Intégrales sur un intervalle

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1 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Chapitre 2 ntégrales sur un intervalle 2.1 Préparation L objectif de ce cours est de généraliser la notion d intégrale d une fonction sur un segment, à des intervalles qui ne sont plus fermés/bornés. Bien sûr, et comme il est d usage en mathématiques, nous allons nous ramener à ce que nous connaissons : l intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment... Définition Soit un intervalle de R, une fonction f définie sur à valeurs dans R ou C (ou dans un espace vectoriel normé...) sera dite continue par morceaux, si : J, segment, f J est continue par morceaux.

2 2.1. PRÉPARATON CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Question Retrouve-t-on la définition des fonctions continues par morceaux sur un segment, lorsque est un segment? (Rappeler la définition d une fonction continue par morceaux sur un segment). Exercice Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues par morceaux? 1. La fonction partie entière x E(x) sur R? 2. La fonction f : x E ( 1 x) sur ], + [? 3. La fonction définie sur [, 1] par : x { f(x), si x ], 1],, si x =. 4. La fonction définie sur R définie par : x { x sin ( 1 x), si x,, si x =. 5. La fonction x sin(1/x), sur ], 1]. 6. La fonction caractéristique de Q sur R. Remarque L ensemble des fonctions continues par morceaux sur, à valeurs dans un même espace est un espace vectoriel sur le corps de base. Question On suppose que est borné, que peut-on dire de l ensemble des points de discontinuités de f, continue par morceaux sur? Que se passe-t-il lorsque n est plus borné? Définition Une fonction continue par morceaux sur, à valeurs dans R, positive, sera dite intégrable (ou sommable) sur, si : M, J, segment, f M, J

3 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.1. PRÉPARATON on pose alors par définition : f = cette valeur étant évidemment appelée intégrale de f sur. sup f, J, segment J Question Montrer que la notion de fonction intégrable et son intégrale est bien définie. L ensemble des fonctions intégrables est-il un espace vectoriel? Exercice Montrer( que f est intégrable sur si, et seulement si, il existe une suite croissante de segments J n, ) telle que + n= J n =, et f est bornée. Montrer qu alors : Jn n N f = lim f. n + J n Remarque C est au programme! Si f est continue par morceaux sur [a, b], alors f est intégrable sur [a, b], ]a, b[, [a, b[ et ]a, b] et les intégrales coïncident. (Merci de le dire...) Propriété La somme de deux fonctions intégrables sur est intégrable, et l intégrale de la somme est la somme des intégrales dem avec la multiplication par un scalaire positif Croissance : si f et g vérifient f g sur, sont continues par morceaux et si de plus g est intégrable sur, alors f l est aussi et f g. 4. Si a, f est intégrable sur si, et seulement si, f est intégrable sur ], a] et sur [a, + [ et bien sûr : f = f + f. ],a] [a,+ [

4 2.1. PRÉPARATON CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Question Montrer les propriétés (3) et (4). Proposition Une fonction continue, positive, intégrable sur est nulle si, et seulement si, son intégrale est nulle. Question Le montrer proprement. Proposition Une fonction f définie sur [a, b[, a R, b ]a, + ], continue par morceaux, positive, est intégrable sur [a, b[ si, et seulement si, et en ce cas, on a : Question Le montrer. lim x b [a,b[ x a f = lim x b f(t) dt existe, x a f(t) dt. Remarque On peut facilement généraliser aux intervalles ]a, b], a [, b[, b R. Question Question ]a, b], ]a, b[. Énoncer et démontrer un résultat de ce type, pour les fonctions définies sur un intervalle ]a, b[. Énoncer et démontrer une discrétisation de l intégrabilité d une fonction sur un intervalle [a, b[, Exercice Préciser (en discutant éventuellement sur les paramètres) l intégrabilité des fonctions données sur les intervalles donnés. 1. t α sur [1, + [? sur ], 1]? sur ], + [? 2. t α (ln t) β, sur les mêmes intervalles qu à la question précédente. 3. 1/(x 3 + 1), sur R +? 4. x ln x (x 2 +1) 2, sur ], + [?

5 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.1. PRÉPARATON 5. e 1 x x 2, sur ], + [? 6. tan x sur [, π 2 [? 7. 3 x+1 3 x x, sur ], + [? 8. ln(sin x) sur ], π 2 ]? Question Pour chacune des intégrales dont on a démontré l existence ci-dessus, indiquer les méthodes employées pour calculer les valeurs des intégrales.

6 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.2 Réponses aux questions de la préparation Réponse à la question 1 de la section 2.1 Pour retrouver la définition, il suffit de prendre = J. On peut d ailleurs rappeler la définition d une fonction continue par morceaux sur un segment : Définition Une fonction f définie sur un segment [a, b] est dite continue par morceaux sur [a, b], s il existe une subdivision a = a < a 1 < < a n = b de [a, b] telle que : k {,..., n 1}, f ]ak,a k+1 est continue, et f(a + [ k ) et f(a k+1 ) existent. Corrigé de l exercice 1 de la section La fonction partie entière est clairement continue par morceaux sur R. 2. De même, la fonction f l est aussi, car sur tout segment [a, b] ], + [, la fonction est en escalier. 3. Elle n est pas continue par morceaux sur le segment [, 1], car elle possède une infinité de points de discontinuités (et les seules discontinuités possibles sur un segment sont les points de la subdivision). 4. Elle est continue, donc continue par morceaux. 5. dem. 6. Elle est discontinue en tous points (et ne saurait donc être continue par morceaux) puisque Q et R \ Q sont denses dans R. Remarque En réponse à la remarque 2.1.1, on peut essentiellement rappeler la manière de démontrer qu un sous-ensemble d un K-espace vectoriel en est un sous-espace vectoriel : Proposition Soit E un K-espace vectoriel, soit E E, alors : { E E, sous-espace de E (x, y) E 2, (λ, µ) K 2, λ.x + µ.y E.

7 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON Réponse à la question 2 de la section 2.1 Lorsque est un segment, alors l ensemble des points de discontinuité est fini. Comme peut toujours s écrire comme une réunion dénombrable de segments, l ensemble des points de discontinuités d une fonction continue par morceaux sur est dénombrable. Définition Un ensemble est dit fini, s il est en bijection avec une partie bornée de N. 2. Un ensemble est dit infini, s il n est pas fini. 3. Un ensemble est dit dénombrable, s il est en bijection avec une partie de N (finie ou infinie). Remarque Attention, dans certains ouvrages la notion de dénombrable, correspond à notre notion de infini+dénombrable. Remarque La définition d ensemble infini donnée n est pas très pratique, car il faut montrer qu un objet (injection dans N) n existe pas! Nous allons donc chercher des définitions plus opératoires de la notion d ensemble infini La recherche de définitions opératoires auprès des élèves donne les deux réponses suivantes : 1. Un ensemble A est infini si, et seulement si, 1 B A, B A. Exemple R est infini, car la fonction logarithme définit une bijection de R + sur R. 2. Un ensemble A est infini si, et seulement si, ϕ : N A, injective. 1 Le symbole se lit «strictement inclus», et le symbole se lit «équipotent» et signifie que les deux ensembles sont en bijection.

