Mathématiques. Terminales ES et L Corrigés des exercices. Rédaction : Isabelle Tenaud Jean-Yves Hély Sébastien Kernivinen.

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1 Mathématiques Terminales ES et L Corrigés des eercices Rédaction : Isabelle Tenaud Jean-Yves Hély Sébastien Kernivinen Coordination : Sébastien Kernivinen Ce cours est la propriété du Cned Les images et tetes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceu-ci sont strictement interdits Cned-

2 Corrigé Séquence Corrigé des activités du chapitre Activité Le jeu télévisé Le premier mois Vincent touche Le versement augmente, sur le modèle des intérêts composés, de % chaque mois Ainsi le e mois Vincent touchera (on obtient ce résultat en calculant, = ) Pour le e mois on calcule, = 6, 9 Le e mois Vincent touchera 6,9 Chaque mois on multiplie la somme versée le mois précédent par, La suite v est une suite géométrique de raison q =, et de premier terme v = n On a donc vn = v q d où vn =, n La somme versée à Vincent le dernier mois est égale, en euros, à v La calculatrice nous donne v =, = 84, Le e mois Vincent touchera 84, La somme totale gagnée par Vincent durant les mois est S = v+ v+ + v Méthode Calculatrice À l aide de la touche rép sur TI 8 ou Ans sur Casio 5+ on obtient rapidement les premières valeurs La somme des valeurs correspond à un gain total de 4 9, Durant ces mois Vincent aura gagné la somme de 4 9 On a choisi de ne garder que deu décimales Sur TI 8 à l aide de la touche mode on fait entrer quitter Sur Casio 5+ on fait MENU (RUN) EXE SHIFT SET UP Corrigé Séquence MA

3 À l aide de la touche on descend jusqu à obtenir : On fait alors F (Fi) EXE pour avoir comme écran : Méthode Tableur «OpenOfficeorg Calc» A B C Rang Gain du n-ième mois Gain au bout de n mois n v n Somme 4 5 6,9 9, ,7 4 8,6 B B4 = B*, C = B C4 = arrondi(c+b4 ;) On retrouve les mêmes résultats 7 5 5,5 5 9, , , ,5 7 66,46 8 9, , 9 66,77 59, 4,77 46,87 4,9 87, , 4 9, Activité Filon de minerai Comme les quantités etraites diminuent chaque année de % le coefficient multiplicateur est égal à,99 Ainsi T= T, 99 =, 99 = 9 8 On retrouve bien le résultat donné dans l énoncé De même T = T, 99 = 9 8, 99 = 9 6 T = T, 99 = 9 6, 99 = 9 45, 98 (soit 9 46 arrondi à la tonne) D où T = 9 8 ; T = 9 6 ; T = Corrigé Séquence MA

4 Le coefficient multiplicateur étant,99 on a Tn+ = Tn,99 La suite ( T n ) est une suite géométrique de raison q =,99 et de premier termet = n n On a donc Tn = T q soit T n =, 99 L année correspond au rang n = 6 On calcule 6 T 6 =, 99 = 75, 6 La quantité de minerai etraite en est environ égale à 75 tonnes Posons Sn = T+ T + + Tn D après le Tableur «OpenOfficeorg Calc» on trouve : S 67 = 99 8 et S 68 = 6 A B C D Année Rang Quantité en tonnes Somme en tonnes n T n S n C C4 =arrondi ( C*,99) D =C D4 =D+ C4 En 7 le filon n est pas totalement épuisé C est, en théorie, dans le courant de l année 8 que le filon devrait être épuisé Remarque Dans le tableur les valeurs sont toutes arrondies à l unité En arrondissant à ou décimales les résultats seraient légèrement différents Le filon serait tout de même épuisé en 8 Corrigé Séquence MA 5

5 Corrigé des eercices d apprentissage du chapitre Eercice P P P À chaque rebond, la balle remonte au 9 de la hauteur atteinte précédemment Ainsi h= h 9, = 9, d où h = 9 h = h 9, = 9 9, d où h = 8 h h h À l issue du er rebond la balle remonte à 9 cm du sol et à l issue du e rebond elle remonte à 8 cm du sol P9 S er e e h9 9 e e REBONDS Les trajets en pointillé sont virtuels À chaque rebond la hauteur précédente est multipliée par,9 Ainsi hn+ = 9, hn La suite h est une suite géométrique de raison q =,9 et de premier terme h = n On sait que hn = h q d où n h n =, 9 n+ n On a hn+ hn =, 9, 9 n hn+ hn =, 9 (, 9 ) n hn+ hn =, 9 On en déduit hn+ hn < et la suite h est décroissante La balle demeure à moins de cm du sol dès que h n < On cherche donc le plus petit entier n tel que h n < La suite h étant décroissante il suffit de faire des essais à la calculatrice On trouve h 5 =, 58 et h 6 = 8, 5 Pour tout n 6 on a donc h n < À partir du 6 e rebond la balle restera à moins de cm du sol La balle rebondit fois sur le sol AppelonsP le point d où la balle est lâchée et S le point où elle touche le sol avant de rebondir (voir figure) AppelonsP i le sommet atteint après le i-ème rebond (pour i 9) La distance d parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu au moment où elle touche le sol pour la diième fois est donnée par d = P S + SP +P S + SP + P S + SP + P S + + SP 9 +P 9 S 6 Corrigé Séquence MA

6 On a donc d = h + h + h + h + + h 9 = + ( ) d h h h h h La somme h+ h+ h+ + h9 est la somme de 9 termes consécutifs d une suite géométrique 9 9 q h+ h+ h+ + h 9 9 = h = 9, 9 = 9 (, 9 ) q, 9 Remarque 9 D où d = + 8 (, 9 ) =, 6 (arrondi en cm à ) Pour comprendre les trajets de la balle, des trajets virtuels ont été tracés «en décalé» sur la figure Les deu premiers rebonds ainsi que le dernier sont représentés La balle aura parcouru une distance égale à, m environ avant de rebondir pour la diième fois Eercice Le premier mètre coûte 5 Chaque mètre supplémentaire creusé coûte 5 % de plus que le précédent En appelantu n le pri du n-ième mètre équipé on a la relation un+ = 5, un ce qui prouve que la suite u est une suite géométrique de raison q =,5 et de premier termeu = 5 n D oùun = u q ce qui donne n un = 5, 5 On pose Sn = u+ u + + un La somme S n est donc la somme de n termes consécutifs d une suite géométrique n n q On a Sn = u = 5 5, D où n S q 5, n = (, 5 ) Le pri à payer pour équiper une falaise de 5 mètres de hauteur est égal à S 5 5 Calculons S 5 = (, 5 ) = 467, 99 L équipement d une falaise de 5 m de hauteur coûte 467 On cherche la hauteur maimale de la falaise qui peut être équipée, sachant que le budget est de Comme chaque mètre supplémentaire a un coût, la suite S est obligatoirement croissante On cherche donc le plus grand entier n tel que S n La suite S étant croissante il suffit de faire des essais à la calculatrice On obtient S 98 = 8 75, 5 et S 99 = 4 9, 9 Pour n 99 on a S n > Pour un budget de on pourra équiper une falaise de 98 m de hauteur Corrigé Séquence MA 7

