Dossier de candidature à un poste de

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1 Concours MdC 2006 Dossier de candidature à un poste de Maître de Conférences Marusia Rebolledo-Dhuin ép. Hochart, 29 ans, française. Assistante post-doctorante à l Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (epfl) Thèse de doctorat soutenue le 27 septembre 2004 : Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires. Agrégée titulaire (1999) numen : 29E CWV. Inscrite sur les listes de qualification : n o Domaines de recherche : théorie des nombres et géométrie arithmétique. Mots clefs : courbes elliptiques, courbes modulaires, formes modulaires, symboles modulaires, fonctions L, fonctions Theta, représentations galoisiennes. Contenu du dossier Dossier scientifique curriculum vitæ 2 présentation de la thèse 6 liste des travaux, ouvrages, articles et réalisations 7 présentation des activités d enseignement 8 rapport de recherche 10 projets de recherche 16 Dossier administratif déclaration de candidature (imprimée sur Antares/Antee) ; carte d identité (copie) ; une enveloppe affranchie ; diplôme de thèse (copie) ; arrêté de titularisation (copie) ; un exemplaire du dossier scientifique ; deux enveloppes destinées aux rapporteurs. Dossiers destinés aux rapporteurs déclaration de candidature ; un exemplaire du dossier scientifique ; rapports de thèse de S. Edixhoven et J. Tilouine (copies) ; rapport de soutenance de thèse (copie) ; un document attestant de l acceptation d un article ; lettre de recommandation pour l enseignement : M. More ; lettre de recommandation de L. Merel. Concours MdC

2 Concours MdC 2006 Curriculum Vitæ Marusia Rebolledo-Dhuin Née le 22 septembre 1976 à Paris Nationalité française Mariée, sans enfant. Adresse personnelle Chemin de Montelly 70 CH-1007 Lausanne SUISSE Tel courriel : marusia.rebolledo@epfl.ch Situation actuelle Assistante post-doctorante à l École Polytechnique Fédérale de Lausanne (epfl) Adresse professionnelle École Polytechnique Fédérale de Lausanne Faculté des Sciences de Base IMB CSAG MA Ecublens CH 1015 Lausanne Tel Diplômes Doctorat de mathématiques, mention très honorable, déposé le 6/05/2004, soutenu le 27/09/2004. Agrégation externe de mathématiques obtenue en juillet Domaines de recherche Théorie des nombres et géométrie arithmétique. Mots clefs : courbes elliptiques, courbes modulaires, formes modulaires, symboles modulaires, fonctions L, fonctions Theta, représentations galoisiennes. Formation Thèse de doctorat de mathématiques, mention très honorable : Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires, rédigée sous la direction de L. Merel, professeur à l Université D. Diderot Paris VII, soutenue le 27 septembre 2004 devant le jury composé de : S. Edixhoven (Leiden), Rapporteur M. Harris (Paris VII) L. Merel (Paris VII), Directeur J.-F. Mestre (Paris VII), Président J. Nekovář (Paris VI) J. Tilouine (Paris XIII), Rapporteur. 1998/1999 Préparation de l Agrégation externe de mathématiques, à l université Paris Sud-Orsay, obtenue en juillet /1998 DEA de méthodes algébriques, Université P. et M. Curie Paris VI, mention bien. Cours suivis : Théorie du corps de classes (L. Merel) Courbes algébriques (F. Loeser) Théorème de Fermat (L. Clozel) Mémoire sous la direction de L. Merel : Représentations paires de dimension 2 de Gal(Q/Q). 1996/1997 Maîtrise de mathématiques, Université Paris VI, mention très bien. 1995/1996 Licence de mathématiques, Université Paris VI, mention bien Classes préparatoires, lycée Condorcet à Paris Deug A obtenu à l université Paris VI en juin Postes et séjours sur invitation 2005/2006 Séjour post-doctoral à l École Polytechnique Fédérale de Lausanne (epfl) sur invitation de E. Bayer. Sept Séjour d un mois à l Université de Leiden sur invitation de B. Edixhoven. 2 Concours MdC 2006

3 Curriculum Vitæ 2004/2005 Séjour post-doctoral à l Université de Milan dans le cadre du réseau européen Arithmetic and Algebraic Geometry sur invitation de M. Bertolini. 2003/2004 ATER à l IUT de l Université Clermont-Ferrand I. 2002/2003 ATER à l Université Clermont-Ferrand II 2001/2002 ATER à l Université Paris VI. 2000/2001 Monitorat à l Université Clermont-Ferrand II Monitorat à l Université Paris VI. Publications Articles publiés : 1. Corps engendré par les points de 13-torsion des courbes elliptiques (11 pages), Acta Arith. 109 (2003), no. 3, Module supersingulier et homologie des courbes modulaires (23 pages), à paraître dans J. of Number Theory. Article soumis : Formule de Gross-Kudla et points rationnels de X + 0 (pr ) (r > 1) (19 pages). En préparation : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires. Responsabilités collectives Co-organisation de colloques 2005/2006 Co-organisation d un colloque Géométrie et Arithmétique : mini-cours destinés à des étudiants des écoles doctorales du IIIe Cycle Roman. Annoncé du 25 au 30 mars En collaboration avec E. Bayer et L. Thomas. Co-organisation de groupes de travail 2005/2006 epfl(lausanne) : formes modulaires, courbes elliptiques et courbes modulaires autour du livre de Diamond et Shurman [DS05]. En collaboration avec les membres du laboratoire d Algèbre et Géométrie de l epfl. 2004/2005 Université de Milan : Autour du livre de Ramakrishnan-Valenza [RV99] sur la thèse de Tate. En collaboration avec I. Longhi et S. Vigni. Courbes modulaires, modules de Drinfeld et formes automorphes. En collaboration avec M. Bertolini et I. Longhi. Quatre exposés - Module supersingulier, valeurs spéciales de fonctions L et points rationnels des courbes modulaires. 2002/2003 Université Clermont-Ferrand II : la théorie du corps de classes, en collaboration avec T. Lambre et F. Martin. Deux exposés - Théorie de la ramification et application d Artin. Communications sur invitation Colloques internationaux Juil XXII-èmes Journées Arithmétiques, Lille : Corps engendré par les points de 13- torsion des courbes elliptiques. Séminaires à l étranger Dec Université de Saarbrücken : Torsion of elliptic curves [anglais]. Concours MdC

