fonction logarithme népérien

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1 fonction logarithme népérien Table des matières 1 présentation et propriétés algébriques activité corrigé activité à retenir eercices corrigés eercices dérivation activité à retenir eercices corrigés eercices équations et Inéquations avec logarithme népérien activité corrigé activité à retenir eercices corrigés eercices études de fonctions avec logarithme népérien eercices corrigés eercices logarithme d une fonction : f = lnu activité corrigé activité à retenir eercices évaluations corrigé devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison évaluation corrigé évaluation évaluation corrigé évaluation évaluation corrigé évaluation corrigé évaluation

2 1 présentation et propriétés algébriques 1.1 activité la fonction logarithme népérien notée ln associe à tout nombre de son domaine de définition ( à préciser ) un nombre noté ln ( le logarithme népérien de ) donné par la calculatrice ou une table de logarithmes. cette fonction est telle que, quels que soient les nombres et y de son domaine de définition on a : ln(y) = ln+lny cette fonction transforme donc un produit de deu nombres en une somme. A. donner si possible et grâce à la calculatrice, les valeurs de ln( 2), ln0, ln1, ln2, ln 1 2, ln puis, proposer à priori un domaine de définition pour la fonction ln. B. quels que soient les nombres > 0 et y > 0 la fonction logarithme est telle que : ln(y) = ln + lny 1. prendre = 1 et y = 1 et trouver logiquement la valeur de ln1 2. prendre = y = a où a > 0 et en déduire une autre écriture de ln(a 2 ) 3. prendre = a 2 et y = a où a > 0 et en déduire une autre écriture de ln(a 3 ) 4. généraliser à ln(a n ) où n est un entier et a > 0 5. prendre = y = a = a 1 2 où a > 0 et en déduire une autre écriture de ln( a) 6. prendre = a et y = 1 a où a > 0 et en déduire une autre écriture de ln(1 a ) 7. prendre = a et y = 1 b où a > 0 et b > 0, en déduire une autre écriture de ln(a b ) 8. a t-on ln(a+b) et lna+lnb égau pour toutes valeurs de a > 0 et b > 0? ( prendre des valeurs simples de a et b pour voir ) 9. a t-on ln(a b) et lna lnb égau pour toutes valeurs de a > 0 et a > b > 0? ( prendre des valeurs simples de a et b pour voir ) 10. déterminer à 10 3 près à la calculatrice un nombre e tel que lne = corrigé activité A. à la calculatrice : ln( 2) n eiste pas (pas de logarithme pour un nombre négatif strict) ln0 n eiste pas (pas de logarithme pour un nombre nul) ln1 = 0 (annulation en 0) ln2 0,69 ln 1 2 0,69 ln , 8 (croissante très lente) à priori, le domaine de définition pour la fonction ln est ]0 ; + [=R +. B. quels que soient les nombres >0 et y>0 la fonction logarithme est telle que : ln(y) = ln+lny 1. pour = 1 et y = 1 on a : d une part : ln(1 1) = ln1+ln1 = 2ln1 d autre part : ln(1 1) = ln1 donc 2ln1 = ln1 donc 2ln1 ln1 = 0 donc ln1 = 0 2. pour = y = a où a>0 on a : ln(a 2 ) = ln(a a) = lna+lna = 2lna 3. avec = a 2 et y = a où a>0, on a : ln(a 3 ) = ln(a 2 a) = ln(a 2 )+ln(a) = 2lna+lna = 3lna 4. ln(a n ) = nlna où n est un entier et a>0

3 5. avec = y = a = a 1 2 où a>0 on a : lna = ln( a a) = ln( a)+ln( a) = 2ln( a) donc ln( a) = 1 2 lna 6. avec = a et y = 1 a où a > 0 d une part : ln(a 1 a ) = ln(a a ) = ln1 = 0 d autre part : ln(a 1 a ) = lna+ln(1 a ) donc : lna+ln( 1 a ) = 0 donc ln( 1 a ) = lna 7. avec = a et y = 1 b où a > 0 et b > 0 : d une part : ln(a 1 b ) = ln(a b ) d autre part : ln(a 1 b ) = ln(a)+ln(1 b ) = lna lnb donc : ln( a b ) = lna lnb 8. ln(a+b) et lna+lnb ne sont pas égau pour toutes valeurs de a>0 et b>0 car pour a = 1 et b = 1 on a : ln(a+b) = ln2 d autre part lna+lnb = ln1+ln1 = 0+0 = 0 et ln ln(a b) et lna lnb ne sont pas égau pour toutes valeurs de a>0 et a>b>0 car pour a = 2 et b = 1 on a : ln(a b) = ln1 = 0 d autre part lna lnb = ln2 ln1 = ln2 0 = ln2 et ln à la calculatrice, on a : ln2,718 0,999 et ln2,719 1,0002 donc on peut prendre e 2,718 à 10 3 près tel que lne = 1

4 1.3 à retenir définition 1 : (propriétés algébriques) (1) la fonction logarithme népérien associe à tout nombre > 0 (positif strict) le nombre noté ln appelé logarithme népérien de (2) quels que soient les nombres a > 0, b > 0 et l entier naturel n on a : ln(1) = 0 ln(e) = 1 ln(ab) = lna+lnb ln(a n ) = nlna ln( a) = 1 2 ln(a) ln( a b ) = lna lnb ln( 1 a ) = lna Remarques (a) il n y a pas de formule générale pour ln(a+b) ou ln(a b) c est à dire : il eiste des nombres a et b tels que ln(a+b) lna+lnb en effet pour a = 1 et b = 1 : ln(1+1) = ln2 alors que ln1+ln1 = 0. il eiste des nombres a et b tels que ln(a b) lna lnb en effet pour a = 2 et b = 1 : ln(2 1) = ln1 = 0 alors que ln2 ln1 = ln2 0.

