Entier ou Racines Distrib. rquables
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- Noël Paris
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1 Académies Équation Substitution de valeurs Développer Factoriser et années produit numériques Identités Identités Facteur Entier ou Racines Distrib. rquables rquables commun fractions carrées Bordeaux 00 x x x x x Espagne 00 x x x Grenoble 00 x x x Nancy 00 x x x x x Orléans 00 x x x Paris 00 x x x x Bordeaux 01 x x x x Grenoble 01 x x Paris 01 x x x x Lyon 01 x x x x Nice 01 x x x x x Grenoble 0 x x x x x Nancy 0 x x x x Bordeaux 0 x x Nice 0 x x x x x Paris 0 x x x x x Réunion 0 x x x x Afrique1 0 x x x x Afrique 0 x x x x x x Exercice : Bordeaux 00 tableau thématique 1. On considère l'expression : E = (x 3) (x 1)(x ) a) Développer et réduire E. b) Comment peut-on déduire, sans calculatrice, le résultat de ?. a) Factoriser l'expression : F = (4x + 1) (4x + 1)(7x 6) b) Résoudre l'équation : (4x + 1)(7 3x) = 0 1/ a/ E = (x 3) (x 1)(x ) E = (x x ) (x x x + ) E = x 6x + 9 (x 3x + ) E = x 6x + 9 x + 3x E = 7 3x / a/ F = (4x + 1) (4x + 1)(7x 6) F = (4x + 1)[(4x + 1) (7x 6)] F = (4x + 1)[4x + 1 7x + 6] F = (4x + 1)(7 3x) 1/ b/ = ( ) ( )( ) = = / b/(4x + 1)(7 3x) = 0 Si un produit de facteurs est nul, alors un de ses facteurs est nul Donc, 4x + 1 = 0 ou 7 3x = 0 Donc, 4x = 1 ou 3x = 7 Donc, x = 1 4 ou x = L équation admet deux solutions : 1 4 et 7 3. Exercice : Espagne 00 tableau thématique On donne G = (x-3) Développer et réduire G.. Factoriser G. 3. Résoudre l équation (x-9)(x+3)=0
2 On donne G = (x-3) Développer et réduire G=(x) -*3*x+3-36 = 4x -1x+9-36 = 4x -1x-7 5. Factoriser G=(x-3) -6 =[(x-3)-6]*[(x-3)+6] =(x-9)(x+3) 6. Résoudre l équation (x-9)(x+3)=0 x-9=0 ou x+3=0 x=9 ou x=-3 x= 9 ou x=- 3 S={- 3 ; 9 } Exercice : Grenoble 00 tableau thématique On considère l expression : D = (3x 5) 16. a) Développer D. b) Factoriser D. c) Calculer D pour x = 1 3. On considère l expression : D = (3x 5) 16. a) D = (9x 30x + 5) 16 = 9x 30x + 9 b) D = [(3x 5) 4] [(3x 5) + 4] = (3x 9) (3x 1) æ 1 c) D = 9 ø = = 0 Exercice : Nancy 00 tableau thématique On considère l'expression algébrique E suivante : E = ( x + 3) + ( x - 7)( x + 3) a) Développer et réduire E. b) Factoriser E. c) Résoudre l'équation : ( x + 3)( 3x - 4) = 0. d) Calculer E pour x =. On donnera la valeur exacte. a) E= 6x + x b) E = (x + 3)[(x + 3))+ (x 7)] = (x + 3)(3x 4) 1 c) S = { - 3 ; 4 3 } 1 d) Avec le résultat de la question a) : E = = 1 Exercice : Orléans 00 tableau thématique On donne l'expression suivante : K(x) = (5x 3) + 6 (5x 3). 1) Développer et réduire l'expression K(x). ) Calculer K( ). 1) K(x) = (5x 3) + 6 (5x 3) = 5 x 30 x x 18 = 5 x 9 ) K( ) = 5 ( ) 9 = 5 9 = 41 Exercice : Paris 00 tableau thématique A = (x - 5) - (x - 7) (x - 5).
