Licence L2 (2 eme annee) Mathematiques : Les nombres complexes de A a...z

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1 Licence L ( eme annee) Mathematiques Les nombres complexes de A a...z par J.-B. Hiriart-Urruty, Professeur de mathematiques 009 Objectifs { Consolider et approfondir les notions sur les nombres complexes (largement) abordees en classe de Terminale { Illustrer la variete des applications des nombres complexes (equations algebriques, trigonometrie, transformations du plan). Ce document, de niveau L, sera considere comme contenant les prerequis a l'utilisation des nombres complexes en L. Il sera utile a celles et ceux venant de L mais aussi aux entrant(e)s lateralement en L (venant d'i.u.t. ou de sections de B.T.S. par exemple). Quand on est dans C, les calculs sont plus complexes... (extrait d'une copie d'etudiant)

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3 Table des matieres Le corps des nombres complexes 5. Construction du corps C des nombres complexes Formes et representations d'un nombre complexe Forme algebrique (ou cartesienne) Representation par un vecteur et par un point (representation geometrique) Forme trigonometrique Forme exponentielle Conjugue d'un nombre complexe Proprietes du module d'un nombre complexe Racines n iemes d'un nombre complexe 0. Racines n iemes de z C, z 6= Racines n iemes de l'unite Applications a la trigonometrie 4 4 Applications a la geometrie plane. Transformations z 7! az + b et z 7! az + b 7 4. Transformation z 7! az + b Transformation de z 7! az + b Le theoreme fondamental de l'algebre 0 3

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5 Le corps des nombres complexes. Construction du corps C des nombres complexes L'ensemble R R muni des lois de composition internes { addition (a; b) + (a 0 ; b 0 ) = (a + a 0 ; b + b 0 ) { multiplication (a; b)(a 0 ; b 0 ) = (aa 0 bb 0 ; ab 0 + ba 0 ) a une structure de corps et est appele corps des nombres complexes ; il est toujours note par le graphisme C. En eet, on verie facilement que { l'addition est associative et commutative ; { (0; 0) est element neutre pour l'addition ; { tout element (a; b) a un symetrique pour l'addition, qui n'est autre que ( a; b). { la multiplication est associative et commutative ; { la multiplication est distributive par rapport a l'addition ; 9 >= >; 9 >= >; C muni de la loi addition est un groupe commutatif. resulte des proprietes analogues de la multiplication dans R { (; 0) est element neutre pour la multiplication (a; b)(; 0) = (; 0)(a; b) = (a; b) pour tout (a; b) R R. { tout element (a; b) 6= (0; 0) a un symetrique pour la multiplication, qui est a b ; a +b a +b (a; b) a a + b ; b = a + b a a + b ; b (a; b) = (; 0) a + b Traditionnellement, on utilise, plut^ot que (a; b), la notation a + ib. Comment cela? Soit z = (a; b) C (deni ci-dessus). On a (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (0; )(b; 0) On voit ainsi appara^tre systematiquement { le nombre complexe tres particulier i = (0; ), pour lequel on constate que i = ( ; 0) ; { des nombres complexes de la forme (x; 0), ou x R. Il est possible d'identier R au sous-ensemble f(x; 0) j x Rg de C par l'application d'identication x 7! (x; 0). Desormais, on ecrira a + ib pour l'element (a; b) de C auquel on se referait. On negligera egalement le symbole. de la multiplication. A l'aide de ce codage et des proprietes de i (i = ), on manipule l'addition et la multiplication de nombres complexes comme dans le cas des nombres reels (a + ib) = a + i( b) ; si a + ib 6= 0, a+ib = a b + i a +b a +b ; (a + ib)(a 0 + ib 0 ) = (aa 0 bb 0 ) + i(ab 0 + ba 0 ). 5