8 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Question Ces définitions sont-elles valides? Sont-elles équivalentes à la définition initiale (infini=non fini)? Réponse à la question 1 de la section 2.1 Donnons un nom à ces propriétés : D A n est pas fini. D 1 B A B A. D 2 ϕ : N A injective. Et montrons maintenant l équivalence de ces trois définitions. Démonstration (D 2 D 1) On peut remarquer que N vérifie D 1, car A = N et B = N, et k k + 1 définit une bijection de A sur B. Si A est quelconque et vérifie D 2, montrons qu il vérifie alors D 1. Soit B = A \ {ϕ()}, alors l application définie par : { a a si a ϕ(n), g : a ϕ(k + 1) si a = ϕ(k), définit une bijection de A sur B. (D 1 D ) est évident par contraposition. (D D 2 ) Remarquons que si un ensemble est non fini, et qu on lui enlève un élément l ensemble obtenu est encore non fini (s il était fini, A serait fini). On peut donc imaginer une démonstration du type : on prend un élément a de A, puis un élément a 1 de A \ {a }, puis un élément a 2 de A \ {a, a 1},..., puis un élément a k+1 de A \ {a,..., a k }, qui construit, par itération (et donc la démonstration par récurrence n est pas loin), une application de N dans A, k a k, qui est injective. En fait, cela pose une question que nous n aborderons pas ici : Comment choisit-on l élément à prendre? Essayons un autre chemin, pour trouver les équivalences cherchées. (D 1 D 2). Soit A = A vérifiant la propriété D 1, B une partie stricte de A équipotente à A (elle est donc infinie), A 1 = B, alors en admettant que A 1 vérifie encore la propriété D 1, on pourrait itérer le procédé, ce qui nous donne : A A 1 A 2 A n..., puis l on prend un élément a k A k \ A k+1, pour construire l application cherchée. On a le même problème que précédemment En conclusion, les définitions D et D 1 sont peu opérationnelles, aussi préférerons-nous garder la définition D 2 d un ensemble infini.

9 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON Exercice du jour Exercice Montrer que Z et Q sont infinis, dénombrables. Corrigé de l exercice 4 de la section 2.2 Z est dénombrable, car il est en bijection avec N, grâce à l application (par exemple) : N { Z k k 2 si k est pair, k+1 2 si k est impair. Q est dénombrable (sur une idée de Thomas). On pose k = {p/q ], 1], p q = 1, 1 q k} 2. Cet ensemble est fini (donc dénombrable). En utilisant le théorème : Théorème Une réunion dénombrable d ensembles dénombrables est encore dénombrables. (Voir la démonstration plus loin). l vient alors que Q ], 1] est dénombrable, car c est k N k, on peut translater de n Z et garder la dénombrabilité. Puis, Q l est aussi, car Q = n Z Q ]n, n + 1]. Q est dénombrable (sur une idée de Lionel). On a une injection simple de Q dans Z 2, par p/q (p, q), où p q = 1 et q >. On a vue que Z était dénombrable, on a donc une injection de Z dans N et donc de Z 2 dans N 2. De plus, on peut envoyer injectivement N 2 dans N par (k, l) 2 k 3 l. Ce qui, en composant permet d obtenir la dénombrabilité de Q. Remarque De plus, si A N et A infini (ou encore A dénombrable, infini), alors A est en bijection avec N. (Lionel) 2 La notation p q désigne le PGCD de p et q

10 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Démonstration A est une partie non vide de N, or on sait : Proposition Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. donc, on construit g bijection de N sur A, de manière itérative par : g() = min A, g(1) = min(a \ {g()}),... et par itération g(k + 1) = min(a \ {g(),..., g(k)}). 2 Remarque En fait, on a une bijection explicite (graphiquement, il suffit de traduire...) de N 2 dans N, comme le montre le dessin suivant : N Démonstration ( N), alors : N (du théorème 2 de la section 2.2). Soient (E k ) k, une famille dénombrable d ensembles dénombrables k, ψ k : E k N injective.

11 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON On peut alors définir une injection de E = k E k dans N 2, par : { E N ψ 2, : x (min(k, x E k ), ψ k (x)). C est une injection, or on a vu que N 2 était en bijection avec N, ce qui permet de conclure. 2 Remarque Nous avons qu un ensemble infini dénombrable était en bijection avec N (et d ailleurs, nous l avons démontré). Or infini signifie qu il existe une injection de N dans cet ensemble, et dénombrable signifie qu il existe une injection de cet ensemble dans N, puis, une bijection est construite... Ce résultat se généralise : Théorème (Cantor-Bernstein) Soient E et E deux ensembles, tels qu il existe : alors E E. ϕ : E E injective, ψ : E E injective, Démonstration Très rapidement. On pose A = E \ ψ(e ) et B = ψ ϕ(e). On remarque alors que la famille : F = {M E, M A, M ψ ϕ(m)} est non vide (E F), stable par intersection et elle possède un plus petit élément : A = M F. l suffit alors de remarquer que A = ϕ(a ) et B = ψ 1 (E \ A ) forment une partition de E et que : { x ϕ(x), si x A, Φ : x ψ 1 (x), si x E \ A, M F définit une bijection de E sur E. 2

12 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Remarque Clairement, N k, Z k et Q k sont dénombrables pour k N, et si E 1,..., E k sont dénombrables, E 1 E k est dénombrable. Question N N, R et P(N) sont infinis. Sont-ils dénombrables? Réponse à la question 11 de la section Le cas de P(N) se résoud facilement, car on a le théorème de Cantor : Théorème (Cantor) Si E est un ensemble, alors E et P(E) ne sont jamais équipotents. (Ou encore, il n existe pas d injection de P(E) dans E, ni de surjection de E sur P(E)). Démonstration Supposons qu il existe une surjection (ou une bijection) de E sur P(E), notée f. Alors, considérons : H = {x E, x f(x)}. Sous l hypothèse de surjectivité de f, il existe h E, H = f(h). Si h H, alors par définition de H, h H. Si h H, alors h H. Dans tous les cas, nous obtenons une absurdité, l hypothèse de surjectivité est impossible. 2 Remarque Cela rappelle l exemple de l ensemble de tous les ensembles (qui n existe pas!). Sinon, notons le E, on peut alors définir A = {a E, a a}, et on obtient que, si A A, alors A A et de même, si A A, alors A A. L hypothèse faite est absurde. 2. Pour démontrer que N N n est pas dénombrable, nous allons utiliser le procédé diagonal de Cantor. Soit Φ une injection de N dans N N, k Φ(k), où Φ(k) : N N. On va construire un élément de N N qui n est pas dans Φ(N). On pose : ψ : k Φ(k)(k) + 1. l est alors clair que ψ Φ(N), car si ψ = Φ(k), alors ψ(k) = Φ(k)(k) + 1 Φ(k)(k).

