Exemples détaillés de calculs de primitives et d'intégrales

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1 Eemples détaillés de calculs de primitives et d'intégrales Ce document illustre les diérentes techniques d'intégration à travers un grand nombre d'eemples très variés. L'algorithme du choi d'une "technique d'intégration" est résumé dans le tableau suivant : Cas Type de fonction à intégrer Eemple Technique d'intégration Fonction usuelle sin, u /u, etc. Intégration directe Monôme quelconque n n R Intégration directe 3 Élément simple de première espèce Intégration directe a n 4 Fonction composée f g fg Changement de variable ug 5 Produit de fonctions e sin Intégration par parties : dont une primitive est connue 3 ln u.v u.v u.v 6 Produit d'un polynôme P P e a +b Méthode par identication des coefet d'une eponentielle degp degq cients : P e a +b Q e a +b 7 Inverse d'un polynôme de degré Si < : changement de variable puis décomposition si : cas reconnaissance de la dérivée d'arctan 8 Inverse de la racine carrée Changement de variable puis d'un polynôme de degré reconnaissance de la dérivée d'arcsin 9 Élément simple de seconde espèce n e : P lorsque n a +b +c n a +b c +d +e n Écriture du polynôme sous sa forme canonique puis changement de variable Fraction rationnelle en 3 + Décomposition en éléments simples Fraction rationnelle Changement de variable puis en sin et cos sin 4 sin+cos 3 décomposition en éléments simples Produit de sin n et cos m Changement de variable ou linéarisation sin 4 cos 3 selon la parité des eposants Eemple Quelle est la valeur de l'intégrale suivante? On eectue le changement de variable suivant : Et on en déduit la valeur de l'intégrale : Téléchargez d'autres eemples sur fonction composée changement de variable 4 d u u d u du 4 d u u u du u du [ u u ]

2 Eemple Quelle est la valeur de l'intégrale suivante? Téléchargez d'autres eemples sur fraction rationnelle en sin et cos changement de variable + décomposition en éléments simples π cos sin 5 sin + 6 d Pour convertir la fraction rationnelle en sin et cos en une fraction rationnelle en u il faut faire un changement de variable. Comme la fonction à intégrer est invariante quand on remplace par π règle de Bioche on eectue le changement de variable u sin : Après le changement de variable l'intégrale devient : π u sin du cos d cos sin 5 sin + 6 d u 5u + 6 du Il nous faut maintenant intégrer une fraction rationnelle en u à pôles réels. Pour cela on commence par la décomposer en éléments simples. Sachant que les pôles de la fraction rationnelle sont et 3 et en remarquant que u u 3, la décomposition en éléments simples donne : u 5u + 6 u u 3 u u 3 u u 3 u u u 3 u 3 u u 3 u 3 u Nous pouvons maintenant intégrer directement les deu fractions obtenues qui sont des éléments simples de première espèce : u 5u + 6 du u 3 du u [ u 3 du u du ln u 3 [ u 3 ln u ] ] [ ln u ] ln ln 3

3 On en déduit la valeur recherchée de l'intégrale : π cos sin 5 sin + 6 d ln 4 3 Eemple 3 Connaissant la primitive de Téléchargez d'autres eemples sur produit de fonctions dont une primitive est connue intégration par parties cos cos d on eectue une intégration par parties en posant : u cos u tan v v En appliquant la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v et sachant que la primitive de tan est ln sec, on obtient la primitive recherchée : cos d tan tan d tan ln sec tan ln cos tan + ln cos Eemple 4 Téléchargez d'autres eemples sur fonction composée changement de variable + décomposition en éléments simples d An de faire disparaître la racine quatrième, eectuons le changement de variable u : u u u 4 u 4 3 d 3 u4 3 4u 3 du 3

