Déterminant PSI Paul Valéry. 1 Formes multilinéaires 2. 3 Déterminant d un endomorphisme 5. 4 Déterminant d une matrice carrée 5

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1 Table des matières 1 Formes multilinéaires 2 2 Déterminant de n vecteurs Formes n-linéaires alternées sur E Forme déterminant de n vecteurs relativement à une base de E Déterminant d un endomorphisme 5 4 Déterminant d une matrice carrée 5 5 Développement d un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne Cofacteur, comatrice Développement par rapport à une ligne ou une colonne Application : déterminant des matrices triangulaires Inverse d une matrice inversible Applications Système linéaire et résolution d un système de Cramer Orientation d un espace vectoriel réel Rappels de première année Géométrie plane Géométrie dans l espace / 8

2 Dans tout ce chapître, K désigne R ou C. 1 Formes multilinéaires Soit E un espace vectoriel sur K et soit p un entier naturel non nul. Définition 1 On appelle forme p-linéaire sur E toute application f de E p dans K telle que pour tout p-uplet (x 1, x 2,..., x p ) ( ) E K de E p et pour tout i [1, p] l application est linéaire. t f(x 1, x 2,..., x i 1, t, x i+1,..., x p ) Exemples Dans le plan euclidien : produit scalaire ou déterminant de deux vecteurs Dans l espace euclidien : produit scalaire de deux vecteurs ou déterminant de trois vecteurs E E R Dans E = C([0, 1], R), 1 est une forme bilinéaire. (f, g) f(t)g(t) dt 0 Définition 2 Soit f une forme p-linéaire sur E. f est dite symétrique si et seulement si pour tout p-uplet (x 1, x 2,..., x p ) de E p et tous entiers naturels i et j compris entre 1 et p on a : f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p ) = f(x 1, x 2,..., x j,..., x i,..., x p ) f est dite antisymétrique si et seulement si pour tout p-uplet (x 1, x 2,..., x p ) de E p et tous entiers naturels i et j compris entre 1 et p on a : i j = f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p ) = f(x 1, x 2,..., x j,..., x i,..., x p ) f est dite alternée si et seulement si pour tout p-uplet (x 1, x 2,..., x p ) de E p et tous entiers naturels i et j compris entre 1 et p on a : i j et x i = x j = f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p ) = 0 Proposition 1 Soit f une forme p-linéaire alternée sur E. f alternée f antisymétrique On suppose que f est alternée. Soit (x 1, x 2,..., x p) un p-uplet de E p et i et j deux éléments différents de [[1, p]]. f(x 1, x 2,..., x i + x j,..., x j + x i,..., x p) = 0 car f est alternée. Par ailleurs en utilisant la linéarité par rapport à la ième variable, puis par rapport à la jème, on obtient : f(x 1, x 2,..., x i + x j,..., x j + x i,..., x p) = f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p) + f(x 1, x 2,..., x j,..., x i,..., x p) car f est alternée. Donc f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p) = f(x 1, x 2,..., x j,..., x i,..., x p). f est donc antisymétrique. On suppose que f est antisymétrique. Soit (x 1, x 2,..., x p) un p-uplet de E p et i et j deux éléments différents de [[1, p]] tels que x i = x j. f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p) = f(x 1, x 2,..., x j,..., x i,..., x p) car f est antisymétrique. Comme x i = x j, on en déduit que f(x 1, x 2,..., x i,..., x j,..., x p) = 0. f est donc une forme alternée. 