7 Eercice Désignons par a n la somme, eprimée en centimes d euro, versée le n-ième jour du mois de février ( n 8) L énoncé nous dit que a=, a =, a = 4, etc La somme versée étant doublée d un jour au jour suivant, la suite a est une suite géométrique de premier terme a = et de raison q = n n On a donc, pour n 8, an = aq d où a n = 9 Calculons a = = 5 Le février le grand-père versera 5 centimes d euro, soit 5, La somme totale versée à la date du février est donnée par S = = Le février Énora disposera d une somme de centimes d euro, soit, Le séjour au ski coûtant, Énora ne peut pas partir au ski avec cette somme En désignant par S n la somme totale versée le n-ième jour du mois de février n n on a S n = = La somme totale augmente chaque jour, la suite S est donc une suite croissante La calculatrice nous donne S 6 = et S 7 = 7 Comme, 7>, Énora pourrait partir au ski dès le 7 février Le grand-père avait promis de verser une somme d argent jusqu au 8 février 8 Calculons donc S 8 = = Remarque Cette somme, convertie en euros, s élève à la coquette somme de : ,55 Voir sur Internet la légende de l échiquier Le 8 février Énora serait donc millionnaire! Pas sûr que le grand-père ait prévu cela Eercice 4 Chaque année les remboursements augmentent de % Le premier remboursement est b = On a b = b, =, = 4 b = b, = 4, = 88 Ainsi b = 4 et b = 88 Le coefficient multiplicateur est égal à, La suite ( b n ) est donc une suite géométrique de premier terme b = et de raison q =, 8 Corrigé Séquence MA

8 n On sait que bn = b q d où n bn =, n n q Sn = b =, n d où S q, n = (, ) L acquéreur rembourse le prêt en 7 versements On calcule donc S 7 7 On a S 7 = (, ) soit S 7 = , 66 (arrondi à ) L acquéreur remboursera au total la somme de Corrigé Séquence MA 9

9 Corrigé de l activité du chapitre Activité Marché des télécommunications On estime que, chaque année, % de la clientèle de A change pour B alors que % de la clientèle de B change pour A En la société A comptait 9 clients et la société B en comptait On note a n le nombre de clients de la société A en ( + n) Pour n = on obtient a = 9, 8 +, = 75 On a bien a = 75 Calculons a = 75, 8 + ( 75), = 675 On trouve a = 675 On a a a = = 6 et a a = = D où a a a, ce qui prouve que la a suite ( a n ) n est pas géométrique La suite ( a n ) n est pas géométrique La société A récupère a n 8, ; ( a n ), D où an+ = an, 8 + ( an), En développant on trouve an+ =, 5an + Voici des captures d écran de calculatrice Sur Casio 5+ on fait Ans au lieu de rép On observe que la suite ( a n ) semble décroissante et que le terme a n semble se rapprocher du nombre 6 Conjecture la suite ( a n ) semble décroissante ; le terme a n semble se rapprocher du nombre l = 6 On peut penser qu à moyen terme le nombre de clients va se stabiliser : 6 pour la société A et 4 pour la société B Corrigé Séquence MA

10 Corrigé des eercices d apprentissage du chapitre Eercice 5 n+ On donne u n = n n n n On peut écrire u n = = n Comme < <, lim = n + D où lim u n = n + n On donne v n = n+ ( n ) n On peut écrire v n = = n 4 Comme 4 n 4 <, lim =+ n + De plus > D où lim v =+ n n + n n On donne w n = n n On sait que < < et < D où lim ; lim n + = n + =+ n et lim n + = D où lim w n = n + Eercice 6 Soit ( u n ) une suite géométrique de raison q (avec q > ) telle que :u = 8 et lim u + u + + u = n n + On sait que si la limite de la somme de n termes consécutifs, d une suite géométrique est finie alors la raison q vérifie < q < D après le cours on peut écrire lim u + u + + u u = n n + q 8 Comme u = 8 on obtient q = ce qui donne 8 = ( q) La raison q est solution de l équation 8 = ( q) d où q =, La raison de la suite géométrique ( u n ) est q =, Corrigé Séquence MA

11 Eercice 7 n+ On donne, pour n, u n = et S n n = u+ u + + un Montrons que la suite ( u n ) est une suite géométrique n n Calculons u = = On a aussi u n = = n La suite ( u n ) est géométrique de raison q = et de premier terme u = 4 8 Calculonsu et u D après la définition de la suite u = et u = 9 Calculons S u u 4 = + = + = et S u u u = + + = = 9 8 Ainsi S = et S = 9 u Comme < q <, la limite de la suite ( S n ) est finie et lim S n = = = n + q 6 D où lim S n = 6 n + Eercice 8 Soit ( u n ) la suite définie, pour n, par u n = n+ Calculonsu = n On peut écrire u = n n+ = d où u n n = La suite ( u n ) est une suite géométrique de raison q = et de premier termeu = Comme < q <, lim u n = n + Calculons la sommer = u5+ u6+ + u6 On a R = q u q = = On peut écrire R = On pose Sn = u5+ u6 + + un Ainsi S n est la somme de termes consécutifs d une suite géométrique de raisonq = et de premier termeu 5 = = 6 64 D après le cours lim S = u5 n n + q = 64 = d où lim S 64 n = n + Corrigé Séquence MA

12 Corrigé des activités du chapitre 4 Activité 4 Abonnement à un magazine a On trace la droite (D) d équation y =,85 +,8 et la droite (d) d équation y = dans un repère orthonormé y (D) y =,85 +,8 (d) y = (D) (d),8 O u = 8 u u u b On place u = 8 sur l ae des abscisses On obtient u comme ordonnée du point de (D) d abscisse u = 8 La droite (d) permet de ramener u sur l ae des abscisses ; il suffit ensuite de réitérer la construction précédente avec u, u, etc On peut aussi faire la construction sur une calculatrice c Conjecture : la suite semble avoir pour limite le réel, abscisse du point d intersection des deu droites Corrigé Séquence MA

13 On pose, pour tout entier naturel n, vn = un Ainsi v = u = 8 = 4 a Eprimons v n+ en fonction dev n vn = un (par définition de la suite v) + + vn+ =, 85un +, 8 =, 85un, u n+ vn+ = 85, ( vn + ), vn 85, vn + = u n La suite ( v n ) est une suite géométrique de raison q =,85 et de premier termev = 4 n n b On sait que, pour tout n, vn = v q d où v n = 4, 85 Par définition vn = un d où un = vn + n On a donc, pour tout entier naturel n, u n = 4, 85 n c Comme <,85 <, la suite géométrique de terme général 85, est décroissante n Comme 4 <, la suite géométrique de terme général v n = 4, 85 est croissante Le fait d ajouter au terme v n ne change rien au sens de variation : la suite ( u n ) a le même sens de variation que la suite ( v n ) Les suites ( v n ) et ( u n ) sont croissantes Remarque On peut aussi montrer que n+ n n un+ un = = 4 85 n,,, (, 85)= 6, 85, n n d Comme <,85 <, lim 85, = et lim 4, 85 = n + n + On a un = vn + et lim v n = Ainsi lim u n = n + n + Un magazine, vendu uniquement par abonnement, avait 8 milliers d abonnés en D une année sur l autre 5 % des abonnés ne se réabonnent pas, donc 85 % se réabonnent On sait d autre part que chaque année il y a 8 nouveau abonnés ce qui fait,8 millier de nouveau abonnés par an 4 Corrigé Séquence MA