4 Après le changement de variable l'intégrale devient : d u 3 u4 3 u4 3 4u 3 du 4 3 u4 3 u 4 3 u 4 du 4 3 u 4 u 4 du Il nous faut maintenant intégrer la fraction rationnelle u 4 u 4 + u 4 u 4. Remarquons déjà que : u 4 En remarquant que u 4 u u + u on en déduit que les 4 pôles de la fraction rationnelle u 4 sont,, i et i. Comme la fraction rationnelle possède des pôles complees, sa u 4 décomposition en éléments simples va donner des éléments simples de seconde espèce en plus des éléments simples de première espèce dus au pôles réels. La décomposition en éléments simples s'écrit donc u 4 a u + b u + + c u + d u avec a, b, c et d des constantes réelles à déterminer. La fonction à + décomposer étant paire il en résulte que a b et c. En multipliant les deu membres de l'égalié par u et en remplaçant u par on obtient a 4. En multipliant les deu membres de l'égalié par u + et en remplaçant u par i on obtient c i + d soit c et d. On obtient nalement la décomposition en éléments simples suivante possédant deu éléments simples de première espèce et un élément simple de seconde espèce : u 4 u u 4 u + u + Remarque : les pôles de l'élément simple de seconde espèce étant complees il s'agit des nombres i et i, la primitive de cet élément simple de seconde espèce s'obtient par la fonction arctan. En intégrant ces éléments simples de première et de seconde espèce on obtient : u 4 u 4 du u + 4 ln u u + arctanu Et en revenant à la variable on en déduit la primitive recherchée : d 4 3 u 4 u 4 du 4 3 u + 3 ln u u + 3 arctanu ln arctan Retrouvez de nombreu eemples commentés de calcul d'intégrales sur le site 4

5 Eemple 5 tan + cos d Téléchargez d'autres eemples sur fraction rationnelle en sin et cos changement de variable + décomposition en éléments simples Commençons par mettre la fonction à intégrer sous la forme d'une fraction rationnelle en sin et cos en remplaçant tan par sin cos : tan + cos d sin d cos + cos Pour convertir cette fraction rationnelle en sin et cos en une fraction rationnelle u, eectuons le changement de variable u cos du sin d. L'intégrale devient : sin du d cos + cos u + u En remarquant que on obtient : u+u u +u du u + u u + + u ln u + ln + u + u ln u Et en revenant à la variable on en déduit la primitive recherchée : tan + cos d ln + cos cos Eemple 6 Téléchargez d'autres eemples sur fonction composée changement de variable + double intégration par parties sinln d Il s'agit ici d'intégrer une fonction composée fg. Nous eectuons donc "classiquement" le changement de variable u ln e u d e u du. L'intégrale devient : sinln d sinu e u du Il faut maintenant intégrer un produit de deu fonctions dont les primitives de chacune d'entre elles sont connues. Nous eectuons donc "classiquement" une intégration par parties en posant : u e u u e u v sin v cos 5

6 Appliquons la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v : e u sinu du e u sinu e u cosu du Il faut encore intégrer un produit de deu fonctions dont les primitives de chacune d'entre elles sont connues. Nous eectuons donc "classiquement" une intégration par parties en posant à nouveau u e u comme lors de la première intégration par parties : u e u u e u v cos v sin En appliquant à nouveau la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v on obtient : e u cosu du e u cosu + e u sinu du Regroupons les deu intégrations par parties : e u sinu du e u sinu e u cosu du e u sinu e u cosu e u sinu du On en déduit que : e u e u sinu du e u sinu e u cosu e u sinu du Et en revenant à la variable on en déduit la primitive recherchée : Eemple 7 sinln d sinln cosln sinu cosu Téléchargez d'autres eemples sur produit de fonctions dont une primitive est connue intégration par parties ln ln d C'est le genre de primitive qui peut nous faire passer un certain temps sans trouver d'issue ou sans savoir par où commencer... Le réee "naturel" consisterait à vouloir décomposer l'intégrale en trois : ln d ln ln d ln d ln d Mais voilà une décomposition qui n'a en rien simplié le travail. En eet, après cette décomposition nous devons calculer maintenant 3 primitives, qui ne sont pas particulièrement simples et qui nécessitent au moins une intégration par parties chacune, à l'eception de la troisième qui est de la forme u. Nous allons u n donc procéder autrement. 6