2 Déterminant de n vecteurs Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, n Formes n-linéaires alternées sur E Proposition 2 Pour toute forme f n-linéaire alternée sur E, (V 1,..., V n ) famille liée de E = f(v 1,..., V n ) = 0 Si (V 1,..., V n) est une famille liée de E, alors il existe i [[1, n]] tel que V i soit combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille : V i = P j i λ j V j. f(v 1,..., V i,..., V n) = f((v 1,..., P λ j V j,..., V n) = P λ j f(v 1,..., V j,..., V n) en utilisant la linéarité par rapport à la ième variable. j i j i Or, comme j i, les termes de rang i et de rang j du n-uplet (V 1,..., V j,..., V n) sont égaux, donc f(v 1,..., V j,..., V n) = 0 et par suite f(v 1,..., V i,..., V n) = 0. 2 / 8 determinantbis.tex

3 Proposition 3 Soit ϕ une forme n-linéaire alternée sur E. (V 1,..., V n ) E n σ S n ϕ(v σ(1),..., V σ(n) ) = ɛ(σ) ϕ(v 1,..., V n ) Soit V 1,..., V n des vecteurs de E. Soit τ une transposition de S n. Comme ϕ est alternée, ϕ(v τ(1),..., V τ(n) ) = ϕ(v 1,..., V n). Comme ɛ(τ) = 1, on obtient la relation cherchée. Soit σ une permutation de S n. σ s écrit sous forme de produit de transpositions : il existe τ 1,..., τ p des transpositions de S n telles que σ = τ 1... τ p. ϕ(v σ(1),..., V σ(n) ) = ϕ(v τ1... τ p(1),..., V τ1... τ p(n)) = ɛ(τ 1 ) ϕ(v τ2... τ p(1),..., V τ2... τ p(n)) Par récurrence sur p, on obtient alors ϕ(v σ(1),..., V σ(n) ) = ɛ(τ 1 )... ɛ(τ p) ϕ(v 1,..., V n). Or ɛ(σ) = ɛ(τ 1 )... ɛ(τ p). Donc ϕ(v σ(1),..., V σ(n) ) = ɛ(σ) ϕ(v 1,..., V n). Proposition 4 Soit (e 1,..., e n ) une base de E. Soit ϕ une forme n-linéaire alternée sur E. n Soit n vecteurs V j = a ij e i. Alors ϕ(v 1,..., V n ) = ɛ(σ)a σ(1)1... a σ(n)n ϕ(e 1,..., e n ) i=1 Cherchons les formes linéaires alternées sur un espace de dimension n muni d une base (e 1,..., e n). On considère n nx vecteurs V j = a ij e i. On a, si ϕ est une forme n-linéaire alternée : i=1 nx nx nx ϕ(v 1,..., V n) = ϕ( a i1 e i, a i2 e i,..., a in e i ) = i=1 i=1 rapport à chacune des variables. i=1 X σ: [1,n ] [1,n ] a σ(1)1... a σ(n)n ϕ(e σ(1),..., e σ(n) ) en utilisant la n-linéarité de ϕ par On ne garde dans la somme de droite que les termes pour lesquels σ(1),..., σ(n) prennent des valeurs distinctes, les autres valeurs de ϕ(e σ(1),..., e σ(n) ) étant nulles car ϕ est alternée. σ est donc une permutation de [[1, n]]. Les termes restant peuvent s exprimer en fonction de ϕ(e 1,..., e n). On arrive à : ϕ(v 1,..., V n) = X Théorème 1 a σ(1)1... a σ(n)n ϕ(e σ(1),..., e σ(n) ) = X ɛ(σ)a σ(1)1... a σ(n)n ϕ(e 1,..., e n). Soit E un espace vectoriel rapporté à une base (e 1,..., e n ). Il existe une et une seule forme ϕ 0 n-linéaire alternée sur E telle ϕ 0 (e 1,..., e n ) = 1. (V 1,..., V n ) e n ϕ 0 (V 1,..., V n ) = n ɛ(σ)a σ(1)1... a σ(n)n où V j = a ij e i. i=1 De plus, toute forme ϕ n-linéaire alternée est proportionnelle à ϕ 0, le coefficient de proportionalité étant ϕ(e 1,..., e n ). Posons ϕ 0 (V 1,..., V n) = X nx a ij e i. ɛ(σ)a σ(1)1..., a σ(n)n si V j = i=1 D après les calculs du théoréme précédent, toute forme ϕ n-linéaire sur E vérifie : (V 1,..., V n) E n ϕ(v 1,..., V n) = ϕ(e 1,..., e n)ϕ 0 (V 1,..., V n). Donc, si ϕ(e 1,..., e n) = 1, ϕ = ϕ 0. On a donc bien unicité. On peut vérifier que cette expression est effectivement n-linéaire alternée. (a) L expression de ϕ 0 prouve que c est une forme n-linéaire. (b) Voici comment on peut montrer qu elle est alternée : ϕ 0 (V 1,..., V i 1, V j, V i+1,..., V j 1, V i, V j+1,..., V n) se