CONCOURS Centrale-Supélec 2003 Filière PSI MATHEMATIQUES I. Partie I - Polynômes de Hilbert

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Charlotte Pruneau
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1 ONOURS l-sélc 3 Flè SI ATHEATIQUES I I - olyôms d Hlb I.A. o o { } T T T T T T s mc d R d m géél m s > s.a. s mc gl sé do l dém v. Ell s doc vsbl. O ss mq q l'lco U : s domohsm d [] l q U o T T o U Id T s doc vsbl dm o vs U. mc d T ds l bs coq d [] s vsbl dm o vs l mc d U ds c bs. o o { } U U U U U U s > o m géél m' - - s I.B. H Doc dgh. L mll H H H H omé d olyôms d dgés dx à dx dscs s lb. Ell s omé d vcs d [] q s sc d dmso. ' s doc bs.

2 I.B. H s { } H s H s < H H Ds ls os cs H Z. I.. H H H H é bs d [] o olyôm d [] s décomos s c bs : l q H o o { } H. D'ès I.B. losq { } H losq H doc H m m m s > cc o o { } So mcllm. I.. é vsbl s sosé l's ss. E vs l lo écéd - - o o { } ] [ s gl sé d'ès ls los I.A S l'églé H ds [] ê v comm églé ds [] : H vc. c s ossbl c ls vcs d l bs H H H H d [] déd s d so sbls

3 ssg d à. Ds [] l lo q v d'ê ébl s vlbl o { } doc o c q do. Doc losq. I..3 Il s cl q c S { } Z los { } Z d'ès ls los c mo q b O v q o o d N o d Z H Z. c I.B. S o o d { } Z l lo H D so q b c mo q o o d Z Z. O s ové q ls os oosos b c so éqvls. E cl ls mlcos b b c mo q ls olyôms d [] o lsqls N Z so ls combsos lés à cocs ds Z ds olyôms d Hlb x slm. I.D O v I.. q s [] los o o. c mo q b Récoqm so N s comlx ll q. Il xs q olyôm d [] l q q ê démé xml comm l olyôm d'olo d Lgg oos écc q o o N. 's déà véé cosco d o. Sosos q sq'à l'od. L lo m d'xm l m oco ds ms écéds : s d'ès I.. l'c d à [] l lo do églm sq hyohès d écc o l s's q. L oéé s los véé sq'à l'od c q mo écc q N. O s moé q b

4 II.A. [ ] II - Qlqs oéés ds sés ès d s [ ] d L sé è s bsolm covg o o d so dsq ov d covgc D R { / < R} ; à c dsq sq ] ω R [. Doc covg l sé d ocos covg omlm s [-]. D l covgc om c oml d s's q c's à d d d o s d s Ds l sé d do s q l m ob o. Doc d. c q s l ésl dmdé. d II.A. Rmqos q sq ] ω R [ o o d [-] < ω. d L oco ω s'l s s co s [-]. L'égl d s b ω dé. ω d ω d ω d ω l dévlom sé d ω é ossbl c < L somm d l sé è s co o o d dsq ov d covgc D R. Qd déc [-] déc { / } D R. comoso l oco s co s l sgm [-]. Ell y s doc boé so mxmm. c s l'xsc d s x [ ] [ x ] ω [-] v ω ω L sé géoméq covg sq ω < l sé d ocos v covg omlm doc omém s l sgm [-]. Alos v d v d v

5 Doc ω d ω ω. d ω ω II.B. vo l qso écéd II.B. D l'églé II.A. o l moo ω ω ω d ω d ω ω ϖ ω ϖ ω ϖ ω ϖ s él ω ϖ ω ϖ ω ϖ ω doc ω ϖ ω d'où ω ω ω ω lm ω ω los ω ω oco cos d ω II.B.3 So l qlcoq. comm od d dx sés ès d yo d covgc R s ss sé è d yo R. écc mméd l s d mêm d. As E R. lls so l q x doc d'où x c's à d E lq l ésl II.B. à l sé è o ob ω doc ω ω ω s éls so os oss l c èm ω ω O o o él > lm / E ss à l lm ds l'églé écéd losq o ob doc ω II.. sq ω < R l sé ω covg. Il s d mêm d l sé ω -- II.. N b ω ω / l sé covg bsolm s < R c < R Noos R m l s d'od m d l sé covg m O s q lm R m m As N b R où l'o lm R

6 q mo q b o losq à oo q b O II..3 So l q < R. So los ' l q < ' < R ω < ' d'ès II.. b O losq doc b O ' O sé cvg c ' ' L sé b covg o o comlx l q < R. So yo d covgc s doc R. D R ωg b ω. lls b ω ω 3 ω d'où ωg b b ω 3 ω ω 4 ω doc b ω b. ωb ω ωg ωb ω. b ω b o b ω ω b ω doc ωg ω II.D. So Q l ooso : s E R s'l os dscs d ll q : D R F b < ' D - {} los l xs F E R o so E R s'l D - {} ; l lo II..3 ωg ω s vlbl o o ω o o d D R cl o ω : l xs g E R ll q g los g os F g q s b sé è d yo R c g E R o : D R F L lo Q s s démoé. Sosos l ooso Q véé so E R s'l os dscs d D - {}. s'l déà os dscs d D - {} hyohès d écc l xs F E R ll q : D R F los F doc F. Alos d'ès Q l xs G E R ll q D R G F E mll l lo d écc com d l'églé q écèd o ob : D R G c q mo Q sq F G s

7 sé è d yo R. II.D. So R - { } com d c q As 4 4 II.D.3 Losq R - { } F modl coé d F s F s { } F. Il v d mêm o. R R c églé 's s v o l x x { } F ov s ê dé R Doc F s { } F s { } R R II.B.3 lqé à F ω do : F F d'ès II.D F doc d'où l v q II.D.4 S ' - los -. Ds c cs [ ] osos G d so q G o G. G o doc ls mêms éos s E lq II.D.3 à G G G D R G doc G G / E o cs dx dès los ds l mè c q do b II.E S N so So m{ N } D - {}. So N qlcoq. osos os o b D - {}

8 d'ès II.D.4 doc α où α s déd d. los ls l oml d Slg o c α c α c α / c c c < qd c s combl vc l'hyohès Oc c's à d q Doc. c s boé qd III - Théoèm d oly III.A. F dm décomoso d l om λ λ λ λ λ F E mll sécls o ob : λ λ. As F III.A. d O d'ès II-A- doc d d d d. d III.A.3 o o o o cos doc d'ès l qso q écèd d d.. sq > o o d d..

9 .. cos oco d.. III.B. So N* lqos III.A.3 à :... d'ès l'hyohès b o ls l oml d Slg o ob : o 4. o. o. o m d lm O chq s l'hyohès N Z doc o o Z. U s v d'éléms d Z d lm ll s écssm ll à d' c g. o ε ½ N v < ½ doc v Doc N. III.B. d'ès I.D l xs olyôm d [] d dgé l q N osdéos l oco g ; ll s ll s N. g o sq o o o olyôm cossc à l' é à o oco xoll d'ès II.E l s's q g Doc s oco olyoml. JD Smb 3

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