4 Curriculum Vitæ Marusia Rebolledo Oct Sept Fev epfl (Lausanne) : Un problème de Serre sur les représentations galoisiennes associées aux courbes elliptiques. Université de Leiden : deux exposés On a Serre s problem about the torsion of ellliptic curves [anglais]. Université de Rome : Modulo supersingolare e applicazioni [italien]. Séminaires en France Avr Mars 2006 Fev Jan Juin 2004 Nov Nov Nov Fév Séminaires doctorants Juin 2002 Avr Jan Université de Grenoble : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires. Université de Caen : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires, reporté pour cause de bloquage de l université. Université de Besançon : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires. Université de Caen : Module supersingulier et points rationnels de courbes modulaires. Université de Saint-Etienne : Module supersingulier et points rationnels de courbes modulaires. Séminaire de mathématiques pures, Université Clermont-Ferrand II : Divers aspects du module supersingulier. Laboratoire de Logique, d Algorithmique, d Informatique et de Combinatoire (llaic), IUT de l Université d Auvergne Clermont-Ferrand I : Courbes elliptiques et nombres congruents. Groupe d Étude des Problèmes Diophantiens (gepbd), Institut de Mathématiques de Jussieu : Corps engendré par les points de torsion des courbes elliptiques. Séminaire de mathématiques pures, Université Clermont-Ferrand II : Arithmétique des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Séminaire de théorie des nombres de Clermont-Ferrand II, deux exposés : Techniques à la Mazur pour l étude des points de torsion des courbes elliptiques. Séminaire de théorie de nombres, Université Clermont-Ferrand II, exposé 1 : Courbes elliptiques généralités ; exposé 2 : Points de torsion des courbes elliptiques. Séminaire doctorant de théorie des nombres, Université Paris VI (sdtn) : exposé préparatoire au colloque sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (juillet 2002, Institut de Mathématiques de Jussieu) : Introduction à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. sdtn : Courbes elliptiques supersingulières et méthode du graphe. sdtn : Techniques à la Mazur. Participation à des colloques Juil Avr Juil Colloque Iwasawa 2006, Limoges Formes modulaires p-adiques, CIRM Luminy Summer School on Arithmetic and Algebraic Geometry, Goettingen Number Theory Days, Zürich Colloque Représentations galoisiennes, Strasbourg Colloque en l honneur de L. Illusie, Orsay 4 Concours MdC 2006

5 Curriculum Vitæ Déc Juil Juil Mars 2002 Jan Juil Juin 2001 Mars 2001 Juin Sept Sept Workshop on F-isocrystals and rigid cohomology, Padova. Workshop on Explicit Arithmetic Geometry, Institut Henri Poincaré, Paris. Congrès sur la théorie d Iwasawa, Besançon. Conference on modular curves and abelian varieties, Barcelone. École d été sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, Institut de Mathématique de Jussieu. Colloque Jeunes Chercheurs, Université de Besançon. Ecole de Cryptologie, Université de Bordeaux. XXII-èmes Journées Arithmétiques, Université de Lille. Conférence en l honneur de M. Raynaud, Université Paris XI. Ecole de Théorie Algébrique des Nombres et Géométrie Arithmétique, Université de Lille. Colloque Jeunes Chercheurs, Université de Bordeaux. Colloque Jeunes Chercheurs, ENS Lyon. Colloque Jeunes Chercheurs, Université de Caen. Divers Informatique logiciels de calcul formel utilisés : Magma, Maple, Pari ; logiciel enseigné : Maple (voir page 8). Langues étrangères anglais, espagnol (notions), italien, russe (notions). Concours MdC

6 Concours MdC 2006 Présentation de la thèse Thèse de doctorat soutenue le 27 septembre 2004 à l Université Pierre et Marie Curie Paris VI (U.M.R. n o 7586). Titre : Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires Résumé : Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p, appelé module supersingulier. Nous le comparons à d autres modules de Hecke : l homologie de la courbe modulaire X 0 (p) et l ensemble des formes modulaires de poids 2 de niveau p. Nous donnons des interprétations et des applications des formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre le module supersingulier et la géométrie de X 0 (p) nous permettent d appliquer ces résultats à l étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers p pour lesquels le quotient de X 0 (p r ) (r > 1) par l opérateur d Atkin-Lehner n a d autres points rationnels que les pointes et les points CM. Mots clefs. courbes elliptiques, courbes modulaires, formes modulaires, fonctions L, module supersingulier, variétés abéliennes, symboles modulaires. Le jury était composé de : M. Sebastiaan Edixhoven (Université de Leiden) Rapporteur M. Michael Harris (Université Paris 7) M. Loïc Merel (Université Paris 7) Directeur M. Jean-François Mestre (Université Paris 7) Président M. Jan Nekovar (Université Paris 6) M. Jacques Tilouine (Université Paris 13) Rapporteur 6 Concours MdC 2006

