MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I"

Transcription

1 MAT 1720 A : et intégral I Paul-Eugène Parent Département de mathématiques et de statistique Université d Ottawa le 30 novembre 2015

2 Au menu aujourd hui 1 2

3 Problèmes 1) Un homme se trouve sur la rive ouest d une rivière. La largeur de la rivière est 3 km. Il veut atteindre un point situé à 8 km au sud de sa position actuelle mais du côté est de la rivière. Le courant est négligeable. Sa barque atteint une vitesse maximale de 6 km/h ; et l homme peut courir à 8 km/h. Quel parcours devrait-il emprunter afin de minimiser le temps du trajet entre A et B?

4 Solution : Soit x la distance entre C et D(x). La distance parcourue à pied est : DB = 8 x ; et la distance parcourue sur l eau est : AD = x On se rappelle que le temps de parcours à vitesse constante v distance parcourue est calculé de la façon suivante t = v. Donc t(x) = 8 x } {{ 8 } à pied x } {{ 6 } sur l eau

5 On remarque que le domaine de t(x) est [0, 8] un intervalle fermé. De plus, t(x) est continue sur [0, 8]. Donc on peut appliquer l algorithme pour trouver le temps minimum. 1 t (x) = x 6 x t (x) = 0 est équvalent à 4x = 3 x 2 + 9, ou x = 9/ 7. Finalement t(9/ 7) = t(0) = = 1.5 h et t(8) = h h. Conclusion : Le temps minimal est donc 1.33 h et est atteint lorsque x 3.4 km.

6 2) Calculez l aire de la surface du plus grand rectangle inscrit dans un demi cercle de rayon r.

7 Solution : Nous savons que x 2 + y 2 = r 2 ; Arec = 2x y ; 0 x, y r. Donc nous pouvons ércire Arec(x) = 2x r 2 x 2. On remarque que le domaine est [0, r] et que Arec est continue sur cet intervalle. On peut donc appliquer l algorithme afin de calculer l aire maximale.

8 1 A rec(x) = 2 r 2 x 2 2x 2x + 2 r 2 x 2 = 2(r 2 2x 2 ) r 2 x 2. Donc A rec(x) = 0 si et seulement si x = r 2. Dans ce cas Arec( r 2 ) = r 2. 2 Arec(0) = Arec(r) = 0. Conclusion : L aire maximale est donc r 2.

9 On cherche à déterminer des limites d un certain type. Par exemples, lim x 1 ln x x 1, lim x e x x 2 ou lim x 0 + x x. Ces exemples sont des formes indéterminées du type 0 0,, et 00 respectivement.

10 Les hypothèses Soient f, g : D R deux fonctions différentiables et supposons que g (x) 0 au voisinage du point a D (mais elle pourrait être zéro en a). De plus, supposons que soit lim f (x) = lim g(x) = 0 x a x a ou soit lim f (x) = ± et lim g(x) = ±, x a x a sont satisfaits. Finalement, on suppose que soit lim x a f (x) g (x) existe ou soit ±.

11 La règle Sous ces hypothèse on a Théorème lim x a f (x) g(x) = lim x a f (x) g (x). Remarque : La notation x a peut être remplacée par x ± ou x a ±.

12 Exemples 1) Calculez lim x 1 ln x x 1. Solution : C est une forme indéterminée du type 0 0. On peut donc appliquer la règle directement, c est-à-dire, lim x 1 ln x x 1 = lim x 1 1/x 1 = 1.

13 e x 2) Calculez lim x x 2. Solution : C est une forme indéterminée du type. On peut donc appliquer la règle directement, c est-à-dire, lim x e x x 2 = lim x e x 2x, qui est à nouveau du type. On applique la règle une seconde fois lim x e x x 2 = lim x e x 2x = lim x e x 2 = +.

14 3) Calculez lim x ln x 3 x. Solution : C est une forme indéterminée du type. On peut donc appliquer la règle directement, c est-à-dire, lim x ln x 3 x = lim x 1/x 1 3x 2/3 = lim x 3 3 x = 0.

15 4) Calculez lim x ln x. x 0 + Solution : C est une forme indéterminée du type 0. On ne peut donc pas appliquer la règle directement. Mais lim x ln x = lim x 0 + x 0 + qui est maintenant du type. Donc lim x ln x = lim x 0 + x 0 + ln x 1/x }{{} = lim RdH ln x 1/x, x 0 + 1/x 1/x 2 = lim x = 0. x 0 +

16 y = x ln x

17 5) Calculez lim sec x tan x. x π 2 Solution : C est une forme indéterminée du type. On ne peut donc pas appliquer la règle directement. Mais lim sec x tan x = lim x π 2 x π 2 qui est maintenant du type 0 0. Donc lim x π 2 sec x tan x = lim x π 2 = }{{} RdH lim x π 2 1 sin x, cos x 1 sin x cos x cos x sin x = 0.

