Nom :... Prénom : Le lundi 25 janvier Les 3 questions suivantes sont liées

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1 Vous répondrez sur la feuille de notations fournie avec le sujet Répondre au questionnaire à choix multiple suivant sachant que chaque question possède au moins une réponse (y compris le choix " Aucune des propositions précédentes n'est valable")et au plus deux Aucune justication n'est demandée donner plus de deux réponses à une question donne 0 sur cette question toute bonne réponse apporte 4 points toute mauvaise réponse enlève point Vous n'êtes pas obligés de répondre à toutes les questions : seules les 30 premières croix de la grille seront prises en compte QCM (H) Les 3 questions suivantes sont liées Soit (G, T) un groupe ayant 6 éléments : a, b, c, d, f et g (l'un d'eux étant bien sûr l'élément neutre) La table ci-dessous donne quelques informations sur la loi de ce groupe (remarque : on sait que c'est un groupe) T a b c d f g a c f b g c c c d b a f c b g f a Question Quel est l'élément neutre? : a) a b) b c) c d) d Question On reprend le groupe (G, T) de la question précédente : a) Au moins une colonne de la table de groupe possède deux fois l'élément a b) atb = atd car a est son propre symétrique c) atb bta car (G, T) n'est pas commutatif d) Il y a au moins deux éléments de G qui sont leur propre symétrique Question 3 On reprend le groupe (G, T) de la question précédente Que vaut atd? : a) f b) b c) g d) Les informations données ne permettent pas de répondre à cette question

2 Les 3 questions suivantes sont liées On considère la suite (u n ) n N dénie par : u 0 = 0 et la relation : n N, u n+ = cos (u n ) Question 4 : a) (u n ) n N est décroissante sur [0, ] car la fonction cos est décroissante sur cet intervalle b) (u n ) n N est minorée car la fonction cos est minorée c) n N, cos() u n d) (u n ) n N est convergente car elle est décroissante et minorée Question 5 : a) Il existe k ]0, [ tel que : n N, u n+ u n+ k u n+ u n b) Il existe k ]0, [ tel que : n N, u n+ u n+ = k u n+ u n c) La suite ( u n+ u n ) n N est une suite géométrique d) Il existe k ]0, [ tel que : n N, u n+ u n+ k n Question 6 : a) La suite (u n ) n N converge vers arccos ( ) 3 b) La suite (u n ) n N converge car l'équation cos(x) = x possède une et une seule solution c) Les suites (u n ) n N et (u n+ ) n N sont adjacentes d) La suite (u n ) n N est croissante Question 7 Soit E un ensemble, f et g deux applications de E vers lui-même Alors : : a) Si f g est une bijection alors g f est aussi une bijection b) Si f g et f g f sont deux bijections alors g f g est aussi une bijection c) Si f est une injection et g est une surjection alors g f est aussi une bijection d) Si f est une surjection et g est une injection alors g f est aussi une bijection Question 8 Soit E un ensemble, A et B deux parties de E, f une application de E vers lui-même Alors : : a) f (f(a)) f ( f (A) ) b) f ( f (A) ) f (f(a)) c) Aucune des relations vues en a) et b) ne peut être vraie car on ne peut pas comparer, pour l'inclusion, des images directes et des images réciproques d) Si f(a) f(b) f ( A ) B

3 Les 4 questions suivantes sont liées On considère la fonction de variable réelle x dénie par : f(x) = arcsin ( x ) + x Question 9 On a : arctan ( x ) x a) f est dénie sur ], [ seulement b) f est dénie sur R \ {, } seulement c) f est paire car la composée de deux fonctions impaires est paire d) f est impaire car la somme de deux fonctions impaires est impaire Question 0 On a : a) f est bornée c) f admet π pour limite en + b) f est prolongeable par continuité en d) f admet 0 pour limite en + Question Pour x R + \ {}, on pose φ = arctan(x) : a) f(x) = arcsin (sin(φ)) arctan (tan(φ)) [ π ] b) si u, π, arcsin(sin(u)) = π + u c) si u [ π, π ], arctan(tan(u)) = u d) si x [0, [, f(x) = 0 Question Sur ], + [, on a : a) f est dérivable b) f (x) = + x c) f (x) = + x d) f(x) = π arctan(x) Les 8 questions suivantes sont liées On considère l'équation diérentielle (E) : y (x) 3y (x) + y(x) = 0 Soient f et g les fonctions dénies par : f(x) = e x/ e x et g(x) = ln f(x) Question 3 On désigne par A et B deux constantes réelles La solution générale de l'équation (E) est de la forme : a) y(x) = A e x/ + B e x c) y(x) = A e x/ + B e x b) y(x) = A e x/ + B e x d) y(x) = A e x + B e x Question 4 La fonction f : 3