7 Concours MdC 2006 Liste des travaux et publications Ces travaux sont disponibles sur ma page : Revues internationales à comité de lecture Publications 1. Corps engendré par les points de 13-torsion des courbes elliptiques (11 pages) Acta Arith. 109 (2003), no. 3, Module supersingulier et homologie des courbes modulaires (23 pages) à paraître dans Journal of Number Theory. Prépublications 3. Formule de Gross-Kudla et points rationnels de X + 0 (pr ) (r > 1) (19 pages) soumis. En préparation 4. Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires. Autres travaux - Module supersingulier et points rationnels de courbes modulaires Thèse de Doctorat de l Université Pierre et Marie Curie Paris VI, UMR n o Représentations galoisiennes paires de Gal( Q/Q). Mémoire de DEA de l Université Pierre et Marie Curie Paris VI, UMR n o Concours MdC

8 Concours MdC 2006 Activités d enseignement On trouvera à la page suivante un tableau récapitulatif des enseignements que j ai dispensés. Enseignements de l année en cours Encadrements de mémoires Diplôme de fin de Master 5è année : ce travail est actuellement en cours. Projet de Master 4è année. M. Haegler a rédigé sous ma direction un mémoire intitulé Courbes elliptiques et cryptographie. Il s est appuyé sur les ouvrages de Cohen [Coh93], Washington [Was03] ainsi que sur un article de Schoof [Sch85]. Travaux dirigés dans le cadre de cours dispensés par E. Bayer. Les feuilles d exercices correspondantes sont sur la page Introduction à la théorie des nombres filière Mathématiques 3è année (28 heures). Il s agit d un cours introduisant les outils fondamentaux d arithmétique et de théorie des nombres : rappels d arithmétique, corps finis, réciprocité quadratique, corps de nombres et en particulier corps quadratiques et cyclotomiques. Arithmétique filière Systèmes de Communication 4è année (14 heures). Ce cours était destiné à introduire les notions mathématiques utilisées dans un cours de cryptographie qui a eu lieu en parallèle : principalement arithmétique de base (groupes, anneaux Z/nZ, théorème des restes chinois) et corps finis. Algèbre linéaire filière Mathématiques 1ère année (28 heures). Enseignements des années antérieures J ai obtenu l agrégation externe de mathématiques en juillet 1999 et ai assuré des enseignements en premier cycle de septembre 1998 à septembre 2004 dans le cadre d un monitorat puis d ATER à mi-temps. Au long de ces années, j ai effectué des enseignements variés dans plusieurs universités, la mutation de mon conjoint m ayant amenée à quitter mon université d origine. J ai ainsi pu m initier à plusieurs facettes du métier d enseignant, qu il s agisse de responsabilités individuelles comme l élaboration d un cours, de feuilles d exercices ou d examens, la correction de copies, ou de responsabilités collectives comme la participation aux réunions pédagogiques ou aux jurys d évaluation. J ai également appris à adapter mon cours aux différents publics que j ai pu rencontrer. Signalons quelques enseignements marquants : En 2003/2004, j ai été ATER à l IUT de l université Clermont-Ferrand I. Dans ce cadre, j ai eu à ma charge la préparation des cours, TD et TP d une classe entière. Les notions du cours (algèbre linéaire, théorie des graphes et programmation linéaire) étaient présentées en vue d applications à l informatique et devaient de surcroît être illustrées et approfondies lors de séances de travaux pratiques de Maple. Le fait d avoir l entière responsabilité de cette classe m a laissé la liberté d adapter mon enseignement aux étudiants d IUT qui se destinaient à une carrière en Informatique. En 1998/1999, j ai été chargée de la correction de copies de la préparation au Capes de l Université P. et M. Curie. A cette époque je préparais moi-même l agrégation et cette expérience a donc été particulièrement formatrice. En 2002/2003, dans le cadre d un ATER à l Université Clermont-Ferrand II, on m a confié une classe d étudiants chinois. Enseigner à des étrangers a été une nouvelle expérience très profitable à ma réflexion pédagogique. 8 Concours MdC 2006

9 Activités d enseignement Année Poste Lieu Type Filière Niveau Contenu Nombres d heures (Bac+..) 05/06 Assistante EPFL Encadrement Mathématiques 5 Diplôme de fin de Master post-doctorante Mathématiques 4 Projet de semestre (mémoire) TD Matériaux et Mécanique 1 algèbre linéaire 28 Systèmes de Communications 4 arithmétique [anglais] 14 Mathématiques 3 théorie des nombres 28 03/04 ATER IUT Clermont I cours, TD Informatique 2 algèbre linéaire, théorie des graphes, programmation linéaire TP Maple 96 02/03 ATER Clermont II TD MIAS 1 algèbre linéaire 48 D.U. Étudiants chinois 1 algèbre linéaire 48 01/02 ATER Paris VI TD SCM 1 analyse 96 00/01 Monitorat Clermont II TD MIAS 1 algèbre linéaire 64 99/00 Monitorat Paris VI TD MIAS 1 analyse, algèbre 64 98/99 Monitorat Paris VI TD MIAS 1 algèbre linéaire 30 Copies préparation au CAPES 4 correction des copies 35 Concours MdC