3 1/ Développer et réduire A. / Factoriser A. 3/ Résoudre l'équation : (x - 5) (- x + ) = O. 1/ A = - x + 7x 10 / A = (x 5)[(x 5) (x 7)] = (x - 5) (- x + ) 3/ (x - 5) (- x + ) = O. Deux solutions : et 5. Exercice Soit A = (7x 3) 9. 1/ Développer et réduire A. / Factoriser A. 3/ Résoudre l'équation 7x(7x - 6) = 0. 1/ A = (7x 3) 9 A = (7x) 7x A = 49x 4x A = 49x 4x : Bordeaux 01 tableau thématique / A = (7x 3) 9 A = (7x 3) 3 A = (7x 3 + 3)(7x 3 3) A = 7x(7x 6) (ou A = 49x 4x = 7x 7x 7x 6 et on met 7x en facteur ce qui conduit au même résultat mais c est risqué si l on se trompe en développant...) 3/ 7x(7x - 6) = 0 Un produit de facteur est nul si l un de ses facteurs est nul. Donc 7x = 0 ou 7x 6 = 0. Donc x = 0 ou 7x = 6 et x = 6 7 L équation admet solutions : 0 et 6 7 Exercice : Grenoble 01 tableau thématique On donne F = ( 4 x - 3 ) - ( x + 3 )( 3-9 x ) 1 - Développer et réduire ( 4 x - 3 ) - Montrer que F = ( 5 x ) 3 - Trouver les valeurs de x pour lesquelles F = ( 4 x - 3 ) = 16 x - 4 x ( x + 3 )( 3-9 x ) = - 9 x - 4 x + 9 donc F = ( 16 x - 4 x + 9 ) - ( - 9 x - 4 x + 9 ) = 5 x = ( 5 x ) 3-15 = 5 5 = ( 5 5 ) donc F = 15 si et seulement si 5 x = 5 5 ou 5 x = Les valeurs de x pour lesquelles F = 15 sont donc 5 et - 5. Exercice : Paris 01 tableau thématique E = 4 x ( x + 3 ) ( x - 1 ) 1. Factoriser 4 x - 9. Utiliser alors ce résultat pour factoriser E.. Développer et réduire E. 3. Résoudre l'équation ( x + 3 ) ( 3 x - 4 ) = 0. 1/ 4 x - 9 = ( x 3 ) ( x + 3 ) E = ( x 3 ) ( x + 3 ) + ( x + 3 ) ( x 1 ) E = ( x + 3 ) [ ( x 3 ) + ( x 1 ) ] E = ( x + 3 ) ( 3 x 4 ) / E = 4 x x - x + 3 x 3 E = 6 x + x 1 3/ ( x + 3 ) ( 3 x - 4 ) = 0 x + 3 = 0 ou 3 x - 4 = 0 x = -3 ou x = 4 3
4 Exercice : Lyon 01 tableau thématique On considère l'expression : C = ( x - 5 ) - ( x - 5 ) ( 3 x - 7 ) a ) Développer et réduire C. b ) Factoriser l'expression C. c) Résoudre l'équation : ( x - 5 ) ( - x ) = 0 corrigé : a/ C = 4 x 0 x ( 6 x 14 x 15 x + 35 ) C = 4 x 0 x x + 9 x 35 C = - x + 9 x 10 b/ C = ( x 5 ) [ ( x 5 ) - ( 3 x 7 ) ] C = ( x 5 ) ( x 5 3 x + 7 ) C = ( x 5 ) ( x ) c/ ( x 5 )( x ) = 0 x 5 = 0 ou x = 0 x = 5 ou x = Exercice : Nice 01 tableau thématique On considère l'expression A suivante : A = ( x ) + ( x ) ( 3 x + 1 ) 1. Développer et réduire A.. Factoriser A. 3. Résoudre l'équation : ( x ) ( 4 x 1 ) = Calculer A pour x = - 1 corrigé : 1/ A = ( x ) + ( x ) ( 3 x + 1 ) A = x - 4 x x + x - 6 x - A = 4 x - 9 x + / A = ( x ) [ ( x ) + ( 3 x + 1 ) ] A = ( x ) ( x + 3 x + 1 ) A = ( x ) ( 4 x - 1 ) 3/ ( x ) ( 4 x 1 ) = 0 x = 0 ou 4 x 1 = 0 x = ou x = 1 4 4/ si x = - 1 alors A = 15 ou A = 7, 5 Exercice : Grenoble 0 tableau thématique On considère l expression A = (x 3) (x 3) (x ). 1. Développer et réduire A.. Factoriser A. 3. Résoudre l équation A = 0.
