Extraits de Concours

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Extraits de Concours"

Transcription

1 Pierre-Louis CAYREL Prépa HEC 2 disponible sur Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours 1 HEC Exercice 1 (via HEC - Oral 1997) Écrire un programme qui permet de remplir aléatoirement un tableau de 200 cases avec 100 fois 0 et 100 fois 1. Exercice 2 (via HEC 1999) Une urne contient des boules de s couleurs différentes notées C i. On tire n boules de l urne successivement et avec remise après chaque tirage. On note X i, la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleur C i obtenues à l issue des n tirages. On remarque que la variable X i dépend de n et que l on a : s i=1 X i = n. Ici il y a trois couleurs, C 1, C 2 et C 3 dans les proportions respectives suivantes : 1, 1, Un tableau T, contiendra dans T [i] les valeurs 1, 2 ou 3 selon que la boule tirée au i-ème coup a la couleur C 1, C 2 ou C 3. On utilisera la fonction random(4) qui retourne un entier aléatoire compris entre 0 et 3. On note X i la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleur C i obtenues à l issue des n tirages. On remarque que la variable X i dépend de n et que 3 i=1 X i = n. On suppose avoir défini dans un programme Pascal : type Tableau = array[1..100] of integer; 1. Écrire une procédure Pascal : procedure Tirage(var T:Tableau); permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans une urne contenant des boules de couleur C 1, C 2 ou C Écrire une fonction difference de paramètre T qui retourne la valeur de X 1 X Écrire une fonction moyenne de paramètre T qui retourne la moyenne des apparitions de la couleur C 3. Exercice 3 (via HEC ESCP EML Voie E) Une urne contient des boules de couleurs C 1, C 2 et C 3 en proportion respectivement 1 4, 1 4 et 1 2. On désire simuler des tirages dans cette urne. On déclare à cette fin un type : TYPE tableau = ARRAY[1..100] OF integer; 1. Écrire une procédure Tirage( c : tableau) permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans notre urne. À la sortie de la procédure l élément c[i] vaudra 1,2 ou 3 et représentera la couleur de la i-ème boule tirée. On pourra faire appel à random(4). 1

2 2. On note X 1 [resp. X 2 ] la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleur C 1 [resp. C 2 ] tirées. Écrire une fonction difference de paramètre c qui retourne la valeur de X 1 X 2. Exercice 4 (via HEC Voie E) On considère deux jetons A et B et deux urnes U 0 et U 1. Au départ, on place les deux jetons dans l urne U 0. On procède ensuite à une succession de lancers d un dé cubique équilibré. Après chaque lancer on effectue l opération suivante : si on a obtenu 1 ou 2 on change le jeton A d urne ; si on a obtenu 3 ou 4 on change le jeton B d urne ; si on a obtenu 5 ou 6 on ne change rien. On note, pour n N, X n [respectivement Y n ] le numéro de l urne dans laquelle se trouve le jeton A [respectivement B] à l issue du n-ième lancer. Ainsi X n = 0 si le jeton A est dans l urne U 0 à l issue du n-ième lancer. Écrire un programme qui simule cette expérience en demandant à l utilisateur un entier m et qui affiche la liste des couples observés (X n, Y n ) pour 1 n m. Exercice 5 (via HEC Voie S) Soient a, b, α et β quatre constantes réelles. On considère les suites de nombres réels (S k ) 0 k n et (R k ) 0 k n telles que : { Sk+1 S k S k [0, n 1] k = a br k R k+1 R k R k = α βr k On suppose que dans le préambule d un programme Pascal les constantes a,b,alpha et beta ont été définies. Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE Eval(n : integer; SO,RO : REAL; S,R : real); qui affecte aux variables S et R les valeurs S n et R n sachant que S 0 =SO et R 0 =RO. Exercice 6 (via HEC ESCP EML Voie E) On appelle durée de vie d un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu à sa première panne éventuelle. Un premier composant est mis en service à l instant 0 et, quand il tombe en panne, est remplacé instantanément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à l instant de sa première panne et ainsi de suite. On modélise la durée de vie de chacun des composants par une vairable aléatoire T géométrique de paramètre p ]0, 1[. 1. Écrire une fonction Pascal utilisant la fonction random réelle, d en-tête : FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer; qui, connaissant le nombre réel p et un nombre entier strictement positif n, simule l expérience et retourne le nombre de pannes survenues jusqu à l instant n. 2. Écrire une procédure Pascal d en-tête : PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer); qui, connais sant le nombre réel p et un nombre entier strictement positif r, simule l expérience en l arrêtant dès que le nombre de pannes atteint le nombre r et affiche la valeur de l instant n où l arrêt s est produit. 2

