147 exercices de mathématiques pour Terminale S

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1 5 décembre exercices de mathématiques pour Terminale S Stéphane PASQUET

2 Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 I Continuité & dérivabilité I. Calculs élémentaires en I. En + avec des formes indéterminées I.3 En un nombre fini avec des formes indéterminées I.4 Règle de l Hôpital I.5 Fonctionf : x x x x I.6 Fonctionsf : x x + x et g : x x I.7 Prolongement par continuité def : x x 4 x en x I.8 Prolongement par continuité def : x +x+ en x 3 I.9 Étude de la fonctionf : x x x x I.0 Approximation d un angle par la longueur d un segment II Fonction exponentielle II. Produits, quotients et puissances II. Simplification d expressions II.3 Équations II.4 Équations avec changement de variable II.5 Inéquations II.6 Inéquations avec changement de variable II.7 Fonctionf : x e x (x + )e x II.8 Courbe de Gauss II.9 Fonctionf : x e x x II.0 Fonctionf : x xe x II. Fonctionf k : x ln (e x + kx) x II. Fonctionf : x (x ) ( e x ) II.3 Fonctionf(x) = (x + )e x II.4 Fonction f : x ex e x e x +e x III Logarithme népérien III. Simplification d écritures III. Équations III.3 Inéquations III.4 Limites III.5 Limites x + ii

3 ln x III.6 Démonstration de cours : lim x + x III.7 Calculs de dérivées III.8 Fonctionf : x ln(x +) sans consignes x + III.9 Fonctionf : x ln ( ) x III.0 Fonctionf : x (x + ) ln(x x + ) III. Comparaison de π e et e π III. Concentration de bactéries dans le corps III.3 Fonction f : x (x + ) ln x x III.4 Fonctionf : x avec intégrale à la fin ln x x[(ln x) +] III.5 Équation e x ln x = IV Suites IV. Suite définie par u n+ = u n + n IV. Suite définie par u n+ = u n IV.3 Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = x+ x IV.4 Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = x+6 x IV.5 Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = 4x 4x IV.6 Suite définie par u n+ = u n + n n n(n + )(n + ) IV.7 Démonstration par récurrence : k = k= IV.8 Étude générale des suites de la forme u n+ = λu n + P(n) IV.9 Suite définie par u n+ = u n IV.0 Calcul de la limite de n+cos(n) n IV. Suites imbriquées IV. Des suites dans les probabilités IV.3 Étude d une fonction ln et suite extraite IV.4 Étude générale des suites imbriquées IV.5 Suite définie par u n+ = ku n ( u n ) IV.6 Suite (α n ) de solution d équations IV.7 La puce (probabilités et suites) IV.8 Équation e x = x IV.9 Suite de points, suites imbriquées IV.0 Méthode de Newton IV. L escargot de Gardner V Trigonométrie V. Équations trigonométriques V. Équations avec changement de variable V.3 Inéquations avec changement de variable V.4 Inéquations trigonométriques V.5 Calcul de limites V.6 Encadrement de cos x V.7 Étude de la fonction x cos x +sin x V.8 Fonction x cos 3 x cos(3x) V.9 Fonction x sin 3 x cos(3x) V.0 D après un sujet de bac, Nouvelle Calédonie iii

4 VI Probabilités VI. Une histoire de QCM, Amérique du Sud VI. Sacs défectueux, La Réunion VI.3 MP3 défectueux, Polynésie VI.4 Une école à trois classes VI.5 Agence LOCAR VI.6 Urne et variable aléatoire VI.7 Urne et fonction rationnelle VII Nombres complexes VII. Ensemble de points VII. Application complexe f(z) = z +i z+i VII.3 Racines n-ièmes de l unité VII.4 Calcul des valeurs exactes decos π, cos π et cos 4π VII.5 Théorème de Von Aubel VII.6 Point de Vecten VII.7 Théorème de Napoléon VII.8 Équation à coefficients complexes et application VII.9 Construction d un pentagone régulier VII.0 Application z z i z VII. Cocyclicité VII. Application z z z VIII Intégrales VIII. Décomposition en éléments simples de f(x) = x 3 x 5x+6 VIII. Trouver le cercle VIII.3 Volume d un bouchon de pêche VIII.4 Suite et intégrale : I n = e nx 0 dx e x + VIII.5 Intégrale et suite définie par u n = ln(n!) ln(n n ) VIII.6 Suite définie par une intégrale VIII.7 π 0 e nx sin x dx et π VIII.8 φ(x) = x 0 e nx cos x dx ln t dt (+t) 3 VIII.9 Approximation d une aire VIII.0 Intégrale et fonction exponentielle IX Loi uniforme IX. Paradoxe de Bertrand IX. La rencontre IX.3 L aiguille de Buffon X Loi exponentielle X. Polynésie, X. Liban, X.3 Amérique du sud, X.4 Le chauffe-eau (avec loi normale et intervalle de fluctuation) iv

5 XI Géométrie dans l espace XI. Équation paramétrique de droites XI. Intersection de plans XI.3 Droites confondues XI.4 Dans un cube XI.5 Polynésie, XI.6 ROC et équations de plans et droites XII Enseignement de spécialité : arithmétique XII. Critère de divisibilité XII. Avec une somme géométrique XII.3 Divisibilité par et XII.4 Divisibilité par XII.5 Reste de la division euclidienne par XII.6 Critère de divisibilité par 7 sans calculatrice XII.7 Divisibilité par 0 et XII.8 Calcul d un maximum XII.9 Nombres premiers entre eux XII.0 Nombres premiers entre eux XII. Nombre premier XII. Nombres premiers XII.3 3x 8y = XII.4 08x + 55y = XII.5 Trouver le nombre d hommes et de femmes XII.6 Avec la notion de pgcd XII.7 Nombres premiers entre eux XII.8 Avec une équation diophantienne XII.9 Divisibilité XII.0 Divisibilité de a 6 b 6 par XII. Reste d une division par XII. Reste d une division par 7 (bis) XII.3 Reste d une division par XII.4 Reste d une division par 7 (ter) XII.5 Nombre premier et congruences XII.6 Divisibilité et congruences XII.7 PGCD et congruences XII.8 Combo de congruences XII.9 Équationx mod XII.30 Par récurrence XII.3 n + 5n modulo XII.3 Suites et congruences n XII.33 p 3 et pgcd p= XII.34 Théorème des restes chinois XII.35 Le «petit» théorème de Fermat v

6 Règles de navigation Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 Bonjour. J ai souhaité créé ici un document dans lequel il est facile de naviguer. C est la raison pour laquelle : À chaque énoncé d exercices, vous pouvez cliquer sur le numéro de la page où se trouve le corrigé pour vous y rendre directement ; À tout moment, vous pouvez retourner au sommaire en cliquant sur le petit carré qui se trouve devant chaque titre. D autre part, il se peut que quelques erreurs se soient glissées dans les énoncés ou corrections ; si vous avez un doute, n hésitez pas à me contacter via le formulaire qui se trouve sur mon site ( afin d aboutir à un document tendant vers la perfection... Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon travail! Stéphane Pasquet N.B. Ce document n est pas nécessairement complet à l heure actuelle (je pense surtout aux chapitres de spécialité). En fonction de mes cours, je le compléterai au fil du temps. vi

7 Compilation LATEX ε de ce document Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 Ce document repose sur trois extensions personnelles : pas-exos.sty pas-echant.mod.tex pas-algo.sty tous les trois disponibles gratuitement sur la page : de mon site. Il fait aussi appel à tkz-euclide.sty, mais il faut modifier ce fichier afin qu il n y ait pas d erreur de compilation : ouvrez ce fichier sty, puis ajoutez les lignes (si elles ne sont pas déjà écrites) : \input{tkz-obj-angles} \input{tkz-obj-sectors} avant la ligne : \endinput Il a été initialement rédigé sous Ubuntu, mais dernièrement compilé sous Windows 0. Vous aurez besoin de GIAC Xcas pour les calculs sur les échantillonnages, ainsi que Gnuplot pour certains tracés de courbes. Utilisateurs de Windows : vérifiez que C:\xcas\ et C:\Program Files (x86)\gnuplot \ apparaît bien dans le PATH (tapez «invite de commandes» dans la barre de recherche, lancez le terminal, puis tapez «path» et validez. Si ce chemin ne figure pas dans le PATH, tapez «variables d environnement» dans la barre de recherche et sélectionnez «Modifier les variables d environnement système» cliquez ensuite sur le bouton «Variables d environnement» en bas de la fenêtre qui apparaît ; sous «variables système», il y a une fenêtre dans laquelle apparaît une ligne commençant par «Path» : sélectionnez-là puis cliquer sur le bouton «Modifier» ; ajoutez «C :\xcas\ ;C :\Program Files (x86)\gnuplot \» en fin de ligne. Il vous faudra redémarrer le système pour que ce changement soit pris en compte. vii

8 viii

9 Continuité & dérivabilité Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Calculs de limites Exercice. Calculs élémentaires en + R Calculer la limite des fonctions suivantes en +. f(x) = x 3 + 4x 5x + ( 3 h(k) = sin x) Corrigé page 5 g(x) = x + x k(x) = x + sin x Exercice. En + avec des formes indéterminées R Corrigé page 5 Calculer les limites suivantes. x 5x + 3 lim x + 3x + 4x ) lim x + ( x + x + 3 ( 3 lim x + 3 x + ) x + ( 4 lim x + 3 x + ) x + Exercice 3. En un nombre fini avec des formes indéterminées R Calculer les limites suivantes. Corrigé page 7 lim x lim x x x x + x x cos x + 3 x π lim x π 4 lim x x + x

10 Exercice 4. Règle de l Hôpital R Corrigé page 8 Soient f et g deux fonctions définies et dérivables en un nombre réel a telles que f(a) = g(a) = 0 et g (a) 0. f(x) Montrer que x a lim g(x) = f (a) g (a). On pourra considérer le taux d accroissement des fonctions f et g en x = a. Application : calculer lim x 0 cos(5x) cos(3x) sin(4x) sin(3x) Étude générale de fonctions Exercice 5. Fonctionf : x x x + x R On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : Calculer lim x + f(x). f(x) = x x + x. a. Montrer que sa dérivée est définie sur ]0 ; + [ par : f (x) = x + 4 x x ( + x). Corrigé page 9 b. Résoudre l équation : X + 4X = 0, puis en déduire le signe de f (x) ainsi que les variations de f sur [0 ; + [. Dresser alors un tableau de variations complet de la fonction f sur [0 ; + [. On veillera notamment à calculer la valeur de l extremum de f. Exercice 6. Fonctionsf : x x + x et g : x x x + R Corrigé page 0 On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x + x ; g(x) = Montrer que g (x) = (x + ) x +. En déduire le sens de variations de g sur R. Calculer lim g(x) et lim g(x). x x + x x +.

11 3 Montrer que f (x) = g(x). En déduire le signe de f (x) puis les variations de f sur R. 4 Monter que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [0 ; ], puis déterminer une valeur approchée de α à 0 près. Exercice 7. Prolongement par continuité def : x On considère la fonction f définie sur D = ] ; 0[ ]0 ; 4] par : f(x) = La fonction f est-elle continue en 0? La fonction f est-elle continue en? f() = 0 3 Étudier la dérivabilité de la fonction f sur D. x 4 x 4 Interpréter graphiquement les résultats des questions et 3. x 4 x en A Corrigé page Exercice 8. Prolongement par continuité def : x x +x+ x en A Corrigé page 3 On considère la fonction f définie par : x + x + f(x) = x f() = 3 4 si x f est-elle continue en? f est-elle dérivable en? 3 Justifier que f est dérivable pour tout x. Exercice 9. Étude de la fonctionf : x x x x A On considère la fonction f définie sur ] ; [ par : f(x) = x x. x Corrigé page 4 La fonction f est-elle continue en? La fonction f est-elle continue en? 3 La fonction f est-elle dérivable en? 3

12 4 La fonction f est-elle dérivable en? 5 La fonction f est-elle dérivable en? 6 a. Montrer que, sur ] ; [, la dérivée de f s exprime par : f (x) = x3 + 3x ( x ) x. b. En déduire le signe de f (x), puis les variations de f sur ] ; 7 a. Montrer que, sur ] [ ;, la dérivée de f s exprime par : f (x) = x3 3x + ( x ) x. b. En déduire le signe de f (x), puis les variations de f sur ] [ ;. 8 Dresser un tableau de variations complet de f sur ] ; [. Tracer alors la courbe représentative de f en mettant en valeur les tangentes et asymptotes caractéristiques. [. Exercice 0. Approximation d un angle par la longueur d un segment R On se propose ici de trouver une méthode pour donner une valeur approchée d un angle (en degrés) sans le rapporteur. On considère donc un angle géométrique ÂOB, puis un point M sur (OB) tel que OM = 60 mm et un point N sur (OA) tel que OA = 60 mm. On considère alors le point I, projeté orthogonal de O sur (MN). Justifier que OAB est isocèle en O. Montrer que : ( ) π sin 360 α où MN est exprimée en mm. = MN 0, 3 On considère la fonction f définie sur O 0 [ 0 ; π ] par f(x) = x sin x. 0 0 α Corrigé page N 50 I A 60 M B a. Calculer la dérivée f (x) de f(x). [ b. En déduire que sur 0 ; π ], f(x) c. Expliquer alors pourquoi, pour x de commettre une erreur inférieure à. [0 ; π ]. [ 0 ; π ], on peut remplacer sin x par x au risque 4 En déduire que l on peut assimiler α (en degrés) à MN (en mm). Il suffit donc de mesurer MN pour avoir une approximation de α en degrés. 5 À l aide de la formule d Al-Kashi, exprimer l expression de la fonction g qui représente la longueur MN en fonction de α. On pose alors d(α) = g(α) α. 6 Tracer la courbe représentative de d dans un repère orthogonal. Que conclure? 4

13 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. f(x) = x 3 + 4x 5x + = x 3 ( + 4 x 5 x + x 3 ) Or, pour tout entier naturel n non nul, De plus, lim x + lim x + x3 = + donc par produit, g(x) = x + x + 3 x ( + x + 3x ) 3 4 = = x + x + 3 x pour x > 0 Or, pour tout entier naturel n non nul, Donc, par produit, lim x + x = 0 lim sin X = 0 X 0 lim x + x + = + lim x + sin x = 0+ lim g(x) = + x + lim sin x + x = 0 par quotient : lim lim x + x n = 0 donc lim f(x) = + x + x n = 0 donc k(x) = + x + ( lim + 4 x + x 5 x + ) =. x 3 ( lim + x + x + 3 ) =. x Corrigé de l exercice. ( 5 x + 3 ) x x 5x + 3 x 3x + 4x = x ( x x ) = 5 x + 3 x x x pour x > 0 5

14 Or, pour tout entier naturel non nul n, (3 + 4 x ) = 3. x lim x + Ainsi, par quotient, x ( + x ) lim x + x 5x + 3 lim x + 3x + 4x = 3 = 0 donc lim ( 5 xn x + x + 3 ) x = et x + x + 3 = = ( x x + 3 ) x x + x ( x + 3 ) pour x > 0 x = + x ( + 3 ) x Or, pour tout entier naturel non nul n, lim x + x = 0 donc lim n x + ( lim + 3 ) =. x + x x + Par quotient, on a donc lim x + x + 3 = ( x + 3 x + ) ( x x + ) 3 x + 3 x + = x x + = x + 3 (x + ) x x + = x x + lim x + 3 = lim x + = + donc par somme : x + x + ( lim x x + ) = +. x + Ainsi, par quotient, ( lim x + 3 x + ) = 0 x + 4 ( x + 3 x + ) = x ( + 3x ) ( x x + x ) = x + 3 x x x + pour x > 0 x = x + 3 x x + x + x = = et 6

15 Or, lim x + lim x = et lim x x x x + =. x x + = 0 donc par somme : x Ainsi, par produit, ( lim x + 3 x + ) = + x + Corrigé de l exercice 3. x (x )(x + ) = x x (x ) (x + ) = ( ) x = lim(x + ) = x (x ) = 0+ lim x x + x pour x x + = x x Notons que le domaine de définition de la fonction x est ] ; ] ] ; + [ x x donc quand on parle de la limite de en, il est sous-entendu que x >. x x + parf quotient : lim x x = + Or, lim X = + donc lim X + x x + x x = = = x = + x ( x + x )( x + x + ) (x ) ( x + x + ) x + x 4 (x ) ( x + x + ) x + x 6 (x + ) ( x + x + ) On factorise x + x 6 en calculant son discriminant et on arrive à : = = (x )(x + 3) (x + ) ( x + x + ) x + 3 x + x + pour x lim x x + 3 x + x + = = 5 4. Ainsi, lim x x + x x = 5 4 7

16 3 On pose u(x) = cos x. Alors, u (x) = sin x et : cos x + lim x π x π Ainsi, lim x π cos x + x π = 0 4 On pose u(x) = x +. Alors, u (x) = = lim u(x) u(π) x π x π x + et : = u (π) = sin π = 0. lim x x + x = lim x u(x) u() x = u () =. Ainsi, lim x x + x = Corrigé de l exercice 4. On peut écrire : car f(a) = g(a) = 0. Or, lim x a f(x) f(a) x a g(x) g(a) De même, x a lim x a g (a) 0). Ainsi, et donc : f(x) g(x) = f(x) f(a) x a x a g(x) g(a) = f (a) d après la définition du nombre dérivé (vue en classe de re ). = g x a (a) donc x a lim g(x) g(a) = g (a) f(x) f(a) x a lim x a x a g(x) g(a) = f (a) g (a) f(x) lim x a g(x) = f (a) g (a) Posons f(x) = cos(5x) cos(3x) et g(x) = sin(4x) sin(3x). (quotient qui existe car Alors, f (x) = 5 sin(5x) + 3 sin(3x) et g (x) = 4 cos(4x) 3 cos(3x). Ainsi, f (0) = 0 et g (0) =. f et g vérifient toutes les conditions nécessaires pour utiliser la règle de l Hôpital donc : cos(5x) cos(3x) lim x 0 sin(4x) sin(3x) = 0 8

17 Corrigé de l exercice 5. On peut écrire f(x) sous la forme : Or, lim x + ( x ) = + lim x + x = 0 donc lim x + f(x) = x ( x ) ( x x + ) = x x + ( ) x + = Ainsi, par quotient, lim f(x) = + x + a. f est de la forme u v avec : u(x) = x x u (x) = x v(x) = + x v (x) = x D où : f (x) = u v uv (x) ( v ) x ( + x) (x x) x = ( + x) = (4 x ) ( + x) (x x) x( + x) f (x) = 8 x + 4x x x + x x( + x) = x + 8 x x( + x) f (x) = x + 4 x x( + x) en simplifiant par b. Le discriminant du polynôme X + 4X est : = b 4ac = 4 4 ( ) = 0. Les deux racines du polynôme sont donc : 9

18 X = 4 0 = 4 5 = 5 X = = = + 5 D où le tableau de signe suivant : X X + 4X X X f (x) est du signe de x + 4 x, c est-à-dire de X + 4X en posant X = x. Ainsi, X > 0 et x = X ; de plus, d après le tableau de signes précédent, D où le tableau suivant : x + 4 x > 0 x > + 5 x > ( + 5 ) x > x f (x) f f ( ) = ( ) = ( + 5 ) ( + 5 ) = = = Je précise que = + 5 d après les calculs faits précédemment. Corrigé de l exercice 6. g est de la forme u v, avec u(x) = x et v(x) = x +. Ainsi, g = u v uv D où : v, avec u (x) = et v (x) = x x + = x x +. 0

19 g (x) = x + x x + x x + = = g (x) = x + x + ( x +) x x + x + x x + (x + ) x + (x + ) > 0 et x + > 0 donc g (x) > 0 sur R. Ainsi, g est strictement croissante sur R. Notons que la fonction g est impaire car g( x) = g(x) et que son domaine de définition est centré en 0. Donc lim g(x) = lim g(x). x x + On peut écrire : Or, lim x + Par conséquent, x = 0 donc 3 f x (x) = x + x = x + f (x) = g (x) lim x + x g(x) = ( ) x + x x = x + x = pour x > 0. + x + x = =. lim g(x) = et donc lim x + g(x) =. x Nous avons dit que g était strictement croissante sur R et que g(x) < sur R. Par conséquent, g(x) < 0 sur R, donc f (x) < 0 sur R. f est donc strictement décroissante sur R. 4 f(0) = et f() = < 0. lim g(x) =. Donc x + Or, f est strictement décroissante et continue sur [0 ; ]. Donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [0 ; ].

20 On trouve α 0, 58. Corrigé de l exercice 7. Calculons lim x 0 f(x). Pour cela, on écrit : x 4 x + f(x) = 4 x 4 x + = (x ) ( ) 4 x + 4 x 4 = (x ) ( ) 4 x + x [ ( )] lim (x ) 4 x + = 8. x 0 lim( x) = 0, donc lim x 0 x>0 x 0 x>0 f(x) =. lim( x) = 0 +, donc lim f(x) = +. x 0 x<0 x 0 x<0 lim f(x) lim f(x) donc f n est pas continue en 0. x 0 x<0 x 0 x>0 Calculons lim x f(x). lim( x) = x lim (x ) ( ) 4 x + = 0 x Ainsi, f() = lim x f(x). La fonction f est donc continue en 0. lim x f(x) = 0 3 La fonction x x est dérivable sur R. La fonction x 4 x est dérivable partout où 4 x > 0, donc pour x < 4, et s annule pour x = 0. La fonction X est dérivable pour tout X non nul. X Ainsi, f est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0 ; 4[. Dérivabilité en 4. Le taux d accroissement de f en 0 est : τ(h) = f(4 h) f(4) h = h h h = h h h h + h + = h ( h) ( ) h + h 4 Ainsi, lim τ(h) =. La fonction f n est donc pas dérivable en 4. h 0 h>0

21 Dérivabilité en 0. La fonction f n est pas continue en 0, donc elle n est pas dérivable en 0. 4 lim f(x) = ± donc la droite d équation x = 0 est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f (notée C x 0 ). De plus, lim τ(h) = donc C admet une tangente verticale dirigée par le bas en 4. h 0 h>0 Corrigé de l exercice 8. x + x + x + x + + f(x) = x x + x + + x + x = (x ) ( x + x + + ) = = (x )(x + ) (x ) ( x + x + + ) x + x + x + + si x Ainsi, lim x f(x) = 3 4 = f(). Donc, f est continue en. Le taux d accroissement de f en est : Ainsi, f(x) f() τ(x) = x x +x+ 3 x = 4 x = 4 x + x + (3x + 5) 4 x + x + + (3x + 5) 4(x ) 4 x + x + + (3x + 5) = 6x + 6x + 3 9x 30x 5 ( 4(x ) 4 x + x + + (3x + 5) ) = = = 7x 4x + 7 4(x ) ( 4 x + x + + (3x + 5) ) 7(x ) 4(x ) ( 4 x + x + + (3x + 5) ) 7 4 ( 4 x + x + + (3x + 5) ) lim τ(x) = 7 x 6. La limite du taux d accroissement de f en étant une valeur finie, f est dérivable en. f( + h) f() N.B. Je n ai pas pris l expression τ(h) = car les modifications d écriture h étaient plus longues que celles faites ci-dessus. Vous pouvez toujours essayer... 3

22 3 La fonction x x + x + est dérivable pour tout x où le radicant est strictement positif, ce qui est toujours le cas car le discriminant de x + x + est strictement négatif. Ainsi, la fonction x x + x + est dérivable sur R. La fonction X est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [ donc la fonction x X x est dérivable pour x. Par conséquent, la fonction f est dérivable pour x comme produit de deux fonctions dérivables pour x. Corrigé de l exercice 9. Considérons le polynôme P (x) = x x. Son discriminant est : Il a donc deux racines : = 4 ( ) = 9. x = 3 4 = x = = D où le tableau de signes suivant : x P (x) Ainsi, sur ]0 ; [, f(x) = + x x x = (x ) ( x + x + x ( ) x + ( x) + x x = ( ) x + x + x ) Ainsi, lim x f(x) = 0. La fonction f est donc continue en. lim x x x = 4 et lim x = 0 +. x Ainsi, par quotient, lim f(x) = +. x La fonction f n est donc pas continue en. 4

23 3 Le taux d accroissement de la fonction f en est : τ(x) = f(x) f() x (x )(x+ ) x = x = x x lim( x ) = 3 et lim x = 0 + donc, par quotient, lim τ(x) =. x x x Ainsi, f n est pas dérivable en. 4 f n étant pas continue en, elle n est pas dérivable en. 5 Si x <, f(x) = x x x ( (x ) x + ) =. x Ainsi, le taux d accroissement de f en par valeurs inférieures est : D où : τ(x) = f(x) f ( x ( ) (x ) = x lim x x< Si x > + x x, alors f(x) = x τ(x) = ) = 6 3 = (x ) ( x + x ). Donc, le taux d accroissement de f en par valeurs supérieures est : τ(x) = (x ) x et donc lim τ(x) = 6. x 3 x> Ainsi, lim τ(x) lim τ(x). x x x> x< Par conséquent, f n est pas dérivable en. ] 6 a. Sur ; [, P (x) > 0 donc f(x) = x x. x Ainsi, f est de la forme u v, avec : 5

24 u(x) = x x u (x) = 4x v(x) = x v (x) = x x = x x D où : f (x) = u v uv (x) v = (4x ) x x(x x ) x x = (4x )( x ) + x(x x ) ( x ) x f (x) = x3 + 3x ( x ) x b. est une racine évidente du polynôme x 3 + 3x. Ainsi, ce dernier peut se factoriser sous la forme (x )(ax + bx + c). Il faut donc que : x 3 + 3x = (x )(ax + bx + c) x 3 + 3x = ax 3 + bx + cx ax bx c x 3 + 3x = ax 3 + (b a)x + (c b)x c D où a =, c = et donc b =. Ainsi, f (x) = (x )( x x + ) ( x ) x. Le dénominateur de f (x) étant toujours strictement positif sur ] ; [, f (x) est du signe de son numérateur. Le discriminant de x x+ est =, donc ce dernier a deux racines réelles distinctes : x = 3 4 = + 3 et x = 3. x < et x >. D où le tableau suivant : x x x x + f (x) f f ( ) = 7 a. Sur ] [ ;, P (x) < 0 donc f(x) = x + x +. x Ainsi, f est de la forme u v, avec : = = 0 ( ) ( ) ( ) u(x) = x + x + u (x) = 4x + v(x) = x v (x) = x x = x x 6

25 D où : f (x) = u v uv (x) v = ( 4x + ) x x( x +x+) x x = ( 4x + )( x ) + x( x + x + ) ( x ) x f (x) = x3 3x + ( x ) x b. est une racine évidente du polynôme x 3 3x +. Ainsi, ce dernier peut se factoriser sous la forme (x )(ax + bx + c). Il faut donc que : x 3 3x + = (x )(ax + bx + c) D où a =, c = et donc b =. Ainsi, f (x) = (x )(x + x ) ( x ) x. = ax 3 + bx + cx ax bx c = ax 3 + (b a)x + (c b)x c Le dénominateur de f (x) étant toujours strictement positif sur ] ; [, f (x) est du signe de son numérateur. Le discriminant de x +x est =, donc ce dernier a deux racines réelles distinctes : x = 3 = 3 et x = x < et x ] [ ;. D où le tableau suivant : x x x + x f (x) f f (x ) = 5 ( ) Le tableau de variations complet de f est : x f On a alors la courbe suivante : 7

26 0 + 3 Corrigé de l exercice 0. Par construction, OM = ON = 60 mm, donc OAb est isocèle en O. AOM est isocèle en O donc le pied de la hauteur issue de O est le milieu de [MN]. Dans le triangle OIM rectangle en I, on a : soit : ou encore : sin MOI = IM OM, ( ) α sin = MN 60, ( ) α sin = MN 0. [ 3 a. f (x) = cos x. Or, x 0 ; π ] 0 cos x, donc 0 f (x). f (x) est [ donc positive, ce qui implique que f est croissante sur 0 ; π ]. ( ) π f(0) = 0 sin 0 = 0 et f [ 0 ; π ], f(x) Ainsi, sur = π. [0 ; π ]. [ 0 ; π ], la différence entre, soit approximativement 0, 57, ce qui est relativement b. De la question précédente, on peut déduire que pour x x et sin x est inférieure à π peu. [ On peut donc remplacer sin x par x en ne commettant qu une erreur faible si x 0 ; π ]. 4 De la question précédente, on peut écrire : et donc, d après la question : ( ) π sin 360 α π 360 α MN 0. π 360 α 8

27 Or, d où : π 3 α MN. 5 La formule d Al-Kashi nous donne : MN = cos α, soit : g(α) = 60 cos α. 6 La courbe représentative de la fonction d est : α On constate que pour α [0 ; 70], d(α), ce qui signifie que la différence entre α et (g(α)) ne diffère pas plus de. De plus, pour α [70 ; 90], cette différence n excède pas 5, ce qui n est pas énorme. L approximation peut donc être considérée comme satisfaisante. 9

28 Fonction exponentielle Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Propriétés algébriques Exercice. Produits, quotients et puissances A Corrigé page 7 Simplifier les nombres suivants en donnant le résultat sous la forme d une seule exponentielle. e 5 e 3 e 9 e 7 3 ( e ) 3 4 e3 e 4 e 5 e e e 6 (e e ) 3 Exercice. Simplification d expressions A Corrigé page 7 Simplifier les expressions suivantes en donnant le résultat sous la forme d une seule exponentielle. e x e x+3 3 ( e x+ e x ) e3x e 4x 4 ( e x+3 e 3x e 4 ) Équations inéquations Exercice 3. Équations A Résoudre dans R les équations suivantes : Corrigé page 7 e x+ = 0 e x5 +x+ = 3 e x+3 = e x 5 4 e 5x+ = e 3x+ 5 e x = e x +3x 6 5 e 3x+ = e x = e 5x 3 = 3 0

29 Exercice 4. Équations avec changement de variable A Résoudre dans R les équations suivantes : e x e x + = 0 e x + e x = 0 Les équations suivantes nécessitent le logarithme népérien. 3 e x 7e x + 3 = 0 4 6e x + e x = 0 Corrigé page 8 Exercice 5. Inéquations A Résoudre dans R est inéquations suivantes. Corrigé page 9 e 3x > e x+4 e x+5 e 4x+7 3 e x < e 4 4e 5x e x e 47x 5 > 70 Exercice 6. Inéquations avec changement de variable R Résoudre dans R les inéquations suivantes : e x + e x 0 e x e x + 0 Les inéquations suivantes nécessitent le logarithme népérien. 3 6e x + e x 0 4 e x 7e x + 3 < 0 Corrigé page 30 Études de fonctions Certaines questions des exercices suivants font appel à la notion de logarithme népérien. Pour les élèves qui n auraient pas encore abordé cette notion, il suffit d accepter qu il existe une fonction, notée ln, qui vérifie l équivalence suivante : e x = y x = ln y, avec y > 0. Exercice 7. Fonctionf : x e x (x + )e x R Partie A : Démonstration de cours Corrigé page 3 Démontrer que pour tout réel positif ou nul x : e x x. e x En déduire lim x + x.

30 On considère la fonction g définie sur R par : Partie B : Étude d une fonction auxiliaire g(x) = e x x. Déterminer la limite de g en puis en +. Étudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variations. 3 a. Montrer que x = 0 est solution de l équation g(x) = 0. b. Montrer que l équation g(x) = 0 admet une deuxième solution α sur l intervalle ], 6 ;, 5[. On considère la fonction f définie sur R par : Partie C : Étude de la fonction principale f(x) = e x (x + )e x. Déterminer la limite de f en puis en +. Calculer f (x). Déduire de la partie B le signe de f (x) sur R. 3 Montrer que : f(α) = α + α 4 où α est définie dans la partie précédente. En déduire un encadrement de f(α). 4 Dresser un tableau de variations de f. 5 Tracer la courbe C, représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : cm). Exercice 8. Courbe de Gauss A Soit k un réel strictement positif. On définit alors la fonction g k par : Étudier la parité de la fonction g k. g k (x) = e kx. Démontrer que g k est dérivable et donner sa dérivée g k. 3 Étudier le signe de g k(x) puis dresser le tableau de variation de g k. 4 Exprimer g k(x) et résoudre l équation g k(x) = 0. 5 Tracer la courbe de g, g et g. Corrigé page 34 6 Démontrer que, sur R : h g g h g k.

