Limites de fonctions ANALYSE. Le problème de Nabolos. Les savoir-faire du chapitre Déterminer la limite d une somme, d un produit, d un
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- Jean-Jacques Couture
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1 ANALYSE Limites de fonctions 6 Les savoir-faire du chapitre 30. Déterminer la limite d une somme, d un produit, d un quotient (sans forme indéterminée). 3. Déterminer la limite d une composée. 3. Déterminer la limite dans le cas d une forme indéterminée. 33. Déterminer une limite par majoration, minoration, encadrement. 34. Interpréter graphiquement les limites. Le problème de Nabolos Soit f la fonction définie sur ]0 ; [ par : Soit ǫ un réel strictement positif. f() = 5+ 3 Quelque soit le réel ǫ choisi, Nabolos affirme qu il eiste un réel A tel que si > A, f() ]5 ǫ ; 5 + ǫ[. A-t-il raison? 45
2 Limites et interprétations graphiques On a représenté une fonction f définie sur ] ; [ ] ; [. 3 On a représenté une fonction f définie sur ] ; [ ] ; [ O O ) a) Conjecturer ses limites en et en. b) Peut-on en déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote? Si oui, préciser son équation. ) a) Conjecturer ses limites quand tend vers (distinguer les cas < et > ). b) Peut-on en déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote? Si oui, préciser son équation. 3) Dresser le tableau de variations de f. On a représenté une fonction f définie sur ] ; [ ] ; [ O ) a) Conjecturer ses limites en et en. b) Peut-on en déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote? Si oui, préciser son équation. ) a) Conjecturer ses limites quand tend vers (distinguer les cas < et > ). b) Peut-on en déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote? Si oui, préciser son équation. 3) Dresser le tableau de variations de f. ) Conjecturer ses limites au bornes de son ensemble de définition. ) Préciser les asymptotes éventuelles de la courbe représentative de la fonction f. 3) Dresser le tableau de variations de f. 4 On a représenté une fonction f définie sur ] ; 3[ ] 3 ; 3[ ]3 ; [ O ) Conjecturer ses limites au bornes de son ensemble de définition. ) Préciser les asymptotes éventuelles de la courbe représentative de la fonction f. 3) Dresser le tableau de variations de f. 46 Chapitre A6. Limites de fonctions
3 5 On donne le tableau de variations ci-dessous : 3 f() ) Préciser les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. ) Donner les équations des asymptotes à C f. 3) Construire une courbe C f cohérente. 6 On donne le tableau de variations ci-dessous : CALC Soit f la fonction définie pour tout = 0 par : f() = + 3. ) A l aide d une calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction f. ) a) Conjecturer graphiquement la limite de la fonction f en. b) Déterminer graphiquement un réel A tel que, pour tout > A, f() ]0, 99 ;, 0[. 9 Soit la fonction f définie sur R par : f() = ( 9 ). ) Conjecturer les limites de f en et en à partir de la représentation graphique ci-dessous obtenue à l aide d un logiciel. f() C f ) Préciser les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. ) Donner les équations des asymptotes à C f. 3) Construire une courbe C f cohérente. 7 ALGO Soit f la fonction définie sur R par : g() = 3 +. ) A l aide d une calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction f. ) a) Conjecturer graphiquement la limite de la fonction f en. b) Quelle est la valeur dans la variable A à la fin de l eécution de cet algorithme? ) Étudier les limites de f en et en. 3) Epliquer pourquoi la conjecture était erronée. 