7 L'astuce consiste à remarquer sur l'intégrale d'origine que simple intégration par parties sut en posant : u u ln ln est la dérivée de ln ln. Ainsi une v ln v ln En appliquant la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v on obtient rapidement la primitive recherchée : ln d ln d ln ln Eemple 8 ln ln ln Téléchargez d'autres eemples sur fraction rationnelle en sin et cos changement de variable + décomposition en éléments simples sin + 3 cos 3 sin + cos d Commençons par ré-écrire la fonction en divisant par cos : sin + 3 cos tan sin + cos d 3 tan + d Pour convertir cette fonction en une fraction rationnelle en u eectuons le changement de variable u tan : u tan arctanu Après ce changement de variable l'intégrale devient : d du + u tan + 3 u tan + d 3 u + du + u Le problème est maintenant d'intégrer la fraction rationnelle en u suivante qu'il va falloir décomposer en éléments simples : u u + + u Cette fraction rationnelle posséde pôle réel et pôles complees conjugués i et i. Sa décomposition en éléments simples contient donc élément simple de première espèce pour le pôle réel et 3 élément simple de seconde espèce pour les pôles complees conjugués : u u + + u a 3 u + + b u + c + u 7

8 En multipliant par 3 u+ et en donnant à u la valeur 5 on obtient a. Ensuite, connaissant la valeur 3 3 de a et en mettant l'égalité au même dénominateur on obtient b 5 et c 3 3 : u u + + u 5 5 u u u On peut maintenant donner une primitive de la fraction rationnelle en u : u u + + u 5 du 39 ln u ln + u Et en revenant à la variable on en déduit la primitive recherchée : + 3 arctanu sin + 3 cos 3 sin + cos d 5 3 ln tan ln + tan + 3 Eemple 9 Téléchargez d'autres eemples sur fonction composée double changement de variable d Eectuons un premier changement de variable : u + du d du d u + Après ce premier changement de variable la fonction à intégrer devient : + + d du u + 4 du u + du u u d

9 Eectuons un second changement de variable : t u dt du u dt t du u u t t Après ce second changement de variable on reconnaît la dérivée de la fonction arcsint : du du u u u t t dt t t t t dt t t dt t arcsint En revenant à la variable u puis à la variable on en déduit la primitive recherchée : Eemple d arcsint arcsin u arcsin + Téléchargez d'autres eemples sur fraction rationnelle en sin et cos changement de variable + décomposition en éléments simples + sin 3 + cos 3 d 9

10 Commençons par ré-écrire la fonction en utilisant la relation trigonométrique sin + cos : + sin 3 + cos 3 d + sin sin + + cos cos d Pour obtenir une fraction rationnelle en u eectuons le changement de variable u tan : u tan d du + u cos u + u + cos + u sin u + u + sin + u + u Après ce changement de variable la fonction à intégrer devient une fraction rationnelle en u : d + sin 3 + cos 3 + u u du + u + u + u + u + u + u + u du u + 4u + u + u du + u u + u + u du + u 3u u + Il faut maintenant décomposer en éléments simples cette fraction rationnelle en u. Comme le numérateur et le dénominateur ont le même degré, la décomposition en éléments simples possède une partie entière égale au rapport des coecients des monômes de plus haut degré, soit 3. Comme le polynôme 3u u+ a des racines complees, la décomposition en éléments simples possède un élément simple de seconde espèce. La forme de la décomposition en éléments simples est donc la suivante : + u + u 3u u a + u + b + u + c.u + d 3u u +