6 Remarques { Ce qui a ete propose ci-dessus n'est qu'une construction (de mathematicien) de C, il y en a bien d'autres. L'important est que l'objet mathematique obtenu puisse ^etre identie a celui decrit ici. { La notation i = p est a eviter! Elle ne prendrait de sens que si on avait donne un sens a p z; z C, ce qui n'a pas ete fait. { En Electricite on utilise parfois (pour i) la notation j (car i est reserve a l'intensite du courant).. Formes et representations d'un nombre complexe.. Forme algebrique (ou cartesienne) C'est celle que l'on vient de voir z = a + ib, ou a et b sont reels ; { a est la partie reelle de z et on la note Re z, { b est la partie imaginaire de z et on la note Im z. z C est dit imaginaire pur lorsque Re z = 0. L'element 0 est le seul qui puisse revendiquer le statut de reel et celui d'imaginaire pur... Representation par un vecteur et par un point (representation geometrique) On appelle plan complexe P un plan muni d'un repere orthonorme direct (O; ~e ; ~e ). Soit V l'ensemble des vecteurs (correspondant aux points) du plan P, rapporte a la base orthonormee directe ( ~e ; ~e ). Le nombre complexe z = a + ib est represente par le vecteur ~v (de V ) de coordonnees (a; b) ; l'application de representation est (a + ib) C 7! ~v = a~e + b~e V On dit que a + ib est l'axe de ~v. Le nombre complexe z = a + ib est aussi represente par le point M (de P) de coordonnees (a; b) ; l'application de representation est (a + ib) C 7! M P, de coordonnees (a; b) On dit encore que a + ib est l'axe de M. M est l'image (ponctuelle) de z. 6

7 M P! OM = ~v V ~e M(a; b) z = a + ib C O ~e Figure {..3 Forme trigonometrique Soit z = a + ib C. Le nombre a + b est un reel positif ; le module de z, note OM si M est l'image de z). Soit z = a + ib C, z 6= 0. L'argument de z est la classe modulo des reels veriant cos = jzj a et sin = jzj b. On note arg z l'un quelconque des elements de cette classe. Par exemple, jzj, est le reel positif jzj = p a + b (c'est la longueur du vecteur! arg(z z ) = arg z + arg z, modulo Dans la Figure! ci-dessus, un argument de z est une mesure de l'angle des vecteurs ~e et OM. z = jzj(cos + i sin ) est la forme trigonometrique de z C, z 6= 0. Pour z = 0, on notera que jzj = 0 et que est indierent...4 Forme exponentielle On sait (car vu en Terminale) ce qu'est le reel e x lorsque x est un nombre reel. Comment pourrait-on denir e z (l'exponentielle du nombre complexe z) de maniere { a preserver la denition de e x lorsque z se trouve ^etre un reel x ; { a avoir les m^emes proprietes que l'exponentiation des reels? Pour des raisons qui appara^tront plus nettement (a l'etudiant-lecteur) plus tard dans son cheminement scientique, la meilleure facon de repondre aux questions posees au-dessus est de denir e ib, b R, comme etant cos b + i sin b. Ensuite, puisqu'on veut preserver la regle e z+z0 = e z e z0, on est conduit a poser e a+ib = e a e ib = e a (cos b + i sin b) On note e z ou exp z l'exponentielle du nombre complexe z. Desormais, toutes les fonctions trigonometriques cos, sin et exponentielles se melangeront au travers de l'exponentiation complexe (z 7! e z ). 7

8 Quelques consequences immediates e i =, la tres belle formule d'euler rassemblant, i, e et dans une seule formule. Si z = a + ib, e z a pour module e a, de sorte que e z n'est jamais nul. On sait que l'exponentiation envoie R sur R + =]0; +[. Qu'en est-il (pour l'exponentiation complexe) de l'ensemble ir = fib j b Rg des imaginaires purs? En fait je ib j = pour tout b R ; si jzj =, il existe b reel (et m^eme plusieurs) tels que e ib = z. Donc l'image par l'application exp de ir est l'ensemble des nombres complexes de module. Cet ensemble est traditionnellement note U, U = fz C j jzj = g et appele le cercle-unite de C. i O ir R U ]0; +[ fe z z 6= 0! Figure { Schematisation de z 7! e z j z Cg = Cnf0g. Mais attention, on n'a pas parle de logarithme de Si z et z 0 sont des nombres complexes, e z+z0 = e z e z0. Mais attention, on n'utilise pas ici d'expressions comme z z0! Si z 6= 0, il existe a et reels tels que z = e a+ib (e a est le module de z, b un argument de z) z = jzje i arg z z = re i C'est ce qu'on appelle la forme exponentielle de z. Exercices { Montrer que e iz z = si et seulement si est un entier relatif. { Montrer que e z = e z si et seulement si z z est un entier relatif. { Soit z 6= 0. Comment trouver les Z C tels que e Z = z? 8