13 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON Remarque Le fait de relier les indices dans la suite double (Φ(p)(q)) (p,q) N 2 s appelle le procédé diagonal de Cantor. En effet, les valeurs modifiées pour la construction de ψ se trouvent sur la diagonale du tableau : Φ() = ( Φ()(), Φ()(1),..., Φ()(n),...), Φ(1) = (Φ(1)(), Φ(1)(1),..., Φ(1)(n),...),. = Φ(n) = (Φ(n)(), Φ(n)(1),..., Φ(n)(n),...),. = R n est pas non plus dénombrable, pour cela nous allons démontrer que ], 1] ne l est pas. C est le même procédé diagonal. Soit Φ une application de R dans R. Chaque Φ(k) peut être écrit avec son développement décimal (on interdit les développements où les décimales sont stationnaires vers, ainsi 1 s écrira, et non 1, ). Ainsi : Φ() = a, a,1 a,n Φ(1) = a 1, a 1,1 a n,1.. Φ(n) = a n, a n,1 a n,n.. Si on pose k N, b k = min({1,, 8} \ {a k,k }), (on évite les et les 9 dans le développement), alors x =, b b 1 b n Φ(N). Remarque En résumé, lorsque f est définie, continue par morceaux sur, l ensemble des points de où f est discontinue, vérifie :

14 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Si est un segment, est fini. Sinon, est dénombrable, car peut s écrire comme une réunion dénombrable de segments, et est alors une réunion dénombrable d ensembles finis. Réponse à la question 3 de la section 2.1 L intégrale est bien définie (c est une borne supérieure : il faut toujours justifier son existence), car toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure. Comme les fonctions considérées sont positives, ce ne peut être un espace vectoriel. Corrigé de l exercice 2 de la section 2.1 Rappelons la définition opératoire de la borne supérieure d un sous-ensemble de R : Définition Soit X R, X. Alors : δ = sup(x) Pour la borne supérieure sur un ensemble de segments, on a : Définition Soit f une fonction définie sur, alors δ = sup f J segment J { ɛ R +, x X, δ x ɛ, x X, δ x. { ɛ >, J segment, δ J f ɛ, J segment, J f δ. 1. ( ) Soit J n un segment inclus dans, alors J n f f, par définition de la borne supérieure. Comme f est positive, ( ) la suite f est croissante, majorée donc convergente vers une valeur L. De plus, soit ɛ >, et J un segment Jn, tel que : f J f ɛ, comme nj n =, N N, J N J n = J N, et alors f J N f f J f ɛ, en faisant tendre ɛ vers, il vient L = f.

15 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON Remarque En fait, on a montré le résultat (J n ) n, au lieu de (J n ) n. ( ) 2. ( ) On a donc une suite croissante de segments (J n ) telle que J n =, et f Jn n est majorée (comme elle est croissante, elle est donc convergente vers L). Soit J un segment quelconque, alors N N, J J N (comme précédemment). Donc J f J N f L, ce qui montre que la fonction f est intégrable sur, et que f L, en passant à la borne supérieure. L égalité L = f est immédiate. Remarque Lorsque le paramètre universel (celui après un ) est dans R on parle d un problème continu, lorsqu il est dans N, on parle d un problème discret. L exercice précédent est une équivalence entre une assertion continue et une assertion discrète, on parle alors de discrétisation. Ce procédé est fondamental pour faire apparaître des suites, qui seront les objets les plus aisément et fréquemment manipulables que nous rencontrerons. Exemple Soit f : ]a, b[ R, et soit α ]a, b[. La continuité en α de f s exprime usuellement par : ɛ >, η >, x ]a, b[, x α < η f(x) f(α) < ɛ. Le paramètre universel x varie dans R, et nous voulons le discrétiser en le ramenant dans un ensemble dénombrable. Pour cela, il est plus simple de nier la continuité 3. La non continuité de f en α s exprime par : ɛ >, η >, x ]a, b[, x α < η et f(x) f(α) ɛ. l est alors plus facile de discrétiser, car il ne reste que le seul paramètre continu η, il suffit de prendre η = 1/n. (Quand nous serons plus grands, nous pourrons discrétiser directement la continuité en α de f). Exercice Exercice du jour 3 Notons que (p q) (p ( q)).

16 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 1. Montrer que f non continue en α (x n ) n N ]a, b[ N, x n α et f(x n) n + n + f(α). 2. En déduire une discrétisation de la continuité de f en α. 3. Peut-on garder l équivalence et imposer aux suites qui interviennent d être monotones? Corrigé de l exercice 5 de la section (a) ( ) f non continue en α se traduit par : ɛ >, η >, x ]a, b[, x α < η et f(x) f(α) ɛ. Prenons η = 1/n et notons le x n associé à η que produit la propriété ci-dessus. La suite (x n ) n 1 vérifie alors : Ce qui est le résultat demandé. n N, x n α < 1 n et f(x n) f(α) ɛ. (b) ( ) Considérons la suite (x n ) telle que x n α et f(x n ) f(α). Alors, ɛ >, k N, p > k, p N, f(x p ) f(α) ɛ. Soit η > quelconque, alors N N, n N, x n α < η. En prenant un p > N, pour η donné, x p vérifie les deux conditions voulues. 2. En niant l équivalence précédente, il vient immédiatement une discrétisation de f continue en α : (x n ) n N ]a, b[ N, x n n + α f(x n) n + f(α).