calcule en intervertissant les vecteurs V i et V j. On calcule la somme de termes de la forme ɛ(σ)a σ(1)1... a σ(i)j... a σ(j)i... a σ(n)n Les numéros de ligne sont les mêmes, mais on a permuté les numéros de colonnes i et j. Posons τ la transposition échangeant i et j. Le terme en question s écrit, en permutant les deux termes a σ(i)j et a σ(j)i : ɛ(σ)a σ(τ(1))1... a σ(τ(i))i... a σ(τ(j))j... a σ(τ(n))n ou encore ɛ(στ)a σ(τ(1))1... a σ(τ(i))i... a σ(τ(j))j... a σ(τ(n))n car ɛ(τ) = 1. La somme est prise pour toute les valeurs de l indice σ parcourant le groupe symétrique. Mais si l on change d indice, en prenant cette fois σ τ, σ τ décrit également le groupe symétrique, et l on reconnaît alors le déterminant initial, précédé du signe. ϕ 0 est bien une forme alternée. Vérifions que ϕ 0 (e 1,..., e n) = 1. ϕ 0 (e 1,..., e n) = X nx j 1 si i = j ɛ(σ)δ σ(1)1..., δ σ(n)n si e j = δ ij e i. Donc, δ ij = 0 sinon i=1 Si σ Id, il existe i tel que σ(i) i et donc δ σ(1)1..., δ σ(n)n = 0 car δ σ(i)i = 0. D où ϕ 0 (e 1,..., e n) = ɛ(id)δ Id(1)1..., δ Id(n)n = 1 3 / 8

4 Proposition 5 On note A n K (E) l ensemble des formes n-linéaires alternées sur E. C est un sous-espace vectoriel de l ensemble des fonctions de E n dans K de dimension 1. On utilise la caractérisation des sous-espaces vectoriels. Le fait que la dimension de A n K (E) vaut 1 est une conséquence immédiate de la proposition précédente. 2.2 Forme déterminant de n vecteurs relativement à une base de E Définition 3 Soit E un espace vectoriel rapporté à une base B = (e 1,..., e n ). L unique forme n-linéaire alternée sur E prenant comme valeur 1 en le n-uplet (e 1,..., e n ) est appelée forme déterminant dans la base (e 1,..., e n ) et notée det (e1,...,e n) ou det B. Théorème 2 Soit E un espace vectoriel rapporté à une base B = (e 1,..., e n ). Soit (x j ) 1 j n E n tels que j [1, n] x j = n a ij e i. Alors i=1 det B (x 1,..., x n ) = ε(σ)a σ(1)1... a σ(n)n. a 11 a 1j a 1n... Notation : On notera ce scalaire det B (x 1,..., x n ) = a i1 a ij a in.... a n1 a nj a nn C est une conséquence immédiate des notations et du théorème 1. Exemples : expression développée pour n = 2 et n = 3. Proposition 6 Soit E un espace vectoriel rapporté à une base B = (e 1,..., e n ). Soit (x 1,..., x n ) E n. On a les propriétés suivantes : 1. det B est une forme n-linéaire alternée. 2. det (e1,...,e n)(e 1,..., e n ) = 1 3. det B (x σ(1),..., x σ(n) ) = ε(σ) det B (x 1,..., x n ) pour toute permutation σ de [1, n] 4. det B (x 1,..., x j + k j λ k x k,..., x n ) = det B (x 1,..., x j,..., x n ) pour tout (λ k ) k j K n 1 5. (x 1,..., x n ) est une famille libre (donc une base) de E det B (x 1,..., x n ) 0 6. Soient B et B des bases de E. det B (x 1,..., x n ) = det B (B) det B (x 1,..., x n ). En particulier, det B (B) det B (B ) = 1 Les propriétés résultent directement de la définition de det B. Propriété 5 Si (x 1,..., x n) est une famille liée, alors det B (x 1,..., x n) = 0 d après la proposition 2. Si (x 1,..., x n) est une famille libre de E, c est une base B de E du fait de la dimension de E. Comme A n K (E) admet pour base det B, il existe un scalaire λ tel que det B = λ det B. Or det B (x 1,..., x n) = 1 car B = (x 1,..., x n). Donc, λ det B (x 1,..., x n) = 1 et det B (x 1,..., x n) 0. Propriété 6 det B et det B sont deux formes n-linéaires alternées non nulles sur E. Comme la dimension de A n K (E) vaut 1, il existe un scalaire λ tel que det B = λ det B. Donc det B (B) = λ det B (B) = λ car det B (B) = 1. On a donc (x 1,..., x n) E n det B (x 1,..., x n) = det B (B) det B (x 1,..., x n). 4 / 8 determinantbis.tex