9 { Prendre une courbe de C de la forme ft + if(t) j t [a; b]g ou f [a; b]! R est une fonction pas trop compliquee, et dessiner l'image de par l'operation d'exponentiation, c'est-a-dire fe t e j if(t t [a; b]g. C a peut ^etre rapidement complique... La transformation z 7! e z est certainement une des plus importantes, sinon la plus importante, sur les nombres complexes..3 Conjugue d'un nombre complexe Si z est le nombre complexe a + ib, le conjugue de z est le nombre complexe a ib ; on le note z. Pour la forme algebrique de z, on a Re z = Re z et Im z = Im z. Concernant la representation geometrique de z, il est clair que le point M du plan complexe representant (ou image de) z est le symetrique par rapport a l'axe des reels du point M representant z. Enn, pour ce qui est de la forme exponentielle, notons que si z = e a+ib, le conjugue de z n'est autre que e a ib. Quelques proprietes immediates Re z = (z + z) ; Im z = (z z) [attention ici de ne pas oublier le i au i denominateur!]. (z) = z [en faisant deux fois l'operation de conjugaison, on retombe sur nos pieds]. (z + z ) = z + z ; z z = z z (e z ) = e z [deja vu mais fort important]..4 Proprietes du module d'un nombre complexe Rappelons que si z = a + ib, le module de z est jzj = p a + b. Autrement dit jzj = zz ; ceci facilite grandement la demonstration des proprietes de z 7! jzj. En voici quelques-unes jzj = 0 equivaut a z = 0. jzj = jzj ; jim zj jzj ; jre zj jzj. En eet, de a a + b (par exemple) on tire jaj p a + b. jz z j = jz jjz j. Observons pour cela que jz z j = (z z )(z z ) = z z z z = (z z )(z z ) = jz j jz j jz + z j jz j + jz j (inegalite dite triangulaire). Pour voir cela, developpons jz + z j (et non (z + z )!). On a jz + z j = (z + z )(z + z ) = z z + z z + z z + z z 9

10 Puisque z z est le conjugue de z z, on a z z + z z = Re (z z ) (ou encore Re (z z )). Par suite, d'ou Si z 6= 0, z = Re (z z ) jre (z z )j jz z j = jz z j = jz jjz j, jz + z j = jz j + Re (z z ) + jz j jz j + jz jjz j + jz j = (jz j + jz j) z jzj. En particulier, si z U, il en est de m^eme de z. A retenir { le developpement jz +z j = jz j +Re (z z )+jz j (= jz j +Re (z z )+jz j ), qu'il ne faut pas confondre avec { les proprietes 8 >< > (z + z ) = z + z z + z jzj = 0 equivaut a z = 0 ; jz z j = jz jjz j ; jz + z j jz j + jz j qui generalisent les proprietes de la valeur absolue jj sur R et qui font dire que jj est une norme sur C. On denit a partir de jj la distance entre deux nombres complexes comme suit distance de z a z = jz z j (module de z z ) Cela correspond bien a la distance euclidienne (usuelle) entre les deux points images de z et z dans le plan complexe. Racines n iemes d'un nombre complexe. Racines n iemes de z C, z 6= 0 Soit z un nombre complexe non nul et n un entier naturel. On appelle racine n ieme de z tout nombre complexe Z tel que Z n = z. Mais y en a-t-il? Si oui, combien? Theoreme... Tout nombre complexe z 6= 0 admet n racines n iemes (distinctes). Demonstration Tenter de trouver Z sous forme algebrique, c'est-a-dire Z = X + iy, tel que (X + iy ) n = a + ib (= z) donne lieu a des equations et calculs absolument inextricables (a l'exception de n = ou on peut mener les calculs jusqu'au bout). Il faut donc proceder autrement. 0