0 Soit f la fonction définie sur R { 3 ; 3} par : f() = 3 9. ) Déterminer la limite de f en et. a) Sur une calculatrice, on a tracé le graphe de f ce qui a donné l écran suivant : A 0 Tant que A 3 A+ < 0000 faire : A A+ Fin Tant que 3) a) Conjecturer graphiquement la limite de la fonction f en. b) Modifier l algorithme précédent pour obtenir un réel tel que f() < b) Epliquer pourquoi il semble apparaître une contradiction. On donne une limite d une fonction f. En déduire l équation d une éventuelle asymptote au graphe de f. ) lim f() = 4) lim f() = 0 ) lim f() = ) lim 0 <0 3) lim 0 f() = 0 6) lim f() = f() = 099 Chapitre A6. Limites de fonctions 47
4 Limites : opérations Déterminer les limites en et des fonctions définies par les epressions suivantes : ) f() = ) h() = 3+ ) g() = ) u() = Déterminer les limites en et des fonctions définies par les epressions suivantes : ) f() = ( + )(4 9) 3) h() = ) g() = ) u() = ( 8)(4 ) 4 Déterminer la limite de f en et. ) f() = 08 4) f() = 3 ) f() = 09 5) f() = ) f() = ) f() = 5 Déterminer ( ) les limites suivantes. ) lim ) lim 0 ( ) ( ) ) lim + 6) lim 0 >0( ) > ( 3) lim 7) lim + ) 0 0 >0 <0 4) lim (+ ) 8) lim ( + ) 6 Déterminer la limite de f en et. ) f() = ( ) 4) f() = + ) f() = (+ )(+ ) 5) f() = 3 3) f() = + 6) f() = Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définitiond. ) f() = D =] ; [ ) f() = + D =] ; [ ] ; [ 3) f() = D =] ; [ ] ; [ 4) f() = ( ) D =] ; [ ] ; [ 8 Déterminer les limites en ± des fonctions polynômes f, g et h. ) f() = ) g() = ) h() = Déterminer les limites suivantes. 3) lim 3 ) lim 3 >3 ) lim < ) lim Étudier la limite de la fonction f en et en. ) f() = + 4) f() = 3 ) f() = ) f() = ) f() = 3 6) f() = En, c est rationnel! Étudier la limite de la fonction f en. 4 ) f() = 3) f() = (+ ) ) f() = En 0, c est radical! 4) f() = Étudier la limite de la fonction f en 0. + ) f() = ) f() = 3 Déterminer les limites suivantes. + 3 ) lim 3) lim ) lim < 4) lim > 4 Déterminer les limites suivantes. ) lim 5 4 ( ) 3) lim ( ) lim 3 4) lim ) 0 >0 5 Soit f et g deu fonctions. Justifier par un contreeemple que les implications suivantes sont fausses. ) lim f() = lim g() = lim ( f() g()) = 0. f() ) lim f() = lim g() = lim g() =. 3) lim f() = lim = lim f()g() = 0. g() 6 Déduire de chaque limite l équation d une éventuelle asymptote au graphe de la fonction f. ) lim f() = 3 5) lim ) lim f() = +3 6) lim f() = 3) lim 4) lim 0 <0 f() = 7) lim f() = f() = 000 8) lim f() = 48 Chapitre A6. Limites de fonctions
5 7 Le graphe d une fonction f admet une asymptote d équation donnée. Déduire les limites possibles de f. ) = 4) = 0 ) y = 5) = 3 3) y = 4 6) y = 0 8 INFO On s est servi d un logiciel de calcul formel : f:=->(+)/(-)+(-)/(+) -> *+ - +*- + limite(f(),,-infinity) 3 limite(f(),,-,-) 4 4 limite(f(),,-,+) - ) Quelle est la fonction f étudiée? Quel est son ensemble de définitiond? ) Epliquer les limites obtenues par le logiciel. Les vérifier par le calcul. 3) Déterminer les limites de f au bornes de D, puis toutes les asymptotes à la courbe représentative de la fonction f. Limites : comparaison/encadrement 9 Soit f une fonction telle que, pour tout réel > : + 3 g() + Cet encadrement permet-il de conclure sur la limite éventuelle de la fonction g en? 30 Soit g une fonction telle que, pour tout réel > : g() Cet encadrement permet-il de conclure sur la limite éventuelle de la fonction g en? 3 Soit h une fonction telle que, pour tout réel < 0 : h() 6 Cet encadrement permet-il de conclure sur les limites éventuelles de la fonction h en et en? 3 Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; [ par : f() = et g() = +. Dans le repère ci-dessous, on a représenté les graphes de f et g et deu points F( ; f()) et G( ; g()). 