17 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON 3. Prenons par exemple la discrétisation de la non continuité de f en α, on veut montrer qu elle est équivalente à : (x n ) n N ]a, b[ N, (x n ) monotone, x n α et f(x n ) f(α). (a) ( ) est immédiat. (b) ( ) (David) On peut utiliser le théorème : Théorème De toute suite réelle, on peut extraire une sous-suite monotone. Et la proposition : Proposition Une suite extraite d une suite convergente vers une limite l est convergente vers la même limite α. On a donc une suite (x n ) qui vérifie x n α et f(x n ) f(α), on peut donc en extraire (x ϕ(n) ) une sous-suite monotone. Hélas, hélas, f(x n ) f(α) f(x ϕ(n) ) f(α). Exemple (n ( 1)n ) ne converge pas vers, mais la suite extraite des termes impairs si! On commence donc par trouver une suite extraite de (x n ) telle que (f(x n )) ne s approche pas trop de f(α), soit ɛ >, ψ une extraction (fonction strictement croissante de N dans N) telle que n, f(x psi(n)) f(α) ɛ. l reste à extraire une sous-suite monotone de (x ψ(n) ) pour conclure l reste à montrer le théorème proposé par David. Démonstration On peut voir sur un dessin qu il y a deux situations : 1. La suite est déjà monotone (ou presque) :

18 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE nombre fini de termes entre les deux 2. La suite est un peu plus compliquée : nombre infini de termes entre les deux R La démonstration se découpe alors en deux cas : 1. La suite vérifie : (p, q) N 2, {n N, x n [x p, x q ]} est fini. x étant pris comme référence, on peut construire les deux ensembles : R δ + (x ) = {n N, x n [x, + [}, δ (x ) = {n N, x n ], x ]}. L un au moins de ces deux ensembles est infini (la réunion des deux faisant N), supposons que δ + (x ) le soit. On construit l extraction de la manière suivante : ϕ() =, ϕ(1) = min{n > ϕ(), n δ + (x )} et x ϕ(1) x ϕ(1). Supposons construits ϕ() < < ϕ(k), tels que x ϕ() x ϕ(1) x ϕ(k), alors, δ + (x ϕ(k) ) = {n, x n [x ϕ(k),+ [ } = δ + (x ) \ {n, x n [x ϕ(), x ϕ(k) [} est infini d après l hypothèse initiale faite. Donc δ + (x ϕ(k) est infini, on pose ϕ(k + 1) = min{n, n > ϕ(k), x n δ + (x ϕ(k) }. La suite trouvée (et construite par itération) convient. 2. Si au contraire la suite vérifie : (p, q) N 2, {n N, x n [x p, x q]} est infini. En ce cas, il est difficile de prévoir la monotonie de la suite. Qu à cela ne tienne, nous allons essayer d en construire une croissante et une monotone de la manière suivante (une sorte de dichotomie) : posons ϕ() = p et ψ() = q, et

19 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON supposons construits ϕ() < ϕ(1) < < ϕ(k) et ψ() < ψ(1) < < ψ(k ) tels que : x ϕ() x ϕ(1) x ϕ(k), x ψ() x ψ(1) x ψ(k ), et {n N, x n [x ϕ(k), x ψ(k )]} est infini. On va couper l intervalle [x ϕ(k), x ψ(k )] en deux : soit r = min(n > max(ϕ(k), ψ(k )), x r [x ϕ(k), x ψ(k )]). Si {n, x n [x ϕ(k), x r]} est infini, on pose ψ(k + 1) = r, sinon, on pose ϕ(k + 1) = r. Dans les deux cas, on peut poursuivre l itération. Remarque Si ϕ est construite sur tout N, on a extrait une sous-suite croissante, sinon ψ est construite sur tout N et on a extrait une sous-suite décroissante. Remarque En fait, la seule propriété de R utilisée est l ordre total. Le résultat se généralise à un ensemble totalement ordonné quelconque. Exemple N 2 muni de l ordre lexicographique : (p, q) (p, q ) ou p < p, Réponse à la question 4 de la section 2.1 Les démonstrations sont immédiates. p = p et q q. Réponse à la question 5 de la section 2.1 (Abdelmoumen) Clairement, si f est nulle, f =. Réciproquement, supposons f non nulle, alors x, f(x ) >, et donc η >, x ]x η, x + η[, f(x) f(x )/2, d après la continuité de f en x. 2

20 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE y aire minimale garantie f(x ) f(x )/2 x η x x + η x Donc, f [x η,x +η] f f(x ) 2 2η >. Ce qui montre que f >. Question Que peut-on en déduire lorsque f est seulement continue par morceaux sur? Réponse à la question 12 de la section 2.2 En fait, la démonstration précédente n utilise que la continuité en x et pourrait même s étendre au cas où il n y a qu une continuité à gauche ou à droite. l vient donc le résultat : Proposition Soit f : R une fonction continue par morceaux sur, positive et intégrable sur, alors continue f = x, f continue à droite en x f(x) =. continue à gauche

21 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON Réponse à la question 6 de la section 2.1 On peut directement appliquer les résultats de discrétisation : x f(t) dt f (x n ) n N, monotone, a x b [a,b[ xn x n b f(t) dt f. 1. ( ) Soit x n b une suite monotone quelconque, alors le résultat vient de l exercice 2 de la partie 2.1, avec J n = [a, x n ]. 2. ( ) On utilise la réciproque du résultat de l exercice sus nommé. Réponse à la question 8 de la section 2.1 En fait, on a une généralisation sans risque, en coupant l intervalle en deux, ce qui donne : [x,c] f c ]a, b[, x a + f, [c,x] f x b f. Exercice du jour Question Si f, on peut se poser la question de rendre symétrique les manières de tendre vers les bornes, par exemple, si a et b sont finis, a-t-on : f intégrable sur ]a, b[ lim ɛ + b ɛ a+ɛ a f(t) dt existe? [a,b[

22 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Réponse à la question 13 de la section 2.2 l suffit d appliquer le résultat de l exercice 2 avec : J n = [a + 1 n, b 1 n ], pour avoir le sens indirect. Pour le sens direct, après discrétisation : soit ɛ n une suite décroissante tendant vers, on applique toujours le résultat de l exercice 2 avec : J n = [a + ɛ n, b ɛ n ]. Remarque La positivité est indispensable, sinon toute fonction impaire serait intégrable sur tout intervalle symétrique par rapport à! Exemple La fonction : f : x x vérifie, ɛ >, 1 x2 +1 ɛ 1+ɛ f(x) dx =, et cette fonction n est pas intégrable sur ] 1, 1[, sa primitive étant x 1 ln(1 2 x2 ). On verra de même que sin n est pas intégrable sur R, et +x sin(t) dt =, x x R +. x Réponse à la question 8 de la section 2.1 l suffit de remplacer lim x b a f(t) dt, par, (x n) étant une suite monotone ou non convergeant vers b : Et de même pour les autres types d intervalle. Corrigé de l exercice 3 de la section 2.1 xn lim f(t) dt. n + a

23 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON 1. On a : D où le résultat : t α dt = { ln(t) si α = 1, t α+1 α+1 sinon. sur [1, + [, f intégrable α < 1, sur ], 1], f intégrable α > 1, sur ], + [ f non intégrable α R. 2. On remarque que l on a des problèmes éventuels de définition en 1. On va utiliser : Proposition (Raphaël) Soient f et g deux fonctions définies continues par morceaux positives de [a, b[ dans R, où b ]a, + ]. f(x) b g(x) (g intégrable f intégrable), (2.1) f(x) b g(x) (g intégrable f intégrable), (2.2) f(x) = O b (g(x)) (g intégrable f intégrable). (2.3) l reste alors à comparer t t α ln t β à un t γ dont on connaît le comportement. On utilisera avec profit le fait que si α 1, on a γ = α 1 2 ]α, 1[. De plus, pour α = 1, on connaît une primitive de la fonction car : { ln t ± ln ln t si β = 1, Ceci donne les résultats suivants : t dt = ln t β+1 ± β+1 sinon.