5 3 Déterminant d un endomorphisme Proposition 7 Soit E un espace vectoriel rapporté à une base B = (e 1,..., e n ). Soit u L (E). Le scalaire det B (u(e 1 ),..., u(e n )) est indépendant de la base B choisie. Définition 4 Le scalaire défini dans la proposition précédente est appelé déterminant de l endomorphisme u et noté det u. Soient B = (e 1,..., e n) et B = (e 1,..., e n ) deux bases de E. On définit l application g de En dans K par la relation g(x 1,..., x n) = det B (u(x 1 ),..., u(x n)) pour tout n-uplet (x 1,..., x n) de E n. g est une forme n-linéaire alternée sur E. Donc il existe un scalaire λ tel que (x 1,..., x n) E n g(x 1,..., x n) = λ det B (x 1,..., x n) où λ = g(e 1,..., e n). det B (u(e 1 ),..., u(e n)) = det B (B) det B (u(e 1 ),..., u(e n)) d après la propriété 6 précédente. D où det B (u(e 1 ),..., u(e n )) = det B (B)g(e 1,..., e n ) = det B (e 1,..., e n) g(e 1,..., e n) det B (e 1,..., e n ) Donc det B (u(e 1 ),..., u(e n )) = det B(u(e 1 ),..., u(e n)) Proposition 8 = g(e 1,..., e n) car det B (B) det B (B ) = 1. Soit E un espace vectoriel rapporté à une base B = (e 1,..., e n ). Soient u L(E) et v L (E). On a les propriétés suivantes : 1. det B (u(x 1 ),..., u(x n )) = det u det B (x 1,..., x n ) pour tout (x 1,..., x n ) E n 2. det(u v) = det u det v 3. u bijectif det u 0. De plus, det u 1 det u = 1 4. det(λu) = λ n det u pour tout scalaire λ propriété 1. Soit (x 1,..., x n) E n. Au cours de la démonstration précédente, on a prouvé que det B (u(x 1 ),..., u(x n)) = det B (u(e 1 ),..., u(e n)) det B (x 1,..., x n). D où le résultat cherché. propriété 2. det(u v) = det B (u v(e 1 ),..., u v(e n)) = det u det B (v(e 1 ),..., v(e n)) d après la propriété 1. Donc det(u v) = det u det v det B (e 1,..., e n) = det u det v propriété 3. u bijectif (u(e 1 ),..., u(e n)) est une base de E det B (u(e 1 ),..., u(e n)) 0 det u 0. De plus, d après la propriété 2, det u det u 1 = det u u 1 = det Id E = det B (Id E (e 1 ),..., Id E (e n)) = det B (e 1,..., e n) = 1. propriété 4. immédiat d après la définition 4 Déterminant d une matrice carrée Définition 5 Soit A M n (K). On définit le déterminant de A, noté det A comme étant le déterminant dans la base canonique de K n des vecteurs colonnes de A. Proposition 9 Si A = (a ij ) 1 i,j n, alors det A = Proposition 10 ε(σ)a σ(1)1... a σ(n)n Soit u L (E) dont la matrice dans une base B de E est A. Alors det u = det A Notons a ij ) le coefficient ligne i colonne j de la matrice A. Dans la base B = (e 1,..., e n), les coordonnées du vecteur u(e j ) sont (a 1j,..., a nj ). En utilisant la formule du théorème 2, det u = det B (u(e 1 ),..., u(e n)) = X ε(σ)a σ(1)1... a σ(n)n = det A 5 / 8

6 Proposition 11 Soient A et B des matrices de M n (K) et soit λ K. On a les propriétés suivantes : 1. det A dépend linéairement de chaque colonne 2. det(λa) = λ n deta 3. det A ne change pas si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes 4. det A 0 A inversible les vecteurs colonnes de A sont linéairement indépendants 5. det A est changé en son opposé si on échange deux colonnes 6. det AB = det A det B 7. Si A est inversible, det A 1 = (det A) 1 8. det A = det t A 9. det A dépend linéairement de chaque ligne 