10 Concours MdC 2006 Rapport de recherche Dans ce rapport ainsi que dans le projet qui suit, les références avec des numéros se rapportent à ma liste de publications page 7, tandis que les références avec des lettres se rapportent à la bibliographie à la fin de ce document. Domaine général de recherche. Mes travaux concernent la théorie des nombres et la géométrie arithmétique, et plus particulièrement les courbes elliptiques et les courbes modulaires. J utilise notamment les outils suivants : courbes modulaires, formes modulaires, fonctions L, symboles modulaires, représentations galoisiennes. Le premier paragraphe de ce rapport présente brièvement le travail que j ai réalisé en DEA sur certaines représentations galoisiennes. La deuxième partie décrit les résultats que j ai obtenus pendant et depuis mon doctorat. Ces travaux ont été motivés par deux problèmes classiques concernant la torsion des courbes elliptiques. Ceux-ci consistent essentiellement à décrire - le corps engendré par les points de torsion d une courbe elliptique (voir la section 2) - l image de la représentation donnée par l action du groupe de Galois sur la torsion des courbes elliptiques (voir la section 4). Ces problèmes se ramènent à étudier les points rationnels de certaines courbes modulaires sur un corps de nombres. La stratégie usuelle est de plonger cette courbe modulaire dans sa jacobienne puis de projeter sur un quotient de rang nul. Comme l ont mis en évidence les travaux de Mazur [Maz77], le noeud du problème est alors de déterminer si cette application est une immersion formelle (en un ou plusieurs points), c est-à-dire si l application qui s en déduit sur les espaces cotangents est surjective. Nous avons établi et utilisé (section 2 et 3) un critère d immersion formelle mettant en jeu le module supersingulier, c est-à-dire le Z-module libre P de type fini engendré par l ensemble (fini) des classes d isomorphismes de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p > 0. Ceci nous a conduit à étudier le module supersingulier pour lui-même, ainsi que ses relations avec d autres modules de Hecke, en particulier avec l homologie de la courbe modulaire X 0 (p) sur Q classifiant les courbes elliptiques généralisées munies d une p-isogénie (voir la section 3). Les résultats énoncés à la section 2 ont été publiés en [1]. Ceux de la section 3 font l objet d un article à paraître en [2] et ceux de la section 4 d un article soumis [3]. Ces articles ainsi que le texte de ma thèse sont accessibles depuis la page : Notations. Pour la suite de ce rapport, on fixe p > 3 un nombre premier, F p une clôture algébrique de F p et Q une clôture algébrique de Q. Plus loin, on notera S l ensemble fini des classes d isomorphismes de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p > 0 et P 0 le sous-groupe de P = Z[S] formé des éléments de degré nul. Notons T l algèbre engendrée par les opérateurs de Hecke agissant sur l espace des formes modulaires de poids 2 pour Γ 0 (p). Le Z- module P est muni de deux structures algébriques : une action de T et un accouplement bilinéaire non dégénéré, pour lequel les opérateurs de Hecke sont autoadjoints. L algèbre T laisse stable le sous-module P 0 et son action se factorise par le quotient T de T agissant fidèlement sur l ensemble des formes paraboliques. 1 Représentations galoisiennes Mon mémoire de DEA, effectué sous la direction de L. Merel en 1998, portait sur les représentations irréductibles paires de dimension 2 du groupe Gal(Q/Q). On peut associer aux représentations paires des invariants analogues à ceux définis par Serre [Ser87] pour les représentations impaires. 10 Concours MdC 2006

11 Rapport de recherche Mais s il existe un dictionnaire en partie conjectural assez complet reliant les représentations impaires à des formes modulaires de mêmes invariants, on sait peu de choses des représentations paires. J ai étudié la littérature existante sur ces représentations, plus particulièrement les articles de Serre [Ser87], Vignéras [Vig85], et Figueiredo [Fig99]. J ai construit un exemple de représentation paire à valeurs dans GL 2 (F 49 ), de poids 7, de conducteur 2 k avec k 12. Pour cette représentation, ainsi que pour celles apparaissant dans les articles cités ci-dessus, j ai établi les tables des traces de Frobenius a p pour p premier inférieur à 100, à l aide du logiciel PARI. 2 Corps engendré par la torsion des courbes elliptiques [1] Soit Q(µ p ) le corps engendré par les racines p-ièmes de l unité dans Q. Soit E une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K. Les propriétés des accouplements de Weil montrent que le corps K(E[p]) engendré par les points de p-torsion de E est une extension finie de Q(µ p ). La motivation initiale de mon doctorat est l étude du degré de cette extension. Plus précisément, pour un entier d > 0 donné, j ai étudié l ensemble S(d) des nombres premiers p pour lesquels il existe une courbe elliptique définie sur une extension L de degré d de Q(µ p ) ayant tous ses points d ordre p définis sur L. Ce problème revient à étudier les points de X 0 (p) (d) (Q) où X 0 (p) (d) est la puissance symétrique d-ième de X 0 (p). Il est connu que {2, 3, 5} S(1) et Halberstadt a prouvé que 7 S(1). Merel et Stein [Mer01, MS01] ont étudié S(1), et ont en particulier montré que si p est un nombre premier avec p 13, 7 < p < 1000, alors p S(1). Pour p = 13, les techniques de Merel [Mer01] ne s appliquent pas car elles utilisent de façon essentielle le plongement naturel de la courbe modulaire X 0 (p) dans sa jacobienne J 0 (p) lorsque son genre g est non nul ; or X 0 (13) est de genre nul. La première étape de mon travail (publiée en [1]) a consisté à résoudre ce cas particulier. Théorème 1. Aucune courbe elliptique sur un corps de nombres n a tous ses points d ordre 13 définis sur Q(µ 13 ). Autrement dit, 13 S(1). Le point crucial de la démonstration est la preuve de la finitude du groupe J 1 (13)(Q(µ 13 )). Pour ceci, j ai montré la non nullité de L(J 1 (13), Q(µ 13 ), 1) grâce à des calculs sur les symboles modulaires. Les résultats de Kato [Kat04] permettent alors de conclure. J ai exposé ces premiers résultats lors des 21 es Journées Arithmétiques à Lille en J ai ensuite étudié X 0 (p) (d) (Q) pour d > 1. La méthode utilisée est une variante de celle de Mazur pour l étude de X 0 (p)(q) et étend les idées développées par Merel pour le cas d = 1. Soit φ (d) le morphisme composé du morphisme canonique de X 0 (p) (d) dans J 0 (p) avec un endomorphisme de J 0 (p) ou avec la surjection sur un quotient de J 0 (p) par un idéal saturé de T. Comme annoncé dans l introduction et comme le révèlent les travaux de Mazur [Maz77, Maz78] et Kamienny [Kam92], il est crucial pour l étude de X 0 (p) (d) (Q) de savoir détecter si φ (d) est une immersion formelle. Notons J 0 (p) Fp la fibre en p du modèle de Néron de J 0 (p) sur Spec Z. La description analytique rigide de J 0 (p) Fp montre qu il y a un isomorphisme entre Cot(J 0 (p) Fp ) et F p P 0. Cet isomorphisme m a permis de déterminer un critère d immersion formelle pour φ (d) en tout point en caractéristique p à l aide d éléments de P 0. Ce critère, établi indépendamment, contient celui de Parent [Par05] proposition 3.2 et se prête à des tests numériques. Grâce au critère précédent, j ai établi des résultats partiels pour S(2). Ces résultats ont fait l objet d un exposé au Groupe d Etudes des Problèmes Diophantiens de l Institut de Mathématiques de Jussieu en novembre 2003, mais ne sont actuellement pas encore soumis pour publication. 3 Comparaison de plusieurs modules de Hecke [2] L homologie singulière de la surface de Riemann X 0 (p)(c) a une structure similaire à celle de P : l action des correspondances de Hecke sur X 0 (p) munit H = H 1 (X 0 (p)(c), Z) d une action de T et Concours MdC