5 4. Calculer A pour x =. 1. A = (x 3) (x 3) (x ) A = (4x 1x + 9) (x 4x 3x + 6) A = 4x 1x + 9 x + 4x + 3x 6 A = x 5x + 3. A = (x 3) (x 3) (x ) A = (x 3) [(x 3) (x )] A = (x 3) (x 3 x + ) A = (x 3) (x 1) 3. On choisit l'expression factorisée de A. On a doit donc résoudre (x 3) (x 1) = 0 Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins de ses facteurs est nul. x 3 = 0 ou x 1 = 0 x = 3 ou x =1 Conclusion : les solutions de l'équation A = 0 sont 3 et A = (x 3) (x 3) (x ) A = ( (-) 3)_ ( (-) 3) (- ) A = (-7)_ (-7) (-4) A = 49 8 A = 1 Exercice : Nancy 0 tableau thématique On considère l expression D = (4x - 1) + (x + 3 )( 4x - 1 ) 1. Développer puis réduire D.. Factoriser D. 3. Résoudre l équation : (4x - 1 ) (5x + ) = 0 1. D = (4x 1)_ + (x + 3) ( 4x 1) D = 16 x_ 8x x_ x + 1x 3 D = 0 x_ + 3x. D = (4x 1)_ + (x + 3) ( 4x 1) D = (4x 1) (4x 1 + x + 3) D = (4x 1) (5x + ) 3. (4x 1) (5x + ) = 0 Un produit est nul si (et seulement si) l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc 4x 1 = 0 ou 5x + = 0 x = 1 4 ou x = - 5 Les solutions de cette équation sont - 5 et 1 4 Exercice : Bordeaux 0 tableau thématique 1. Développer et réduire l'expression : P = (x + 1) (x + ). Factoriser l'expression: Q = (x + 7) ABC est un triangle rectangle en A ; x désigne un nombre positif ; BC= x + 7 et AB=5.
6 Faire un schéma et montrer que : AC = x + 14x P = (x + 1)(x + ) P = x + x + 1x + 4 P = x + 14x + 4. Et on reconnaît la forme de P donc Q = P.. Q = (x + 7) 5 Q = [(x + 7) + 5] [(x + 7) 5] Q = (x + 1)(x + ) 3. B A C ABC est un triangle rectangle en A. Le théorème de Pythagore donne : BC = AB + AC (x + 7) = 5 + AC (x + 7) 5 = AC (on reconnaît Q) Q = AC donc P = AC et AC = x + 14x + 4. Exercice : Nice 0 tableau thématique Soit C = (x 1)(x + 3) + (x 1). 1. Développer l expression C et montrer qu elle est égale à : 3x x. Calculer la valeur de C pour x = et la mettre sous la forme a où a est un nombre entier. 3. Factoriser l expression C. 4. Résoudre l équation : (x 1)(3x + ) = 0 1. C = (x 1)(x + 3) + (x 1) C = x + 3x x 3 + (x - x ) C = x + x 3 + x x + 1 C = 3x x.. Pour x =, C = 3 ( ) C = 3 C = 6 C = 4 3. C = (x 1)(x + 3) + (x 1)(x 1) C = (x 1)[(x + 3) + (x 1)] C = (x 1)[x x 1] C = (x 1)(3x + ) 4. On doit résoudre l équation produit nul : (x 1)(3x + ) = 0 Un produit de facteurs est nul si l un de ses facteurs est nul, donc : x 1 = 0 ou 3x + = 0, soit x = 1 ou 3x =
