Extraits de Concours

Transcription

1 Pierre-Louis CAYREL Prépa HEC 2 disponible sur Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours 1 HEC Exercice 1 (via HEC - Oral 1997) Écrire un programme qui permet de remplir aléatoirement un tableau de 200 cases avec 100 fois 0 et 100 fois 1. Exercice 2 (via HEC 1999) Une urne contient des boules de s couleurs différentes notées C i. On tire n boules de l urne successivement et avec remise après chaque tirage. On note X i, la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleur C i obtenues à l issue des n tirages. On remarque que la variable X i dépend de n et que l on a : s i=1 X i = n. Ici il y a trois couleurs, C 1, C 2 et C 3 dans les proportions respectives suivantes : 1, 1, Un tableau T, contiendra dans T [i] les valeurs 1, 2 ou 3 selon que la boule tirée au i-ème coup a la couleur C 1, C 2 ou C 3. On utilisera la fonction random(4) qui retourne un entier aléatoire compris entre 0 et 3. On note X i la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleur C i obtenues à l issue des n tirages. On remarque que la variable X i dépend de n et que 3 i=1 X i = n. On suppose avoir défini dans un programme Pascal : type Tableau = array[1..100] of integer; 1. Écrire une procédure Pascal : procedure Tirage(var T:Tableau); permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans une urne contenant des boules de couleur C 1, C 2 ou C Écrire une fonction difference de paramètre T qui retourne la valeur de X 1 X Écrire une fonction moyenne de paramètre T qui retourne la moyenne des apparitions de la couleur C 3. Exercice 3 (via HEC ESCP EML Voie E) Une urne contient des boules de couleurs C 1, C 2 et C 3 en proportion respectivement 1 4, 1 4 et 1 2. On désire simuler des tirages dans cette urne. On déclare à cette fin un type : TYPE tableau = ARRAY[1..100] OF integer; 1. Écrire une procédure Tirage( c : tableau) permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans notre urne. À la sortie de la procédure l élément c[i] vaudra 1,2 ou 3 et représentera la couleur de la i-ème boule tirée. On pourra faire appel à random(4). 1

2 2. On note X 1 [resp. X 2 ] la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleur C 1 [resp. C 2 ] tirées. Écrire une fonction difference de paramètre c qui retourne la valeur de X 1 X 2. Exercice 4 (via HEC Voie E) On considère deux jetons A et B et deux urnes U 0 et U 1. Au départ, on place les deux jetons dans l urne U 0. On procède ensuite à une succession de lancers d un dé cubique équilibré. Après chaque lancer on effectue l opération suivante : si on a obtenu 1 ou 2 on change le jeton A d urne ; si on a obtenu 3 ou 4 on change le jeton B d urne ; si on a obtenu 5 ou 6 on ne change rien. On note, pour n N, X n [respectivement Y n ] le numéro de l urne dans laquelle se trouve le jeton A [respectivement B] à l issue du n-ième lancer. Ainsi X n = 0 si le jeton A est dans l urne U 0 à l issue du n-ième lancer. Écrire un programme qui simule cette expérience en demandant à l utilisateur un entier m et qui affiche la liste des couples observés (X n, Y n ) pour 1 n m. Exercice 5 (via HEC Voie S) Soient a, b, α et β quatre constantes réelles. On considère les suites de nombres réels (S k ) 0 k n et (R k ) 0 k n telles que : { Sk+1 S k S k [0, n 1] k = a br k R k+1 R k R k = α βr k On suppose que dans le préambule d un programme Pascal les constantes a,b,alpha et beta ont été définies. Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE Eval(n : integer; SO,RO : REAL; S,R : real); qui affecte aux variables S et R les valeurs S n et R n sachant que S 0 =SO et R 0 =RO. Exercice 6 (via HEC ESCP EML Voie E) On appelle durée de vie d un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu à sa première panne éventuelle. Un premier composant est mis en service à l instant 0 et, quand il tombe en panne, est remplacé instantanément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à l instant de sa première panne et ainsi de suite. On modélise la durée de vie de chacun des composants par une vairable aléatoire T géométrique de paramètre p ]0, 1[. 1. Écrire une fonction Pascal utilisant la fonction random réelle, d en-tête : FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer; qui, connaissant le nombre réel p et un nombre entier strictement positif n, simule l expérience et retourne le nombre de pannes survenues jusqu à l instant n. 2. Écrire une procédure Pascal d en-tête : PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer); qui, connais sant le nombre réel p et un nombre entier strictement positif r, simule l expérience en l arrêtant dès que le nombre de pannes atteint le nombre r et affiche la valeur de l instant n où l arrêt s est produit. 2