24 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE sur [a, + [, a > 1 sur ]1, a] ou [a, 1[ sur ], a] a < 1 α > 1 non intégrable intégrable β > 1 intégrable β α < 1 intégrable β intégrable β > 1 non intégrable α = 1 intégrable β < 1 intégrable β > 1 intégrable β < 1 3. La fonction est intégrable sur R +, car elle est continue et elle vérifie : x x La fonction est intégrable sur ], + [ car, elle est continue et elle vérifie : { x ln x x +, (x 2 + 1) 2 ln x + x La fonction n est pas intégrable sur ], + [, car : e 1/x x x La fonction est intégrable sur [, π/2[, car elle est continue et elle vérifie : tan x =x=π/2 u 1 u u + 1 u. 7. La fonction est intégrable sur ], + [ car elle est continue et elle vérifie (nous ferons les calculs en Maple, pour plus de simplicité) :

25 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON > f :=x->((x+1)**(1/3)-x**(1/3))/sqrt(x) ; f := x (x + 1)(1/3) x (1/3) x > series(f(x),x=,1) ; 1 1 x x + O( x) (1/6) > series(f(x),x=infinity,2) ; 1 3 ( 1 x )(7/6) + O(( 1 x )(13/6) ) 8. La fonction n est pas positive, donc ne rentre pas stricto sensu dans le cadre que nous avons actuellement, cependant, elle reste constamment négative, nous admettrons pour le moment que l intégrabilité de f est la même que celle de f. En ce cas, elle est intégrable car elle est continue sur ], π/2] et elle vérifie (au voisinage de ) : ln(sin x) = ln(x + o(x)) = ln[x(1 + o(1))] = ln x + o(1) + ln x. Or la fonction ln est intégrable sur ], 1] car on en connaît une primitive x x ln(x) + x qui admet une limite en Démontrons la proposition (8 de la section 2.2) de Raphaël : Démonstration

26 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 1. (f(x) g(x)) On a : ɛ ], 1[, η >, x [b η, b[, (1 ɛ)g(x) f(x) (1 + ɛ)g(x). La majoration (entre fonctions positives) f(x) (1 + ɛ)g(x) nous assure que si g est intégrable sur [b η, b[ alors f l est aussi. Comme elle est continue par morceaux sur [a, b η] elle est intégrable sur [a, b[. L équivalence étant une relation symétrique, nous obtenons le résultat. 2. (f(x) g(x)) On a : ɛ >, η >, x [b η, b[, f(x) ɛg(x). La majoration f(x) ɛg(x) permet de même de conclure que si g est intégrable, alors f l est sur [a, b[. (ci, la relation n est plus symétrique). 3. (f(x) = O(g(x))) On a : M >, x [a, b[, f(x) Mg(x). On continue comme précédemment En fait, ces relations de comparaison permettent d obtenir des résultats intéressants sur les intégrales : Proposition (ntégration des relations de comparaison) Soient f et g deux fonctions positives, continues par morceaux, définies sur [a, b[ à valeurs dans R. Alors : 1. Si f(x) b g(x), on a : Si elles sont intégrables sur [a, b[ : b Si elles ne sont pas intégrables sur [a, b[ : x a x f(t) dt x b f(t) dt x b b x x a g(t) dt ( x b ). g(t) dt ( x b + ). 2

27 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON 2. Si f(x) x b g(x) alors : Si g est intégrable sur [a, b[ : Si g n est pas intégrable sur [a, b[ : b f(t) dt x b b x x x f(t) dt x b x a a g(t) dt. g(t) dt. 3. Si f(x) = O(g(x)) au voisinage de b, alors : Si g est intégrable sur [a, b[ : b ( b ) f(t) dt = O g(t) dt x x au voisinage de b. Si g n est pas intégrable sur [a, b[ : (Voir la démonstration plus loin). x a ( x ) f(t) dt = O g(t) dt a au voisinage de b. Exemple Cherchons un équivalent d une primitive de f(t) = e t2 au voisinage de +. Malheureusement, nous ne connaissons pas de primitive de cette fonction. Nous pouvons dire, cependant, qu elle est continue, positive, non intégrable sur R car e t2 t + t. L objectif est donc de chercher une fonction équivalente à f(t) au voisinage de +, mais dont nous savons calculer la primitive. Deux méthodes s offrent à nous : 1. On remarque que :

28 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE > diff(exp(x**2),x) ; 2 x e (x2 ) > diff(exp(x**2)/(2*x),x) ; e (x2) 1 2 e (x2 ) x 2 Cette dernière fonction étant équivalente à f(x) au voisinage de +. Donc (on enlève et on commence à a >, cela ne change pas le résultat, car on enlève une valeur finie) : x a f(t) dt + x a 2 e t2 et 2t dt = 2 [ e t2 2t ] x a e x 2 + 2x. 2. On peut aussi utiliser une intégration par parties, mais il ne faut pas se tromper de sens! > with(student) : Pour avoir la fonction intparts. > intparts(nt(exp(x**2),x),exp(x**2)) ; x e (x2) 2 x 2 e (x2) dx Dans ce sens, cela ne marche pas, car la nouvelle fonction à intégrer est dominante devant f.

29 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON > intparts(nt(2*x*exp(x**2)/(2*x),x),1/(2*x)) ; 1 e (x2 ) 2 x 1 e (x2 ) dx 2 x 2 ci, cela marche, car la fonction à intégrer est négligeable devant f, on peut alors garder comme équivalent le terme hors intégrale qui nous donne le bon équivalent. Démonstration (de la proposition 9 de la section 2.2). Toutes les démonstrations sont sur le même principe (avec plus ou moins de raffinement), nous allons donc traiter l un des cas les plus compliqués : lorsque les deux fonctions sont équivalentes et non intégrables. On peut d abord remarquer que f + et de même pour g. En se plaçant sur [b η, b[, on obtient : [a,x] x b η ( x b η ) f(t) dt f(t) dt + (1 + ɛ) g(t) dt g(t) dt. a a } a {{ a } (1) Lorsque x b, le terme (1) est équivalent à x g(t) dt, donc : a η < η, x [b η, b[, (1) (1 + 2ɛ) x g(t) dt. On procède a de même pour le minorant, il vient : ɛ >, η >, x [b η, b[, (1 2ɛ) g f (1 + 2ɛ) g, [a,x] [a,x] [a,x] ce qui est le résultat demandé. 2 Réponse à la question 9 de la section 2.1 Les calculs peuvent se faire de la manière suivante : 1. Primitives connues : > int(x**alpha,x) ; x (α+1) α + 1

30 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE > int(1/x,x) ; ln(x) 2. Pour la plupart, les primitives ne sont pas calculables (sauf si α = 1) : > int(x**alpha*(ln(x))**beta,x) ; x α ln(x) β dx Maple ne sait pas calculer... Moi non plus. > int((ln(x))**beta/x,x) ; ln(x) (1+β) 1 + β > int(1/(x*ln(x)),x) ; ln(ln(x)) 3. Une fraction rationnelle! Facile...