11 Considerons z mis sous forme exponentielle z = re i ; on cherche les Z egalement mis sous forme exponentielle Z = e i. L'equation (a resoudre) Z n = z se traduit ainsi par e i n = re i, soit n e in = re i. En clair L'egalite des modules donne n = r, d'ou = n ieme de r ; np r (ou r =n ), c'est la racine L'egalite e in = e i donne n = + k (ou k Z) ; il en sort = n + k n (k Z). On a ainsi n valeurs distinctes 0 = n, = n + n,..., n = n + (n ) n ; ensuite on aura 0 +, +,..., n +, qui donneront les m^emes e i que precedemment. En somme, on a mis en evidence n racines n iemes distinctes de z qui sont Z k = np re i( n + k n ), k = 0; ; ; n Il faut bien observer l'expression des Z k ils sont tous de m^eme module, et en passant de Z k a Z k+ on decale l'argument de. Si on avait poursuivi l'ecriture de n Z n, Z n+, etc. on aurait constate que l'on retombait sur Z 0, Z, etc. Exemple Soit z =. Les n racines n iemes de sont e ik=n, k = 0; ; ; n. Si on pose! = e i=n (= cos n + i sin n ), ces n racines niemes s'ecrivent,!,!,...,! n. Bien s^ur, fait toujours partie des racines n iemes de. n = 3! n = 4!! n = 5!!!! 3! 3! 4 Le cas particulier de n = Comme cela a ete anonce plus haut, c'est le seul cas ou les formes algebriques peuvent ^etre utilisees en etant s^ur de pouvoir mener les calculs jusqu'au bout. Soit donc z = a + ib 6= 0 et voyons ce que donne l'equation (en X et Y ) (X + iy ) = a + ib () En developpant (X + iy ), on voit aisement que () est equivalent a X Y = a XY = b (') Ceci doit permettre de determiner X et Y... sauf qu'il s'agit d'un systeme de equations a inconnues qui n'est pas lineaire... too bad! Nous allons donc ajouter

12 un ingredient qui va faciliter la resolution eective de ('). Comme on doit avoir jx + iy j = jzj = jzj (car z = Z, d'accord?), une relation supplementaire entre X et Y appara^t, a savoir X + Y = p a + b () En fait, la relation () est cachee dans (')... En eet, (X Y ) + (XY ) = X 4 + Y 4 + X Y = (X + Y ) ce qui fait que (') implique (). Mais, dans la pratique, il ne faut pas craindre la surabondance d'information, il est donc recommande de remplaer (') par 8 < X Y = a X + Y = p a + b XY = b a + p a + b, quan- Les deux premieres equations de (") conduisent a X = tite qui est 0, et nulle exactement lorsque a < 0 et b = 0. On obtient ainsi X puis, gr^ace a la 3 eme equation de (") (ou accessoirement la ere ), on deduit sans ambigute Y. Dans tous les cas de gure, z = a + ib 6= 0 admet racines carrees (plut^ot que racines emes ) opposees (distinctes). (") Exemple. Determinons les racines carrees de 4 3i. Le systeme (") devient dans ce cas 8 < X Y = 4 X + Y = 5 XY = 3 (3) De la ere et eme equation de (3), on tire X = 9, d'ou X = 3p ou 3p. Par p suite, la 3 eme equation de (3) conduit a Y = 3 X, soit Y = p Y = (pour X = 3p ). Les deux racines carrees de 4 3i sont donc p p (3 i) et (3 i) Veriez si vous n'^etes pas convaincu! (pour X = 3p ) et Exemple. Determinons les racines carrees de 9. Certes, nous savons que nous allons trouver 3i et 3i... Le systeme (") s'ecrit pour cet exemple 8 < X Y = 9 X + Y = 9 XY = 0 Les ere et eme equations conduisent a X = 0, soit X = 0. Ici, la 3 eme equation est inoperante... mais la ere conduit a Y = 9, soit Y = 3 et Y = 3. Les deux racines carrees de 9 sont bien 3i et 3i. (4)