3 Exercice 7 (via HEC - Oral 2002) Toutes les variables aléatoires sont dans cet exercice définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P ). Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi E(1). On pose S 0 = 0 et pour tout n non nul, n S n = X k. k=1 Soit λ un réel strictement positif. On définit l application T de la manière suivante : pour tout élément ω de Ω, on note T (ω) le plus petit entier naturel n pour lequel S n (ω) > λ (on admet qu un tel entier existe presque sûrement). 1. Quelle est, pour tout entier n non nul, la loi de la variable S n? 2. Montrer que T 1 suit une loi de Poisson de paramètre λ. 3. On rappelle que l affectation x := -\ln(1-random) donne à x une valeur aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1. Écrire une fonction poisson de paramètre lambda simulant une variable aléatoire de loi P (λ). 2 ESSEC Exercice 8 (via ESSEC Voie E) 1. Soit (c n ) n N la suite définie par son premier terme c 0 = 5 4 et la relation : c n+1 = (a) Montrer que pour tout n N, c n est supérieur à 1. (b) En déduire que la suite (c n ) est décroissante puis qu elle converge vers On considère les suites (S n ) n N et (T n ) n N définies par S 0 = 3 4, T 0 = 3 5 S n+1 = Sn c n+1 et T n+1 = S n+1 c n+1 (a) Montrer que (S n ) est décroissante et que (T n ) est croissante. (b) Montrer que pour tout n N, S n T n = c n. (c) En déduire que les suites (S n ) et (T n ) convergent la même limite. 1+c n 2. et les relations : 3. On admet que la limite commune de (S n ) et de (T n ) est ln(2). Écrire un programme qui affiche : la plus petite valeur de l entier n telle que : S n T n < 10 4 ; la valeur approchée par excès de ln(2) ainsi obtenue. Exercice 9 (via ESSEC Voie E) Soit k un entier naturel non nul. On effectue des lancers successifs d un même dé cubique équililbré jusqu à ce que la somme des résultats obtenus soit supérieure à k. On note : X 1, X 2,... les variables aléatoires donnant le numéro amené par le dé lors du premier lancé, deuxième lancer, etc. pour tout entier n, Y n la somme des points obtenus lors des n permiers lancers ; T k le nombre de celles des variables aléatoires y n qui prennet une valeur inférieure ou égale à k. Par exemple si les lancers successifs amènenent 1,2,1,3,5,4,6, on a Y 1 = 1, Y 2 = 3, Y 3 = 4, Y 4 = 7, Y 5 = 12, etc. et T 4 = 3, T 10 = 4. Écrire un programme Pascal appelant la fonction random(6), qui simule des lancers successfs jusqu à ce que la somme des résultats soit supérieure à 20, et qui affiche la valeur de T 20. 3

4 Exercice 10 (via ESSEC Voie E) Soit X la variable aléatoire égale au résultat de la fonction Pascal suivante : FUNCTION X : integer; alea : integer; alea := random(3); IF alea = 2 THEN X := random(2)+1 ELSE X := 3; Déterminer la loi de X et calculer son espérance. 3 ESCP Exercice 11 (via ESCP Voie S) Soit f la fonction de classe C sur R définie par : f(x) = exp x2. On considère, pour tout 2 entier naturel n, la fonction H n définie sur R par : où f (n) (x) désigne la dérivée n-ième de f. H n (x) = ( 1) n exp x2 2 f (n) (x) 1. (a) Calculer pour tout réel x, H 0 (x) et H 1 (x). (b) SCI En remarquant que pour tout x, f (x) = xf(x), établir pour tout entier naturel n non nul et tout réel x la relation : H n+1 (x) = xh n (x) nh n 1 (x) Les lecteurs de la voie Eco. peuvent admettre cette formule et poursuivre l exercice. Une simple récurrence permet alors de montrer que pour tout n N, H n est une fonction polynôme de degré n, à coefficients entiers. On déclare le type : TYPE poly = ARRAY[0..20] OF integer; qui permet de stocker les coefficients de tout polynôme de degré inférieur ou égal à Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE Hermite(n : integer; H : poly); qui étant donné l entier n compris entre 2 et 20, stocke les coefficients de H n dans la variable H. Exercice 12 (via ESCP - Oral 1999) On lance une pièce de monnaie jusqu à ce que l on obtienne pour la première fois une série d au moins deux résultats identiques suivis d un résultat contraire. On arrête alors les lancers. On suppose que la probabilité d obtenir pile lorsqu on lance la pièce est p, la probablité d obtenir face étant alors q = 1 p. 4

