1 Théorème de Thalès Utilisation Premier exemple de rédaction Second exemple de rédaction... 7

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1 Sommaire 1 Théorème de Thalès Utilisation Premier exemple de rédaction Second exemple de rédaction Réciproque du théorème de Thalès Premier exemple de rédaction Second exemple de rédaction

2 Chapitre 1 Théorème de Thalès. 1.1 Utilisation. Le but de ce théorème est de calculer une longueur. Les conditions de son utilisation, c est d avoir une configuration géométrique dans laquelle il y a deux droites sécantes et deux droites parallèles. Comme dans ces deux configurations de figure : Figure 1.1 première configuration 2

3 ou. Figure 1.2 seconde configuration 3

4 En pratique pour déterminer les rapports de longueurs à partir d une figure, on commence par repèrer le point d intersection des deux sécantes. Dans les figures suivantes, c est le point A Ensuite, chaque rapport est composé de deux longueurs qui sont sur la même sécante. AB, rapport de longueurs sur la sécante (AD) AD AC, rapport de longueurs sur la sécante (AE) AE d ou la formule : AB AD = AC AE = BC DE Figure 1.3 première configuration 4

5 Figure 1.4 seconde configuration 1.2 Premier exemple de rédaction. Dans la figure suivante, sachant que les droites (BC) et (DE) sont parallèles, calculer DE. 5

6 On sait que dans AEF, (BC)//(DE), que Cɛ(AE) et que Bɛ(AD) D après le théorème de Thalès AC AE = AB AD = BC DE 6 10 = AB AD = 4, 5 DE 6 10 = 4, 5 DE Conditions d utilisation nom de la propriété égalité du théorème on remplace les longueurs on ne garde qu une partie de l égalité DE = 10 4, 5 6 Donc DE = 7, 5cm la conclusion 6

7 1.3 Second exemple de rédaction. Dans la figure ci-dessous, les droites (CD) et (EF) sont parallèles. Calculer AF. On sait que dans AFE, (CD)//(EF ), que Cɛ(AE) et que Dɛ(AF ) D après le théorème de Thalès AF AD = AE AC = EF CD AF 4, 5 = 6 4 = 1, 8 CD AF 4, 5 = 6 4 Conditions d utilisation nom de la propriété égalité du théorème on remplace les longueurs on ne garde qu une partie de l égalité AF = 6 4, 5 4 Donc AF = 6, 75cm la conclusion 7

8 Chapitre 2 Réciproque du théorème de Thalès. Le but de cette réciproque est de prouver que deux droites sont parallèles. Les conditions pour pouvoir utiliser cette propriété réciproque sont les suivantes : Avoir une égalité de deux quotients de longueurs. Il faut avoir des points alignés dans le même ordre dans une des deux configurations géométriques suivantes : Figure 2.1 première configuration 8

9 ou Figure 2.2 seconde configuration 9

10 2.1 Premier exemple de rédaction. En utilisant les mesures de la figure suivante, démontrer que les droites (TS) et (NR) sont parallèles. On sait que dans MNR, les points R, M et T sont alignés dans le même ordre que les points N, M et S Conditions d utilisation or MN MS = 2, 4 = 0, 6 on effectue le calcul 4 et MR MT = 3 5 = 0, 6 Donc MN MS = MR MT Donc d après la réciproque du théorème de Thalès (T S)//(N R) puis celui-ci à partir des deux lignes précédentes la réciproque 10

11 2.2 Second exemple de rédaction. En utilisant les mesures de la figure suivante, démontrer que les droites (TS) et (NR) ne sont pas parallèles. On sait que dans MNR, les points R, M et T sont alignés dans le même ordre que les points N, M et S or MS MM = 6 4 = 1, 5 Conditions d utilisation on effectue le calcul et MT MR = 5 1, 43 puis celui-ci 3, 5 Donc MT MR MS MM Donc les conditions de la réciproque du théorème Thalès ne sont pas vérifiées les droites (TS) et (NR) ne sont pas parallèles. à partir des deux lignes précédentes On conclue 11