14 a On désigne paru n le nombre de milliers d abonnés en ( + n) Ainsi u = 8 et un+ =, 85 un + 8, abonnements nouveau renouvelés abonnés Le nombre d abonnements à ce magazine peut donc être modélisé par la suite ( ) u n b L année 6 correspond au rang n = 6 Calculons 6 u 6 = 4, 85 =, 49 4 On peut estimer à 49 le nombre d abonnés à ce magazine en 6 Activité 5 Évolution de population Au er janvier 5, une ville avait une population de habitants Pour tout entier naturel n, on noteu n le nombre d habitants de cette ville au er janvier de l année 5 + n Ainsiu = On sait que le nombre d habitants de la ville augmente chaque année de 5 % du fait des naissances et des décès ; du fait des mouvements migratoires, 4 personnes supplémentaires viennent s installer chaque année dans cette ville Calculons le nombre d habitants en 6 et en 7 On a u=, 5 u+ 4 =, = 9 De même u =, 5 u+ 4 =, = 8 45 Ainsi u= 9 et u = 8 45 On a u u = 9 et u u= 9 45 Ainsi u u u u, ce qui prouve que la suite u n est pas arithmétique On a u 9 u 8 45 = = 9, et = =, 86 u u 9 Ainsi u u, ce qui prouve que la suite u n est pas géométrique u u La population d une année s obtient en multipliant le nombre d habitants de l année précédente par,5 et en ajoutant 4 D où un+ = 5, un + 4 augmentation nouveau naturelle habitants Corrigé Séquence MA 5

15 a On pose vn = un +8 D où un = vn 8 Calculons v = u+ 8 = + 8 soit v = 8 b On peut écrire vn+ = un+ + 8 vn+ =, 5 un u n + vn+ =, 5 un + 84 vn+ =, 5 ( vn 8 ) + 84 D où vn+ = 5, vn u n La suite v est géométrique de raison q =,5 et de premier termev = 8 n n c On sait que vn = v q d où v n = 8, 5 On sait que u n = v n 8 n D où u n = 8, 5 8 a L année correspond au rang n = 5 5 Calculonsu 5 = 8, 5 8 = 94 7, 7 On peut estimer la population de la ville à 94 7 habitants en b On a n+ n un+ un = 8, 5 8 ( 8, 5 8 ) n n un+ un = 8, 5, 5 8, n un+ un = 8, 5 (, 5 ) n un+ u n = 9, 5 D oùun+ un > et la suite u est croissante c On cherche le plus petit entier n tel que u n > Comme la suite u est croissante il suffit de faire des essais à la calculatrice On obtient u 9 = 99 9, 7 et u =, Pour tout n > 9 on a donc u n > Dès l année 5 la population de cette ville devrait dépasser habitants 6 Corrigé Séquence MA

16 Corrigé des eercices d apprentissage du chapitre 4 Eercice 9 On considère la suite ( u n ) définie par u = 4 un + = 5, un Calculons les termes uet u Pour n = on obtient u= 5, u = 5, 4 d où u = 5 Pour n = on obtient u = 5, u = 5, 5 d où u = 65, Ainsi u= 5et u = 6, 5 Calculons u u = 5 4= et u u= 65, 5= 5, Calculons u u 5 = et u 65, = =, 4 u 5 la suite ( u n ) n est pas arithmétique Comme u u u u u Comme u u la suite ( u ) u n n est pas géométrique On définit la suite ( v n ) parvn = un D oùun = + vn a Calculons v = u = 4 = et eprimonsv n+ en fonction dev n On peut écrire vn+ = un+ vn+ = 5, un = 5, un un+ vn+ = 5, ( + vn) vn+ = 5, vn Ceci prouve que la suite ( v n ) est géométrique de raison q =,5 et de premier terme v = n n b On sait que vn = v q d où v n = 5, On sait que un = + vn n Ainsi u n = + 5, n c On a <,5 d où lim 5, =+ n + De même lim u =+ n n + Corrigé Séquence MA 7

17 Eercice Soit ( u n ) la suite définie par u = et, pour tout n un =, + u n + La TI 8 affiche les valeurs deu, u et u4 (sur Casio 5+ faire Ans au lieu de rép ) u u u u 4 On trouve u = ; u =, 5et u =, 75 4 D après la représentation graphique des termes de la suite on conjecture que : = 4 On considère la suite ( v n ) définie, pour n, par vn = 4 un a Calculons v = 4 u = 4 d où v = Eprimons v n+ en fonction dev n On peut écrire vn+ = 4 un+ = 4 un + u n + vn+ = un = vn vn = un u ( 4 ) car 4 d'où n = 4 v n un vn+ = v n La suite ( v n ) est géométrique de raison q =,5 et de premier termev = n n b Le premier terme étantv on a vn = vq = (, 5) n On peut encore écrire v n = soit v n = n Par définition vn = 4 un d où un = 4 vn On en déduit u = 4 n n c On a <,5 < d où lim v n = ce qui implique lim u = 4 n n + n + 8 Corrigé Séquence MA

18 Eercice Partie A Étude de l offre de la banque A La banque A propose un placement à intérêts composés au tau annuel de,5 % Le coefficient multiplicateur est donc égal à,5 La suite a est une suite géométrique de raison q =,5 et de premier terme a = n n On sait que an = a q d où a n =, 5 Le capital disponible au début de l année est donné par a Calculons a =, 5 = 4 5, 987 (arrondi au centime d euro à 4 5,99) Le capital disponible au début de l année est égal à 4 5,99 Partie B Étude de l offre de la banque B La banque B propose un placement à intérêts composés au tau annuel de % du capital Les intérêts obtenus sont augmentés d une prime annuelle de 7 intégrée au capital On a b = et b = 7 Calculons b = b, + 7 = 7, + 7 d où b = 747, 4 On a b b = 7 = 7 et b b= 747, 4 7 = 77, 4 On a b b 7 = =, 7 et b 747, 4 = =, 6 9 b 7 Comme b b b b la suite b n est pas arithmétique Comme b b la suite b n est pas géométrique b b On obtient le capital d une année en multipliant le capital de l année précédente par, et en ajoutant la prime annuelle égale à 7 D où bn+ =, bn + 7 capital prime + intérêts Pour tout entier naturel n on poseun = bn +8 5 Corrigé Séquence MA 9

19 a Calculons u = b+ 8 5 = soit u = 8 5 b Eprimons u n+ en fonction de u n On a un+ = bn un un+ =, bn =, bn b n+ + =, ( un 8 5) car un = bn bn d'où bn = un 8 5 un, un + = La suite u est une suite géométrique de raison q =, et de premier terme u = 8 5 n n c On sait queun = u q d où u n = 8 5, On en déduit n b n = 8 5, 8 5 Le capital disponible au début de l année est donné par b Calculons b = 8 5, 8 5 = 4 5, 96 (arrondi au centime d euro à 4 5,4) Le capital disponible au début de l année est égal à 4 5,4 On a a > b L offre de la banque A est donc (légèrement) plus intéressante que celle de la banque B Sur ans la différence n est que de 54,59 en faveur de la banque A Eercice On donne v = et vn+ = 4 v 5 n + 8 Corrigé Séquence MA On pose, pour n, un = vn α Eprimons u n+ en fonction deu n 4 a On peut écrire un+ = vn+ α = vn + 8 α (avec v u 5 n = n +α ) un+ = 4 un + + = 4 8 u 5 n ( α) α α 5 Pour que la suite u soit géométrique de raison q = α =, d où α = 5 8 = 4 5 il faut avoir