5 1. Que renvoie la fonction suivante lorsqu on l exécute? FUNCTION f (p : real) : char; ok : boolean; ok := random <= p; IF ok THEN f := P ELSE f := F ; 2. On suppose que p = 0, 8. On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, et Y la variable aléatoire égale au rang du lancer où commence la première série de résultats identiques. Á l aide de la fonction f, écrire un programme affichant à l écran une série de lancers et la valeur correspondante des variables X et Y sous la forme : P F P F P F P P P P P F X = 12 Y = 7 On utilisera une variable r : ARRAY[ ] OF char dans laquelle on stockera les résultats des lancers successifs obtenus. 3. Critiquer ce programme et en proposer un plus efficace. Exercice 13 (via ESCP - Oral 2001) On considère la fonctionf définie sur R + par : f(x) = exp ( 1 x ). 1. Montrer que pour tout entier naturel n la dérivée n-ième de f vérifie, pour tout réel x strictement positif, la relation : f (n) (x) = P n ( 1 x )f(x) où (P n ) n 0 est la suite de polynômes définie par P 0 (X) = 1 et par la relation : P n+1 (X) = X 2 [P n (X) P n(x)] 2. Établir que pour tout entier n, P n est à coefficients entiers et préciser son degré. 3. On définit un type : TYPE poly = ARRAY[0..20] OF integer; permettant de stocker de tout polynôme de degré inférieur ou égal à 20. (a) (b) (c) Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE MultiX2(P : poly; Q : poly); qui stocke dans Q les coefficients du polynôme X 2 P (X), P étant le polynôme de degré maximum 18 dont les coefficients sont stockés dans P. Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE Derive_poly(P : poly; Q : poly); qui stocke dans Q les coefficients du polynôme dérivé de P, et une procédure : PROCEDURE Diff_poly(P,Q : poly; R : poly); qui stocke dans R les coefficients du polynôme P Q. Écrire enfin un programme faisant appel aux trois procédures précédentes, qui affiche les coefficients du polynôme P 10. 5

6 Exercice 14 (via ESCP Voie E) Pour toutes suites numériques u = (u n ) n N et v = (v n ) n N, on définit la suite w par : n n N, w n = u k v n k On suppose que les suites u et v sont définies par : k=0 n N, u n = ln(n + 1) et v n = 1 n + 1 Écrire un programme qui demande à l utilisateur une valeur de l entier naturel n, qui calcule et affiche les valeurs de w 0, w 1,..., w n. Exercice 15 (via ESCP - Oral 2002) On considère le programme suivant : a,u,v,w : real; Randomize; ReadLn(a); u := random*a; v := a-u; IF v > u THEN w := -v ELSE w := u; END. On note Y, U, V et X les variables aléatoires égales aux valeurs des variables y,u,v et x après l exécution du programme. 1. Quelle est la loi de Y? 2. Déterminer la loi de U, en déduire la fonction de répartition de V. 3. Soit x un réel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilités totales que : En déduire la densité de X. Exercice 16 (via ESCP - Oral 2003) On considère le programme suivant : P (X x) = 1 4 X,i,n : integer; Randomize; ReadLn(n); X := 0; FOR i := 1 TO n DO IF X = 0 THEN X := -1 + random(2) * 2 ELSE X := -1 + random(3); Write(X, ); END x (1 1 x). 6