10. det A ne change pas si on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes 11. det A est changé en son opposé si on échange deux lignes 12. det A 0 les vecteurs lignes de A sont linéairement indépendants Les propriétés sont des conséquences immédiates de la définition de det A Propriété 6 Soient ϕ L (K n ) et ψ L (K n ) tels que A = mat(ϕ, B) et B = mat(ψ, B) où B est la base canonique de K n. AB = mat(ϕ ψ, B) et det AB = det ϕ ψ = det ϕ det ψ = det A det B Propriété 7 Conséquence immédiate de la propriété précédente et de det I n = det Id K n = 1 Propriété 8 Soit A = (a ij ) 1 i,j n. det A = X X ε(σ)a σ(1)1... a σ(n)n et det t A = ε(σ)a 1σ(1)... a nσ(n). Or l application σ σ 1 définit une bijection de S n dans lui-même. On peut donc effectuer le changement d indices suivant : det t A = X ε(σ 1 )a 1σ 1 (1)... a nσ 1 (n). On sait que ε(σ) = ε(σ 1 ) et a 1σ 1 (1)... a nσ 1 (n) = a σ(1)1... a σ(n)n car ce sont les mêmes scalaires mais écrits dans un ordre différents. donc det t A = X ε(σ)a σ(1)1... a σ(n)n = det A. Les autres propriétés sont alors des conséquences directes des propriétés déjà démontrées. Attention det(a + B) det A + det B par exemple pour A = B = I n. 5 Développement d un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne 5.1 Cofacteur, comatrice Définition 6 Soit A = (a ij ) 1 i,j n M n (K). On appelle mineur d indice (i, j),noté m ij, le déterminant de la matrice extraite de A en supprimant la ième ligne et la jème colonne de A. On appelle cofacteur du coefficient a ij de la matrice A le réel noté ij défini par ij = ( 1) i+j m ij. On appelle comatrice de A la matrice notée com(a) dont le coefficient ligne i colonne j est ij. 5.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne Théorème 3 Avec les notations précédentes, det A = n a ik ik = n a kj kj k=1 k=1 Lorsqu on utilise la première formule, on dit que l on développe le déterminant par rapport à la ième ligne ; la seconde formule correspond au développement par rapport à la jème colonne. Démonstration faite en cours 6 / 8 determinantbis.tex

7 5.3 Application : déterminant des matrices triangulaires Proposition 12 Le déterminant ( ) d une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients de sa diagonale A B det = det A det C 0 C Démonstration faite en cours 5.4 Inverse d une matrice inversible Proposition 13 Soit A M n (K). On a la relation suivante : A t com(a) = t com(a) A = det A I n Démonstration faite en cours Corollaire Si A est une matrice inversible, A 1 = 1 det A t com(a) Si A est inversible, det A 0 et on utilise la formule de la proposition 12 Exemple Donner (et retenir!) l expression de l inverse d une matrice inversible pour n = 2. 6 Applications 6.1 Système linéaire et résolution d un système de Cramer Notations On considère un système linéaire de la forme a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2 (S). a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n où les coefficients (a ij ) 1 i n,1 j p et (b i ) 1 i n sont des éléments de K ; x 1, x 2,..., x p étant les inconnues. La matrice A = (a ij ) 1 i n,1 j p est la matrice du système. Le rang de A est le rang du système. Un système est dit compatible s il admet des solutions. Interprétation matricielle de (S) : AX = B où X et B sont des matrices unicolonnes de cooefficients respectifs (x i ) 1 i n et (b i ) 1 i n. Ce système est dit de Cramer ssi n = p et A inversible. Proposition 