3 Exercice 7 (via HEC - Oral 2002) Toutes les variables aléatoires sont dans cet exercice définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P ). Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi E(1). On pose S 0 = 0 et pour tout n non nul, n S n = X k. k=1 Soit λ un réel strictement positif. On définit l application T de la manière suivante : pour tout élément ω de Ω, on note T (ω) le plus petit entier naturel n pour lequel S n (ω) > λ (on admet qu un tel entier existe presque sûrement). 1. Quelle est, pour tout entier n non nul, la loi de la variable S n? 2. Montrer que T 1 suit une loi de Poisson de paramètre λ. 3. On rappelle que l affectation x := -\ln(1-random) donne à x une valeur aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1. Écrire une fonction poisson de paramètre lambda simulant une variable aléatoire de loi P (λ). 2 ESSEC Exercice 8 (via ESSEC Voie E) 1. Soit (c n ) n N la suite définie par son premier terme c 0 = 5 4 et la relation : c n+1 = (a) Montrer que pour tout n N, c n est supérieur à 1. (b) En déduire que la suite (c n ) est décroissante puis qu elle converge vers On considère les suites (S n ) n N et (T n ) n N définies par S 0 = 3 4, T 0 = 3 5 S n+1 = Sn c n+1 et T n+1 = S n+1 c n+1 (a) Montrer que (S n ) est décroissante et que (T n ) est croissante. (b) Montrer que pour tout n N, S n T n = c n. (c) En déduire que les suites (S n ) et (T n ) convergent la même limite. 1+c n 2. et les relations : 3. On admet que la limite commune de (S n ) et de (T n ) est ln(2). Écrire un programme qui affiche : la plus petite valeur de l entier n telle que : S n T n < 10 4 ; la valeur approchée par excès de ln(2) ainsi obtenue. Exercice 9 (via ESSEC Voie E) Soit k un entier naturel non nul. On effectue des lancers successifs d un même dé cubique équililbré jusqu à ce que la somme des résultats obtenus soit supérieure à k. On note : X 1, X 2,... les variables aléatoires donnant le numéro amené par le dé lors du premier lancé, deuxième lancer, etc. pour tout entier n, Y n la somme des points obtenus lors des n permiers lancers ; T k le nombre de celles des variables aléatoires y n qui prennet une valeur inférieure ou égale à k. Par exemple si les lancers successifs amènenent 1,2,1,3,5,4,6, on a Y 1 = 1, Y 2 = 3, Y 3 = 4, Y 4 = 7, Y 5 = 12, etc. et T 4 = 3, T 10 = 4. Écrire un programme Pascal appelant la fonction random(6), qui simule des lancers successfs jusqu à ce que la somme des résultats soit supérieure à 20, et qui affiche la valeur de T 20. 3

4 Exercice 10 (via ESSEC Voie E) Soit X la variable aléatoire égale au résultat de la fonction Pascal suivante : FUNCTION X : integer; alea : integer; alea := random(3); IF alea = 2 THEN X := random(2)+1 ELSE X := 3; Déterminer la loi de X et calculer son espérance. 3 ESCP Exercice 11 (via ESCP Voie S) Soit f la fonction de classe C sur R définie par : f(x) = exp x2. On considère, pour tout 2 entier naturel n, la fonction H n définie sur R par : où f (n) (x) désigne la dérivée n-ième de f. H n (x) = ( 1) n exp x2 2 f (n) (x) 1. (a) Calculer pour tout réel x, H 0 (x) et H 1 (x). (b) SCI En remarquant que pour tout x, f (x) = xf(x), établir pour tout entier naturel n non nul et tout réel x la relation : H n+1 (x) = xh n (x) nh n 1 (x) Les lecteurs de la voie Eco. peuvent admettre cette formule et poursuivre l exercice. Une simple récurrence permet alors de montrer que pour tout n N, H n est une fonction polynôme de degré n, à coefficients entiers. On déclare le type : TYPE poly = ARRAY[0..20] OF integer; qui permet de stocker les coefficients de tout polynôme de degré inférieur ou égal à Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE Hermite(n : integer; H : poly); qui étant donné l entier n compris entre 2 et 20, stocke les coefficients de H n dans la variable H. Exercice 12 (via ESCP - Oral 1999) On lance une pièce de monnaie jusqu à ce que l on obtienne pour la première fois une série d au moins deux résultats identiques suivis d un résultat contraire. On arrête alors les lancers. On suppose que la probabilité d obtenir pile lorsqu on lance la pièce est p, la probablité d obtenir face étant alors q = 1 p. 4