20 Pour α = 4 la suite u est géométrique et on a la relation un = vn 4 Calculons u = v 4 = 4 soit u = 4 n n b On sait queun = u q d où n u n = 4 4 = 4 (, 8) 5 On en déduitvn = 4 + un soit n v n = 4 4 (, 8) 75 5 L indice d n est donné par dn = v 7 7 n On calcule d = 75 5 v = 7 7, soit d 5 = n On sait que dn = v 7 7 n, d où d n = 4 4 (, 8) On obtient n d n = + ( 8, ) 7 7 Remarque Les indices v n et d n sont des indices trimestriels Pour calculer les valeurs des deu indices au bout des trois ans, nous devons calculer v etd La calculatrice nous donne 5 v = 4 4 (, 8) = 7, 5 et d = + (, 8) = 9, En arrondissant les deu indices à l unité on obtient v = 7 et d = 9 On pouvait aussi calculer directement une valeur approchée de d connaissant v 7, 5 Corrigé Séquence MA

21 Corrigé des eercices de synthèse de la séquence Eercice I En la forêt possède 5 milliers d arbres On a doncu = 5 Comme 5 % des arbres sont abattus chaque année, le coefficient multiplicateur est égal à,95 On sait de plus que milliers d arbres sont replantés chaque année On a donc la relation suivante, valable pour tout entier n : un+ = (, 5) un + soit un+ = 95, un + abattage arbres de 5% replantés ( milliers ) Ainsi u = 5 et, pour tout entier naturel n, un+ = 95, un + On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par vn = 6 un D où un = 6 vn a Eprimons v n+ en fonction de v n On a vn+ = 6 un+ = 6 (, 95 un + ) = 57, 95 u n u n+ vn+ = 57, 95( 6 vn) = , 95 v n un vn+ = 95, vn La suite v est donc une suite géométrique de raison q =,95 et de premier terme v n b Calculons v = 6 u = 6 5 d où v = On sait que vn = v q n d où v n =, 95 c Par définition vn = 6 un ce qui donne un = 6 vn n Ainsi, pour tout entier naturel n, u n = 6 (, 95) L année 5 correspond au rang n = 5 Le nombre d arbres de la forêt en 5 est donné, en milliers, par u 5 La calculatrice donneu 5 = 5, 6 9 On a u 5 = 5 6, 9 (arrondi à l unité à 5 6) On estime à 5 6 le nombre d arbres de la forêt en 5 Corrigé Séquence MA

22 ( ) n+ n a On peut écrire un+ un = 6 (, 95) 6 (, 95) n un+ un = (, 95) (, 95) n un+ un = 5, ( 95, ) b D après ce qui précède on peut dire que, pour tout entier naturel n, un+ un > La suite u est strictement croissante et donc strictement monotone Calculons 5, = 55 On cherche le plus petit entier n tel que u n > 55 La suite u étant strictement croissante on fait des essais à la calculatrice On a + 4 = 4 Le nombre d arbres de la forêt aura dépassé de % le nombre d arbres de la forêt en à partir de 4 On a <,95 <, d où lim ( 95, ) n = et lim (, 95 ) n = n + n + Ainsi lim u = 6 n n + u est strictement croissante ; lim u n = 6 ; n + n n, u n < 6 car 6 u n = (, 95) Ainsi le nombre d arbres devrait continuer à augmenter d année en année et se rapprocher de 6, sans jamais atteindre ce nombre (en théorie bien entendu) Eercice II a On désigne par C n le capital, eprimé en euros, disponible le er janvier de l année ( + n) Le capital disponible le er janvier 4 est doncc Le tau annuel du placement étant de,5 % le coefficient multiplicateur est égal à,5 Le décembre Monsieur Magot a placé 7 supplémentaires Calculons, = 77 Ainsi C = 77 Le capital disponible le er janvier 4 est égal à 77 b Le capital C n+ est égal au capitalc n multiplié par,5 auquel on ajoute 7 D où Cn+ =, 5 Cn + 7 Corrigé Séquence MA

23 Pour tout entier naturel n, on pose :un = Cn + a Calculons u = C+ = + = Eprimons, pour tout entier n, u n+ en fonction de u n On peut écrire un+ = Cn+ + =, 5C n =, 5Cn + 7 relation de Cn+ récurrence un+ =, 5 ( un ) + 7 un+ =, 5 un La suite ( u n ) est une suite géométrique de raison q =,5 et de premier terme u = n n b On sait que un = u q d où u n = (, 5) c On connaît la relation un = Cn + d où Cn = un n Ainsi, pour tout entier naturel n,c n = (, 5) d Le capital disponible le er janvier 8 est donné, en euros, par la valeur de C 5 La calculatrice nous donnec 5 = 6 9, 98 (arrondi à 6 9 à l euro près) Le capital disponible le er janvier 8 est égal à 6 9 Désignons les 4 mensualités par m, m, m et m4 Ces quatre mensualités forment quatre termes consécutifs d une suite arithmétique de raison r = 8 On sait que m+ m+ m+ m4 = 6 On peut écrire m+ m+ r + m+ r + m+ r = 4m+ 6r = 4m+ 6 8 = 6 m m m 4 On en déduit 4m = d où m = Ainsi m = ; m = ; m = 9 ; m = 7 4 Les quatre mensualités s élèvent respectivement à,, 9 et 7 Eercice III On peut indiquer dans un tableau les étapes montrant les soldes sur le compte courant et sur le compte épargne 4 Corrigé Séquence MA

24 Date n Solde du compte courant S n Solde du compte épargne e n =75, 5 75 = = 875, = 47, ,5 = 97,5, 5 97, 5 = 468, 75? n Sn = 5 +, 5 Sn Sn = 5 + en en = 5, Sn Le 8 mars le solde S est égal à 5 +, 5 S = 875 et e = 47, 5 Le 8 avril le solde S 4 est égal à 5 +, 5 S = 97, 5 et e 4 = 468, 75 D après le tableau précédent on a : en+ = 5, Sn+ = 5, (5 +e n ) On a donc e n+ = 5, ( e n +5) a Pour tout nombre entier naturel n non nul, on définit la suite v par vn = 5 en Calculons v = 5 e = 5 5 = 5 Eprimons v n+ en fonction dev n On a, pour tout n >,vn+ = 5 en+ = 5, 5( en + 5) v e v e n + n+ = 5 5, 5 n = 5, 5( 5 n) vn 5, vn + = La suite v est une suite géométrique de raison q =,5 et de premier terme v = 5 e n b On sait que, pour tout n n n, vn = v q d où v n = 5 (, 5) c Calculons S = v+ v+ + v La somme S est la somme de termes consécutifs d une suite géométrique q On calcule S = v = 5 5 (, ) D où S = 5 (, 5) q, 5 Corrigé Séquence MA 5

25 a On sait que en = 5 vn, soit n e n = 5 5 (, 5) b Le montant C de la somme capitalisée sur le plan épargne est donné par C = e + e + + e On a C = ( 5 v ) + ( 5 v ) + ( 5 v ) + + ( 5 v ) C = 5 ( v+ v+ + v) C = 6 S = 6 5 ( 5, ) C = (, 5) C = 5 5, La somme capitalisée sur le plan d épargne le 9 décembre sera égale à 5 5, Eercice IV À l étape on a colorié 8 nouveau carrés ; ainsic = 8 Dans chacun des 8 carrés où l on a colorié un carré à l étape on colorie 8 nouveau carrés, ce qui fait 8 8 nouveau carrés à l étape ; ainsic = 64 On a donc c = 8et c = 64 On admet que la suite c est géométrique Son premier terme estc = et sa raison q = 8 n On sait que cn = c q d où n cn = 8 On désigne par S n le nombre total de carrés coloriés à l issue de l étape n a Ainsi S = ; S = + 8; S = ce qui donne S = ; S = 9; S = 7 On a S = 9S mais S 9S, ce qui prouve que la suite S n est pas géométrique b S n est la somme de n termes consécutifs de la suite c qui est une suite géométrique n q On a Sn = c n q Ainsi S n = 8 n 8 d où S 8 n = 7 c La suite S est une suite croissante car le nombre total de carrés coloriés augmente à chaque étape On cherche d abord quel est le plus petit entier n tel que S n, puis ensuite le plus petit entier n tel que S n 6 Corrigé Séquence MA