18 6) Calculez lim x 0 + x x. Solution : C est une forme indéterminée du type 0 0. On ne peut donc pas appliquer la règle directement. Mais d une part x x = e ln xx = e x ln x. D autre part, on se rappelle la définition de la continuité, c est-à-dire, lim f (x) = f ( lim x) = f (a). x a x a

19 Donc lim x x = lim x 0 + ( }{{} = continuité }{{} = (4) x 0 + ex ln x e lim x ln x x 0 + e 0 = 1. )

20 y = x x

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

La science des fusées 1

La science des fusées 1 Mth1101 - TD - Application 9 : optimisation avec contraintes, multiplicateurs de Lagrange La science des fusées 1 Introduction Une fusée comporte plusieurs étages composés d un moteur et de son carburant.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Analyse Complexe, L3, printemps 2014

Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Interro n 1 Les 10 exercices sont indépendants. Pour chaque exercice 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles

Plus en détail

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercice VI. Ch6-Exercice Montrer par récurrence que En déduire que puis que k =,,..., n, d k dx k xn = n(n ) (n + k)x n k, d n dx n xn = n! d k dx k xn =

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE. 2ème trimestre 2010. Durée de l épreuve : 1 h 30

Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE. 2ème trimestre 2010. Durée de l épreuve : 1 h 30 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE 2ème trimestre 2010 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 3 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Chapitre 4.9 Le champ magnétique généré par un solénoïde

Chapitre 4.9 Le champ magnétique généré par un solénoïde Chapitre 4.9 e champ magnétique généré par un solénoïde Champ de deux boucles espacées Si l on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut définir l orientation du champ magnétique à l aide de la

Plus en détail

Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique

Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique Correction Deuxième partie du cahier-de-vacances Demande Si vous trouvez un lien

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Les fonctions exponentielles et logarithmiques

Les fonctions exponentielles et logarithmiques Les fonctions exponentielles et logarithmiques MAT 1739 X Été 2010 Département e mathématiques et e statistique Université Ottawa Plan Revue 1 Revue 2 3 4 Revue Definition La fonction y = a x, où a > 0

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes.

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. FONCTIONS DE REFERENCE Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES ce sont les touches «fct» de la calculatrice

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Exercices sur les équations différentielles :

Exercices sur les équations différentielles : Université de Rennes 200-20 Licence de mathématiques L2-ED Exercices sur les équations différentielles : Une mise en jambes Exercice. Parmi les espaces suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Corrigé des exercices «Principe fondamental de la dynamique»

Corrigé des exercices «Principe fondamental de la dynamique» «Principe fondamental de la dynamique» Exercice 1 a. Un véhicule parcourt 72 km en 50 minutes. Calculer sa vitesse moyenne et donner le résultat en km/h puis en m/s. La vitesse v est donnée en fonction

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Les fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques RÉVISION Réactivation a. Émile doit parcourir environ,77 m. b. Léo doit parcourir environ, m. c. Émile doit parcourir environ 8, m. d. Léo doit parcourir environ 07, m. Réactivation

Plus en détail

EXEMPLE DE CALCUL D UNE MISSION AVION

EXEMPLE DE CALCUL D UNE MISSION AVION EXEMPLE DE CALCUL D UNE MISSION AVION On considère un Boeing 747 dont la masse maxi au décollage est de 383000 kg. Il est propulsé par quatre turboréacteurs et réalise quotidiennement des missions de type

Plus en détail

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE Questions 2010-2013 Exercice 1 2 2 sin(4 x)cos( x) 2sin( x)cos (2 x) 1 2sin ( x) (valeurs numériques) x 45 k 90 ;10 k 120 ;50 k 120 k Exercice 2 tg x 3tg x 4 4 (valeurs

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction Métropole - Juin 0 BAC S Correction / 7 Eercice. La courbe C est sous l ae des abscisses pour [-3 ;-]. Affirmation vraie. Sur [- ;], f () 0. Donc f est croissante sur cet intervalle. Affirmation vraie

Plus en détail

Exercices semaine 6. Exercices 1: Fonctions conditionnelles

Exercices semaine 6. Exercices 1: Fonctions conditionnelles Exercices semaine 6 Exercices 1: Fonctions conditionnelles Déduire la formule qui permet d évaluer le salaire du vendeur à partir de l énoncé suivant : Si le montant de la cellule J4 est supérieur ou égal

Plus en détail

Introduction au cours de physique (1)

Introduction au cours de physique (1) Introduction au cours de physique () Exercices : Petites variations, valeurs moyennes Calculs de petites variations Méthode De manière générale : il est souvent plus simple de faire une différentiation

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Mathématiques Générales Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Exercice 1. Vente de voiture Mathieu décide de s acheter une voiture neuve qui coûte

Plus en détail

Intégrales curvilignes.