13 C'est precisement le calcul de racines carrees qui nous servira dans ce qui suit, a savoir la resolution d'une equation du second degre. Exemple d'utilisation la resolution d'une equation du second degre. On cherche les solutions de l'equation az + bz + c = 0, ou les coecients a, b et c sont des reels ou des complexes (a 6= 0). Comme dans le cas reel (en classe de Seconde), on factorise sous la forme z + b a b 4ac 4a = 0, soit z + b = b 4ac a 4a Soit C une racine carree de b 4ac (qui peut ^etre complexe) ; ainsi et sont les deux racines carrees ( racines iemes ) de. Les solutions de l'equation du second degre introduite au-dessus sont z = b + a et z = b a Considerons le cas particulier ou a, b et c sont des reels et ou = b 4ac < 0. Les racines carrees de sont i p et i p (deux imaginaires purs donc). Les solutions (complexes) de az + bz + c = 0 sont z = b + ip a Observons qu'ici z n'est autre que z. et z = b ip a. Racines n iemes de l'unite Ceci est un prolongement de l'exercice de la page. Considerons z =, c'est-a-dire z = e i0. Les n racines n iemes complexes distincts suivants de sont les n ; e i n ; e i 4 n ; ; e i k (n ) n ; ; e i n Ils appartiennent tous au cercle-unite U et C. Leurs images M 0, M,..., M n sont les sommets d'un polygone convexe regulier a n sommets. Lorsque n est pair, et - font toujours partie de la liste des n racines n iemes de. Quand n >, ce sont les deux seuls reels, les autres racines ayant une partie imaginaire non nulle. Lorsque n est impair, est la seule racine n ieme relle de. Dans le cas particulier de n = 3, il arrive que l'on note j = e i 3. Les racines 3 iemes de sont, j et j. D'ailleurs, j = j et + j + j = 0. Dans le cas ou n = 4, les quatre racines 4 emes de sont, -, i et i ; leur somme est nulle. Plus generalement, designons par! la brique de base e i n ; elle sert a construire toutes les racines n iemes de ;!;! ; ;! k ; ;! n 3

14 M M M 3 M n = 8 M 4-0 M 0 n = 3 0 M 0 M 5 M 7 M 6 M Figure 3 { Proposition... La somme des n racines n iemes de l'unite fait toujours 0 +! +! + +! k + +! n = 0 Demonstration. Le resultat se lit sur un dessin comme en Figure 3!! OM 0 + OM +!! + OM n = 0 Pour le demontrer, posons S = +! + +! n. On va provoquer un decalage en multipliant S par! (comme au rugby lorsque l'arriere s'intercale dans la ligne de trois-quarts)!s =! +! + +! n ; d'ou S!S =! n ( telescopage de presque tous les termes) Comme! 6= (car n ), on en deduit S =!n!. Or! n =, d'ou S = 0. 3 Applications a la trigonometrie Les fonctions trigonometriques, les exponentielles, les nombres complexes... tout ca se melange harmonieusement. Les formules a conna^tre pour les applications a la trigonometrie sont les suivantes Formules d'euler. Sachant que e i = cos + i sin ( R), on a cos = ei + e i partie relle de e i sin = i e i e i partie imaginaire de e i attention de ne pas oublier le i ici! 4

15 Formule de Moivre. Si n est un entier naturel, soit e i n = cos(n ) + i sin(n ); (cos + i sin ) n = cos(n ) + i sin(n ) Voici une histoire qui court chez les mathematiciens. Abraham de Moivre ( ) se contentait de six heures de sommeil. Cependant, a quatre-vingtsept ans passes, il decida de dormir un quart d'heure de plus chaque nuit. Quand les vingt-quatre heures furent atteintes, il ne se reveilla plus, il etait mort! Formule du bin^ome de Newton. Si u et v sont des nombres complexes et n un entier naturel, (u + v) n = u n + C n uvn + + C k n uk v n k + + C n n u n v + v n ou C k n = n! k!(n k)! note aussi n k Observer bien la symetrie dans le developpement C k n uk v n k et C n k n u n k v k ces coecients sont les m^emes Exemple (connu depuis les classes de College) (u + v) 3 = u 3 + 3u v + 3uv + v 3 On utilise les nombres complexes pour simplier des expressions trigonometriques. Premiere illustration. On voudrait lineariser des expressions contenant cos n x et sin m x. On sait combien cela est utile pour calculer des primitives ou integrer des fonctions contenant ces expressions. Par exemple, linearisons P (x) = cos x sin 3 x, x R. 5