3 G F C g C f ) Vérifier que FG = +. ) Soit la fonction d : FG. a) Conjecturer la limite de d en. b) Démontrer que, pour tout réel > 0 : h() = + +. c) Démontrer que, pour tout réel > 0 : 0 h(). d) En déduire la limite de h en. 33 Soit f la fonction définie sur R par : f() = cos Donner un encadrement de f() et en déduire les limites de la fonction f en et en. 34 Soit g la fonction définie sur R par g() = sin. Donner un encadrement de g() et en déduire les limites de la fonction g en et en. 35 Soit un réel > 0. Est-il vrai ou fau que : ) f() lim f() =? ) f() lim f() = 0? 3) f() + lim f() = 0? Chapitre A6. Limites de fonctions 49
6 36 Soit une fonction f telle que f() vérifie une inégalité ou un encadrement sur un ensemble donné. Indiquer les limites qu on peut en déduire parmi les deu proposées. ) Pour tout réel = 0, on a f(). a lim f() b lim f() 0 0 <0 >0 ) Pour tout réel = 0, on a f(). a lim 0 <0 f() b lim f() 0 >0 3) Pour tout réel >, on a + f() +. a lim f() b lim f() > 4) Pour tout réel > 0, on a f(). a lim f() b lim f() 0 >0 5) Pour tout réel ]0 ; [, on a f(). a lim 0 >0 f() b lim f() < Limites : étude de fonctions 37 Soit f la fonction définie sur R par : f() = 6+ 8 ) Etudier les variations de f. ) Etudier les limites de la fonction f en et. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 38 Soit h la fonction définie sur ] ; [ ] ; [. par : h() = 3 ) Etudier les variations de h. ) Etudier les limites de la fonction h en et et en déduire une asymptote éventuelle à la courbe représentative de la fonction h. 3) Etudier les limites de h() quand tend vers (on distinguera les cas < et > ). En déduire une asymptote éventuelle à la courbe représentative de la fonction h. 4) Dresser le tableau de variations de la fonction h et vérifier graphiquement les résultats trouvés. 39 Soit g la fonction définie sur R par : g() = ) Etudier les variations de g. ) Etudier les limites de la fonction g en et. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction g. 40 Soit f la fonction définie sur ] ; 3[ ]3 ; [. par : f() = 9 3 ) Etudier les variations de f. ) Etudier les limites de la fonction f en et et en déduire une asymptote éventuelle à la courbe représentative de la fonction h. 3) Etudier les limites de h() quand tend vers 3 (on distinguera les cas < 3 et > 3). En déduire une asymptote éventuelle à la courbe représentative de la fonction f. 4) Dresser le tableau de variations de la fonction f et vérifier graphiquement les résultats trouvés. 4 Soit la fonction f définie sur D = R {} par : f() = ) Eprimer f() sous la forme a+ b. ) Donner les limites au bornes de D. 3) Dresser le tableau de variation f. 4 Soit f la fonction définie sur R {} par : f() = 3 6. ) Calculer lim( ) et lim( 3 6). En déduire que la limite de f en est indéterminée. ) Avec la calculatrice, faire un tableau de valeurs de f() pour conjecturer la limite de f en. 3) Donner le développement de ( )( + + 3). S en servir pour déterminer la limite de f en. 43 Soit la fonction f définie sur R par : f() = +. ) Déterminer la limite de f en. ) a) lim f() semble indéterminée. Pourquoi? b) Démontrer que, pour tout réel : f() = + +. c) En déduire la limite de f en. 50 Chapitre A6. Limites de fonctions