7 Conclusion : les solutions de l'équation sont 1 et 3. Exercice : Paris 0 tableau thématique On considère l expression C = (3x 1) (3x 1) (x + 3). a. Développer et réduire C. b. Factoriser C. c. Résoudre l équation (3x 1) (x 4) = 0. d. Calculer C pour x =. 1. C= (3x 1) (3x 1) (x + 3) = 9x 6x + 1 [6x + 9x x 3] = 9x 6x + 1 6x 9x + x + 3 = 3x 13x + 4. C= (3x 1) (3x 1) (x + 3) = (3x 1) [(3x 1) (x + 3)] = (3x 1) (3x 1 x 3) =(3x 1) (x 4) 3. (3x 1) (x 4) = 0 Un produit de facteurs est nul si (et seulement si ) l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc 3x 1 = 0 ou x 4 = 0 x = 1 3 ou x = 4 Conclusion : les solutions de cette équation sont 1 et 4. 3 Exercice : La Réunion 0 tableau thématique Soit E = ( x - 3 ) Développer et réduire E.. Factoriser E. 3. Calculer E pour x = Résoudre l'équation ( x + 1 ) ( x - 7 ) = 0 E = ( x 3 ) E = ( x 3 ) 16 E = 4x _ 1x E = 4x _ 1x 7 4. ( x + 1 ) ( x - 7 ) = 0 Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc x + 1 = 0 ou x 7 = 0
![C= (3x 1) (3x 1) (x + 3) = (3x 1) [(3x 1) (x + 3)] = (3x 1) (3x 1 x 3) =(3x 1) (x 4) 3. (3x 1) (x 4) = 0 Un produit de facteurs est nul si (et seulement si ) l'un au moins de ses facteurs est nul.](/docs-images/48/20910076/images/page_7.jpg "Donc 3x 1 = 0 ou x 4 = 0 x = 1 3 ou x = 4 Conclusion : les solutions de cette équation sont 1 et 4. 3 Exercice : La Réunion 0 tableau thématique Soit E = ( x - 3 ) - 16 1. Développer et réduire E.")
8 . E = ( x 3 ) 16 E = ( x 3 ) 4_ E = (x 3 + 4) (x 3 4) E = (x + 1) ( x 7) x = - 1 ou x = 7 Conclusion : les solutions de l'équation sont - 1 et Si x = 0 alors E = ( 0 3)_ 16 E = 9 16 E = -7 Exercice : Afrique1 0 tableau thématique On donne D = (4x + 1)(x - 3)-(x - 3). 1. Factoriser D.. Résoudre l'équation (x - 3)(3x + 4) = D = (4x + 1)(x - 3) - (x - 3) D = (4x + 1)(x - 3) - (x - 3) (x 3) D = (x 3) [(4x + 1) (x 3)] D = (x 3) (4x + 1 x + 3) D = (x 3) ( 3x + 4). (x - 3) (3x + 4) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc x 3= 0 ou 3x + 4 = 0 x = 3 ou x = Conclusion : les solutions de cette équation sont et 3 Exercice : Afrique 0 tableau thématique On considère les expressions : 1. résoudre l'équation E = 0. E = 4x (x + 3) et F = x + 6x +9.. a. Calculer la valeur de F pour x = -. b. Vérifier que F = (x + 3). 3. a. Développer E. b. Réduire E - F. c. Factoriser E + F. 1. 4x (x + 3) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc 4x = 0 ou x + 3 = 0 x = 0 ou x = - 3 Conclusion : les solutions de cette équation sont - 3 et 0.
9 . a. x = - : F = (-) + 6 (-) + 9 F = F = 1 b. (x + 3) = x + 3x + 3 = x + 6x + 9 = F. 3. a. E = 4x + 1x b. E - F = 4x + 1x (x + 6x + 9). E - F = 4x + 1x x 6x 9 E F = 3x + 6x 9 c. E + F = 4x (x + 3) + (x + 3) E + F = 4x (x + 3) + (x + 3) (x + 3) E + F = (x + 3) (4x + x + 3) E + F = (x + 3) (5x + 3)
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