12 Rapport de recherche Marusia Rebolledo le produit d intersection définit un accouplement sur H H. Il est donc naturel de vouloir comparer H et P, d autant plus que la théorie des symboles modulaires de Manin donne une présentation de l homologie par générateurs et relations. Les structures de modules de Hecke de l homologie [Maz77] et du module supersingulier [Gro87, GK92, Eme02] ont été largement étudiées : par exemple, il est connu que les T Q -modules PQ 0, H+ Q et H Q sont libres de rang 1, où H+ (resp. H ) est le sous-groupe de H invariant (resp. anti-invariant) sous l action de la conjugaison complexe c. Cependant, en dépit des descriptions explicites de P 0 et H et bien que les Q-droites propres sous l action de T soient en correspondance bijective, aucun isomorphisme explicite général n a, à notre connaissance, été exhibé entre PQ 0 d une part, et H+ Q ou H Q d autre part. J ai comparé les T-modules P 0 T P0 ˇ et H + T H où P ˇ0 = Hom(P 0, Z) est muni de l action duale de T. Des générateurs explicites sur Q. θ 0 : P 0 T Soient ˇ P0 Hom(T, Z) et ψ : H + T H Hom(T, Z) les homomorphismes de T-modules qui se déduisent des accouplements sur le module supersingulier et l homologie. Le dual Hom(T, Z) est isomorphe au Z-module S 2 (Γ 0 (p), Z) des formes paraboliques dont le développement de Fourier est à coefficients dans Z. Les résultats de Mazur [Maz77] m ont permis de montrer que ψ est un isomorphisme après extension des scalaires à Z [ 1 2]. Emerton [Eme02] a montré le résultat analogue pour θ 0. Après extension des scalaires à Z [ 1 2], on a donc un isomorphisme entre P 0 T P0 ˇ et H + T H. En particulier, sur Q, nous obtenons un isomorphisme de T Q -modules libres de rang 1. Dans [2] théorème 0.1, je décris des éléments 0 2 PQ 0 T Q PQ 0 et Λ 0 2 H + Q T Q H Q tels que Théorème 2. Les éléments 0 2 et Λ 0 2 sont respectivement des générateurs des T Q -modules libres P 0 Q T Q P 0 Q et H+ Q T Q H Q et on a θ0 Q ( 0 2) = ψ Q ( Λ 0 2) S 2 (Γ 0 (p)). Interprétation de la formule de Gross-Zhang. Soit f une forme primitive de poids 2 pour Γ 0 (p), D un discriminant quadratique imaginaire premier à p et ε D le caractère non trivial de Gal(Q( D)/Q). La formule de Gross [Gro87] généralisée par Zhang [Zha01] exprime L(f, 1)L(f ε D, 1) en fonction de la composante f-isotypique d une somme γ D P Q de points de Heegner. Je propose dans [2] l interprétation suivante de la formule de Gross-Zhang en termes de symboles modulaires. Soit e l élément d enroulement défini par Mazur [Maz77] et e D l élément d enroulement tordu par ε D. Soit x 0 PQ 0 la projection orthogonale d un élément x P Q. Théorème 3. On a θ 0 Q (γ0 D T Q γ 0 D ) = ψ Q(e TQ e D ) S 2 (Γ 0 (p)). Le calcul des coefficients de la forme modulaire du théorème précédent m a permis d obtenir un analogue quadratique de la formule d Eichler [Gro87] (1.12) (voir [2] théorème 0.3). 4 Formule de Gross-Kudla : applications géométriques [3] Soit E une courbe elliptique sur Q sans multiplication complexe. Pour p un nombre premier, considérons la représentation ρ p (E) : Gal( Q/Q) Aut(E[p]) = GL 2 (F p ) induite par l action de Gal( Q/Q) sur la p-torsion de E. Serre [Ser72] a prouvé que ρ p (E) est surjective pour p supérieur à une constante dépendant de E. Il demande, notamment dans [Ser72], si on peut choisir cette constante indépendamment de E. Ce problème revient essentiellement à 12 Concours MdC 2006