7 1. Décrire l expérience modélisée par ce programme. 2. On note, pour tout k [1, n], X k la variable aléatoire égale au k-ième nombre affiché lors de l exécution de ce programme. Modifier le programme de telle sorte qu il affiche la première valeur non nulle de k pour laquelle X k = 0. 4 ESC Exercice 17 (via ESC Voie E) On considère le programme suivant : CONST p = 0,25; y : integer; u,v,x : real; Randomize; IF random < p THEN y := 0 ELSE y := 1; u := random; v := u*u; x := (1-v)*y+v*(1-y); END. On note U, V et W les variables aléatoires égales aux valeurs des variables u,v et w après l exécution du programme. 1. Quelle est la loi de Y? 2. Déterminer la loi de U, en déduire la fonction de répartition de V. 3. Soit x un réel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilités totales que : En déduire la densité de X. P (X x) = 1 4 x (1 1 x) 5 EDHEC Exercice 18 (via EDHEC Voie E) On considère une suite (u n ) n N définie par son premier terme u 0 = 1 et par la relation suivante : n N, u n+1 u n + 1 u n 1. (a) Montrer que chaque terme de cette suite est défini et strictement positif. (b) En déduire le sens de variation de la suite (u n ) (c) Établr que lim n + u n = Écrire un programme permettant de déterminer et d afficher le plus petit entier naturel n pour lequel u n

8 6 ECRICOME Exercice 19 (via ECRICOME Voie E) a et b sont des réels supérieurs ou égaux à 1. On considère la suite numérique (u n ) n N définie par : u 0 = a, u 1 = b et pour tout entier naturel n, u n+2 = u n + u n+1 Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de u n, pour des valeurs de a et b supérieures ou égales à 1 et de n entier supérieur ou égal à 2, entrées par l utilisateur. 7 EML Exercice 20 (via EML Voie S) On définit une suite de polynômes (P n ) n N par : et la relation de récurrence : x R, P 1 (x) = x2 2 x n N, x R, P n+1 (x) = x 0 (t x)p n (t)dt + x P n (t)dt 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, P n est de degré 2n. Vérifier alors que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, les coefficients de P n vérifient : P n (x) = 2n k=0 a n,k x k avec a n,0 = a n,1 = 0 a n,2 = 1 2n 2 a n 1,k 2 k=1 k+1 a n,k = a n 1,k 2 pour tout k 3 k(k 1) 2. (a) Déclarer un type polynome en Pascal adapté à la représentation des polynômes P n pour 1 n 25. (b) Écrire une procédure en Pascal prenant pour paramètre un entier n et une variable P de type polynome qui calcule les coefficients de P n et qui les stocke dans la variable P. 3. Euler a démontré que pour tout entier n non nul, la série de Riemann de terme général 1 k 2n avait pour somme : + k=1 1 k 2n = β nπ 2n avec β n = P n (t)dt Écrire un programme utilisant la procédure de la question 2 qui permet de calculer β n pour tout entier n compris entre 1 et 25 fourni par l utilisateur. 8

9 Pierre-Louis CAYREL Prépa HEC 2 disponible sur Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours Correction 1 Correction 2 1. PROCEDURE Tirage( c : tableau); i, alea : integer; FOR i :=1 TO 100 DO alea := random(4); IF (alea = 1) OR (alea = 2) THEN c[i] := alea ELSE c[i] := 3; 2. FUNCTION difference(c : tableau) : integer; S,i : integer; S := 0; FOR i := 1 TO 100 DO IF c[i] = 1 THEN S := S+1; IF c[i] = 2 THEN S := S-1; difference := S; Correction 3 1. PROCEDURE Tirage( c : tableau); i, alea : integer; FOR i :=1 TO 100 DO alea := random(4); IF (alea = 1) OR (alea = 2) THEN c[i] := alea ELSE c[i] := 3; 1

10 2. FUNCTION difference(c : tableau) : integer; S,i : integer; S := 0; FOR i := 1 TO 100 DO IF c[i] = 1 THEN S := S+1; IF c[i] = 2 THEN S := S-1; difference := S; Correction 4 alea,x,y,n,m : integer; Randomize; WriteLn( valeur de m? ); ReadLn(m); x := 0; y := 0; FOR n := 1 TO m DO alea := random(3); IF alea = 0 THEN x := 1 - x; IF alea = 1 THEN y := 1 - y; WriteLn( X,n, =,x, et Y,n, =,y); END. Correction 5 Correction 6 1. FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer; i,k : integer; k := 0; FOR i := 1 TO n DO IF random < p THEN k := k+1; NbP := k; 2. PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer); nbp,k : integer; k := 0; nbp := 0; 2