31 7 Dans cette question, k =. Soit α la solution positive de l équation g k(x) = 0. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe g k au point d abscisse α. Tracer (T ). Exercice 9. Fonctionf : x e x x A On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x) = e x x. Tracer la courbe représentative de f sur [0 ; 0] sur votre calculatrice. Conjecturer alors le sens de variation de f sur [0 ; + [. Calculer lim x + f(x). 3 Calculer f (x) puis étudier son signe sur [0 ; + [. Dresser alors le tableau de variations complet de f. La conjecture faite à la question était-elle correcte? Corrigé page 36 Exercice 0. Fonctionf : x xe x A Soit f la fonction définie sur R + par : Calculer lim x + f(x). Déterminer f (x). f(x) = xe x. 3 En déduire les variations de f sur R +. Dresser un tableau de variations complet de f. Corrigé page 37 Exercice. Fonctionf k : x ln (e x + kx) x R Corrigé page 37 Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction f k définie sur [0 ; + [ par : f k (x) = ln (e x + kx) x. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans le plan muni d un repère orthogonal (O ; #» ı, #» j ). En étudiant le sens de variation d une fonction convenablement choisie, démontrer que pour tout réel positif x, ln( + x) x. Calculer f k(x) pour tout réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [ et en déduire le sens de variation de la fonction f k. 3

32 3 Montrer que pour tout réel positif x, En déduire la limite de f k en +. f k (x) = ln 4 a. Dresser le tableau de variations de f k. b. Montrer que pour tout réel positif x, ( + k x e x ). f k (x) k e. 5 Déterminer une équation de la tangente T k à la courbe C k au point O. Exercice. Fonctionf : x (x ) ( e x ) A Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f(x) = (x ) ( e x). Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous. y Corrigé page x a. Étudier la limite de f en +. b. Montrer que la droite d équation y = x est asymptote à C. c. Étudier la position relative de C et. 4

33 a. Calculer f (x) et montrer que f (x) = xe x + ( e x ). b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f (x) > 0. c. Préciser la valeur de f (0) puis donner les variations de f. Exercice 3. Fonctionf(x) = (x + )e x R Corrigé page 39 Soit ϕ la fonction définie sur R par : Partie A : étude d une fonction auxiliaire ϕ(x) = ( x + x + ) e x. a. Déterminer les limites de ϕ en et en +. b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations sur R. Démontrer que l équation ϕ(x) = 0 admet deux solutions dans R, dont l une dans l intervalle [ ; + [, qui sera notée α. Déterminer un encadrement d amplitude 0 3 de α. 3 En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau. Partie B : étude de la position relative de deux courbes Les fonctions f et g sont définies sur R par : f(x) = (x + )e x et g(x) = x + x + x +. Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal (O ; #» ı, #» j ) sont notées respectivement C f et C g et sont représentées ci-dessous : y C g x C f Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; ) et admettent en ce point la même tangente. 5

34 a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(x) g(x) = où ϕ est la fonction étudiée dans la partie A. b. Étudier le signe de f(x) g(x) pour x R. (x + )ϕ(x) x + x + c. En déduire la position relative des courbes C f et C g. Exercice 4. Fonction f : x ex e x e x +e x R On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = ex e x e x + e x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Montrer que f est impaire. Calculer lim x + f(x). 3 Montrer que f (x) = 4 ( ex + e x ). En déduire les variations de f sur R. 4 Déterminer une équation de la tangente à C au point d abscisse 0. Corrigé page 40 6

35 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. e 5 e 3 = e 5+( 3) = e. e 9 e 7 = e 9 7 = e 6. 3 ( e ) 3 = e 3 = e 6. 4 e3 e 4 e = e 3 4 ( ) = e = e. 5 e e e = e + = e. 6 (e e ) 3 = e ( ) 3 = e 9. Corrigé de l exercice. e x e x+3 = e x x+3 = e x+. e3x e 4x = e3x (4x ) = e x+. 3 ( e x+ e x ) = e ( x++x ) = e 0 =. 4 ( e x+3 e 3x ) = e (x+3 3x+) ( ) = e x 5. e 4 Corrigé de l exercice 3. Une exponentielle étant toujours strictement positive, l équation e x+ = 0 n admet aucune solution. S = Une exponentielle étant toujours strictement positive, l équation e x5 +x+ = n admet aucune solution. S = 3 e x+3 = e x 5 x + 3 = x 5 4x = 8 x = L ensemble solution de l équation e x+3 = e x 5 est donc S = { } 4 e 5x+ = e 3x+ 5x + = 3x + x = x = 7

36 { L ensemble solution de l équation e 5x+ = e 3x+ est donc S = } 5 e x = e x +3x x = x + 3x x + 3x = 0 Le discriminant de x + 3x est = = 3 donc il y a deux solutions : Donc S = { 3 3 x = 3 3 ; 3 + } 3 et x = e 3x+ = 3 e 3x+ = e 3x+ = e 3x+ = e 0 3x + = 0 x = 3 L ensemble solution de l équation 5 e 3x+ = 3 est donc S = { } e x = 5 3e x = 3 e x = e x = e 0 x = 0 x = 0 L ensemble solution de l équation + 3e x = 5 est donc S = {0} 8 7 4e 5x 3 = 3 4e 5x 3 = 4 e 5x 3 = e 5x 3 = e 0 5x 3 = 0 x = 3 5 L ensemble solution de l équation 7 4e 5x 3 = 3 est donc S = { 3 } 5 Corrigé de l exercice 4. e x e x + = 0. On pose X = e x. Ainsi, comme e x = ( e x), l équation est équivalente à : X X + = 0 (X ) = 0 X = e x = x = 0. L ensemble solution est donc S = {0} 8

37 e x + e x = 0. On pose X = e x et l équation devient : X + X = 0. Le discriminant du polynôme X + X est = 9 donc il admet deux racines : Ainsi, X = 3 = et X = + 3 e x = et e x =. =. Une exponentielle étant strictement positive, e x = est impossible. e x = x = 0 donc l ensemble solution est S = {0} 3 e x 7e x + 3 = 0 X 7X + 3 = 0 avec X = e x. Le discriminant de X 7X + 3 est = = 5 > 0 donc il admet deux racines : X = 7 5 = 4 = ex x = ln = ln et X = L ensemble solution est donc S = { ln ; ln 3} = 3 = e x x = ln e x + e x = 0 6X + X = 0 avec X = e x. Le discriminant de 6X + X est = 5 donc le polynôme admet deux racines : et X = 5 = = ex impossible car e x > 0 pour tout réel x X = + 5 L ensemble solution est donc S = { ln 3} = 3 = ex x = ln 3 = ln 3. Corrigé de l exercice 5. e 3x > e x+4 3x > x + 4 x > 5. L ensemble solution est donc S = ]5 ; + [ e x+5 e 4x+7 x + 5 4x + 7 6x x 3. L ensemble solution est donc S = [ [ 3 ; + 3 e x < e x < x < 0. x admet pour racines et, et est négatif entre ses racines, donc l ensemble solution de l inéquation est S = ] ; [ 9

38 4 4e 5x+ 8 4e 5x+ 4 e 5x+ e 5x+ e 0 5x + 0 x 5 L ensemble solution est donc S = ] ; ] e x+3 3e x+3 3 e x+3 e x+3 e 0 x x 3 x 3 [ [ 3 L ensemble solution est donc S = ; e 47x 5 > 70 4e 47x 5 > 4 e 47x 5 > 47x 5 > 0 x > 5 47 ] [ 5 L ensemble solution est donc S = 47 ; + Corrigé de l exercice 6. e x + e x 0 X + X 0 avec X = e x (X )(X + ) 0 (voir exercice 4 pour les racines) ( e x )( e x + ) 0 e x 0 car e x + > 0 pour tout réel x e x x 0 L ensemble solution est donc S = [0 ; + [ e x e x + 0 X X + 0 avec X = e x (X ) 0 (X ) = 0 car (X ) est toujours positif ou nul X = e x = x = 0 L ensemble solution est donc S = {0} 30

39 3 6e x + e x 0 6X + X 0 avec X = e x (3X )(X + ) 0 (voir exercice 4 pour les racines) ( 3e x )( e x + ) 0 3e x 0 car e x + > 0 pour tout réel x e x 3 x ln 3 L ensemble solution est donc S = ] ; ln 3] 4 e x 7e x + 3 < 0 X 7X + 3 < 0 avec X = e x (X )(X 3) < 0 (voir exercice 4 pour les racines) ( e x )( e x 3 ) < 0 De plus, e x > 0 e x > et e x 3 > 0 e x > 3, d où le tableau x > ln x > ln 3 page suivante. x e x e x 3 ( e x )( e x 3 ) ln ln L ensemble solution de l inéquation e x 7e x + 3 < 0 est donc S = ] ln ; ln 3[ Corrigé de l exercice 7. Partie A : Démonstration de cours Posons h(x) = e x x. Alors, h est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R ; on a alors h (x) = e x x et h (x) = e x. Or, x 0 donc e x e 0 = donc h (x) 0, ce qui signifie que h est croissante. Or, h (0) = donc h (x) > 0, ce qui implique que h est croissante. Or, h(0) = donc h(x). De l inégalité précédente, on en déduit que pour x > 0, on a : soit en divisant par x : e x + x e x x > x + x. Or, ( lim + ) x x + x = +. Ainsi, par comparaison, on a : e x lim x + x = + 3

40 Partie B : Étude d une fonction auxiliaire On a : lim x ex = 0 ( x ) = + lim x = ( On peut écrire : g(x) = x ex x ). Donc : x lim g(x) = + x lim x + lim x + e x x = + ( ) = x = lim g(x) = + x + g est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R. On a : Ainsi : D où le tableau de variations suivant : g (x) = e x. g (x) > 0 e x > e x > x > ln x ln + g (x) g g ( ln ) = e ln ln = + ln = ln ln 3 a. g(0) = e 0 0 = = 0 donc x = 0 est bien une solution de l équation g(x) = 0. b. g est continue sur ] ; ln [ donc a fortiori sur ], 6 ;, 5[. De plus, g(, 6) 0, 004 > 0 et g(, 5) 0, 054 < 0. Ainsi, d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution (appelée α) à l équation g(x) = 0 sur l intervalle ], 6 ;, 5[. De même, l équation admet une unique solution sur ] ln ; + [, qui est x = 0 d après la question précédente. L équation n admet donc que deux solutions sur R. Partie C : Étude de la fonction principale On peut écrire f(x) sous la forme : f(x) = e x ( x e x e x ). 3

41 Donc : De plus : ( ) x lim = 0 (Partie A) x + e ( x ) lim = 0 x + e x lim x + ex = + lim x ex = 0 lim x (xex ) = 0 = = lim f(x) = + x + lim f(x) = 0 x f est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R, et on a : Ainsi, f (x) est du même signe que g(x). f (x) = e x (e x + (x + )e x ) = e x (x + )e x = e x (e x x ) = e x g(x) 3 On sait que g(α) = 0, c est-à-dire que e α α = 0, soit e α = α +. Ainsi : ( α + f(α) = = α + 4α ) (α + ) α + α + 3α + = α + 4α + 4 α 6α 4 4 = α + α 4 On sait que : Donc :, 6 α, 5, 5 = (, 5) α (, 6) =, 56 et 3, α 3, d où : 0, 95 = 3, +, 5 α + α, 56 3 = 0, 44. En multipliant par 4 chaque membre de cet encadrement, on obtient : 0, f(α) 0,

42 4 On a alors : x f (x) α f f(α) On a : y α f(α) x Corrigé de l exercice 8. x R, g k ( x) = e k( x) = e kx = g k (x). Donc g k est paire. g k est la composée d une fonction polynôme (u : x kx ) et d une fonction exponentielle. Par conséquent, elle est dérivable sur R comme la composée de deux fonctions dérivables sur R. g k(x) = ( e u(x)) = u (x)e u(x) g k(x) = kxe kx 3 x R +, e kx > 0 et kx < 0. Ainsi, g k(x) < 0 sur R +. La fonction g k est donc strictement décroissante sur R +. Par parité, g k est donc croissante sur R. On a lim x + ( kx ) = et lim X ex = 0 donc lim g k(x) = 0. x + 34

43 De plus, g k (0) = e k 0 = e 0 =. On a donc le tableau suivant : x g k(x) g k g k(x) = ke kx kx ( kx)e kx. = ke kx ( kx ) Ainsi : g k(x) = 0 kx = 0 x = k x = k ou x = k (k > 0) 5 Nous avons les courbes suivantes : g g e g (T ) 6 h k k h kx hx car x 0 e kx e hx g k (x) g h (x) car la fonction exponentielle est strictement croissante 7 Une équation de la tangente (T ) à C g au point d abscisse α est : y = g (α)(x α) + g (α) y = e (x ) + e y = e x + e. 35

44 Corrigé de l exercice 9. On a : On peut alors conjecturer que f est croissante sur [0 ; + [. ( ) f(x) = e x x (. lim x + Or, 3 f (x) = x ) =. Par conséquent, lim x + x lim X + ex = + donc : lim f(x) = +. x + ( ) x = x x x ex e x x ( x ) = +. f (x) > 0 x > 0 x > x > 4 x f (x) f(x) e 4 + D où le tableau ci-contre. La conjecture faite à la question n était donc pas correcte. 36

45 Corrigé de l exercice 0. lim x = + et lim x + x + ex = +. Par produit, on déduit que lim f(x) = +. x + f (x) = ( x + ) x e x, soit f (x) = ( ) + x e x. x 3 f (x) > 0 + x > 0 x > d où le tableau suivant : x f (x) f(x) Corrigé de l exercice. Posons ϕ : x ln( + x) x. Alors, ϕ (x) = + x = x < 0 sur [0 ; + [. + x Par conséquent, ϕ est décroissante sur [0 ; + [. Or, ϕ(0) = 0 donc ϕ(x) 0 sur [0 ; + [. On en déduit donc que pour tout réel x positif, ln( + x) x 0, soit ln( + x) x. f k(x) = ex + k e x + kx = k kx e x + kx e x + kx > 0 pour x > 0. = k( x) e x + kx. Ainsi, f k (x) 0 x 0 x. Donc f k est croissante sur [0 ; ] et décroissante sur [ ; + [. 3 f k (x) = ln (e x + kx) x = ln [e ( x + k x )] x e x = ln e x + ln ( + k x ) x e x = x + ln ( + k x ) x e x f k (x) = ln ( + k x ). e x e x D après le cours, lim x + x Ainsi, lim f k(x) = ln = 0. x + = + donc lim x + x e x = 0. 37

46 4 a. On a le tableau suivant : x f k(x) f k ln(e + k) b. D après la question précédente, f k (x) ln(e + k). Or, 0 f k (0) = ln(e 0 + k 0) 0 = ln = 0 [ ( ln(e + k) = ln e + k )] e ( = ln e + ln + k ) e ( = ln + k ) e k e d après la question car k e > 0 Ainsi, f k (x) k e. 5 Une équation de la tangente à C k au point d abscisse a est : y = f k(a)(x a) + f k (a). Donc, au point O (a = 0), on a : y = f k(0)(x 0) + f k (0) y = kx Corrigé de l exercice. a. lim (x ) = + x + lim x + e x = 0 donc lim x + e x ) = Ainsi, par produit, lim f(x) = +. x + b. f(x) = x + xe x + e x donc f(x) (x ) = x e + x e x. x Or, lim = 0 (cours) et x + e lim x x + e x = 0 donc lim [f(x) (x )] = 0, ce qui x + signifie que la droite d équation y = x est asymptote à C en +. c. f(x) (x ) = ( x)e x > 0 si x > 0, soit x <. Ainsi, C est au-dessus de sur [0 ; ] et au-dessous sur [ ; + [. 38

47 a. f est de la forme uv avec u(x) = x et v(x) = e x. Ainsi, f = u v + uv avec u (x) = et v (x) = e x. D où : f (x) = e x + (x )e x = e x + xe x e x f (x) = xe x + ( e x b. Si x > 0, alors e x > et e x > 0. De plus, xe x > 0 donc, par somme de termes positifs, f (x) > 0. c. f (0) = 0. De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [0 ; + [. Corrigé de l exercice 3. Partie A : étude d une fonction auxiliaire a. ϕ(x) = x e + x x e + x e. x x n Or, lim = 0, avec n N. x + ex Par conséquent, lim ϕ(x) =. x + De plus, Par produit, ( lim x + x + ) = + et lim x x e x = +. ϕ(x) = +. lim x b. ϕ (x) = x( x)e x d où le tableau de variations suivant : x ϕ (x) ϕ(x) e D après le tableau ci-dessus, «0» est une solution à l équation ϕ(x) = 0. Celle-ci n admet pas de solution sur ] ; [ puisque 0 est un minimum sur cet intervalle. f() 0, > 0 et ϕ(x) < 0. De plus, ϕ est continue et strictement décroissante lim x + sur ] ; + [ donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α sur ] ; + [. On trouve, 793 α, x ϕ(x) 0 α

48 Partie B : étude de la position relative de deux courbes f(0) = et g(0) = donc les deux courbes passent par A(0 ; ). De plus, f (x) = ( x)e x et g (x) = x x + (x + x + ) donc f (0) = et g (0) = ; ainsi, les deux courbes ont la même tangente en A. a. f(x) g(x) = (x + )e x x + x + x + ( (x + x + )e x ) = (x + ) x + x + f(x) g(x) = b. x ϕ(x) x + f(x) g(x) (x + )ϕ(x) x + x + 0 α ] [ ; α, donc que C f est c. De ce dernier tableau, on déduit que f(x) > g(x) sur au-dessus de C g sur cet intervalle. Corrigé de l exercice 4. Le domaine de définition de f est centré en 0. De plus, pour tout réel x, f( x) = e x e x e x + e = e x x ex = f(x). e x + e x f est donc impaire. ( ) f(x) = ex e x ( ) = e x e x + e x + e. x lim ( x) = x + lim X ex = 0 lim f(x) =. x + 3 f est de la forme u v avec u(x) = ex e x et v(x) = e x + e x. Ainsi, f = u v uv v avec u (x) = e x + e x = v(x) et v (x) = e x e x = u(x). 40

49 On a alors : [ v(x) ] [ u(x) ] f (x) = [ v(x) ] [ v(x) u(x) ][ v(x) + u(x) ] = [ v(x) ] f (x) = = e x e x ( ex + e x ) 4 ( ex + e x ) Ainsi, f (x) > 0 sur R, ce qui signifie que f est strictement croissante sur R. 4 f 4 (0) = = et f(0) = 0 donc l équation réduite de la tangente à la courbe ( + ) représentative de f au point d abscisse 0 est y = x. 4

50 Logarithme népérien Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Opérations algébriques Exercice. Simplification d écritures A Simplifiez au maximum : Corrigé page 49 ln 8 ln ln 6 + ln 3 4 ln 50 + ln ln ln 4 ln 56 7 ln e x 8 ln e x 4 ln e x+4 3 ln 5 ln 30 + ln 0 6 ln ln 6 + ln ln ex+ ln e x Exercice. Équations A Résoudre les équations suivantes : Corrigé page 49 ln(3x 4) = ln(x + ) ln(4 x) = ln(x ) 3 ln(x + x + ) = ln(x x + ) 4 ln(x 0x + 8) = ln(3x 3x 8) 5 (ln x) 3 ln x + = 0 6 (ln x) 5 ln x 3 = 0 Exercice 3. Inéquations A Résoudre les inéquations suivantes : Corrigé page 5 ln(5x + 0) > ln(3x 9) ln(8 x) ln(5x 5) 3 ln(x + ) < ln(x + x + ) 4 ln(x 3x + ) > ln( 5x + 8x 3) 5 ln(x 5x 4) ln(x 0x + 8) 6 ln(x + x 6) > ln( x + 4x + 6) 4

51 Calculs de limites Exercice 4. Limites R Pour cet exercice, il ne faudra pas hésiter à prendre des initiatives. On considère la fonction f définie sur R par : Calculer lim x 0 f(x). Calculer lim x + f(x). f(x) = x x ln ( x + ). Corrigé page 53 Indice : on pourra démontrer que, pour tout réel x positif, ln( + x) x en étudiant la fonction g(x) = ln( + x) x. Cela pourra nous servir dans notre raisonnement. 3 Calculer lim x f(x). Exercice 5. Limites A Corrigé page 54 Calculer les limites suivantes : ( ) ln x lim. x x ( ln (x ) x + ) lim. x (x ) ln ( ) 3 lim x x + ( ln + ). x ( ) ln ( + x) 4 lim x 0. x + ln x Exercice 6. Démonstration de cours : lim x + x R Corrigé page 56 On considère la fonction f définie par : Étudier les variations de f sur [ ; + [. En déduire que pour x, 0 ln x < x. f(x) = ln x x. 3 Déduire alors que pour x, 0 ln x x <. x ( ) ln x 4 Calculer alors lim. x + x 43

52 Dérivation & étude de fonctions Exercice 7. Calculs de dérivées A Calculer la dérivée des fonctions suivantes : Corrigé page 57 f (x) = x ln x x f (x) = ln x x 3 f 3 (x) = ln (x ) 4 f 4 (x) = ln x + 5 f 5 (x) = ln (x + ) x + 6 f 6 (x) = ln (ln x) Exercice 8. Fonctionf : x ln(x +) x + sans consignes R Étudier la fonction f définie sur R par : f(x) = ln (x + ) x +. Corrigé page 57 Exercice 9. Fonctionf : x ln ( + x ) A Corrigé page 58 On considère la fonction f définie par : ( f(x) = ln + ). x Déterminer son domaine de définition. Calculer f (x) puis déterminer le sens de variation de f sur son domaine de définition. 3 Déterminer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition. Dresser un tableau de variations complet de la fonction f. Exercice 0. Fonctionf : x (x + ) ln(x x + ) A On considère la fonction f définie par : f(x) = (x ) ln ( x x + ). Donner le domaine de définition de f. On le notera D. Calculer les limites de f aux bornes de D. 3 Calculer f (x). 4 Trouver le signe de f (x) sur D, puis en déduire les variations de f sur D. Dresser un tableau de variations complet de f. Corrigé page 58 44

53 Exercice. Comparaison de π e et e π A On considère la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par : Calculer lim x 0 f(x). Calculer lim x + f(x). f(x) = e ln x x. Corrigé page 60 3 Calculer f (x) et étudier les variations de f. Dresser un tableau de variations de f. 4 Comparer alors les nombres π e et e π. Exercice. Concentration de bactéries dans le corps R Corrigé page 6 Lorsque l on prend des antibiotiques, la concentration de bactéries présentes dans le corps d une personne malade diminue avec le temps en suivant le modèle d une fonction f définie, pour 0 t 6, par : f(t) = ae kt + b, a, b, k étant trois réels, a 0, où t désigne le temps (exprimé en jour) et où f(t) représente le taux de bactéries restantes. Ainsi, f(0) =. On suppose que la totalité des bactéries sont éliminées après 6 jours. Donc f(6) = 0. Montrer que f(t) = ae 6 ln( a)t + a. On sait que 50 % des bactéries disparaissent au bout de deux jours. En déduire que ae 3 ln( a) + a = 0. Pour tout nombre réel x >, on pose : 3 Montrer que g (x) = g(x) = xe 3 ln( x) x +. ( + ) e 3 ln( x). 3x 3 4 a. Calculer lim x + g (x). b. On admet que g (x) = 9x(x ) e 3 ln( x). En déduire les variations de la fonction g puis celles de la fonction g sur ] ; + [. 5 Montrer alors que l équation g(x) = 0 admet une unique solution, notée α, sur ], 3 ;, 4[. On admet que α,

54 Exercice 3. Fonction f : x (x + ) ln x x R Partie A : Étude d une fonction auxiliaire On considère la fonction h définie sur ]0 ; + [ par : h(x) = ln x + x x + x. Montrer que sa dérivée est : h (x) = x + x x 3. Étudier le signe de h (x) sur ]0 ; + [. Corrigé page 63 3 Dresser un tableau de variation de h sur ]0 ; + [. En déduire le signe de h(x) sur ]0 ; + [. Partie B : Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = ( x + ) ln x x. Calculer sa dérivée puis montrer l équivalence suivante : En déduire les variations de f sur ]0 ; + [. 3 a. Déterminer lim x 0 f(x). b. Déterminer lim x + f(x). f (x) > 0 h(x) > 0. c. Dresser un tableau de variation complet de la fonction f sur ]0 ; + [. 4 a. Montrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution, que l on notera α, sur ]0 ; + [. b. Montrer que α appartient à l intervalle ] ; [. c. Donner une valeur approchée de α à 0 près. 46

55 Exercice 4. Fonctionf : x Soit le polynôme P (x) = x 3 + x + x. ln x x[(ln x) +] avec intégrale à la fin R Partie A Déterminer P (x), puis en déduire les variations de P sur R. Montrer que l équation P (x) = 0 admet une unique solution, notée α, sur 3 En déduire le signe de P (x) sur R. Partie B On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = ln x x [ (ln x) + ]. Montrer que la dérivée de f est f (x) = (ln x)3 + (ln x) + ln x x [ (ln x) + ]. À l aide de la partie A, montrer que f (x) est négatif sur ]e α ; + [. 3 Calculer lim f(x) et lim f(x). x 0 x + Corrigé page 65 ] ; [. 4 Dresser un tableau de variation complet de la fonction f sur ]0 ; + [ (on ne calculera pas f(α)). ln x x 5 En remarquant que f(x) = (ln x), déterminer une expression en fonction du réel t + supérieur ou égal à de l intégrale : I(t) = t f(x) dx. 6 Déterminer la valeur exacte puis approchée à 0,0 près de t tel que I(t) =. Exercice 5. Équation e x ln x = 0 A Corrigé page 66 On considère la fonction définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = e x ln x et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ). a. Étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; + [ par : g(x) = xe x. 47

56 b. En déduire qu il existe un réel positif unique α tel que : αe α =. Donner un encadrement de α d amplitude 0 3. c. Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0 ; + [. b. Calculer la fonction dérivée f de f et étudier son signe sur ]0 ; + [ en utilisant la question. Dresser le tableau de variations de f. c. Montrer que f admet un minimum m égal à α +. Justifier que :, 3 m, 34. α 3 Donner une équation de la tangente T à C en son point d abscisse. Déterminer le point d intersection de T et de l axe des abscisses. 4 Tracer C et T. 48

57 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. ( 8 ln 8 ln = ln = ln 4 (que l on peut aussi mettre sous la forme ln ). ) ln 6 + ln 3 = ln(6 3) = ln 8. ( ) 5 3 ln 5 ln 30 + ln 0 = ln 30 0 = ln 5 3. ( ) 50 4 ln 50 + ln ln 0 = ln = ln ln 4 ln 56 = 3 ln ( ) ln ( 8) = 6 ln 8 ln = ln. 6 ln ln 6 + ln 8 = ln ln 4 + ln 7 = ln 4 ln + 7 ln = 5 ln. 7 ln e x = x. 8 ln e x 4 ln e x+4 = x 4 (x + 4) = ln ex+ 3(x + ) = ln e x ( x) = 3x + 3 x. Corrigé de l exercice. ln(3x 4) = ln(x + ). Domaine de définition : il faut que 3x 4 > 0 x + > 0, soit x > 4 3 x >, donc que x > 4 3. Résolution : ln(3x 4) = ln(x + ) 3x 4 = x + x = 5. 5 > 4 3 donc l ensemble solution est S = {5} 49

58 ln(4 x) = ln(x ). 4 x > 0 x < Domaine de définition : il faut que, soit, donc que x > 0 x > < x <. Résolution : ln(4 x) = ln(x ) 4 x = x 5 = 3x x = 5 3. < 5 { } 5 3 < donc l ensemble solution de l équation est S = 3 3 ln(x + x + ) = ln(x x + ). x + x + > 0 Domaine de définition : il faut que x x + > 0 Or, le discriminant de x + x + est égal à 3 donc ce polynôme est toujours strictement positif. De plus, x x + = (x ) donc seul x = ne convient pas. Le domaine de définition est donc D = R \ {}. Résolution : ln(x + x + ) = ln(x x + ) x + x + = x x + 3x = 0 x = 0. 0 D donc l ensemble solution de l équation est S = {0} 4 ln(x 0x + 8) = ln(3x 3x 8). x 0x + 8 > 0 Domaine de définition : il faut que 3x 3x 8 > 0 Le discriminant de x 0x + 8 est = = 36 et donc ses racines sont 0 6 = et = Le polynôme est donc strictement positif sur ] ; [ ]4 ; + [. Le discriminant de 3x 3x 8 est = = 5 et donc ses racines sont 3 5 = et = Le polynôme est donc strictement positif sur ] ; [ ]3 ; + [. Le domaine de définition est donc D = ] ; [ ]4 ; + [. Résolution : ln(x 0x + 8) = ln(3x 3x 8) x 0x + 8 = 3x 3x 8 x + 7x 6 = 0. Le discriminant de x + 7x 6 est = = 53 donc il admet deux racines 7 53 D et / D. { } 7 53 L ensemble solution de l équation est donc S =.. 50

59 5 (ln x) 3 ln x + = 0. Posons X = ln x. L équation devient : X 3X + = 0 et admet pour solutions X = et X =. Ainsi, ln x = ou ln x =, soit x = e ou x = e. L ensemble solution est donc S = { e ; e } 6 (ln x) 5 ln x 3 = 0. Posons X = ln x. L équation devient X 5X 3 = 0 et admet pour solutions X = 3 et X =. Ainsi, ln x = 3 ou ln x =, soit x = e3 ou x = e 0,5 =. e L ensemble solution est donc S = { e 3 ; e 0,5} Corrigé de l exercice 3. ln(5x + 0) > ln(3x 9). 5x + 0 > 0 Domaine de définition : il faut que 3x 9 > 0 Le domaine de définition est donc D = ]3 ; + [. Résolution : ln(5x + 0) > ln(3x 9) 5x + 0 > 3x 9, soit x > 3. x > 9 x > 9. ] Notons U = 9 [ ; + ; alors, l ensemble solution de l inéquation est U D, soit S = ]3 ; + [., donc le do- ln(8 x) ln(5x 5). 8 x > 0 Domaine de définition : il faut que 5x 5 > 0 maine de définition est ] ; 4[ ]5 ; + [. Résolution : ln(8 x) ln(5x 5) 8 x 5x x + x x < 4, soit x > 5 7x 33 x [ [ 33 Notons U = 7 ; + ; l ensemble solution de l inéquation est alors U D, soit S = ]5 ; + [ 5

60 3 ln(x + ) < ln(x + x + ). x + > 0 Domaine de définition : il faut que, ce qui est toujours le cas x + x + > 0 car le discriminant des polynômes x + et x + x + sont strictement négatifs. Le domaine de définition est donc R. Résolution : ln(x + ) < ln(x + x + ) x + < x + x + x + x + > 0. Le discriminant de x + x + étant strictement négatif, tout réel x convient. L ensemble solution de cette inéquation est donc S = R. 4 ln(x 3x + ) > ln( 5x + 8x 3). Domaine de définition : les racines de x 3x+ sont et ; ainsi, x 3x+ > 0 ] sur I = ; [ ] ; + [. Les racines de 5x + 8x 3 sont et 3 ] [ 3 5 donc 5x + 8x 3 > 0 sur J = 5 ;. Le domaine de définition est donc I J =. Résolution : le domaine de définition étant l ensemble vide, il ne peut y avoir de solutions à cette inéquation. Donc S = 5 ln(x 5x 4) ln(x 0x + 8). Domaine de définition : le polynôme x 5x 4 admet pour racines et 7 donc il est strictement positif sur I = ] ; [ ]7 ; + [. Le polynôme x 0x + 8 admet pour racines 4 et donc il est strictement positif sur J = ] ; [ ]4 ; + [. Le domaine de définition est donc I J, soit D = ] ; [ ]7 ; + [. Résolution : ln(x 5x 4) ln(x 0x + 8) x 5x 4 x 0x + 8 x 5x + 0. Le discriminant de x 5x + est = 5 08 < 0 donc le polynôme est toujours strictement positif. L ensemble solution de l inéquation est donc S = ] ; [ ]7 ; + [ 6 ln(x + x 6) > ln( x + 4x + 6). Domaine de définition : le polynôme x + x 6 admet pour racines et 3 donc il est strictement positif sur I = ] ; 3[ ] ; + [. Le polynôme x + 4x + 6 admet pour racines et 8 donc il est strictement positif sur J = ] ; 8[. Le domaine de définition est donc I J, soit D = ] ; 8[. 5

61 Résolution : ln(x + x 6) > ln( x + 4x + 6) x + x 6 > x x 3x > 0. Le discriminant du polynôme 3x 3x est = 69 + = 433 donc il admet deux racines : x = / D et x = D. 6 6 Ainsi, 3x 3x > 0 sur U = ] ; x [ ]x ; + [. ] [ L ensemble solution de l inéquation est donc U D, soit S = ; 8 6 Corrigé de l exercice 4. Nous savons que lim x 0 ln(x + ) X De plus, lim x 0 (x ) =, donc lim x 0 Ainsi, lim x 0 f(x) =. Nous pouvons écrire, sur R : =. Ainsi, en posant X = x, on a : ln (x + ) lim =. x 0 x ( f(x) = ln (x + ) x (x ) ln (x + ) x ln (x + ) x + ) =. x + x ln X lim X + X = 0, donc en posant X = x +, nous avons : De plus, Ainsi, x + x lim = lim x + x x + x =. lim x + ln (x + ) lim x + x + ln (x + ) = ln [x ( + )] = ln x + ln x Ainsi, ln (x + ) x = 0. ( ln (x ) + ) x + = 0. (III.) x + x ( + ). x = ln x x + x ln ( + x ). Posons g(x) = ln( + x) x, pur x 0. Alors, g (x) = < 0 pour x 0 donc g est décroissante sur [0 ; + [. + x De plus, g(0) = 0 donc cela signifie que g(x) 0 sur [0 ; + [. Ainsi, pour x 0, ln(+x) x et donc ln ( + ) x x, soit ( x ln + ) x x. 3 x > 0 donc + ( x >, d où ln + ) > 0 et finalement ( x x ln + ) > 0. x 53

62 Ainsi, 0 < ( x ln + ) x x. 3 [ On en déduit alors que ( x ln + )] = 0 (théorème des gendarmes). x De plus, ln x lim x + x lim x + = 0 donc ln (x + ) lim x + x Finalement, des égalités () et (), on en déduit : lim x + f(x) = 0. = 0. (III.) 3 D après la question précédente, De plus, en écrivant pour x < 0 : ln (x + ) lim = 0. (III.3) x x ln (x + ) x ln x = x + ( x ln + ) x, ln x On a lim = 0. x x De plus, on a toujours 0 < ln ( + ) x x et donc x ( x ln + ) < 0 pour x < 0. ( x Donc, lim x x ln + ) = 0 (théorème des gendarmes). x Finalement, ln (x + ) lim = 0. (III.4) x x Alors, lim f(x) = 0. x Corrigé de l exercice 5. ln X Nous savons que lim X + X = 0. Posons X = x. Alors, De plus, ln x = ln X x( X) ln x Ainsi, lim x x lim X = +. x = ln X X X. = lim X + lim x ( ln X X X ). Or, lim X + ( ) ln x = 0. x x = lim ln X X + X = 0. Ainsi, 54

63 On pose X = (x ). Alors, ln (x x + ) = ln [(x ) + ] = (x ) (x ) ) lim X = 0 donc lim x x Ainsi, ( ln (x x + ) (x ) lim x ln(x + ). X = lim X 0 ln( + X) X ( ln (x ) x + ) =. (x ) 3 Posons f(x) = ln ( X ) et g(x) = ln ( + X). Alors, f(0) = et g(0) = et donc : Par conséquent, Or, lim X 0 f(x) f(0) X 0 f (X) = Ainsi, f(x) g(x) f(x) f(0) = g(x) g(0) f(x) f(0) = X 0 =. X 0 g(x) g(0) f(x) lim X 0 g(x) = lim f(x) f(0) X 0 X 0 X 0 g(x) g(0) = f X 0 (0) et lim X 0 g(x) g(0) = g (0). X X et g (X) = + X. f(x) lim X 0 g(x) = f (0) g (0) = 0 = 0. En posant X = x, avec lim X = 0, on a : x + ln ( ) lim x x + ( ln + ) = 0. x 4 On peut écrire : ln ( + x) x + ln ( + x) x = x x + + x + + x + = ln ( + ( ) x) x + x + x x = ln ( + ( ) x) + x + x x ln ( + x) ln( + X) lim = lim = x 0 x X 0 X lim x = 0 + x 0 ( lim ( ) ) + x + = lim = X 0 ( + X ) x 0 x lim + x + = x 0 ( ) ln ( + x) lim x 0 =. x + 55

64 Corrigé de l exercice 6. f (x) = x. Or, pour x, 0 < x, et donc f (x) 0. La fonction f est donc décroissante sur [ ; + [. f() =, donc f(x) < 0 sur [ ; + [. Donc ln x < x sur cet intervalle. De plus, on sait que pour x, ln x 0. On en déduit alors que sur [ ; + [, 0 ln x < x. 3 Posons x = u, u. Alors, de ce qui précède, on déduit que Ainsi, en divisant par u, on a : on encore : 0 ln u < u. 0 ln u u 0 Que l on mette u ou x importe peu. Ainsi, 4 lim x + ln u u < u u, < u. x [0 ; + [, 0 ln x x < x. x = 0 donc d après le théorème des gendarmes, l expression ne change pas la limite, donc ln x lim x + x = 0. ln x lim x + x = 0. Multiplier par 56

65 Corrigé de l exercice 7. f (x) = x ln x x donc f (x) = ln x. f (x) = ln x x donc f (x) = ln x x. 3 f 3 (x) = ln (x ) donc f 3(x) = x. 4 f 4 (x) = ln x + donc f 4(x) = x +. 5 On pose u(x) = x +. Donc (ln u) = x x +. On a alors f 5(x) = 6 f 6(x) = x ln x = x ln x. Corrigé de l exercice 8. x x + (x + ) x ln (x + ) (x + ) = x [ ln (x + )] (x + ) f( x) = f(x) et le domaine de définition de f est centré en 0. La fonction f est donc paire. On peut donc l étudier sur [0 ; + [. D après l exercice 6, f (x) = x [ ln (x + )] (x + ). lim x + lim X + ( x + ) = + ln X X = 0 De plus, f(0) = ln = 0. lim f(x) = 0 x + Sur [0 ; + [, x > 0 donc f (x) est du signe de ln (x + ). ln ( x + ) > 0 ln ( x + ) < ( x + ) < ln e x + < e x < e 0 < x < e On obtient alors le tableau de variations suivant sur R :. x f (x) f(x) e 0 e e 0 e 0 57

66 f ( e ) = ln(e + ) e + = e = e 0,4 0,3 0, 0, Corrigé de l exercice 9. Il faut que + x f (x) = x + x = > 0, ou encore x + x ( ). x + x > 0. En étudiant le signe de ce quotient, on trouve : D f = ] ; [ ]0 ; + [. On sait que sur D f, + x > 0 donc f (x) < 0. Ainsi, f est strictement décroissante sur ] ; [ et sur ]0 ; + [. ( x = 0 donc lim ln + ) = ln = 0. x x De même, f(x) = 0. 3 lim x lim x x x< lim x 0 x>0 x lim x + = et lim x x< = + donc lim f(x) = +. x 0 ( + ) = 0 +. Ainsi, lim f(x) =. x x x f(x) Corrigé de l exercice 0. f est définie pour tout x tel que x x + 0, c est-à-dire lorsque (x ) 0. Ainsi, D = R \ {}. lim (x ) = et lim x x ln(x x+) = lim x ln(x ) = + donc lim f(x) =. x 58

67 Par un raisonnement analogue, lim f(x) = +. x + f(x) = (x ) ln [(x ) ]. Si x >, f(x) = (x ) ln(x ). En posant X = x, on a f(x) = X ln X avec X 0 quand x. Or, lim X ln X = 0. Ainsi, lim f(x) = 0. X 0 x Si x <, f(x) = ( x) ln( x). Par un raisonnement analogue à ce qui précède, en posant X = x, lim f(x) = 0. x x< 3 f (x) = ln ( x x + ) + (x ) x x x + = ln [ (x ) ] (x ) + (x ) f (x) = ln [ (x ) ] + x> 59