26 À l aide de la calculatrice on trouve : Pour n 5 on a S n et pour n 8 on a S n n n n 8 d Comme 8, lim 8 =+, lim ( 8 ) =+ et lim =+ n + n + n + 7 On a donc lim S n =+ n + Le nombre de carrés augmente très vite mais l aire de chacun d eu diminue très vite elle aussi On peut néanmoins penser qu en coloriant de plus en plus de carrés on va finir par colorier quasiment tout le carré initial Intuitivement on pense que lim a n = aire du carré initial, d où lim a n = n + n + Remarque n On peut démontrer que a n = 8 9, d où lim a n = n + Corrigé Séquence MA 7

27 Corrigé Séquence Corrigé des activités du chapitre Activité Étude d une fonction coût Soit C la fonction définie sur [ ; ] parc( ) = La fonction C est une fonction polynôme dérivable sur [ ; ] La fonction dérivée C est définie par C'( ) = Le trinôme a pour discriminant = 6 Comme < le trinôme garde un signe constant sur [ ; ] ; ce signe étant le même que celui du coefficient de, le trinôme est positif sur [ ; ] La fonction C est croissante (strictement) sur [ ; ] Dressons le tableau de variation de la fonction C C'( ) + C ( ) Soit A le point de (C ) d abscisse = 4 Calculons C( 4) = 96 et C '( 4) = 64 Une équation de la tangente à la courbe (C ) au point A est y C( 4) = C'( 4) ( 4 ) ce qui donne ici y 96 = 64( 4) On obtient y = 64 Une équation de la tangente en A est y = 64 Cette tangente passe par l origine du repère a La recette R( ) est donnée par R ( ) = Le bénéfice B ( ) est défini par B ( ) = R ( ) C ( ) = ( ) Ainsi B ( ) = Corrigé Séquence MA 9

28 b Étudions le sens de variation de la fonction B sur l intervalle [ 5; ] La fonction B est une fonction polynôme dérivable sur [ 5; ] La fonction dérivée B est définie par B'( ) = Le trinôme a pour discriminant =5 84 Les racines du trinôme sont = et = 5 Comme [ 5; ], seule la racine convient B'( ) = pour = 5 B'( ) < pour ] 5 ; ] B'( ) > pour [ 5; 5 [ La fonction B est donc croissante sur [5 ; 5] et décroissante sur [5 ; ] Dressons le tableau de variation de la fonction B 5 5 B'( ) + B ( ) c Le bénéfice est maimal lorsque l entreprise fabrique 5 objets On a B ma = 958 a On voit intuitivement que le bénéfice s annule pour une valeur dans [5 ; 5] et pour une valeur dans [5 ; ] La calculatrice donne B( 8) = et B( 9) = 94 puis B( 9) = 54 et B( ) = 9 L entreprise reste bénéficiaire si elle fabrique un nombre d objets tel que 9 9 b L entreprise veut assurer un bénéfice d au moins 5 On cherche donc tous les entiers tels queb( ) 5 La calculatrice donne B( ) = 8 et B( ) = 5 puis B( 8) = 58 et B( 9) = 54 Le bénéfice est au moins égal à 5 pour les valeurs entières de telles que 8, c est-à-dire pour { ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} Corrigé Séquence MA

29 Activité Fonction de demande et élasticité Partie A Étude d une fonction ( + ) On considère la fonction f définie sur R parf( ) = + + Pour que la fonction f soit définie il faut avoir + + On peut écrire + + = ( + + ) + = ( + ) + ce qui montre que, pour tout réel, + + > La fonction f est bien définie sur R a La fonction f est le quotient de deu fonctions polynômes dérivables sur R Comme le dénominateur ne s annule pas sur R, la fonction f est dérivable sur R u ( ) = + Posons d où v ( ) = + + u uv ' uv' On a f = soitf ' = v v + + ( + ) ( + ) D où f'( ) = ( + + ) = ( + + ) = ( + + ) ( ) Ainsi f'( ) = + ( + + ) u'( ) = v'( ) = + = ( + ) La fonction dérivée a le même signe que le trinôme ( + ) Ce trinôme s annule pour = et pour = f'( ) = pour { ; } f'( ) > pour ] ; [ f'( ) < pour ] ; [ ] ; + [ b La fonction f est croissante sur ] ; [, décroissante sur ] ; [ et sur ] ; + [ Corrigé Séquence MA

30 Dressons le tableau de variation de la fonction f + f'( ) + f( ) Partie B Fonction de demande et élasticité a Le pri unitaire de 6 euros correspond à = 6 On calcule donc f ( 6) =, 8 Pour un pri unitaire de 6 euros, le nombre d objets demandés est égal à 8 b Lorsque le pri unitaire de 6 euros augmente de % il est égal à 66 euros On calcule donc f ( 6, 6) =, 777 Pour un pri unitaire de 66 euros, le nombre d objets demandés est égal à 777 c On calcule =, 8 8 Lorsque le pri passe de 6 à 66 la demande baisse de,8 % f L élasticité E( ) est définie par E( ) = '( ) f( ) ( ) ( a E ( ) = ) = ( + + ) ( + ) ( + )( + + ) ( + ) D où E ( ) = ( + )( + + ) b Pour on a ( + ) ( + )( + + ) > d où E( ) Corrigé Séquence MA

31 Si > alors E( ) <, ce qui signifie que si un pri non nul augmente de % alors la demandef( ) diminue c Sur l écran de la calculatrice la courbe représentant la fonction E montre que la fonction E semble décroissante sur[ ; + [ Les résultats affichés sur l écran nous permettent de dire que pour un pri de 8 environ l élasticité est égale à,5 Remarque On note que le réel E (6) est très proche du résultat obtenu en c d Lorsqu un pri passe de 6 à 66 euros, ou de à euros, il augmente dans les deu cas de % En calculant l élasticité par rapport à ces deu pri on obtient donc la variation de la demande Calculons E( 6) =, 8 8 ete( ) =, Lorsque le pri passe de 6 à 66 la demande baisse de,8 % ; lorsque le pri passe de à la demande baisse de, % Corrigé Séquence MA

