Reconstruction d'images pour la caméra Compton. Application à la détection des γ de fragmentation.

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René Eloi Poulin
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1 Reconstruction d'images pour la caméra Compton. Application à la détection des γ de fragmentation. Voichiµa Maxim, Xavier Lojacono, Rémy Prost 25/05/2012

2 Plan 1 Imagerie de contrôle en hadronthérapie 2 Reconstruction d'images pour la caméra Compton 3 Algorithme analytique 3D. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

3 Plan 1 Imagerie de contrôle en hadronthérapie 2 Reconstruction d'images pour la caméra Compton Les évènements État de l'art 3 Algorithme analytique 3D La transformée Compton Formules d'inversion Résultats numériques. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

4 Simulation d'un faisceau de protons Simulation Geant4 d'une sphère de PMMA irradiée avec un faisceau de protons de 140 MeV. Carte de l'énergie déposée dans le fantôme. Position de la dernière interaction dans le fantôme des γ qui s'échappent (création ou diusion). On observe une assez bonne concordance entre les deux cartes, une prédominance des énergies faibles (<1 MeV) sur le début du trajet du faisceau dans le fantôme et des énergies très hautes (>3 MeV) vers le pic de Bragg. (A tracking Compton-scattering imaging system for hadron therapy monitoring, M. Frandes, A. Zoglauer, V. Maxim, R. Prost, IEEE TNS, 2010) V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

5 Imagerie de contrôle en hadronthérapie But : Moyen : fournir une carte de l'énergie déposée en temps réel pas d'information directe information indirecte : γ haute énergie produits lors des fragmentations nucléaires V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

La détection des particules γ Dicultés : spectre énergétique large : 0.

6 La détection des particules γ Dicultés : spectre énergétique large : MeV faible nombre de particules émises : statistique faible la détection des γ de haute énergie bruit environnant : neutrons Avantages de la caméra Compton : pas de collimation mécanique assez robuste au bruit environnant donne une image 3D V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

7 Plan 1 Imagerie de contrôle en hadronthérapie 2 Reconstruction d'images pour la caméra Compton Les évènements État de l'art 3 Algorithme analytique 3D La transformée Compton Formules d'inversion Résultats numériques. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

8 Les données Pour un évènement, on mesure la position d'interaction dans le diuseur, la position d'interaction dans l'absorbeur et les énergies déposées.. Source M β scatter detector absorbtion detector. 01 On sait alors que la source est localisée sur la surface d'un cône déni par les deux points d'interaction dans le détecteur (axe du cône) l'angle de diusion Compton cos β = 1 m ec 2 E scat (E E scat )E V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

9 État de l'art Algorithmes analytiques : Reconstruction de la source pour α = 0 (Cree & Bones, 1994) Remarque : Les données sont redondantes! Utilisation des harmoniques sphériques (Parra, 2000) Remarque : On obtient une image 2D sur la surface d'une sphère. Pour une image 3D on a besoin de deux caméra Compton. Conclusion : Méthodes 2D ou qui n'utilisent pas toutes les données. Algorithmes itératifs : L'essentiel des travaux porte sur la façon de construire la matrice des probabilités de transfert du système et sur le calcul rapide. Pour des résolutions spatiale et énergétique parfaites, les éléments de la matrice de transfert sont des intégrales de surface. Lorsque la résolution spatiale et la résolution énergétique sont prises en compte, le modèle devient une intégrale de volume. V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

10 Plan 1 Imagerie de contrôle en hadronthérapie 2 Reconstruction d'images pour la caméra Compton Les évènements État de l'art 3 Algorithme analytique 3D La transformée Compton Formules d'inversion Résultats numériques. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

11 .. Le cône Compton On dénit le cône de réponse C (u 1, u 2 ; α, δ, β) : Source M β (z) 01 D(u1, u2, 0) scatter detector w absorbtion detector θ x z 0 y (u 1, u 2 ) sont les coordonnées 2D du sommet du cône dans le plan du diuseur l'axe du cône déni par l'inclinaison α et l'azimut δ l'ouverture du cône : angle β V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