68 4 f (x) > 0 ln [ (x ) ] + > 0 ln [ (x ) ] > (x ) > e (x ) ( e ) > 0 ( x e ) ( x + e ) > 0 f ( e ) [ ( = ( e + ) ln e ) ] = e ln ( e ) = e ( ) = e De même, f ( + e ) = e. x x e x + e f (x) e + e + z On en déduit alors : x f(x) e + e + e 0 e + Corrigé de l exercice. On sait que lim x 0 ln x = donc lim x 0 (e ln x x) =. On peut écrire : On sait que (croissance comparée) : ( ) ln x f(x) = e x x. ln x lim x + x ( ) ln x = 0 donc lim x + x =. Ainsi, lim f(x) =. x + 60

69 3 f (x) = e x = e x x. Ainsi, sur ]0 ; e[, f (x) > 0 et sur ]e ; + [, f (x) < 0 d où le tableau de variations suivant : x f (x) 0 e f 0 4 On remarque sur le tableau précédent que pour tout réel x strictement positif et différent de e, f(x) < 0. Ainsi : f(π) < 0, c est-à-dire : soit : e ln π < π ln π e < π. En composant par la fonction exponentielle, qui est strictement croissante, on a alors : e ln πe < e π, Soit : π e < e π Corrigé de l exercice. On sait que f(0) = donc ae k 0 + b =, soit a + b =, ou encore b = a. De plus, f(6) = 0 donc ae 6k + b = 0, soit ae 6k = b = a. Ainsi, e 6k = a et ( donc 6k = ln ). a Finalement, k = 6 ln ( a ). On obtient alors : f(t) = ae 6 ln ( ) t a + a. 50 % des bactéries disparaissent au bout de deux jours, donc f() =, soit : ae 6 ln ( ) a + a =. Ainsi, e 3 ln ( ) a + a = 0. 3 Si on pose h(x) = xe 3 ln( x), alors h est de la forme uv avec : 6

70 u(x) = x u (x) = v(x) = e 3 ln( x) v (x) = 3 x = 3x e 3 ln( x) x x x e 3 ln( x) = 3x x e 3 ln( x) D où : h (x) = (u v uv )(x) = e 3 ln( x) + x 3x = e 3 ln( x) ( + 3x 3 ) x Ainsi, g (x) = h (x) = e 3 ln( x) ( + ). 3x 3 ( 4 a. lim + ) = ; x + 3x 3 ( lim + ) = et lim ln X = 0 donc lim ( x + x ln ) = 0. X x + x De plus, lim e Y = donc lim e 3 ln( x) =. Y 0 x + Ainsi, par produit, lim e 3 ln( x) ( + x + 3x 3 lim x + g (x) = 0. ) =, et donc b. Si x >, alors 9x(x ) > 0 et donc 9x(x ) < 0. De plus, une exponentielle est toujours strictement positive, donc g (x) < 0 sur ] ; + [. Par conséquent, g est strictement décroissante sur ] ; + [ et donc, d après la question précédente, g (x) > 0 sur cet intervalle. On en déduit que g est strictement croissante sur ] ; + [. 5 g(, 3) 0, > 0 et g(, 4) 0, < 0 donc 0 est une valeur intermédiaire de g(, 3) et g(, 4). De plus, g est continue et strictement monotone sur [, 3 ;, 4] donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation g(x) = 0 admet une unique solution sur [, 3 ;, 4]. 6

71 Corrigé de l exercice 3. Partie A h est une somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + [, donc elle est aussi dérivable sur ]0 ; + [. h (x) = x + (x )(x ) 4x(x x + ) 4x 4 = x + 4x3 x 4x 3 + 4x 4x 4x 4 = x + x 4x 4x 4 = x + x x 3 h (x) = x + x x 3 Le discriminant du polynôme P (x) = x + x est : = 4 ( ) = 7. Il a donc deux racines : x = 7 4 ; x P (x) est du signe de à l extérieur des racines ; or, x < 0. Ainsi, h (x) < 0 sur ]0 ; x [ et h (x) > 0 sur ]x ; + [. 3 On a le tableau suivant : x h (x) 0 x h(x) ( ) 7 h(x ) = ln + 4 Ainsi, h(x) > 0 sur ]0; + [. ( ) ( ( ) 4 ) 0, 43 > 0. Partie B 63

72 f est dérivable sur ]0 ; + [ comme somme d une fonction dérivable sur ]0 ; + [ (x x) et d un produit de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + [ (x x + et x ln x). f (x) = x ln x + ( x + ) x = x ln x + x + x = x ln x x x + x f (x) = x ( ln x + x x + x ) Ainsi : soit : f (x) > 0 x ( ln x + x x + x ) > 0, ou encore : f (x) > 0 xh(x) > 0, x ]0 ; + [, f (x) > 0 h(x) > 0. Dans la partie précédente, nous avons vu que sur ]0 ; + [, h(x) > 0. Ainsi, f est strictement croissante sur ]0 ; + [. 3 a. f(x) = x x ln x + ln x x. Or, lim x 0 x ln x = 0 et lim x 0 ln x =. Ainsi, lim f(x) =. x 0 [( b. f(x) = x x + ) ] ln x. ( x Or, lim x + ) = + et lim ln x = +. x + x x + [( Ainsi, lim x + ) ] ln x = +. x + x On a donc : lim f(x) = +. x + c. On a le tableau suivant : x f (x) f(x) + 64

73 4 a. f est dérivable et strictement croissante sur ]0 ; + [. De plus, lim f(x) < 0 et lim f(x) > 0. x 0 x + Ainsi, d après le théorème de la bijection, il existe une unique valeur α sur ]0 ; + [ telle que f(α) = 0. b. f() = ln = < 0 et f() = 5 ln > 0 donc < α <. c. À l aide de la calculatrice, on a α, 6. Corrigé de l exercice 4. Partie A P est dérivable sur R car c est un polynôme. Sa dérivée est : Le discriminant de P (x) est : P (x) = 3x + x +. = 4 3 = 4 4 = 0 < 0. Donc P (x) > 0 sur R, ce qui signifie que P est strictement croissant sur R. P ( ( 3 ( ( ) ) = ) + ) + = < 0. 8 De plus, P () = > 0. ] [ Or, P est dérivable et strictement croissant sur ; donc, d après le théorème de la ] [ bijection, l équation P (x) = 0 admet une unique solution sur ;. 3 D après les questions précédentes, on peur alors dire : P (X) < 0 sur ] ; α[. P (X) > 0 sur ]α ; + [. Partie B f est dérivable sur ]0 ; + [ comme quotient de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est : f (x) = [x ((ln x x) + )] ln x [ (ln x) + + x ( )] ln x x x ((ln x) + ) = (ln x) + (ln x) 3 ln x 4(ln x) x ((ln x) + ) f (x) = (ln x)3 + (ln x) + ln x x ((ln x) + ) 65

74 D après la question précédente, nous pouvons dire que f P (ln x) (x) = x ((ln x) + ), où P est le polynôme défini dans la partie A. Donc f (x) est du signe contraire de P (ln x). Or, nous avons dit que P (x) > 0 pour x > α. Ainsi, P (ln x) > 0 pour ln x > α, soit x > e α. Ainsi, f (x) < 0 pour x > e α. 3 f(x) = Or, Ainsi, ln x x ((ln x) + ) = x ln x + x ln x lim x ln x = + et lim x + lim x + f(x) = 0. x + pour x. x ln x = +. De plus, lim x ln x = 0 x et lim x 0 x 0 ln x = 0. Ainsi, lim x 0 f(x) =. 4 Nous avons le tableau suivant : x f (x) 0 α f(x) f(α) 0 5 On remarque que f(x) = u (x) u(x), avec u(x) = (ln x) + > 0 et donc u (x) = ln x x. Ainsi, une primitive de f sur ]0; + [ est F (x) = ln ((ln x) + ). Ainsi : I(t) = t f(x) dx = F (t) F () = ln ( (ln t) + ) 6 I(t) = ln ((ln t) + ) = (ln t) + = e (ln t) = e. On a alors ln t = e ou ln t = e, soit t = e e ou t = e e. Or, par hypothèse, t donc t e e. Ainsi, t = e e 3, 7. Corrigé de l exercice 5. a. g (x) = e x ( + x) donc g (x) > 0 sur [0 ; + [. Ainsi, f est strictement croissante sur [0 ; + [. b. g est continue et strictement monotone (croissante ici) sur [0 ; + [. De plus, g(0) = et g() = e > 0. Donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur α sur [0 ; + [ telle que g(α) = 0, soit αe α =. On trouve α 0,

75 c. g est croissante et g(α) = 0 donc g(x) < 0 sur [0 ; α[ et g(x) > 0 sur ]α ; + [. a. lim x 0 ln x = et lim x 0 e x = donc, par somme, lim x 0 f(x) = +. On peut écrire : ln x De plus, lim x + x Par produit, on a e x = 0 et lim x + x lim x + b. f (x) = e x x = xex x x f (x) f ( f(x) = e x ln x x x ) e x f(x) = +. = +, soit lim x + x e x = 0. = g(x). Ainsi, d après la question, on a : x 0 α f(α) + c. f(α) = e α ln α = α ln e α d après la question.b. = ln + ln eα α m = α + α De plus, avec α 0, 567, on a m, 33. D où le résultat demandé. 3 Une équation de la tangente est : Ainsi, y = f (a)(x a) + f(a), a = 0. y = f ()(x ) + f() = (e )(x ) + e ln = (e )x e + + e y = (e )x + Notons A(x ; 0) le point d intersection de T avec l axe des abscisses. Alors, (e )x + = 0 x = e 67

76 4 y C f T 0 0 x 68

77 Suites Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Suite définie par u n+ = u n + n + 3 A On considère la suite (u n ) définie par : { u0 = u n+ = u n + n + 3, n N Étudier la monotonie de (u n ). a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n n. b. Déterminer alors la limite de (u n ). Corrigé page 83 3 Conjecturer une expression de u n en fonction de n puis démontrer la propriété conjecturée. Exercice. Suite définie par u n+ = u n A On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 0 u n+ = u n, n N Calculer u, u et u 3 sous forme de fraction irréductible. Conjecturer la formule qui donne u n puis la montrer par récurrence. Corrigé page 84 Exercice 3. Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = x+ x+ A Soit la fonction f définie sur [0 ; ] par : Déterminer les variations de f sur [0 ; ]. Montrer alors l implication suivante : f(x) = x + x +. x [ ; ] f(x) [ ; ]. Corrigé page 85 69

78 On considère la suite (u n ) définie par : { u0 = u n+ = f (u n ), n N Montrer que pour tout entier naturel n, u n [ ; ] et que u n u n+. 3 En déduire que la suite (u n ) converge. Calculer alors sa limite. Exercice 4. Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = x+6 x+ R Corrigé page 86 Soit la suite (u n ) définie par : u 0 = u n+ = u n + 6 u n +, n N Montrer que si (u n ) converge vers un nombre l, alors l est racine du polynôme : P (x) = x + x 6. Déterminer les racines de P. On les notera α et β, avec α > β. Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n α u n β. 3 Montrer que la suite (v n ) est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison. 4 En déduire la limite de la suite (u n ). Exercice 5. Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = 4x 4x R On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 3 u n+ = 4u n 4u n, n N et la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : Corrigé page 87 v n = u n. Montrer que (v n ) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. En déduire lim n + u n. 70

79 Exercice 6. Suite définie par u n+ = u n + n R On définit la suite (u n ) pour tout entier naturel n par : u 0 = u n+ = u n + n Corrigé page 88 Calculer les 0 premiers termes de cette suite à l aide de la calculatrice ou d un tableur. Que peut-on conjecturer quant à la nature de (u n )? On pose v n = u n 4n + 0. a. Monter que (v n ) est une suite géométrique que l on caractérisera. b. En déduire l expression de v n puis celle de u n en fonction de n. c. On pose : n S n = u k = u 0 + u + + u n. k=0 Donner l expression de S n en fonction de n. Exercice 7. Démonstration par récurrence : n k = k= n(n + )(n + ) 6 A Corrigé page 88 On considère la somme : n S n = k = (n ) + n. k= Montrer par récurrence que : S n = n(n + )(n + ). 6 Exercice 8. Étude générale des suites de la forme u n+ = λu n + P(n) R On considère la suite (u n ) définie par : { u0 R u n+ = λu n + P(n), n N où P est un polynôme et où λ R \ {}. On pose alors la suite (v n ) définie par : où Q est un polynôme. Montrer l équivalence suivante : v n = u n + Q(n), (v n ) est une suite géométrique n N, P(n) = λq(n) Q(n + ). On suppose maintenant que P(n) = an + b, a et b étant deux réels non nuls. Corrigé page 89 7

80 Trouver, en fonction de λ, a et b, l expression du polynôme Q. 3 En déduire, en fonction de λ, u 0, a, b et n, une expression de v n, puis de u n. 4 Application : déterminer l expression du terme général de la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 = 5 et par la relation u n+ = u n 3n + 7. Vérifier la formule trouvée pour les premiers termes de (u n ). Exercice 9. Suite définie par u n+ = u n 3 R Corrigé page 9 On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = u n+ = u n 3, n N Déterminer le réel λ tel que la suite géométrique (v n ) définie par : soit géométrique. Calculer alors lim n + u n. n N, v n = u n + λ, λ R Exercice 0. Calcul de la limite de n+cos(n) n A Déterminer la limite de la suite (u n ) n où u n = n + cos(n) n. Corrigé page 9 Exercice. Suites imbriquées R Soient deux suites (u n ) et (v n ) telles que : Corrigé page 9 u 0 = v 0 = ; n N, { un+ = 0, 6u n + 0, 3v n v n+ = 0, 4u n + 0, 7v n On pose alors pour tout entier naturel n : { an = u n + v n b n = 4u n 3v n Montrer que (a n ) est constante. Montrer que (b n ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. 3 En déduire l expression de u n en fonction de n, puis celle de v n en fonction de n. 4 Démontrer que (u n ) converge et donner sa limite. 7

81 Exercice. Des suites dans les probabilités R Corrigé page 9 Dans un zoo, l unique activité d un manchot est l utilisation d un bassin aquatique équipé d un toboggan et d un plongeoir. On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu il le reprenne est 0, 3. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu il le reprenne est 0, 8. Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d être choisis. Pour tout entier naturel n non nul, on considère l évènement : T n : «le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage.» P n : «le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage.» On considère alors la suite (u n ) n définie par : où p (T n ) est la probabilité de l évènement T n. u n = p (T n ) a. Donner les valeurs des probabilités p (T ), p (P ) et des probabilités conditionnelles p T (T ), p P (T ). b. Montrer que p (T ) = 4. c. Recopier et compléter l arbre suivant : T n+ u n T n P n+ T n+ P n P n+ d. Démontrer que pour tout entier n, u n+ = 0, u n + 0,. e. À l aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (u n ). On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n 9. a. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison. Préciser son premier 0 terme. b. Exprimer v n en fonction de n. En déduire l expression de u n en fonction de n. 73

82 c. Calculer la limite de la suite (u n ). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en. e.? Exercice 3. Étude d une fonction ln et suite extraite R On considère la fonction f définie sur R + par : Partie A ( f(x) = ln + ). x Corrigé page 94 Déterminer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition. Calculer f (x) puis déterminer le sens de variation de f sur R +. 3 Dresser un tableau de variations complet de la fonction f. On considère la fonction g définie sur R + par : Partie B g(x) = f(x) x. Montrer que g est strictement décroissante sur R +. Montrer que l équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur [ ; ]. En déduire que l équation α est l unique solution de l équation f(x) = x sur R +. On considère la suite (u n ) définie par : On définit alors la suite (v n ) par : Partie C { u0 = u n+ = f (u n ), n N n N, v n = u n. Calculer v 0, v puis v. On donnera des valeurs approchées au millième. Montrer que pour tout entier naturel n, v n+ = f (f (u n )). 3 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 4 En déduire que (v n ) converge. v n+ v n. 5 En déduire que (u n ) et (v n ) ont la même limite α, où α est la valeur introduite dans la partie B. 74

83 Partie D On considère l algorithme suivant : Entrées a nombre réel n nombre entier 3 d nombre réel Traitement 4 a prend la valeur 5 n prend la valeur 0 6 d prend la valeur 7 Tant que d > d prend la valeur a 9 a prend la valeur ln(+/a) 0 a prend la valeur ln(+/a) n prend la valeur n+ d prend la valeur d-a 3 Fin du Tant que Sortie 4 Afficher a Un élève affirme qu il y a une erreur car les lignes 9 et 0 sont identiques. Expliquer en quoi cet élève se trompe. Que doit-on écrire pour ne pas répéter ces deux lignes? 3 Implanter cet algorithme sur votre calculatrice puis donner une valeur approchée de α à 0 6 près. Exercice 4. Étude générale des suites imbriquées R Corrigé page 96 Dans cet exercice, par soucis de simplification des raisonnements, on admettra que toutes les fractions sont définies. On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies par leur premiers termes u 0 et v 0 et par les relations de récurrences suivantes : n N, { un+ = αu n + βv n v n+ = λu n + µv n, α, β, λ, µétant 4 réels non nuls. On pose alors : n N, { an = p u n + q v n b n = p u n + q v n. Montrer l équivalence suivante : (a n ) est constante p = µ λ αµ βλ q = α β αµ βλ. 75

84 a. Montrer l équivalence suivante : (b n ) est géométrique p q = αp + λq βp + µq. b. En déduire que (b n ) est géométrique équivaut à : On suppose que (µ α) + 4βλ 0. c. En déduire que : p = ( p + µ α ) β q = (µ α) + 4βλ q 4β. (µ α) + 4βλ + α µ q ou p = (µ α) + 4βλ + α µ q. β β d. Montrer que si p = q, alors β + µ = α + λ. 3 En prenant α = 0, 6, β = 0, 3, λ = 0, 4 et µ = 0, 7, déterminer la valeur de p, q et p sachant que l on pose q = 3. Exercice 5. Suite définie par u n+ = ku n ( u n ) A Corrigé page 98 On sait tous qu il y a des années à coccinelles et d autres sans! On se propose d étudier l évolution d une population de coccinelles à l aide d un modèle utilisant la fonction numérique f définie par : f(x) = kx( x), k étant un paramètre réel qui dépend de l environnement. Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million. L effectif des coccinelles, exprimé en millions d individus, est approché pour l année n par un nombre réel u n avec u n compris entre 0 et. Par exemple, si pour l année zéro il y a coccinelles, on prendra u 0 = 0, 3. On admet que l évolution d une année sur l autre obéit à la relation u n+ = f(u n ), f étant la fonction définie ci-dessus. Le but de l exercice est d étudier le comportement de la suite (u n ) pour différentes valeurs de la population initiale u 0 et du paramètre k. Justifier que si la suite (u n ) définie précédemment converge vers α, alors α vérifie la relation f(α) = α. Supposons u 0 = 0, 4 et k =. a. Étudier le sens de variation de la suite (u n ). b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 u n. c. La suite (u n ) est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite? d. Que peut-on dire de l évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses? 76

85 3 Supposons maintenant u 0 = 0, 3 et k =, 8. a. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; ] et montrer que f ( ) [ ] 0 ;. b. En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel n, 0 u n ; établir que, pour tout entier naturel n, u n+ u n. c. La suite (u n ) est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite? d. Que peut-on dire de l évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses? Exercice 6. Suite (α n ) de solution d équations R Déterminer la limite en + de la fonction ϕ : x ln (x + ). x Corrigé page 00 Soit n un entier naturel non nul, n étant fixé pour cette question. On définit la fonction f n sur [0 ; + [ par : f n (x) = x + ln (x + ). n a. Déterminer la limite de f n en +. b. Calculer la dérivée de f n sur [0 ; + [. c. Dresser le tableau de variations de f n. d. En déduire que l équation, d inconnue x, f n (x) = 0 admet une unique solution α n dans [0 ; + [. e. Justifier que 0 < α n <. 3 Prouver que pour tout entier naturel n non nul, ln (α n + ) = n( α n ). En déduire que f n+ (α n ) < 0. 4 Étude de la suite (α n ) n N. a. À l aide de la calculatrice, proposer sans justification, des valeurs décimales approchées à 0 près de α, α 4 et α 0. b. Démontrer que la suite (α n ) est croissante. c. En déduire que la suite (α n ) est convergente. d. Déterminer la limite de la suite (α n ). Exercice 7. La puce (probabilités et suites) R Corrigé page 0 On étudie le mouvement aléatoire d une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. Soit n un entier naturel. À l instant initial n = 0, la puce se trouve en A. Si à l instant n la puce est en A, alors à l instant (n + ), elle est soit en B avec une probabilité égale à, soit en C avec une probabilité égale à 3. 77

86 Si à l instant n la puce est en B, alors à l instant (n + ), elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable. Si à l instant n la puce est en C, alors elle y reste. On désigne par A n (resp. B n et C n ) l événement : «À l instant n, la puce est en A (resp. B et C).» On pose a n = P (A n ), b n = P (B n ), et c n = P (C n ). On a donc a 0 =, b 0 = c 0 = 0. Pour traiter cet exercice, on pourra s aider d arbres pondérés. Étude du mouvement pour n 3. a. Donner a, b et c. Calculer a + b + c. b. À l instant n =, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver? Déterminer a, b et c. c. À l instant n = 3, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver? En déduire a 3. Calculer b 3 et vérifier que c 3 = 7 8. Étude du cas général. a. Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l instant n lorsque l entier n est pair (n = k avec k N), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l entier n est impair (n = k + avec k N). En déduire (sans autre justification) la valeur de a k+. b. Démontrer que : b k+ = 3 a k a k+ = b k+ c. Démontrer que pour tout entier naturel k, a k = 6 k. 3 a. Déterminer le plus petit entier naturel N tel que : n N, n N a n 0 6. b. Montrer que la suite (a n ) est convergente et préciser sa limite. Exercice 8. Équation e x = x R Le but de l exercice est de démontrer que l équation : Corrigé page 03 (E) : e x = x admet une unique solution dans l ensemble R des nombres réels. On pose pour tout réel x : f(x) = x e x. 78

87 Démontrer que x est solution de (E) si et seulement si f(x) = 0. Étude du signe de f. a. Étudier le sens de variations de la fonction f sur R. b. En déduire que l équation (E) possède une unique solution sur R, notée α. [ ] c. Démontrer que α appartient à l intervalle ;. d. Étudier le signe de f sur l intervalle [0 ; α]. On pose pour tout réel x de l intervalle [0 ; ] : g(x) = + x + e x. 3 Démontrer que l équation f(x) = 0 est équivalente à l équation g(x) = x. 4 En déduire que α est l unique réel vérifiant : g(α) = α. 5 Calculer g (x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l intervalle [0 ; α]. On considère la suite (u n ) définie par : { u0 = 0 u n+ = g(u n ) n N 6 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 u n u n+ α. 7 En déduire que la suite (u n ) est convergente. On note l sa limite. 8 Justifier l égalité : g(l) = l. En déduire la valeur de l. 9 À l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u 4 arrondie à la sixième décimale. Exercice 9. Suite de points, suites imbriquées R On se donne deux points distincts A 0 et B 0. Soit A le milieu du segment [A 0 B 0 ] et B celui de [A 0 A ]. De façon générale, pour tout entier naturel n, on désigne par : A n+ le milieu du segment [A n B n ] et B n+ le milieu du segment [A n A n+ ]. On munit la droite (A 0 B 0 ) du repère (A 0 ; #» ı ) avec #» ı = #» A 0 B 0. On note a n et b n les abscisses respectives des points A n et B n dans le repère(a 0 ; #» ı ). On a donc a 0 = 0 et b 0 =. Construire une droite (A 0 B 0 ) en prenant A 0 B 0 = 0 cm. Sur cette droite, placer les points A et B, puis les points A et B. Calculer les valeurs de a, b, a et b. Corrigé page 05 79

88 Exprimer a n+ et b n+ en fonction de a n et b n. 3 Démontrer que la suite (u n ) définie par : est géométrique. 4 Démontrer que la suite (v n ) définie par : u n = a n b n v n = 3a n + b n est constante. 5 Les suites (a n ) et (b n ) sont-elles convergentes? Que peut-on en déduire pour les points A n et B n lorsque n tend vers +? Exercice 0. Méthode de Newton R On considère la fonction f définie sur R + par : f(x) = e x x dont la courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j )est nommée C. Montrer que f est strictement décroissante sur R +. Corrigé page 07 Montrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; [. On la notera α. 3 Montrer que l équation réduite de la tangente (T 0 ) à C au point d abscisse x = est : ( ) + e y = + x + 4 e e e. On considère la suite (x n ) n 0 définie par x 0 = et en considérant que pour tout entier naturel n, x n+ est l abscisse du point d intersection de la tangente (T n ) à C au point d abscisse x n et de l axe des abscisses. Ainsi, x est l abscisse du point d intersection de (T 0 ) et de l axe des abscisses. 4 Montrer que x = 4 e + e. 5 a. Montrer que sur R +, f (x) 0. b. Montrer que pour tout entier naturel n : x n+ = x n f (x n) f (x n ). 80

89 6 On considère l algorithme suivant : Algorithme Entrées x est un réel i est un entier Traitement x prend la valeur Pour i allant de à 4 allant de x à p rend la valeur x-(exp(-x)- x)/(-exp(-x)-/( x)) Fin du Pour Sortie Afficher x a. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs approchées avec toutes les décimales affichées par la calculatrice) : i x b. À quoi correspond la valeur affichée par cet algorithme? c. D après le tableau de valeurs trouvé à la question (a), émettre une conjecture quant à la limite de la suite (x n ) n 0. 7 On admet que, pour tout entier naturel n, C est toujours au-dessus de (T n ). Expliquer les raisons pour lesquelles, pour tout entier naturel n, x n α. 8 Montrer que la suite (x n ) n 0 est croissante. En déduire qu elle converge vers α. Exercice. L escargot de Gardner R Corrigé page 09 Léo l escargot avance à la vitesse de m/h sur un élastique de 00 mètres qui peut s allonger à l infini. Au début de chaque heure, on allonge l élastique de 00 mètres de façon homogène, ce qui signifie qu au début de la re heure écoulée, l escargot se trouvait à mètre du point de départ avant l allongement de l élastique et se retrouve à mètres du point de départ après car pour passer de 00 m à 00 m, on a multiplié par. Au bout de la e heure, Léo avance de mètre et après allongement, il se trouve à 4,50 mètres. On note u n la distance (en mètre) parcourue par Léo au bout de n heures avant l allongement de l élastique. Ainsi, u 0 = 0, u = et u = 3. a. Expliquer la valeur de u. b. Calculer u 3. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u n+ = ( + ) u n +. n 8

90 3 On note p n le pourcentage représentant l avancement de Léo par rapport à la longueur de l élastique (avant allongement) à l étape n. Ainsi, p = et p =, 5. Montrer que p 3 = Montrer par récurrence que p n = n pour tout entier naturel n non nul. 5 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, p n + n. 6 En déduire la limite de la suite (p n ). Que peut-on alors conclure quant à Léo? N y a-t-il pas alors un paradoxe? 8

91 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. On a : Ainsi, la suite (u n ) est croissante. a. Posons P (n) la propriété : u n n. Initialisation. u 0 = 0 donc P (0) est vraie. u n+ u n = u n + n + 3 u n = n Hérédité. Supposons que pour un entier naturel k positif, P (k) est vraie (H.R.). Montrons alors que P (k + ) l est aussi, c est-à-dire que u k+ (k + ). L hérédité est alors vérifiée. u k+ = u k + k + 3 k + k + 3 k + k + + (k + ) + (k + ) (H.R.) Conclusion. Quel que soit l entier naturel k, P (k) P (k + ). Ainsi, d après le principe de récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n. b. D après le théorème de comparaison des suites et d après la question précédente, on a : lim u n lim n + n + n Or, lim n + n = + ; donc lim u n = + n + 83

92 3 Calculons les premiers termes de la suite (u n ) : u 0 = u = u = 4 u = u = 9 u 3 = u = 6 u 4 = u = 5 On peut alors conjecturer que u n = (n + ). Montrons cela par récurrence. Initialisation. Faites précédemment. Hérédité. On suppose que pour un entier naturel k, u k = (k + ) (qui constitue la propriété P (k)). Montrons que u k+ = (k + ). u k+ = u k + k + 3 = (k + ) + k + 3 = k + 4k + 4 = (k + ) L hérédité est alors vérifiée. Conclusion. Quel que soit l entier naturel k, P (k) P (k + ). Ainsi, d après le principe de récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n. Corrigé de l exercice. Calculons : u = u 0 u = Posons P (n) la propriété : u n = n n +. Initialisation. Faite dans la question. u = u u = u = 3 u 3 = u u 3 = 3 u 3 = 3 4 Hérédité. Supposons que pour un entier naturel k, P (k) est vraie (H.R.). Montrons alors que 84

93 P (k + ) l est aussi, c est-à-dire que u k+ = n + n +. L hérédité est alors vérifiée. u k+ = u n = n n+ = (n+) n n+ = n + n + (H.R.) Conclusion. Quel que soit l entier naturel k, P (k) P (k + ). Ainsi, d après le principe de récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n. Corrigé de l exercice 3. On a : f (x) = (x + ) > 0. Donc f est strictement croissante sur [0 ; ]. On en déduit alors : x f() f(x) f() Or, f() = 3 > et f() = 5 3 <. Ainsi, x [ ; ] f(x) [ ; ]. Soit P (n) la propriété : u n [ ; ]. Démontrons qu elle est vraie pour tout entier naturel n par récurrence. Initialisation. u 0 = [ ; ]. Hérédité. Supposons que P (k) soit vraie, où k est un entier naturel. Montrons alors que P (k+) l est aussi. D après la question précédente, on a : u k [ ; ] f (u k ) [ ; ]. Or, f (u k ) = u k+ donc P (k + ) est vraie. L hérédité est alors vérifiée. Conclusion. On vient de montrer que P (0) est vraie et que pour un certain entier naturel k, P (k) P (k + ). Ainsi, d après le principe de récurrence, P (n) est vrai pour tout entier naturel n. 85

94 De plus, f est croissante sur [ ; ] donc f (u n ) > u n, c est-à-dire : u n+ > u n. 3 De la question précédente, on peut conclure que la suite (u n ) est croissante et bornée, donc majorée. Or, toute suite croissante et majorée converge. Donc (u n ) est convergente. Posons alors l = lim u n. Nous savons que u n [; ] pour tout entier naturel n, donc n + l [ ; ] On a alors : u n+ = f (u n ) lim u n+ = lim f (u n) n + n + l = f(l) car f est continue l = l + l + l + l = l + l l = 0. Le discriminant du polynôme l l est = 5 donc il possède deux racines : l = 5 < 0 et l = + 5 [ ; ]. Ainsi, l = + 5. Corrigé de l exercice 4. Posons l = lim n + u n. On en déduit alors : u n+ = u n + 6 u n + l = l + 6 l + l(l + ) = l + 6 Ainsi, l est bien une racine du polynôme P. l + l l 6 = 0 l + l 6 = 0. x = est une racine évidente de P ; de plus, x x = c a = 6, donc x = 3. Les deux racines de P donc sont α = et β = 3. 3 On a v n = u n u n + 3. Alors : v n+ = u n+ u n+ + 3 u n+6 u = n+ u n u n+ = u n + 6 u n 4 u n + = u n + 4u n + = 4 u n u n + 3 = 4 v n. u n + u n u n

95 Ainsi, la suite (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = u 0 u = 4 raison q = 4. et de 4 La suite (v n ) converge vers «0» comme suite géométrique de raison strictement comprise entre et. Ainsi : u n lim n + u n + 3 = 0 lim (u n ) = 0 n + lim u n = n + Corrigé de l exercice 5. v n+ v n = = = u n+ 4u n 4u n 4u n 4u n u n u n un 4u n u n = u n 4u n u n = 4u n u n u n = u n u n u n ) = ( u n u n = La suite (v n ) est donc arithmétique de premier terme v 0 = = 5 et de raison r =. u 0 D après ce qui précède, lim n + v n = + car r > 0 d où : lim n + u n = +, ce qui signifie que : D où : ( lim u n ) = 0. n + lim n + u n = 87

96 Corrigé de l exercice 6. On trouve : u = 0, 5 u = 0, 75 u 3 = 3, 375 u 4 = 6, 6875 u 5 = 0, u 6 = 4, 7875 u 7 = 8, u 8 =, u 9 = 6, On peut alors conjecturer que (u n ) est strictement croissante à partir de n = a. v n+ = u n+ 4(n + ) + 0 = u n + n 4n = u n n + 5 = (u n 4n + 0) = v n. On déduit alors que (v n ) est une suite géométrique de raison v 0 = u =. et de premier terme b. On a alors : v n = et donc : n u n = v n + 4n 0 = + 4n 0. n n ( ) c. S n = k=0 + 4n 0 n n = k=0 + 4 n n k 0 k k=0 k=0 ( ) n(n + ) = n (n + ) ( = ) + (n 5)(n + ). n+ Corrigé de l exercice 7. Posons P (n) la propriété : (P n ) : (n ) + n = n(n + )(n + ) 6 Initialisation. S = ( + )( + ) = et 6 Donc P () est vraie. = 6 6 =. 88

97 Hérédité. Supposons que pour un entier naturel k, la propriété P (k) est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons alors que P (k + ) l est aussi, c est-à-dire que : k + (k + ) = (k + )(k + )(k + 3) 6 Par hypothèse de récurrence, on a : k + (k + ) = S k + (k + ) k(k + )(k + ) = + (k + ) [ 6 ] k(k + ) = (k + ) + (k + ) 6 [ ] k(k + ) + 6(k + ) = (k + ) 6 = (k + )(k + 7k + 6) 6 «k =» est une racine évidente du polynôme k + 7k + 6 donc la seconde racine k est telle que k k = c a, donc k = 6 = 3. Donc k + 7k + 6 = (k + ) ( k + 3 ) = (k + )(k + 3). Finalement, on a : k + (k + ) = (k + )(k + )(k + 3) 6 L hérédité est donc vérifiée. 3 Conclusion. Quel que soit l entier naturel k, P (k) P (k + ). Ainsi, d après le principe de récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier n. Corrigé de l exercice 8. v n+ = u n+ + Q(n + ) = λu n + P(n) + Q(n + ) = λ (u n + λ P(n) + ) λ Q(n + ). Ainsi, (v n ) est une suite géométrique u n + λ P(n) + λ Q(n + ) = v n λ P(n) + Q(n + ) = Q(n) λ P(n) = λq(n) Q(n + ). 89

98 Posons Q(n) = αn + β. D après la question précédente, pour tout entier nature n, De la re équation, on déduit : et de la e équation, on tire : Ainsi, P(n) = λq(n) Q(n + ) an + b = λαn + λβ αn α β (a + α λα)n + b + α + β λβ = 0 { a + α( λ) = 0 b + α + β( λ) = 0 Q(n) = α = a λ β = ( b + a ). λ λ a λ n + b λ + a (λ ). 3 Nous savons que (v n ) est une suite géométrique de raison λ. Ainsi, v n = v 0 λ n pour tout entier naturel n. Or, v 0 = u 0 + Q(0) = u 0 + b λ + a (λ ), donc : n N, v n = ( u 0 + De plus, v n = u n + Q(n), donc u n = v n Q(n). Ainsi, n N, u n = ( u 0 + b λ + b ) λ + a λ n. (λ ) ) a λ n (λ ) a λ n b λ a (λ ). 4 Application : u n+ = u n 3n + 7 donc λ =, a = 3 et b = 7. D après la question précédente, on a : soit : n N, u n = Vérifions sur les premiers termes : ( ) ( ) n N, u n = 9 n + 3n 4. n 3 n 7 3 ( ) n Avec la formule de récurrence Avec la formule trouvée 0 u 0 = 5 par définition u 0 = = 9 4 = 5 u = u = = 7 u = = = 7 u = u = = 38 u = = = 38 90