32 Corrigé des eercices d apprentissage du chapitre Eercice Cq Le coût moyen est défini, pour q, par CM ( q ) ( ) = q Le coût marginal de production est défini par Cma ( q) = C'( q) C'( q) q C( q) Dérivons la fonction «coût moyen» On a C' M ( q) = q Si le coût moyen admet un minimum pour une valeur q on a C' M ( q ) = Cq On a donc qc'( q) Cq ( ) = d où q = ( ) C'( q ) Comparons CM ( q ) et C ma ( q ) On a C q Cq Cq M ( ) ( ) ( ) = = = C'( q ) q Cq ( ) C'( q ) Par définition du coût marginalc'( q) = Cma ( q), ce qui implique CM( q) = Cma( q) Ainsi, pour la valeur q telle quec' M ( q ) =, on a bien CM( q) = Cma( q) Soit A le point d abscisse q situé sur la courbe représentant la fonction «coût total» Le point A a pour coordonnées ( q ; C( q) ) Le coefficient directeur de la tangente en A est m = C'( q ) L équation de la tangente en A est de la forme y = C'( q ) q+ b Déterminons la valeur de b en écrivant que A est sur la tangente Au point A on peut écrirec( q) = C'( q) q+ b d où b = L équation de la tangente au point A d abscisseq est y = C'( q ) q La tangente en A passe par l origine du repère Eercice On considère la fonction «coût» définie sur l intervalle [ ; ] par C ( ) = La fonction «coût moyen» est définie sur l intervalle [5 ; ] par CM ( ) = Corrigé Séquence MA

33 a Déterminons la dérivée de la fonction C M 9 C' M ( )= 4 54 ce qui s écrit aussi C 7 96 ' M ( ) = b Comme >, C' M ( ) a le même signe que 7 96 Développons ( 4)( + + 4) = = 7 96 Ainsi C' M ( ) a le même signe que ( 4)( + + 4) c Le trinôme a un discriminant négatif ( = ) Pour tout réel il garde le signe du coefficient de Ainsi, pour tout de l intervalle [ 5; ], + + 4> La dérivée C' M ( ) a donc le même signe que 4 C' M ( )= pour = 4 C' M ( )< pour [ 5; 4 [ C' M ( )> pour ] 4 ; ] Dressons le tableau de variation de la fonction C M sur l intervalle [5 ; ] 5 4 C' M ( ) + CM ( ) 58,4 64 9,6 a La fonction «coût marginal» est définie sur l intervalle [5 ; ] par Cma ( ) = C '( ) = b Déterminons la fonction dérivée de la fonction C ma On a C' ma ( ) = 8 = ( 9 ) C' ma ( )= pour = 9 C' ma ( )< pour [ 5; 9 [ C' ma ( )> pour ] 9; ] La fonction C ma est décroissante sur[ 5; 9 ] et croissante sur [9 ; ] Corrigé Séquence MA 5

34 Dressons le tableau de variation de la fonction C ma sur l intervalle [5 ; ] 5 9 C' ma ( ) + 74 Cma ( ) 4 c Le coût moyen est minimal pour = 4 Comparons C M ( 4 ) et C ma ( 4 ) C M ( 4) = 64 etc ma ( 4) = 64 On a donc CM( 4) = Cma( 4) Les courbes représentatives des deu fonctions C M et C ma sont tracées sur la figure Elles se coupent au point K ( 4; 64 ) y Figure 7 y = C M () = y = C ma () = K(4;64) O Eercice Partie A On considère les fonctions C et B définies sur l intervalle [ ; 6 ] par C ( )= 45 5 et B( ) = La fonction C est une fonction affine : elle est donc représentée par un segment sur [ ; 6] 6 Corrigé Séquence MA

35 On calcule C( ) = 45 etc( 6) = 5 Le segment d est tracé sur la figure La dérivée de la fonction B est définie par B'( ) = + 55 B'( ) = pour = 7, 5 B'( ) < pour ] 7, 5 ; 6 ] B'( ) > pour [ ; 7, 5 [ Dressons le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [ ; 6] 7,5 6 B'( ) + B ( ) 6, La courbe ( B ), qui est une partie de parabole, est tracée sur la figure Figure y 4 d K(;) (B) d y = C() = 45 5 (B) y = B() = Corrigé Séquence MA 7

36 a Résolvons l inéquation B( ), c est-à-dire Le trinôme a pour discriminant =5 et pour racines = et = 45 Comme le coefficient de est négatif (il est égal à ) le trinôme est positif entre les racines L ensemble des solutions de l inéquation B( ) est l ensemble S tel que S = [ ; 45 ] Graphiquement on vérifie que = et pour = 45 ; cisses b Soit K le point de la courbe (B) d abscisse = Ce point K a pour ordonnée y = B( ) = Pour = on a 45 5 = 45 5 =, ce qui prouve que le point K est sur le segment d Calculons B'( ) = = 5 Le nombre dérivé B'( ) est égal au coefficient directeur du segment d, ce qui prouve que le segment d est tangent à la courbe (B) au point K ( ; ) Le segment d est tangent à la courbe (B) au point K ( ; ) Partie B La dépense, eprimée en euros, est égale à : + 5 N ( ) = + 5 ( 5 ) = 45 5 La dépense, eprimée en milliers d euros, est donc égale à 45 5 = C( ) La recette R(), eprimée en euros, est égale à : N( ) = ( 5 ) = ( 5 ) La recette R(), eprimée en milliers d euros, est R ( ) = ( 5 ) = 5 Le bénéfice pour un spectacle est B ( ) = R ( ) C ( ) = 5 ( 45 5) = Le bénéfice, eprimé en milliers d euros, est donc B( ) = Corrigé Séquence MA

37 a D après les variations de la fonction B le bénéfice sera maimal pour = 7, 5 Le bénéfice est maimal lorsque le pri du billet est fié à 7,5 b Le bénéfice est positif ou nul sib( ) Le bénéfice est positif ou nul si le pri du billet, eprimé en euros, est tel que 45 Eercice 4 t La fréquence f() t est donnée par f()= t t + pour t Calculons f () = = 6 5 Le pourcentage de personnes qui connaissent le nom de ce remède au bout d une semaine est égal à 6 % Le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout d une semaine est donc égal à 4 % Résolvons l équation f() t = 75 On résout l équation t = 75 ce qui donne t + t = 75( t + ) = 5t + 5 D où t = Résolvons l équation f() t = 9, 75 On résout l équation t = 9, 75 ce qui donne t + t = 9, 75( t + ) = 8, 5t + 87, 5 D où t = sent le nom de ce remède Au bout de di semaines 9,75 % des personnes connaissent le nom de ce remède Les deu fonctions u: t t etv : t t + sont définies et dérivables sur [ ; + [ De plus la fonction v ne s annule pas sur [ ; + [ u La fonction f = est donc dérivable sur [ ; + [ et l on a v ( t + ) t f'( t) = ( t + ) D où f'( t) = ( t + ) Sur l intervalle [ ; + [ on af'( t) > La fonction f est donc strictement croissante sur[ ; + [ Corrigé Séquence MA 9

38 Dressons le tableau de variation de f sur l intervalle [ ; 8] t 8 f'( t) + ft () On a f ( 8) 96, 4 Le tracé de la courbe C, représentative de la fonction f, est sur la figure Figure y 9 T A 8 C A(;6) 4 C y = f(t) = t t + T A y = 4 t t Les coordonnées du point A sont A( ; f( )) ce qui donne A( ; 6 ) Pour t = le nombre dérivé est f '( ) = 4 Une équation de la tangente au point A est y = 4( t ) + 6 soit y = 4t + 6 Une équation de la tangente T A est y = 4t + 6 Cette tangente T A est tracée sur la figure a Le graphique nous montre que l équation f()= t 9 admet une solution t proche de 6 Calculons f ( 6) = 9 Au bout de 6 semaines 9 % des personnes connaissent le nom de ce remède 4 Corrigé Séquence MA