12 .. La transformée Compton Pf (u 1, u 2 ; α, δ, β) := K(β, E) f (M) cos θ ds M C (u 1,u 2 ;α,δ,β) Source (z) Les variables : M θ β 01 D(u1, u2, 0) scatter detector w absorbtion detector x z 0 y les coordonnées 2D du sommet du cône dans le plan du diuseur Les paramètres : axe du cône : inclinaison α et azimut δ ouverture du cône : angle β Pf (, ; α, δ, β) : (u 1, u 2 ) R 2 Pf (u 1, u 2 ; α, δ, β), V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

13 Besoin d'une nouvelle transformée, qui compose la transformée de Fourier avec la transformée de Hankel : la transformée Hankel-Fourier : (H F f )(η 1, η 2, η 3 ) := 2π zf 2 f (η 1, η 2, z)j 0 (2πzη 3 )dz. 0 V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

14 .... Théorème coupe-projection η3 z η η 2 2 = η 2 3/b(α, β) u1 δ β β α O η1 δ π 2 δ + π 2 O (HF)f F2(P f)(, ; α, δ, β) u2 η2 a) Domaine spatial, b) Domaine de Fourier, cône C (0, 0; α, δ, β) cône C F (α, β). Pour α [0, π/2), δ [0, 2π) et β (0, π/2 α) donnés, la coupe dans la transformée Hankel-Fourier de f dénie par l'intersection du cône C F (α, β) avec le plan vertical P F (δ) coïncide avec la coupe eectuée par le plan P F (δ) dans la transformée de Fourier 2D de la projection Pf (, ; α, δ, β).. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

15 Formule d'inversion Pour chaque α [0, π/2[, ( π 2 α 0 f (x, y, z) = 2π dη 1 dη 2 exp(2iπ(xη 1 + yη 2 ))(η1 2 + η2) 2 ) η1 2 + η2 2 )dβ b β (α, β) K(β, E) F 2(Pf )(η 1, η 2 ; α, δ, β)j 0 (2πzb(α, β) Méthode de reconstruction analytique, dans l'esprit de la transformée de Radon inverse, 3D, aucune collimation mécanique. (Analytical inversion of the Compton transform using the full set of available projections, V. Maxim, M. Frandes, R. Prost, Inverse Problems 2009) V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

16 Inversion par retroprojection ltrée où π π 2 α f (x, y, z) = π F (R ω (Pf ))(r; α, ω + π π 0 2, β) H z (r, β; α, E) exp(2iπr(x cos ω + y sin ω))dβdωdr F (R ω (Pf )) est la transformée de Fourier, de la transformée de Radon, de la transformée de Compton, de f, est le ltre, H z (r, β; α, E) = b β (α, β) K(β, E) J 0(2πzb(α, β)r) r 3, b(α, β) = sin β cos 2 α sin 2 β. (A ltered backprojection reconstruction algorithm for Compton camera, X. Lojacono, V. Maxim, A. Zoglauer, F. Peyrin, and R. Prost, Fully 3D 2011) V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

17 Une projection τ = b(α, β) f (x, y, z) π ( 2π 0 0 P τ,δ = R δ+ π 2 C α,δ,β ) P τ,δ f (ρ)j 0 (2πzτρ)dτ e 2iπρ( x sin δ+y cos δ) ρ 3 dρdδ V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

18 Données déterministes. Inuence de α. Source sphérique placée à 10 cm du diuseur, de rayon R = 3 cm. Détecteur de dimensions cm 2. Échantillonnage N β = 10, N δ = 20. α = 0 rad α = 0 rad α = 1.1 rad α = 1.1 rad V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

19 Données déterministes. Inuence de la taille du détecteur. Source sphérique placée à 10 cm du diuseur, de rayon R = 3 cm. Échantillonnage N β = 20, N δ = 60, α = 1 rad cm cm 2 V. Maxim, X. Lojacono, R. Prost (CREATIS) Imagerie basée sur la diusion Compton 25/05/ / 19

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