99 Corrigé de l exercice 9. Pour que (v n ) soit géométrique de raison q, il faut que, pour tout entier naturel n : v n+ = qv n u n 3 + λ = q (u n + λ) (u n 4 ) 3 + λ = q (u n + λ). Ainsi, il faut que q = et que λ = λ, soit λ = 4 3. (v n ) est une suite géométrique de raison q =, donc elle converge vers 0 (car sa raison est strictement comprise entre 0 et ). Ainsi, ( lim u n + 4 ) = 0, ce qui signifie que lim n + 3 u n = 4 n + 3. Corrigé de l exercice 0. Pour tout entier naturel n, on a : Ainsi, on a : De plus, cos(n) n n + cos(n) n + n n n lim = lim n + n n + n + cos(n) n + n n n n = De même, n + lim = 0 n + n Ainsi, d après le théorème des gendarmes, lim u n = 0 n + lim n + n = 0 Corrigé de l exercice. a n+ = u n+ + v n+ = 0, 6u n + 0, 3v n + 0, 4u n + 0, 7v n = u n + v n = a n Ainsi, (a n ) est constante. Or, a 0 = u 0 + v 0 = + = donc a n = pour tout entier naturel n. 9

100 b n+ = 4u n+ 3v n+ = 4(0, 6u n + 0, 3v n ) 3(0, 4u n + 0, 7v n ) =, 4u n +, v n, u n, v n =, u n 0, 9v n = 0, 3 (4u n 3v n ) = 0, 3b n Ainsi, (b n ) est une suite arithmétique de raison q = 0, 3 et de premier terme : b 0 = 4u 0 3v 0 = 4 0, 5 3 0, 5 b 0 = 0, 5. 3 D après la question précédente, on peut écrire : De plus, on a : n N, b n = (0, 3)n. { an = u n + v n b n = 4u n 3v n { 3an = 3u n + 3v n b n = 4u n 3v n { bn = 4u n 3v n 3a n + b n = 7u n 3v n = 4 ( 3 7 a n + 7 b n) bn u n = 3 7 a n + 7 b n v n = 4 7 a n 7 b n u n = 3a 7 n + b 7 n v n = 4 (0, 3)n 7 4 u n = 3 + (0, 3)n lim n + (0, 3)n = 0 car 0 < 0, 3 <. Ainsi, lim (u n) = 3 n + 7. Corrigé de l exercice. a. T et P étant équiprobables, p (T ) = p (P ) = 0, 5. D après l énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à p P (T ) = 0, 8 = 0,. Toujours d après l énoncé p T (T ) = 0, 3. b. D après le principe des probabilités totales : p (T ) = p (T T ) + p (P T ) = 0, 5 0, 3 + 0, 5 0, = 0, 5 + 0, = 0, 5 = 4. 9

101 c. Recopier et compléter l arbre suivant : 0, 3 T n+ T n u n 0, 7 P n+ u n 0, T n+ P n 0, 8 P n+ d. Toujours d après le principe des probabilités totales : u n+ = p (T n+ ) = p (T n T n+ ) + p (P n T n+ ) = u n 0, 3 + ( u n ) 0, = 0, 3u n + 0, 0, u n = 0, u n + 0,. e. La calculatrice donne u = 0, 5 ; u = 0, 5 ; u 3 = 0, 5 ; u 4 = 0, 5 ; u 5 = 0, 5. Il semble que u n ait pour limite 0,.... a. v n+ = u n+ 9 = 0, u n + 0, 9 = 0 u n = 0 u n 45 = ( u n ) 0 9 = 0 v n. La suite (v n ) est donc géométrique de raison v = u 9 = 9 = 5 8. ; son premier terme est 0 ) n = 5 8 ( 0 ) n. b. On sait que v n = v ( 0 ( 0 ) n. Comme u n = v n + 9, on a u n = c. Comme 0 < 0 ( ) n <, lim = 0, donc lim n + 0 u n = n + 9. Or 9 = 0,... ce qui valide la conjecture faite à la question. e. 93

102 Corrigé de l exercice 3. Partie A ( ) lim = 0 donc lim ( x + x ln + ) = ln = 0. x + x ( lim = + donc lim f(x) = +. x 0 x) x 0 x>0 f (x) = x + x = ( ). x + x On sait que sur R +, + x > 0 donc f (x) < 0. Ainsi, f est strictement décroissante sur ] ; [ et sur ]0 ; + [. 3 On a le tableau suivant : x f(x) Partie B g (x) = f (x) = x + x = x x x(x + ) = x + x + x(x + ) Or, le discriminant de x + x + étant = 3 < 0, ce polynôme est toujours strictement positif. De plus, x(x + ) > 0 sur R + ; donc g (x) < 0 sur R +. g est donc strictement décroissante sur R +. g est strictement décroissante et continue sur [ ; ]. De plus, g ( ) = ln 3 0, 6 et g() = ln 0, 3. Donc 0 est une valeur intermédiaire entre g ( ) et g(). D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe alors une unique valeur α sur [ ; ] telle que g(α) = 0. g(x) = 0 f(x) x = 0 f(x) = x. Ainsi, α est aussi l unique solution de l équation f(x) = x sur [ ; ]. 94

103 Partie C v 0 = u 0 =. ( v = u = f (u ) = f(f(u 0 )) = f(f()) = f(ln ) = ln + ) ln v = u 4 = f(u 3 ) = f(f(u )) f(f(0, 893)) f(0, 75) 0, 846. v n+ = u (n+) = u n+ = u N+, N = n = f(u N+ ) = f(f(u N )) v n+ = f(f(u n )) 3 On pose (P n ) la propriété : «v n+ v n». Initialisation. D après la question, v v 0. Par conséquent, (P n ) est vraie pour n = 0. 0, 893. Hérédité. On suppose que (P n ) est vraie pour un n fixé. Montrons que (P n+ ) l est aussi. v n+ v n u n+ u n ( f f(u n+ ) f(u n ) f() car f est décroissante ) ( ( f f f (f(u n+ )) f (f(u n )) f(f()) )) Or, v n+ = f(f(u n )) et donc v n++ = f(f(u (n+) )), soit v n+ = f(f(u n+ )). f ( ( f v n+ v n+ f(f()) )) Or, f ( ( ( )) ( ) ) = ln 3 donc f f = ln + ln 3 0, 65 >. De plus, f() = ln donc f(f()) = ln( + ) 0, 89 <. ln v n+ v n+ L hérédité est alors vérifiée. Ainsi, (P n ) est vraie pour tout entier naturel n. 4 De la question précédente,n on déduit que (v n ) est décroissante (v n+ v n ) et minorée. Or, toute suite décroissante et minorée converge. Donc, (v n ) converge. 95

104 5 v n = u n ainsi, lim v n = lim u n = lim u n. n + n + n + Notons l cette limite. Alors, l > 0 d après la question 3 de cette partie. Or, u n+ = f(u n ) donc : lim u n+ = n + lim u n+ = f n + l = f(l) lim f(u n) n + ( ) lim u n n + car f est continue Or, nous avons montré que l équation f(x) = x admettait une unique solution sur R + : α. Ainsi, l = α. La suite (v n ) converge donc vers α. Partie D La boucle «Tant que» a pour but de calculer les termes de la suite (v n ) ; en prenant terme sur de la suite (u n ), on obtient ceux de (v n ). En ayant un terme v n = u n, pour obtenir v n+, on doit calculer f(v n ) (ligne 9) puis f(f(v n )) (ligne 0), d où les lignes 9 et 0 identiques. On peut remplacer ces deux lignes par : Corrigé de l exercice 4. a n+ = p (αu n + βv n ) + q (λu n + µv n ) a prend la valeur ln(+/ln(+/a)) = (αp + λq )u n + (βp + µq )v n. Pour que (a n ) soit constante, il faut que a n+ = a n, soit : De même, { αp + λq = µ βp + µq = λ (L ) (L ) : (αµ βλ)p = µ λ p = µ λ αµ βλ { αp + λq = β βp + µq = α (L ) (L ) : (αµ βλ)q = α β p = a. b n+ = (αp + λq )u n + (βp + µq )v n = αp ( + λq p u n + p ) (βp + µq ) v n p αp + λq Pour que (b n ) soit géométrique, il faut que : α β αµ βλ p (βp + µq ) αp + λq = q p q = αp + λq (βp + µq ). 96

105 b. p q = αp + λq (βp + µq ) βp + µp q = αp q + λq βp + (µ α)p q λq = 0 p + µ α β p q λ β q = 0 ( p + µ α ) ( µ α β q β ( p + µ α ) β q = (µ α) + 4βλ q 4β c. De l égalité précédente, on déduit : On en déduit : ou Soit : ou p + µ α β q = p + µ α β q = p µ α β q = p = p = (µ α) + 4βλ β (µ α) + 4βλ β (µ α) + 4βλ β (µ α) + 4βλ β ) q λ β q = 0 (µ α) + 4βλ β q. q q. q + α µ β q q + α µ β q. On en déduit alors : (µ α) + 4βλ + α µ p = q ou p = (µ α) + 4βλ + α µ q. β β d. Si p = q, alors : b n+ = p (u n+ + v n+ ) = p ((α + λ)u n + (β + µ)v n ) ( = p (α + λ) u n + β + µ ). α + λ Pour que (b n )soit géométrique, il faut donc que β + µ, soit β + µ = α + λ. α + λ 3 On prend α = 0, 6, β = 0, 3, λ = 0, 4, µ = 0, 7 et q = 3. On trouve facilement p = q =. D après la formule trouvée à la question.(c), on trouve deux valeurs possibles pour p : 3 ou 4. Or, la question.(d) nous dit que si q = p, alors on doit avoir β + µ = α + λ, ce qui n est pas le cas ici. 97

106 Donc p = 4. Finalement, on a : et n N, n N, { un+ = 0, 6u n + 0, 3v n v n+ = 0, 4u n + 0, 7v n { an = u n + v n b n = 4u n 3v n. Corrigé de l exercice 5. Notons lim n + u n = α. Alors, u n+ = f(u n ) lim u n+ = n + ( ) Or, f est continue donc lim f(u n) = f lim u n = f(α). n + n + Ainsi, u n+ = u n ( u n ), u 0 = 0, 4. α = f(α) lim f(u n). n + a. u n+ u n = u n u n u n = u n 0 car un carré est toujours positif ou nul. Ainsi, pour tout entier naturel n, u n+ u n ; la suite (u n ) est donc décroissante. b. Initialisation. u 0 = 0, 4 donc 0 u 0. Hérédité. On suppose que pour un entier n donné, 0 u n. u n+ = u n ( u n ) ; de plus, par hypothèse de récurrence, 0 u n et donc 0 u n. Par produit, 0 u n ( u n ). Donc 0 u n+. L hérédité est alors vérifiée : u n u n+. Par conséquent, pour tout entier naturel n, 0 u n. c. La suite (u n )étant décroissante et minorée, elle converge. Sa limite α vérifie : α = α( α) α = α α 0 = α α = 0 Ainsi, lim u n = 0. n + d. Avec de telles hypothèses, la population de coccinelles tend à disparaître. 3 u n+ =, 8u n ( u n ), u 0 = 0, 3. a. f(x) =, 8x( x) =, 8(x x ) donc f (x) =, 8( x). Donc f (x) 0 x 0 x x 98

107 ( [ De plus, f =, 8 0, 5, 5 = 0, 45 0 ; ) ]. D où le tableau suivant : x f (x) f ,45 0 b. Initialisation. u 0 = 0, 3 et u = f(0, 3) =, 8 0, 3 0, 7 = 0, 378. Donc 0 u 0 u. Hérédité. Supposons que pour un entier n donné, 0 u n u n+. [ La fonction f étant croissante sur 0 ; ], 0 u n u n+ ( f(0) f(u n ) f(u n+ ) f ) 0 u n+ u n+ L hérédité est alors vérifiée. Ainsi, la propriété est vraie pour tout entier naturel n : 0 u n u n+ c. De la question précédente, on déduit que (u n )est croissante (u n+ u n ) et majorée (par ) donc elle converge. Sa limite α vérifie : α = f(α) α =, 8α( α) =, 8( α) car α 0, 8 = α α =, 8 α = 4 9 Ainsi, lim u n 0, n + d. On conclut de la question précédente qu à long terme, la population de coccinelles se rapprochera de

108 Corrigé de l exercice 6. On peut écrire : ϕ(x) = ln [ x ( )] + x x = ln (x ) + ln ( + x x = ln x x + ( x ln + ) x ) Or, ln x lim x + x = 0 (cours) ( x = 0 donc lim ln + ) = ln = 0. x + x Par produit, lim ( x + x ln + ) = 0. x lim x + Finalement, a. Nous avons, pour n fixé : lim ϕ(x) = 0. x + lim (x ) = + ; x + lim ln ( x + ) ln (x + ) = + donc lim = + (car n > 0). x + x + n Ainsi, par somme, lim f n(x) = +. x + b. La dérivée de x ln (x + ) (fonction de la forme ln u) est la fonction x x x + ( u u ). Ainsi, f n(x) = + x n(x + ). c. De la question précédente, on peut déduire que pour tout entier naturel n, f n(x) > 0. D où le tableau de variations suivant : x 0 + f n (x) + f n (0) = 0 + ln(0 + ) =. n d. La fonction f n est continue et strictement croissante sur [0 ; + [. De plus, «0» est une valeur intermédiaire entre f n (0) = et lim f n(x). x + Ainsi, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l équation f n (x) = 0 admet une unique solution, que l on notera α n (pour renforcer le fait que cette valeur dépend du nombre n), sur [0 ; + [. 00

109 e. f n () = + ln( + ) n entre f n (0) et f n (). Ainsi, α n ]0 ; [. 3 D après la question précédente, Nous avons : = ln n f n (α n ) = 0 α n + ln (α n + ) n ln (α n + ) = α n n > 0. Donc «0» est une valeur intermédiaire = 0 ln ( α n + ) = n ( α n ). f n+ (α n ) = α n + ln (α n + ) n + = α n + n ( α n) (d après la question précédente) n + = ( α n ) + n ( α n) n + [ = ( α n ) + n ] n + ( ) n + n = ( α n ) = ( α n) n + Or, 0 < α n < donc α n > 0. De plus, n > 0 donc ( α n) n + Ainsi, f n+ (α n ) < 0. < 0. n + 4 a. À l aide de la calculatrice, on trouve : α 0, 77 ; α 4 0, 9 ; α 0 0, 97. b. La fonction f n+ est strictement croissante sur ]0 ; [. De plus, f n+ (α n ) < 0 donc l image de α n par f n+ est négative, ce qui signifie que la solution à l équation f n+ (x) = 0 est supérieure à α n. Ainsi, α n+ > α n. La suite (α n )est donc croissante. c. On sait que 0 < α n < donc la suite (α n ) est majorée. De plus, elle est croissante. Or, toute suite croissante et majorée converge. Donc (α n ) converge. d. lim f ln (x + ) n(x) = x car lim = 0. n + n + n Or, α n représente la solution unique à l équation f n (x) = 0. Donc, si l on pose l = lim α n, alors n + lim f n(x) = 0 x = l. n + 0

110 Or, donc soit Ainsi, lim α n =. n + lim f n(x) = x n + l = 0 l =. Corrigé de l exercice 7. Faisons un bel arbre de probabilités pour nous aider : A B C A C C 3 3 B 3 C 3 C 3 C 3 a. a = P (A ) = 0 ; b = et c = d après l énoncé. 3 a +b +c =, ce qui est normal car la somme des probabilités d événements formant une partition de l univers est toujours égale à. b. À l instant n =, la puce peut se trouver en A ou C car à l instant n =, elle se trouve en B ou C uniquement. On a : a = P B (A ) P (B ) = 3 = 6. b = 0. c = = = 5 6. c. Pour n = 3, la puce se trouve en B ou C. a 3 = 0. b 3 = 3 6 = 8. c 3 = = 7 8. a. On s inspire de ce qui a été fait pour conjecturer que a k+ = 0. En effet, pour les rangs impairs, la puce ne peut pas être en A car pour les rangs pairs, elle se trouve en A ou C. b. b k+ = P Ak (B k+ ) P (A k ) = 3 a k. a k+ = P Bk+ (A k+ ) P (B k+ ) = b k+. c. De la question précédente, on déduit : a k+ = 3 a k = 6 a k. 0

111 Donc : a k = 6 a (k ) = 6 a (k ) = 6 3 a (k 3) = = 6 k a (k k) = 6 k a 0 a k = 6 k car a 0 =. 3 a n 0 6 a k k 0 6 ln ln 0 6 6k k ln 6 ln ln 0 k ln 6 k 8 n 4 Le plus petit entier n tel que a n 0 6 est donc n = 4. 4 lim a k = lim k + k + 6 = 0. k Donc (a n ) converge vers 0. Corrigé de l exercice 8. e x = x e x = x x e x = 0 Ainsi, x est solution de (E) si et seulement si f(x) = 0. a. f (x) = + e x > 0 car une exponentielle est toujours strictement positive. Ainsi, f est strictement croissante sur R. ( b. lim x e x = lim X + ex = + donc lim ) e x = ; x par somme, f(x) = < 0 ; lim x lim x + e x = lim X ex = 0 donc lim f(x) = + > 0 ; x + f est continue et strictement croissante sur R. Par conséquent, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), il existe une unique valeur α sur R telle que f(α) = 0. ( c. f = ) [ ] e 0, et f() = e 0, 63 > 0 donc α ;. 03

112 [ ] d. La fonction f est strictement croissante sur [0 ; α] et α ; [0 ; α]. 3 g(x) = x + x + e x = x + x = x( + e x ) + x = x + xe x = xe x donc f(x) < 0 sur e x = x x e x = 0 x e x = 0 f(x) = 0 4 α est l unique solution de l équation f(x) = 0, donc l unique solution de l équation g(x) = x car les deux équations sont équivalentes. 5 g (x) = ( + ex ) ( + x) e x ( + e x ) = + ex e x xe x ( + e x ) = xex ( + e x ) Ainsi, g (x) > 0 xe x > 0 car ( + e x ) > 0 pour tout réel x. Or, Ainsi, g est croissante sur [0 ; α]. xe x > 0 > xe x e x > x x e x < 0 f(x) < 0 x [0 ; α[ 6 u 0 = 0 et u = g(u 0 ) = g(0) = donc 0 u 0 u α. L initialisation est faite. Supposons que pour un entier n donné, 0 u n u n+ α. Comme g est croissante sur [0 ; α], alors, g(0) g(u n ) g(u n+ ) g(α), soit : u n+ u n+ α car g(α) = α d après la question 4. Comme 0 <, on a bien : 0 u n+ u n+ α. 04

113 L hérédité est alors vérifiée ; par conséquent, pour tout entier naturel n, 0 u n u n+ α. 7 De la question précédente, on déduit que (u n ) est croissante et majorée. Or, toute suite croissante et majorée converge. Donc, (u n ) converge. 8 De l égalité u n+ = g(u n ), on déduit : lim u n+ = lim g(u n) n + n + ( ) l = g lim u n n + l = g(l) car g est continue Ainsi, l est solution de l équation g(x) = x. Or, α est l unique solution de cette équation. Donc lim u n = α. x + 9 On a : n u n 0 0 0, 5 0, , , Ainsi, u 4 0, Corrigé de l exercice 9. A 0 B B A A B 0 a = a 0 + b 0 b = a 0 + a = = 4 a = a + b b = a + a = 3 8 = 7 6 On peut s inspirer de ce qui a été fait à la question précédente pour écrire : a n+ = a n + b n ; b n+ = a n + a n+ 05

114 3 u n+ = a n+ b n+ = a n + b n = b n a n+ = b n an+bn = b n a n b n 4 = b n a n 4 a n + a n+ = 4 (a n b n ) u n+ = 4 u n La suite (u n ) est donc géométrique de raison q = 4. 4 v n+ = 3a n+ + b n+ = 3a n + 3b n + a n + a n+ = 5a n + 3b n + a n+ = 5a n + 3b n + an+bn = 0a n + 6b n + a n + b n 4 = a n + 8b n 4 = 3a n + b n v n+ = v n Ainsi, la suite (v n ) est constante. 5 D après les questions 3 et 4, on a : { un = a n b n L v n = 3a n + b n L soit : { 3un v n = 5b n 3L L D où : a n = u n + v n 5 Or, (u n ) est géométrique donc : De plus, (v n )est constante donc : u n + v n = 5a n L + L et b n = v n 3u n. 5 ( u n = u 0 q n = ( ) n. } {{ } 4) =a 0 b 0 v n = v 0 = 3a 0 + b 0 =. 06

115 On a alors : a n = ( ) n 4 + et b n = + 3 ( ( Or, lim n = 0 car < n + 4) <. Ainsi, 4 ) n. lim n + a n = 5 et lim b n = n + 5. On peut déduire alors que les points A n et B n se rapprochent de plus en plus du point d abscisse 5. Corrigé de l exercice 0. f est dérivable sur R + comme somme de deux fonctions dérivables sur cet ensemble. On a : f (x) = e x x. Or, e x > 0 car une exponentielle est toujours strictement positive, donc e x < 0 et x < 0, donc f (x) < 0 sur R +. Ainsi, f est strictement décroissante sur R +. f est continue sur R +. De plus, f(0) = et f() = e < 0 donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; [. 3 La formule qui donne l équation réduite de la tangente en un point d abscisse a est : ce qui donne ici : y = f (a)(x a) + f(a) ( y = e ) (x ) + e ( = e ) (x ) + e e e ( ) + e = (x ) + e e e ( ) + e = x + + e + e e e e ( ) + e y = x + 4 e e e 4 L abscisse du point d intersection de (T 0 ) et de l axe des abscisse se trouve en résolvant l équation : ( ) + e x + 4 e = 0 e e ( ) + e x = 4 e e e x = 4 e e e + e x = 4 e + e 07

116 5 a. Sur R +, e x < 0 et x < 0 donc f (x) < 0 soit, en particulier, f (x) 0. b. Par définition, on a : (T n ) : y = f (x n )(x x n ) + f(x n ) et en remplaçant x par x n+, par définition toujours, on doit obtenir 0 : d où : f (x n )(x n+ x n ) + f(x n ) = 0 f (x n )(x n+ x n ) = f(x n ) x n+ x n = f(x n) f (x n ) (carf (x n ) 0) x n+ = x n f(x n) f (x n ) 6 a. On a le tableau complété suivant : i x 0, , , , , b. La valeur affichée par cet algorithme correspond à x 5. c. Dans la mesure où les différentes valeurs de x calculées dans la boucle de l algorithme correspondent aux termes successifs de la suite (x n ) n 0, on peut conjecturer que lim n 0, n + 7 C est au-dessus de (T 0 ) donc x < α. Dans un cas général, le point d intersection de la tangente à une courbe C f (toujours située au-dessus de ses tangentes) et de l axe des abscisses sera toujours avant la solution de l équation f(x) = 0. Donc, x n α pour tout entier naturel n. 8 Par définition, x n+ x n = f(x n) f (x n ). Or, f(x) 0 sur ]0 ; α] (d après les variations de f) et f (x) < 0 sur ce même intervalle. Par conséquent, x n+ x n 0, soit (x n ) n 0 croissante sur ]0 ; α]. Or, la suite est majorée par α, donc elle converge. Notons l sa limite. Alors, la relation : x n+ = x n f(x n) f (x n ) devient (car f et f sont continues sur ]0 ; α]) : soit : l = l f(l) f (l) f(l) = 0. Or, l unique solution de l équation f(x) = 0 sur ]0 ; α] est α. Donc la limite de (x n ) n 0 est α. 08

117 Corrigé de l exercice. a. Pour calculer u, on prend en compte que l allongement est homogène ; ainsi, quand Léo est à mètre du point de départ, quand on tire l élastique pour faire passer sa longueur de 00 mètres à 00 mètres, on la multiplie par donc on doit faire de même pour la longueur qui sépare Léo du point de départ. Par conséquent, après l allongement, Léo se trouve à = mètres du point de départ. Il suffit ensuite d ajouter mètre et on obtient u = 3. b. Sur ce même principe, on calcule u 3 : quand on allonge l élastique de sorte à ce que sa longueur passe de 00 mètres à 300 mètres, on la multiplie par 300 =, 5. Pour 00 obtenir la valeur de u 3, on multiplie donc u par,5 puis on ajoute : u 3 =, 5u + =, = 5, 5. Selon le même principe que précédemment, pour calculer u n+ connaissant u n, il faut trouver le «coefficient d allongement». Notons l n la longueur de l élastique, en mètre, à l étape n (avant l allongement). Ainsi, l = 00, l = 00 et par extension, l n = 00n. Le «coefficient d allongement» est donc k n = Ainsi, u n+ = 00(n + ) 00n ( + ) u n +. n 3 u 3 = 5, 5 et l 3 = 300 donc p 3 = u 3 l 3 00 = 6 = Montrons par récurrence la formule proposée. = + n. Initialisation : nous l avons montré pour n =, n = et n = 3. Hérédité : supposons que pour un entier k > 0, p n = n. Quand on allonge l élastique de 00 mètres, le pourcentage ne change pas car l allongement est homogène (conserve les proportions). En ajoutant mètre, proportionnellement à la longueur l n+, on a ajouté n + %. Ainsi, p n+ = p n + n + = n + n +. L hérédité est alors vérifiée. La formule est donc vraie pour tout entier naturel n non nul. 5 Par récurrence : p 0 = p = + 0 ; p = p = + + ; p = p 4 = } {{ } = + ; p 3 = p 8 = p } {{ 8 } + = + 3 ; 4 8 = 09

118 On suppose que p n + (n ). p n = p n + n + + n } {{ n } Or, 6 lim n + =s n. k + p pour tout entier k et pour tout entier p tel que p k +. k+ Ainsi, dans la mesure où il y a ( n ) termes dans s n, s n ( n ) n =. Par conséquent, p n + (n ) +, soit p n + n. L hérédité est vérifiée donc la formule est vraie pour tout entier naturel n. ( + ) n = + donc d après le théorème de comparaison des suites, lim p n = +. n + Cela sous-entend donc que le pourcentage de chemin fait par Léo sur l élastique dépassera 00, ce qui signifie qu il arrivera au bout de l élastique. Cela peut alors surprendre car le procédé ne permet a priori pas de l envisager. C est ce que l on appelle un paradoxe qui peut s expliquer de la façon suivante : pour n assez grand, on démontre (pas nous! mais les grands mathématiciens...) que p n ln n (à une constante près, que l on appelle la constante d Euler, et que l on note γ) donc si on cherche n tel que p n 00, on cherche n pour que ln n 00, soit n e 00. Or, e 00, Alors, même si Léo faisait mètre par seconde, il faudra à peu près, secondes pour qu il atteigne le bout de l élastique, ce qui correspond 8, années... Autant dire jamais! 0

119 Trigonométrie Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Équations & inéquations Exercice. Équations trigonométriques A Résoudre dans R, puis sur ] π ; π] les équations suivantes : ( cos x + π ) = 6 ( sin 3x π ) = 7 ( 3 cos x + π ) = sin x 3 ( 4 cos x + π ) ( = sin x π ) 4 3 Corrigé page 5 Exercice. Équations avec changement de variable R Résoudre sur ] π ; π] les équations suivantes : cos x 3 cos x + = 0 sin x + 5 sin x + = 0 ( 3 a. Développer 9 3 ). b. Résoudre : 3 cos x ( ) cos x + 9 = 0. Corrigé page 7 Exercice 3. Inéquations avec changement de variable R Corrigé page 9 Résoudre sur ] π ; π] les inéquations suivantes en vous aidant des résultats de l exercice : cos x 3 cos x + 0 sin x + 5 sin x + < cos x ( ) cos x + 9 0

120 Exercice 4. Inéquations trigonométriques R Résoudre sur ] π ; π] les inéquations suivantes : ( cos x + π ) < 6 Limites ( sin 3x π ) 7 Corrigé page Exercice 5. Calcul de limites R sin(ax) Calculer lim x 0 sin x cos x Calculer lim x 0 sin x., a R. cos x 3 Calculer lim. x 0 x 4 a. Montrer que cos x = x b. En déduire lim x 0 cos x x Fonctions trigonométriques ( ) sin x x. cos x puis lim. x 0 x Corrigé page Exercice 6. Encadrement de cos x R Le but de cet exercice est de démontrer que pour tout réel x, on a : Corrigé page 3 x cos x x + x4 4. On pose f(x) = cos x + x. À l aide des fonctions f (x) et f (x), montrer que f(x) 0 pour tout réel x. On pose g(x) = cos x + x x4 4. En dérivant quatre fois g(x), montrer que g(x) 0 pour tout réel x. 3 Conclure. 4 Application. Donner un encadrement de cos π 5. Exercice 7. Étude de la fonction x On définit la fonction f par : f(x) = Déterminer le domaine de définition D f de f. Montrer que f est périodique. cos x +sin x A cos x + sin x. Corrigé page 4

121 ] 3 Déterminer f (x), puis en déduire le sens de variation de f sur π ; 3π [. Exercice 8. Fonction x cos 3 x cos(3x) R On considère la fonction définie sur R par : Déterminer le sens de variation de f sur [ 3 Résoudre sur 0 ; π ] l équation f(x) = 0. f(x) = cos 3 x cos(3x). Montrer que l on peut réduire le domaine d étude de f à l intervalle [ 0 ; π ]. 4 Dessiner alors la courbe représentative de f sur [ π ; π ]. [ 0 ; π ]. Corrigé page 5 Exercice 9. Fonction x sin 3 x cos(3x) R On considère la fonction définie sur R par : f(x) = sin 3 x cos(3x). Corrigé page 6 [ Montrer que l on peut réduire le domaine d étude de f à l intervalle 0 ; π ]. À l aide de la formule cos(a) = cos a = sin a, déterminer une valeur exacte de cos π 8 et de sin π 8. 3 Montrer que 3 =. [ 4 Déterminer le sens de variation de f sur 0 ; π ] puis dresser le tableau de variation de f [ sur 0 ; π ] ( ) π en indiquant la valeur exacte de f. 8 ( ) 3π On admettra que f = [ 5 Résoudre sur 0 ; π ] l équation f(x) = 0. [ 6 Dessiner alors la courbe représentative de f sur π ; π ]. Exercice 0. D après un sujet de bac, Nouvelle Calédonie 005 R Corrigé page 9 Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n est plus qu à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c est-à-dire à 30 km/h. L avant du camion est représenté par le segment [CC ] sur le schéma page suivante. 3

122 C A 4 m Camion 7 m θ C B D Le lapin part du point A en direction de D. Cette direction est repérée par l angle θ = BAD avec 0 θ π (en radians). Déterminer les distances AD et CD en fonction de θ et les temps t et t mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD. On pose f(θ) = 7 sin θ?4 + cos θ. Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ) > 0. 3 Étudier la fonction f sur l intervalle Conclure. [ 0 ; π [. 4

123 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. ( cos x + π ) = ( 6 cos x + π ) ( ) π = cos 6 3 x + π 6 = π 3 + kπ x + π 6 = π 3 + kπ k Z x = π 3 π 6 + kπ x = π 3 π 6 + kπ x = π 6 + kπ x = π + kπ k Z k Z sin x = π + kπ x = π 4 + kπ Sur ] π ; π], les solutions sont donc : π π 3π 4 O π cos π π = π π 4 π 4 π 4 + π = 3π 4 S = { π } ; π 4 ; π ; 3π 4 5

124 ( sin 3x π ) = 7 ( sin 3x π ) ( = sin π ) 7 4 3x π 7 = π 4 + kπ 3x π ( 7 = π π ) + kπ 4 k Z 3x = π 4 + π 7 + kπ 3x = 5π 4 + π 7 + kπ k Z 53π 84 sin 3π 8 3x = 3π 8 + kπ 3x = 39π 8 + kπ k Z x = π 8 + kπ 3 x = 3π 8 + kπ 3 k Z Sur ] π ; π], les solutions sont donc : π 8, π 8 + π 3 = 53π 84 et 73π 84 59π 84 O cos π 8 7π 84 π 8 π 3 = 59π 84 3π 8, 3π 8 π 3 = 7π 84 et 3π 8 4π 3 = 73π 84 S = { 73π 84 ; 59π 84 ; 7π 84 ; π } 8 ; 3π 8 ; 53π 84 ( 3 cos x + π ) 3 ( = sin x cos x + π 3 ) ( ) π = cos x x + π 3 = π x + kπ x + π 3 = π + x + kπ k Z x = π 6 + kπ π k Z 3 = π + kπ impossible x = π + kπ, k Z { Sur ] π ; π], S = π } ; π 6

125 ( 4 cos x + π ) ( = sin x π ) 4 3 ( cos x + π ) 4 ( cos x + π ) 4 ( π = cos x + π ) 3 ( ) 5π 6 x = cos x + π 4 = 5π 6 x + kπ x + π 4 = 5π 6 + x + kπ k Z 3x = 5π 6 π 4 + kπ x = 5π 6 π 4 + kπ k Z 3x = 7π + kπ x = 3π k Z + kπ x = 7π 36 + kπ 3 x = 3π k Z + kπ { Sur ] π ; π], S = 3π } ; 7π 36 ; 3π 36 ; 7π 36 Corrigé de l exercice. cos x 3 cos x + = 0. Posons X = cos x. Ainsi, l équation dévient : X 3X + = 0. Le discriminant du polynôme X 3X + est : Ce dernier admet donc deux racines : = 9 4 =. X = 3 4 = et X = =. Ainsi, cos x = et cos x =, donc : x = π 3 ou x = π 3 et x = 0. On a alors : { S = π } 3 ; 0 ; π 3 sin x + 5 sin x + = 0. Posons X = sin x. Ainsi, l équation devient : X + 5X + = 0. 7

126 Le discriminant du polynôme X + 5X + est : Ce dernier admet donc deux racines : Ainsi, soit : X = = 5 4 = 9. = et X = =. sin x = (impossible car < ) et sin x =, x = π 6 ou x = π + π 6 = 5π 6. On a alors : S = { 5π } 6 ; π 6 ( 3 a. 9 3 ) = = b. 3 cos x ( ) 9 cos x + = 0. Posons X = cos x. L équation devient alors : 3X ( ) X + 9 = 0. Le discriminant du polynôme 3X ( ) X + 9 est : = [ = 9 3 ( 3 + ) ] ( ) 08 = = 7 54 = 7 54 ( = 9 3 ) d après la question précédente. Ce dernier admet donc deux racines : X = ( ) et Ainsi, cos x = = X = ( ) = 3. = et cos x = 3 (impossible car 3 > ), 8

127 soit : x = π 4 oux = π 4. Finalement, on a : { S = π } 4 ; π 4 Corrigé de l exercice 3. cos x 3 cos x + 0. D après l exercice précédent, le polynôme X 3X + se factorise sous la forme : ( (X ) X ). Ainsi, ( cos x 3 cos x + = (cos x ) cos x ). cos x donc cos x 0 sin cos x > 0 cos x > [ x π 3 ; π ] O cos 3 D où le tableau suivant : x cos x cos x cos x 3 cos x + L ensemble solution de l inéquation est donc : sin x + 5 sin x + < 0. D après l exercice précédent, π π π 3 3 π 0 S = [ π ; π ] [ π 3 3 ; π] ( sin x + 5 sin x + = (sin x + ) sin x + ). sin x donc sin x + 3 sin sin x + < 0 sin x < [ x 5π ] 6 ; π O cos 6 D où le tableau suivant : 5π 6 π 6 9

128 x sin x + sin x + sin x + 5 sin x + L ensemble solution de l inéquation est donc : π 6 π 5π S = ] 5π [ 6 ; π 6 π 3 3 cos x ( ) cos x D après l exercice précédent, P (x) = 3 cos x ( ( ) 9 cos x + = 3 cos x ) (cos x 3). cos x donc 4 cos x 3 sin π 4 cos x > 0 cos x > [ x π 4 ; π ] O cos 4 π 4 D où le tableau suivant : x cos x 3 cos x P (x) π π π 4 4 π L ensemble solution de l inéquation est donc : S = [ π 4 ; π ] 4 0

129 Corrigé de l exercice 4. ( cos x + π ) < 6 π < x + π 6 < π 3 ou π 3 < x + π 6 < π 7π 6 < x < π ou π 6 < x < 5π 6 7π < x < π 4 ou π < x < 5π sin 5π O π cos 7π π 4 ( sin 3x π ) 7 S = ] 7π [ ; π 4 3π 4 3x π 7 π 4 ] π ; 5π [ 3π 4 + π 7 3x π 4 + π 7 7π 3x 3π 8 8 7π 84 x π 8 S = [ 7π 84 ; π ] 8 Corrigé de l exercice 5. Ici, nous avons une forme indéterminée du type «0» donc nous allons passer par la notion 0 de taux d accroissement. Posons f(x) = sin(ax) et g(x) = sin x. Alors, f (x) = a cos(ax) donc f (0) = a, et g (x) = cos x donc g (0) =.