5 1. Que renvoie la fonction suivante lorsqu on l exécute? FUNCTION f (p : real) : char; ok : boolean; ok := random <= p; IF ok THEN f := P ELSE f := F ; 2. On suppose que p = 0, 8. On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, et Y la variable aléatoire égale au rang du lancer où commence la première série de résultats identiques. Á l aide de la fonction f, écrire un programme affichant à l écran une série de lancers et la valeur correspondante des variables X et Y sous la forme : P F P F P F P P P P P F X = 12 Y = 7 On utilisera une variable r : ARRAY[ ] OF char dans laquelle on stockera les résultats des lancers successifs obtenus. 3. Critiquer ce programme et en proposer un plus efficace. Exercice 13 (via ESCP - Oral 2001) On considère la fonctionf définie sur R + par : f(x) = exp ( 1 x ). 1. Montrer que pour tout entier naturel n la dérivée n-ième de f vérifie, pour tout réel x strictement positif, la relation : f (n) (x) = P n ( 1 x )f(x) où (P n ) n 0 est la suite de polynômes définie par P 0 (X) = 1 et par la relation : P n+1 (X) = X 2 [P n (X) P n(x)] 2. Établir que pour tout entier n, P n est à coefficients entiers et préciser son degré. 3. On définit un type : TYPE poly = ARRAY[0..20] OF integer; permettant de stocker de tout polynôme de degré inférieur ou égal à 20. (a) (b) (c) Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE MultiX2(P : poly; Q : poly); qui stocke dans Q les coefficients du polynôme X 2 P (X), P étant le polynôme de degré maximum 18 dont les coefficients sont stockés dans P. Écrire une procédure d en-tête : PROCEDURE Derive_poly(P : poly; Q : poly); qui stocke dans Q les coefficients du polynôme dérivé de P, et une procédure : PROCEDURE Diff_poly(P,Q : poly; R : poly); qui stocke dans R les coefficients du polynôme P Q. Écrire enfin un programme faisant appel aux trois procédures précédentes, qui affiche les coefficients du polynôme P 10. 5

6 Exercice 14 (via ESCP Voie E) Pour toutes suites numériques u = (u n ) n N et v = (v n ) n N, on définit la suite w par : n n N, w n = u k v n k On suppose que les suites u et v sont définies par : k=0 n N, u n = ln(n + 1) et v n = 1 n + 1 Écrire un programme qui demande à l utilisateur une valeur de l entier naturel n, qui calcule et affiche les valeurs de w 0, w 1,..., w n. Exercice 15 (via ESCP - Oral 2002) On considère le programme suivant : a,u,v,w : real; Randomize; ReadLn(a); u := random*a; v := a-u; IF v > u THEN w := -v ELSE w := u; END. On note Y, U, V et X les variables aléatoires égales aux valeurs des variables y,u,v et x après l exécution du programme. 1. Quelle est la loi de Y? 2. Déterminer la loi de U, en déduire la fonction de répartition de V. 3. Soit x un réel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilités totales que : En déduire la densité de X. Exercice 16 (via ESCP - Oral 2003) On considère le programme suivant : P (X x) = 1 4 X,i,n : integer; Randomize; ReadLn(n); X := 0; FOR i := 1 TO n DO IF X = 0 THEN X := -1 + random(2) * 2 ELSE X := -1 + random(3); Write(X, ); END x (1 1 x). 6