4 a) est dénie uniquement sur R + b) est indéniment dérivable sur R c) a pour limite 0 lorsque x tend vers + d) a pour limite + lorsque x tend vers + Question 5 La fonction f : a) est toujours positive b) est toujours négative c) ne s'annule jamais sur R d) est positive ou nulle sur R + Question 6 La fonction g : a) est dénie sur R car f est dénie sur R b) n'est dénie que sur R + c) est dénie sur R d) est égale à ln(f(x)) car f est toujours positive Question 7 La fonction g a pour limite : a) 0 lorsque x tend vers + b) lorsque x tend vers + c) 0 lorsque x tend vers 0 d) lorsque x tend vers Question 8 La fonction g : a) n'est pas dérivable sur R b) a pour dérivée la fonction dénie sur R par g (x) = ln f (x) c) a pour dérivée la fonction dénie sur R par g (x) = f (x) f(x) d) a pour dérivée la fonction dénie sur R par g (x) = f(x) Question 9 La fonction g vérie que, pour tout x appartenant à R + : a) g(x) x = ln ( e x/) ( b) g(x) x = ln ( c) g(x) = x + ln ) + e x/ e x/) d) g(x) x = ln ( e x/ ) Question 0 La courbe représentative C g de la fonction g : a) n'admet pas d'asymptote b) admet une asymptote oblique d'équation y = x c) admet une asymptote oblique d'équation y = x d) admet une asymptote oblique d'équation y = x 4

5 Les 3 questions suivantes sont liées Soit D = R \ { π + kπ k Z } Soit f la fonction dénie sur D par : f(x) = e x tan(x) On note (E) l'équation f(x) = ] π + nπ, π [ + nπ On note enn I n l'intervalle pour tout n entier naturel Question La fonction f : a) a pour dérivée la fonction f dénie sur D par f (x) = e x ( + tan (x) ) b) a pour dérivée la fonction f dénie sur D par f (x) = e x ( + x + tan(x) ) c) a pour dérivée la fonction f dénie sur D par f (x) = e x ( + tan(x) + tan (x) ) d) a pour dérivée la fonction f dénie sur D par f (x) = e x ( + tan(x)) Question La fonction f est : a) strictement croissante et positive sur l'intervalle I n b) strictement croissante et positive sur l'intervalle strictement croissantes et positives sur cet intervalle c) strictement décroissante et négative sur l'intervalle d) strictement décroissante sur l'intervalle ] π + nπ, nπ [ Question 3 L'équation (E) : a) n'admet pas de solution dans l'intervalle I n b) admet au moins deux solutions dans l'intervalle I n [nπ, π + nπ [ ] π + nπ, nπ [ comme produit de deux fonctions et strictement croissante [nπ, π + nπ [ c) admet une solution unique x n dans l'intervalle, qui appartient, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, à l'intervalle [nπ, π + nπ [ d) admet une solution x n dans l'intervalle I n et on a : x n nπ e nπ Les 6 questions suivantes sont liées Pour n N, on dénit la fonction f n sur R + par : f n(x) = xn ln(x) x si x et f n() = k n où k n est un réel xé Question 4 Le développement limité de la fonction x ln(+x) à l'ordre 3 au voisinage de 0 s'écrit : a) ln( + x) = + x x + x3 3 + ( x 3) b) ln( + x) = x x! + x3 3! + ( x 3) c) ln( + x) = x + x + x3 3 + ( x 3) d) ln( + x) = x x + x3 3 + ( x 3) Question 5 Le développement limité de la fonction u + u à l'ordre au voisinage de 0 sécrit : 5

6 a) b) + u = u + u 4 + ( u ) + u = + u 4 + u 8 + ( u ) c) d) + u = u 4 + u 8 + ( u ) + u = u 4 + ( u ) Question 6 Le développement limité de la fonction f 0 à l'ordre au voisinage de sécrit : a) f 0 (x) = x b) f 0 (x) = x c) f 0 (x) = x (x ) + ( (x ) ) + 5 (x ) + ( (x ) ) + 0x 9x ( x ) d) f 0 (x) = x + 5x + ( x ) Question 7 Pour tout entier n strictement positif, on a : a) x R +, f n (x) = f 0 (x) b) x R +, f n (x) = x n f (x) et le développement limité à l'ordre au voisinage de de la fonction x x n est alors c) x n n(n ) = + nx + x + ( x ) d) x n n(n ) = + n(x ) + (x ) + ( (x ) ) Question 8 Pour n N, le développement limité à l'ordre au voisinage de de f n est : a) f n (x) = n (x ) + 3n 9n + 5 (x ) + ( (x ) ) b) f n (x) = + n (x ) + 3n 9n + 5 (x ) + ( (x ) ) c) f n (x) = + n (x ) + 3n 9n + 5 (x ) + ( (x ) ) d) f n (x) = + n x + 3n 9n + 5 x + ( x ) Question 9 Pour que, pour n N, f n soit continue sur R +, il faut poser : a) k n = c) k n = b) k n = n d) k n = 6

7 GRILLE DE REPONSES Question a b c d e Question Question Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 0 Question Question Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 0 Question Question Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 7

8 GRILLE DE REPONSES Question a b c d e Commentaires Question Question Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 0 Question Question Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 0 Question Question Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 8