130 De plus, f(0) = g(0) = 0 et, pour tout x différent de 0, on a : Ainsi, Or, f(x) f(0) lim x 0 x 0 Ainsi, sin(ax) sin x sin(ax) lim x 0 sin x f(x) f(0) x 0 = x 0 g(x) g(0). = lim f(x) f(0) x 0 x 0 x 0 g(x) g(0). = f (0) et lim x 0 g(x) g(0) x 0 sin(ax) lim x 0 sin x N.B. On aurait aussi pu écrire : = g x 0 (0) donc lim x 0 g(x) g(0) = g (0). = lim f(x) f(0) x 0 lim x 0 x 0 x 0 g(x) g(0) = a. sin(ax) sin x sin(ax) lim x 0 sin x = a = a sin(ax) ax sin X et utiliser la propriété du cours : lim X 0 X =. On sait que cos x + sin x = donc sin x = cos x. Ainsi, Ainsi, lim x 0 cos x sin x 3 On a : x sin x cos x sin x = cos x cos x cos x = ( cos x)( + cos x) cos x = ( cos x)( + cos x) = pour x 0 + kπ, k Z. + cos x = lim x 0 + cos x =. cos x x Or, d après le cours, lim x 0 cos x x cos x lim x 0 sin x = (cos x )(cos x + ) = x = cos x (cos x + ) x cos x (cos x+) = 0 (cos 0+) = 0. x 0 x = 0 donc lim cos x lim x 0 x = 0

131 4 a. ( ) sin x x = sin x x 4 = 4 cos x x = cos x x = + ( cos x x ) )] = + [ cos ( x car cos(a) = cos a x ( ) sin x x = cos x x sin X b. On sait que lim X 0 X d où : De plus, lim x 0 cos x x sin x = donc lim x 0 x = lim X 0 cos X X cos x lim = x 0 x =. On a alors lim x 0 (en posant X = x). D après ce qui précède, on obtient alors : lim x 0 cos x x Corrigé de l exercice 6. = ( ) sin x x =, f(x) = cos x + x donc f (x) = sin x + x et f (x) = cos x +. On sait que pour tout réel x, cos x donc 0 f (x). Autrement dit, f (x) 0 donc f est strictement croissante sur R. De plus, f (0) = 0 donc f (x) 0 sur R. Par conséquent, f est strictement croissante sur R. Or, f(0) = 0 donc on en déduit que f(x) 0 sur R. g(x) = cos x + x x4 4, donc g (x) = sin x + x x3 6, g (x) = cos x + x, g (x) = sin x x et g (x) = cos x. On a alors g (4) (x) 0 sur R, donc g (3) est strictement décroissante sur R. Or, g (3) (0) = 0 donc g (3) (x) 0 sur R. On en déduit que g est décroissante sur R. Or, g (0) = 0 donc g (x) 0 sur R, ce qui implique que g est décroissante sur R. Or, g (0) = 0 donc g (x) 0 sur R, donc g est décroissante sur R. Or, g(0) = 0 donc g(x) 0 sur R. 3 De la question, on déduit que pour tout réel x : cos x + x De la question, on déduit que pour tout réel x : cos x + x. Ainsi, cos x + x x4 4 x 0 cos x + x + x4 4. cos x x + x4 4. 3

132 4 Si x = π 5, alors : π 50 cos π 5 π 50 + π π 4 N.B. On remarque que est très proche de 0 (à peu près égal à 0,006), ce qui nous permet de dire que cos π 5 π (au centième près). 50 En effet, π 50 0, 0, 803 et cos π 0, 809. On a bien une erreur de 0, Corrigé de l exercice 7. f(x) est défini quand + sin x 0. Or, + sin x = 0 sin x = x = π + kπ, k Z. Ainsi, le domaine de définition de f est D f = R \ { π } + kπ, k Z. On sait que cos(x + π) = cos x et sin(x + π) = sin x. Par conséquent, f(x + π) = f(x). Ainsi, f est π-périodique. 3 f est de la forme u, avec u(x) = cos x et v(x) = + sin x. v Ainsi, f est de la forme u v uv, avec u (x) = sin x et v (x) = cos x. v f (x) = sin x( + sin x) cos x ( + sin x) = sin x sin x cos x ( + sin x) = sin x (sin x + cos x) ( + sin x) f (x) = sin x + ( + sin x) car cos x + sin x = pour tout réel x. ] Or, pour tout réel x π ; 3π [, sin x donc 0 sin x +. De plus, ] ( + sin x) > 0 donc f (x) < 0 sur π ; 3π [. ] Ainsi, f est strictement décroissante sur π ; 3π [. 4

133 Corrigé de l exercice 8. Montrons d abord que f est π-périodique. f(x + π) = [ cos(x + π) ] 3 cos ( 3(x + π) ) f(x + π) = f(x) = [ cos x ] 3 cos(3x + 3π) = cos 3 x cos(3x + π) = cos 3 x ( cos(3x) ) = cos 3 x cos(3x) Donc f est π-périodique. On [ peut donc réduire l intervalle d étude à un intervalle d amplitude π, par exemple π ; π ]. Montrons que f est paire. D abord, le domaine de définition de f est centré en 0. De plus, Donc f est paire. f( x) = [ cos( x) ] 3 cos( 3x) f( x) = f(x) = [ cos x ] 3 cos(3x) = cos 3 x cos(3x) On peut donc réduire le domaine d étude à la moitié du précédent, donc à exemple. [ 0 ; π ] par N.B. On aurait aussi pu prendre [ π ; 0 ]. f est de la forme uv avec u(x) = cos 3 x et v(x) = cos(3x). Ainsi, f = u v + uv avec u (x) = 3 ( sin x) cos x = 3 sin x cos x et v (x) = 3 sin(3x). x f (x) = 3 sin x cos x cos(3x) 3 cos 3 x sin(3x) = 3 cos x [ sin x cos(3x) + cos x sin(3x) ] = 3 cos xsin(x + 3x) d après la formule sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a f (x) = 3 cos x sin(4x) [ 0 ; π ], 3 cos x 0. De plus, sin(4x) > kπ < 4x < π + kπ kπ < x < π 4 + kπ. 5

134 [ Ainsi, sur 0 ; π ], on a : x f (x) f(x) 0 π π ( ) ( π f = cos π ) 3 3π cos ( ) 3 ( ) = = ( ) 8 = 4 6 = 4 3 f(x) = 0 cos 3 x = 0 ou cos(3x) = 0 cos x = 0 ou cos(3x) = 0 x = π + kπ ou 3x = π + kπ, k Z x = π + kπ ou x = π 6 + kπ 3, k Z [ Ainsi, sur 0 ; π ], f(x) = 0 x = π ou x = π 6. 4 La courbe représentative de f est donnée ci-dessous : π π 4 π π 6 π 4 π Corrigé de l exercice 9. Montrons d abord que f est pi-périodique. f(x + π) = [ sin(x + π) ] 3 cos [ 3(x + π) ] f(x + π) = f(x) = [ sin x ] 3 cos(3x + 3π) = sin 3 x cos(3x + π) = sin 3 x [ cos(3x) ] = sin 3 x cos(3x) La fonction f est donc π-périodique ; on peut [ donc restreindre l intervalle d étude de f à un intervalle d amplitude π, par exemple π ; π ]. 6

135 Montrons que f est impaire. Le domaine de définition de f est centré en 0. De plus, f( x) = [ sin( x) ] 3 cos( 3x) = [ sin x ] 3 cos(3x) = sin 3 x cos(3x) f( x) = f(x) La fonction f est [ donc impaire ; on peut donc réduire l intervalle d étude précédent à sa moitié, donc à 0 ; π ]. Remarquons que π 8 = π 4 donc : ( cos π ) = cos π 8 8 De même, + = π cos 8 cos π 8 = ( + cos π 8 = + ) ( cos π ) = sin π 8 8 car cos π 8 > 0. = π sin 8 sin π 8 = ( ) sin π 8 = car sin π 8 > 0. 3 ( ) = 3 donc ( ) = 3, soit ces nombres sont positifs). 4 f est de la forme uv avec u(x) = sin 3 x et v(x) = cos(3x). Donc f = u v + uv avec u (x) = 3 cos x sin x et v (x) = 3 sin(3x). Ainsi, x f (x) = 3 cos x sin x cos(3x) 3 sin(3x) sin 3 x = 3 sin x ( cos x cos(3x) sin(3x) sin x ) f (x) = 3 sin x cos(4x) [ 0 ; π ], 3 sin x 0. De plus, 3 = (car tous en utilisant la formule cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(4x) > 0 π + kπ < 4x < π + kπ π 8 + k π < x < π 8 + k π 7

136 [ Donc sur 0 ; π ] [, cos(4x) 0 x 0 ; π ] [ 3π 8 8 ; π ] d où le tableau suivant : x f (x) 0 π 8 3π π f(x) ( ) ( π f = sin π ) 3 3π cos = 4 ( ) ( π cos 4 + π ) 8 [ = cos π 8 4 cos π 8 sin π 4 sin π ] 8 ( ) + = 8 ( ) = 8 4 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = = 3 = 3 = 3 = = 3 ( ) + 4 ( 8 ) ( 3 ) ( )( 3 ) ( 6 )( ) ( ) ( 6 )( ) = 6 = ( ) π f = d après la question 3 8

137 5 La courbe représentative de f est donnée ci-dessous : 3π 8 π 8 0 π 8 3π 8 Corrigé de l exercice 0. Le triangle ABD est rectangle en B donc : cos θ = AB 4 AD = AD cos θ. tan θ = BD BD = 4 tan θ AB On en déduit alors que CD = tan θ. D après la formule v = d t, on déduit que t = AD, exprimée en heures. Il est plus judicieux 30 d exprimer cette durée en minutes en remarquant que : Ainsi, t = cos θ. 30 km/h = m 60 min De même, 60 km/h = 000 m/min donc t = tan θ 000 = 500 m/min. le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si t > t, donc si et seulement si t t > 0. t t = tan θ cos θ = ( tan θ 4 ) 500 cos θ = ( sin θ cos θ 4 ) cos θ = ( sin θ 4 ) cos θ = 500 f(θ).. 9

138 Ainsi, t t > 0 f(θ) > 0. 3 f (θ) = cos θ + sin θ( sin θ 4) cos θ = 4 sin θ cos θ ( sin θ) = cos θ Ainsi, f (θ) > 0 sin θ > 0 sin θ < θ < π 6. De plus, f(0) = 7 4 = ; lim x π x<π/ f ( ) π 7 6 = + 4 ( sin θ 4) = 4 et lim D où le tableau suivant : x π x<π/ = 7 6 = 7 6 cos θ = 0 + donc par quotient, lim f(θ) = ; x π x<π/ 0, 04 > 0. θ f (θ) f(θ) 0 π f ( ) π 6 π On peut donc conclure que le lapin peut être sauvé si θ π 6. 30

139 Probabilités Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Une histoire de QCM, Amérique du Sud 009 A On considère un questionnaire comportant cinq questions. Corrigé page 36 Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d entre elles étant exacte. Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. Par exemple, le mot «BBAAC» signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question. a. Combien y-a-t il de mots-réponses possible à ce questionnaire? b. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. Calculer la probabilité des évènements suivants : E : «le candidat a exactement une réponse exacte». F : «le candidat n a aucune réponse exacte». G : «le mot-réponse du candidat est un palindrome». (On précise qu un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, «BACAB» est un palindrome). Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 8 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte. a. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = b. Calculer la probabilité, arrondie à 0, qu au plus un élève n ait fourni que des réponses fausses. Exercice. Sacs défectueux, La Réunion 009 A Corrigé page 37 Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b. Un sac est dit défectueux s il présente au moins l un des deux défauts. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. 3

140 On prélève un sac au hasard dans la production d une journée. On note A l évènement «le sac présente le défaut a» et B l évènement «le sac présente le défaut b». Les probabilités des évènements A et B sont respectivement P (A) = 0, 0 et P (B) = 0, 0 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. a. Calculer la probabilité de l évènement C «le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b». b. Calculer la probabilité de l évènement D «le sac est défectueux». c. Calculer la probabilité de l évènement E «le sac ne présente aucun défaut». d. Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu il présente aussi le défaut b? On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu un sac soit défectueux est égale à 0, 03. On prélève au hasard un échantillon de 00 sacs dans la production d une journée. La production est suffisamment importante pour que l on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 00 sacs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 00 sacs, associe le nombre de sacs défectueux. a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité de l évènement «au moins un sac est défectueux»? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. c. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat dans le cadre de l énoncé. Exercice 3. MP3 défectueux, Polynésie 009 A Corrigé page 38 Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : D l événement : «le lecteur MP3 est défectueux» ; R l événement : «l unité de contrôle rejette le lecteur MP3». Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. b. On dit qu il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu il n est pas défectueux, ou qu il n est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait une erreur de contrôle. 3 Montrer que la probabilité qu un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0, Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : commercialisé avec le logo de l entreprise s il subit avec succès les quatre contrôles successifs, détruit s il est rejeté au moins deux fois, commercialisé sans le logo sinon. 3

141 Le coût de fabrication d un lecteur MP3 s élève à 50 e. Son prix de vente est de 0 e pour un lecteur avec logo et 60 e pour un lecteur sans logo. On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l entreprise. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G. b. Calculer à 0 près l espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat. Exercice 4. Une école à trois classes A Corrigé page 39 Dans une école, il y a 3 classes C, C, C 3 dont le nombre d élèves est respectivement 44, 33, 40. Chaque classe a une probabilité de gagner à un jeu respectivement de,,. Si un élève 3 4 gagne, quelle est la probabilité qu il vienne de la classe C? Exercice 5. Agence LOCAR A Corrigé page 39 La petite agence LOCAR loue des voitures à la journée. Elle dispose d un parc de 6 voitures. Neuf véhicules sont systématiquement loués à des clients réguliers. La loi de probabilité du nombre de voitures louées par jour X est donnée dans le tableau suivant : x i P(X=x i ) 0 0,05 0,0 0,37 3 0,7 4 0,7 5 0,03 6 0,0 Quelle est la probabilité : a. de louer moins de 3 véhicules dans la journée? b. de louer au moins 4 véhicules dans la journée? Déterminer : a. L espérance du nombre de véhicules loués dans la journée. b. L écart type du nombre de véhicules loués dans la journée. La location d un véhicule rapporte en moyenne 40 e par jour de marge sur coûts variables. Il y a des frais fixes d un montant de 75 e par jour. 3 On appelle B le bénéfice quotidien. a. Exprimer B en fonction de X. b. En déduire le bénéfice quotidien moyen espéré. c. Déterminer l écart type du bénéfice moyen quotidien en utilisant l expression du bénéfice en fonction de X. d. Quel est le seuil de rentabilité? Est-il possible que l agence soit déficitaire? Exercice 6. Urne et variable aléatoire A Corrigé page 39 33

142 On considère une urne contenant 3 boules jaunes, bleues, rouge et 4 vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l urne. Calculer la probabilité des événements suivants : J = «tirer une boule jaune» B = «tirer une boule bleue» R = «tirer une boule rouge» V = «tirer une boule verte» En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d argent selon la règle suivante : si la boule tirée est : rouge, on gagne 0 e. verte, on gagne e. jaune ou bleue, on gagne 3 e. Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le gain réalisé. a. Déduire de la question les valeurs de P(X=), P(X=3) et P(X=0). b. Calculer l espérance mathématique de X, sa variance et son écart type (à 0 près). 3 Maintenant, on gagne toujours 0 e si la boule tirée est rouge, e si elle est verte mais on gagne 3 e si elle est jaune et m e si elle est bleue, m désignant un réel positif. Calculer m pour que le gain moyen espéré soit de 4, 5 e. Exercice 7. Urne et fonction rationnelle R Corrigé page 40 Une urne, notée U, contient k boules rouges, k + boules blanches et boules noires, où k est un entier naturel non nul. Une urne, notée U, contient 3 boules rouges, boules blanches et boule noire. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U, à la mettre dans U, puis à tirer un boule de U. Pour i = et i =, on note : R i l événement : «On tire une boule rouge de l urne U i.» B i l événement : «On tire une boule blanche de l urne U i.» N i l événement : «On tire une boule noire de l urne U i.» D l événement : «On tire deux boules de couleurs différentes lors de l expérience.» 34

143 Compléter l arbre des probabilités de l expérience suivant : Ω R B N R B N R B N R B N Montrer que la probabilité de l événement D est P (D) = k + k On répète l expérience dans les mêmes conditions n fois, où n est un entier naturel non nul. On prend k =. On note E l événement : «On tire deux boules de couleurs différentes lors d au moins une expérience.». Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité de E soit supérieure ou égale à 0, On note X la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges lors d une expérience. Montrer que l espérance mathématique de X est toujours strictement inférieure à. 35

144 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. a. Trois réponses possibles pour chacune des cinq questions : il y a donc 3 5 = 43 mots possibles. b. L élève répète 5 fois l expérience de Bernoulli : obtenir la bonne réponse avec une probabilité de ; ces expériences sont indépendantes, donc la variable aléatoire Z 3 donnant le nombre de réponses exactes suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 3. Donc p(z = ) = ( 5 ) ( 3 ) ( ) 5 = = = p(e). De même, la probabilité qu il n ait aucune réponse juste est : p(z = 0) = ( 5 0 ) ( 3 ) 0 ( ) 5 0 = = = p(f ). Un palindrome est de la forme abcba : les trois premiers peuvent être quelconques, mais le quatrième choix doit être le même que le second et le dernier le même que le premier : la probabilité est donc égale à 3 3 = 9 = p(g). a. D après la question. un élève a la probabilité égale à 3 de n avoir aucune réponse 43 exacte. Les élèves répondant de façon indépendante les uns des autres, la variable X suit une loi binomiale de paramètres n = 8 et de probabilité p = b. La probabilité cherchée est égale à : p(x ) = p(x = 0) + p(x = ) ( ) ( ) ( = 3 ) ( ( ) 8 = ( ) ,00 6 0, 0 au centième près. ) ( 3 43 ) ( 3 )

145 Corrigé de l exercice. a. Comme A et B sont indépendants, b. On a : c. On a E = D d où : p(c) = p(a B) = p(a) p(b) = 0, 0 0, 0 = 0,000. p(d) = p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 0, 0 + 0, 0 0,000 = 0,09 8. p(e) = p(d) = 0,09 8 = 0,970. d. On a : p(a B) p A (B) = p(a) = 0,000 0, 0 = 0, 0. (en fait p(a B) p(a) = p(a) p(b) p(a) = p(b)). a. On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défectueux). La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 00 et p = 0, 03. b. On sait que la probabilité que k, 0 k 00 sacs soient défectueux est : ( ) 00 p(x = k) = 0, 03 k ( 0, 03) 00 k k L?événement contraire de l?événement «au moins un sac est défectueux» est «il n y a( pas) de sac défectueux qui a une probabilité de 00 0, , = 0, , La probabilité d avoir au moins un sac défectueux est donc égale à 0, , 95 0, 95 (au centième près). Interprétation : pour 00 sacs prélevés il y a à peu près 95 chances sur 00 d avoir au moins un sac défectueux. c. Pour cette loi binomiale on a E = n p = 00 0, 03 = 3. Interprétation : sur 00 sacs prélevés il y a en moyenne 3 sacs défectueux. 37

146 Corrigé de l exercice 3. On a l arbre suivant : 0, 06 0, 94 0, 98 D 0, 0 0, 05 D 0, 95 R R R R a. En suivant la deuxième branche : p(d R) = 0, 06 0, 0 = 0,00. b. Il y a erreur de contrôle pour les événements disjoints D R et D R. Sa probabilité est donc : p(d R) + p(d R) = 0, 06 0, 0 + 0, 94 0, 05 = 0,00 + 0,047 0 = 0, La probabilité qu un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à : p ( D R ) + p ( D R ) = 0, 06 0, 0 + 0, 94 0, 95 = 0,00 + 0,893 0 = 0, a. La variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et de probabilité p = 0,894. ( ) 4 La probabilité que G = 0 50 = 70 e est égale à : 0, ,639 4 ; 4 La probabilité que G = = 0 e est égale à : ( ) 4 0,894 3 ( 0,894 ) 0,30 6 ; La probabilité que G = 50 e est égale à (0, ,30 6) 0,058. b. L espérance mathématique de G est donc égale à : 70 0, , ,058 = 44, , 036, 9 44, 89 e. Cela signifie qu en moyenne on peut compter sur un bénéfice de 44,89 e par lecteur produit. 38

147 Corrigé de l exercice 4. Notons G l événement : «L élève gagne». Il y a en tout = 7 élèves sur l ensemble des trois classes. On a alors l arbre suivant : C C C G G G G G G On en déduit : On sait de plus que : p(g) = = p G (C ) = p(c G) p(g) = = 43. Corrigé de l exercice 5. a. P (N < 3) = 0, , 0 + 0, 37 = 0, 5. b. P (N 4) = 0, 7 + 0, , 0 = 0,. 7 a. E(X) = x i p i =, 54. i= 7 b. V (X) = x i p i E(X) =, i= σ(x) = V (X), 8 3 a. B = 40X 75. b. E(B) = E(40X 75) = 40E(X) 75 = 6, 6. c. σ(b) = σ(40x 75) = 40σ(X) 40, 8 47,. d. Le seuil de rentabilité correspond à la valeur de X tel que B < 0. B < 0 40X 75 < 0 X < X 6. Comme l agence loue au minimum 9 véhicules par jour, il n est pas possible qu elle soit déficitaire. Corrigé de l exercice 6. P (J) = 3 0 ; P (B) = 5 ; P (R) = 0 ; P (V ) = 5 a. P (X = ) = P (V ) = ; P (X = 3) = ; P (X = 0) = P (R) = 5 0 b. E(X) = 3, 3 ; V (X) = 5, ; σ(x), 8 3 m = 9 39

148 Corrigé de l exercice 7. On a : k k+3 Ω k+ k+3 k+3 R B N R B N R B N R B N D après la formule des probabilités totales : P (D) = P R (B ) + P R (N ) + P B (R ) + P B (N ) + P N (R ) + P N (B ) = (P R (R ) + P B (B ) + P N (N )) ( k = k k + k k + 3 ) 7 4k + 3k = 4k + P (D) = k + k Dans cette question, k = donc P (D) = 3 5. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre d expériences où on tire deux boules de couleurs différentes. Chaque expérience est répétée de façons indépendantes n fois et chacune d elles comporte deux issues : «les deux boules sont de couleurs différentes»(succès de probabilité P (D) = 3 ) et «les deux boules sont de la même couleur»(échec). C est donc 5 un schéma de Bernoulli et donc, Y B ( n ; 5) 3 (Y suit la loi binomiale de paramètre n et p = 3). 5 Ainsi, p(e) = p(y ) = p(y = 0) ( ) (3 ) n 0 ( = ( ) n =. 5 ) n On veut que P (Y ) 0, 99 donc nous devons résoudre l inéquation en n suivante : ( ) n 0,

149 Soit : ( ) n 0, 0 5 [( n ] ln ln 0, 0 5) ( n ln ln 0, 0 5) ln 0, 0 n ln 5 n 5, 059. car ln 5 < 0 Ainsi, le plus petit entier tel que P (E) 0, 99 est n = 6. 4 La loi de probabilité de X est : (stricte croissance du ln) P (X = 0) = P B (B ) + P B (N ) + P N (B ) + P N (N ) = P (X = ) = 3 7 ; 4k P (X = ) = 4k +. Ainsi, l espérance mathématique de X est : 4k + 4k + ; Or, 4k + E (X) = 0 P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) = 6k + 9 4k + + 8k 4k + = 4k + 9 4k + 4k + = 4k + = 4k + > 0 donc E (X) <. 4

150 Nombres complexes Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Ensemble de points A Le plan est rapporté au repère (O ; #» u, #» v ). On considère les points A, B et C d affixes respectives : a. Vérifier que z A = + i 3 ; z B = i 3 ; z c =. z B z C = e i z A z C b. En déduire la nature du triangle ABC. c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ circonscrit au triangle ABC. a. Établir que l ensemble Γ des points M d affixe z qui vérifient π 3. (z + z) + zz = 0 est un cercle de centre Ω d affixe. Préciser son rayon. b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ. Corrigé page 50 Exercice. Application complexe f(z) = z +i z+i R Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; #» u, #» v ), unité graphique 4 cm. Soit f la fonction qui, à tout nombre complexe z différent de i, associe : Z = f(z) = z + i. z + i On appelle A et B les point d affixes respectives z A = i et z B = i. Corrigé page 5 Si z = x + iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction x et y. En déduire la nature de : a. l ensemble E des points M d affixe z tels que Z soit un réel ; b. l ensemble F des points M d affixe z tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul ; c. l ensemble G des points M d affixe z tels que Z =. Déterminer les ensembles E, F et G sans utiliser les parties réelle et imaginaire de Z. 4

151 3 Représenter ces trois ensembles. 4 Calculer Z z + i et en déduire que les points M d affixe Z, lorsque le point M d affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon 5 sont tous sur un même cercle dont on précisera l affixe du centre et le rayon. Exercice 3. Racines n-ièmes de l unité R Soit n un entier naturel non nul. On appelle racine n-ième de l unité tout nombre complexe z tel que z n =. On note U n l ensemble des racines n-ièmes de l unité. Par exemple, U = { ; }. Corrigé page 5 a. Démontrer que U n = { e ikπ n, k {0,,,..., n } }. b. Démontrer que la somme des racines n-ièmes de l unité est nulle. c. Démontrer que, dans un repère orthonormal (O; u, v ), les points A k (0 k n ) d affixes respectives ω k = e ikπ n sont les sommets d un polygone régulier. a. Soit Z C. On appelle racine n-ième de Z tout nombre complexe z tel que z n = Z. Soient R = Z et Θ un argument de Z. Démontrer que Z admet les n racines n-ièmes suivantes : n Re i( Θ n + kπ n ), 0 k n b. Soit f la fonction polynôme définie par f(x) = x 4 +. Déterminer les racines quatrièmes de ( ) puis en déduire que f peut s écrire comme un produit de deux fonctions polynômes de degré à coefficients réels. c. Soit z un nombre complexe tel que + z 4 + z 8 = 0. Démontrer que z est une racine douzième de l unité. Exercice 4. Calcul des valeurs exactes decos π 5, cos π 5 et cos 4π 5 R Résoudre dans C C le système : { u + v = uv = 4 On pose ω = e i π 5. Démontrer que + ω + ω + ω 3 + ω 4 = 0. En déduire que cos π 5 + cos 4π 5 =. 3 Démontrer que : cos π 5 cos 4π 5 + sin π 5 sin 4π 5 = cos π 5 Corrigé page 53 et cos π 5 cos 4π 5 sin π 5 sin 4π 5 = cos 4π 5. 4 En déduire que cos π 5 cos 4π 5 = 4. 5 Démontrer alors que : cos π 5 = et cos 4π 5 =

152 6 Pour cette question, on admettra que pour tout nombre a, Déduire de la question précédente que : cos a = cos a. cos π 5 = , puis en déduire la valeur exacte de cos π 5. Exercice 5. Théorème de Von Aubel R Corrigé page 56 Soit ABCD un quadrilatère quelconque de sens direct. Sur [AB], [BC], [CD] et [DA], on construit quatre carrés (extérieurs à ABCD) de centres respectifs P, Q, R et S. Le but de l exercice est de démontrer que les diagonales de PQRS sont perpendiculaires et de même longueur. D R S C Q A B P On note a, b, c, d, p, q, r et s les affixes respectives des points A, B, C, D, P, Q, R et S dans un repère orthonormé (O; u, v ) de sens direct. Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a : p = a ib i. Établir des relations analogues pour q, r et s. 44

153 Calculer s q r p puis conclure. Exercice 6. Point de Vecten R Corrigé page 56 Soit ABC un triangle quelconque de sens direct. On construit trois carrés de centres respectifs P, Q et R qui s appuient extérieurement sur les côtés [AB], [BC] et [CA]. R P A B C Q On note a, b, c, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, P, Q et R dans un repère orthonormé (O; u, v ) de sens direct. Démontrer que les triangles ABC et PQR ont le même centre de gravité. Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a : p = a ib i. Établir des relations analogues pour q et r. 3 Démontrer que les droites (AQ) et (PR) sont perpendiculaires. En déduire que les droites (AQ), (BR) et (CP) sont concourantes. Ce point de concours est appelé le point de Vecten du triangle ABC. Exercice 7. Théorème de Napoléon R Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; #» u, #» v )de sens direct. Corrigé page 57 45

154 Partie A On note j = e i π 3. Soient U, V et W trois points du plan d affixes respectives u, v et w. Démontrer l équivalence suivante : UVW équilatéral de sens direct u v = j (w v). Démontrer l équivalence suivante : UVW équilatéral de sens direct u + jv + j w = 0. Partie B Soit ABC un triangle quelconque de sens direct. On construit les points P, Q et R tels que BPC, CQA et ARB soient équilatéraux de sens direct. On note U, V et W les centres de gravité respectifs de BPC, CQA et ARB. Démontrer que UVW est équilatéral de même centre de gravité que ABC. R Q W A V B C U P Exercice 8. Équation à coefficients complexes et application R On considère dans C l équation : Partie A (E) : i z 3z + + i = 0 où i =. Corrigé page 57 Soit P (z) = i z 3z + + i. Montrer que le discriminant de P est : =. On note A et B les points d affixes z A et z B, où z A est la solution de l équation (E) dont la partie imaginaire est la plus grande. Donner l écriture algébrique de z A. ( ) 3 + i 3 Calculer arg. i 4 En déduire l écriture exponentielle de z A. 5 Donner alors une valeur exacte de cos 5π et sin 5π. 46

155 Partie B Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; #» u, #» v ). On considère l application F définie par : F : C C 3 3 z 6 ( i)z + ( + i) 3 Montrer que chercher les points fixes de F, c est-à-dire les nombres z tels que f(z) = z, est équivalent à résoudre l équation (E) de la partie A. Donner alors les points fixes de F. On note z = F(z), où z = x + it est l affixe d un point de la droite parallèle à l axe des ordonnées passant par A. 3 a. Montrer que x =. b. Montrer que z = a + ib, où : a = t t et b = t t. 3 À l aide d un logiciel, nous avons tracé l ensemble des points d affixe z pour t [ 3 ; ] O - - Expliquer comment, à l aide de cet ensemble, construire uniquement au compas le point A. Exercice 9. Construction d un pentagone régulier R Corrigé page 59 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; #» u, #» v ). L unité graphique est 4 cm. On pose : w = e i π 5. Simplifier w 5 puis calculer + w + w + w 3 + w 4. Monter que pour tout nombre complexe z non nul, ( + z + z + z 3 + z 4) ( = z + ) ( + z + ). z z z 3 a. Résoudre dans C l équation : Z + Z = 0. 47

156 ( π b. En déduire la valeur exacte de cos 5 4 On note K, A et B les points d affixes respectives 4, i et w. Soit C le cercle de centre K passant par A. a. Déterminer une équation cartésienne du cercle C. b. Le cercle C coupe l axe (O ; #» u ) en deux points H et H (H étant d abscisse positive). ( ) π Montrer que H a pour abscisse cos. 5 c. En déduire une construction géométrique simple sur point B. Achever la construction du pentagone régulier de centre O dont B est un sommet. Exercice 0. Application z z i z R ). Corrigé page 6 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; #» u, #» v ). Soient A, B et C les points d affixes respectives i, + i et i. On appelle f l application du plan privé de A dans lui-même qui, à tout point M d affixe z (z i) associe le point M d affixe z définie par : z = z i z. a. Placer les points A, B et C sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l exercice. Que peut-on dire des points B et C? b. Déterminer les affixes des points B et C images de B et C par l application f. Placer ces points. Déterminer les affixes des points invariants par f (les points M vérifiant f(m) = M). 3 L application f conserve-t-elle l alignement? le milieu? 4 On pose z = x + iy et z = x + iy avec x, y, x et y réels. a. Démontrer que : x = x(x + y y) x + ( y). b. En déduire l ensemble E des points M(z) tels que z soit un imaginaire pur. Représenter l ensemble E. Exercice. Cocyclicité R Corrigé page 64 Soient quatre points A, B, ( C et D d affixes respectives a, b, c et d. #» En considérant les angles AC, AD #» ) ( #» et BC, BD #» ), montrer l équivalence suivante : A, B, C, D cocylciques (d a)(c b) (d b)(c a) R. On considère maintenant les quatre points A, B, C et D d affixes respectives a = 4+4i, b = 6+i, c = i et d = 3 + i + 0e 4iπ 3. Montrer qu ils sont cocycliques. 3 Déterminez le nombre ω tel que arg(d ω) = 4π 3. 4 Montrer que le point Ω d affixe ω est le centre du cercle sur lequel se trouve A, B, C et D. 48

157 5 Montrer que le triangle AΩC est rectangle en Ω. Exercice. Application z z +z R On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal direct (O ; #» u, #» v ). On considère l application complexe de C \ { } dans C définie par : f : z z + z. Corrigé page 66 Soit A le point d affixe z A = + i. Déterminer f(z A ) sous sa forme algébrique. Déterminer les invariants de f, c est-à-dire les nombres complexes z = x + iy tels que f(z) = z. 3 On considère le cercle Γ de centre O passant par A. a. Mettre z A sous la forme exponentielle. b. On considère un point M d affixe z M = e iθ, θ [0 ; π] sur Γ. Montrer que : f(z M ) = 4 cos θ + cos θ 3 + cos θ i sin θ( + 4 cos θ) 3 +. cos θ c. On note E l ensemble image de Γ par f. Montrer que E est symétrique par rapport à l axe (O ; #» u ). d. On a tracé l ensemble E pour θ variant de 0 à π. Compléter la figure afin d obtenir E en entier, puis tracer Γ. 49

158 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. z B z C a. = i 3 z A z C + i 3 = 3 i i 3 ( ) 3 i 3 = ( 3 + i 3 ) ( 3 i 3 ) = 6 + 6i 3 = + i 3 = 3 + i z B z C = e i π 3 z A z C ( ) zb z C b. De la question précédente, on déduit que arg = arg ( ) e i π π 3 = z A z C 3. ( ) ( zb z C #» Or, arg = CA, #» ) ( #» CB. Donc, CA, #» ) CB = π z A z C 3. De plus, z A = z B, ce qui signifie que A et B sont symétriques par rapport à (O ; #» u ), et C se trouve sur (O ; #» u ) donc CA = CB. Le triangle ABC est donc isocèle en C. Et comme l angle au sommet principal est égal à π, on en déduit que ABC est équilatéral. 3 c. Si z représente l affixe de ce centre : z = z A + z B + z C 3 = 0 Ainsi, O est le centre du cercle circonscrit à ABC. Le rayon de Γ est donc OC, soit. 50

159 a. Posons z = x + iy. Alors, (z + z) + zz = 0 (x + iy + x iy) + (x + iy)(x iy) = 0 4x + x + y = 0 (x + ) 4 + (y 0) = 0 (x + ) + (y 0) = Ainsi, l ensemble des points M(x ; y) vérifiant l équation est le cercle de centre Ω ( ; 0) et de rayon r =. b. On remplace z par z A dans l expression (z + z) + zz : (z A + z A ) + z A z A = 4R(z A ) + z A = 4 + (( ) + 3 = = 0 z A satisfait l équation donc A Γ. Comme z B = z A et que l équation est symétrique en z et z, B Γ. y 3 A C I 3 x B Corrigé de l exercice. [x + i(y + )](x (y + )i) Z = (x + (y + )i)(x (y + )i) x(x ) + (y + )(y + ) + i[x(y + ) (x )(y + )] = x (y ) Donc R(Z) = x + y x + 3y + x + y + 4 et I(Z) = x (y ) x (y ). a. Z R I(Z) = 0 x + y + 4 = 0. Ainsi, E est la droite d équation cartésienne x + y + 4 = 0. b. Z = ki, k R R(Z) = 0 (x ) + ( ) ( y + 3 ) = 5. F est donc le cercle de centre d affixe 3i et de rayon 5. c. Z = z z A = z z B. G est donc la médiatrice de [AB]. ( #» a. arg(z) = BM, AM #» ) ( #». Z R arg(z) = 0 mod π BM, AM #» ) = 0 mod π. Donc, A, B et M sont alignés. E est donc la droite (AB). 5