11 REPEAT k := k+1; IF random < p THEN nbp := nbp+1; UNTIL nbp = r; WriteLn( L"instant d"arret est,k); Correction 7 Correction 8 Correction 9 Correction 10 Correction 11 Correction 12 Correction 13 Correction 14 Correction 15 Correction 16 Correction 17 Correction 18 Correction 19 Correction 20 3

TurboPascal - Prépa HEC Ipecom

TurboPascal - Prépa HEC Ipecom TurboPascal - Prépa HEC Ipecom vendredi 05 avril 1 Corrections des exercices du 22 mars 1.1 Ecrire un programme qui saisit deux entiers et affiche le plus grand. program lemax1; var n1,n2:integer; writeln(

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

Corrigé des TD 1 à 5

Corrigé des TD 1 à 5 Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Examen Médian - 1 heure 30

Examen Médian - 1 heure 30 NF01 - Automne 2014 Examen Médian - 1 heure 30 Polycopié papier autorisé, autres documents interdits Calculatrices, téléphones, traducteurs et ordinateurs interdits! Utilisez trois copies séparées, une

Plus en détail

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Seconde.

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Seconde. Simuler des expériences aléatoires avec une calculatrice Niveau Seconde. Situation étudiée Différentes selon les séances : Séance 1 : Jeu de pile ou face, tirages de boule dans une urne avec des proportions

Plus en détail

Dénombrement, opérations sur les ensembles.

Dénombrement, opérations sur les ensembles. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 1 (du 16 au 20 septembre 2013) Dénombrement, opérations sur les ensembles 1 Combien de façons y a-t-il de classer

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Consignes d été en Mathématiques

Consignes d été en Mathématiques MPSI-PCSI Consignes d été 4-5 Classes préparatoires MPSI-PCSI, Lycée Châtelet, Douai Rentrée de Septembre 5 Consignes d été en Mathématiques Vous trouverez dans ce document trois rubriques :. Le mot du

Plus en détail

Ch. 1 : Bases de programmation en Visual Basic

Ch. 1 : Bases de programmation en Visual Basic Ch. 1 : Bases de programmation en Visual Basic 1 1 Variables 1.1 Définition Les variables permettent de stocker en mémoire des données. Elles sont représentées par des lettres ou des groupements de lettres

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2013 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 7 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire........ 8 1.1.1 Un exemple

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Application 1- VBA : Test de comportements d'investissements

Application 1- VBA : Test de comportements d'investissements Application 1- VBA : Test de comportements d'investissements Notions mobilisées Chapitres 1 à 5 du cours - Exemple de récupération de cours en ligne 1ère approche des objets (feuilles et classeurs). Corps

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Concours d entrée en école de commerce

Concours d entrée en école de commerce Concours d entrée en école de commerce Sommaire 1 Les banques d épreuves 2 Sommaire 1 Les banques d épreuves La BCE La banque ECRICOME Pour les épreuves écrites d admissibilité, il existe deux banques

Plus en détail

EPREUVE OPTIONNELLE d INFORMATIQUE CORRIGE

EPREUVE OPTIONNELLE d INFORMATIQUE CORRIGE EPREUVE OPTIONNELLE d INFORMATIQUE CORRIGE Question 1 : Un paquet ou trame comprend : A - uniquement des données utilisateur B - un en-tête et des données C - des unités de transmission de taille fixe

Plus en détail

9 5 2 5 Espaces probabilisés

9 5 2 5 Espaces probabilisés BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire

Plus en détail

ALGORITHMIQUE et TURBO-PASCAL. Initiation à la programmation structurée

ALGORITHMIQUE et TURBO-PASCAL. Initiation à la programmation structurée Sup MPSI - PTSI ALGORITHMIQUE et TURBO-PASCAL Initiation à la programmation structurée Année scolaire 2010-2011 Claude Lemaire claude.lemaire@isen.fr Sommaire Chapitre 1 - Introduction Compilateur et interpréteur...

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M.

