MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I

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1 MAT 1720 A : et intégral I Paul-Eugène Parent Département de mathématiques et de statistique Université d Ottawa le 30 novembre 2015

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3 Problèmes 1) Un homme se trouve sur la rive ouest d une rivière. La largeur de la rivière est 3 km. Il veut atteindre un point situé à 8 km au sud de sa position actuelle mais du côté est de la rivière. Le courant est négligeable. Sa barque atteint une vitesse maximale de 6 km/h ; et l homme peut courir à 8 km/h. Quel parcours devrait-il emprunter afin de minimiser le temps du trajet entre A et B?

4 Solution : Soit x la distance entre C et D(x). La distance parcourue à pied est : DB = 8 x ; et la distance parcourue sur l eau est : AD = x On se rappelle que le temps de parcours à vitesse constante v distance parcourue est calculé de la façon suivante t = v. Donc t(x) = 8 x } {{ 8 } à pied x } {{ 6 } sur l eau

5 On remarque que le domaine de t(x) est [0, 8] un intervalle fermé. De plus, t(x) est continue sur [0, 8]. Donc on peut appliquer l algorithme pour trouver le temps minimum. 1 t (x) = x 6 x t (x) = 0 est équvalent à 4x = 3 x 2 + 9, ou x = 9/ 7. Finalement t(9/ 7) = t(0) = = 1.5 h et t(8) = h h. Conclusion : Le temps minimal est donc 1.33 h et est atteint lorsque x 3.4 km.

6 2) Calculez l aire de la surface du plus grand rectangle inscrit dans un demi cercle de rayon r.

7 Solution : Nous savons que x 2 + y 2 = r 2 ; Arec = 2x y ; 0 x, y r. Donc nous pouvons ércire Arec(x) = 2x r 2 x 2. On remarque que le domaine est [0, r] et que Arec est continue sur cet intervalle. On peut donc appliquer l algorithme afin de calculer l aire maximale.

8 1 A rec(x) = 2 r 2 x 2 2x 2x + 2 r 2 x 2 = 2(r 2 2x 2 ) r 2 x 2. Donc A rec(x) = 0 si et seulement si x = r 2. Dans ce cas Arec( r 2 ) = r 2. 2 Arec(0) = Arec(r) = 0. Conclusion : L aire maximale est donc r 2.

9 On cherche à déterminer des limites d un certain type. Par exemples, lim x 1 ln x x 1, lim x e x x 2 ou lim x 0 + x x. Ces exemples sont des formes indéterminées du type 0 0,, et 00 respectivement.

10 Les hypothèses Soient f, g : D R deux fonctions différentiables et supposons que g (x) 0 au voisinage du point a D (mais elle pourrait être zéro en a). De plus, supposons que soit lim f (x) = lim g(x) = 0 x a x a ou soit lim f (x) = ± et lim g(x) = ±, x a x a sont satisfaits. Finalement, on suppose que soit lim x a f (x) g (x) existe ou soit ±.

11 La règle Sous ces hypothèse on a Théorème lim x a f (x) g(x) = lim x a f (x) g (x). Remarque : La notation x a peut être remplacée par x ± ou x a ±.

12 Exemples 1) Calculez lim x 1 ln x x 1. Solution : C est une forme indéterminée du type 0 0. On peut donc appliquer la règle directement, c est-à-dire, lim x 1 ln x x 1 = lim x 1 1/x 1 = 1.

13 e x 2) Calculez lim x x 2. Solution : C est une forme indéterminée du type. On peut donc appliquer la règle directement, c est-à-dire, lim x e x x 2 = lim x e x 2x, qui est à nouveau du type. On applique la règle une seconde fois lim x e x x 2 = lim x e x 2x = lim x e x 2 = +.

14 3) Calculez lim x ln x 3 x. Solution : C est une forme indéterminée du type. On peut donc appliquer la règle directement, c est-à-dire, lim x ln x 3 x = lim x 1/x 1 3x 2/3 = lim x 3 3 x = 0.

15 4) Calculez lim x ln x. x 0 + Solution : C est une forme indéterminée du type 0. On ne peut donc pas appliquer la règle directement. Mais lim x ln x = lim x 0 + x 0 + qui est maintenant du type. Donc lim x ln x = lim x 0 + x 0 + ln x 1/x }{{} = lim RdH ln x 1/x, x 0 + 1/x 1/x 2 = lim x = 0. x 0 +

16 y = x ln x

17 5) Calculez lim sec x tan x. x π 2 Solution : C est une forme indéterminée du type. On ne peut donc pas appliquer la règle directement. Mais lim sec x tan x = lim x π 2 x π 2 qui est maintenant du type 0 0. Donc lim x π 2 sec x tan x = lim x π 2 = }{{} RdH lim x π 2 1 sin x, cos x 1 sin x cos x cos x sin x = 0.

18 6) Calculez lim x 0 + x x. Solution : C est une forme indéterminée du type 0 0. On ne peut donc pas appliquer la règle directement. Mais d une part x x = e ln xx = e x ln x. D autre part, on se rappelle la définition de la continuité, c est-à-dire, lim f (x) = f ( lim x) = f (a). x a x a

19 Donc lim x x = lim x 0 + ( }{{} = continuité }{{} = (4) x 0 + ex ln x e lim x ln x x 0 + e 0 = 1. )

20 y = x x

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