160 ( #» b. Z = ki, k R arg(z) = π mod π BM, #» ) AM = π mod π. Ainsi, BAM est un triangle rectangle en M. Donc F est le cercle de diamètre [AB]. c. Z = z z A = z z B. G est donc la médiatrice de [AB]. 3 Z = z + i z i = i donc Z z + i = i = 4 + = 5. z + i z + i Si M C (B, 5), alors z = z B + 5e iθ et donc z + i = 5e iθ = 5. Ainsi, Z =. Donc M sera sur le cercle de centre d affixe et de rayon. Corrigé de l exercice 3. a. Dans un premier temps, pour tout ω k = e ikπ n, k {0,,,..., n }, ωk n = e ikπ =. Donc les éléments de U n sont bien des racines n-ièmes de l unité. Réciproquement, tout nombre complexe z = re iθ, θ [o; π[, r R +, étant une racine de l unité vérifie l égalité : r n e inθ = (par définition) c est-à-dire r n e inθ = e i0. Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leur module sont égaux et leur argument sont aussi égaux (modulo π). Donc : { r n = nθ = kπ, k Z Soit : { r = car r R+ θ = kπ n Or, nous avons pris θ dans l intervalle [0; π[ donc 0 k < n. Ainsi, si z est une racine n-ième de l unité, il s écrit e ikπ n où k est un entier compris entre 0 et n. Ainsi, U n = { ω k = e ikπ n, k {0,,,..., n } }. b. Notons ω = e i π n. Alors, U n = { w k, k {0,,,..., n } }. La somme des racines n-ièmes de l unité est donc : ω 0 + ω + ω + + ω n = ωn ω = 0 car, par définition, ωn = c. Pour k {0,,,..., n }, on a : ( OAk, ) ( ) ωk+ OA k+ = arg ω k en ayant noté, par commodité, ω n = ω 0 = et A n = A 0. = e iπ n [π] On en déduit alors que le polygone A 0 A... A n est régulier. a. Soit z = re iθ C. On a : z n = Z r n e inθ = Re iθ { r n = R θ = Θ n + kπ n, k Z Les racines n-ièmes de Z sont donc les n nombres n Re i( Θ n + kπ n ), k {0,,,..., n }. b. Les racines quatrièmes de l unité sont :,, i et i. On connaît une racine particulière de : e i π 4. Les racines quatrièmes de sont obtenues en multipliant les racines quatrièmes de l unité par la racine quatrième particulière : e i π 4, e i π 4, ie i π 4, ie i π 4 5

161 c est-à-dire : e i π 4, e i 3π 4, e i 3π 4, e i π 4 Or, les racines de x 4 + sont précisément les racines quatrièmes de d où : f(x) = x 4 + = ( x e i π 4 ) ( x e i π 4 ) ( x e i 3π 4 ) ( x e i 3π 4 ) Soit : f(x) = (x x cos π ) (x 4 + x cos 3π ) 4 + f(x) = ( x x + ) ( x + x + ) c. On sait que + z 4 + z 8 = 0. Donc, en multipliant par z, z et z 3, on a : z + z 5 + z 9 = 0 ; z + z 6 + z 0 = 0 ; z 3 + z 7 + z = 0 En sommant les quatre égalités, on a : z étant différent de, cela nous donne : soit : k= z est donc une racine douzième de l unité. Corrigé de l exercice 4. z k = 0 z z = 0, z =. Par substitution, on a : v = u (d après la première équation). Ainsi, la seconde équation nous donne : ( u ) = 4, d où : 4u + u = 0. Le discriminant du membre de gauche est : = 0, d où les deux solutions suivantes : u = 5 4 On en déduit alors les valeurs de v correspondantes : v = u = Le système admet donc deux couples de solutions : {( 5 4 ; u = ; v = u = 5. 4 ; + ) ( ; ; )}

162 Il s agit ici de la somme des 5 premiers termes d une suite géométrique de raison ω donc : + ω + ω + ω 3 + ω 4 = ω5 ω = 0 car ω5 =. On a alors : soit : Ainsi : soit : + e i π 5 + e i 4π 5 + e i 6π 5 + e i 8π 5 = 0, + e i π 5 + e i 4π 5 + e i 4π 5 + e i 6π 5 = 0. + cos π 5 + cos 4π = 0 (Formules d Euler), 5 cos π 5 + cos 4π 5 =. 3 En utilisant les formules d additions trigonométriques, on a : ) cos π 5 cos 4π 5 + sin π 5 sin 4π 5 = cos ( 4π 5 π 5 = cos π 5 et : cos π 5 cos 4π 5 sin π 5 sin 4π 5 = cos ( 4π 5 + π 5 ) = cos 6π 5 = cos 4π 5 = cos 4π 5. 4 En ajoutant membre à membre les égalités de la question précédente et en utilisant la question, on a : = cos π 5 cos 4π 5 d où cos π 5 cos 4π 5 = 4. 5 En posant u = cos π et v = cos 4π, on arrive au même système que celui de la question. 5 5 Or, u > 0 et v < 0. On en déduit que le couple solution est : cos π 5 = et cos 4π 5 = L égalité cos a = cos a lorsque a = π 5 donne : cos π 5 = cos π 5, soit cos π 5 = (cos π 5 + ). D après la question précédente, on peut alors écrire : cos π 5 = ( ) cos π 5 =

163 Or, 0 < π 5 < π donc cos π > 0. D où : 5 Posons : Alors, cos π 5 = = = a + b = ( a + b 5 ) = a + 5b + ab 5. Par identification, on obtient alors : { 3 = a + 5b nombre entier = ab coefficient de 5 De la seconde égalité, on a : et donc, de la première, on déduit : soit : En posant A = a, on obtient : Le discriminant du membre de gauche est : b = a, 3 = a + 5 4a 4a 4 a + 5 = 0. 4A A + 5 = 0. = = 64. Il y a donc deux solutions à la dernière équation : On a alors : A = 64 8 = a = ou a = ; a = ; A = ou a =. Prenons a = =. Alors, b = a = =. Ainsi, 3 + ( ) 5 = + 5, et donc cos π 5 = ( ) + 5 soit : cos π 5 =

164 Corrigé de l exercice 5. Par construction, on peut dire que A est l image de B par la rotation de centre P et d angle π. Donc : a p = i(b p) a ib = p ip p = a ib i De même, on obtient : q = b ic i, r = c id i, s = d ia i. s q d b + i(c a) = r p c a + i(b d) = i. ( ) s q Donc arg = π r p et s q =. r p On en déduit que (PR) et (QS) sont perpendiculaires et que PR = QS. Corrigé de l exercice 6. A étant l image de B par la rotation de centre P et d angle π, on peut écrire : a p = i(b p). De même, b q = i(c q) et c r = i(a r). En additionnant membre à membre ces trois égalités, on a : soit : a + b + c (p + q + r) = i(a + b + c (p + q + r)), a + b + c = p + q + r. De l égalité a p = i(b p), on en déduit que p = a ib i. De même, à partir des autres égalités, on a : q = b ic i 3 On a : r p q a = c a + i(b a) b a + i(a c) = i. et r = c ia i. Ainsi (PR) et (AQ) sont perpendiculaires (donc (AQ) est la hauteur issue de A de PQR). Par un raisonnement analogue, on démontre que (BR) et (CP) sont les deux autres hauteurs de PQR. (AQ), (BR) et (CP) sont donc concourantes. 56

165 Corrigé de l exercice 7. Partie A UVW est équilatéral de sens direct donc U est l image de W par la rotation de centre V et d angle π. Ainsi : 3 u v = e i π 3 (w v) = j (w v) La réciproque est triviale. D après ce qui précède, on a u v = j (w v). Donc u + ( j )v + j w = 0. Or, + j + j = 0 donc u + jv + j w = 0. Par hypothèse, on a : Partie B a w = j(b w) b u = j(c u) c v = j(a v) (VII.) (VII.) (VII.3) D où : Donc : a + b + c (u + v + w) = j(a + b + c (u + v + w)). a + b + c = u + v + w. Ainsi, ABC et UVW ont le même centre de gravité. De légalité (), on déduit : De légalité (), on déduit : De légalité (3), on déduit : D où : w = a jb j. u = b jc j. v = c ja j. u + jv + j w = a jb + jb j c + j c a = 0. j Donc UVW est équilatéral de sens direct. Corrigé de l exercice 8. Le discriminant de P est : Partie A = b 4ac = ( 3 ) i 4 ( + i) = 3 ( i)( + i) = 3 ( + ) = 3 4 = 57

166 Les racines de P sont données par les formules : b i a ; b + i Ainsi, comme z A est la solution de (E) ayant la plus grande partie imaginaire : a z A = = z A = 3 + i i ( ) 3 + i ( + i) ( i)( + i) i 3 arg(z A ) = arg ( ) ( ) 3+i i = arg 3 + i arg( i). Ainsi : arg(z A ) = arg = π 6 + π 4 ( 3 + ) i arg( i) 3 + i 4 z A = i = 3 + i i = 3 + i i arg(z A ) = 5π = =. Ainsi, z A = e 5iπ. 5 Nous avons : Donc : z A = ( cos 5π ) 5π + i sin = i (d après la question ). cos 5π = 3 ; sin 5π = 3 + cos 5π = 6 4 Partie B ; sin 5π =

167 Soit z un point fixe de F ; par conséquent, z = F(z). Or : z = F(z) z = 3 ( 6 i)z + 3( + i) 3 3z = i z + ( + i) 0 = i z 3z + ( + i) (E) Ainsi, les points fixes de F sont z A et z B. a. La droite parallèle à l axe des ordonnées et qui passe par A a pour équation x = R (z A ). 3 Or, nous avons vu dans la question de la partie A que R (z A ) =. Ainsi, si z = x + it est l affixe d un point de la droite passant par A et parallèle à l axe 3 des ordonnées, alors x =. b. z = F(z) ( = ( i) + it) + ( + i) 6 3 ( ) ( ) 3 3 = 6 i (it) + it i 3 ( ) ( = 6 i 6 t + ( ) ) it i 3 3 = 6 ( ) t + it i ( ) i + i 6 t + t i 3 3 = t + 3 ( t i t ) t = ( t 6 6 t + i ) 3 3 t t 3 L affixe du point A est un point fixe de F ; par conséquent, le point A est sur l ensemble tracé. Or, z A = e 5iπ donc A appartient au cercle de centre O et de rayon, c est-à-dire au cercle de centre O passant par le point de coordonnées (; ). Ainsi, A est le point d intersection de ce cercle avec l ensemble tracé, dont l abscisse est positive. 4 3 A O - - Corrigé de l exercice 9. 59

168 w 5 = ( e i π 5 ) 5 = e i π 5 5 = e iπ =. On développe le second membre de l égalité : Or, + w + w + w 3 + w 4 = w5 w = 0. ( z + ) ( + z + ) = z + + z z z + z + z = z + z + z + z +. On a donc bien : z ( + z + z + z 3 + z 4) = z + z + + z + z. ( + z + z + z 3 + z 4) ( = z + ) ( + z + ) z z z 3 a. Le polynôme Z + Z a pour discriminant : Il admet donc deux racines distinctes : = 4 ( ) = 5. b. D après la question, Z = 5 Z = w + w + w 3 + w 4 = 0, donc ( + w + w + w 3 + w 4) = 0, w soit, d après la question : ( w + ) ( + w + ) = 0. w w soit : Or, ( ) e i π 5 + e i π ( ) 5 + e i π 5 + e i π 5 = 0. e i π 5 + e i π 5 = cos π 5 + i sin π 5 + cos ( π 5 = cos π 5. ) ( + i sin π 5 ) Donc, ( cos π 5 ) + cos π 5 = 0. () 60

169 cos π 5 est solution de l équation Z +Z = 0 donc, d après la question précédente : soit cos π 5 = 5 cos π 5 = 5 4 ou cos π 5 = + 5 ou cos π 5 = Or, cos π 5 > 0 car 0 < π 5 < π d où : cos π 5 = a. Une équation cartésienne d un cercle est de la forme : (x x O ) + (y y O ) = r, où (x O ; y O ) sont les coordonnées du centre et r son rayon. Ainsi, une équation cartésienne de C est : En effet, ( x + 4) + y = 5 6. KA = (x A x K ) + (y A y K ) ( ) ( = + 4 ) = = 5 6. b. On prend y = 0 dans l équation du cercle : ( x + ) = soit x + x 4 = 0 équation qui admet cos π pour unique solution positive d après l équation () trouvée 5 dans la question 3.b. c. On trace le cercle C qui coupe l axe des abscisses en un point M d abscisse positive cos π 5. 6

170 On trace ensuite le cercle unité puis la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par M : B A K Corrigé de l exercice 0. a. Voir figure en fin de correction. B et C sont alignés car z B = z C. b. B a pour affixe : C a pour affixe : ( + i) z B = i ( + i) = + i z B = i ( i) z C = i ( i) = + i + i i( i) = ( + i)( i) = i z C = i On résout l équation f(z) = z : f(z) = z z i z = z z = z(i z) z iz = 0 z(z i) = 0 Or, z = i est impossible (valeur interdite de f). Par conséquent, f n admet qu un point fixe : O. z = 0 ou z = i 3 Les points B, O et C sont alignés mais leurs images ne le sont pas : f ne conserve donc pas l alignement donc ne conserve pas le milieu. 6

171 4 a. x + iy = Ainsi, (x + iy) i (x + iy) = x y + xyi x + ( y)i = (x y + xyi)( x ( y)i) ( x + ( y)i)( x ( y)i) = x(x y ) + xy( y) + (x y ( y)(x y )i ( x) + ( y) x = x(x y ) + xy( y) x + ( y), soit x = x(x y ) xy(y ) x + ( y), ou encore : x = x(x y + y ) x + ( y), c est-à-dire : x = x(x + y y) x + ( y) b. Pour que z soit un imaginaire pur, il faut x = 0 soit : x(x + y y) = 0 x = 0 ou x + y y = 0 x = 0 ou (x 0) + (y ) = Ainsi, E est l union de l axe (O ; #» u ) et du cercle de centre A et de rayon (représenté en bleu dans le repère). 63

172 E #» v A O #» u C B C B Corrigé de l exercice. On sait depuis le collège que quatre points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si ils forment deux angles de même mesure qui interceptent le même arc de cercle. A C B D ( #» En considérant, comme suggéré dans l énoncé, les angles AC, AD #» ) ( #» et BC, BD #» ), on peut alors écrire : ( #» A, B, C, D cocycliques AC, AD #» ) ( #» = BC, BD #» ) mod π ( ) ( ) d a d b arg = arg mod π c a c b ( ) ( ) d a d b arg arg = 0 mod π c a c b ) Calculons : A, B, C, D cocycliques arg ( d a c a d b c b = 0 mod π ( d a arg c a c b ) = 0 mod π d b ( ) (d a)(c b) arg = 0 mod π (d b)(c a) (d a)(c b) (d b)(c a) R 64

173 d a = 3 + i + 0e 4iπ 3 4 4i = 3 + i + ( 0 cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) 4 4i 0 30 = 3 + i i 4 4i ( 3 ) 0 30 = i + 3 d b = 3 + i + 0e 4iπ 3 6 i 0 30 = 3 + i i 6 i ( 3 ) 0 30 = 3 i + c b = i 6 i = 6 c a = i 4 4i = 4 i Donc, (d a)(c b) (d b)(c a) [ ( )] i + 3 = [ ( )] i + ( 4 i) i( ) = i( ) [ ] [ ] i( ) i( ) = [ ] [ ] i( ) i( ) Le numérateur devient : ( )( ) + ( )( ) Sa partie imaginaire est : + i( )( ) i( )( ) ( ) ( ) qui s annule! Par conséquent, le numérateur est réel, de même que le dénominateur. (d a)(c b) Donc, est réel, ce qui signifie que A, B, C et D sont cocycliques. (d b)(c a) 3 On peut constater que : d (3 + i) = 0e 4iπ 3 65

174 donc arg(d (3 + i) = 4π 3. D où : ω = 3 + i. 4 D après la question précédente, d ω = 4iπ 0e 3 = 0. 5 a ω = 4 + 4i 3 i = + 3i = + 3 = 0 b ω = 6 + i 3 i = 3 + i = 0 c ω = i 3 i = 3 + i = 0 Ainsi, ΩA = ΩB = ΩC = ΩD = 0, donc A, B, C et D sont sur le cercle de centre Ω et de rayon 0. ( #» ΩA, ΩC #» ) ( ) c ω = arg a ω ( ) i 3 i = arg 4 + 4i 3 i ( ) ( 3 + i)( 3i) = arg ( + 3i)( 3i) ( ) i + 9i = arg + 9 = arg(i) = π Le triangle AΩC est donc rectangle en Ω. Corrigé de l exercice. f(z A ) = i + i ( i)( i) = ( + i)( i) i i + i = 4 + f(z A ) = 3 5 i 66

175 f(z) = z x + iy + x + iy = x + iy x iy = (x + iy)( + x + iy) x iy = x( + x) + ixy + iy( + x) y x iy = x + x y + yi(x + ) x y + yi(x + ) = 0 x y = 0 y = 0 ou x + = 0 Les invariants de f sont donc : z = 0, z = + i et z 3 = + i. 3 a. z A = + =. Donc z A = ( ) + i, soit z A = e i π 4. e iθ b. f(z M ) = + e ( iθ ) ( e iθ + e iθ) = = = ( ) ( + e iθ + e iθ) e iθ+e iθ 3 + cos θ cos θ + cos(θ) i( sin θ + sin(θ)) 3 + cos θ f(z M ) = 4 cos θ + cos θ 3 + i sin θ( + 4 cos θ) cos θ 3 + cos θ car cos(θ) = cos θ et sin(θ) = sin θ cos θ. c. Remarquons que la partie réelle de f(z M ) ne dépend que de cos θ ; donc, elle est paire, ce qui nous pousse à remplacer θ par θ : on obtient alors : f ( e iθ ) = 4 cos ( θ) + cos( θ) 3 + cos( θ) = 4 cos θ + cos θ 3 + cos θ i sin( θ)( + 4 cos( θ)) 3 + cos( θ) + i sin θ( + 4 cos θ) 3 + cos θ On constate donc que la partie réelle est inchangée et que la partie imaginaire est devenue son opposée ; cela signifie donc que E est symétrique par rapport à l axe des abscisses. d. Par symétrie, on obtient : E Γ 67

176 Intégrales Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Décomposition en éléments simples de f(x) = Soit f une fonction définie par : f(x) = x 3 x 5x + 6. Montrer que α = est une racine du polynôme x 3 x 5x + 6. En déduire ses deux autres racines, que l on note β et γ, β < γ. 3 Déterminer les réels A, B et C tels que : 4 En déduire la valeur de 5 4 f(x) = f(x) dx. A x α + B x β + C x γ x 3 x 5x+6 R Corrigé page 73 Exercice. Trouver le cercle R On considère l intégrale : I = 4 0 4x x dx. Corrigé page 74 Montrer que I représente l aire d un demi-disque, dont on donnera les caractéristiques, et calculer I. Exercice 3. Volume d un bouchon de pêche A Corrigé page 74 Un bouchon de pêche est obtenu à partir d une courbe que l on a fait tourner autour de l axe des abscisses. L équation de la courbe est : { f(x) = x, x [ ; 0] f(x) = cos(x), x [ ] 0 ; π 0 π 68

177 Calculer la valeur du volume V du bouchon. Exercice 4. Suite et intégrale : I n = 0 e nx e x + On considère la suite (I n ) définie pour tout entier naturel n par : 0 e nx e x + dx. a. Calculer I et I 0 + I. En déduire I 0. b. Exprimer I n + I n+ pour tout entier naturel non nul n. a. Montrer que (I n ) est croissante. b. Montrer que pour tout réel x compris entre 0 et, on a : En déduire un encadrement de I n. 3 En déduire lim I I n n et lim n + n + e. n e nx e + dx R enx e x + enx. Corrigé page 75 Exercice 5. Intégrale et suite définie par u n = ln(n!) ln(n n ) R Montrer que pour tout entier naturel n supérieur à, on a : n ln t dt ln(n!) n+ ln t dt. Corrigé page 76 Montrer que la fonction L définie par L(x) = x ln x x est une primitive de la fonction x ln x. 3 On considère la suite (u n ) n définie : u n = ln(n!) ln(n n ). Montrer que (u n ) n converge et donner sa limite. Exercice 6. Suite définie par une intégrale R On considère la suite (u) définie pour tout entier naturel n par : Corrigé page 77 u n = e (ln x) n x dx. (ln x)n+ On considère la fonction F n (x) =. x Montrer que F n(x) (ln x)n (ln x)n+ = (n + ). x x En déduire que u n+ = n+ e + (n + )u n. 69

178 3 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a : ( ) un 4 En déduire que lim = 0. n + n! u n = n!u 0 n! e n k= k k! Exercice 7. π 0 e nx sin x dx et π 0 e nx cos x dx R On considère les intégrales suivantes, définies pour tout entier naturel n : Calculer I 0 et J 0. I n = π Soit n un entier naturel non nul. a. On pose F n (x) = e nx sin x. Calculer F n(x) et en déduire que : 0 e nx sin x dx ; J n = b. On pose G n (x) = e nx cos x. Calculer G n(x) et en déduire que : π ni n J n = e n π. 0 I n + nj n =. c. En déduire la valeur de I n et J n en fonction de n. 3 Calculer lim I n et lim J n. n + n + Exercice 8. φ(x) = x On considère la fonction φ définie sur [ ; + [ par : Justifier l existence de φ. Montrer que t(t + ) = a t + e nx cos x dx Corrigé page 79 ln t (+t) 3 dt R φ(x) = b t + + x ln t ( + t) 3 dt. Corrigé page 79 c, où a, b et c sont trois réels que l on précisera. (t + ) 70

179 3 Soit x. a. Exprimer en fonction de x la valeur de x dt t(t + ). b. On pose Φ(t) = ln t (t + ). Calculer Φ (t) et en déduire une expression de φ(x) en fonction de x. c. Montrer que lim x + En déduire que : ln x ( + x) = 0. lim φ(x) = ( ln ). x + Exercice 9. Approximation d une aire A Corrigé page 8 L objectif de cet exercice est de déterminer une approximation de l aire du domaine D défini par : D = {0 x, 0 y f(x)} où x R, f(x) = (ln( + x)). On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; #» ı, #» j ), avec pour unité graphique : #» ı = #» j = 0 cm. Déterminer la dérivée de f sur [0 ; + [. Partie A : Étude des variations de la fonction En déduire les variations de f sur [0 ; + [. 3 Calculer f(0) et f(), puis dresser le tableau de variations de f sur [0 ; ]. 4 Calculer f (0). En déduire l équation de la tangente T à C au point d abscisse 0. 5 Tracer dans (O ; #» ı, #» j ) C en faisant apparaître la tangente T. On considère : Les points A k ( k 0 ; 0 ) Partie B : Calcul de l approximation de l aire pour tout entier naturel k tel que 0 k 0 ; Les rectangles R k de base [A k A k+ ] et de hauteur f que 0 k 9. ( ) k 0 Sur le graphique précédent, dessiner les rectangles R k, 0 k 9. pour tout entier naturel k tel Calculer la somme des aires des rectangles R k pour k compris entre 0 et 9. On donnera le résultat en unité d aire et en cm à 0 3 près. 3 On suppose que la fonction F définie par : F (x) = (x + ) [ (ln(x + )) ln(x + ) + ] est une primitive de f sur [0 ; ]. En déduire la valeur exacte, puis approchée à 0 3 près, de l aire de D. Calculez l erreur entre cette valeur et celle obtenue à la question précédente. 7

180 Exercice 0. Intégrale et fonction exponentielle R On considère sur [0 ; + [ la fonction f n telle que : On pose alors, pour tout réel x positif, f n (x) = x n e x, n N. F n (x) = x 0 f n (t) dt. Montrer que pour tout entier naturel n, F n (x) = x n e x nf n (x). En déduire que pour tout entier naturel n, F n (x) = e x n k=0 ( ) k n! (n k)! xn k, Corrigé page 8 où n! désigne le produit 3 4 (n ) (n ) n et où l on convient de noter que 0! =. 7

181 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. Soit P (x) = x 3 x 5x + 6. Alors, P () = = 0. Ainsi, α = est une racine de P. De la question précédente, on peut conclure que P (X) = (x )(x + bx + c). En développant, on a : P (x) = x 3 + bx + cx x bx c = x 3 + (b )x + (c b)x c. Par identification, on a alors : b = c b = 5 c = 6 Soit b = et c = 6. Ainsi, P (x) = (x )(x x 6). Le discriminant du second facteur est = 5, d où les racines suivantes : β = = et γ = + Les trois racines de P sont donc α =, β = et γ = 3. 3 Déterminons les réels A, B et C tels que : = 3 f(x) = (x )(x + )(x 3) = A x + B(x ) (x )f(x) = = A + + (x + )(x 3) x + Si x =, cela nous donne : 6 = A. A(x + ) (x + )f(x) = = + (x )(x 3) x Si x =, cela nous donne : (x 3)f(x) = Ainsi : (x )(x + ) Si x = 3, cela nous donne : f(x) = 5 = B. = A(x 3) x 0 = C. + B x + + C(x ) x 3. C(x + ) x 3. B(x 3) x + + C. 6(x ) + 5(x + ) + 0(x 3) C x 3 73

182 4 5 4 f(x) dx = dx x dx x dx x 3 = 6 [ ] 5 [ ] 5 [ ] 5 ln(x ) ln(x + ) ln(x 3) = 6 (ln 4 ln 3) + 5 (ln 7 ln 6) + (ln ln ) 0 = 6 ln 3 3 ln + 5 ln 7 5 ln 5 ln ln = 30 ln ln + 5 ln 7 = ( ) ln 5 Corrigé de l exercice. Considérons la fonction f(x) = 4x x définie sur [0 ; 4]. Sa représentation graphique est un demi-cercle de centre A(; 0) situé au-dessus de l axe des abscisses. En effet, on a : y = 4x x, y 0 y = 4x x, y 0 0 = x 4x + y, y 0 0 = (x ) 4 + y, y 0 4 = (x ) + y, y 0 Cette dernière équation cartésienne est celle du demi-cercle de centre A(; 0) et de rayon r =. Ainsi, I représente l aire de ce demi-cercle. Donc I = πr Corrigé de l exercice 3. Par définition : soit I = π. V π = π (f(x)) 0 dx = π (f(x)) dx } {{ } volume de la demie-sphère de rayon = π π 3 + π cos x dx 0 = π 3 + π π = π 3 + π = π 3 + π 4 0 ( cos x + ) [ sin x + x ] π 0 π +π (f(x)) 0 dx dx 74

183 Corrigé de l exercice 4. e x a. I = 0 e x + dx = [ ln(e x + ) ] = ln(e + ) ln. 0 ( ) e + Ainsi, I = ln. e x + I 0 + I = 0 e x + dx = [x] 0. Ainsi, I 0 + I =. ( ) e + On en déduit alors : I 0 = I, soit I 0 = ln. b. I n + I n+ = = = e nx + e (n+)x e x + e nx (e x + ) e x + e nx dx dx. dx = n [enx ] 0 Ainsi, I n + I n+ = n (en ). e nx (e x ) a. I n+ I n = dx. 0 e x + Or, sur [0 ; ], on a : e nx 0 e x 0 e x + 0 Ainsi, I n+ I n 0 donc (I n ) est croissante. b. 0 x e 0 e x e car t e t est croissante + e x + e + e + e x + enx e + e + 0 enx e x + enx car e nx > 0 e nx dx en n(e + ) I n en (e + ) e n 3 On sait (croissance comparée) que lim n + n e n De plus, lim n + (e + ) = +. Ainsi, d après le théorème des gendarmes, De plus, e n n(e + ) I ne n e n (e + ) 0 e nx e x + dx et lim n + = +. Ainsi, lim lim I n = +. n + 0 e n n(e + ) = e nx dx n + e n n(e + ) = +. lim e n n + (e + ) = 0. 75

184 Ainsi, I n lim n + e = 0. n Corrigé de l exercice 5. Dans un premier temps, remarquons que : ln(n!) = ln( 3 (n ) n) = ln + ln + ln ln(n ) + ln n Traçons la courbe représentative de la fonction t ln t sur [; + [ et traçons les rectangles de largeur et de hauteur respective ln k et ln(k + ) pour k allant de à n : y y ln + ln + + ln n... n On voit ici que la somme des aires des rectangles est supérieure à l aire comprise entre la courbe, l axe des abscisses, le point de coordonnées (; 0) et la droite d équation x = n, ce qui se traduit par l inégalité suivante : Ainsi : ln(n!) L (x) = ( x ln x ) n ln tdt = ln x + x x = ln x + n x ln t dt ln(n!)... n n + ln + ln + + ln n On voit ici que la somme des aires des rectangles est inférieure à l aire comprise entre la courbe, l axe des abscisses, le point de coordonnées ( ; 0) et la droite d équation x = n, ce qui se traduit par l inégalité suivante : n+ ln(n!) ln t dt n+ ln t dt = ln x. Ainsi, x x ln x x est bien une primitive de x ln x. 3 De l encadrement de la question et du résultat obtenu à la question, on déduit : Or, Donc : n+ n ln t dt u ln(n n n n+ ln t dt. ) ln(n n ) n ln t dt = [t ln t t] n = n ln n n + ln tdt = [t ln t t] n+ = (n + ) ln(n + ) n n ln n n + n ln n u n ln n + n ln n u n n ln(n + ) + ln(n + ) n n ln n ( ln(n + ) + ) ln n n ln n x 76

185 Or : De plus : lim n + ln(n + ) ln n ln n = 0 ; lim n + = ln [ n ( + n ln n )] = ln n + ln ( + n ln n n ln n = 0 ; lim ln(n + ) n + ln n D après le théorème des gendarmes, on a alors : ) = + ln ( + n ln n ) ln ( + n = + lim n + ln n. ) = lim u n = n + Corrigé de l exercice 6. F n (x) est de la forme u(x) v(x) avec u(x) = (ln x) n+ et v(x) = x. Ainsi, F n(x) = (n + ) x (ln x)n x (ln x)n+ x (ln x)n (ln x)n+ = (n + ). x x De la question précédente, on déduit : e F n(x) dx = ( e (n + ) (ln x)n x ) (ln x)n+ x dx D où : e (ln x) n+ e (ln x) n = (n + ) x x dx = (n + ) e dx (ln x) n x e dx (ln x) n+ x dx. e u n+ = (n + )u n [ F n ( e ) F n (0) ] u n+ = (n + )u n n+ e F n(x) dx 3 Posons P n la propriété : n N, u n = n!u 0 n! e n k= k k!. Initialisation. Pour n =, la question nous dit que : u = u 0 e. De plus, P : u =!u 0! e! = u 0 e. L initialisation est donc faite. Hérédité. Supposons que P n soit vraie pour un n donné non nul. Alors, u n = n!u 0 n! e D après la question, on a : n k= k k!. 77

186 u n+ = (n + )u n n+ e = (n + ) ( = (n + )!u 0 = (n + )!u 0 = (n + )!u 0 n!u 0 n! e n k= (n + )! e (n + )! e (n + )! e k ) n+ k! e n k= ( n k= n+ k= On a alors P n P n+. L hérédité est alors montrée. k k! n+ e k ) k! + n+ (n + )! k k! Ainsi, P n est vraie pour tout entier naturel non nul n. 4 De la question précédente, on peut déduire que pour tout entier naturel non nul n, on a : Soit : lim n + u n n! = u 0 e Or, d après un exercice précédent, on sait que : n k= k k! ( ) un = u 0 + k n! e k= k!. + k=0 k k! = e. Donc : d où : soit : Or : Ainsi : lim n + lim n + + k=0 k k! = e, ( ) un = u 0 n! e (e ), ( ) un = u 0 + n! e. u 0 = lim n + e dx ] x e [ = x = e + ( ) un = 0 n! 78

187 Corrigé de l exercice 7. I 0 = J 0 = π 0 π 0 sin x dx = [ cos x] π 0 = cos 0 cos x dx = [sin x] π 0 = sin 0 sin π =. ( cos π ) =. a. F n(x) = ne nx sin x e nx cos x. Ainsi, π π F n(x) dx = n e nx sin x dx e nx cos x dx 0 0 e n π = nin J n b. G n(x) = ne nx cos x + e nx sin x. Ainsi, π 0 π G n(x) dx = n e nx cos x dx + 0 = nj n + I n π 0 e nx sin x dx c. On a : { In + nj n = (E ) ni n + J n = e n π (E ) En faisant (E ) n(e ), on a : D où : De plus, en faisant (E ) + n(e ), on a : d où : ( ) 3 lim n π n + e n π = 0 donc lim De même, lim J n = n + lim n + n + I n = n = 0. +n ( + n )I n = ne n π I n = ne n π + n ( + n )J n = e n π + n, J n = n + e n π + n lim n + = 0. +n Corrigé de l exercice 8. La fonction t ln t est continue sur [ ; + [ comme quotient de deux fonctions ( + t) 3 continues sur ce même intervalle. Ainsi, φ est définie. On a : a t + b + t + c = a( + t) + bt( + t) + ct ( + t) t( + t) = a(t + t + ) + bt + bt + ct t( + t) = (a + b)t + (a + b + c)t + a t( + t) 79

188 Si l on veut que cette dernière expression soit égale à Soit a =, b = et c = d où : 3 a. D après ce qui précède, on a : x a + b = 0 a + b + c = 0 a = t( + t) = t + t ( + t) dt x = t( + t) dt t x 4, alors, on a : t( + t) dt x + t dt ( + t) [ = [ln t] x [ln( + t)]x + t = ln x ln(x + ) + ln + = ln b. Φ (t) = t (t + ) + ln t 4(t + ) 4(t + ) 4 Φ (t) = = (t + ) + 4(t + ) ln t 4t(t + ) 4 On déduit alors : ln t (t + ) 3 t(t + ) ] x + x ( ) x + x + x + + ln x Φ (t) dt = x Φ(x) Φ() = φ(x) φ(x) = ( ) x ln x + φ(x) = ( ) x ln x + c. On sait, par croissance comparée, que lim x De plus, lim x + ( + x) = lim x x + x = Ainsi, D où, lim x + lim x + ln x x x (x + ) = 0. ln x (x + ) = 0. ln t (t + ) dt x 3 t(t + ) dt ( ( ) x ln + x + x + + ln ) + x + + ln 4 + Φ(x) + x + + ln 4 x + lim x + ln x x = 0. x = 0. ln x (x + ) 80

189 On en déduit alors : lim x + φ(x) = lim ( ln x ) + lim (x + ) x + } {{ } =0 ) = ( ln ( ) ( ) x ln + lim + x + x + x + } {{ } =0 x + } {{ } =0 ( ln ) Corrigé de l exercice 9. Partie A : Étude des variations de la fonction f est de la forme u, avec u(x) = ln(x + ). Donc f = u u, avec u (x) = x +. D où : f ln(x + ) (x) =. x + Si x 0, alors x + et donc ln(x + ) 0. Ainsi, f (x) est strictement positive donc f est strictement croissante sur [0 ; + [. 3 f(0) = (ln(0 + )) = 0 et f() = (ln( + )) = ln. On a le tableau de variations suivant : x 0 f 0 4 f ln(0 + ) (0) = = 0 donc la tangente à C en 0 est horizontale. Or, f(0) = 0 donc T 0 + est l axe des abscisses. 5 ln 0,5 C O 8

190 Partie B : Calcul de l approximation de l aire 0,5 C L aire du rectangle R k est : O R 0 R R R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 A k = ( k 0 f 0 ) où ( k 0 représente la mesure de la largeur et f 0 La somme des aires des rectangles est : A = 9 k=0 ( ) k 0 f 0 ), sa longueur. = (f(0) + f() + + f(9)) 0 A 0, 65 u.a. 0, cm A 6, 487 cm 3 0 f(x) dx = F () F (0) = (ln ) 4 ln + 4 0, 88 L aire de D est donc égale à (ln ) 4 ln + 4 u.a., soit environ 0,88 u.a. Corrigé de l exercice 0. On sait, par propriété, que : ( x f(t) dt) = f(x). a 8