Intégrales curvilignes. Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités 1.1.1 Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Mesures et durée - Correction

Mesures et durée - Correction Mesures et durée - Correction EXERCICE 1 : Connaissances 1. Convertir les durées suivantes en secondes : a) deux tiers d heure. 2 3 600 = 2400 secondes 3 b) 1,2 heure. 1, 2 3 600 = 4320 secondes 2. Convertir

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

DIPLOME NATIONAL DU BREVET BREVET BLANC N 2 EPREUVE DE MATHEMATIQUES

DIPLOME NATIONAL DU BREVET BREVET BLANC N 2 EPREUVE DE MATHEMATIQUES DIPLOME NATIONAL DU BREVET BREVET BLANC N 2 EPREUVE DE MATHEMATIQUES L usage de la calculatrice est autorisé. Durée : 2 heures. Le barème tient compte de la qualité de la rédaction et de la présentation

Plus en détail

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition Chapitre 4 Travail et puissance 4.1 Travail d une force 4.1.1 Définition En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d application. Considérons une force

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien La fonction exponentielle est continue strictement croissante sur R à valeurs dans ]0; + [. Elle définit donc une bijection de R sur ]0; + [, c est-à-dire que quel que soit

Plus en détail

MATHEMATIQUES BREVET BLANC. Vendredi 3 Avril 2015

MATHEMATIQUES BREVET BLANC. Vendredi 3 Avril 2015 MATHEMATIQUES BREVET BLANC Vendredi 3 Avril 2015 Exercice 1 : ( 2,5 points) Un sac contient 5 boules noires numérotées de 1 à 5 et 3 boules blanches numérotées de 1 à 3. Chacune de ces boules a la même

Plus en détail

CH1 : Langages de la continuité Limites

CH1 : Langages de la continuité Limites CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente

Plus en détail

Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011

Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Christian CYRILLE A quoi servent les mathématiques? : C est pour l honneur de l esprit humain? Jacobi 1 Exercice 1-5 points - Commun à tous les candidats

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Mathématiques II. Session de rattrapage

Mathématiques II. Session de rattrapage NOM :... FIPA BTP Prénom :... Date :... Mathématiques II Session de rattrapage Thème: Opérateurs vectoriels, potentiels scalaires, circulations vectorielles, intégrales doubles Durée: 1H00 Outils autorisés:

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Plus courts et plus longs chemins

Plus courts et plus longs chemins Plus courts et plus longs chemins Complément au chapitre 8 «Une voiture nous attend» Soit I={1,2,,n} un ensemble de tâches à ordonnancer. La durée d exécution de chaque tâche i est connue et égale à p

Plus en détail

Mathématiques Exercices pour le soutien

Mathématiques Exercices pour le soutien Mathématiques 5-6 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ Exercice. Exercice 6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f : x 3x g : x 4 x +x h : x x x+ k : x (3x +) 9 m : x 3 x +4 j : x 5(x )(x ) l

Plus en détail

M5 Oscillateur harmonique et régime forcé

M5 Oscillateur harmonique et régime forcé M5 Oscillateur harmonique et régime forcé Rappels des épisodes précédents... Au cours de la première période, nous avons rencontré le modèle de l Oscillateur Harmonique Amorti Cf Cours M4). Nous allons

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie juin 2008

Baccalauréat ES Polynésie juin 2008 Baccalauréat ES Polynésie juin 2008 Exercice 1 4 points Le plan est muni d un repère orthonormal. Soient f une fonction définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels et C sa courbe tracée ci-contre.

Plus en détail

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement

Plus en détail

Concours Accès 2015 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Concours Accès 2015 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Concours Accès 2015 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Exercices n o 1 à 6 : Raisonnement logique Question 1 Sur les 800 salariés d une entreprise : 300 sont des hommes 352 sont des cadres 424 sont

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité,

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Correction Bac blanc mai 2013

Correction Bac blanc mai 2013 Correction Bac blanc mai 2013 Exercice 1 Commun à tous les candidats. 4 points (1 point par bonne réponse) 1. La fonction F définie sur R par F (x) = e x2 est une primitive de la fonction f définie par

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2005 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Le sujet s adressait à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comportait

Plus en détail