13 Rapport de recherche déterminer si l image de ρ p (E) est contenue dans un sous-groupe de Borel, le normalisateur d un Cartan déployé ou d un Cartan non-déployé. Chacun de ces cas est paramétré par une courbe modulaire, autrement dit on est ramené à montrer que pour p assez grand, les points rationnels d une certaine courbe modulaire sont soit des pointes, soit des points à multiplication complexe i.e. provenant de courbes elliptiques à multiplication complexe (CM). Par exemple, en étudiant X 0 (p)(q), Mazur [Maz77] a montré que le cas Borel ne se produit pas pour p > 37. Je me suis intéressée au cas Cartan déployé paramétré par la courbe modulaire X + 0 (p2 ) quotient de X 0 (p 2 ) par l opérateur d Atkin-Lehner w p 2. Les techniques employées sont des variantes de celles de Mazur pour X 0 (p) et s appliquent plus généralement à l étude des points de X + 0 (pr )(Q) (r > 1). J ai établi le résultat de densité suivant, améliorant le théorème 1.1 de [Par05] pour lequel la densité est de 7/2 9. Théorème 4. Il existe un ensemble explicite C de nombres premiers de densité analytique 9/2 10 tel que si p C alors un point de X + 0 (pr )(Q) est soit une pointe soit un point CM (on dira que X + 0 (pr )(Q) est trivial). En fait, on pourrait encore améliorer ce résultat de densité si on le souhaitait. Mon apport aux méthodes de Parent se situe à un niveau plus technique. Par exemple, j ai donné un critère de trivialité de X + 0 (pr )(Q) en terme d une forme modulaire de poids 2 à coefficients dans F p qui permettrait peut-être d éliminer les conditions sur p dans le théorème 4 (voir plus loin ainsi que le projet de recherche page 16). J ai compris récemment qu il y a en réalité un lien profond entre mes résultats et ceux de [Par05] (voir section 5). Critère de Parent. Soit I e T l idéal annulateur du symbole modulaire {0, } dans le premier groupe d homologie relative aux pointes de X 0 (p)(c). L image de I e dans T est l idéal d enroulement défini par Merel [Mer96], c est-à-dire l annulateur des formes primitives f S 2 (Γ 0 (p)) telles que L(f, 1) 0. Notons P[I e ] l ensemble des éléments de P annulés par I e. Pour j P 1 ( F p ) un invariant non supersingulier, considérons l application ι j : P F p s S λ s[s] s S λ s j j(s) (1) où, pour s S, j(s) est l invariant d une courbe elliptique représentant la classe s. Le théorème 4 repose sur le critère suivant dû à Parent [Par05] et simplifié par Merel [Mer] en utilisant la jacobienne généralisée de X 0 (p) relativement aux pointes (dans [Par05], P est remplacé par P 0 ) : (C) Soit p 11. Supposons que pour tout j F p non supersingulier, il existe x P[I e ] tel que ι j (x) 0. Alors X + 0 (pr )(Q) est trivial. Derrière cet énoncé se cache un critère d immersion formelle pour les morphismes de X 0 (p) dans le quotient d enroulement J 0 (p)/i e J 0 (p) de J 0 (p) (ce quotient a un nombre fini de points rationnels et c est conjecturalement le plus gros quotient de J 0 (p) ayant cette propriété). Éléments enroulés. La question centrale est donc de déterminer des éléments de P[I e ] ou éléments enroulés. Actuellement, on ne sait pas déterminer d élément d enroulement de P c està-dire un élément dont l idéal annulateur serait exactement I e. Rappelons qu il existe un isomorphisme T-linéaire entre P C et l espace M 2 (Γ 0 (p)) des formes modulaires de poids 2 pour Γ 0 (p). Le sous-module P C [I e ] de P C est engendré par les vecteurs propres pour T associés aux formes de Hecke dont la fonction L ne s annule pas en 1. Cela explique pourquoi des formules pour les valeurs spéciales de fonctions L peuvent nous donner des éléments de P[I e ]. Par exemple, Parent déduit de la formule de Gross-Zhang que les éléments γd 0 sont dans PQ 0[I e] et détermine des combinaisons linéaires judicieuses de ces éléments qui ne sont pas dans ker(ι j ). Je propose d utiliser la formule de Gross et Kudla [GK92]. Cette formule exprime la valeur en 2 de la fonction L associée à un produit triple de formes primitives en fonction de Concours MdC

14 Rapport de recherche Marusia Rebolledo l élément diagonal 3 = s S 1 w s [s] 3 P 3 Q où 2w s est l ordre du groupe des automorphismes d une courbe elliptique dans s. Considérons la forme modulaire à coefficients dans P G = (1 θ)( 3 ) P M 2 (Γ 0 (p), Z) où θ : P ˇP Hom( T, Z) = M 2 (Γ 0 (p), Z) est donné par l accouplement,. Dans [3], je tire de la formule de Gross-Kudla le théorème suivant Théorème 5. On a G P[I e ] M 2 (Γ 0 (p), Z). Dès lors, on peut reformuler le critère (C) de la façon suivante : (C ) Supposons que (pour p assez grand) pour tout j F p ordinaire, la forme modulaire G j = (ι j 1)(G) F p M 2 (Γ 0 (p), Z) est non nulle ; alors X 0 + (pr )(Q) est trivial. Pour m 1 un entier, posons y m = s S s, T m s/w s [s] P. On a G = 1 2 a E + m 1 y m q m où a E = s S 1 w s [s] P Q. (2) Le théorème 5 montre donc que pour tout m 1, y m P[I e ] et le critère (C ) est équivalent à (C ) Supposons que pour tout j F p ordinaire, il existe m 1 tel que ι j (y m ) 0 alors X 0 + (pr )(Q) est trivial. Les éléments y m ont une interprétation géométrique simple : lorsque (m, p) = 1, y m énumère les boucles du graphe des m-isogénies. J ai ainsi utilisé une méthode s inspirant de la méthode du graphe de Mestre et Oesterlé [MO] pour effectuer les calculs conduisant au théorème 4. L intérêt de la formulation (C ) est de pouvoir utiliser des arguments géométriques pour l étude de la forme modulaire G (voir le projet de recherche). 5 Comparaison entre les éléments γ D et les éléments y m Comparaison explicite et espace engendré. Nous montrons dans [3] les résultats suivants : Proposition On a y m = ɛ(m) a E + (s,d) Z 2 4m s 2 =dr 2 >0 γ d où ɛ(m) = 1 si m est un carré et ɛ(m) = 0 sinon. 2. Le Q-espace vectoriel engendré par {y 0 m, m 1} est engendré par {y 0 m, 1 m g + 1}. 3. Le T Q -module engendré par {y 0 m, m 1} est égal à P 0 Q [I e]. Cette proposition entraîne une version précise d un théorème de non annulation : Corollaire 1. Si f est une forme modulaire primitive de poids 2 pour Γ 0 (p) telle que L(f, 1) 0 alors il existe un discriminant quadratique imaginaire d 4g + 4 tel que L(f ε d, 1) 0 où ε d est le caractère quadratique non trivial de Gal(Q( d/q)). 14 Concours MdC 2006

