3. Cas de l équation ay +by +cy=0 (a, b et c sont des constantes). 4. Cas de l équation ay +by +cy=f(x) (a, b et c sont des constantes).

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1 Fiche mémo équation différentielle 1. Cas de l équation y =a(x)y. 2. Cas de l équation y =ay+b(x). 3. Cas de l équation ay +by +cy=0 (a, b et c sont des constantes). 4. Cas de l équation ay +by +cy=f(x) (a, b et c sont des constantes). Pour Hélène : est ce que ça est utile?

2 (Rappel de cours) Cas de l équation y =a(x)y. Cette équation est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre. La fonction a est supposée continue sur un intervalle I. Les solutions sont définies sur I et sont de la forme y = Ke A(x) où A est une primitive de a sur I et K une constante arbitraire. Il y a une infinité de solutions, plus précisément, à chaque valeur de K correspond une solution. Quand une condition initiale est donnée cela permet de déterminer K et il y a donc une unique solution y = y 0 e A(x) Exemple 1 a est une fonction constante Il faudrait charger ça ple1.htm exercice énoncé Cas de l équation y =a(x)y. Ex Résoudre l équation différentielle y = xy. Représenter sur un même graphe les 9 courbes intégrales correspondant aux condition initiales y(0) = y 0 pour -4 y 0 4

3 (Exercice corrigé) Cas de l équation y =a(x)y Ex.

4 . (Rappel de cours) Cas de l équation y =a(x)y+b(x). Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre, les fonctions a et b sont supposées continues sur un intervalle I. Les solutions sont de la forme y(x) = y 1 (x)+ke A(x) où K est une constante, A une primitive de a et y 1 une solution particulière. Si y 1 est définie sur un intervalle J contenu dans I alors y aussi. Si on ne voit pas de solution particulière évidente, on utilise la méthode de variation de la constante. C'est-à-dire qu on cherche une solution sous la forme y x = K x e A x. La constante K est remplacée par une fonction K(x) d où le nom variation de la constante. On substitue dans l équation on obtient a x K x + K x e A x = a x e A x = B(x) Soit K x = b x e A x. On prend donc pour K une primitive de b(x)e A(x) qui est une fonction continue. Remarque pratique il faut retenir que les termes en K doivent disparaître ce qui permet de trouver K. Si ce n est pas le cas c est qu il y a une erreur dans les calculs. (Exercice énoncé) Cas de l équation y =a(x)y+b(x). Ex Résoudre dans R +* l équation y = y + 1 avec la condition initiale y(1) = 0 x

5 (Exercice corrigé) Cas de l équation y =a(x)y+b(x). Ex C est un équation différentielle linaire du premier ordre. L équation homogène associée est y = y. La solution générale de cette équation est y = kx. x Cherchons une solution particulière en appliquant la méthode de variation de la constante : k + k x = k + 1 soit k = 1 et k = lnx. x La solution générale de l équation est donc y = lnx + k x La condition initiale y(1)=0 donne k=0. Finalement la solution cherchée est y = xlnx. (Rappel de cours) Cas de l équation ay +by +cy=0 Cette équation est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, les constantes a b et c sont des réels. Alors l équation différentielle admet des solutions définies sur r et obtenues de la manière suivante. L équation du second degré ar 2 + br + c = 0 est dite équation caractéristique. Si l équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r et s, alors les solutions générales de l équation différentielle sont y = e rx + βe sx ; et β étant des constantes arbitraires. Si cette équation caractéristique admet une racine double r, alors les solutions générales de l équation différentielle sont y = ( x + β)e rx ; et β étant des constantes arbitraires. Si l équation caractéristique admet deux racines complexes, elles sont conjuguées r ± is, alors les solutions générales de l équation différentielle sont : y = e rx ( cossx + βsinsx) ; et β étant des constantes arbitraires. En physique on écrit souvent ces solutions sous la forme y = e rx kcos (sx + φ) ; k et φ étant des constantes arbitraires. Notez bien que ces deux écritures sont identiques on a = kcosφ et β = ksinφ. Les données de deux condition initiales permettent de déterminer les constantes et β.

6 (Exercice énoncé) Cas de l équation ay +by +cy=0 Résoudre l équation θ + ω 2 θ = 0 C est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. L équation caractéristique est x 2 + ω 2 = 0 les racines sont ±iω. La solution générale de l équation est θ = Acos (ωθ + φ). Les conditions initiales permettent de déterminer A et φ : 0=ωAsin φ et θ 0 = A cos φ donc φ=0 et A = θ 0.

7 (Exercice corrigé) Cas de l équation ay +by +cy=0 (Rappel de cours) Cas de l équation ay +by +cy=f(x) Cette équation est une équation différentielle linéaire du second ordre, la fonction f est supposée continue sur un intervalle I. L équation du second degré ay + by + c est dite équation homogène associée. Les solutions de l équation sont la somme d une solution particulière et de la solution générale de l équation homogène associée Si y 1 est définie sur un intervalle J contenu dans I alors y aussi En pratique, c est la forme de la fonction f qui permet de déterminer une particulière. Par exemple si f est un polynôme de degré n. Pour des exemples consulter m

8 (Exercice énoncé) Cas de l équation ay +by +cy=f(x) Ex1. (Exercice corrigé) Cas de l équation ay +by +cy=f(x) Ex1.