7 44 Soit f la fonction définie par : f() = +. f est définie sur] ; [ ] ; [ ] ; [. ) Etudier les variations de la fonction f. ) Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. Préciser les asymptotes éventuelles de la courbe représentative de la fonction f. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f et vérifier graphiquement les résultats. 45 On pose f() = + 3. ) Quel est l ensemble de définition de f? ) Etudier les variations de f. 3) Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. 4) Vérifier graphiquement les résultats. Problèmes 46 Soit la fonction f : a+b où a et b sont deu réels et C la courbe représentative de f dans un repère. On sait que : f(0) = et lim f() =. ) a) Déterminer a et b. b) Montrer que f() = a + a+b 4. ) Déterminer les asymptotes à C. 3) Calculer f (), puis étudier son signe. 4) Dresser le tableau de variation de f. 5) Tracer l allure de C. 47 Soit la fonction f définie sur D = R {} par : f() = 3. ) Montrer que, pour tout =, f() = +. ) Donner les limites au bornes ded. 3) En utilisant la forme la plus adaptée, déterminer : a) le sens de variation de la fonction f ; b) le signe de f() ; c) les solutions de l inéquation f(). 48 PARTIE A Soit un réel positif. ) Démontrer que : > > 0. ) En déduire que : > 0 < <. PARTIE B : Étude d une fonction auiliaire Soit la fonction définie sur R par : f() = et C sa courbe représentative. ) Déterminer la limite de f en et en. ) Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire graphiquement? 3) Dresser le tableau de variation de f sans utiliser la dérivée de f. 4) Étudier le tableau de signe de f(). PARTIE C : Étude d une fonction Soit g la fonction définie sur[ ; 0[ [ ; [ par : g() = et C g sa courbe représentative. ) Étudier les limites de g en et 0. Que peut-on en déduire? ) Dresser le tableau de variation de g, en utilisant les variations de la fonction f. 3) En utilisant le résultat établi dans la partie A, résoudre l inéquation : g() > f(). Que peut-on en déduire? 4) Tracer les courbes C f et C g. 49 Soit la fonction g définie par : g() = et Γ sa courbe représentative dans un repère du plan. Trouver la ou les bonne(s) réponse(s) parmi les quatre réponses proposées. a Γ admet une asymptote d équation y =. b Γ n admet pas d asymptote. c Γ admet une asymptote d équation =. d Γ admet une asymptote d équation y =. Chapitre A6. Limites de fonctions 5
8 On dit que la droite d équation y = a + b (a = 0) est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si lim [ f() (a+b)] = 0. ± 50 Soit la fonction f définie sur R { } par : 53 PARTIE A Dans le repère suivant, on a tracé les courbes C et C représentatives de deu fonctions f et f définies sur D =]0 ; [. f() = C Dans le repère ci-dessous, on a tracé en partie sa courbe représentative C et la droite d équation y = + 3. C ) Montrer que est asymptote oblique à C. ) Déterminer les autres asymptotes éventuelles. 5 Soit la fonction f définie sur R {} par : f() = +. ) Montrer que, pour tout réel = : f() = + +. ) Déterminer la limite en et de f() (+ ). Quelle est l interprétation graphique de ce résultat? 5 Soit f la fonction définie sur R par : f() = ) Déterminer trois réels a, b et c tels que : f() = a+b+ c +. ) Calculer la limite de f() (a+b) en et en. 3) En déduire que C, la courbe représentative de f, admet une asymptote oblique en et en. 4) Étudier les positions relatives de C et de.. O On sait que : 3 4 l ae des ordonnées est asymptote à C et C ; l ae des abscisses est asymptote à C ; f est continue et strictement décroissante sur D ; f est continue et strictement croissante sur D ; la limite quand tend vers de f () est. Pour chacune des trois questions suivantes, déterminer la réponse eacte parmi les trois proposées. C ) La limite quand tend vers 0 de f () est : a 0 b c indéterminée ) La limite quand tend vers de f () est : a 0 b 0, c indéterminée 3) Sur D, le signe de f () f () est : a positif b négatif c variable PARTIE B On considère la fonction f définie sur]0 ; [ par : f() = g()+ avec g fonction strictement croissante sur ]0 ; [, lim g() = et lim g() =. 0 ) Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. ) Etudier les variations de la fonction f sur ]0 ; [. En déduire le signe de f() sur cet intervalle. 5 Chapitre A6. Limites de fonctions
