Correction du «Brevet Blanc» de mathématiques Lundi 26 mars 2012

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1 orrection du «revet lanc» de athéatiques Lundi 26 ars 2012 TIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse pari les trois proposées. ucune justification n'est deandée Le nobre décial 0,246 s'écrit aussi :. Quand x = 2, l'expression 2 x 2 5 x + est égale à : 4. L'expression réduite de 2 x (5 x ) est : est égal à : Un randonneur parcourt 5 k en 1h 15 in. Sa vitesse oyenne est : 2 8 2,46 x ,6 x ,46 x x - x + 7 x + 4 k/h 4, k/h 5,75 k/h Explications : = = = = = On peut regarder les trois réponses proposées et les transforer en écriture déciale : 2, =0,246 ; 24, =246 ; 2, =24,6 La réponse est donc 0,246=2, Si x= 2, alors 2 x 2 5 x+=2 ( 2) 2 5 ( 2)+=2 4 ( 10)+=8+10+=21 4. On réduit l'expression 2 x (5 x ) = 2 x 5 x + = x + 5. On peut utiliser un tableau de proportionnalité : On transfore 1 h 15 in = 75 in k 5? in insi, la vitesse en 1 heure se trouve en faisant Exercice 2 On considère le prograe de calcul ci-dessous : = =4 Prograe de calcul : hoisir un nobre de départ. jouter 1. alculer le carré du résultat obtenu Lui soustraire le carré du nobre de départ. Écrire le résultat final 1. a) Vérifier que lorsque le nobre de départ est 1, on obtient au résultat final. b) Lorsque le nobre de départ est 2, quel résultat final obtient-on? 1 8 PGE 1 sur 9

2 c) Le nobre de départ étant x, exprier le résultat final en fonction de x. hoisir un nobre de départ 1 2 x jouter = = x + 1 alculer le carré du résultat obtenu Lui soustraire le carré du nobre de départ 2² = 4 ² = 9 (x + 1)² 4-1² = 9 2² = 5 (x + 1)² - x² Écrire le résultat final 5 (x+1)²-x² 2. On considère l'expression P = (x + 1) 2 x 2. Développer, puis réduire l'expression P. P = (x + 1) 2 x 2 P = (x² + 2 x + 1 ) x² P = x² + 2 x + 1 x² P = 2 x + 1. Quel nobre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15? Le résultat final est donc (x + 1) 2 x 2 = 2 x+1. On cherche donc un nobre x tel que 2x+1=15 Donc 2 x = 15 1 Donc 2 x = 14 Donc 2 x / 2 = 14 / 2 Donc x = 7 On doit choisir 7 au départ pour obtenir 15 coe résultat final. Exercice Écrire tous les calculs perettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, êe incoplète, sera prise en copte dans l'évaluation. La ville copte voitures et la ville copte voitures. Les diagraes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les villes et. On deande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu : «On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville que dans la ville.» -t-il raison? PGE 2 sur 9

3 La ville copte voitures dont 25% de voitures blanches. 25 Elle coporte donc =15000 voitures blanches. La ville copte voitures dont 60% de voitures blanches. 60 Elle coporte donc =10800 voitures blanches. L'élève a donc tort. Il y a un plus grand pourcentage de voitures blanches dans la ville, ais en nobre de voitures, il y a oins de voitures blanches dans la ville que dans la ville. TIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points) Exercice 1 Un cycliste se trouve sur un chein []. On donne = 500 et  = 10. La figure n'est pas à l'échelle. 1. La pente de la descente s'exprie en pourcentage. 'est le quotient du dénivelé par la distance parcourue. alculer la pente de cette route. On peut utiliser plusieurs éthodes : On peut utiliser le fait que, dans le triangle rectangle en, =sin Â=sin 10 La calculatrice donne sin 10 0,176 donc la pente est d'environ 0,176 et 0,176= 17,6 100 donc la pente est d'environ 17,6 %. PGE sur 9

4 On peut aussi calculer puis puis faire le quotient des deux : - alcul de Le triangle est rectangle en, on peut utiliser la trigonoétrie : tan Â= donc tan 10 = donc =500 tan On obtient 88,16. - alcul de Le triangle est rectangle en, on peut utiliser la trigonoétrie : cos Â= donc cos10 = 500 donc = 500 cos10 On obtient 507,71. ou on peut utiliser le théorèe de Pythagore Dans le triangle, rectangle en, le théorèe de Pythagore donne ² = ² + ² Donc ² = 500² + 88,16² Donc = ,1856 Donc = ,1856 Donc 507,71. - alcul de la pente = 88,16 507,71 0,176. ela correspond donc à une pente d'environ 17,6 %. 2. Pari les panneaux ci-dessous, lequel doit être is en haut de cette route pour prévenir les usagers? elui qui est le plus proche de la valeur de la pente est celui de 18%. On peut le trouver approxiativeent, sans avoir fait les calculs de la preière question, en faisant une figure, en esurant et, et en trouvant approxiativeent la pente. Exercice 2 On donne : Volue du cône = ire de la base hauteur et on rappelle que 1 L = 1 d. Un bassin a la fore d'un cône qui a pour base un disque de de rayon et pour hauteur PGE 4 sur 9

