I) A quoi sert une fonction affine?

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1 FICHE METHODE sur les FONCTIONS AFFINES I) A quoi sert une fonction affine? a). Il a actuellement 3 euros d économies et en ajoute 5 par semaine! Comment varient ses économies en fonction du nombre x de semaines? f(x) = 5x Il fait 2 C et la température diminue de,5 C par jour! Combien fera t-il dans x jours? : f(x) = 2,5x = -,5x Il s est entraîné 2 minutes aujourd hui et s entraîne 2 minutes de plus par jours! Combien de temps s entraînera t-il dans x jours? : f(x) = 2 + 2x = 2x Il a placé 2 euros à 5% d intérêts simples annuels! Combien aura t-il sur son compte dans x années? : f(x) = 2 + x = x + 2 b) Remarques : Le monde dans lequel nous vivons est en perpétuelle évolution, il n est pas «figé». Les fonctions en général, permettent de rendre compte de l évolution de certains phénomènes qui évoluent, elles permettent de «décrire le changement». Mais tous les changements ne sont pas «de même nature», et à une certaine nature de changement correspond un certain type de fonction, en fait, il existe des changements, des évolutions que l on peut regrouper ensemble parce qu ils ont de «même caractéristiques», les fonctions affines permettent de décrire un certain type d évolution, et d autres types de fonctions que les fonctions affines serviront à décrire d autres sortes d évolutions. Il est utile de connaître ce qui caractérise les fonctions affines et les évolutions qui leurs sont associées, pour pouvoir résoudre des problèmes, car nombreux sont les problèmes liés aux fonctions affines. II) Qu est ce qu une fonction affine? Définition : ( fonction affine ) f est une fonction affine de la variable x si et seulement si f peut s écrire f(x) = ax + b pour tout x IR où a IR et b IR sont deux nombres fixés «b» est appelé l ordonnée à l origine et «a» le coefficient directeur de la fonction affine. Si b = on dit aussi que f est une fonction «affine linéaire» ( ou «linéaire» ) Soit f la fonction telle que : f(x) = 5x + 3 pour x IR. d ordonnée à l origine b = 3 f est une fonction affine de la variable x de coefficient directeur a = 5 2 Soit f la fonction telle que : f(t) = -,5t + 2 pour t IR. d ordonnée à l origine b = 2 f est une fonction affine de la variable t de coefficient directeur a = -,5

2 3 Soit f la fonction telle que : f(x) = 2 x pour x IR. 3 d ordonnée à l origine b = f est une fonction affine linéaire de la variable x de coefficient directeur a = Si un train se déplace en ligne droite, se trouve à l abscisse 5 km et avance à la vitesse de km.h - alors dans t heures il se trouvera à l abscisse f(t) kilomètres avec f(t) = 5 t = -t + 5. f et une fonction affine! III) Propriétés des fonctions affines Les fonctions affines ont certaines propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels quelles permettent de décrire, voici les principales propriétés. Propriété : GRAPHIQUE D UNE FONCTION AFFINE. ) Soit f une fonction affine avec f(x) = ax + b pour x IR. La courbe représentative de la fonction affine f est une droite d équation y = ax +b. 2) Réciproquement : Si la courbe d une fonction est une droite alors la fonction est affine. 3) Une fonction est linéaire si et seulement si sa courbe est une droite passant par l origine. 4) Une fonction est constante si et seulement si sa courbe est une droite parallèle à l axe (ox). (admis) Soit la fonction affine : f(x) = -2x + 2 pour x IR dont on a le tableau de valeurs suivant : x 5-2x valeurs suffisent en théorie, mais 3 valeurs permettent de voir si les points sont effectivement alignés. On place dans un repère les points de coordonnées ( ; 2) ; (5 ; 2) et ( ; -8 ) et on obtient le graphique ci dessous. ( on joint les 3 points par une droite ). y (;2) VALEURS de f(x) = -2x «La courbe est une droite» (5; 2) VALEURS de x x -5 (;-8)

3 2 pour f(x) = 2x on a b =, la fonction est affine linéaire. x 2 2x y Remarque : 3 La droite passe par l origine du repère car l ordonnée à l origine est nulle b =. 2 «b = donc la fonction est linéaire et la droite passe par l origine O du repère» -,5,5,5 2 2,5 x 3 pour f(x) = 2 on a a =, la fonction est une fonction constante. x 2 f(x) La droite est parallèle à l axe ( Ox) car le coefficient directeur est nul : a = y «a = donc la fonction est constante et la droite est parallèle à l axe (Ox) du repère» -,5,5,5 2 2,5 x Propriété 2 : PROPORTIONNALITE DES ACCROISSEMENTS f(x Une fonction est affine si et seulement si 2 ) f(x ) = constante = a quels que soient les x 2 x nombres réels x et x 2. Autrement dit : l accroissement f(x 2 ) f(x ) de la fonction entre x et x 2 est proportionnel à l accroissement de la variable x 2 x entre x et x 2. Le coefficient de proportionnalité est : a Preuve : Supposons une fonction f affine, on a alors f(x) = ax + b par suite, si x 2 et x sont deux nombres on a bien f(x 2) f(x ) = ax 2 + b (ax + b) = ax 2 + b ax b = a(x 2 x ) = a = constante. x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x Réciproquement : si f(x 2) f(x ) = a = constante pour tout x x 2 x 2 et x, on a en particulier f(x) f() pour x 2 = x et x = : = a et par suite f(x) f() = ax d ou f(x) = ax + f() x et en posant f() = b on a bien f(x) = ax + b. C.Q.F.D.