191 Donc ici, pour n, (x n e x nf n (x)) = nx n e x + x n e x nf n (x) = nx n e x + x n e x nf n (x) = nx n e x + x n e x nx n e x = x n e x = f n (x) On a donc bien F n (x) = x n e x nf n (x) pour n. Raisonnons par récurrence. Initialisation. Pour n = 0, la formule devient : F 0 (x) = e x 0 k=0 = e x ( )0 = e x ( ) k 0! (0 k)! x0 k L initialisation est donc faite. Hérédité. Supposons que la formule est vraie pour un entier n donné, et montrons qu elle l est alors au rang suivant. D après la question, F n+ (x) = x n+ e x (n + )F n (x) n = x n+ e x (n + )e x ( ) k n! k=0 (n k)! xn k par H.R. ( n = e x ( ) k+ ) (n + )! x n k + x n+ k=0 (n k)! [ ] (n + )! = e x (n + )! xn+ + ( ) (n + )! x n + ( ) (n + )! x n + n! (n )! ( n+ = e x k=0 Ce qui prouve l hérédité. ( ) k (n + )! (n + k)! xn+ k ) x 0 83

192 Loi uniforme Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Paradoxe de Bertrand R Corrigé page 86 On considère un cercle C de centre O et de rayon r > 0 et un triangle équilatéral ABC inscrit dans C. On trace la perpendiculaire à (AB) passant par O ; elle coupe (AB) en H. H B A O C a. Montrer que H est le milieu de [AB]. b. Exprimer OH en fonction de r. c. Donner, en degrés, la mesure de ÂOB. On choisit un point M sur un rayon quelconque [OP] et on trace la corde perpendiculaire à (OM) passant par M. On appelle X la variable aléatoire égale à la longueur OM. a. Donner la loi de X. b. Quelle est la probabilité pour que cette corde ait une longueur supérieure au côté de ABC? 3 On choisit maintenant au hasard un nombre Z entre 0 et 80, puis on construit un angle au centre de C de mesure Z degré(s). On trace alors la corde qui intercepte cet angle. a. Quelle est la loi de Z? b. Quelle est la probabilité que cette corde ait une longueur supérieure à celle d un côté de ABC? Exercice. La rencontre R 84

193 Corrigé page 87 Hugo et Lisa se sont donnés rendez-vous entre 6h00 à 7h00 sans se donner une heure précise. Ils arriveront donc tout deux à un horaire au hasard dans cet intervalle de temps. Hugo ne souhaite pas attendre plus de 5 minutes et Lisa, plus de 0 minutes, sans quoi la rencontre n aura pas lieu. Quelle est la probabilité qu ils se rencontrent? Exercice 3. L aiguille de Buffon R Corrigé page 88 Sur un parquet, dont les dalles ont pour largeur a, on laisse tomber au hasard une aiguille de longueur l. Quelle est la probabilité pour que l aiguille chevauche deux dalles? 85

194 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. a. ABC est équilatéral ; par conséquent, O est le point d intersection des hauteurs (ou des médiatrices). Donc (OH) est la hauteur relative à (AB) mais aussi la médiatrice de [AB]. Donc H est le milieu de [AB]. b. O est le centre de gravité de ABC donc : OH = 3 CH. Ainsi, OH = r c. On sait depuis la 3 e que dans un polygone régulier à n côtés, l angle au centre est, en degrés, 360 n. Ainsi, ÂOB = 0. a. OM est un nombre compris entre et r ; par conséquent, X suit la loi uniforme sur [0 ; r] : X U ([0 ; r]) b. Pour que la corde ait une longueur supérieure au côté de ABC, il faut qu elle se trouve dans la zone coloriée suivante : H B A O C Donc, en choisissant M sur un rayon uniquement, ça coupe en deux cette zone. 86

195 D après la question.b, la probabilité pour que la corde ait une longueur plus grande que AB est : OH = r r r =. 3 a. Z suit la loi uniforme sur [0 ; 80] : Z U ([0 ; 80]) b. Pour que la corde ait une longueur supérieure à AB, il faut que Z > 0. P (Z > 0) = P(0 < Z < 80) 80 0 = 80 0 = P (Z > 0) = 3 Corrigé de l exercice. Notons H le nombre de minutes écoulées à partir de 6h00 avant l arrivée d Hugo et L le nombre de minutes écoulées à partir de 6h00 avant celle de Lisa. On a alors : 0 < H < 60 ; 0 < L < 60 ; L < H + 0 car Lisa ne souhaite pas attendre Hugo plus de 0 minutes ; H < L + 5 car Hugo ne souhaite pas attendre Lisa plus de 5 minutes ; Faisons une représentation graphique : L L univers est représenté par le carré de côté 60 et la «zone de rencontre» par la zone non hachurée. Il faut donc trouver l aire de cette zone non hachurée. La droite rouge a pour équation : y = x + 0. La droite bleue a pour équation : y = x 5. H 87

196 L aire A de la zone non hachurée est l aire du carré moins celle des triangles hachurés, d où : A = = ,5 = 337,5 Ainsi, la probabilité de rencontre est : p = 337, p 0, 37 Corrigé de l exercice 3. Laisser tomber au hasard une aiguille, c est choisir au hasard : [ l abscisse X de son centre dans l intervalle 0 ; a ], [ l angle θ avec l horizontale dans l intervalle π ; π ] comme l illustre le schéma ci-dessous : a L aiguille chevauche deux dalles lorsque : X l cos θ donc la probabilité demandée est : X θ P P (X l cos θ ) (X l cos θ ) = = l aπ π l cos θ dθ π π a 88

197 Loi exponentielle Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Polynésie, 004 R Corrigé page 9 Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ > 0. Sachant que P (X > 0) = 0, 86, montrer que λ = 0, 5 au millième près. Dans la suite de l exercice, on prendra λ = 0, 5. Calculer la probabilité qu un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 3 Sachant qu un appareil a déjà fonctionné 8 années, quelle est la probabilité qu il ait une durée de vie supérieure à 0 ans? 4 On considère que la durée de vie d un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 5 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 0 ans? 5 Combien l établissement devrait-il acheter d oscilloscopes pour que la probabilité qu au moins l un d entre eux fonctionne plus de 0 ans soit supérieure à 0,999? Exercice. Liban, 006 A Corrigé page 93 La durée de vie d un robot exprimée en années, jusqu à ce que survienne la première panne, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Ainsi, la probabilité qu un robot tombe en panne avant l instant t est égale à : P (X t) = t 0 λe λx dx. Déterminer la valeur arrondie à 0 prés de λ pour que la probabilité P ( X > 6 ) soit égale à 0,3. Dans la suite de l exercice, on prendra λ = 0,. À quel instant t à un mois prés, la probabilité qu un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5? 3 Montrer que la probabilité qu un robot n ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e 0,4. 4 Sachant qu un robot n a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à 0 prés, la probabilité qu il soit encore en état de marche au bout de six ans? 89

198 5 On considère un lot de dix robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n ait pas eu de panne au cours des deux premières années. Exercice 3. Amérique du sud, 005 A Corrigé page 93 Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants tous identiques en apparence, mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu un composant soit défectueux est égale à 0,0. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l achat de 50 composants soit assimilés à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants. Quelle est la probabilité qu exactement deux des composants achetés soient défectueux? En donner une valeur approchée à 0 prés. Calculer la probabilité qu au moins un des composants achetés soit défectueux? En donner une valeur approchée à 0 prés. 3 Quel est dans un lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux? Partie B On suppose que la durée de vie T (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre λ = et que la durée de vie T (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0 4. Calculer la probabilité que la durée de vie d un composant soit supérieur à 000 heures : a. si ce composant est défectueux b. si ce composant n est pas défectueux Donner une valeur approchée de ces probabilités à 0 prés. Soit T la durée de vie (en heures) d un composant achetés au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est : P (T t) = 0, 0e 5 0 4t + 0, 98e 0 4t. 3 Sachant que le composant acheté est encore en état de marche 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux? En donner une valeur approchée à 0 3 prés. 90

199 Exercice 4. Le chauffe-eau (avec loi normale et intervalle de fluctuation) On donnera la valeur approchée des probabilités à 0 3 près. Partie A R Corrigé page 94 Monsieur Icks désire acheter un chauffe-eau de marque IGRAIC. Le vendeur lui dit que la probabilité qu il dure plus de 0 ans est égale à 0,7. On note X la variable aléatoire représentant la durée de vie (en années) de ce chauffe-eau et on admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Déterminer la valeur de λ. On prendra dans la suite de cet exercice λ = 0, 036. Déterminer la probabilité pour que ce chauffe-eau fonctionne plus de 5 ans sachant qu il a fonctionné au moins 0 ans. 3 Calculer t tel que P (X t) = 0, 5, puis interpréter le résultat. Partie B L usine dans laquelle sont fabriqués les chauffe-eaux de marque IGRAIC a constaté, après étude statistique, que la durée de vie d un de ses chauffe-eaux pouvait être représentée par une variable aléatoire Z suivant la loi normale de moyenne µ = 30 et d écart-type σ = 5. Évaluer P(5 Z 35). Le patron de l usine souhaite que cette dernière probabilité soit égale à 0,95 sans changer la durée de vie moyenne. Déterminer alors l écart-type qu il faudrait obtenir. Partie C Les méthodes de production ont été modifiées de sorte que 95 % des chauffe-eaux fabriqués aient une durée de vie comprise entre 5 ans et 35 ans. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on prélève 500 chauffe-eaux au hasard dans la production mensuelle. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de chauffe-eaux ayant une durée de vie comprise entre 5 ans et 35 ans sur un échantillon de taille 500. Parmi les 500 chauffe-eaux choisis, 463 sont considérés comme pouvant avoir une durée de vie conforme aux exigences. Peut-on considérer que l objectif visé par les modifications de fabrication a été atteint en considérant l intervalle de fluctuation obtenu à la question précédente? 9

200 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. On a P (X > 0) = 0, 86 = e 0λ, équation qui donne λ = 0, 5 au centième près. La probabilité qu un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois s écrit P (X 0, 5). P (X 0, 5) = e 0,5 0,5 = e 0,065 0, L appareil a déjà fonctionné 8 années, la probabilité qu il ait une durée de vie supérieure à 0 ans est donnée par : P (X>8) (X > 0) avec P (X > 8) = e 8 0,5. P ((X > 0) (X > 8)) = P (X > 0) = e 0 0,5 P (X>8) (X > 0) = P ((X > 0) (X > 8)) P (X > 8) = e 0 0,5 e 8 0,5 = e 0,5 = P (X > ) 0, On est en présence d un schéma de Bernoulli. La durée de vie d un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable à commandé 5 oscilloscopes. La probabilité qu un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 0 ans est la probabilité d un «succès» et on sait qu elle vaut P (X > 0) = 0, 86. L événement «au moins un oscilloscope parmi les 5 a une durée de vie supérieure à 0 ans» est l événement contraire de "tous les appareils ont une durée de vie inférieure à 0 ans" de probabilité ( 0, 86) 5 = 0, La probabilité qu au moins un oscilloscope parmi les 5 ait une durée de vie supérieure à 0 ans est donc 0, , On reprend la situation de la question précédente avec n oscilloscopes et on cherche n tel que 0, 74 n 0, 999, inéquation équivalente à 0, 74 n 0 3 et qui donne n ln(0 3 ) 0, 5. ln 0, 74 L établissement devrait acheter oscilloscopes pour que la probabilité qu au moins l un d entre eux fonctionne plus de 0 ans soit supérieure à 0,999. 9

201 Corrigé de l exercice. P (X > 6) = 0, 3 P (X 6) = 0, λe λx dx = 0, 7 e 6λ = 0, 7 λ = ln 0, 3 0, 0. 6 On cherche t tel que P (X t) = 0, 5, soit t 0 0, e 0,x dx = 0, 5 soit, après développement, t = 5 ln 3, 47 années, soit 4 mois. 3 La probabilité qu un robot n ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e 0,4. En effet, P (X > ) = P (X ) = + e 0,4 = e 0,4. 4 Sachant qu un robot n a pas eu de panne au cours des deux premières années, la probabilité qu il soit encore en état de marche au bout de six ans est : P (X > 6) P (X > ) = e 0, 6 e 0, = e 0,8 0, On considère un lot de dix robots fonctionnant de manière indépendante. Nous savons que la probabilité qu un robot n ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e 0,4. La probabilité qu aucun robot sur les dix n ait eu de panne au cours des deux premières années est de ( e 0,4 ) 0. La probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n ait pas eu de panne au cours des deux premières années est donc de ( e 0,4 ) 0 0, Corrigé de l exercice 3. Partie A La variable X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0, 0. La probabilité qu exactement deux des composants achetés soient défectueux est : ( ) 50 P (X = ) = (0, 0) (0, 98) 48 0, 9. Donnons d abord la probabilité qu aucun composant ne soit défectueux : (0, 98) 50. La probabilité qu au moins un des composants achetés soit défectueux est donc (0, 98) 50 0, Dans un lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux est l espérance de X soit 50 0, 0 =. Partie B a. La probabilité que la durée de vie d un composant soit supérieur à 000 heures si ce composant est défectueux est : P (T 000) = e ( )x dx = e 0,5 0, 6. b. La probabilité que la durée de vie d un composant soit supérieur à 000 heures si ce composant n est pas défectueux est : P (T 000) = e ( 0 4 )x dx = e 0, 0,

202 Soit T la durée de vie (en heures) d un composant acheté au hasard. Notons respectivement A et D les événements (T t) et «le composant est défectueux». On peut écrire : A = (D A) (D A). De plus, on sait que P (D) = 0, 0. Alors : soit : P (T t) = P (A) = P (D) P D (A) + P (D) P D (A), P (T t) = P (D) P D (T t) + P (D) P D (T t), d où : P (T t) = 0, 0 ( + e ( )t ) + 0, 98 ( + e 0 4 t ) Ainsi : P (T t) = 0, 0e ( )t + 0, 98e 0 4 t 3 Sachant que le composant acheté est encore en état de marche 000 heures après son installation, la probabilité que ce composant soit défectueux est : P (T 000) (D) = P (D (T 000)) P (T 000) = 0, 0e , 0e , 98e , 03. Corrigé de l exercice 4. Partie A On sait que P (X 0) = 0, 7, soit e 0λ = 0, 7. ln 0, 7 Ainsi, 0λ = ln 0, 7, d où λ = 0, On calcule : 3 P (X t) = 0, 5 e 0,036t = 0, 5 P (X 0) (X 5) = P (X 5 0) = P (X 5) = e 5 0,036 P (X 0) (X 5) 0, 837 0, 036t = ln t = ln 0, 036 t 9, 5 On peut donc dire que la probabilité pour que le chauffe-eau fonctionne plus de 9 ans et 3 mois est égale à 0,5. Autrement dit, la demi-vie du chauffe-eau est 9 ans et 3 mois. Partie B 94

203 D après le cours, si Z suit la loi N (µ ; σ ), alors, P(µ σ Z µ + σ) = 0, 68. Donc, ici, ou encore : P(30 5 Z ) = 0, 68, P(5 Z 35) = 0, 68. On sait que P(µ σ Z µ + σ) = 0, 95, donc on souhaite que la variance soit réduite de moitié, donc que σ = 5. 5 Ainsi, σ =, soit σ, 58. Une autre façon de faire : On pose Y = Z 30. Alors, Y suit la loi N (0 ; ). σ De plus, σy + 30 = Z donc : P(5 Z 35) = 0, 95 P(5 σy ) = 0, 95 ( 5 P σ Y 5 ) = 0, 95 σ Il faut donc que 5 σ = σ, soit σ = 5, d où σ, 58. Partie C n = , p = 0, 95 donc np = et n( p) = 5 5 donc l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % demandé est donné par : I = [ 0, 95, 96 0,95 0,05 ; 0, 95 +, ] 0,95 0,05 500, soit : I [0, 93 ; 0, 969]. La fréquence des chauffe-eaux conformes aux exigences est égale à f = Or, f / I donc on peut affirmer que l objectif n est pas atteint. = 0,

204 Géométrie dans l espace Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Exercice. Équation paramétrique de droites A Corrigé page 00 Dans chacune des questions suivantes, déterminer une équation paramétrique de la droite D, passant par le point A et de vecteur directeur #» u. A(0; ; ) et #» u A( 3; ; 5) et #» 0 u 3 A(; 3; 4) et #» u 3 3 Exercice. Intersection de plans A Pour chaque question, déterminer l équation de l intersection des plans (P ) et (P ). Corrigé page 00 3 { (P ) : 3x y + z = 7 (P ) : x + 3y + z = { (P ) : x + y + z = (P ) : x 3y + z = 4 { (P ) : x y + 3z = 4 (P ) : x 3y 3z = Exercice 3. Droites confondues R Corrigé page 0 Soient (D ) d équation paramétrique : x = t y = t z = t, t R et (D ) d équation paramétrique : x = t y = t z = t, t R. Montrez que (D ) et (D ) sont confondues. 96

205 Exercice 4. Dans un cube A Corrigé page 0 Soit ABCDEFGH un cube comme représenté ci-dessous. On place les points I, J et K respectivement au milieu des côtés [DC], [GH] et [DH]. On fixe le repère ( A; AB, #» AD, #» AE #»). D K H I J C G E F A B Montrer que le vecteur #» u est un vecteur normal au plan (AEJI). 0 En déduire une équation cartésienne du plan (AEJI). 3 Calculer la distance du point K au plan (AEJI). 4 En déduire le volume de la pyramide AEJIK. 5 Donner une équation paramétrique de la droite D, perpendiculaire au plan (AEJI) et passant par K. En déduire les coordonnées du point d intersection de D avec le plan (AEJI). Exercice 5. Polynésie, 00 R Dans l espace muni d un repère orthonormal ( O ; #» ı, #» j, #» ) k, on considère : Corrigé page 03 les points A ( ; ; ) et B (3 ; ; 0) ; le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur AB #» pour vecteur normal ; le plan (Q) d équation : x y + z + 4 = 0 ; la sphère (S) de centre A et de rayon AB. Montrer qu une équation cartésienne du plan (P) est : x + y z 8 = 0 Déterminer une équation de la sphère (S). 3 a. Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). b. Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S)? 4 On admet que le projeté orthogonal dea sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées (0 ; ; ). a. Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants. b. Soit (D) la droite d intersection des plans (P) et (Q). Montrer qu une représentation paramétrique de la droite (D) est : x = t y = 5t z = 4 3t, t R 97

206 c. Vérifier que le point A n appartient pas à la droite (D). d. On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D). L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? «Tout point du plan (R) est équidistant des points B et C». Justifier votre réponse. Exercice 6. ROC et équations de plans et droites R L espace est rapporté à un repère orthonormé ( O ; #» ı, #» j, #» ) k. Partie A : Restitution organisée de connaissances On considère : le point A (α ; β ; γ) ; le plan P d équation : ax + by + cz + d = 0 ; #» n un vecteur normal de P ; H, le projeté orthogonal de A sur P. On suppose connues les propriétés du produit scalaire suivantes : Corrigé page 06 #» u #» v = #» u #» v cos ( #» u, #» v ) (XI.) x #» u y et #» v z x y #» u #» v = xx + yy + zz z (XI.) À l aide de la formule (), exprimer AH #» #» n. À l aide de la formule (), montrer que AH #» #» n = aα + bβ + cγ + d. 3 En déduire que la distance du point A au plan P est donnée par la formule : d (A; P) = aα + bβ + cγ + d a + b + c. (XI.3) Partie B On considère les points A ( ; ; 0), B (4 ; 6 ; 3), C ( 9 ; 46 ; ) ( et D ; 0 ; ) On suppose que ces points ne sont ni alignés, ni coplanaires. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation : 3y + 4z + 6 = 0. Vérifier que le plan (ABD) admet pour équation : 4x 3y + = 0. 3 a. Soit P l ensemble des points équidistants des plans (ABC) et (ABD). Vérifier que P est la réunion de deux plans (P ), d équation x z = 0, et (P ), d équation x 3y + z + 4 = 0. b. On note n #» i un vecteur normal au plan (P i ) pour i = et i =. Le plan bissecteur intérieur issu de AB #» est le plan (P i ) tel que n #» i AC #» et n #» i AD #» sont de signes contraires. Montrer que (P ) est ce plan. On admet que (DCB) admet pour équation x + y + z 4 = 0 et que (DCA) admet pour équation x + y + z 5 = 0. 98

207 4 Montrer que le plan bissecteur intérieur issu de #» CD a pour équation x + 3y + 4z 9 = 0. On nommera ce plan (P 3 ). 5 Montrer que (P ) et (P 3 ) se coupent suivant la droite D d équation : x = 5 6t y = t z = t, t R Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. 6 Soit E l ensemble des points M de D tels que (d(m; (ABC)) = (d(m; (DCB)). a. Montrer que E est composé de deux points dont on précisera les coordonnées. ( 79 b. Soit S la sphère de centre S 43 ; ; 06 ) et de rayon Montrer que S est la sphère inscrite dans le tétraèdre ABCD, c est-à-dire qu elle est tangente à chacune des faces du tétraèdre. 99

208 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. Nous savons qu une équation paramétrique de droite passant par le point A (x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur #» a u b est de la forme : c On a alors : (D) : (D) : 3 (D) : x = t y = + t z = t x = 3 y = t z = 5 + 3t x = + t y = 3 + t z = 4 3t, t R, t R, t R x = x A + at y = y A + bt z = z A + ct, t R Corrigé de l exercice. Nous savons que si deux plans se coupent, alors leur intersection est une droite. Il nous faut donc trouver une équation paramétrique de cette droite pour chacune des questions. { { (P ) : 3x y + z = 7 3x y + z = 7 (P ) : x + 3y + z = 8y + 7z = 0 (L ) (L ) + 3(L ) { 3x y + z = 7 y = 5 7z 4 8 { x = 5z 4 8 y = 5 7z 4 8 Ainsi, une équation paramétrique de l intersection de (P ) et (P ) est : x = t y = t z = t, t R 00

209 3 { { (P ) : x + y + z = x + y + z = (P ) : x 3y + z = 4 5y + z = (L ) (L ) (L ) { x + y + z = z = 5y { x = 3 + 4y z = 5y Ainsi, une équation paramétrique de l intersection de (P ) et (P ) est : x = 3 + 4t y = t z = 5t, t R { { (P ) : x y + 3z = 4 x y + 3z = 4 (P ) : x 3y 3z = y + 6z = (L ) (L ) (L ) { x = 4 5 z y = 6z Ainsi, une équation paramétrique de l intersection de (P ) et (P ) est : x = 4 5 t y = 6t z = t, t R Corrigé de l exercice 3. D après leur équation paramétrique, (D ) a pour vecteur directeur 3/ #» u 5/4 et (D ) a pour vecteur directeur #» 6/5 v. On remarque que #» v = 4 #» 5 u donc les 4/5 vecteurs sont colinéaires, ce qui signifie que (D ) et (D ) sont parallèles. De plus, le point A ( 3 ; 4 ; 0) (D ) ; vérifions que A (D ). Pour cela, vérifions que ses coordonnées vérifient l équation paramétrique de (D ) : 3 = 9 + 6t 5 5 = t t = 4 0 = + 4t On trouve une valeur de t et une seule ; par conséquent, A (D ), ce qui signifie alors que (D ) et (D ) sont confondues. Corrigé de l exercice 4. Les vecteurs AE #» 0 0 et AI #» ne sont pas colinéaires et appartiennent au plan (AEJI). 0 De plus, #» u. AE #» = ( ) + 0 = 0 et #» #» u. AI = + ( ) = 0. Ainsi, #» u est orthogonal aux vecteurs AE #» et AI #» ; donc #» u est normal au plan (AEJI). L équation cartésienne du plan (AEJI) est de la forme ax + by + cz + d = 0, où #» a u b est c un vecteur normal au plan. Ainsi : (AEJI) : x y + d = 0 0

210 De plus, A (AEJI) donc ses coordonnées vérifient l équation d où : d = 0. On a alors : (AEJI) : x y = 0 3 Par définition, on a : d(k, (AEJI)) = ax K + by K + cz K + d a + b + c où (AEJI) :ax + by + cz + d = 0. Ainsi : d(k, (AEJI)) = + ( ) = 5 4 Le volume de la pyramide AEJIK est : V = B h où B est l aire de la base (ici AEJI) et h la hauteur (celle que nous avons calculé dans la question précédente). Donc : V = AE AI 5 = 5 5 Ainsi : V = 5 Nous savons qu une équation paramétrique de D est de la forme : x = x K + at y = y K + bt, t R z = z K + ct où K(x k ; y K, z K ) D et où #» a u b est un vecteur normal à D. Ainsi : c x = t y = t, t R z = Nommons H le pied de la hauteur de la pyramide AEJIK issue du sommet K. Alors, H D et H (AEJI), ce qui se traduit de façons analytique de la façon suivante (on remplace x par t et y par t dans l équation cartésienne de (AEJI)) : t ( ) t = 0 On trouve alors : D où : Ainsi : t = 5 x H = 5 y H = 5 = 5 = 4 5 z H = ( H 5 ; 4 5 ; ) 0

211 Corrigé de l exercice 5. Nous savons que si #» a u b est un vecteur normal au plan (P), alors une équation cartésienne c du plan sera : ax + by + cz + d = 0 Nous savons ici que AB #» 3 = est normal à (P) donc une équation de ce plan 0 est : x + y z + d = 0 Or, B (P) donc ses coordonnées vérifient l équation : x B + y B z B + d = 0 Soit : Donc : Ainsi : d = 0 d = 8 (P) : x + y z 8 = 0 Ici, la question est large... En effet, l énoncé ne nous dit pas quel type d équation il faut établir : une équation cartésienne, paramétrique ou polaire? On suppose qu il s agit ici d une équation cartésienne. Or, une équation cartésienne d une sphère de centre (x A ; y A ; z A ) et de rayon r est : (x x A ) + (y y A ) + (z z A ) = r On a : #» AB = + + ( ) = 6 Ainsi : Soit : Ou encore : (S) : (x ) + (y ) + (z ) = ( 6 ) (S) : x x + + y y + + z z + = 6 (S) : x + y + z (x + y + z) = 3 3 a. La distance du point A (x A ; y A ; z A ) au plan (Q) d équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par la formule : Ainsi, ici : d (A, (Q)) = d (A, (Q)) = ax A + by A + cz A + d a + b + c + ( ) = 6 = 6 + ( ) + 6 La distance du point A au plan (Q) est donc égale à 6. Cette distance étant égale au rayon de la sphère (S), on peut affirmer que le plan (Q) est tangent à (S). 03

212 b. Calculons la distance du point A au plan (P) : d (A, (P)) = ( ) = 6 = 6 = AB 6 Ainsi, (P) est aussi tangent à (S). 4 a. Nous venons de montrer que les plans (P) et (Q) étaient tous les deux tangents à la sphère (S). Ainsi, s ils sont parallèles, les points en lesquels ils sont tangents à (S), c est-à-dire C et un autre point, que nous nommerons C (a ; b ; c), devraient être diamétralement opposés. Ainsi : x A = x C+a y A = y C+b z A = z C+c = a = = +b = +c = a = b = 0 c = 3 Si C (P) alors ses coordonnées vérifient l équation cartésienne de (P) ; or : = 7 0 Ce qui signifie que C / (P). Ainsi, (P) et (Q) ne sont pas parallèles ; ils sont donc sécants. b. (P) et (Q) sont sécants donc, si M(x; y; z) (P) (Q), alors : { x + y z 8 = 0 x y + z + 4 = 0 Donc, en ajoutant les deux lignes pour obtenir la nouvelle seconde ligne : { x + y z 8 = 0 3x + z 4 = 0, soit : { x + y z 8 = 0 z = 4 3x. Ainsi : { x + y (4 3x) 8 = 0 z = 4 3x, d où : { 5x + y = 0 z = 4 3x. Finalement, on a : En posant t = x, on a alors : { y = 5x z = 4 3x x = t (D) : y = 5t z = 4 3t., t R 04

213 c. Injectons les coordonnées du point A dans l équation paramétrique de (D) : = t = 5t = 4 3t Ce système n admet aucune solution ; en effet, la première ligne nous dit que t =. Or, si nous remplaçons t par dans la seconde ligne, cela nous donne l égalité : «=7», ce qui est faux. Par conséquent, A n appartient pas à (D). d. Montrons que le plan (R) est le plan médiateur de [BC]. 3 #» BC 0 ; posons I ( ) ( x B +x C ; y B+y C ; z B+z C = 3+0 ; +; ) ( 0 = 3 ; ; ) le milieu de [BC]. Soit M(x; y; z) un point du plan médiateur de [BC]. Alors : #» IM. BC #» = 0 Soit : ( 3 x 3 ) ( + 0 (y ) z + ) = 0 Soit : 3x z + 4 = 0 Les coordonnées du point A vérifient cette dernière équation ; en effet, = 0. Donc A appartient au plan médiateur de [BC]. De plus, n importe quel point de (D), de coordonnées (t; 5t; 4 3t),t R, appartient aussi à ce plan ; en effet, 3t (4 3t) + 4 = 0. Ainsi, le plan défini par le point A et par la droite (D), c est-à-dire (R), est le plan médiateur de [BC]. Donc tout point de (R) est équidistant des points B et C. 05

214 Corrigé de l exercice 6. À l aide de la formule (), on a : Partie A : Restitution organisée de connaissances AH #» #» n = AH #» #» n cos ( #» AH, #» n ) Or, AH #» et #» n sont colinéaires, donc cos ( #» AH, #» n ) =. De plus, #» n étant un vecteur normal de P, #» a n b d où #» n = a + b + c. Ainsi : c En utilisant la formule (), on a : AH #» #» n = AH a + b + c AH #» #» x H α a n = y H β b = a (x H α) + b (y H β) + c (z H γ) z H γ c Ainsi : #» AH #» n = axh + by H + cz H (aα + bβ + cγ) Or, H P donc ces coordonnées vérifient son équation d où : ax H + by H + cz H + d = 0 Soit : ax H + by H + cz H = d Ainsi : #» AH #» n = (aα + bβ + cγ + d) Ou encore : #» AH #» n = aα + bβ + cγ + d 3 La distance du point A au plan P est la longueur AH. D après les questions précédentes, on a : #» AH #» n = aα + bβ + cγ + d = AH a + b + c D où : AH = aα + bβ + cγ + d a + b + c Partie B Vérifions que les coordonnées de A, B et C vérifient l équation donnée : = = 0 donc les coordonnées de A vérifient l équation ; = = = 0 donc les coordonnées de B vérifient l équation ; ) +4 ( 6 49 ) +6 = = 0 donc les cordonnées de C vérifient l équation. 3 ( 46 9 Ainsi, l équation donnée est celle du plan (ABC). Vérifions que les coordonnées de A, B et D vérifient l équation donnée : 06

215 4 3 + = = 0 donc les coordonnées de A vérifient l équation ; = = 0 donc les coordonnées de B vérifient l équation ; 4 ( ) ( ) = = 0 donc les cordonnées de D vérifient l équation. 3 Ainsi, l équation donnée est celle du plan (ABD). 3 a. Soit M (x ; y ; z) P ; alors, d(m; (ABC)) = d(m; (ABD)), et donc : ce qui se traduit par : [d(m; (ABC))] = [d(m; (ABD))], soit : 3y + 4z = 4x 3y + 5, ( 3y + 4z + 6) (4x 3y + ) = 0, d où : ( 3y + 4z x 3y + )( 3y + 4z + 6 4x + 3y ) = 0, ou encore : (4x 6y + 4z + 8)( 4x + 4z + 4) = 0. Donc, en factorisant par dans le premier facteur et par «-4» dans le second : (x 3y + z + 4)(x z ) = 0. Ainsi, il faut que x 3y + z + 4 = 0 ou que x z = 0, ce qui revient à dire que M appartient à la réunion des plans d équations respectives x 3y + z + 4 = 0 et x z = 0. b. Nous avons n #» 0 et n #» 3. De plus, #» AC Ainsi : n #» AC #» = 8 6 = n #» AC #» = et AD #» < 0 et n #» AD #» = 83 < = 68 < 0 et n #» 9 9 AD #» = > 0. Seul le plan (P ) satisfait les conditions sur les produits scalaires. C est donc lui qui est le plan bissecteur intérieur issu de AB. #» 4 Soit M (x ; y ; z) sur le plan bissecteur issu de CD. #» Alors : [d(m, (DCB))] = [d(m, (DCA))] ( x + y + z 4) 9 = (x + y + z 5) 9 ( x + y + z 4) (x + y + z 5) = 0 ( x + y + z 4 + x + y + z 5)( x + y + z 4 x y z + 5) = 0 ( x + 3y + 4z 9)( 3x y + ) = 0 07

216 On pose alors n #» 3 3 un vecteur normal du plan d équation x + 3y + 4z 9 = 0 4 et n #» 3 4 un vecteur normal du plan d équation 3x y + = De plus, CB #» et CA #» Ainsi : n #» 3 CB #» = n #» 4 CB #» = 3 85 < 0 et #» > 0 et n #» 3 CA #» = CA = < n 4 #» 9 < 0. Par conséquent, il n y a qu un seul plan remplissant les conditions sur les produits scalaires, à savoir celui d équation x + 3y + 4z 9 = 0, nommé (P 3 ). 5 Déterminons { l intersection de (P ) et {(P 3 ) en résolvant le système suivant : (P ) : x 3y + z + 4 = 0 x 3y + z + 4 = 0 (P 3 ) : x + 3y + 4z 9 = 0 x + 6z 5 = 0 { (5 6z) 3y + z + 4 = 0 x = 5 6z { 4 0z 3y = 0 x = 5 6z { y = z x = 5 6z Ainsi, les deux plans se coupent suivant la droite d équation : x = 5 6t y = t z = t, t R 6 M D donc M ( 5 6t ; t ; t), où t R. [d(m; (ABC))] = [d(m; (DCB))] ( 3y + 4z + 6) ( x + y + z 4) = 5 9 ( ) 3 ( ) 3 t + 4t ( 4 + 0t + 4t + 6) 5 ( 3 9(4t 8) 5 Ainsi, t = [ 3(4t 8) + 5 = 3 t 8 ) = 0 3 ( 3 3 t 8 3 ( 86 3 t ) ( t ou t =. ( (5 6t) t + t 4 ) ( 0 + t + 4 )] [ 3(4t 8) 5 ) = ) 3 t + t 4 = 0 ( 3 3 t 8 )] =

217 Il y a donc deux points dans E dont les coordonnées sont : x = = y = = z = ; x = 5 6 = 7 y = = z = 7 La distance du point S au plan (ABC) est : d(s; (ABC)) = = Or, S est un point de E donc d(s; (ABC)) = d(s; (DCB)) et S D, donc à (P ) et (P 3 ), ce qui signifie que d(s; (ABC)) = d(s; ABD) et d(s; (DCB)) = d(s; (DCA)). Finalement : d(s; (DCA)) = d(s; (DCB)) = d(s; (ABC)) = d(s; (ABD)) = et comme S appartient à deux plans bissecteurs intérieurs, on peut conclure que S est le centre de la sphère inscrite au tétraèdre ABCD (sphère intérieure tangente à chacun des côtés du tétraèdre). 09

218 Enseignement de spécialité : arithmétique Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Division euclidienne Multiples et diviseurs Exercice. Critère de divisibilité A On pose A n = n + n + 3 et B n = n + 3 pour tout entier relatif n. On se demande pour quelles valeurs de n B n divise A n. Montrer que A n = (n + 3)(n + 5) + 7. Conclure. Corrigé page 6 Exercice. Avec une somme géométrique A Corrigé page 6 On souhaite démontrer que 5 n + 9 est toujours divisible par 4 pour tout entier naturel n. Exprimer de façon plus simple la somme n en fonction de n. Conclure. Exercice 3. Divisibilité par et 3 R Démontrer que pour tout entier relatif p, p(p ) est divisible par et par 3. Corrigé page 6 Exercice 4. Divisibilité par 8 R Démontrer que pour tout entier naturel n impair, n est divisible par 8. Corrigé page 7 Exercice 5. Reste de la division euclidienne par R Corrigé page 7 Déterminer le reste de la division euclidienne de 00 par, de 000 par, de par, de par. Quelle conjecture peut-on alors faire? Démontrer la conjecture. 0

219 Exercice 6. Critère de divisibilité par 7 sans calculatrice R Corrigé page 8 On considère un nombre à deux chiffres. On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités. Montrer qu il est divisible par 7 si et seulement si 3d + u est divisible par 7. Comment appliqueriez-vous ce critère pour vérifier que 39 est bien divisible par 7? 3 Le nombre 6 9 est-il divisible par 7? Exercice 7. Divisibilité par 0 et 0 R Soit a un entier naturel. Montrer que a 5 a est divisible par 0. Soient a et b deux entiers naturels tels que a b. Démontrer que si a 5 b 5 est divisible par 0, alors a b est divisible par 0. Corrigé page 9 Exercice 8. Calcul d un maximum R Calculer la plus grande valeur de l entier naturel n telle que 3 n divise 000!. Nombres premiers Nombres premiers entre eux Corrigé page 9 Exercice 9. Nombres premiers entre eux A Soit un entier naturel n. On pose alors a n = n et b n = 3n +. Démontrer l équivalence suivante : où N est l ensemble des entiers naturels pairs. pgcd (a n ; b n ) = n N Corrigé page 0 Exercice 0. Nombres premiers entre eux R Corrigé page 0 Montrer que si p est un nombre premier, alors il n existe pas de rationnel x tel que x = p. Exercice. Nombre premier A 789 est-il un nombre premier? Corrigé page 0 Exercice. Nombres premiers R Corrigé page 0 Montrer que pour tout entier naturel n, les nombres n, n+ et n+0 sont distincts modulo 3. En déduire que l on ne peut pas trouver un entier naturel n > 3 tel que n, n + et n + 0 soient tous les trois premiers.

