FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f(x) = ln(x)

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1 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f() = ln() I) DEFINITION. a) Définition 1 et notations : ( de la fonction logarithme ) La fonction logarithme népérien notée «ln», associe à tout nombre réel positif strict le nombre réel noté ln() ou ln et appelé le logarithme népérien de. On note : ln : ] 0, + [ IR ln() C est l unique fonction telle que : (1) la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse : 1. (2) La valeur du logarithme népérien de 1 vaut 0. Avec les notations ci dessus on a par définition : [ln()] = 1 ln(1) = 0 (admis ) Remarque : la valeur de ln() est donné par une table de logarithmes ou par une calculatrice. Par eemple la calculatrice donne : ln(2) 0,693 à 10 3 près ; ln( 1 2 ) = 0,693 à 10 3 près. II) PROPRIETES GENERALES. A) Propriété 1 : ( Domaine de définition ) : La fonction logarithme népérien f() = ln est définie pour ]0 ; + [. Seuls les nombres réels positifs stricts admettent un logarithme népérien. Soit a un nombre réel, ln(a) n eiste que si a > 0. ( 0, 1, 3, n ont pas de logarithme népérien ) Application : 1 Soit f la fonction définie par f() = ln( 3). ln( 3) n eiste que si 3 > 0 donc si > 3, le domaine de définition de f est D f = ] 3 ; + [. B) Propriétés de base : Propriété 2 : Quels que soient les nombres réels a et b positifs stricts ln(ab) = ln(a) + ln (b) ( ln «transforme» les multiplications en additions ) Eemples : 1 ln(6) = ln(2 3) = ln2 + ln3 2 ln5 + ln2 = ln(5 2) = ln10 3 ln1 +ln 1 = ln(1 1) = ln1 = 0. Propriété 3 : Quel que soit les nombres réels positif strict a et b ln (a b ) = b ln(a) ( ln «transforme» les puissances en multiplications ) Eemples : 1 ln(6²) = 2ln(6) 2 ln(²) = 2ln() 3 ln( 3 ) = 3 ln() 3 ln( ) = ln ( 1/2 ) = 1 2 ln() ; 4 ln( 1 ) = ln( 1 ) = 1 ln() = ln().

2 Remarque : On a en particulier : ln(²) = 2ln() ; ln( 3 ) = 3ln() ; ln( ) = 1 2 ln() ; ln( 1 ) = ln(). Propriété 4 : Quel que soit les nombres réels positif strict a et b : ln ( a ) = ln(a) ln(b) ( ln «transforme» les divisions en soustraction ) b Eemples : 1 ln( 2 3 ) = ln(2) ln (3) 2 ln (5) ln( 7) = ln ( 5 7 ). III) DERIVEE : a) Propriété 5 : ( dérivée de ln et de ln u() ) (1) La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et sa dérivée est la fonction inverse : [ln()] = 1 (2) Si u est une fonction dérivable, positive strict sur I IR alors [ln u()] = u () u() b) Eemples : 1 Si f() = 3² ln pour ]0 ; + [ alors f () = u() = 3² + 2 donc u () = 6 2 Si f() = ln(² + 2) sur IR alors f() = ln u() où donc f () = u () u() = 6 3² +2. IV) SENS DE VARIATION : Propriété 6 : ( variations de la fonction logarithme ) u() = 3² + 2 est positif pour tout IR La fonction ln croît strictement sur ] 0 ;+ [ car sa dérivée 1 est positive pour. Valeurs de 0 + Signe de ln () = Variations de ln ( ites vu au V) ) V) LIMITES : a) Propriété 7 : ( ites de ln() en + en 0 + et en a > 0 ) La ite de ln() en + est + : ln() = + un logarithme est aussi grand qu on veut La ite de ln() en 0 + est : ln() =. un logarithme est aussi petit qu on veut. donc la droite d équation = 0 est asymptote verticale à la courbe de ln. Remarque : Sur ]0 ; + [, la fonction logarithme n admet ni maimum, ni minimum.

3 Propriété 8 : Si a > 0 alors la ite de ln() quand tend vers a est ln(a) : a ln() = ln(a) b) Propriété 9 : ( croissances comparées ). ln() croît moins vite que n importe quelle puissance positive de, c est à dire : ln() Quel que soit n IN-{0} on a : n = 0 en particulier ln() = 0 Quel que soit n IN-{0} n ln() = 0 en particulier ln() = 0. VI) TABLEAU de VALEURS et COURBE REPRESENTATIVE : 0,05 0,1 0,25 0, ln() 3 2,3 1,4 0,69 0 0,7 1 1,4 1,6 2,3 2,7 3 3,2 4,6 13,8 y 2 L ae (oy) est asymptote verticale VII) EQUATIONS : a) Propriété 10 : ( égalité de logarithmes ) Quels que soient les réels a > 0 et b > 0 ln(a) = ln(b) équivaut à a = b. Eemples : 1 On cherche à résoudre l équation : ln(2) = ln ( + 1) a) on précise le domaine de définition de l équation: ln 2 n eiste que si et ln(+1) si > 1 donc l équation n a de sens que si ] 0 ; + [ on écrit : D = ]0 ; + [. b) on résout l équation : ln(2) = ln ( + 1) donc 2 = +1 donc = 1 c) on vérifie que la ( ou les ) solution trouvée est bien dans D et on conclue : 1 D donc : S = {1}.