7 1. Décrire l expérience modélisée par ce programme. 2. On note, pour tout k [1, n], X k la variable aléatoire égale au k-ième nombre affiché lors de l exécution de ce programme. Modifier le programme de telle sorte qu il affiche la première valeur non nulle de k pour laquelle X k = 0. 4 ESC Exercice 17 (via ESC Voie E) On considère le programme suivant : CONST p = 0,25; y : integer; u,v,x : real; Randomize; IF random < p THEN y := 0 ELSE y := 1; u := random; v := u*u; x := (1-v)*y+v*(1-y); END. On note U, V et W les variables aléatoires égales aux valeurs des variables u,v et w après l exécution du programme. 1. Quelle est la loi de Y? 2. Déterminer la loi de U, en déduire la fonction de répartition de V. 3. Soit x un réel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilités totales que : En déduire la densité de X. P (X x) = 1 4 x (1 1 x) 5 EDHEC Exercice 18 (via EDHEC Voie E) On considère une suite (u n ) n N définie par son premier terme u 0 = 1 et par la relation suivante : n N, u n+1 u n + 1 u n 1. (a) Montrer que chaque terme de cette suite est défini et strictement positif. (b) En déduire le sens de variation de la suite (u n ) (c) Établr que lim n + u n = Écrire un programme permettant de déterminer et d afficher le plus petit entier naturel n pour lequel u n

8 6 ECRICOME Exercice 19 (via ECRICOME Voie E) a et b sont des réels supérieurs ou égaux à 1. On considère la suite numérique (u n ) n N définie par : u 0 = a, u 1 = b et pour tout entier naturel n, u n+2 = u n + u n+1 Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de u n, pour des valeurs de a et b supérieures ou égales à 1 et de n entier supérieur ou égal à 2, entrées par l utilisateur. 7 EML Exercice 20 (via EML Voie S) On définit une suite de polynômes (P n ) n N par : et la relation de récurrence : x R, P 1 (x) = x2 2 x n N, x R, P n+1 (x) = x 0 (t x)p n (t)dt + x P n (t)dt 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, P n est de degré 2n. Vérifier alors que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, les coefficients de P n vérifient : P n (x) = 2n k=0 a n,k x k avec a n,0 = a n,1 = 0 a n,2 = 1 2n 2 a n 1,k 2 k=1 k+1 a n,k = a n 1,k 2 pour tout k 3 k(k 1) 2. (a) Déclarer un type polynome en Pascal adapté à la représentation des polynômes P n pour 1 n 25. (b) Écrire une procédure en Pascal prenant pour paramètre un entier n et une variable P de type polynome qui calcule les coefficients de P n et qui les stocke dans la variable P. 3. Euler a démontré que pour tout entier n non nul, la série de Riemann de terme général 1 k 2n avait pour somme : + k=1 1 k 2n = β nπ 2n avec β n = P n (t)dt Écrire un programme utilisant la procédure de la question 2 qui permet de calculer β n pour tout entier n compris entre 1 et 25 fourni par l utilisateur. 8

9 Pierre-Louis CAYREL Prépa HEC 2 disponible sur Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours Correction 1 Correction 2 1. PROCEDURE Tirage( c : tableau); i, alea : integer; FOR i :=1 TO 100 DO alea := random(4); IF (alea = 1) OR (alea = 2) THEN c[i] := alea ELSE c[i] := 3; 2. FUNCTION difference(c : tableau) : integer; S,i : integer; S := 0; FOR i := 1 TO 100 DO IF c[i] = 1 THEN S := S+1; IF c[i] = 2 THEN S := S-1; difference := S; Correction 3 1. PROCEDURE Tirage( c : tableau); i, alea : integer; FOR i :=1 TO 100 DO alea := random(4); IF (alea = 1) OR (alea = 2) THEN c[i] := alea ELSE c[i] := 3; 1

10 2. FUNCTION difference(c : tableau) : integer; S,i : integer; S := 0; FOR i := 1 TO 100 DO IF c[i] = 1 THEN S := S+1; IF c[i] = 2 THEN S := S-1; difference := S; Correction 4 alea,x,y,n,m : integer; Randomize; WriteLn( valeur de m? ); ReadLn(m); x := 0; y := 0; FOR n := 1 TO m DO alea := random(3); IF alea = 0 THEN x := 1 - x; IF alea = 1 THEN y := 1 - y; WriteLn( X,n, =,x, et Y,n, =,y); END. Correction 5 Correction 6 1. FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer; i,k : integer; k := 0; FOR i := 1 TO n DO IF random < p THEN k := k+1; NbP := k; 2. PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer); nbp,k : integer; k := 0; nbp := 0; 2

11 REPEAT k := k+1; IF random < p THEN nbp := nbp+1; UNTIL nbp = r; WriteLn( L"instant d"arret est,k); Correction 7 Correction 8 Correction 9 Correction 10 Correction 11 Correction 12 Correction 13 Correction 14 Correction 15 Correction 16 Correction 17 Correction 18 Correction 19 Correction 20 3