16 En utilisant les formules d'euler, on a e ix + e ix e ix e ix 3 P (x) = i = e ix + e ix e ix e ix e ix e ix = 5 i = 5 i i e ix e ix e ix e ix e 5ix e 3ix e ix + e ix + e 3ix e 5ix = e 5ix e 5ix e3ix e 3ix eix e ix 4 i i i = (sin 5x sin 3x sin x) 6 i [de maniere a economiser les calculs] [apres developpement du produit] [on procede aux regroupements] C'est quand m^eme plus sympathique que l'expression de depart de P (x)! Il n'y a plus dans cette nouvelle expression de P (x) de puissances de cos x ou sin x, d'ou le vocable de linearisation. Une deuxieme illustration. On voudrait reduire (comme en cuisine) des expressions trigonometriques. Par exemple, reduisons en des expressions plus simples C n (x) = cos x + cos(x + ) + + cos(x + n); S n (x) = sin x + sin(x + ) + + sin(x + n); ou x R et n'est pas un multiple de. Considerons Z n (x) = C n (x) + is n (x). De cette maniere Z n (x) = e ix + e i(x+) + + e i(x+n) = e ix + e i + + e in = e ix ei(n+) e i ( n'etant pas un multiple de, on est assure que e i 6= ). On en deduit, en prenant les parties reelles et parties imaginaires des deux nombres C n (x) = cos x + n sin (n+) sin ; S n (x) = sin x + n (n+) sin sin Remarque. On retiendra de cette maniere de faire la regle d'or suivante sinus et cosinus vont toujours ensemble. Des que sinus appara^t (en integration, equations dierentielles, etc.), se poser la question de ce que ferait cosinus et s'il peut aider (co-sinus signie bien qui va avec sinus ). La raison en est que cos x et sin x sont les deux enfants de e ix... 6

17 Exercice. Soit R. Montrer que + e i = cos ei Rep. L'astuce ici (et a retenir!) consiste a ecrire = e i e i et e i = e i e i. Par suite + e i = e i e i + e i = e i cos Exercice Exprimer tan et fonction de e i. Simplier des expressions comme e i(a+b) + e i(a b) ; e i(a+b) e i(a b) (a; b reels) ; re i Rep. tan = sin iei cos = e i + e i(a+b) + e i(a b) = cos b e ia, e i(a+b) e i(a b) = i sin b e ia re i = + r r cos = ( r) + 4r sin 4 Applications a la geometrie plane. Transformations z 7! az + b et z 7! az + b a et b sont deux nombres complexes, a 6= Transformation z 7! az + b Designons par S a;b l'application de C dans C qui a z fait correspondre S a;b (z) = az + b. Proprietes de S a;b S a;b est une bijection de C sur C, c'est-a-dire tout z 0 C admet pour S a;b un antecedent et un seul z ; cet antecedent est d'ailleurs facile a determiner,. z = a (z0 b). On en deduit que (S a;b ) = S a ; b a Elements invariants par S a;b { Si a = et b 6= 0, il n'y a aucun element z de C tel que S a;b (z) = z. { Si a 6=, il y a un et un seul element z 0 tel que S a;b (z 0 ) = z 0, c'est z 0 = b a. 7

18 Interpretation geometrique dans le plan complexe. Designons par f a;b l'application du plan complexe P dans lui-m^eme qui au point M d'axe z fait correspondre le point M 0 d'axe z 0 = S a;b (z). Que peut-on dire de f a;b? { Si a = et b 6= 0, f ;b est la translation de vecteur ~v d'axe b. { Si a 6= mais de module, z 0 = az + b s'ecrit encore z 0 z 0 = a(z z 0 ) ici z 0 est le point invariant unique, z 0 = b a Si est le point d'axe z 0, on a M = M 0! \!, ( M; M 0 ) = arg a (modulo ) f a;b est ainsi la rotation de centre et d'angle arg a. { Si a 6= mais pas de module, z 0 z 0 = a(z z 0 ), de sorte que M 0! \! = jajm, ( M; M 0 ) = arg a (modulo ) f a;b est la similitude directe de centre, de rapport jaj et d'angle arg a. Contempler les trois gures ci-dessous M 0 M 0! e M M M 0! e (z 0 ) M 0! e 0! e! e a = ; z 0 = z + b! MM 0 = ~v; b axe de ~v M (z ) (z 0 ) M 0 (z 0 ) M(z) M (z ) jaj = ; soit a = e i ; = arg a (modulo ) z 0 z 0 = e i (z z 0 ) jaj = r, = arg a (modulo ) z 0 z 0 = re i (z z 0 ), que l'on peut decomposer de deux facons z z 0 = r(z z 0 ) puis z 0 z 0 = e i (z z 0 ) [homothetie suivie d'une rotation] 0! e ou bien z z 0 = e i (z z 0 ) puis z 0 z 0 = r(z z 0 ) [rotation suivie d'une homothetie] Figure 4 { 8