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. Vienney 2 M. VIENNEY Vous trouverez dans ce document

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Correction des exemples. Mathieu EMILY

Correction des exemples. Mathieu EMILY Correction des exemples Mathieu EMILY Novembre 2005 Table des Matières Exemple_Exercice 1 Page 2 Exemple_Exercice 2 Page 3 Exemple_Exercice 3 Page 5 Exemple_Exercice 4 Page 6 Exemple_Exercice 5 Page 7

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Algorithmes et programmation en Pascal. TD corrigés

Algorithmes et programmation en Pascal. TD corrigés Algorithmes et programmation en Pascal Faculté des Sciences de Luminy Edouard Thiel TD corrigés Deug 1 Mass MA Module de 75 heures 1997 à 2004 2 Algorithmes et programmation en Pascal Edouard Thiel Table

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Algorithmes - Solutions

Algorithmes - Solutions Algorithmes - Solutions I Algorithmes liés au programme de la classe de première Du fait de l importance du travail d arithmétique en terminale, les algorithmes plus directement liés à la classe de première

Plus en détail

Fichiers. Introduction Fichier texte. Fichier structuré. Présentation Le type TEXT Primitives de gestion Exemple

Fichiers. Introduction Fichier texte. Fichier structuré. Présentation Le type TEXT Primitives de gestion Exemple Fichiers Introduction Fichier texte Présentation Le type TEXT Primitives de gestion Exemple Fichier structuré Présentation Le type FILE OF Primitives de gestion Exemple Compléments d algorithmique 1 Introduction

Plus en détail

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Premiers pas en Fortran 95

Premiers pas en Fortran 95 1 Premiers pas en Fortran 95 Nicolas Depauw 26 septembre 2011 Dans ce petit exemple, nous écrivons un programme en Fortran 95 qui résoud les équations du second degré à coefficients réels. Nous détaillons

Plus en détail

Notions de probabilités

Notions de probabilités 44 Notions de probabilités Capacités Expérimenter, d abord à l aide de pièces, de dés ou d urnes, puis à l aide d une simulation informatique prête à l emploi, la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #9

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #9 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #9 ARTHUR CHARPENTIER 1 Soit X la variable aléatoire continue de fonction de densité : { (1.4)e 2x + (0.9)e 3x pour x > 0 f X (x) = 0 sinon. Trouver E[X]. A) 9 20 B)

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Le jeu de Marienbad. 1 Écriture binaire d un entier

Le jeu de Marienbad. 1 Écriture binaire d un entier MPSI Option Informatique Année 2002, Quatrième TP Caml Vcent Simonet (http://cristal.ria.fr/~simonet/) Le jeu de Marienbad Dans le film d Ala Resnais «L année dernière à Marienbad» (1961), l un des personnages,

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

I Arbres binaires. Lycée Faidherbe 2014-2015. 1 Rappels 2 1.1 Définition... 2 1.2 Dénombrements... 2 1.3 Parcours... 3

I Arbres binaires. Lycée Faidherbe 2014-2015. 1 Rappels 2 1.1 Définition... 2 1.2 Dénombrements... 2 1.3 Parcours... 3 I Arbres binaires 2014-2015 Table des matières 1 Rappels 2 1.1 Définition................................................ 2 1.2 Dénombrements............................................ 2 1.3 Parcours.................................................

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

APPLICATION : CALCUL DES COÛTS D ACQUISITION DE MATÉRIEL DE BUREAU

APPLICATION : CALCUL DES COÛTS D ACQUISITION DE MATÉRIEL DE BUREAU APPLICATION : CALCUL DES COÛTS D ACQUISITION DE MATÉRIEL DE BUREAU 191 APPLICATION : CALCUL DES COÛTS D ACQUISITION DE MATÉRIEL DE BUREAU CHAPITRE 8 OBJECTIF INTÉGRER LES DIFFÉRENTES NOTIONS ET APPRO-

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient

Plus en détail

Programmation Visual Basic sous Excel

Programmation Visual Basic sous Excel 1 Programmation Visual Basic sous Excel Version provisoire Septembre 06 1 Introduction Excel était avant tout un tableur. Au fil des versions, il a su évoluer et intégrer des fonctionnalités qui le rendent

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Haute École de Gestion 05/10/2007. au cours Programmation en VBA Excel. Faisons connaissance. Etudiants se présentent

Haute École de Gestion 05/10/2007. au cours Programmation en VBA Excel. Faisons connaissance. Etudiants se présentent Bienvenue au cours en Excel Faisons connaissance Etudiants se présentent Nom, Prénom Avez-vous déjà fait des macros Excel? Avec-vous déjà programmé avec Excel? Avez-vous déjà programmé avec d'autres langages

Plus en détail

u n+1 = qu n 100 100 (diminution) (augmentation) ou 1

u n+1 = qu n 100 100 (diminution) (augmentation) ou 1 I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu une suite(u n ) est géométrique signifie qu il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, u n+1 = qu n Le réel q est appelé la raison de la

Plus en détail

Sortie : OUI si n est premier, NON sinon. On peut voir Premier aussi comme une fonction, en remplaçant OUI par 1 et NON par 0.