4 2 On cherche à résoudre l équation : ln(3) = ln ( 2 1). a) l équation n a de sens que si et > 1 2 donc D = ] 1 2 ; + [. b) ln(3) = ln ( 2 1) donc 3 = 2 1 donc = 1 c) 1 D = ] 1 ; + [ donc S =. 2 b) Propriété 11 : ( antécédents de nombres par la fonction logarithme ). Il eiste un unique nombre noté «e» ( 2,718 < e < 2,719) tel que ln(e) = 1. Autrement dit : ln() = 1 = e 2,718. Le nombre «e» est appelé la base des logarithmes népériens. Quel que soit le nombre a IR on a : ln() = a = e a ( eponentiel de a ) Eemples 1 Si ln() = 2 alors = e 2 7,4 et S = {e²} 2 Si ln() = 2 alors = e 2 0,13 et S = { e 2 } VII) INEQUATIONS : a) Propriété 12 : ( inégalité de logarithmes ). Quels que soient les réels a > 0 et b > 0 : ln(a) > ln(b) a > b. ( idem pour <,, ) Eemple : 1 On cherche à résoudre l inéquation : ln(2) > ln ( 2 ). a) Le domaine de définition de l inéquation est D = ] 0 ; 2 [ b) ln(2) > ln ( 2 ) donc 2 > 2 donc 3 > 2 donc > 2 3. c) Or D = ] 0 ; 2 [ donc S = ] 2 3 ; 2 [. b) Propriété 13 : ( antécédents de nombres par la fonction logarithme ). Quel que soit le nombre a IR et ln() > a > e a ( idem pour <,, ) Eemples : 1 Si ln() > 2 alors > e 2 7,4 et S = [e² ; + [ 2 Si ln() < 2 alors < e 2 0,13 S = ] 0 ; e 2 [ c) Propriété 14 : ( signe de ln() ) Valeur de Signe de ln() 0 + ln() est négatif pour 0 < < 1 ln() est positif pour > 1 ln() est nul pour = 1.

5 TEST : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN Nom : Eercice 1 : a) Quelle est la fonction vérifiant les deu conditions suivantes? et comment la note t-on? 1 (1) elle a pour dérivée f() = (2) elle vaut 0 si = 1. b) Donner les valeurs suivantes à 10 3 près : ln ln 4 3 =.... c) Le nombre ln eiste t-il pour toutes les valeurs de IR? si non, pour quelles valeurs de IR eiste t-il? d) Donner la valeur de ln(-2) à 10 3 près si possible : ln(-2).... Eercice 2 : a) Démontrer que pour tout on a : ln ( ² ) = 2ln + ln (3 + 2). b) Démontrer que pour tout on a : ln ( 3 ) = 3ln ln ( + 1). + 1 Eercice 3 : a) Donner la dérivée de la fonction suivante : f() = 3² ln pour ]0 ; + [ b) Donner la dérivée de la fonction suivante : f() = ln(² + 2) sur IR Eercice 4 : Compléter le tableau de variations de la fonction f() = ln() Valeurs de Signe de f () Variations de ln Eercice 5 : 1)Compléter a) d) ln() =.. b) ln() =.. e) Pour n IN-{0}, ln() =.. c) Si a > 0, a ln() =.. ln() n =.. e) ln() =.. f) Pour n IN-{0}, n ln() =..

6 2) La courbe de la fonction ln() admet t-elle des asymptotes? si oui préciser quelles droites? Eercice 6 : Donner ci dessous l allure de la courbe de la fonction logarithme népérien. y Eercice 7 : 1) Résoudre l équation et donner l ensemble S des solutions : a) ln(3) = ln ( 2 1) pour > 1 2 : b) ln() = 1 : c) ln() = 2 : ) Résoudre l inéquation et donner l ensemble S des solutions : a) ln(2) > ln ( 2 ) pour ] 0 ; 2 [ : b) ln() > 2 : Eercice 8 : Compléter le tableau de signes de la fonction logarithme népérien. Valeur de Signe de ln() ln() est négatif strict pour... ln() est positif strict pour.... ln() est nul pour... SCORE :. 30 = %

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