5 1. a) Montrer que son volue exact V, en, est égal à 18 π. En donner l'arrondi au. Volue= π ² 6 =18π 56,5457 Le volue du cône est donc d'environ 57, arrondi au. b) e volue représente-t-il plus ou oins de litres? 1 L=1d donc L=1 donc 57 =57000 L. e volue représente donc plus de Litres. 2. a) obien de teps faudrait-il à une pope débitant 15 litres par seconde pour replir coplèteent ce bassin? Donner le résultat arrondi à la seconde. On peut utiliser un tableau de proportionnalité : Débit (L) Teps (s) 1? On obtient : 15 = 800 secondes Il faut 800 secondes à cette pope pour replir coplèteent ce bassin. b) ette durée est-elle inférieure à une heure? Si on divise 800 par 60, on trouve 6, reste 20. Donc 800 s = 6 in + 20s = 1 h + in + 20 s. ette durée n'est donc pas inférieure à 1 heure, elle est supérieure à 1 heure. Ou : 1h = 60 in = 60x60 s = 600 s Or 800 s > 600 s donc cette durée est supérieure à 1 heure.. On replit ce bassin avec de l'eau sur une hauteur de 4. On adet que l'eau occupe un cône qui est une réduction du bassin. a) Quel est le coefficient de la réduction? oefficient de réduction = 4 6 = 2 b) En déduire le volue exact V' contenu dans le bassin. Volue du petit=volue du grand ( 2 ) Donc Volue du petit=18π ( 2 = ) 144π 27 = 16π PGE 5 sur 9

6 PROLÈME (12 points) S Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier. e pignon ne coporte pas d ouverture. On donne : D = 6 ; = 2,20 et SM = 1,80. M M est le ilieu de []. Les parties 1, 2 et sont indépendantes. Pignon nord de l'atelier D Partie 1 1. Montrer que l aire du pignon SD de l atelier est de 18,6 2. Le pignon est coposée du rectangle D, dont l'aire est donnée par SM et du triangle S dont l'aire est donnée par 2 Donc l'aire du pignon est 6 2,2+ 1,80 6 =1,2+5,4=18,6 2 L'aire du pignon est donc bien de 18,6 ². D 2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lot. Un lot peret de couvrir une surface de 1,2 2. a) obien de lots onsieur Duchêne doit-il acheter au iniu? 18,6 : 1,2 = 15,5 Il doit donc acheter au iniu 16 lots de planches. b) Pour être sûr de ne pas anquer de bois, onsieur Duchêne décide d acheter 18 lots. Un lot est vendu au prix de 49. obien onsieur Duchêne devrait-il payer? 18 49=882 Il payera 882 euros pour l'achat de 18 lots. c) Monsieur Duchêne a bénéficié d une reise de 12% sur la soe à payer. Finaleent, cobien Monsieur Duchêne a-t-il payé? = ,84=776, Il payera finaleent 776,16 euros. Partie 2 Dans un preier teps, Monsieur Duchêne va devoir fixer des tasseaux de bois sur le ur. Ensuite, il placera les planches du bardage sur les tasseaux, coe indiqué sur la figure ci-contre. Les tasseaux seront placés parallèleent au côté []. PGE 6 sur 9

7 ette partie a pour but de déteriner la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui le sépare du côté []. Soit E un point du segent [D]. La parallèle à () passant par E coupe [S] en F, et [M] en H. On adet que la droite (FH) est parallèle à la droite (SM). Le segent [EF] représente un tasseau à fixer. 1. Sachant que M est le ilieu de [], calculer M. M = /2 = 6 : 2 = M = 2. Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF] est placé à 0,50 du côté []. On a donc : E = H = 0,50. a) En se plaçant dans le triangle SM et en utilisant le théorèe de Thalès, calculer FH. Dans le triangle SM, on sait que (FH) et (SM) sont parallèles, que F appartient à (S) et que H appartient à (M). On peut donc effectiveent utiliser le théorèe de Thalès. F On obtient : S = H M = FH SM Donc F S =0,5 = FH 1,8 Donc FH = 0,5 1,8 Donc FH = 0,. 2,20 F H E 0,50 S M 6 1,80 D b) En déduire la longueur EF du tasseau. EF = EH + FH = 2,20 + 0, = 2,50 EF = 2,50 S. Dans cette question, on généralise le problèe et on suppose que le tasseau [EF] est placé à une distance x du côté []. On a donc : E = H = x (avec x variant entre 0 et ) a) Montrer que FH = 0,6 x. De êe que dans la question 2a), en utilisant la théorèe de Thalès, on obtient : F S = H M = FH SM F S = x = FH 1,8 FH = x 1,8 Donc FH = 0,6 x 2,20 F H x E M 6 1,80 D PGE 7 sur 9

8 b) En déduire l expression de EF en fonction de x. EF = EH + FH Donc EF = 2,20 + 0,6 x. 4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l annexe qui donne la longueur d un tasseau en fonction de la distance x qui le sépare du côté []. On laissera apparents les tracés ayant peris les lectures graphiques. a) Quelle est la longueur d un tasseau sachant qu il a été placé à 1,50 du côté []? Lorsque le tasseau est placé à 1,50 du côté [], il esure environ,10. b) On dispose d un tasseau de 2,80 de long que l on ne veut pas couper. À quelle distance du côté [] doit-il être placé? Un tasseau esurant 2,80 de long doit être placé à 1 du côté []. S Partie Monsieur Duchêne a besoin de connaître la esure de l angle ŜM pour effectuer certaines découpes. On rappelle que : SM = 1,80 et = 6. M Déteriner la esure de l angle ŜM. On arrondira le résultat au degré près. Le triangle SM est rectangle en M donc on peut utiliser la trigonoétrie. On obtient tan ŜM = SM M Donc tan ŜM = 1,80 En utilisant la calculatrice, on obtient ŜM =arctan ( 1,80 ) 0,96 L'angle ŜM esure donc 1 au degré près. D PGE 8 sur 9

9 Longueur du tasseau (en ) Distance x (en ) PGE 9 sur 9