15 Rapport de recherche Formes modulaires de poids demi-entier. Le lien entre les éléments γ D et les éléments y m est en réalité plus profond que ne le laisse entendre la formule explicite 1 de la proposition 1. S inspirant du q-développement (2) de G, on pourrait se demander si le q-développement g = 1 2 a E + D γ D q D définit une forme modulaire. Cela définit en fait une forme modulaire de poids 3/2 pour Γ 0 (p) à coefficients dans P qui est même dans P M + 3/2 (Γ 0(p); Z) où M + 3/2 (Γ 0(p)) est le sous-espace de Kohnen [Koh82]. Rappelons que le critère (C ) consiste à se demander si pour tout j F p ordinaire, on a ι j 1(G) 0. Les travaux de Parent reviennent à se poser la question analogue pour g. Kohnen [Koh82] a défini une application (sorte de linéarisation de la correspondance de Shimura) κ : M + 3/2 (Γ 0(p)) M 2 (Γ 0 (p)). J ai compris récemment que (1 κ)(g) = G. (3) Cela est dû à l expression de g et G comme combinaison linéaire de fonctions Theta correspondant à des réseaux respectivement ternaires et quaternaires. Arakawa et Böcherer [AB03] ont montré en 2003 que κ est injective. D après (3), cela révèle que les travaux de Parent et les miens sont équivalents. Cependant, la théorie des formes modulaires sur F p étant beaucoup plus développée en poids entier, il est plus facile de travailler avec des formes modulaires de poids 2, donc avec G, plutôt que des formes de poids 3/2 dont g. J ai ainsi bon espoir que le critère (C ) permette d éliminer les conditions sur p du théorème 4 (voir les projets de recherche). Concours MdC

16 Concours MdC 2006 Projets de recherche Ces projets de recherche s inscrivent dans la continuité des travaux exposés dans le rapport de recherche, en particulier dans les sections 3, 4 et 5, dont nous utiliserons librement les notations et résultats. Je m intéresse tout d abord à plusieurs questions précises dans la ligne directe de ces travaux. J en expose quelques unes plus loin. Par ailleurs, au contact de mes collègues de Milan et de Lausanne, j ai développé un intérêt certain pour des théories qui pourraient être le cadre de mes recherches à plus long terme : la théorie des courbes de Shimura pour lesquelles il est possible de généraliser les travaux des sections 4 et 5, la théorie d Iwasawa et des fonctions L p-adiques (en particulier les travaux de Bertolini et Darmon), et la théorie des modules de Drinfeld qui est la version corps de fonctions des courbes de Shimura, dans laquelle il existe un analogue au problème de Serre de la section 4 et qui pourrait donner de nouvelles idées pour résoudre le cas classique. Module supersingulier et homologie 1. Interprétation de l élément diagonal de Gross-Kudla dans l homologie. Comme pour la formule de Gross, on souhaiterait avoir une interprétation de la formule de Gross-Kudla en terme de symboles modulaires. Plus précisément, notons Φ = ( θq) 0 1 ψq l isomorphisme entre PQ 0 T Q PQ 0 et H+ Q T Q H Q et considérons C = 0 3 T 3 Q 0 3 (P 0 Q) 3 T 3 Q (P 0 Q) 3 = ( P 0 Q TQ P 0 Q) 3. Il serait intéressant de déterminer Φ 3 (C). Pour ce faire, on pourrait essayer d exprimer C en fonction des générateurs ( 0 2 ) 3 décrits dans le théorème 2 2. Analogue de la formule d Eichler. Je souhaiterais améliorer l aspect, pour le moment très technique, de l analogue de la formule d Eichler qui découle du théorème 3. La difficulté principale réside dans le calcul du produit d intersection e e D. Je propose dans [2] une méthode qui pourrait conduire à un calcul plus aisé. Comparaison entre Gross et Gross-Kudla 1. Comparaison entre y m et γ D. La proposition 1 du rapport de recherche donne y m en terme de combinaison linéaire d éléments γ D. Sachant que les éléments γ D de Gross ainsi que les éléments y m engendrent le T-module P Q [I e ], nous sommes assurés du fait que γ D s exprime comme combinaison linéaire de ty m, t T, m 1. Il serait intéressant de déterminer explicitement une telle expression. 2. Lien entre les formules de Gross et Gross-Kudla. Dans la section 5 du rapport de recherche, j esquisse un lien entre la formule de Gross-Zhang et celle de Gross-Kudla : la première est reliée à une forme modulaire de poids 3/2 et la seconde à une forme de poids 2 qui lui correspond par la correspondance de Shimura. Étant donné le caractère complètement différent de ces formules, c est quelque chose d assez étonnant et qui mérite d être creusé. Formes modulaires sur F p et lien avec la géométrie La question qui me paraît la plus significative est la question posée dans le paragraphe 4 : pour p assez grand (p > 37 par exemple), pour un invariant ordinaire j la forme modulaire G j = (ι j θ)( 3 ) est-elle non nulle? Une réponse positive à cette question résoudrait en effet le cas Cartan déployé du problème de Serre exposé au début de la section Concours MdC 2006