19 4. Transformation de z 7! az + b. Designons par A a;b l'application de C dans C qui a z fait correspondre A a;b (z) = az + b. Proprietes de A a;b A a;b est une bijection de C sur C l'antecedent de z 0 C pour A a;b est z = a ( z 0 b). On en deduit que (A a;b ) = A a ; b a Elements invariants par A a;b [resultats a demontrer sous forme d'exercices] { Si jaj 6=, z 0 = a b+b jaj est un element de C invariant par A a;b et c'est le seul. { Si jaj = et a b + b 6= 0, il n'y a pas d'element de C invariant par A a;b. { Si jaj = et a b + b = 0, on a necessairement a = b b = a et b a = b, de sorte que (A a;b ) = A a;b. Les invariants pour A a;b sont les z C de la forme z = b + r, r R, lorsque a = (auquel cas b est un imaginaire pur) ; z = b + ir, r R, lorsque a = (auquel cas b est un reel) ; z = b + t( + i( )), t R, lorsque a = + i 6=.. Interpretation geometrique dans le plan complexe. Designons par g a;b l'application du plan complexe dans lui-m^eme qui au point M d'axe z fait correspondre le point M 0 d'axe z 0 = A a;b (z). Quelle est cette transformation g a;b du plan? Etant donne M (z ) et M (z ), soit M 0(z0 ) et M0(z0 ) leurs images respectives par g a;b. De la relation z 0 z 0 = a(z z ) = a(z z ), on deduit M 0M0 = jajm M. Alors { Si jaj 6=, g a;b est une similitude indirecte, composee (commutative) de l'homothetie de centre I(z 0 ) (z 0 = a b+b jaj unique element invariant) et de rapport jaj, avec une symetrie orthogonale par rapport a une droite passant par I. { Si jaj = et a b + b 6= 0, g a;b est une isometrie sans point invariant. C'est la composee (commutative) d'une symetrie orthogonale par rapport a une droite et d'une translation dont le vecteur dirige l'axe de symetrie. { Si jaj = et a b + b = 0, g a;b est une isometrie avec une droite de points invariants. C'est la symetrie orthogonale par rapport a cette droite. Les transformations geometriques du plan complexe, notamment les plus simples (celles du 4.), font les delices de ceux qui font des sujets de Baccalaureat. 9

20 5 Le theoreme fondamental de l'algebre Soit P (z) = a n z n +a n z n + +a k z k + +a z +a 0 une fonction polynomiale de z C, ou les coecients a n ; ; a 0 (il y en a n + ) sont complexes. On suppose a n 6= 0 (sinon on l'aurait fait disparaitre). L'entier n s'appelle le degre de P. Racines de P On dit que r C est racine (on dit aussi zero) d'ordre m de P si P (z) peut ^etre factorise sous la forme P (z) = (z r) m Q(z); ou Q est egalement polynomial (de degre n m) avec Q(r) 6= 0. Si r est racine d'ordre m de P, alors r est racine d'ordre m de P 0 (derivee de P ). Factorisation P (z) peut ^etre factorise en (z r)q(z) avec Q polynomial si, et seulement si, P (r) = 0. P (z) peut ^etre factorise en (z r) m Q(z) avec Q polynomial si, et seulement si, P (r) = 0, P 0 (r) = 0,..., P (m ) (r) = 0 (P (k) designe la derivee k-eme de P ). Theoreme fondamental (de C plut^ot que de l'algebre), appele aussi Theoreme de D'Alembert-Gauss. P polynomial (mais non constant) admet au moins une racine ; c'est-a-dire il existe r C tel que P (r) = 0. Il existe une multitude de demonstrations de ce theoreme, un site web leur est m^eme consacre ; ca depend de ce qu'on suppose connu... comme souvent dans une demonstration mathematique. Nous proposons des produits locaux une demonstration utilisant les connaissances d'analyse (reelle) du L (et un peu de L) J.-B. Hiriart-Urruty, Le theoreme fondamental de l'algebre. Une demonstration par le calcul dierentiel et l'optimisation. Bulletin de l'apmep, 466, p (publiee en 006). Avec les resultats de factorisation, le theoreme est complete en P (z) = a n (z r ) m (z r ) m (z r k ) m k ; l'entier m i designant l'ordre (ou la multiplicite) de la racine r i. Bien s^ur, m + m + + m k = n Cas particulier ou les coecients a i sont reels. Dans ce cas, si r C est racine de P d'ordre m, il en est de m^eme de r (facile a voir puisque P (z) = P (z). Il y a donc deux types de racines de P { les racines reelles (if any!) ; il y en a certainement si n est impair ; { les racines complexes qui vont deux par deux r et r, r et r, etc. 0