31 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON > int(1/(1+x**3),x) ; 1 3 ln(x + 1) 1 6 ln(x2 x + 1) arctan( 3 3 (2 x 1) 3) mpressionnant, mais comment fait-il? Quant à nous, nous utiliserons une décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle : > convert(1/(1+x**3),parfrac,x) ; x x 3 x 2 x Une petite intégration par parties pour se débarrasser du logarithme semble s imposer : > int(x*ln(x)/((x**2+1)**2),x) ; 1 4 ln(x2 + 1) + 1 ln(x) x 2 2 x Sans objet. > intparts(nt(x*ln(x)/((x**2+1)**2),x),ln(x)) ; 1 ln(x) 2 x x (x 2 + 1) dx

32 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 6. Plus dur, voyons ce que nous dit Maple : > int(sqrt(tan(x)),x) ; 1 tan(x) cos(x) 2 arccos(cos(x) sin(x)) 2 cos(x) sin(x) 1 2 ln(cos(x) + 2 tan(x) cos(x) + sin(x)) 2 J en reste pantois. Pour ce qui nous concerne, nous utiliserons un changement de variable bien connu u =ce qui nous embête... > changevar(u=sqrt(tan(x)),nt(sqrt(tan(x)),x),u) ; u u 4 du Une fraction rationnelle, c est comme si c était fini.

33 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATON > value(% a ) ; 1 u 2 u ln( 4 u 2 + u ) arctan(u 2 + 1) arctan(u 2 1) 2 a En version 5, le symbole % rappelle le résultat précédent et remplace " 7. Je ne sais pas faire, Maple non plus : > int(((x+1)**(1/3)-x**(1/3))/sqrt(x),x) ; (x + 1) (1/3) x (1/3) dx x 8. Nous verrons plus tard des méthodes pour calculer ce genre d intégrales. Pour le moment, remarquons que Maple se débrouille très bien : > int(ln(sin(x)),x) ; x ln(e (2 x) 1) ln(2) x 1 2 π x 1 2 x2 dilog(e ( x) ) + dilog(1 + e ( x) ) x ln(1 + e ( x) )

34 2.2. RÉPONSES AUX QUESTONS DE LA PRÉPARATONCHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Sauf que le résultat est illisible. > int(ln(sin(x)),x=..pi/2) ; 1 2 π ln(2) Pour ce qui nous concerne, nous allons ruser en introduisant l intégrale duale : soit J = π/2 ln(cos(x)) dx, alors, on montre successivement : J =, par changement de variable u = π/2 x. + J = π/2 ln 2 + 1/2( π ln(sin(x)) dx), on sommant et avec le changement de variables u = 2x. + J = π/2 ln 2 +, en coupant l intégrale ci-dessus de à π/2 qui redonne et de π/2 à π qui redonne aussi après un changement de variable u = π x.

35 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES 2.3 ntégration des fonctions complexes Définition Soit un intervalle quelconque de R, soit f : C, une fonction continue par morceaux. On dit que f est intégrable sur, si f l est. En ce cas, soit (J n ) n N une suite croissante de segments, n J n =, on pose : f def = lim f. n + J n Remarque Cette définition appelle plusieurs commentaires : 1. Pourquoi la limite donnée existe-t-elle? Démonstration f est à valeurs dans C, elle a donc a priori une partie réelle et une partie imaginaire : f = R(f) + i(f). De plus, pour ces parties réelles et imaginaires, on peut prendre les parties positives et négatives 4 et on a donc : f = R(f) + R(f) + i ( (f) + (f) ). De plus, on a : R(f) + R(f) f, c est donc une fonction intégrable, et de même pour R(f), (f) + et (f). Alors : ( ) f = R(f) + R(f) + i (f) + (f). J n J n J n J n J n L existence de chacune de ces limites (intégrabilité des fonctions) permet de conclure à l existence de la limite demandée Cette définition est-elle indépendante du choix de la suite (J n )? Démonstration Prenons une autre suite croissante (K n) de segments, nk n =. Alors la relation de Chasles permet d obtenir : f f = f f J n K n J n\k n K n\j n. 4 Si g est une fonction à valeurs réelles, alors g + = max(g, ) et g = max( g, ). On a clairement g = g + g et g = g + + g.

36 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Or J n\k n f J n\k n f n +, d après l intégrabilité de f (c est un reste). dem avec K n \ J n. 2 Proposition Soit f : [a, b[ C, continue par morceaux, alors : f intégrable x a f(t) dt admet une limite quand x b, et cette limite est, bien sûr, [a,b[ f. Démonstration Soit (x n) une suite monotone qui converge vers b, on applique la définition avec J n = [a, x n]. 2 Remarque Exemple La fonction La réciproque est fausse en général (elle n est vraie qu avec la positivité de la fonction). n est pas intégrable sur [, + [ et pourtant x sin t t x sin x x, dt admet une limite lorsque x +. Exercice Montrer les deux propriétés précédentes. Exercice du jour Remarque l y a beaucoup de résultats apparemment naturels qui sont faux : soit f aussi régulière que l on veut (C ) par exemple, définie sur [a, + [ intégrable sur cet intervalle.

37 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES 1. A-t-on f(x) x +?NON. 2. A-t-on f intégrable? NON. 3. A-t-on f bornée? NON. En revanche, avec un peu plus d hypothèses, on obtient des résultats : 1. Si f est à valeurs dans R décroissante, continue, alors : f intégrable f(x) = o ( ) 1 x au voisinage de Si f est u-continue sur [a, + [, alors : f intégrable f(x) x +. Exemple On peut définir une fonction continue sur R + avec des petits «chapeaux», de la manière suivante :

38 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE n n Où les triangles qui apparaissent sont construits sur la base [n 1/n 3, n + 1/n 3 ] et ont pour hauteur n. Leur surface est donc de 1/n 2. L intégrale de la fonction chapeau (positive) obtenue vérifie : R n+1/n 3 f(t) dt = n k=2 1 n n x dx = n 1. Ce qui montre que la fonction est intégrable, et pourtant, elle ne tend pas vers en + et elle n est même pas bornée. Certes, elle n est pas C, mais il est possible «d arrondir les coins». Exemple En fait, on peut avoir une fonction C dans le style de la précédente de manière explicite sous la forme : x f(x) = 1 + x α sin 2, où α est à choisir. x Cette fonction ne tend pas vers en + et n est pas bornée, car f(nπ) = nπ +. Elle est clairement C. Et elle est intégrable pour α > 4.