14 Un système de Cramer admet une et une seule solution. Cette solution unique (x 1,..., x n ) est donnée par les formules de Cramer : j [1, n] x j = D j det A où D j est le détermimant de la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par la colonne B. Comme A est inversible AX = B X = A 1 B. (S) admet donc une et une seule solution. P En notant C j le jème vecteur colonne de A, on peut écrire B = n x k C k. k=0 Donc D j = det(c 1,..., x j + P x k C k,..., C n). En utilisant la linéarité par rapport à la jème variable et le fait que le déterminant est une k j forme alternée, on trouve que D j = x j det(c 1,..., C n) = x j det A. 7 / 8

8 6.2 Orientation d un espace vectoriel réel Soit B et B deux bases d un R-espace vectoriel E. det B (B ) et det B (B) sont non nuls et inverses l un de l autre ; ils sont donc de même signe. Si det B (B ) > 0 alors on dit que les bases B et B ont la même orientation. Dans le cas contraire, on dit que les bases B et B sont d orientations opposées. Choisir une orientation pour le R-espace vectoriel E, c est choisir une base de référence, par exemple B. On dit alors que la base B est une base directe si det B (B ) > 0. Lorsque det B (B ) < 0, on dit que la base B est une base indirecte. En pratique dans R n, on choisit toujours l orientation de la base canonique. Mais ce choix est purement arbitraire. Si D est une droite de l espace orienté R n dirigée et orientée par un vecteur directeur n et si H est un supplémentaire de D, une base (e 1,..., e n 1 ) de H sera dite directe si la base (e 1,..., e n 1, n) est une base directe de E. On peut ainsi orienter l hyperplanh. Ceci sert par exemple pour définir les rotations vectorielles dans R 3. Remarque Soit B = (e 1,..., e n ) une base directe de R n et σ une permutation de [1, n]. (e σ(1),..., e σ(n) ) est une base directe de R n ε(σ) = 1 7 Rappels de première année 7.1 Géométrie plane Soit le plan muni d un repère orthonormé direct (O; ı, j). Soient u et v des vecteurs de ce plan. det B ( u, v) ne dépend pas de la base orthonormée B choisie ; on note alors ce réel Det( u, v), appelé aussi produit mixte des vecteurs u et v. Det( u, v) représente l aire d un parallélogramme ABCD tel que AB = u et AD = v. La distance d un point M à la droite passant par A de vecteur directeur v est Det( AM, v) v Dans un repère quelconque du plan, trois points A, B, C sont alignés Det( AB, AC) = 0. Dans un repère quelconque du plan, si u est un vecteur non nul fixé et A un point fixé, une équation cartésienne de la droite passant par A et de vecteur directeur u est Det( u, AM) = Géométrie dans l espace Soit l espace muni d une base orthonormée directe (O; ı, j, ). Soient u, v et w des vecteurs de cet espace. det B ( u, v, w) ne dépend pas de la base orthonormée choisie ; on note alors ce réel Det( u, v, w), appelé aussi produit mixte des trois vecteurs. Det( u, v, w) = ( u v) w Det( u, v, w) représente le volume d un parallélépipède construit sur les trois vecteurs u, v et w. Le volume du tétraèdre ABCD est donné par 1 3 Det( AB, AC, AD) La distance d un point M au plan passant par A dirigé par v et w est Det( AM, v, w) v w Dans un repère quelconque de l espace, quatre points A, B, C, D sont coplanaires Det( AB, AC, AD) = 0. Dans un repère quelconque de l espace, une équation cartésienne du plan passant par A de vecteurs directeurs u et v est Det( u, v, AM) = 0. 8 / 8 determinantbis.tex