9 54 Pour tout réel k, on considère la fonction f k définie sur R {} par : f k () = + k. On note C k sa courbe représentative. ) Etude du cas k = 0. Montrer que si k = 0, les points de la courbe C k appartiennent à une droite. Dans la suite du problème, on suppose que k = 0. ) Etude des limites de f k. a) Déterminer les limites de f k en et en. b) Déterminer les limites de la fonction f k quand tend vers en fonction du signe de k. Que peut-on en déduire pour la courbe C k? 3) Etude des variations de f k. a) Montrer que pour tout R {}, on a : f k () = + k ( ) b) En déduire les variations de la fonction f k (distinguer les cas k < 0 et k > 0). c) Dresser le tableau de variations de f k (distinguer les cas k < 0 et k > 0). 4) Etude des courbes C k. a) A l aide d un logiciel de géométrie dynamique, créer un curseur k et tracer la courbe C k. b) Montrer que toutes les courbes C k passent par un même point A que l on précisera. c) Déterminer une équation de la tangente à C k en A. On note T k cette tangente. d) Montrer que, pour tout R {}, 55 Soit la fonction f définie sur ]0 ; [ par : f() = +. ) Donner des valeurs approchées à 0 3 près de f(), f(3), f(30) et f(3 3). ) Soit l intervalle ouvert de centre et de rayon 0,0 c est-à-dire ], 99 ;, 0[. Démontrer que pour > 0, f() ], 99 ;, 0[. 3) Soit l intervalle I =] r ; +r[ avec r > 0. Montrer que pour supérieur à un certain 0 à déterminer en fonction de r, tous les f() sont dans I. 4) Démontrer que lim f() =. 56 Soit la fonction g définie sur R par : g() = ) Donner les valeurs de g(3), g(30) et g(3 3). ) Démontrer que si > 0, alors f() > 00. 3) Soit un intervalle]a ; [, avec A > 0. Montrer que pour A, f() > A. 4) Démontrer que lim g() =. f k () (( k)+ ) = k e) En déduire, en fonction du signe de k, la position relative de la courbe C k et de sa tangente T k. 5) Etude des courbes C k à l infini. Soit g k la fonction définie sur R {} par : g k () = f k () (+k+ ) a) Montrer que pour tout réel R {}, on a : g k () = k b) Déterminer les limites de la fonction g k en et. Comment peut-on interpréter graphiquement ce résultat? c) Etudier la position relative de la courbe C k et de la droite D k d équation y = +k+. Chapitre A6. Limites de fonctions 53
10 Je teste mes connaissances À la fin de ce chapitre, je dois être capable de : Déterminer la limite d une somme, d un produit, d un quotient ou d une composée de deu fonctions Déterminer des limites par comparaison et encadrement Faire le lien entre limites et comportement asymptotique QCM d auto-évaluation Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. 57 La limite en de la fonction f définie sur ] ; [ par f() = ( ) est : a 0 b c d 58 La limite à gauche en 0 de la fonction f définie sur [ ; 0[ par f() = + est : a 0 b c d 59 La limite en de la fonction f définie sur R { ; } par f() = ( 3)( + ) ( ) est : a b 0 c d 60 Soit f une fonction définie sur [ ; [. Si pour tout, on a f() alors : f() f() a lim f() = b lim = 0 c lim = d lim ( ) 6 La courbe représentative de la fonction h : (4 admet une asymptote d équation : ) a = b y = c = d y = Soit la fonction f définie sur R {b} par a+ et représentée par C dans un repère. b 6 Quelles que soient les valeurs de a et b, C a pour asymptote la droite d équation : a = a b y = a c = b d y = b f() = 63 Si les droites d équation y = et = sont asymptotes à C, alors : a f() = b f() = c f() = + d f() = + 54 Chapitre A6. Limites de fonctions
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