39 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES Démonstration n = nπ f(t) dt = n k=1 kπ (k 1)π f(t) dt. Or, on peut majorer brutalement la fonction sur l intervalle [(k 1)π, kπ] d où : n n k=1 kπ (k 1)π kπ 1 + [(k 1)π] α sin 2 t dt. Calculons avec Maple, le calcul direct donnant un résultat très laid (visiblement Maple utilise le changement de variable u = tan(x/2), alors que la fonction est π-périodique) : > changevar(u=tan(x),nt(1/(1+a*(sin(x))**2),x),u) ; 1 (1 + a du u2 1 + u ) (1 + 2 u2 ) > value(%) ; > subs(u=tan(x),%) ; arctan( 1 + a u) 1 + a arctan( 1 + a tan(x)) 1 + a Or, par translation et par parité de la fonction à intégrer, on a : J k = kπ (k 1)π kπ 1 + [(k 1)π] α sin 2 t dt = 2 π/2 = kπ [(k 1)π] α.

40 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE La somme majorante : Corrigé de l exercice 6 de la section 2.3 n J k convergera dès que α 1 > 1, soit α > D abord l existence de la limite : > intparts(nt(sin(x)/x,x=1..x),1/x) ; cos(x) X X + cos(1) cos(x) 1 x 2 dx k=1 La nouvelle fonction à intégrer est majorée par 1/x 2, elle est donc intégrable sur [1, + [. Comme le crochet admet une limite quand X +, la limite de X sin x 1 x dx admet une limite. La fonction f(x) = sin x/x se prolongeant par continuité en, elle est intégrable sur ], 1]. 2. Montrons que f n est pas intégrable : (Une idée de Catherine) : Or Et X 1 X 1 sin t t cos(2t) 2t dt X 1 sin 2 t t dt = X 1 ( 1 2t cos(2t) ) dt. 2t dt admet une limite, par intégration par parties, X 1 1/(2t) dt X

41 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES Ce qui montre la non intégrabilité de f. (Une idée de Thomas) : on minore l aire à calculer par l aire du triangle inclus dans l arc de la fonction : La fonction sin x x On minore l aire du triangle par : Alors nπ π kπ (k + 1)π π 2 1. (k + 1)π } {{ } Un minorant de la hauteur f(t) dt n 1 1 2i +. n +

42 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Une troisième idée est de procéder comme pour l exemple 15 de la section 2.3. Remarque La suite que l on minore ci-dessus : n 1 1 n+1 k dt = ln(n + 1), 1 t s obtient graphiquement, par une comparaison série/intégrale : Un rectangle d aire majorante La fonction 1/x

43 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES Remarque Nous avons aussi signalé qu une fonction C pouvait être intégrable, sans que la dérivée le soit. En effet, si f est intégrable, alors : f(x) f(a) = x a f (t) dt admet une limite en +. Pour trouver un contre-exemple, il suffit de prendre une fonction intégrable qui n admet pas de limite en +. L exemple 15 de la section 2.3 convient. Exercice Soit f définie, continue décroissante de [, + [ dans R, alors : f intégrable xf(x) x +. Corrigé de l exercice 7 de la section 2.3 (Sur une proposition de Lionel). Supposons que xf(x) x +, alors : ɛ >, x [1, + [, x > x, f(x ) ɛ x. En réitérant la procédure, avec x > x, on peut construire x 1 > x, f(x 1 ) ɛ/x 1. Un petit dessin va bien nous faire comprendre ce qui se passe :

44 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Surface minimale garantie ɛ/x On a donc x x 1 x1 x f(x) dx (x 1 x ) ɛ x 1. Mais il est possible de choisir x 1 aussi grand que l on veut, par exemple tel que x 1 > 2x, alors : f(x) dx ɛ x 2. On obtient une contradiction lorsque x + avec l intégrabilité de f. Remarque (Stanley) Plus rapidement, il suffit de dire : 2x x + f(t) dt xf(2x). x1 x

45 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES Ce qui montre que xf(x). Bien sûr, cette remarque est entièrement justifiée par l analyse qui a été faite précédemment, sinon, elle ressemblerait à ce que d aucun appelle «une astuce». Exercice Si f est uniformément continue intégrable sur [a, + [, alors f(x) x. Corrigé de l exercice 8 de la section 2.3 C est un peu la même idée que pour l exercice 7. Supposons que f ne tende pas vers, en +, alors : ɛ >, x >, x > x, f(x ) > ɛ, mais, comme f est u-continue, η >, (x, x ) [a, + [ 2, x x < η f(x) f(x ) ɛ 2. Sur l intervalle [x η, x +η], on a : x +η f(t) dt ηɛ >. x η Lorsque l on fait tendre x vers +, on obtient une contradiction avec l intégrabilité de f sur [a, + [. Remarque Ce qui fait que la démonstration ci-dessus fonctionne, est que le paramètre η est indépendant de x (c est la propriété caractéristique de l uniforme continuité). D ailleurs, la différence entre la continuité est la suivante : Continuité de f sur : Le η dépend à la fois de x et de ɛ. U-continuité de f sur : Le η ne dépend que de ɛ. x, ɛ >, η x, ɛ, y, x y < η f(x) f(y) < ɛ. ɛ >, η ɛ, (x, y) 2, x y < η f(x) f(y) < ɛ.

46 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Finalement, ce qui fait qu une fonction continue est uniformément continue, est que : x, on peut considérer δ x = sup x η x,ɛ ], + ] (ɛ étant ici fixé). La fonction sera u-continue si, et seulement si : ɛ >, inf x δ x >. Propriété (des fonctions intégrables). 1. Elles forment un C-espace vectoriel, et : f f est linéaire. 2. On a l inégalité : f f, avec égalité (lorsque f est continue sur ) lorsque f garde un argument constant (un signe constant dans R). Démonstration Regardons d abord ce qui se passe dans R. On peut écrire f = f + f, comme à la remarque 28 de la section 2.3, et f = f + + f. Par ailleurs, f + et f sont intégrables, car majorées par f et positives. Donc : f = f + f f + + f = f. (1) Pour avoir l égalité, il faut l avoir en (1), c est-à-dire lorsque f + et f sont de même signe. Donc, lorsque l une au moins de ces intégrales est nulle. Si f est supposée continue, comme f + et f sont continues, positives. La nullité de l intégrale implique la nullité de la fonction sur (voir la question 5 de la section 2.1). Lorsque f est à valeurs dans C, on peut utiliser une représentation en module/argument de f. Soit : x, f(x) = ρ(x)e iϕ(x),