11 Après calcul non développé ici et que je vous laisse faire... on obtient : a 3 b 4 9 c d 4 9 Ce qui donne comme décomposition en éléments simples : + u + u 3u u u 9 + u + 9 3u u + Les primitives des 3 premiers termes sont immédiates. Pour le quatrième terme, qui est l'inverse d'un polynôme de second degré à racines complees, il faut le transformer en écrivant son dénominateur sous le forme canonique an de reconnaître la dérivée de la fonction arctangente : 3u u + 3u On obtient nalement pour la primitive de la fraction rationnelle en u : + u du + u 3u u + du du + u 4 9 du + u du 3u u 4 arctan 3u 3 4 ln + u u 9 9 Et en revenant à la variable on en déduit la primitive recherchée : + sin 3 + cos 3 d 3 tan 4 ln + tan 3 + tan 4 arctan tan 9 Eemple Téléchargez d'autres eemples sur produit de deu fonctions linéarisation + double intégration par parties cos 3 e Commençons par écrire cos 3 sous sa forme linéarisée : cos 3 d cos3 + 3 cos 4 Les détails de cette linéarisation sont disponibles dans le paragraphe "Technique de linéarisation" sur la page La fonction d'origine devient : cos 3 d e 4 e cos3 d e cos d

12 Nous avons donc primitives à calculer, en utilisant à chaque fois l'intégration par parties. Pour le calcul de e cos3 d par intégration par parties on pose : u e u e v cos3 v 3 sin3 L'application de la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v donne : e cos3 d e cos3 3 e sin3 d Il faut calculer e sin3 d avec une nouvelle intégration par parties en posant : u e u e v sin3 v 3 cos3 L'application de la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v donne : e sin3 d e sin3 + 3 e cos3 d On obtient donc pour e cos3 d : e cos3 d e cos3 + 3 e sin3 9 e cos3 d Soit au nal : e 3 sin3 cos3 e cos3 d Calculons maintenant e cos d par intégration par parties en posant : u e u e v cos v sin L'application de la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v donne : e cos d e cos e sin d Il faut calculer e sin d avec une nouvelle intégration par parties en posant : u e u e v sin v cos L'application de la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v donne : e sin d e sin + e cos d On obtient donc pour e cos d : e cos d e cos + e sin e cos d Soit au nal : e cos d e sin cos

13 En regroupant les résultats des deu doubles intégrations par parties on obtient une primitive linéarisée de cos3 e : cos 3 d e cos3 d + 3 e 4 4 e cos d e 3 sin3 cos e 4 e 3 sin3 cos3 5 e sin3 cos3 + 5 sin 5 cos 4 e sin cos sin cos 3 cos Remarque : sin+3 sin cos 3 3 cos est une autre primitive non linéarisée de cos3 e e Remarque : e cos 3 d cos 3 d e Eemple Téléchargez d'autres eemples sur produit de deu fonctions intégration par parties + arctan d Procédons à une intégration par parties en posant : 4 u + u v arctan v + En appliquant la formule de l'intégration par parties u.v u.v u.v on obtient : + arctan d Or la nouvelle intégrale à calculer est de la forme u u : + d arctan + d + d + d u ln u u + ln 3

14 On en déduit la primitive recherchée : + arctan d + arctan ln arctan + ln + Eemple d'application numérique en sachant que arctan π arctan : + arctan d [ arctan + ln ] arctan + ln 3 arctan + ln 5 3 arctan + ln arctan ln 5 3 π arctan + 3 arctan 3π 4 Entraînez-vous Téléchargez les corrections sur Pour nir voici quelques intégrales avec résultat mais sans démonstration : arctan d π 4 + d + π + sin d π + cos d π π 4 d + cos cos + sin ln sin d π π cos sin cos 4 + sin 4 d π 6 π sin d π 4 Retrouvez de nombreu eemples commentés de calcul d'intégrales sur le site Auteur : Jean-Christophe MICHEL jc@gecif.net Février 4