4 Exemple et Application : ( pour trouver la formule de la fonction f connaissant 2 valeurs ) On cherche la fonction affine f telle que f(2) = et f(4) =6. f(4) f(2) 6 f est de la forme f(x) = ax + b et on a : a = = = 6 2 = 3. Donc f(x) = 3x + b. de plus f(2) = donc b = donc b = 6 = 4 finalement f(x) = 3x + 4. Propriété 3 : SENS DE VARIATION D UNE FONCTION AFFINE. Il est fréquemment utile (comme pour les fonctions en général) d étudier le sens de variation d une fonction affine, la propriété suivante permet de reconnaître le sens de variation. Soit f une fonction affine avec f(x) = ax + b pour x IR. On distingue les 3 cas suivants selon la valeur du coefficient directeur «a» Cas où a > : f est croissante stricte sur IR équivaut à le coefficient directeur «a» est positif strict Valeurs de x - + Cas où a < : f est décroissante stricte sur IR équivaut à le coefficient directeur «a» est négatif strict Valeurs de x - + a >, droite qui «monte» a <, droite qui «descend» Cas où a = : f est constante sur IR équivaut à le coefficient directeur «a» est nul Valeurs de x - + a =, droite «horizontale» Preuve : On sait que : a = f(x 2) f(x ) x 2 x quels que soient les deux nombres x et x 2. Supposons a > : alors f(x 2) f(x ) > et si x x 2 x 2 > x alors f(x 2 ) > f(x ) donc 2 nombres et leurs images sont dans le même ordre donc f croît strictement. Supposons a < : alors f(x 2) f(x ) < et si x x 2 x 2 > x alors f(x 2 ) < f(x ) donc 2 nombres et leurs images sont en ordre inverse donc f décroît strictement. Supposons a = : alors f(x 2) f(x ) = et si x x 2 x 2 > x alors f(x 2 ) = f(x ) donc les images des deux nombres sont égales et f est constante. ( On démontre réciproquement et en considérant de même la règle du signe d un quotient que si f est croissante stricte alors a >, )

5 Soit f telle que f(x) = 3x 5 pour x IR a = 3 donc a > donc f est strictement croissante. 2 Soit f telle que f(x) = -5x + 3 pour x IR a = -5 donc a < donc f est strictement décroissante. 3 Soit f telle que f(x) = -3 pour x IR a = donc f est constante. Propriété 4 : SIGNE D UNE FONCTION AFFINE. Il utile (comme pour les fonctions en général) d étudier le SIGNE d une fonction affine, la propriété suivante permet d étudier le signe. Soit f une fonction affine avec f(x) = ax + b pour x IR et a. f(x) = donne ax + b = donc x = - b a donc la fonction s annule pour x = - b a. On distingue les 2 cas suivants selon la valeur du coefficient directeur «a» Valeurs de x - - b a Cas où a > : la fonction croît et la droite coupe l axe (ox) au point x = - b a + + Signe de f + - b a f est positive strict pour x > - b a ; f est négative strict pour x < - b a ; f est nulle pour x = - b a Cas où a < : f est décroissante stricte sur IR et la droite coupe l axe (ox) au point x = - b a Valeurs de x - - b a Signe de f b a f est positive strict pour x < - b a et f est négative strict pour x > - b a ; f est nulle pour x = - b a Preuve : Supposons : a >, les inéquations suivantes sont équivalentes : f(x) > ax + b > ax > -b x > -b a donc f est positive strict pour x > -b a f(x) < ax + b < ax < -b x < -b donc f est négative strict pour x < -b a a Supposons : a <, les inéquations suivantes sont équivalentes : ( on va diviser par a <! ) f(x) > ax + b > ax > -b x < -b a donc f est positive strict pour x < -b a f(x) < ax + b < ax < -b x > -b a donc f est négative strict pour x > -b a

6 On a d une manière plus synthétique : Valeurs de x - - b + a Signe de f Signe de -a signe de a Priorité à droite au signe de «a» f du signe de «a» pour x > - b a ; f est du signe de «-a» pour x < - b a ; f est nulle pour x = - b a Soit f telle que f(x) = 3x 5 pour x IR Valeur de x Signe de 3x 5 + ( a = 3) 3x 5 = 3x = 5 x = 5 3 = 5 3x 5 est positif pour x > 5 ; 3x 5 est négatif pour x < 5 ; 3x 5 est nul pour x = 5 2 Soit f telle que f(x) = -5x + 3 pour x IR Valeur de x Signe de -5x ( a = -5) -5x + 3 = -5x = -3 x = -3-5 = 5-5x +3 est positif pour x < 5 ; -5x +3 est négatif pour x > 5 ; -5x +3 est nul pour x = 5 Propriété 5 :INEQUATION ET FONCTION AFFINE. Pour résoudre algébriquement une inéquation avec une fonction affine, il ne faut pas oublier la propriété suivante. Quels que soient les nombres a et b : Multiplier les deux membres d une inégalité par un nombre positif donne une inégalité du même ordre que la première : Si c > («c» est positif strict ) alors a < b équivaut à ac < bc Multiplier ou diviser les deux membres d une inégalité par un nombre négatif donne une inégalité d ordre opposé à la première : Si c < ( c négatif strict ) alors a < b équivaut à ac > bc ( changement d ordre ) Soit f(x) = 3x 5, on veut résoudre f(x) < 2 sur IR, ce qui donne : 3x 5 < 2 3x < x < 27 x < 27 3 x < 9 x ] - ; 9 [. 2 Soit f(x) = -5x + 3, on veut résoudre f(x) < 2 sur IR, ce qui donne : -5x + 3 < 2-5x < x < 9 x > 9-5 x > -3 5 x ]- 3 5 ; + [. ( changement de sens car on divise par -5 qui est négatif )

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