17 Projets de recherche Pour prouver la non-nullité de G j, je travaille actuellement sur deux pistes. Tout d abord, je cherche à utiliser le fait que G = (1 θ)( 3 ) s exprime en terme de fonctions Theta associées aux ordres maximaux de l algèbre de quaternions ramifiée en p et l infini. C est d autant plus intéressant que la formule de Gross et les résultats de Arakawa-Böcherer nous donnent le rang du Z-module que ces fonctions engendrent. Une autre piste est de regarder la forme modulaire G j F p M 2 (Γ 0 (p); Z) de façon géométrique, c est-à-dire comme section du faisceau des différentielles régulières sur X 0 (p) Fp ayant un éventuel pôle aux pointes et telle que la somme des résidus soit nulle : G j H 0 (X 0 (p) Fp, Ω( pointes)). On peut alors l évaluer aux points supersinguliers vus comme des sections de X 0 (p) Fp c est-à-dire déterminer son image par l isomorphisme composé H 0 (X 0 (p) Fp, Ω( pointes)) Cot( J Fp ) F p P où J est la jacobienne généralisée de X 0 (p) relativement aux pointes. J ai récemment effectué avec Magma des calculs numériques dans cette direction. Cas Cartan non déployé avec isogénie Le cas Cartan non déployé du problème de Serre énoncé au début de la section 4 est difficile d accès. La raison principale est l absence de quotient de rang nul pour la jacobienne de la courbe modulaire paramétrant ce problème de modules. En revanche, c est beaucoup plus simple si l on ajoute une structure auxilaire comme une l-isogénie (l p premier), c est-à-dire si l on s intéresse aux courbes elliptiques E sur Q non CM telles que la représentation ρ p (E) est à image dans le normalisateur d un Cartan non déployé et qui possèdent de plus une l-isogénie rationnelle. En effet, la courbe modulaire correspondante admet alors un quotient de rang nul. J espère donc adapter les méthodes de la section 4 à ce cas. Généralisation à des niveaux non premiers, courbes de Shimura Böcherer et Schulze-Pillot ont généralisé la formule de Gross-Kudla pour un produit f 1 f 2 f 3 de formes modulaires de poids et niveaux non forcément égaux. Cette formule faisant intervenir une sorte d élément diagonal à la Gross-Kudla, il serait intéressant de généraliser les techniques de la section 4 dans ce contexte. Concours MdC

18 Projets de recherche Marusia Rebolledo Références [AB03] T. Arakawa and S. Böcherer. Vanishing of certain spaces of elliptic modular forms and some applications. J. Reine Angew. Math., 559 :25 51, [Coh93] H. Cohen. A course in computational algebraic number theory, volume 138 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, [DS05] F. Diamond and J. Shurman. A first course in modular forms, volume 228 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, [Eme02] M. Emerton. Supersingular elliptic curves, theta series and weight two modular forms. J. Amer. Math. Soc., 15(3) : (electronic), [Fig99] L. M. Figueiredo. Serre s conjecture for imaginary quadratic fields. Compositio Math., 118(1) : , [GK92] B. H. Gross and S. S. Kudla. Heights and the central critical values of triple product L-functions. Compositio Math., 81(2) : , [Gro87] B. H. Gross. Heights and the special values of L-series. In Number theory (Montreal, Que., 1985), volume 7 of CMS Conf. Proc., pages Amer. Math. Soc., Providence, RI, [Kam92] S. Kamienny. Torsion points on elliptic curves over fields of higher degree. Internat. Math. Res. Notices, (6) : , [Kat04] K. Kato. p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms. Astérisque, (295) :ix, , Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques. III. [Koh82] W. Kohnen. Newforms of half-integral weight. J. Reine Angew. Math., 333 :32 72, [Maz77] B. Mazur. Modular curves and the Eisenstein ideal. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (47) : (1978), [Maz78] B. Mazur. Rational isogenies of prime degree (with an appendix by D. Goldfeld). Invent. Math., 44(2) : , [Mer] L. Merel. Normalizers of split cartan subgroups and supersingular elliptic curves. In Pubblicazioni del Centro De Giorgi. Le Edizioni della Normale. à paraître. [Mer96] L. Merel. Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres. Invent. Math., 124(1-3) : , [Mer01] L. Merel. Sur la nature non-cyclotomique des points d ordre fini des courbes elliptiques. Duke Math. J., 110(1) :81 119, With an appendix by E. Kowalski and P. Michel. [MO] J.-F. Mestre and J. Oesterlé. Courbes elliptiques de conducteur premier. non publié. [MS01] L. Merel and W. A. Stein. The field generated by the points of small prime order on an elliptic curve. Internat. Math. Res. Notices, (20) : , [Par05] P. Parent. Towards the triviality of X 0 + (pr )(Q) for r > 1. Compos. Math., 141(3) : , [RV99] D. Ramakrishnan and R. J. Valenza. Fourier analysis on number fields, volume 186 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, [Sch85] R. Schoof. Elliptic curves over finite fields and the computation of square roots mod p. Math. Comp., 44(170) : , [Ser72] J.-P. Serre. Propriétés galoisiennes des points d ordre fini des courbes elliptiques. Invent. Math., 15(4) : , [Ser87] J.-P. Serre. Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q). Duke Math. J., 54(1) : , [Vig85] M.-F. Vignéras. Représentations galoisiennes paires. Glasgow Math. J., 27 : , [Was03] L. C. Washington. Elliptic curves. Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, Number theory and cryptography. [Zha01] S.-W. Zhang. Gross-Zagier formula for GL 2. Asian J. Math., 5(2) : , Concours MdC 2006