39 b Le graphique nous montre que l équation f()= t 95 admet une solution t proche de Calculons f ( ) = 94, 76 et f ( ) = 95, Au bout de semaines 95 % des personnes connaissent le nom de ce remède Il faut donc 7 semaines pour passer de 9 % à 95 % c On sait qu au bout de 6 semaines 9 % des personnes connaissent le nom de ce remède Pour faire passer ce tau de 9 % à 95 % il faudrait sept semaines supplémentaires de publicité La courbe nous montre aussi qu à partir de t = 6 la croissance de la fonction f est assez lente Il est donc raisonnable d arrêter la campagne au bout de si semaines Eercice 5 Partie A a On lit sur le graphique f ( 4) =, ce qui montre qu il y a saturation pour = 4 b La fonction f étant croissante sur l intervalle [ ; 4], sa dérivée est positive sur cet intervalle La fonction f étant décroissante sur l intervalle [4 ; 8], sa dérivée est négative sur cet intervalle Il y a «envie» sur l intervalle [ ; 4] et «rejet» sur l intervalle [4 ; 8] a Pour = 4 la dérivée s annule en changeant de signe, d où v( 4) = b La fonction v est une fonction affine, d où v( ) = a+ b On sait que v( 4) = et v( ) = 5 v( ) = 5 implique v( ) = b = 5 v( 4) = 4a+ 5=, d où a =, 5 La fonction v est définie par v ( ) =, c On av'( ) =, 5 ce qui montre que v est décroissante sur [ ; 8] La fonction f est définie par f( ) = a + b + c On lit sur le graphique f( ) = f( 8) = et f ( 4) = Comme f ( ) = alors c = Corrigé Séquence MA 4

40 64a+ 8b = 8a+ b = L D où soit, après simplification, 6a+ 4b = 4a+ b = 5 L L L donne 4a = 5, d où a = 65, L L donne b = 5 La fonction f est définie sur [ ; 8 ] par f( ) = 65, + 5 Partie B La fonction de satisfaction f est définie, pour tout de [ ; + [, par f( )= + ( + ) On peut écrire = = = f( ) Ainsi f( ) = + On en déduit : f( ) =, d où f( ) > Ceci montre que, pour + tout de [ ; + [, f( ) < Aucun réel ne permet d obtenir la saturation La fonction envie v est la dérivée de la fonction f u ( ) = Posons w ( ) = + d où u'( ) = w'( ) = u uw ' uw' On af =, d où f ' = w w ( + ) On obtient v( ) = f'( ) = = Ainsi v ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) La fonctionv est strictement positive sur l intervalle[ ; + [ Il y a «envie» sur tout l intervalle[ ; + [ et «rejet» sur aucun intervalle Partie C La fonction de satisfaction f est définie sur l intervalle [ ; ] par f( ) = + Les fonctions et + sont dérivables sur [ ; ] et + > 4 Corrigé Séquence MA

41 La fonction f est dérivable sur [ ; ] u ( ) = Posons w ( ) = + d où u'( ) = w'( ) = u uw ' uw' On a f =, d où f ' = w w ( + ) ( ) On obtient f'( ) = = ( + ) ( + ) ( )( + ) Ainsi f'( ) = ( + ) a Comme [ ; ] la fonction dérivée a le même signe que = pour = f'( ) = pour = < pour < f'( ) < sur ] ; ] > pour < f'( ) > sur [ ; [ Il y a «envie» sur l intervalle [ ; ] et «rejet» sur l intervalle [ ; ] b La fonction f est croissante sur [ ; ] et décroissante sur[ ; ] Dressons le tableau de variation de f f'( ) + f( ) 6 Il y a saturation lorsque f( ) = La croisière doit durer jours pour qu il y ait saturation On cherche les réels tels que f( ) 8 D après le tableau de variation de f on peut dire que l équation f( )= 8 admet deu solutions dans [ ; ] L une est inférieure à et l autre supérieure à La calculatrice donne f ( 5) = 8 et f ( ) = 8 Le niveau de satisfaction des clients est supérieur ou égal à 8 % de la saturation sur la période [ 5; ], c est-à-dire entre le 5 e et le e jour Corrigé Séquence MA 4

42 Corrigé des activités du chapitre Activitié Fuite de gaz Soit f la fonction définie sur l intervalle ; + par f( ) = + = ( + ) + ( + ) Partie A a La fonction f est dérivable sur ; + car c est la somme de deu fonctions définies et dérivables sur ; + Cherchons la dérivée de la fonction = ( ) v ( ) + v Elle est définie par '( ) v ( ) Pour cela calculons d abord la dérivée de la fonction v définie par v ( ) = ( + ) Posons u( )= + d où u'( ) = Comme v = u on a v' = uu' ce qui donne v'( ) = ( + ) u u' On obtient ( ) f'( ) = + 4 ( + ) ( + ) ( + ) 4 = + ( + ) ( + ) = 4 + ( + ) 6 ( ) Ainsi, pour, f'( ) = ( + ) b Sur [ ; + [, la fonction dérivée a le même signe que = pour = 5, > pour <, 5 < pour > 5, La fonction f est croissante sur [ ;,5] et décroissante sur [ 5, ; + [ Dressons le tableau de variation de f sur[ ; 5 ] 44 Corrigé Séquence MA

43 ,5 5 f'( ) + f( ), f ( 5) =, 9 c Le tau de gaz est maimal au bout de,5 min c est-à-dire au bout de secondes Le tau maimal est égal à,75 (on peut aussi dire que le tau maimal est de 75 %) Le tracé de la courbe, pour [ ; 5 ], est sur la figure 4 Figure 4 y,8,7,6,5 C f C f y = f () = + ( + ),4,,, On voit d après le graphique que le tau de gaz est inférieur ou égal à, ppm au bout de 4 minutes environ La calculatrice nous donne f(, 98) =, 4, f(, 99) =, et f ( 4) =, Le tau de gaz est devenu négligeable au bout de 4 min On cherche les réels tels quef( ) > 6, D après le graphique il eiste deu valeurs de telles que f( ) = 6, Appelons α et β ces deu valeurs avecα < β On lit sur le graphique α 5, et β 5, Corrigé Séquence MA 45

44 À l aide de la calculatrice on obtient f (, ) =, 6 et f (, ) =, 64 D où, < α <, f (, ) =, 6 7 et f (, ) =, 68 D où, < β <,, < α <, D après ce qui précède, < β <, d où < β α <, L écart entre α et β est donc (légèrement) supérieur à On conclut que le personnel de l usine a été affecté par la fuite de gaz Partie B a Sur [ ;,5] la fonction f est strictement croissante etf ( ) = Sur [,5 ; 5] la fonction f est strictement décroissante etf ( 5) =, 9 On a donc f ( ) = et f ( )> pour [ 5, ; 5] b Le nombre de solutions de l équation f( )= k est égal au nombre de points d intersection de la courbe C f avec la droite horizontale d équation y = k La courbe obtenue dans la partie A nous permet de remplir le tableau suivant k,5,75,8 Nombre de solutions de l équation f( )= k f est strictement monotone Il suffit donc de calculer les images des etrémités des intervalles f n est pas monotone Dans ce cas il ne suffit plus de connaître les images des etrémités : on calcule f(, ) =, 7, f(, 7) =, 79, f( ) =, 666 et fma = f ( 5, ) = 75, On sait que sur [, ;,7] et sur [, ; ] le maimum de la fonction f est fma = f( 5, ) Comme f(, ) < f( 7, ) l image de l intervalle [, ;,7] est l intervalle [ f(, ) ; f( 5, )] Comme f(, ) > f( ) l image de l intervalle [, ; ] est l intervalle[ f( ) ; f(, 5 )] Donnons tous les résultats dans un tableau Intervalle [ ;,] [, ;,5] [, ;,7] [, ; ] [ ; 5] Intervalle image [( f ); f(, )] [( f, ); f( 5, )][( f, ); f( 5, )] [(); f f(, 5 )] [( f 5); f()] 46 Corrigé Séquence MA