220 Théorème de Gauss Théorème de Bézout Exercice 3. 3x 8y = A Déterminer PGCD(3 ; 8) à l aide de l algorithme d Euclide. Trouver alors deux nombres relatifs x et y tels que 3x 8y =. Résoudre dans Z Z l équation 3x 8y =. Corrigé page Exercice 4. 08x + 55y = A Résoudre dans Z Z l équation 08x + 55y =. Corrigé page Exercice 5. Trouver le nombre d hommes et de femmes R Corrigé page Au 8 e siècle, un groupe composé d hommes et de femmes a dépensé 00 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d hommes et de femmes dans le groupe? Exercice 6. Avec la notion de pgcd A Soient a, b et c trois entiers naturels tels que bc > a. Montrer que pgcd (bc a ; b) = pgcd (a ; b). Corrigé page 3 PGCD PPCM Exercice 7. Nombres premiers entre eux A Corrigé page 3 Montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors 3a + 5b et a + b sont également premiers entre eux. Exercice 8. Avec une équation diophantienne A On pose x = 9(k + 3) et y = 4k, où k Z. Montrer que pgcd(x ; y) divise 08. Corrigé page 4 Exercice 9. Divisibilité R Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose a = 4n + 3 et b = 5n +. On note d le PGCD de a et b. Donner la valeur de d dans les cas suivants : n =, n =, n = 5. Calculer 5a 4b et en déduire les valeurs possibles de d. 3 a. Déterminer les entiers naturels n et k tels que 4n + 3 = 7k. b. Déterminer les entiers naturels n et k tels que 5n + = 7k. 4 Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7. Déduire des questions précédentes la valeur de r pour laquelle d vaut 7. Pour quelles valeurs de r d est-il égal à? Corrigé page 4

221 Congruences Exercice 0. Divisibilité de a 6 b 6 par 3 R Soient a et b deux nombres relatifs, tous les deux non divisibles par 3. Montrer que a 6 b 6 est divisible par 3. Corrigé page 5 Exercice. Reste d une division par 7 A Quel est le reste de la division par 7 du nombre 3 45? Corrigé page 5 Exercice. Reste d une division par 7 (bis) A Calculer le reste de la division euclidienne de par 7. Corrigé page 5 Exercice 3. Reste d une division par 4 A Calculer le reste de la division euclidienne de par 4. Corrigé page 5 Exercice 4. Reste d une division par 7 (ter) A Corrigé page 6 Trouver tous les entiers naturels n tels que le reste de la division euclidienne de 4 n par 7 soit égal à 3. Exercice 5. Nombre premier et congruences R Montrer que si p et 8p + sont premiers alors p = 3. Corrigé page 6 Exercice 6. Divisibilité et congruences R Montrer que si 7 divise a + b, alors 7 divise a et b. La réciproque est-elle vraie? Corrigé page 6 Exercice 7. PGCD et congruences R Soient n, a et b trois entiers naturels. Montrer que si n divise pgcd(a ; b) alors n divise x, où x a mod b. Corrigé page 6 Exercice 8. Combo de congruences A Soit n tel que n mod, n mod 3 et n 5 mod 7. Quel est le reste de la division euclidienne de n par 4? Corrigé page 7 3

222 Exercice 9. Équationx mod 00 R Résoudre dans Z l équation x mod 00. Corrigé page 7 Exercice 30. Par récurrence R Corrigé page 7 Montrer que pour tout entier naturel n, (n + )(n + ) (n ) n est divisible par n et trouver le quotient correspondant. Exercice 3. n + 5n modulo 9 A Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 4 n + 3n mod 9. En déduire que n + 5n 0 mod 9 pour tout entier naturel n. Corrigé page 7 Exercices de recherches avancées Exercice 3. Suites et congruences R Corrigé page 8 On considère la suite (u n ) d entiers naturels définie par u 0 = 4 et u n+ = 5u n 6 pour tout entier naturel n. Calculer u, u, u 3 et u 4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u n? Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+ u n mod 4. En déduire que pour tout entier naturel k, u k mod 4 et u k+ 0 mod 4. 3 a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n = 5 n b. En déduire que pour tout entier naturel n, u n 8 mod 00. Peut-on en conclure que u n 4 mod 00? 4 Déterminer les deux derniers chiffres de l écriture décimale de u n suivant les valeurs de n et valider ainsi la conjecture faite à la question. 5 Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (u n ) est constant et préciser sa valeur. n Exercice 33. p 3 et pgcd R p= Corrigé page 8 Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : «Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si pgcd (a ; b) = alors pgcd (a ; b ) =.» La suite (S n ) n est définie par : n S n = p 3. p= On se propose de déterminer, pour tout entier naturel n non nul, le plus grand commun diviseur de S n et S n+. [ ] n(n + ) Démontrer que, pour tout entier n non nul, S n =. Étude du cas où n est pair. Soit k l entier naturel non nul tel que n = k. 4

223 a. Démontrer, que pgcd (S k ; S k+ ) = (k + ) pgcd (k ; (k + ) ). b. Montrer que k et k + sont premiers entre eux. c. En déduire pgcd (S k ; S k+ ). 3 Étude du cas où n est impair. Soit k l entier naturel non nul tel que n = k +. a. Démontrer que les entiers k + et k + 3 sont premiers entre eux. b. Déterminer pgcd (S k+ ; S k+ ). 4 Déduire des questions précédentes qu il existe une unique valeur de n, que l on déterminera, pour laquelle S n et S n+ sont premiers entre eux. Exercice 34. Théorème des restes chinois R Corrigé page 30 Soient m et n deux entiers naturels premiers entre eux. x a mod m Démontrer que si (a ; b) Z Z, alors le système admet une unique x b mod n solution x modulo mn. Application : dans une boutique qui vend des macarons, il y a des boîtes de rangement par 5 et par 9. Une société souhaite acheter un certain nombre de macarons. La préparatrice constate que si elle ne prend que des rangements par 5, il lui reste à la fin 3 macarons. Si elle ne prend que des rangements par 9, il lui reste au final macarons. Combien la société a-t-il commandé de macarons sachant que ce nombre est compris entre 00 et 40? Exercice 35. Le «petit» théorème de Fermat R Soient p un nombre premier, n un entier naturel et a non divisible par p. Corrigé page 3 Montrer que le reste des divisions euclidiennes par p de a, a,..., (p )a sont tous distincts. En déduire que a p mod p. (C est le «petit» théorème de Fermat) 3 Montrer que la réciproque est fausse en utilisant le nombre p = 3 7 = 56. 5

224 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. (n + 3)(n + 5) + 7 = n + 5n + 6n = n + n + 3 = A n. B n divise A n si A n B n Z, pour n 3. Or, A n B n = = (n + 3)(n + 5) + 7 n + 3 (n + 3)(n + 5) n + 3 = n n n + 3 (n + 5) Z donc A n B n Z (n + 3) 7. 7 étant un nombre premier, il n est divisible que par et 7 donc il faut que n + 3 = (i.e. n = 3 = ) ou n + 3 = 7 (i.e. n = 7 3 = 4). B n divise A n pour n = et n = 4. Corrigé de l exercice. On sait que + q + q + + q n = qn+ pour q. q Ainsi, n = 5n 5 = 5n. 4 La somme n est entière donc 5 n est divisible par 4. Ainsi, 5 n +4k N pour tout entier relatif k. En prenant k = 5, on obtient 5 n = 5 n + 9, donc 5 n + 9 est toujours divisible par 4. Corrigé de l exercice 3. Divisibilité par. Deux cas se présentent : p est pair : p = k, k Z. Dans ce cas, p(p ) = k(4k ) est divisible par. 6

225 Si p est impair : p = k +, k Z. Dans ce cas, p(p ) = (k + ) [ (k + ) ] = (k + )(4k + k + ) = (k + )(4k + k) = (k + )(k + k) Ainsi, p(p ) est divisible par. Dans tous les cas, le résultat est démontré. Divisibilité par 3. Trois cas se présentent : p = 3k, k Z. Alors, p(p ) = 3k(9k ) est divisible par 3. p = 3k +. Alors, p(p ) = (3k + ) [ (3k + ) ] = (3k + )(9k + 6k) = 3k(3k + )(3k + ). Donc p(p ) est divisible par 3. p = 3k +. Alors, p(p ) = (3k + ) [ (3k + ) ] = (3k + )(9k + k + 3) = 3(3k + 4k + )(3k + ). Donc p(p ) est divisible par 3. Dans tous les cas, p(p ) est divisible par 3. Corrigé de l exercice 4. n est impair donc n = k +, k N. Ainsi, n = (k + ) = 4k + 4k = 4k(k + ). k et k + sont deux entiers consécutifs donc l un des deux est pair ; ainsi, leur produit est pair et s écrit donc k(k + ) = q, q N. On a donc : n = 4 q = 8q, ce qui prouve que n est divisible par 8. Corrigé de l exercice 5. 0 = 00 = = 000 = = = = = On peut conjecturer que lorsque n est pair, le reste de la division euclidienne de 0 n par est égal à et lorsqu il est impair, ce reste est égal à 0. 7

226 Supposons que n soit un entier naturel pair. Alors, n = k, k N et 0 n = 0 k = 00 k = (99 + ) k. k Or, (a + b) k = c p a p b k p, où les c p sont des coefficients entiers. p=0 Autrement dit, (99 + ) k = 99 k + 99 k c + 99 k c c p +. Chaque terme de cette somme (sauf le dernier) étant un multiple de 99, le reste de la division euclidienne de 00 k par est égale à (le dernier terme de la somme). Cela montre que si n est pair, alors le reste de la division euclidienne de 0 n par est égal à. Supposons que n soit impair. Alors, n = k +, k N et 0 n = 0 k+ = 0 k 0. D après ce qui a été fait précédemment, on peut alors écrire : 0 k 0 = 0 99 k k c k c c p + 0. Ainsi, le reste de la division euclidienne de 0 k+ par est égal à 0. La conjecture est alors démontrée. Corrigé de l exercice 6. x = 0d + u = (7d + 3d) + u = 7d + (3d + u). x est divisible par 7 équivaut à dire que 7d + (3d + u) l est aussi, i.e. que 3d + u est divisible par 7 car 7d l est toujours. On peut s inspirer du raisonnement précédent en posant : x = 39 = = 39 (7 + 3) + = est divisible par 7 si et seulement si l est aussi. On recommence avec 9 : = 3 (40 ) + = = 9. 9 = est divisible par 7 si et seulement si l est aussi = = 4 = 7 6. Ainsi, 9 est divisible par 7, donc 39 aussi = = = 55 + = = = = = n est pas divisible par 7 donc 6 9 non plus. 8

227 Corrigé de l exercice 7. a N. a 5 a = a(a 4 ) = a(a )(a + ) = a(a )(a + )(a + ). Entre a et a +, il y a un nombre pair ; donc a 5 a est divisible par. a, a et a + sont trois nombres consécutifs. Si l un deux est divisible par 5, alors a 5 l est aussi et donc au final, il est divisible par 0. Si aucun des nombres a, a et a + n est divisible par 5, alors notons r le reste de la division euclidienne de a par 5 : a = 5q + r, 0 < r < 5, q N. Si a n est pas divisible par 5, alors r ; si a + n est pas divisible par 5, alors r 4. Alors, a + = (5q + r) + = 5q + 0qr + r +, avec r = ou r = 3. Si r =, r + = 5 ; Si r = 3, r + = 0. Dans les deux cas, a + est divisible par 5. Ainsi, a 5 a est divisible par 5 et par, donc par 0. a 5 b 5 divisible par 0. Or, on peut écrire : a 5 b 5 = a 5 a + a (b 5 b) b = (a 5 a) (b 5 b) + (a b). a 5 a et b 5 b sont divisibles par 0 d après la question précédente ; ainsi, si a 5 b 5 est divisible par 0, a b doit l être aussi. Ainsi, a b = 0q, q N et donc a = 0q + b. En ajoutant b dans les deux membres, on obtient a + b = 0q + b = (5q + b), et donc a + b est divisible par. a b est divisible par 0 et a + b est divisible par, donc (a b)(a + b) = a b est divisible par 0. Corrigé de l exercice 8. Remarquons que : 000! = ( 3 0) ( 0) (99 000). Combien de multiples de 3 avons-nous ici? Il y en a 333 (999 3). On peut donc factoriser ainsi : 000! = ( ) ( ). On voit alors apparaître le produit 333! dans lequel il y a multiples de 3. On peut donc écrire : 333! = 3 (. On voit apparaître! dans lequel il y a 37 multiples de 3 (3, 6, 9,..., 99, 0, 05, 08, ). On peut donc écrire :! = 3 37 ( 37. De même, on voit! apparaître, où il y a 4 multiples de 3 donc on peut écrire :! = 3 4 ( 4. 9

228 On voit apparaître 4! où il y a multiple de 3 et on peut écrire : 4! = 3 ( 4). Finalement, dans 000!, on peut mettre en facteur = Ainsi, le plus grand entier n tel que 3 n divise 000! est n = 486. Corrigé de l exercice 9. Deux cas se présentent : n N n = k, k N. Alors : 3n + = n + (n + ) Dans ce cas, pgcd (a n ; b n ) =. n / N n = k +, k N. Alors : n = (n + ) + (n ) n + = (n ) +. n + = k + k = k + 0 n + = (k ) + k = (k ) + = + 0. Dans ce cas, pgcd (a n ; b n ) =. On a donc bien : pgcd (a n ; b n ) = n N. Corrigé de l exercice 0. Raisonnons par l absurde ; supposons donc qu il existe un rationnel x = a b tel que x = p et pgcd (a ; b) =. Alors, a b = p, soit a = pb. D après le théorème de Gauss, p divise donc a, donc p divise a et alors p divise a, donc divise pb. Ainsi, p divise b, donc p divise b. Or, pgcd (a ; b) = donc il n est pas possible que p divise à la fois a et b. On aboutit à une contradiction ; par conséquent, notre hypothèse de départ est fausse. Ainsi, il n existe pas de rationnel x tel que x = p. Corrigé de l exercice. Rappelons que si p est un nombre premier, alors il n admet aucun diviseurs inférieurs à p , 3. Les nombres premiers inférieurs à 4 sont : ; 3; 5; 7; ; 3; 7; 9; 3; 9; 3; 37; 4. On vérifie que aucun d entre eux ne divisent 789. Par conséquent, 789 est un nombre premier. Corrigé de l exercice. 0

229 Rappelons que a et b sont distincts modulo 3 si et seulement si (a b) est un multiple de 3. n (n + ) = n est pas un multiple de 3, donc n n est pas congru à n + modulo 3. n (n + 0) = 0 donc même conclusion. (n + ) (n + 0) = 8 donc même conclusion. Ainsi, n, n + et n + 0 sont distincts modulo 3. Notons n r mod 3, n + r mod 3 et n + 0 r 3 mod 3. D après la question précédente, r, r et r 3 dont deux à deux distincts. Or, il n existe que 3 restes possibles dans la division euclidienne par 3 : 0, ou. Par conséquent, l un des restes est nul et donc, l un des nombres n, n + et n + 0 est divisible par 3. Ce nombre n est donc pas premier car il ne peut pas être égal à 3 (par hypothèse : n > 3). Corrigé de l exercice 3. 3 = = = Donc P GCD (3 ; 8) =. De l algorithme précédent, on peut écrire : = = 8 9 (3 8) = Ainsi, si x = 9 et y = 0, 3x 8y =. On a : Ainsi : 3 ( 9) 8 ( 0) = 3 x 8 y = 3 ( 9 x) 8 ( 0 y) = 0 3( 9 x) = 8( 0 y). Or, P GCD (3 ; 8) = donc d après le théorème de Gauss, 3 divise ( 0 y) et 8 divise ( 9 x) : 9 x = 8k, k Z 0 y = 3k soit : x y = 9 8k = 0 3k, k Z Corrigé de l exercice = = = 6 + = + 0 Donc P GCD (08 ; 55) =. De l algorithme précédent, on peut écrire :

230 = 53 6 = (08 55) 6 (55 53) = = (08 55) = Ainsi, si x 0 = 7 et y 0 = 53 sont deux solutions particulières de l équation diophantienne 08x + 55y =. On a : ( 53) = 08 x + 55 y = 08 (7 x) + 55 ( 53 y) = 0 Ainsi : 08(7 x) = 55(53 + y). Or, P GCD (08 ; 55) = donc d après le théorème de Gauss, 08 divise (53 + y) et 55 divise (7 x) : 7 x = 55k, k Z 53 + y = 08k soit : x y = 7 55k = k, k Z Corrigé de l exercice 5. Notons x le nombre d hommes et y celui de femmes. L énoncé nous donne alors l équation : 8x + 5y = 00. Avant tout, trouvons une solution particulière à cette équation. 00 8x Il faut que y = = x 5 = 0 8x soit entier, donc que 8x soit un multiple de 5. 5 Prenons alors x = 5 et donc y = 0 8 =. Une solution particulière est donc (x 0 ; y 0 ) = (5 ; ). On a alors : = 00 8 x + 5 y = 00 8 (5 x) + 5 ( y) = 0 soit : 8(5 x) = 5(y ). P GCD (8 ; 5) = donc d après le théorème de Gauss, 8 divise (y ) et 5 divise (5 x) : soit : 5 x = 5k y = 8k x y = 5 5k = + 8k, k Z, k Z. On sait que (x ; y) N N ce qui nous laisse peu de choix quant aux valeurs de k :

231 k = 0 : on a alors x = 5 et y = ; k = : on a alors x = 0 et y = 4. Il y avait donc 5 hommes et femmes, ou 0 hommes et 4 femmes. Corrigé de l exercice 6. Notons d = pgcd (bc a ; b). D après l égalité de Bézout, il existe un couple d entiers relatifs (u ; v) tel que (bc a)u+bv = d. (bc a)u + bv = d bcu au + bv = d a( u) + b(cu + v) = d u Z et (cu + v) Z donc il existe un couple d entiers relatifs (u ; v ), avec u = u et v = cu + v, tel que au + bv = d. Donc pgcd (a ; b) divise d. De plus, d = pgcd (bc a ; b) d b et d (bc a) d a car si d b, alors d (bc) donc si d (bc a), alors nécessairement, d a. Ainsi, d a et d b donc d pgcd (a ; b) Finalement, pgcd (a ; b) d et d pgcd (a ; b) donc d = pgcd (a ; b). Corrigé de l exercice 7. Première méthode : nous allons utiliser l algorithme des différences, vu en classe de 3 e. pgcd (3a + 5b ; a + b) = pgcd (a + b ; 3a + 5b (a + b)) = pgcd (a + b ; a + 3b) = pgcd (a + b ; a + 3b (a + b)) = pgcd (a + b ; a + b) = pgcd (a + b ; a + b (a + b)) = pgcd (a + b ; b) = pgcd (b ; a + b b) = pgcd (b ; a) = car a et b sont premiers entre eux. Deuxième méthode : pgcd (a ; b) = donc il existe un couple d entiers relatifs (u ; v) tel que au + bv =. Nous allons montrer qu il existe un couple d entiers relatifs (u ; v ) tel que (3a + 5b)u + (a + b)v =. (3a + 5b)u + (a + b)v = 3au + 5bu + av + bv = a(3u + v ) + b(5u + v ). Pouvons-nous choisir u et v 3u + v = u (L ) de sorte que 5u + v = v (L )? Pour répondre à cette question, cherchons à résoudre ce dernier système. En faisant (L ) (L ), on obtient : u = u v 3

232 et en faisant 5(L ) + 3(L ), on obtient : v = 5u + 3v. En prenant ces valeurs de u et v, on a (3a + 5b)u + (a + b)v = au + v =. Ainsi, d après le théorème de Bézout, pgcd (3a + 5b ; a + b) =. Corrigé de l exercice 8. Utilisons l algorithme des différences (et donc la propriété : pgcd (a ; b) = pgcd (a ; b a)) pour démontrer le résultat : pgcd (x ; y) = pgcd (9k + 7 ; 4k) = pgcd (4k ; 9k + 7 4k) = pgcd (4k ; 5k + 7) = pgcd (5k + 7 ; 5k + 7 4k) = pgcd (5k + 7 ; k + 7) = pgcd (k + 7 ; 5k + 7 (k + 7)) = pgcd (k + 7 ; 4k) = pgcd (k + 7 ; 4k (k + 7)) = pgcd (k + 7 ; 3k 7) = pgcd (k + 7 ; 3k 7 (k + 7)) = pgcd (k + 7 ; k 54) = pgcd (k + 7 ; k 54 (k + 7)) = pgcd (k + 7 ; k 8) = pgcd (k + 7 ; k + 7 (k 8)) = pgcd (k + 7 ; 08). Or, pgcd(k + 7 ; 08) divise 08 (par définition) donc pgcd(x ; y) divise 08. Corrigé de l exercice 9. n = : a = 7 et b = 7 donc pgcd (a ; b) = 7. n = : a = 47 et b = 57 donc pgcd (a ; b) =. n = 5 : a = 63 et b = 77 donc pgcd (a ; b) = 7. 5a 4b = 5(4n + 3) 4(5n + ) = 0n + 5 0n 8 = 7. ( ) a Ainsi, ( ) b =. De plus, 5 et 7 sont premiers entre eux, et il en est de même 7 pour 4 et 7. Par conséquent, a et b sont des multiples de 7 et donc d = pgcd (a ; b) peut valoir ou 7. 3 a. 4n + 3 = 7k 4n 7k = 3. Une solution particulière est (n 0 ; k 0 ) = ( ; ). On a alors : 4 7 = 3 4 n 7 k = 3 donc : 4( n) 7( k) = 0 4

233 soit : 4( n) = 7( k). 4 et 7 étant premiers entre eux, d après le théorème de Gauss : soit : k = 4q n = 7q k = 4q n = 7q q Z q Z (car n et k doivent être positifs). b. Par un raisonnement analogue à celui adopté à la question précédente, on a : k = 5q q Z n = 7q. 4 D après la question précédente, si le reste de la division euclidienne de n par 7 est égal à, alors a et b sont des multiples de 7 et donc d = 7. Dans le reste des cas (sans jeu de mot), d =. Corrigé de l exercice 0. a n est pas divisible par 3 donc a mod 3 ou a mod 3. Ainsi, a 6 6 mod 3 ou a 6 64 mod 3 car 64 = 3 +. Ainsi, a 6 b 6 0 mod 3 et donc a 6 b 6 est divisible par 3. Corrigé de l exercice. Nous savons que 3 = donc 3 4 mod 7. Ainsi, mod 7. Or, 4 = 6 mod 7 et 4 3 = 64 mod 7. On peut donc écrire : mod 7 ( 4 3) 5 5 mod 7 mod 7. mod 7 Corrigé de l exercice. 7 3 mod 7 car 7 = Ainsi, 7 3 mod 7, et donc mod 7. On écrit 548 sous la forme : 548 = donc : = ( 7 6) mod 7 mod 7 Ainsi, le reste de la division euclidienne de par 7 est égal à. Corrigé de l exercice 3. 3 mod 4 donc ( ) mod 4. 5

234 Corrigé de l exercice 4. Remarquons que 4 3 mod 7 car 4 = Ainsi, 4 3 mod mod mod mod mod mod mod 7 La boucle est bouclée pour l exposant 7 et on peut en conclure que 4 6k+ 3 mod 7, où k N. Ainsi, le reste de la division euclidienne de 4 n par 7 est égal à 3 pour n mod 6. Corrigé de l exercice 5. Si p 0 mod 3, alors p est un multiple de 3. Or, p est premier donc p = 3 nécessairement. Si p mod 3, alors p mod 3 et donc 8p 8 mod 3, soit 8p + 0 mod 3. Donc 8p + est un multiple de 3 et aussi premier. Donc 8p + = 3, ce qui est impossible car p N. Ainsi, p ne peut pas être congru à modulo 3. Si p mod 3, alors 8p + 0 mod 3, ce qui nous ramène à la même conclusion qu au point précédent. Ainsi, p P et 8p + P p = 3. Corrigé de l exercice 6. Supposons que 7 divise a + b. Les restes possibles de la division euclidienne de a par 7 sont : 0,,, 3, 4, 5 ou 6. a 0 mod 7 a 0 mod 7 a mod 7 a mod 7 a mod 7 a 4 mod 7 a 3 mod 7 a 9 mod 7 a 4 mod 7 a 6 mod 7 a 5 mod 7 a 5 4 mod 7 a 6 mod 7 a 36 mod 7 Il n y a donc que 4 restes possibles dans la division euclidienne de a par 7 : 0,, ou 4. Il en est de même pour b. Or, a + b 0 mod 7 donc seul le couple (0 ; 0) convient. Ainsi a 0 mod 7 et b 0 mod 7, soit 7 divise a et b. La réciproque est vraie car si 7 divise a et b, alors a 0 mod 7 et b 0 mod 7, donc a + b 0 mod 7. Corrigé de l exercice 7. n divise pgcd (a ; b) n 0 mod a et n 0 mod b a = kn, (k ; k ) N N b = k n 6

235 Or, x a mod b donc x = bq + a, q N, soit x = k nq + kn = n(k q + k). Ainsi, n divise x. Corrigé de l exercice 8. n mod n mod 4 n mod 3 4n 8 mod 4 4n 79 mod 4. n 5 mod 7 6n 30 mod 4 Or, 4 mod 4 et 79 5 mod 4 donc n 5 mod 4, soit n 5 mod 4. Le reste de la division euclidienne de n par 4 est donc égal à 5. Corrigé de l exercice 9. x mod 00 x 300 mod 00 x 89 mod 00 x 7 mod 00 x 7 mod 00 Corrigé de l exercice 30. Posons P n : (n + )(n + ) (n ) n 0 mod n. Notons A n = (n + )(n + ) (n ) n. Montrons par récurrence que P n est vraie pour tout entier naturel n. Initialisation : P 0 est vraie car A 0 = et 0 =. On a donc bien A 0 0 mod. Supposons que pour un entier n fixé, P n est vraie, donc que A n = n B n. A n+ = A n (n + )(n + ) = n B n (n + )(n + ) = n+ B n (n + )(n + ). Ainsi, A n+ est divisible par n+. L hérédité est alors vérifiée. Ainsi, P n est vraie pour tout entier naturel n. A n = (n)! n! donc A n n = (n)! n (n!) Le quotient de A n par n est donc égal à = 3 5 (n ). n k=0 (k + ). Corrigé de l exercice 3. Initialisation : 4 0 = et = donc 4 n + 3n mod 9 est vraie pour n = 0. Hérédité : supposons que pour un entier n fixé, 4 n + 3n mod 9. Alors, 4 n+ 4 ( + 3n) mod 9, soit 4 n+ 4 + n 4 + 3n + 3(n + ) mod 9. L hérédité est alors vérifiée. Ainsi, pour tout entier naturel n, 4 n + 3n mod 9. n + 5n 4 n + 5n mod 9 + 3n + 5n mod 9 8n mod 9 0 n mod 9 0 mod 9. 7

236 Corrigé de l exercice 3. u = 5u 0 6 = = 70 6 = 64. u = 5u 6 = = 30 6 = 34. u 3 = 5u 6 = = = 564. u 4 = 5u 3 6 = = = On peut conjecturer que les termes de la suites se terminent par «4» ou «64». u n+ = 5u n+ 6 = 5 (5u n 6) 6 = 5u n 36. Or, 5 mod 4 et 36 0 mod 4 donc u n+ u n mod 4. Pour tout entier naturel n, u 0 = 4 mod 4 et u n+ u n mod 4 donc pour tout entier naturel k, u k u 0 mod 4 donc u k mod 4. De même, u = 64 0 mod 4 et u n+ u n mod 4 donc pour tout entier naturel k, u k+ u mod 4 donc u k+ 0 mod 4. 3 a. Posons P n la propriété : u n = 5 n P 0 : u 0 = = 8 et nous savons que u 0 = 4 donc P 0 est vraie. L initialisation est alors réalisée. Supposons maintenant que P n récurrence : u n = 5 n+ + 3). Alors, soit vraie pour un entier n donné (hypothèse de u n+ = (5u n 6) = 5 u n = 5 (5 n+ + 3) (par hypothèse de récurrence) = 5 n = 5 n L hérédité est alors vérifiée. Ainsi, P n est vraie pour tout entier naturel n. b. 5 = 5 5 mod 00 et 5 3 = 5 5 mod 00 donc, par récurrence immédiate, 5 n+ 5 mod 00 pour n. Ainsi, 5 n mod 00, soit, d après la question précédente, u n 8 mod 00. pgcd ( ; 00) donc on ne peut pas simplifier par cette dernière congruence. On ne peut donc pas dire que u n 4 mod Posons u n = 00A n + B n, où A n et B n sont deux entiers naturels, avec 0 B n < 00. Alors, u n = 00A n + B n B n mod 00. Ainsi, d après la question 3.b, B n 8 mod 00. On en déduit alors que B n = 8 ou B n = 8 (car B n < 00), soit B n = 4 ou B n = 64. Les deux derniers chiffres de u n sont donc «4» ou «64». 5 D après la question précédente, quel que soit n, u n et u n+ sont pairs. Donc pgcd (u n ; u n+ ) =. Corrigé de l exercice 33. [ ] n(n + ) Posons : (P n ) : n 3 =. Démontrons que (P n ) est vraie pour tout entier naturel n non nul. 8

237 Initialisation. [ ] ( + ) (P 0 ) est vraie car 3 =. Supposons que (P n ) soient vraie pour un n non nul donné. Alors, [ ] n(n + ) n 3 + (n + ) 3 = + (n + ) 3 [ ] n = (n + ) + (n + ) 4 [ n = (n + ) ] + 4n [ ] (n + ) = (n + ) Ainsi, (P n ) (P n+ ) ; l hérédité est alors vérifiée. = 4 [ (n + )(n + ) La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n non nul. [ ] k(k + ) a. S k = = k (k + ) et [ ] [ ] (k + )(k + ) (k + )(k + ) S k+ = = = (k + ) (k + ). Or, pgcd (ka ; kb) = kpgcd (a ; b). Donc, soit : pgcd (k (k + ) ; (k + ) (k + ) ) = (k + ) pgcd (k ; (k + ) ), pgcd (S k ; S k+ ) = (k + ) pgcd (k ; (k + ) ) b. k et k + sont deux entiers consécutifs ; donc l un est pair, l autre impair. De plus, n > donc k, soit pgcd (k ; k + ) 0. D où pgcd (k ; k + ) =. c. De la question précédente et de la propriété admise, on a : pgcd (k ; k + ) = pgcd (k ; (k + ) ) =, ] d où Ainsi, (k + ) pgcd (k ; (k + ) ) = (k + ). pgcd (S k ; S k+ ) = (k + ). 3 a. Si k = 0, k + = et k + 3 = 3 ; on a bien pgcd ( ; 3) =. Supposons maintenant que k > 0. k + 3 = (k + ) +, 0 < k + k + = k +, 0 < = + 0 Le dernier reste non nul est. Par conséquent, pgcd (k + ; k + 3) =. 9

238 b. On : pgcd (S k+ ; S k+ ) = pgcd ( (k + ) (k + ) 4 ; (k + ) (k + 3) ) 4 = pgcd ((k + ) (k + ) ; (k + ) (k + 3) ) = (k + ) pgcd ((k + ) ; (k + 3) ) = (k + ) pgcd (S k+ ; S k+ ) = (k + ). 4 Des questions précédentes, on peut déduire que { pgcd (Sk ; S k+ ) = k = 0 n = 0 impossible. pgcd (S k+ ; S k+ ) = k = 0 n =. Ainsi, il existe une unique valeur de n pour laquelle pgcd (S n ; S n+ ) = : n =. Corrigé de l exercice 34. Nous allons démontrer l équivalence entre le système et l unicité de la solution en démontrant la double implication. x a mod m Montrons que x x 0 mod (mn). x b mod n m et n sont premiers entre eux donc d après le théorème de Bézout, il existe un couple (u ; v) d entiers relatifs tels que um + vn =. x a mod m Le système peut s écrire : x b mod n x = mk + a x = nk + b, (k ; k ) Z Z soit, en multipliant la re ligne par nv et la e par mu : (nv)x = (nv)mk + (nv)a, (k ; k ) Z Z. (mu)x = (mu)nk + (mu)b En ajoutant les deux lignes, on obtient : (nv + mu)x = mn(vk + uk ) + nva + mub soit : x = mn(vk + uk ) + nva + mub. x a mod m Ainsi, si x est solution du système, alors x nva+mub mod (mn). x b mod n x a mod m Montrons maintenant que x nva + mub mod (mn). x b mod n Puisque m et n sont premiers entre eux, il existe un couple (u ; v) d entiers relatifs tels que um + vn =, soit nv = mu. Ainsi, x nva+mub mod (mn) x nva mod m x ( mu)a mod m x a mod m. 30

239 De même, x b mod n. x a mod m x est donc solution du système. x b mod n Notons x le nombre de macarons commandés par la société. D après l énoncé, on a : x 3 mod 5 x mod 9 5 et 9 étant premiers entre eux, on utilise le théorème des restes chinois : il existe un couple (u ; v) d entiers relatifs tels que 5u + 9v =. On trouve facilement (u ; v) = ( ; ). Dans ce cas, x 9 ( ) mod (5 9), soit x 3 mod 45. Le nombre compris entre 00 et 40 correspondant est x = = 3. La société a donc commandé 3 macarons. Corrigé de l exercice 35. Montrons ce résultat par l absurde. Supposons qu il existe deux restes égaux r et r et notons pour k 0; p et k 0; p différent de k : ka = pq + r k a = pq + r q Z, 0 r < p q Z, 0 r < p Ainsi, par différence : (k k )a = (q q )p. p divise donc (k k )a. Or, (k k ) < p donc p ne peut pas diviser (k k ) et donc p divise a, ce qui est contradictoire avec nos hypothèses. Par conséquent, il ne peut pas exister deux restes égaux dans la division euclidienne par p de a, a,..., (p )a. D après ce qui précède : a r a r mod p mod p D où, par produit :.. (p )a r p mod p (p )!a p r r r p mod p. Comme les r i sont tous distincts, r r r p = (p )! et comme pgcd(p ; (p )!)=, on peut diviser chacun des membres de la congruence par (p )!, ce qui donne : a p mod p 3 Pour tout entier a tel que pgcd (a ; 56) =, il existe un couple d entiers relatifs (u ; v) tel que au + 56v =, soit tel que au mod 56. 3

240 On utilise 3 fois le petit théorème de Fermat : D où : u mod 3 u 560 mod 3 u 0 mod u 560 mod u 6 mod 7 u 560 mod 7 u 560 r mod 56 avec r mod 3, r mod, r mod 7. On a alors : soit : r = 3k + = k + = 7k +, 3k = k = 7k. Ainsi, divise k et 7 divise k, soit k = m et k = 7m. Alors, r = 3 m + = 7m + soit : 3 m = 7m et donc 3m = 7m. Ainsi, 7 divise m et on peut écrire m = 7λ. On arrive ainsi à : r = 3 7λ +, soit r mod 56 et donc u 560 mod 56. Or, nous avons vu que au mod 56 donc (au) 560 mod 56. Comme u 560 mod 56, cela nous donne : a 560 mod 56, où 56 n est pas un nombre premier. Ceci prouve que la réciproque du petit théorème de Fermat est fausse. 3