21 Relations entre racines et coecients. Soit P (z) = a n z n + a n z n + + a z + a 0 = a n z n + a n z n + a n + a z + a 0 a {z n } partie factorisee en (z r )(z r ) (z r n ) a n [on fait appara^tre toutes les racines une racine double deux fois, une racine d'ordre m m fois.] Il y a des relations entre les racines r i et les coecients a i de P. Commencons par rappeler ce que l'on sait faire (depuis la Seconde), c'est-a-dire le cas des trinomes du second degre. Si P (z) = az + bz + c = a z + b a z + c a a pour racines r et r, on a r + r = b a ; r r = c a De maniere generale, on a r + r + + r n = a n a n (somme des racines) ; [k = ] r r + r r r r 3 + r r r n r n = a n (produits de deux racines, en bref X i<j r i r j ) a n ; [k = ]. X r i r i r ik = ( ) k a n k ; [k] a n i <i < <i k n (produits de k racines) r r r n = ( ) n a 0 a n Attention a l'alternance de signes! La premiere et la derniere formules sont les plus importantes. Exemple (n = 3). Soit P (z) = z 3 + z + z +, de racines r, r et r 3. Alors z 3 + z + z + = (z r )(z r )(z r 3 ).. [n] se traduit en r + r + r 3 = r r + r r 3 + r r 3 = r r r 3 =

22 Quelques exercices Resoudre + ix ix n = e i, x R., k = 0; ; ; n n, ou k = + k Si (a; b) C C est tel que ab 6=, on pose c = a b ab. Montrer (jcj = ), (jaj = ) ou (jbj = ). k Rep. xk = tan Rep. (jcj = ), (c c = ), (a b)(a b) = ( ab)( a b), (( jaj )( jbj ) = 0) Resoudre l'equation (z + ) n = cos(na) + i sin(na), ou a R, n N et z C. En deduire une expression simple de lorsque sin a 6= 0. P n (a) = n Y k= sin a + k n Rep. zk = ie i(a+ k n ) ; k = 0; ; ; n Le produit des racines vaut ( ) n ( e ina ), d'ou Pn(a) = sin(na) n sin a. Calculer la somme S = nx k=0 cos(k) lorsque cos 6= 0. (cos ) k Rep. En utilisant une suite geometrique de raison ei cos, on arrive a S = cos n+ + ) sin(n sin Soit n un entier et z n = e i n. Calculer ( z n )( zn ) ( zn n ). Rep. n Soit n N et RnZ. Montrer que nx k= sin(k ) = sin n (n+) sin sin ; nx k= cos(k ) = sin n (n+) cos sin

23 Indic. Utiliser sin(k ) = eik e ik i = (ei ) k (e i ) k i Soit n un entier impair et soit R. Montrer n cos n = X n k=0 n cos(n k) k Indic. Utiliser cos n = e i + e i n. Soit n = p un entier pair. Montrer px p cos(p x) = ( ) n k cos k x sin (p k) x k k=0 Indic. Penser a utiliser la formule de Moivre. Verier que le cercle-unite U muni de la loi multiplication est un groupe. M^eme question pour l'ensemble U n = f;!; ;! g n des racines de l'unite. Soit P = fz C j Im z > 0g (appele demi-plan de Poincare) et D = fz C j jzj < g (appele disque-unite de C). Montrer que l'application z 7! z i est une bijection de P sur D. Soit a; c R et b C. Qu'est-ce que fz C j azz + bz + bz + c = 0g? z + i Rep. L'ensemble vide ou un cercle. On considere l'application z C 7! f(z) = z C. Que deviennent avec cette transformation les cercles de rayon r 0? les droites d'equation polaire = 0? les droites d'equation x = c? les droites d'equation y = k? Ce type de tranformation est utilise en Informatique graphique. 3

24 Rep. Un cercle d'equation r = r 0 devient un cercle d'equation r = r 0 v ; une droite d'equation = 0 devient une droite d'equation = 0. La gure ci-contre montre que la region f jzj 3 et 6 3g est transformee en la region f jwj 9 et g y z 7! w = z x u La droite d'equation x = c est transformee en parabole d'equation v = 4c (c u) ; la droite d'equation y = k est transformee en parabole d'equation v = 4k (k + u). v u