45 Activité 4 Tarifs postau Les tarifs donnés dans l énoncé nous permettent d obtenir le tableau suivant : f( ),6,6,6,45,45,4,4 Le tracé de la courbe représentant la fonction f «tarifs postau», sur l intervalle ] ; 5[, est sur la figure 5 Figure 5 Les 4 segments sont : ouverts à gauche ; fermés à droite On ne peut pas tracer la courbe «sans lever le crayon» y,5,5,5 Fonction tarifs postau D après la représentation graphique on peut dire que la fonction f est constante sur chacun des intervalles ] ; ], ] ; 5 ], ] 5 ; ] et ] ; 5 ] On dit que f est une fonction «constante par intervalle» Pour cette fonction f qui est «constante par intervalle» les images sont des valeurs isolées Ainsi, par eemple, tous les réels de l intervalle ] 5 ; ] ont la même image qui est,45 Cela nous permet d obtenir les images des si intervalles dans le tableau suivant : Intervalle ] ; ] ] ; 5 ] ] 5 ; 5 ] [ ; ] [ 5 ; ] [ ; 5] Intervalle image { 6}, { 6, ; } * {, 45; 4}, * {, 45; 4}, * { 4}, {, 45; 4, ; 5}, * Remarque Cet eemple nous montre que l image d un intervalle par une fonction n est pas toujours un intervalle Les ensembles { 6}, et { 4}, sont des intervalles réduits à un point Les ensembles repérés par une étoile (*) ne sont pas des intervalles Corrigé Séquence MA 47

46 Corrigé des eercices d apprentissage du chapitre Eercice La fonction f est définie pour par f( ) = La fonction f n est pas définie pour = ; elle ne peut donc pas être continue sur R L écran de la calculatrice semble pourtant montrer une courbe tracée «sans lever le crayon» mais c est impossible car f () n eiste pas C est donc qu il y a un «trou» dans la courbe, au niveau du point de coordonnées ( ; 6) Remarque Soit g la fonction définie sur R par g ( )= 6 Sur la figure 8 de l énoncé on peut observer que pour = on a y = ce qui montre que n a pas d image par f Comme g est définie sur R et que f () n eiste pas, les deu fonctions ne sont pas égales Ainsi f g La fonction g est une fonction trinôme : elle est continue sur R Quand on trace la courbe (C ) représentative de la fonction f et la courbe (P) représentative de la fonction g elles semblent se «superposer» Pourquoi? Développons ( )( 6) = = ( )( 6) D où f( ) = = Pour on obtient f( ) = 6 = g( ) Mais pour = on a g( ) = 6 alors que f () n eiste pas Effectivement il est «normal» d observer deu courbes superposées ; la seule différence c est que la courbe (P) est une parabole complète alors que la courbe (C ) est une «parabole trouée» Eercice 7 Le côté des petits carrés verts ne peut pas dépasser la moitié de la largeur du rectangle D où 5 Le volume de la boîte est égal à l aire du rectangle de base multipliée par la hauteur de la boîte, c est-à-dire la longueur du côté des petits carrés 48 Corrigé Séquence MA

47 Ainsi V( ) = ( 6 )( ) = ( ) aire du rectangle de base soit V( ) = a Une fonction polynôme est toujours dérivable La dérivée de V est définie par V'( ) = = 4( 6 + 4) Le trinôme a pour discriminant =96 et pour racines = et = Comme [ ; 5 ], seule la solution = convient Le trinôme est positif à l etérieur de ses racines et négatif entre ses racines Pour le volume V, défini sur[ ; 5 ], cela implique que la dérivée est positive sur [ ; ] et négative sur [ ; 5] b Dressons le tableau de variation de la fonction V 5 V'( ) + Courbe de la fonction V V( ) 44 Le volume maimal est égal à 44 pour = D où V ma = 44 cm On cherche un intervalle [ a ; b ] tel que, pour tout de [ a ; b], V( ) 8 La fonction V est continue et strictement croissante sur [ ; ] On a V ([ ; ] ) = [ ; 44] Comme8 [ ; 44], il eiste un réel α unique tel que : α [ ; ] et V ( α ) = 8 La calculatrice donne V (, 94) = 7, 775 et V (, 95) = 8, 499 On a V( 94, ) V( α ) V( 95, ) La fonction V est croissante sur [ ; ] d où 94, α 95, La fonction V est continue et strictement décroissante sur [ ; 5] On a V ([ ; 5] ) = [ ; 44] Comme8 [ ; 44], il eiste un réel β unique tel que : β [ ; 5 ] et V ( β ) = 8 Corrigé Séquence MA 49

48 La calculatrice donne V (, 5) = 8, 6 et V (, 6) = 7, 548 On a V( 6, ) V( β ) V( 5, ) La fonction V est décroissante sur [ ; 5 ] d où 5, β 6, Le volume est supérieur ou égal à 44 cm sur l intervalle [,95 ;,5] Eercice 8 On considère la fonction f définie sur R par f( ) = Conjecture la fonction f semble croissante sur l intervalle I = [ 5, ; 5, ] (elle semble même constante sur un petit intervalle),,5,75 f( ),6,* valeur,,,4 arrondie La conjecture précédente est fausse car 5, < et f( 5, ) > f( ) La courbe obtenue sur l écran de la calculatrice coupe l ae des abscisses en un seul point L équationf( )= admet une solution et une seule On désigne parα cette solution La fonction f est continue et strictement croissante sur [ ; ] et f ([ ; ]) = [, 6; ] Comme [, 6; ] il eiste un réel unique α tel que α ; etf ( α ) = La calculatrice donne f (, 58) =, 7 et f (, 57) =, 7 On a f( 58, ) f( α ) f( 57, ) La fonction f est croissante sur [ ; ] d où 58, α 57, La courbe obtenue sur l écran de la calculatrice coupe la droite d équation y = 5, en un seul point L équationf( ) = 5, admet une solution et une seule On désigne par β cette solution La fonction f est continue et strictement croissante sur [ ; ] et f ([ ; ]) = [, 6; ] Comme 5, [, 6; ] il eiste un réel unique β tel que β [ ; ] et f ( β ) = 5, 5 Corrigé Séquence MA

49 La calculatrice donnef ( 77, ) = 485, et f (, 76) =, 57 On a f( 77, ) f( β ) f( 76, ) La fonction f est croissante sur[ ; ] d où 77, β 76, Les coordonnées du point A sont ( ; ) 4 La fonction dérivée de f est définie parf'( ) = ( + ) Une équation de la tangente en A est y = + d où f '( ) = Pour étudier les positions relatives de C et de T A on va étudier le signe de la différence y f( ) On a y f( ) = + = = Cette différence est toujours positive ou nulle alors C est située en dessous de T A ; = alors C est tangente à T A Ceci confirme ce que l on peut observer sur la figure de l énoncé La droite (D ) passe par les points de coordonnées ( ; ) et ( ; ) La droite (D ) a pour équation y = + Par définitionf( )= + + d où f( ) ( + ) = + + Comme + > on a, pour tout réel, f( ) ( + ) > Ainsi, pour tout réel, la courbe C est située au-dessus de la droite (D ) On en déduit que, pour tout réel, + < f( ) + Corrigé Séquence MA 5

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