Sortie : OUI si n est premier, NON sinon. On peut voir Premier aussi comme une fonction, en remplaçant OUI par 1 et NON par 0. Université Bordeaux 1. Master Sciences & Technologies, Informatique. Examen UE IN7W11, Modèles de calcul. Responsable A. Muscholl Session 1, 2011 2012. 12 décembre 2011, 14h-17h. Documents autorisés :

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Rendu de travaux I, Algo - langage C

Rendu de travaux I, Algo - langage C IFIP 33 avenue de la République 75011 PARIS Rendu de travaux I, Valérie Amiot RP 50 2001-2002 SOMMAIRE I. Pourquoi sous C? II. Présentation du jeu 1) But du jeu III. Analyse fonctionnelle IV. Fonctionnalités

Plus en détail

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Modèle probabiliste: Algorithmes et Complexité

Modèle probabiliste: Algorithmes et Complexité Modèles de calcul, Complexité, Approximation et Heuristiques Modèle probabiliste: Algorithmes et Complexité Jean-Louis Roch Master-2 Mathématique Informatique Grenoble-INP UJF Grenoble University, France

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Cours Visual Basic URCA

Cours Visual Basic URCA Cours Visual Basic URCA Sommaire Introduction à la programmation VBA et VB Syntaxe de base, variables Opérateurs de base, boucles Introduction à la programmation Qu est-ce que la programmation? Séquences

Plus en détail

Loi d une variable discrète

Loi d une variable discrète MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement. Sommaire

Séquence 3. Probabilité : conditionnement. Sommaire Séquence 3 Probabilité : conditionnement Objectifs de la séquence Dans cette première séquence sur les probabilités, on complète les connaissances des années précédentes en introduisant une notion nouvelle

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance Séquence 3 Probabilité : conditionnement et indépendance Sommaire. Pré-requis. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle 3. Indépendance 4. Synthèse Dans cette première séquence sur les

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

La prépa ECS au Lycée Corneille

La prépa ECS au Lycée Corneille La prépa ECS au Lycée Corneille Journées portes ouvertes 21 et 28 janvier 2008 Journées portes ouvertes La prépa ECS au Lycée Corneille 21 et 28 janvier 2008 1 / 17 Pourquoi faire une prépa ECS? Pourquoi

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

8 Probabilités. Les notions étudiées dans ce chapitre CHAPITRE. 1. Expérience aléatoire 2. Loi de probabilité 3. Probabilité d'un événement

8 Probabilités. Les notions étudiées dans ce chapitre CHAPITRE. 1. Expérience aléatoire 2. Loi de probabilité 3. Probabilité d'un événement CHAPITRE Probabilités Les notions étudiées dans ce chapitre Le mot hasard vient de l'arabe al zhar qui désigne un dé à jouer. Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute Antiquité. Déjà les romains

Plus en détail

La fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann Sébastien Godillon Les nombres premiers Problème de répartition Arithmétique des entiers naturels 2 + 5 = 7 7 6 = 42 Les nombres premiers Problème de répartition Arithmétique des entiers naturels 7 6 =

Plus en détail

DEUG MIAS2 - MODULE INFORMATIQUE (MIA10B) EXAMEN (SEPTEMBRE 1999)

DEUG MIAS2 - MODULE INFORMATIQUE (MIA10B) EXAMEN (SEPTEMBRE 1999) coller l étiquette ici DEUG MIAS2 - MODULE INFORMATIQUE (MIA10B) EXAMEN (SEPTEMBRE 1999) Durée : 2 heures Aucun document autorisé - Calculatrices interdites Les réponses doivent être brèves et justifiées

Plus en détail

1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.

1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,

Plus en détail

Analyse - Résumés et exercices

Analyse - Résumés et exercices Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM Préparation à l Agrégation Interne 6 mars 205 Table des matières Suites de nombres réels. Développement décimal

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail