π 3 ; π ] [ ] π 3 ; π. (,5 pt) π π 3 π EXERCICE 5 Les questions.,. et 3. sont indépendantes. f est la fontion définie sur R {3} par : f (x)= x x+ 8. x 3 On note C la courbe représentative de f dans un repère du plan. 0,5 points. Bonus (à ne traiter qu une fois le reste terminé) : Démontrer que le point Ω de coordonnées (3; 5) est un centre de symétrie de C. L ensemble de définition est centré en 3. f (3+h)+ f (3 h) = ( (3+h) ) (3+h)+8 + (3 h) (3 h)+8 h h = ( 9+6h+ h 33 h h+ ) h 33+h+ 8 h h = ( h ) 5h+ 4 h + 5h+ 4 h h ( ) 0h = = 5 h Donc le point Ω de coordonnées (3; 5) est un centre de symétrie de C. (+ pt) 8 David Robert

231 Première S f est dérivable sur R {3} et on note f la fonction dérivée de f. (a) Justifer que f (x)= x 6x+ 5 (x 3). f = u v avec u(x)= x x+ 8 et v(x)= x 3 donc f = u v uv or u (x)=x et v (x)= v donc f (x)= (x )(x 3) (x x+8) (x 3) = x 7x+33 x +x 8 (x 3) = x 6x+5 (x 3) ( pt) (b) Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x. (x 3) est strictement positif donc le signe de f (x) est donné par celui de son numérateur. (0,5 pt) x 6x+ 5 est de la forme ax + bx+ c avec a= >0 donc x 6x+ 5 est positif sauf entre ses éventuelles racines. On remarque que est une racine évidente donc x 6x+ 5=(x )(x 5). Finalement f (x) est positif pour x ] ; ] [5;+ [ et négatif pour x [; 5]. ( pt) (c) Établir le tableau de variation de la fonction f (on indiquera les extremums locaux de f ). f ()= +8 = 9 et f (5)= =. (0,5 pt) x f (x) f (x) 9 ( pt) (d) Soit A le point de la courbe C dont l abscisse est 4. Soit T la tangente en A à la courbe C. i. Déterminer une équation de la droite T. T : y = f (4)+ f (4)(x 4). Or f (4)= = 0 et f (4)= = 3. () Donc T : y = 3(x 4) y = 3x+. ( pt) ii. Déterminer une fonction g, approximation affine de f au voisinage de 4. La tangente à la courbe au point d abscisse 4 est la représentation graphique de l approximation affine de f au voisinnage de 4. Donc g (x)= 3x+. (0,5 pt) iii. Indiquer une approximation, à 0,00 près, de l image de 3,999 par la fonction f. 3,999 est proche de 4 donc f (3,999) 33,999+=0,003. (0,5 pt) 3. (a) Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x)= ax+ b+ c pour tout réel x 3. x 3 ax+ b+ c x 3 Or f (x)= x x+ 8 a= b 3a= 3b+ c = 8 (ax+ b)(x 3) = + c x 3 x 3 x 3 = ax + (b 3a)x 3b+ c. x 3 donc, par identification : a= b= 8 c = 4 Finalement f (x)= x 8+ 4 x 3. pour tout x 3. (,5 pt) (b) Soit h la fonction affine définie sur R par h(x)= x 8. On note D la droite qui représente la fonction h. David Robert 9

232 Première S i. Étudier le signe du réel f (x) h(x). f (x) h(x)= 4 x 3 donc du signe de x 3. Donc f (x) h(x)>0 quand x ]3;+ [ et f (x) h(x)<0 quand x ] ; 3[. (0,5 pt) ii. Indiquer la position relative de la courbe C et de la droite D. f (x) h(x)>0 f (x)>h(x) donc C est au-dessus de D quand x ]3;+ [. f (x) h(x)<0 f (x)<h(x) donc C est au-dessous de D quand x ] ; 3[. 4. Dans le repère fourni en annexe : (a) placer Ω, les points correspondant aux extremums locaux de f et enfin A ; (b) tracer T et les tangentes horizontales à la courbe C ; (c) tracer D puis C. (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5+0,5+0,5 pt) (0,5+0,75 pt) 0 David Robert

233 Première S Annexes FIG. 0.7 Annexe de l exercice C A I j O ı B Ω 3 4 D David Robert

234 Première S FIG. 0.8 Annexe de l exercice O ı j A Ω David Robert

235 Devoirs maisons Sommaire Devoir maison n : Lieux de points Devoir maison n : corrigé Devoir maison n : Second degré Équations cartésiennes Devoir maison n : corrigé Devoir maison n 3 : Produit scalaire Devoir maison n 3 : corrigé Devoir maison n 4 : Fonction dérivée Devoir maison n 4 : corrigé Devoir maison n 5 : Fonction dérivée Barycentres Devoir maison n 5 : corrigé Devoir maison n 6 : Statistiques Applications du produit scalaire Devoir maison n 6 : corrigé

236 Première S Devoir maison n Lieux de points On s intéresse, dans ce devoir, à construire et à décrire des ensembles de points vérifiant certaines contraintes de distances. Traceur de P (3 points) On donne en annexe une droite, qu on appellera directrice, et un point F, qu on appellera foyer. On cherche à construire et à tracer l ensemble P des points du plan situés à égale distance de la droite et du point F. EXERCICE. (a) Construire le ou les points situés à cm de F et de en expliquant votre construction. (b) Construire 6 autres points situés à égale distance de F et de afin d avoir une idée de l allure de P. Quelle semble être sa nature? Tracés. Michel propose un traceur de P constitué d une équerre (triangle ABC rectangle en B) et d une ficelle de longueur AB fixée d une part en A et d autre part en F. Voici comment Michel utilise son traceur de P : L équerre est telle que B et C appartiennent à ; Un crayon maintient la ficelle tendue et plaquée contre le côté AB de l équerre, on appelle M le point de contact entre le crayon et l équerre ; On fait coulisser l équerre sur la droite en maintenant en permanence la ficelle tendue avec le crayon. Michel prétend, qu alors, M décrit P. (a) Montrer que chaque point ainsi obtenu à l aide du crayon appartient bien à P ; F M A (b) Fabriquer un tel traceur (clous, ficelles, punaises, etc. sont autorisés) pour complèter votre tracé jusqu aux limites de la feuille (on prendra soin de faire une copie de l annexe dans l éventualité d un râté). B C EXERCICE Détermination de P Dans toute cette partie, on abandonne l unité choisie dans le. (le cm) pour se placer dans un repère ( O; ı, j ) orthonormé tel que : ( O; ) ( i = ; F O; ) j ; y F =. Soit M(x; y) dans ce repère. On appelle d la distance de M à.. (a) Déterminer la distance F M en fonction de x et de y ; (b) Montrer que d = y ; (c) Montrer que si F M < alors M P ; (d) Montrer que si y < alors M P ; (e) Hachurer les parties du plan à exclure d après le (c) et le (d) en précisant le statut des frontières. On appellera Q la partie du plan non hachurée.. Soit M(x; y) Q (a) Donner une expression plus simple de d ; (b) Montrer que si M P alors M est sur une courbe C dont on précisera l équation ; (c) Que peut-on en déduire pour les ensembles P et C? 3. Soit C la courbe d équation y = x 4 + et M(x; y) C. (a) Exprimer F M et d en fonction de x ; (b) Montrer que F M = d ; 4 David Robert

237 Première S (c) Que peut-on en déduire pour les ensembles C et P? 4. Conclure. 5. Décrire précisement P si on avait posé y F = a. Traceur de E (7points) On donne deux points F et F qu on appellera les foyers. L unité est le cm. On appelle E a l ensemble des points M du plan tels que F M+ F M = a où a est un réel positif.. À quelle condition a-t-on E a?. (a) Inventer et décrire un traceur de E a. Le confectionner (clous, ficelles, punaises, etc. sont autorisés). (b) Utiliser votre traceur de E a sur les annexes, 3 et 4 pour obtenir, s ils existent E 5, E 8 et E 0 (on prendra soin de faire une copie de l annexe dans l éventualité d un râté) ; (c) Préciser dans chaque cas la nature de E a. Ouvertures TPE Réalisation d un traceur de P de qualité professionnelle (hors thème, mais avec un peu d imagination...) Réalisation d un traceur de E de qualité professionnelle (idem) E et orbites (thème : modèles, modélisation) Pourquoi dit-on des antennes paraboliques (et autres miroirs télescopiques, fours solaires, etc.)? (thème : modèles, modélisation) Copernic, Galillée, Newton, Kepler et les P, E, H (thème : savant et sciences, hier et aujourd hui) D Apollonius (IIIe siècle av. J.-C.) à Dandelin (XIXe siècle) : les sections coniques (thème : savant et sciences, hier et aujourd hui) Pascal, Désargues et traité projectif des coniques (thème : savant et sciences, hier et aujourd hui) Trajectoire d une balle dans le vide (thème : modèles, modélisation) David Robert 5

238 Première S Annexes Annexe F 6 David Robert

239 Première S Annexe F F Annexe 3 F F Annexe 4 F = F David Robert 7

240 Première S Devoir maison n : corrigé On s intéresse, dans ce devoir, à construire et à décrire des ensembles de points vérifiant certaines contraintes de distances. Traceur de P (3 points) On donne en annexe une droite, qu on appellera directrice, et un point F, qu on appellera foyer. On cherche à construire et à tracer l ensemble P des points du plan situés à égale distance de la droite et du point F. EXERCICE. (a) Construire le ou les points situés à cm de F et de en expliquant votre construction. Tracés On construit l ensemble des points situés à cm de, c est-à-dire les deux droites parallèles à situées à cm de. On construit l ensemble des points situés à cm de F c est-à-dire le cercle de centre F et de rayon cm. Les intersections des droites et du cercle sont les points cherchés (il y en a deux). (,5 point) (b) Construire 6 autres points situés à égale distance de F et de afin d avoir une idée de l allure de P. Quelle semble être sa nature? 6 points (,5 point) P semble être une parabole. (0,5 point). Michel propose un traceur de P constitué d une équerre (triangle ABC rectangle en B) et d une ficelle de longueur AB fixée d une part en A et d autre part en F. Voici comment Michel utilise son traceur de P : L équerre est telle que B et C appartiennent à ; Un crayon maintient la ficelle tendue et plaquée contre le côté AB de l équerre, on appelle M le point de contact entre le crayon et l équerre ; On fait coulisser l équerre sur la droite en maintenant en permanence la ficelle tendue avec le crayon. Michel prétend, qu alors, M décrit P. (a) Montrer que chaque point ainsi obtenu à l aide du crayon appartient bien à P ; La ficelle étant de taille fixe, on a AM + MB = AM + F M donc MB = F M. Comme, par ailleurs, le triangle ABC est rectangle en B, MB est la distance de M à. Finalement un tel point M est bien à égale distance de F et de. ( point) (b) Fabriquer un tel traceur (clous, ficelles, punaises, etc. sont autorisés) pour complèter votre tracé jusqu aux limites de la feuille (on prendra soin de faire une copie de l annexe dans l éventualité d un râté). Tracé soigneux ( point) EXERCICE Détermination de P Dans toute cette partie, on abandonne l unité choisie dans le. (le cm) pour se placer dans un repère ( O; ı, j ) orthonormé tel que : ( O; ) ( i = ; F O; ) j ; y F =. Soit M(x; y) dans ce repère. On appelle d la distance de M à.. (a) Déterminer la distance F M en fonction de x et de y ; Le repère étant orthonormé, F M = (x M x F ) + (y M y F ) = x + (y ). (0,5 point) (b) Montrer que d = y ; Plusieurs façons d obtenir le résultat. La plus élégante : Soit M le projeté orthogonal de M(x; y) sur. Le repère étant orthogonal et l axe des abscisses étant, on a M (x;0). d = M M = (x M x M ) + (y M y M ) = y = y. (0,5 point) (c) Montrer que si F M < alors M P ; 8 David Robert

241 Première S Plusieurs façons, là encore, d arriver au résultat. En voici une : Soit M(x; y) tel que F M < Soit M le projeté orthogonal de M sur (voir figures en fin d exercice). On a M (x;0) F M = (x 0) + ( 0) = x + > Par l inégalité triangulaire F M+ M M F M. Donc F M+ M M < + M M et F M+ M M Donc F M+ M M < + M M Donc <+ M M Donc < M M. Or M M = d donc d > >F M donc d F M donc M P. ( point) (d) Montrer que si y < alors M P ; Toujours plusieurs façons d arriver au résultat. En voici une : On distingue deux cas (voir figures) : 0 y < On a vu que F M = x + (y ). Or comme y <, on a y < et donc (y ) > car la fonction carré est décroissante sur R. Donc x + (y ) > et F M = x + (y ) > car la fonction racine est croissante. Donc F M > et y = d < donc F M d donc M P. y < 0 Soit M le projeté orthogonal de M(x; y) sur. M (x,0). On a montré précedemment que F M >. D après l inégalité triangulaire M M F M + F M < +F M donc d < F M donc F M d donc M P. ( point) (e) Hachurer les parties du plan à exclure d après le (c) et le (d) en précisant le statut des frontières. On appellera Q la partie du plan non hachurée. Ce sont des inégalités strictes dans le (c) et le (d) donc on exclut le disque de centre F et de rayon mais pas sa frontière, de même que le demi-plan situé sous la droite d équation y = mais pas sa frontière. M peut être sur les frontières. (0,5 point).. Soit M(x; y) Q (a) Donner une expression plus simple de d ; M(x; y) Q donc y > donc d = y = y. (0,5 point). (b) Montrer que si M P alors M est sur une courbe C dont on précisera l équation ; Si M P alors d = F M. Donc y = x + (y ). Donc y = x + y 4y+ 4. Donc 4y = x + 4. Donc y = x 4 +. M est donc sur la courbe C d équation y = x 4 +. (0,5 point) (c) Que peut-on en déduire pour les ensembles P et C? Tout point de P étant un point de C, on a P C. (0,5 point) 3. Soit C la courbe d équation y = x 4 + et M(x; y) C. (a) Exprimer F M et d en fonction de x ; F M = x + (y ) = x + ( x 4 + ) = x + x4 6 x + = x x + d = y = x 4 +. (0,5 point) (b) Montrer que F M = d ; ( ) On doit remarquer que x4 6 + x + = x. 4 + Comme x 4 + >0, x x x + = 4 +. Donc F M = d. ( point) David Robert 9

242 Première S (c) Que peut-on en déduire pour les ensembles C et P? Tout point de C appartenant à P, on a C P. (0,5 point) 4. Conclure. On a C P et P C donc C = P. ( point) 5. Décrire précisement P si on avait posé y F = a. On attendait pas de re-démonstration ici. Juste la chose suivante : On suppose que a 0, c est-à-dire que F. Dans ce cas y = x + (y a), ce qui donne, après simplification, M est l ensemble des points dont les coordonnées vérifient y = x a + a. ( point) F M F F j 0 i M 0 i j M j M 0 i M Au final on peut définir la parabole de la façon suivante : Une parabole est l ensemble des points du plan situés à égale distance d une droite et d un point (non situé sur cette droite). La droite est appelée droite directrice de la parabole et le point foyer de la parabole. Traceur de E (7points) On donne deux points F et F qu on appellera les foyers. L unité est le cm. On appelle E a l ensemble des points M du plan tels que F M+ F M = a où a est un réel positif.. À quelle condition a-t-on E a? D après l inégalité triangulaire F M+ F M F F, donc de tels points M n existent que si a F F. (0,5 point). (a) Inventer et décrire un traceur de E a. Le confectionner (clous, ficelles, punaises, etc. sont autorisés). Il suffit d une ficelle de longueur a et de deux punaises qu on plantera l une sur F, l autre de F. Un crayon maintenant tendue la ficelle décrira l ensemble des points en question. ( point) (b) Utiliser votre traceur de E a sur les annexes, 3 et 4 pour obtenir, s ils existent E 5, E 8 et E 0 (on prendra soin de faire une copie de l annexe dans l éventualité d un râté) ; Tracés soigneux. (3 points) (c) Préciser dans chaque cas la nature de E a. E 5 n existe pas dans le premier cas car F F > 5, les autres sont des ellipses. Trois ellipses. Trois cercles de centre F = F et de rayons a. ( point) Au final, on peut définir l ellipse de la façon suivante : Une ellipse est l ensemble des points dont la somme des distances à deux points donnés du plan est constante. Ces deux points sont appelés foyers de l ellipse. 30 David Robert

243 Première S Devoir maison n Second degré Équations cartésiennes Intersections d un cercle et d une droite Le plan est muni d un repère orthonormal ( O; ı, j ). Tous les tracés seront à faire dans ce repère. Soit A(3;) et B(0; 3) deux points et C le cercle de centre A et de rayon 5. EXERCICE On appelle (E ) l équation (E ) : x + y 6x y+ 5=0. Soit M(x; y). Montrer que M C si, et seulement si, les coordonnées de M vérifient (E ). Déterminer les coordonnées des éventuels points d intersection de C avec les axes de coordonnées. 3. Tracer C et placer les éventuels points trouvés à la question précédente. EXERCICE On s intéresse aux droites (non parallèles à l axe des ordonnées) m passant par B et de coefficient directeur m.. Donner, en fonction de m, l équation réduite de m.. (a) Déterminer les coordonnées des éventuels points d intersection de C et de. (b) Tracer et placer les éventuels points trouvés à la question précédente. 3. Mêmes questions pour (a) Déterminer le signe de 6t + 96t 44 selon les valeurs de t. (b) Montrer que le nombre d intersections de C et de m est le même que le nombre de solutions de l équation : (E m ) : ( +m ) x (4m+ 3)x+ 0=0 (c) Déduire des deux questions précédentes le nombre d intersections de C et de m selon les valeurs de m. 5. On s intéresse aux valeurs de m telles que l intersection de C et de m soit réduite à un unique point. (a) Quelles sont les valeurs de m possibles? (b) Déterminer, pour chacune d elles, les coordonnées des points d intersection de C et de m. (c) Pour chacune d elles, tracer m et placer les points d intersection trouvés à la question précédente. David Robert 3

244 Première S Format d un rectangle On appelle format f d un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur l (f = L l ). EXERCICE 3 On considère A 0, le rectangle ABC D de longueur L 0 et de largeur l 0 et A, le rectangle AEF D où E et F sont les milieux respectifs des segments [AB] et [C D].. Déterminer les valeurs exactes de L 0 et l 0 sachant que : l aire de A 0 est égale à m ; les formats de A 0 et de A sont égaux.. Déterminer les valeurs exactes de L et l, les dimensions de A. 3. De la même manière qu on a procédé pour obtenir A à partir de A 0, on obtient le rectangle A n+ à partir de A n en le coupant en deux dans le sens de sa largeur. La longueur de A n+ est égale à la largeur de A n et la largeur de A n+ est égale à la moitié de la longueur de A n. (a) Déterminer les valeurs exactes de L, l et f, respectivement longueur, largeur et format de A (b) Déterminer les valeurs exactes de L 3, l 3 et f 3, respectivement longueur, largeur et format de A 3 (c) Déterminer les valeurs exactes de L 4, l 4 et f 4, respectivement longueur, largeur et format de A 4 (d) Que constate-t-on? (e) Donner les valeurs approchées au millimètre des dimensions de A 4. Conclure. EXERCICE 4 On considère un rectangle ABC D de largeur l = cm et de longueur L= x cm (< x < ).. Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ABC D. A R D. On découpe dans le rectangle ABC D un carré ABOR. Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ORDC. 3. Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABC D et ORDC aient le même format? 4. On note Φ cette valeur. Déterminer Φ ; Φ(Φ ) et Φ. B O C x 3 David Robert

245 Première S Devoir maison n : corrigé Intersections d un cercle et d une droite Le plan est muni d un repère orthonormal ( O; ı, j ). Tous les tracés seront à faire dans ce repère. Soit A(3;) et B(0; 3) deux points et C le cercle de centre A et de rayon 5. EXERCICE On appelle (E ) l équation (E ) : x + y 6x y+ 5=0. Soit M(x; y). Montrer que M C si, et seulement si, les coordonnées de M vérifient (E ),5 points Par définition, le cercle de centre A et de rayon 5 est l ensemble des points M(x; y) du plan tels que AM = 5 AM = 5 car AM 0. Le repère étant orthonormal : AM = 5 (x 3) + (y ) = 5 x 6x+ 9+ y y+ =5 x + y 6x y+ 5=0. Remarque. Beaucoup oublient de montrer l équivalence ; le raisonnement développé est en général «si M C alors ses coordonnées vérifient (E )». Déterminer les coordonnées des éventuels points d intersection de C avec les axes de coordonnées. Avec l axe des abscisses. On { cherche les points dont les coordonnées vérifient le système : x + y { 6x y+ 5=0 x 6x+ 5=0 y = 0 y = 0 Résolvons x 6x+ 5=0. est une racine évidente donc : x 6x+ 5=0 (x )(x 5)=0 x = ou x = 5 Donc les points d intersection de C avec l axe des abscisses sont M (;0) et M (5;0). Avec l axe des ordonnées. { x + y 6x y+ 5=0 On cherche les points dont les coordonnées vérifient le système : x = 0 { y y+ 5=0 x = 0 Résolvons y y+ 5=0. =b 4ac = 4 0= 6<0 donc pas de solution. C n a pas de point d intersection avec l axe des ordonnées. 3. Tracer C et placer les éventuels points trouvés à la question précédente. Voir figure. EXERCICE 9 points On s intéresse aux droites (non parallèles à l axe des ordonnées) m passant par B et de coefficient directeur m.. Donner, en fonction de m, l équation réduite de m. Étant non parallèle à l axe des ordonnées, m admet une équation de la forme y = mx+ p et, comme B m, y B = mx B + p 3= p. Donc m : y = mx 3.. (a) Déterminer les coordonnées des éventuels points d intersection de C et de. On cherche les points M(x; y) dont les coordonnées vérifient le système : { y = x 3 x + y 6x y+ 5=0 { y = x 3 x + (x 3) 6x (x 3)+5=0 { y = x 3 x 4x+ 0=0 Résolvons x 4x+ 0=0. est une racine évidente donc x 4x+ 0=0 (x )(x 0)=0 x = ou x = 5. Comme y = x 3, les deux points d intersection de C et de sont N (; ) et N (5;). (b) Tracer et placer les éventuels points trouvés à la question précédente. Voir figure. David Robert 33

246 Première S Mêmes questions pour 5. { On cherche les points M(x; y) dont { les coordonnées vérifient le système : { y = 5x 3 y = 5x 3 y = 5x 3 x + y 6x y+ 5=0 x + (5x 3) 6x (5x 3)+5=0 6x 46x+ 0=0 Résolvons 6x 46x+ 0=0. =b 4ac = 36>0 donc deux solutions : x = b = 46 6 = 0 a 5 3 et x = b+ = 46+6 = (tiens! une racine évidente qui m a échappé!). a 5 ( Comme y = 5x 3, les deux points d intersection de C et de 5 sont P 0 3 ; 3) et P (;). Voir figure. 4. (a) Déterminer le signe de 6t + 96t 44 selon les valeurs de t. 6t + 96t 44 est du signe de a= 6, c est-à-dire négatif, sauf entre les racines, si elles existent. =b 4ac = 6400>0 donc deux racines : t = b = = a 3 et t = b+ = = a 3. Finalement 6t + 96t 44 est négatif quand t ] ; ] [ ;+ [ et positif quand t [ ; ]. (b) Montrer que le nombre d intersections de C et de m est le même que le nombre de solutions de l équation : (E m ) : ( +m ) x (4m+ 3)x+ 0=0 Les { points d intersection de C et de m sont les points M(x; y) dont les coordonnées vérifient le système : y = mx 3 S x + y 6x y+ 5=0. Donc le { nombre de points d intersection est le même que { le nombre de solutions du système S or : y = mx 3 y = mx 3 S x + (mx 3) 6x (mx 3)+5=0 x + m x 6mx+ 9 6x mx+ 6+5=0 { { ( y = mx 3 +m ) y = mx 3 x + ( 8m 6)x+ 0=0 ( +m ) x (4m+ 3)x+ 0=0 Donc le nombre d intersections de C et de m est le même que le nombre de solutions de l équation : (E m ) : ( +m ) x (4m+ 3)x+ 0=0. (c) Déduire des deux questions précédentes le nombre d intersections de C et de m selon les valeurs de m. Cherchons les solutions de (E m ). =b 4ac = ( (4m+ 3)) 4 ( +m ) 0=4 ( 6m + 4m+ 9 ) 80 80m = 6m + 96m 44. Or on a étudié dans la question 4. (a) le signe de cette expression. On a donc : aucune intersection quand m ] ; [ ] ;+ [ car <0 ; une seule intersection quand m= ou quand m= car =0 ; deux intersections quand m ] ; [ car >0. 5. On s intéresse aux valeurs de m telles que l intersection de C et de m soit réduite à un unique point. (a) Quelles sont les valeurs de m possibles? D après la question précédente, il faut que m= ou m=. (b) Déterminer, pour chacune d elles, les coordonnées des points d intersection de C et de m. La solution de (E m ) est x 0 = b (4m+ 3) = a ( 4m+ 3 +m) = +m soit quand m=, x 0= 4 et, comme y = mx 3= x 3, y 0= ; quand m=, x 0= 4 5 et, comme y = mx 3= x 3, y 0= 7 ( 5. Donc Q (4; ) et Q 4 5 ; 7 5). (c) Pour chacune d elles, tracer m et placer les points d intersection trouvés à la question précédente. Voir figure. 34 David Robert

247 Première S y j O ı Q 3 4 Q B P P A M M N N x Format d un rectangle On appelle format f d un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur l (f = L l ). EXERCICE 3 On considère A 0, le rectangle ABC D de longueur L 0 et de largeur l 0 et A, le rectangle AEF D où E et F sont les milieux respectifs des segments [AB] et [C D].. Déterminer les valeurs exactes de L 0 et l 0 sachant que : l aire de A 0 est égale à m ; les formats de A 0 et de A sont égaux. L 0 l 0 = On a L 0 = l 0 donc, comme L 0 > 0 et l 0 > 0 : l L 0 0 { L0 l 0 = L 0 = l 0 l 0 = L 0 = { L0 l 0 = L 0 = l 0 { l 0 = L 0 = l 0 l 0 = L 0 = l 0 = L 0 = =. Déterminer les valeurs exactes de L et l, les dimensions de A. L = l 0 = On a l = L 0 = 3. De la même manière qu on a procédé pour obtenir A à partir de A 0, on obtient le rectangle A n+ à partir de A n en le coupant en deux dans le sens de sa largeur. La longueur de A n+ est égale à la largeur de A n et la largeur de A n+ est égale à la moitié de la longueur de A n. (a) Déterminer les valeurs exactes de L, l et f, respectivement longueur, largeur et format de A David Robert 35

248 Première S L = l = On a l = L = = et f = L = = = l = (b) Déterminer les valeurs exactes de L 3, l 3 et f 3, respectivement longueur, largeur et format de A 3 L 3 = l = On a l 3 = L = = 4 et f 3 = L 3 = = 4 = = = l 3 = 4 (c) Déterminer les valeurs exactes de L 4, l 4 et f 4, respectivement longueur, largeur et format de A 4 L 4 = l 3 = 4 On a l 4 = L 3 = = 4 et f 4 = L 4 4 = = 4 = l = 4 4 (d) Que constate-t-on? 4 f 0 = f = L 0 = =. l 0 Or on a aussi f = f 3 = f 4 =. Le format est donc toujours le même. (e) Donner les valeurs approchées au millimètre des dimensions de A 4. Conclure. L 4 = 0,97 m 9,7 cm 4. l 4 = 0,0 m cm 4 Les feuilles courantes sont au format A 4. EXERCICE 4 On considère un rectangle ABC D de largeur l = cm et de longueur L= x cm (< x < ). 3,5 points. Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ABC D. f = L l = x. On découpe dans le rectangle ABC D un carré ABOR. Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ORDC. f = L l = x 3. Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABC D et ORDC aient le même format? 36 David Robert

249 Première S f = f x = x x(x )= car x x x =0. Remarque. La précision «car x»est souvent oubliée ; elle est indispensable pour avoir équivalence. =b 4ac = +4=5>0 donc deux solutions : x = b = 5 et x = b+ = + 5. a a On constate que x < 0 ce qui est impossible car x est une longueur, donc une seule solution x = On note Φ cette valeur. Déterminer Φ ; Φ(Φ ) et Φ. Φ= + 5 donc : Φ = + 5 = + 5 ; Remarque : j ai considéré la forme + 5 comme insuffisante. Φ(Φ )=Φ Φ= car Φ solution de x x =0 x x = ; Φ(Φ )= donc Φ = Φ = + 5. Remarque : j ai considéré la forme + 5 comme insuffisante. Barème EXERCICE,5 points EXERCICE 3 5,5 points. point. point. 0,5 point (abscisses) 0,5 point (ordonnées) 3. 0,5 point EXERCICE 9 points. 0,5 point 3. (a) 0,5 point (L et l) 0,5 point (f ) (b) 0,5 point (L et l) 0,5 point (f ). 0,5 point. (a) point (b) 3.,5 point 0,5 point 4. (a),5 point (b),5 point (c) 0,5 point (L et l) 0,5 point (f ) (d) (e) EXERCICE 4 0,5 point 0,5 point (valeurs approchées) 0,5 point (conclusion) 3,5 points (c),5 point 5. (a) 0,5 point (b) point. 0,5 point. 0,5 point 3.,5 point (c) 0,5 point 4. 0,75 point David Robert 37

250 Première S Devoir maison n 3 Produit scalaire Dans tous les exercices les repères sont orthonormaux EXERCICE C est un cercle de centre O, re rayon r et A est un point fixé du plan. d est une droite passant par A et coupant C en deux points P et Q. A P Q d C O P Le but du problème est d établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit scalaire AP. AQ est constant.. Soit P le point diamétralement opposé à P. Montrer que AP. AQ = AP. AP.. Montrer que AP. AP = AO r 3. Conclure. EXERCICE ABC D est un rectangle de longueur L et de largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC ). A D K L H B l C. Calculer HK en fonction des longueurs des côtés L et l. (On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire C A. BD).. Comment choisir L et l pour avoir AC = HK? Exprimer alors l aire du parallélogramme B HDK en fonction de l aire du rectangle ABC D. 38 David Robert

251 Première S Devoir maison n 3 : corrigé EXERCICE C est un cercle de centre O, re rayon r et A est un point fixé du plan. d est une droite passant par A et coupant C en deux points P et Q. A P Q d C O P Le but du problème est d établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit scalaire AP. AQ est constant.. Soit P le point diamétralement opposé à P. Montrer que AP. AQ = AP. AP. AP. AP = ( ) AP. AQ+ QP = AP. AQ+ AP. QP Le triangle PQP étant inscrit dans un cercle de diamètre [PP ], il est rectangle en Q, donc AP. QP = 0. On a donc bien AP. AP = AP. AQ (,5 point). Montrer que AP. AP = AO r ( AP. AP ( = AO+ OP ). ) ( AO+ OP ( ) = AO+ OP ). AO OP = AO OP = AO r 3. Conclure. (,5 point) AP. AQ = AP. AP = AO r donc ce produit scalaire est constant et ne dépend ni et P, ni de Q, mais seulement de la distance du point au centre du cercle et du rayon du cercle. Ainsi, pour une autre droite d coupant le cercle en P et Q, on aurait encore AP. AQ = AO r. ( point) On a donc la propriété : Propriété. Quelle que soit la droite d passant par A et coupant le cercle C de centre O et de rayon r en P et Q, on a AP. AQ = AO r. On appelle cette quantité la puissance du point A par rapport au cercle C. David Robert 39

252 Première S EXERCICE ABC D est un rectangle de longueur L et de largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC ). A D K L H B l C. Calculer HK en fonction des longueurs des côtés L et l. (On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire C A. BD). On a d une part : C A. BD = ( C D+ D A ). ( ) ( ( BC+ C D = C D+ D A ). D A+ C ) D D A = L l Et d autre part : C A. BD = C A. HK car HK est le projeté orthogonal de BD sur la direction de C A. Donc C A. BD = C A. HK = C AHK. Or C A= L + l. Il vient finalement : C A. BD = L l = L + l HK et, comme L + l 0, on a : HK = L l L + l. ( ( ) = C D+ D A ). C D D A = C D D A = C D (,5 point) (,5 point) ( point). Comment choisir L et l pour avoir AC = HK? On a vu que AC = L + l, on a donc : AC = HK L + l = L l L +l L + l = (L l ) 3l = L 3l = L. ( point) Exprimer alors l aire du parallélogramme B HDK en fonction de l aire du rectangle ABC D. La figure étant symétrique par rapport au centre du rectangle, on a A B HDK = A B HK et A ABC D = A ABC. Or A B HK = ( ) HKB H = HK B H et AABC = AC B H = HK B H = A B HK car AC = HK, donc : A B HDK = A ABC D. ( point) 40 David Robert

253 Première S Devoir maison n 4 Fonction dérivée 0 On trouve sur le site de l Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides tout un tas de renseignements sur les astres et en particulier sur les heures de lever et de coucher du soleil. À partir des éphémérides de l année 000 à Nice, on a tracé les courbes données en annexe. La figure 0.9 indique la durée du jour (différence entre l heure du coucher et du lever du soleil à une même date) pour chaque jour de l année, avec en abscisse le rang du jour (de à 366) et en ordonnée la durée en heures de celui-ci. La figure 0.0 indique la variation de cette durée par rapport au jour précédent, avec en abscisse le rang du jour et en ordonnée la variation en minutes. On cherche à modéliser ces deux phénomènes par des fonctions mathématiques. EXERCICE Modélisation de la durée On se pose la question de savoir si une fonction associée à une fonction de référence pourrait modéliser de façon satisfaisante cette durée du jour.. Sachant que les durées sont sensiblement les mêmes les années précédentes et les années suivantes, à quelle fonction de référence semble être associée la fonction f qui au rang t de chaque jour donne la durée du jour f (t)?. On suppose que f (t)= a+ bu(ωt+ τ) où a, b, ω et τ sont des réels et u la fonction de référence à laquelle semble associée f. Déterminer des valeurs approchées de a, b, ω et τ qui pourraient convenir sachant que : au solstice d hiver, le décembre soit le 356 e de l année, la durée du jour de 8h5 était la plus courte de l année au solstice d été, le juin soit le 73 e de l année, la durée du jour de 5h4 était la plus longue de l année aux équinoxes de printemps et d automne, le 0 mars et le septembre soit, respectivement, le 80 e et le 66 e de l année, les durées du jour de h07 correspondaient à la durée moyenne du jour sur l année. 3. Tracer sur le même graphique la courbe représentative de f. La modélisation obtenue est-elle satisfaisante? 4. Déterminer l expression de f qui donne la durée du jour en minute. EXERCICE Modélisation des variations On s intéresse maintenant à la seconde courbe.. Sachant que les variations sont sensiblement les mêmes les années précédentes et les années suivantes, à quelle fonction de référence semble être associée la fonction g qui au rang t de chaque jour donne la variation de la durée du jour g (t)?. On suppose que g (t)=a+ bv(ωt+ τ) où a, b, ω et τ sont des réels et v la fonction de référence à laquelle semble associée g. Déterminer des valeurs approchées de a, b, ω et τ qui pourraient convenir sachant que : ω et τ doivent être les mêmes qu au problème ; les variations de la durée du jour sont nulles aux solstices ; les variations sont maximales (±3 min) aux équinoxes. 3. Tracer sur le même graphique la courbe représentative de g. La modélisation obtenue est-elle satisfaisante? 4. On a vu dans le cours que la variation n était autre que la dérivée et donc que, logiquement, g (t)= f (t) quand f (t) est en min. Par ailleurs on sait que (h(at+ b)) = ah (at+ b). En déduire quelle est la fonction dérivée de la fonction de référence identifiée au problème. 0 D après une idée de Robert Ghattas piochée dans GHATTAS, Robert Petite salade de mathématiques : pour amateurs et gourmands ; traduit de l italien par Marilène RAIOLA, First Editions, Paris, p. http :// C est en fait une courbe lissée car les variations exactes sont trop aléatoires d un jour à l autre pour être exploitables David Robert 4

254 Première S FIG. 0.9 Durée du jour à Nice en 000 FIG. 0.0 Variation lissée de la durée du jour 4 David Robert

255 Première S Devoir maison n 4 : corrigé EXERCICE Modélisation de la durée On se pose la question de savoir si une fonction associée à une fonction de référence pourrait modéliser de façon satisfaisante cette durée du jour.. Sachant que les durées sont sensiblement les mêmes les années précédentes et les années suivantes, à quelle fonction de référence semble être associée la fonction f qui au rang t de chaque jour donne la durée du jour f (t)? La courbe ressemble à une sinusoïdale, donc la fonction f semble associée à la fonction cosinus ou sinus. Choisissons cosinus (le cas sinus sera évoqué plus loin). On suppose donc que f (t)= a+ b cos(ωt+ τ).. Déterminer des valeurs approchées de a, b, ω et τ qui pourraient convenir. Le maximum de f vaut 5h4 et le minimum { 8h5, or les extremums { de cos X sont et. a+ b= 5h4 a b= 5h4 Selon le signe de b on a soit, si b 0,, soit, si b 0,. a b= 8h5 a+ b= 8h5 Supposons b 0. On { a alors : { { a+ b= 5h4 L a+ b= 5h4 L a= h08 a b= 8h5 L a= 4h6 L + L b= 3h6 Donc f (t)=h08+3h6cos(ωt+ τ). Reste à déterminer ω et τ. D après notre choix pour b, le maximum de la fonction est atteint quand cos(ωt+ τ)= et le minimum quand cos(ωt+ τ)=, c est-à-dire quand ωt+ τ=0 et ωt+ τ=π (à π près). Or on sait aussi { que le maximum est { atteint quand t = 73 et le minimum { quand t = ω+τ=0 L 73ω+τ=0 L 73 π On a donc 83 + τ=0 { τ= 73π 356ω+τ=π L 83ω=π L L ω= π ω= π 83 D où f (t)=h08+3h6cos ( ) π 83 t 73π Tracer sur le même graphique la courbe représentative de f. La modélisation obtenue est-elle satisfaisante? FIG. 0. Relevés et modèle de l exercice Voir le schéma de la présente page. Ma foi, ce n est pas trop mal. 4. Déterminer l expression de f qui donne la durée du jour en minute. David Robert 43

256 Première S f (t)=h08+3h6cos ( ) ( π 83 t 73π 83 en heures donc f (t)=78+96cos π ) 83 t 73π 83 en minutes. EXERCICE On s intéresse maintenant à la seconde courbe. Modélisation des variations. Sachant que les variations sont sensiblement les mêmes les années précédentes et les années suivantes, à quelle fonction de référence semble être associée la fonction g qui au rang t de chaque jour donne la variation de la durée du jour g (t)? C est là encore une sinusoïdale, donc la fonction associée pourrait être sinus ou cosinus. Nous choisirons plus tard.. On suppose que g (t)=a+ bv(ωt+ τ) où a, b, ω et τ sont des réels et v la fonction de référence à laquelle semble associée g. Déterminer des valeurs approchées de a, b, ω et τ qui pourraient convenir. Nous observons que les maximum et minimum ne sont pas atteint aux mêmes dates pour cette fonction que pour la précédente, or on nous impose que ω et τ soient les mêmes. Ce ne peut donc être la fonction cosinus. C est donc la fonction sinus. Donc g (t)= a+ b sin ( ) π. 83 t 73π 83 On observe ensuite que le maximum est atteint quand t = 80. Or dans ce cas π 83 t 73π 83 = 80π 83 73π 93π 83 = 83 π. Le minimum est atteint quand t = 66, or dans ce cas π { ( ) a+ b sin π { On a donc = 3 a+ b sin ( ) a b= 3 L π = 3 a+ b= 3 L Finalement g (t)= 3sin ( ) π 83 t 73π Tracer sur le même graphique la courbe représentative de g. La modélisation obtenue est-elle satisfaisante? 83 π {. a b= 3 L a= 0 L + L 83 t 73π 83 = 66π 83 73π 83 = 93π { b= 3 a= 0 FIG. 0. Relevés et modèle de l exercice Voir le schéma de la présente page. Sans plus, mais on s en contentera. D aucun pourraient penser que cela est dû au lissage, mais cela provient du fait que, si la fonction sinus convient à peu près, elle ne convient pas tout à fait, comme la fonction cosinus ne convient pas tout fait dans le premier problème. La différence ici est que l écart entre le modèle et la réalité est plus visible du fait de l échelle de l axe des ordonnées. 4. On a vu dans le cours que la variation n était autre que la dérivée et donc que, logiquement, g (t)= f (t) quand f (t) est en min. 44 David Robert

257 Première S Par ailleurs on sait que (h(at+ b)) = ah (at+ b). En déduire quelle est la fonction dérivée de la fonction de référence identifiée au problème. On a f (t)=78+96cos ( ) π 83 t 73π 83 donc f (t)=96 π 83 cos ( ) π 83 t 73π 83 3cos ( ) π 83 t 73π 83. Or f (t)= g (t)= 3sin ( ) π 83 t 73π 83. Par identification, il vient (cos x) = sin x. Quelques remarques Si on avait choisi b négatif dans le problème on aurait trouvé : f (t)=h08 3h6cos ( π ) 83 t+356π 83. Or h08 3h6cos ( π ) ( 83 t+356π 83 = h08 3h6cos π 83 t+83π π ) 83 = h08 3h6cos ( π ) 73π 83 t+ π+ 83 et on sait que cos(x+ π)= cos x. Donc f (t)=h08 3h6 ( cos ( π )) 83 t+73π 83. Par ailleurs cos( x)=cos(x). Finalement on retrouve la fonction choisie dans le corrigé. Si on avait choisi la fonction sinus dans le problème et b positif, on aurait trouvé f (t)=h08+3h6sin ( π On peut remarquer que comme sin ( π x) = cos x, on peut se ramener à la fonction du corrigé. Si on ne le fait pas, on abouti dans le problème à (sin x) = cos x. À retenir 83 t+73π 83 + π ). Propriété. Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et on a : (sin x) = cos x (cos x) = sin x Propriété. La fonction tangente est définie et dérivable sur R { π + kπ} avec k Z et (tan x) = cos x On l admettra la première, ce devoir maison ne permettant pas de le prouver. On peut par contre démontrer la seconde : Preuve. Par définition, tan x = sin x cos x donc de la forme u v. (tan x) =. Or cos x+ sin x =, d où le résultat. cos x cos x sin x( sin x) cos x = cos x+sin x cos x David Robert 45

258 Première S Devoir maison n 5 Fonction dérivée Barycentres EXERCICE. Question préliminaire : Le barème est provisoire. Soit α, β et γ trois réels tels que α+β 0 et α+β+γ 0 et A, B et G trois points du plan. 6 points Montrer que «G est le barycentre de {(A ; α); (B ; β); (G ; γ)}»équivaut à «G est le barycentre de {(A ; α); (B ; β)}».. I JK est un triangle, A est le symétrique de K par rapport à J, B est le symétrique de I par rapport à K, C est le symétrique de J par rapport à I et P est le point tel que BP = 3 BC. EXERCICE (a) Exprimer : i. K comme barycentre de B et I ; ii. I comme barycentre de J et C ; iii. J comme barycentre de A et K. (b) En déduire que K est barycentre de {(A ; ); (B ; 4); (C ; )} (c) Exprimer P comme barycentre de B et C. (d) Que peut-on en déduire pour les points A, K, J et P?. Soient A, B et C trois points du plan tels que ABC soit un triangle rectangle et isocèle en A avec AB = 6 cm. Dans chacun des cas suivants déterminer et construire l ensemble E i des points M du plan qui vérifient : (a) E : M A+ MB+ MC =0 (b) E : M A MB+ MC =0 (c) E 3 : M A+ MB+ MC = M A MB+ MC (d) E 4 : M A+ MB+ MC = M A+ MB+ MC (e) E 5 : M A+ MB+ MC = 3 M A+ 3 MB+ 3 MC. Que deviennent E, E, E 3 et E 4 si l on se situe dans l espace? 6 points EXERCICE 3 3 points Une plaque homogène P d épaisseur négligeable est constituée d un disque D, de centre O et rayon m duquel on a enlevé un disque d de centre O et de rayon 50 cm avec O situé à la moitié d un rayon de D. Déterminer la position du centre d inertie de cette plaque. O O EXERCICE 4 5 points Quel doit être le format (hauteur, rayon) d une boite de conserve cylindrique pour que, pour un volume donné, la quantité de métal pour la concevoir, qu on supposera proportionnelle à sa surface, soit minimale. 46 David Robert

259 Première S Devoir maison n 5 : corrigé EXERCICE 6 points. Question préliminaire : Soit α, β et γ trois réels tels que α+β 0 et α+β+γ 0 et A, B et G trois points du plan. Montrer que «G est le barycentre de {(A ; α); (B ; β); (G ; γ)}»équivaut à «G est le barycentre de {(A ; α); (B ; β)}». G est le barycentre de {(A ; α); (B ; β); (G ; γ)} α G A+ β GB+ γ GG = 0 α G A+ β GB = 0 G est le barycentre de {(A ; α); (B ; β)} Remarque. Attention à bien procéder par équivalences. ( point). I JK est un triangle, A est le symétrique de K par rapport à J, B est le symétrique de I par rapport à K, C est le symétrique de J par rapport à I et P est le point tel que BP = 3 BC. (a) Exprimer : i. K comme barycentre de B et I ; ii. I comme barycentre de J et C ; iii. J comme barycentre de A et K. B, C et A sont les symétriques respectifs de I par rapport à K, de J par rapport à I et de K par rapport à J donc K, I et J sont les milieux respectifs [B I ], de [JC ] et de [AK ] et donc les isobarycentres respectifs de {B ; I }, de {J ; C } et de {A ; K }. (0,75 point) (b) En déduire que K est barycentre de {(A ; ); (B ; 4); (C ; )} K est isobarycentre de {B ; I } donc, par exemple, K barycentre de {(B ; 4); (I ; 4)}. I est isobarycentre de {J ; C } donc on peut remplacer (I ; 4) par (J ; α) et (C ; β) avec α=β, car isobarycentre et α+β=4 car c est le coefficient de I. Donc α=β=. On a donc K barycentre de {(B ; 4); (J ; ); (C ; )}. J est isobarycentre de {A ; K } donc, en suivant le même raisonnement, on peut remplacer (J ; ) par (A ; ) et (K ; ). On a donc K barycentre de {(A ; ); (B ; 4); (C ; ); (K ; )}. D après la question préliminaire, cela est équivalent à K barycentre de {(A ; ); (B ; 4); (C ; )}. ( points) (c) Exprimer P comme barycentre de B et C. On sait que BP = 3 BC. BP = BC 3 BP = BC 3 BP BC = ( ) BP BP+ PC = 0 BP+ C P = 0 P barycentre de {(B ; ); (C ; )} (d) Que peut-on en déduire pour les points A, K, J et P? (0,5 point) On sait que K est barycentre de {(A ; ); (B ; 4); (C ; )} et que P est barycentre de {(B ; ); (C ; )}. On a donc P barycentre de {(B ; 4); (C ; )} et donc K est barycentre de {(A ; ); (P ; 6)}. Les points A, K et P sont donc alignés. Par ailleurs A est le symétrique de K par rapport à J donc les points A, K et J sont eux aussi alignés et finalement les points A, K, J et P sont tous les quatre alignés. (,5 point)+ (0,5 point) EXERCICE. Soient A, B et C trois points du plan tels que ABC soit un triangle rectangle et isocèle en A avec AB = 6 cm. Dans chacun des cas suivants déterminer et construire l ensemble E i des points M du plan qui vérifient : (a) E : M A+ MB+ MC =0 6 points David Robert 47

260 Première S Soit G barycentre de {(A ; ); (B ; ); (C ; )} (qui existe car ++ 0). On a : Donc E = {G} (b) E : M A MB+ MC =0 M A+ MB+ MC =0 (++) MG =0 4 MG =0 4MG = 0 MG = 0 M = G (0,5 point) On ne peut introduire ici de barycentre car +=0 mais on sait que, dans ce cas là, on doit pouvoir exprimer la somme de vecteurs indépendamment de M. Choisissons, par exemple, de conserver M A et de faire disparaître MB et MC : ( ) M A MB+ MC = M A M A+ AB + M A+ AC = 0 M A AB+ AC = B A+ AC On a donc : M A MB+ MC =0 B A+ AC =0 B A+ AC = 0 Comme ABC est rectangle en A, les points ne sont donc pas alignés ; il est donc impossible que B A+ AC = 0. Donc E = (c) E 3 : M A+ MB+ MC = M A MB+ MC D après ce qu on a vu dans les questions précédentes : M A+ MB+ MC = M A MB+ MC 4 MG = B A+ AC 4MG = B A+ AC MG = B A+ AC 4 (0,5 point) L ensemble des points M vérifiant cette égalité est l ensemble des points M situés à une distance ( ) constante B A+ AC 4 de G, c est donc un cercle de centre G et de rayon B A+ AC 4. Donc E 3 = C (G ; B A+ ) AC 4 ( point) Remarque. Attention : B A+ AC B A+ AC. (d) E 4 : M A+ MB+ MC = M A+ MB+ MC Soit H barycentre de {(A ; ); (B ; ); (C ; )} (qui existe car ++ 0). On a : M A+ MB+ MC = M A+ MB+ MC 4 MG = 4 M H 4MG = 4M H MG = M H L ensemble des points M vérifiant cette égalité est l ensemble des points situés à égale distance de H et G, c est donc la médiatrice d de [HG]. Donc E 4 = d, médiatrice de [HG]. ( point) (e) E 5 : M A+ MB+ MC = 3 M A+ 3 MB+ 3 MC Soit I le centre de gravité du triangle ABC, c est à dire l isobarycentre de A, de B et de C. On a : M A+ MB+ MC = 3 M A+ 3 MB+ 3 MC 4 MG = 9 M I 4MG = 9M I On ne peut conclure directement ici, il faut repasser aux vecteurs à l aide des carrés scalaires : M A+ MB+ MC = 3 M A+ 3 MB+ 3 MC 4MG = 9M I 6MG = 8M I 6 MG = 8 M I 6 MG 8 M I = 0 ( 4 MG+ 9 ( M I ). 4 MG 9 M I )=0 Soit J et K les barycentres respectifs de {(G ; 4); (I ; 9)} et {(G ; 4); (I ; 9)}. On a : M A+ MB+ MC = 3 M A+ 3 MB+ 3 ( MC 4 MG+ 9 ( M I ). 4 MG 9 M I )=0 3 M J.( 5) MK = 0 M J. MK = 0 L ensemble des points M vérifiant cette égalité est l ensemble des points M tels que M JK est un triangle rectangle en M, c est donc le cercle de diamètre [JK ]. Donc E 5 = C, cercle de diamètre [JK ]. (,5 point). Que deviennent E, E, E 3 et E 4 si l on se situe dans l espace? E est toujours réduit au point G ; E est toujours un ensemble vide ; E 3 est l ensemble des points de l espace situés à une distance constante de G, c est alors la sphère de centre G et de rayon AC 4 ; E 4 est l ensemble des points de l espace situés à égale distance de deux points, c est donc le plan médiateur du segment [HG]. B A+ (0,5 point) 48 David Robert

261 Première S C E 3 E 4 K H E 5 I J G = E A B point EXERCICE 3 3 points Une plaque homogène P d épaisseur négligeable est constituée d un disque D, de centre O et rayon m duquel on a enlevé un disque d de centre O et de rayon 50 cm avec O situé à la moitié d un rayon de D. Déterminer la position du centre d inertie de cette plaque. G O O O est le centre de gravité du disque D, O celui de D. La plaque est un disque plein D duquel on a enlevé le disque plein D donc le centre de gravité G de la plaque est le barycentre de O affecté d un coefficient égal à l aire de D et de O affecté d un coefficient égal à l opposé de l aire de D. Donc : G barycentre de { (O ; 4π); ( O ; π )} { ( 4 = (O ; 6π); O ; π )} = { (O ; 6); ( O ; )} Donc OG = 6 OO = 5OO = 5O O. Il est donc légèrement à gauche de O (voir schéma). EXERCICE 4 5 points Quel doit être le format (hauteur, rayon) d une boite de conserve cylindrique pour que, pour un volume donné, la quantité de métal pour la concevoir, qu on supposera proportionnelle à sa surface, soit minimale. David Robert 49

262 Première S Appelons V le volume donné, h la hauteur de la boite, r le rayon de sa base et S la surface de la boite. On sait que V = h πr donc h= V πr. Par ailleurs la surface de la boite est composée des disques supérieur et inférieur (πr ) ainsi que de la surface latérale du cylindre qui est la même que celle d un rectangle de largeur h et de longueur le périmètre du disque, soit πr. Donc S= πr + h πr. Finalement : S= πr + V πr = πr + V πr r ( point) On cherche pour quelle valeur de r, cette surface est minimale (V est une constante). On peut utiliser la( fonction dérivée S de S : S = πr + V r ) = 4πr 3 V r Étudions son signe : r > 0 donc le signe de S est donné par son numérateur 4πr 3 V. r 4πr 3 V est associée à la fonction cube qui est strictement croissante sur R et s annule pour 4πr 3 V = 0. 4πr 3 V = 0 r 3 = V π. Il faut donc que r soit égal au nombre r 0 qui, au cube, vaut V π. Remarque. On l appelle la racine cubique de V π et on le note 3 V π. On a finalement : S < 0 quand r < r 0, S > 0 quand r > r 0 et S = 0 quand r = r 0 (0,5 pt) (0,5 point) (,5 pt). Les variations de S sont donc les suivantes : (0,5 pt) r 0 V 3 π + S admet donc un minimum atteint en r 0 = 3 V π Les dimensions de la boite seront donc : rayon r 0 = 3 V π hauteur h 0 = V πr 0 S 0 + S Par exemple, pour une boite de tomates pelées de 400 g, de volume 300 ml, pour que la quantité de métal soit minimale, il faut que le rayon soit approximativement de 3,6 cm et la hauteur 7,3 cm. Remarque. On démontre facilement que h 0 = r 0 : h 0 r 0 = V πr 0 r 0 = V πr0 3 = V π V = V π π V = π (0.5 pt) (0.5 pt) 50 David Robert

263 Première S Devoir maison n 6 Statistiques Applications du produit scalaire EXERCICE Le tableau suivant donne les temps de cinq sportifs qui ont couru un 500 m et un m. Coureur Coureur Coureur 3 Coureur 4 Coureur m m On veut déterminer quelle est la course la plus homogène. Le problème est que les données de chaque série ne sont pas du même ordre de grandeur. En effet un écart moyen de la première série de 30 s sera proportionnellement plus important qu un écart moyen de min pour la seconde. Pour palier à cette difficulté on utilise l écart-type relatif, noté C v, appelé coefficient de variation définit par C v = s x, où s est l écart-type de la série et x est la moyenne de la série et un écart interquartile relatif, définit par Q 3 Q m où Q et Q 3 sont les premier et troisième quartiles de la série et m la médiane de la série.. Utilisation des coefficients de variation (a) Calculer le temps moyen x, l écart-type s puis le coefficient de variation C v = s pour le 500 m. (On pourra x convertir tous les temps en secondes). (b) Faire de même pour le m. (c) Conclure.. Utilisation de l interquartile relatif (a) Déterminer la médiane m et les quartiles Q et Q 3 pour le 500 m. En déduire l interquartile relatif Q 3 Q m. (b) Faire de même pour le m. (c) Conclure. 3. Donner une explication à la contradiction entre.c) et.c). EXERCICE Démontrer que : n ( xi x ) = 0 n n ( ) n xi x j = 0 n ( ) = xi x j n V (x) i= i= j= i= j= EXERCICE 3 Triangulation. Déterminer la distance d un bateau (B) à chacun des amers que sont un phare (C ) et un château d eau (A) sachant que : la carte maritime indique que ces amers sont espacés d un kilomètre ; l angle relevé par le capitaine entre le nord et le château d eau est de 50 ; l angle relevé par le capitaine entre le nord et le phare est de 70 ; les amers sont exactement à l est et à l ouest l un de l autre. Nord B. Déterminer la distance d un bateau (B) à chacun des observateurs que sont Christophe (C ) et Amélie (A) sachant que les observateurs sont espacés de 00 m et que, pour Christophe, l angle entre Amélie et le bateau est de 80 et que, pour Amélie, l angle entre Christophe et le bateau est de 45. A b C David Robert 5

264 Première S EXERCICE 4. (a) Résoudre dans R l équation sinx = 0. On appelera D l ensemble des solutions. (b) Démontrer que, pour tout x D : (c) En déduire les valeurs exactes de tan π 8 et tan π.. (a) Démontrer que, pour tout x D : (b) En déduire que tan 5π = On note F l ensemble R { π + kπ} où k Z. (a) Démontrer que pour tout x F : En déduire la valeur exacte de tan 9π 8. (b) Démontrer que pour tout x F : En déduire la valeur exacte de cos π 8 puis de sin π 8. (c) Calculer la valeur exacte de cos 5π 8. tan x = cos(x) sin(x) ( π ) tan x = tan x tan(π+ x)=tan x +tan x = cos x 5 David Robert

265 Première S Devoir maison n 6 : corrigé EXERCICE Le tableau suivant donne les temps de cinq sportifs qui ont couru un 500 m et un m. 5,5 points Coureur Coureur Coureur 3 Coureur 4 Coureur m m Données : l écart-type relatif, noté C v, appelé coefficient de variation est défini par C v = s, où s est l écart-type de la série et x x est la moyenne de la série ; l écart interquartile relatif, est défini par Q 3 Q m où Q et Q 3 sont les premier et troisième quartiles de la série et m la médiane de la série.. Utilisation des coefficients de variation (a) Calculer le temps moyen x, l écart-type s puis le coefficient de variation C v = s pour le 500 m. x Dans l ordre croissant et convertis en secondes, les résultats sont les suivants : On obtient alors : x 45,00= ; s 5,386 s ; c v 0,0. Remarque. c v n a pas d unité. Minimum Q Médiane Q 3 Maximum 500 m 38,7 40, 45,48 48,9 5,97,5 pt (b) Faire de même pour le m. Dans l ordre croissant et convertis en secondes, les résultats sont les suivants : On obtient alors : x 889,8= ; s 3,946 s ; c v 0,036. Minimum Q Médiane Q 3 Maximum m 837,70 887,08 888,34 898, 937,85,5 pt (c) Conclure. Le coefficient de variation plus petit pour le 500 m indique que cette série est la plus homogène des deux. 0,5 pt. Utilisation de l interquartile relatif (a) Déterminer la médiane m et les quartiles Q et Q 3 pour le 500 m. En déduire l interquartile relatif Q 3 Q m. Q 3 Q m = 48,9 40, 45,48 0, 033 0,5 pt (b) Faire de même pour le m. Q 3 Q m (c) Conclure. = 898, 887,08 888,34 0, 0 0,5 pt L écart interquartile relatif plus petit pour le m indique que cette série est la plus homogène des deux. 0,5 pt 3. Donner une explication à la contradiction entre.c) et.c). David Robert 53

266 Première S Les quartiles et la médiane sont habituellement robustes aux variations des données, seulement lorsqu il n y a que 5 données cela n est pas le cas, car la donnée et la donnée 4 peuvent varier énormément, faisant ainsi varier les quartiles. Dans le cas présent, donc, mieux vaut se fier à la moyenne, à l écart-type et au coefficient de variation. 0,5 pt EXERCICE Démontrer que : 3,5 points n ( xi x ) = 0 n n ( ) n xi x j = 0 n ( ) = xi x j n V (x) i= i= j= i= j= n ( xi x ) = ( x x ) + ( x x ) ( x n x ) = x + x x n nx = 0 car, par définition de la moyenne, x + x + i=...+ x n = nx pt n i= j= n ( ) xi x j En additionnant en colonnes, on obtient : (i = ) (i = )... (i = n) = (x x ) +(x x ) (x x n ) (j = ) +(x x ) +(x x ) (x x n ) (j = ) (x n x ) +(x n x ) (x n x n ) (j = n) n n ( ) xi x j = (x + x x n ) nx + (x + x x n ) nx +...+(x + x x n ) nx n i= j= = n (x + x x n ) n (x + x x n )=0 pt n (i = ) (i = )... (i = n) n ( ) xi x j = (x x ) +(x x ) (x x n ) (j = ) i= j= En additionnant en colonnes, on obtient : +(x x ) +(x x ) (x x n ) (j = ) (x n x ) +(x n x ) (x n x n ) (j = n) = x x x + x +x x x + x x x x n + xn (j = ) +x x x + x +x x x + x x x x n + xn (j = ) xn x n x + x +xn x n x + x xn x n x n + xn (j = n) n n ( ) = ( xi x j x + x ) x n x (x + x x n )+nx i= j= + ( x + x n) x x (x + x x n )+nx... + ( x + x n) x xn (x + x x n )+nxn = n ( x + x n) x (x + x x n )(x + x x n )+n ( x + x ) x n = n ( x + x ) x n n (x + x x n ) (x + x x n ) n n ( x = n + x ) (( x n x n x = n + x ) x n x )=n V (x) n n,5 pt 54 David Robert

267 Première S EXERCICE 3 Triangulation. Déterminer la distance d un bateau (B) à chacun des amers que sont un phare (C ) et un château d eau (A) sachant que : la carte maritime indique que ces amers sont espacés d un kilomètre ; l angle relevé par le capitaine entre le nord et le château d eau est de 50 ; l angle relevé par le capitaine entre le nord et le phare est de 70. Le schéma sous-entend que l angle entre la droite (AC ) et le nord est de 90. On a alors : B 30 0 Nord Et on en déduit que Â= 60 et que Ĉ = 80. Comme AC sin B = BC sin  = AB sinĉ, il vient sin40 = BC sin60 = AB sin80. Donc BC = sin60 sin80,347 km et AB =,53 km sin40 sin40 A b C pt. Déterminer la distance d un bateau (B) à chacun des observateurs que sont Christophe (C ) et Amélie (A) sachant que les observateurs sont espacés de 00 m et que, pour Christophe, l angle entre Amélie et le bateau est de 80 et que, pour Amélie, l angle entre Christophe et le bateau est de 45. EXERCICE 4 00 sin55 = BC sin45 = AB sin80. Donc BC = 00sin45 sin55 7,64 m et AB = 00sin80 sin55. (a) Résoudre dans R l équation sinx = 0. On appelera D l ensemble des solutions. (b) Démontrer que, pour tout x D : (c) En déduire les valeurs exactes de tan π 8 et tan π.. (a) Démontrer que, pour tout x D : (b) En déduire que tan 5π = On note F l ensemble R { π + kπ} où k Z. (a) Démontrer que pour tout x F : 40,45 m tan x = cos(x) sin(x) ( π ) tan x = tan x tan(π+ x)=tan x pt 8 points En déduire la valeur exacte de tan 9π 8. (b) Démontrer que pour tout x F : En déduire la valeur exacte de cos π 8 puis de sin π 8. (c) Calculer la valeur exacte de cos 5π 8. Corrigé fait en module. +tan x = cos x David Robert 55