47 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.3. NTÉGRATON DES FONCTONS COMPLEXES où ρ et ϕ est définie lorsque x. En ce cas, x, f(x) = ρ(x). Le module de f nous gène. Pour s en débarrasser : Si f = Re iφ, alors f = fe iφ, le reste est simple : [ = f f = ρ fe iφ = ρ 1 e i(ϕ φ)] R, on peut donc ne garder que la partie réelle, puisque la partie imaginaire est nulle : = ρ [1 cos(ϕ φ)]. Lorsque f est continue, alors ϕ, que l on définit comme on veut pour f(x) =, est continue par morceaux (voir le théorème du relèvement), il y a donc égalité, si x, f(x) ϕ(x) = φ, f garde donc un argument constant (là où elle n est pas nulle). 2 Remarque On retrouve l idée d élimination du module dans d autres exercices (en fait, c est presque le même) ; soient (z 1,..., z n ) des complexes non nuls, alors : z z n = z z n les zk ont même argument. On a z z n = Ze iφ et donc z z n = (z z n ) e iφ. 3. f, g intégrables f g intégrable. Démonstration l suffit de prendre un contre-exemple : f(t) = g(t) = 1 t, sur ], 1]. 2

48 2.4. COMPARASON AVEC L NTÉGRALE SUR UN SEGMENT CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.4 Comparaison avec l intégrale sur un segment Les propriétés sont proposées par les élèves. 1. (négalité de Cauchy-Schwarz) Soient f, g : [a, b] C continues par morceaux, alors : b b b f(t)g(t) dt f(t) 2 dt g(t) 2 dt, a avec égalité, lorsque f et g sont continues si, et seulement si, f et g sont liées. Démonstration Étudions d abord le cas où les fonctions sont à valeurs dans R. On pose = [a, b], alors : λ R, (λf + g) 2, a soit, après développement : λ R, λ 2 f 2 + 2λ fg + g 2. On obtient donc une équation du second degré en λ qui reste positif, λ R. Son discriminant (réduit) est nécessairement négatif ou nul, soit l inégalité voulue. S il est nul, cela signifie que le trinôme admet une racine réelle λ, et en ce cas : (λ f + g) 2 =. Lorsque f et g sont continues, cela signifie que λ f + g =. Puis, le cas des fonctions à valeurs dans C. On a de même : λ C, λf + g 2. a

49 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.4. COMPARASON AVEC L NTÉGRALE SUR UN SEGMENT En développant ( x 2 = xx), il vient : λ 2 f 2 + λ fg + λ fg + g 2. l n est pas possible de procéder directement comme dans le cas réel. Cependant, en spécialisant le λ, on peut revenir à un trinôme réel : Soit fg = Re iφ, prenons λ = te iφ, où t R, il vient alors : t 2 f 2 + 2tR + g 2, t R. À nouveau le discriminant (réduit) doit être, ce qui donne l inégalité voulue, et s il y a égalité, t R, t e iφ f + g =, ce qui permet d obtenir, lorsque f et g sont supposés continues, le fait que t e iφ f + g =. 2 Remarque Cette inégalité se généralise facilement à des intégrales sur un intervalle quelconque. l faut faire, cependant, attention à ce que les objets existent. En particulier, f 2 et g 2 doivent être intégrables sur. Mais, en ce cas, comme : fg 1 ( = f g f 2 + g 2), 2 on peut en déduire que fg est aussi intégrable. L inégalité s obtient, en l écrivant sur un segment J, et en passant à la borne supérieure.

50 2.4. COMPARASON AVEC L NTÉGRALE SUR UN SEGMENT CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2. L inégalité triangulaire (dite de Minkowski) s en déduit immédiatement : f + g 2 f (L inégalité de la moyenne) Soient f et g : [a, b] C, continues par morceaux, alors : fg f g, où f = sup f(x). x Elle se généralise à un intervalle quelconque, sous les hypothèses supplémentaires : g est intégrable sur ; f est bornée sur. g 2. Démonstration 4. (Les sommes de Riemann) fg f g f g... Exercice du jour 2 Exercice Étude de la suite : un = 1 n 1 1 n k= 1 k2 /n. 2

51 CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE 2.4. COMPARASON AVEC L NTÉGRALE SUR UN SEGMENT Soit f : [a, b] C, continue par morceaux, alors : σ n = n 1 k= ( b a n f a + k b a ) n n + b a f(t) dt. Démonstration Dans le cas où f est continue, alors d après le théorème de Heine, elle est u-continue sur [a, b] et : ɛ >, η >, (x, y) [a, b] 2, x y < η f(x) f(y) < ɛ. ɛ étant fixé, choisissons n tel que (b a)/n < η, il vient (en notant a k = a + k(b a)/n et en utilisant la relation de Chasles pour faire apparaître des intégrales sur [a k, a k+1 ]) : b n 1 σn f(t) dt a k= b a f(a k ) f(t) dt n 1 k= ɛ(b a) n = ɛ(b a). Dans le cas où f est seulement continue par morceaux, soit α = a < α 1 < < α p = b une subdivision de l intervalle [a, b] telle que : i {1,..., p}, g i = f ]αi 1,α i [ continue, g i(α + i 1) et g i(α i ) existent. On peut adapter facilement la démonstration du cas continu, pour montrer que : k {,...,n}, a k ]α i 1,α i [ b a n f(a k) n + αi α i 1 g i = αi α i 1 f. La relation de Chasles permet de «recoller les morceaux». 2

52 2.4. COMPARASON AVEC L NTÉGRALE SUR UN SEGMENT CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Corrigé de l exercice 9 de la section 2.4 Comme nous n avons aucun résultat sur les sommes de Riemann pour les fonctions définies sur un intervalle quelconque (ici [, 1[) et que l uniforme continuité n est plus là, nous allons revenir à des choses naturelles : la comparaison de u n avec une intégrale. Tout tient dans un dessin : f(a k ) f(a k 1 ) 1 f(x) = 1/ 1 x 2 Rectangle majorant a k 1 a k 1 Rectangle minorant On a donc, k {,..., n 2}, x [a k, a k+1 ], f(a k ) f(x) f(a k+1 ), car la fonction f est croissante. En intégrant entre a k et a k+1, il vient : k {,..., n 2}, b a ak+1 n f(a k) a k f(t) dt b a n f(a k+1), soit, l aire du rectangle minorant est inférieure ou égal à l aire délimitée par la courbe qui est elle-même inférieure ou égale à l aire du rectangle majorant. On peut de plus remarquer que, la fonction étant intégrable, l inégalité de gauche est encore valide pour k = n 1. En sommant, il vient : an 2 f(t) dt + b a n f() + b a n f(a n 1) u n Le premier terme tend clairement vers f, le deuxième vers ; quant au troisième, il est majoré par 1 a n 1 f(t) dt [,1[ f.