5 1.4 eercices eercice 1 : simplifier au maimum (a) A = ln(ab)+ln( a b ) ln(a2 )+lne (b) B = ln( 1 a )+ln(a4 ) ln(a 3 )+ln1 (c) C = ln(a+b)+ln(a b) ln(a 2 b 2 ) (d) D = ln(e 2 )+2ln( e) ln( 1 e )+ln(2 e )+ln(e 2 ) 4 eercice 2 : écrire sous la forme d une combinaison linéaire de logarithmes de nombres entiers premiers (a) A = ln( ) (b) B = ln( 25 5 ) 9 (c) C = ln( ) eercice 3 : écrire sous la forme d un seul logarithme (a) A= 2ln3 ln5 (b) B = 3ln10+ln0,08 5ln2 (c) C = 1 2 ln4 3ln2 (d) D = 2ln5 3ln ln100 eercice 4 : donner l ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes (a) A() = (2 1)ln(+1) (b) B() = 5 ln(4 ) (c) f() = ln( 2 +2) (d) f() = ln( +2 )

6 1.5 corrigés eercices corrigé eercice 1 : A = ln(ab)+ln( a b ) ln(a2 )+lne A = lna+lnb+lna lnb 2lna+1 A = 0 B = lna+4lna 3lna+0 B = 0 C = ln(a+b)+ln(a b) ln(a 2 b 2 ) C = ln[(a+b)(a b)] ln(a 2 b 2 ) C = ln[a 2 b 2 ] ln(a 2 b 2 ) C = 0 D = ln(e 2 )+2ln( e) ln( 1 e )+ln(2 e )+ln(e 2 ) 4 D = 2lne lne ( lne)+ln2 lne+lne ln2 4 D = = 0 corrigé eercice 2 : écrire sous la forme d une combinaison linéaire de logarithmes de nombre entiers premiers (a) ln( ) = ln(3 52 ) ln27 = ln3+ln(5 2 ) ln(3 3 ) = ln3+2ln5 3ln3 = 2ln3+2ln5 (b) ln( 25 5 ) = ln(25 5) ln9 = ln25+ln( 5) ln(3 2 ) = ln(5 2 )+ 1 ln5 2ln3 = 2ln5+0,5ln5 2ln3 9 2 = 2,5ln5 2ln3 (c) ln( ) = ln(2 3) ln(3 2) = ln2+ln( 3) (ln3+ln( 2)) = ln ln3 ln3 1 ln2 = 0,5ln2 0,5ln3 2 corrigé eercice 3 : écrire sous la forme d un seul logarithme (a) 2ln3 ln5 = ln(3 2 ) ln5 = ln9 ln5 = ln( 9 5 ) (b) 3ln10+ln0,08 5ln2 = ln(10 3 )+ln0,08 ln(2 5 ) = ln1000+ln0,08 ln32 = ln(1000 0,08) ln32 = ln80 ln32 = ln( ) = ln(40 16 ) = ln(5 2 ) (c) 1 2 ln4 3ln2 = ln(41 2 ) ln(2 3 ) = ln( 4) ln8 = ln2 ln8 = ln( 2 8 ) = ln(1 4 ) (d) 2ln5 3ln ln100 = ln(52 ) ln(2 3 )+ln( 100) = ln25 ln8+ln10 = ln( 25 8 )+ln10 = ln( ) = ln(250 8 ) = ln(125 4 )

7 corrigé eercice 4 : donner l ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes (a) A() = (2 1)ln(+1) ln(+1) n eiste que si +1 > 0 or : +1 > 0 > 1 donc : D A =] 1 ; + [ (b) B() = 5 ln(4 ) ln(4 ) n eiste que si 4 > 0 or : 4 > 0 4 > donc : D B =] ; 4[ (c) f() = ln( 2 +2) ln( 2 +2) n eiste que si 2 +2 > 0 il suffit d étudier le signe de 2 +2 qui est un trinôme de la forme a 2 +b+c avec c = 0 annulations : ( non nécessaire, on met en facteur) 2 +2 = 0 (+2) = 0 = 0 ou = 2 signe : conclusion : D B =] ; 2[ ]0 ; + [ (d) f() = ln( +2 ) ln( ) n eiste que si > 0 il suffit d étudier le signe de +2 qui est une fraction rationnelle annulations = = 0 = conclusion : D f =] ; 2[ ]0 ; + [

8 2 dérivation 2.1 activité A. voici une partie de la courbe de la fonction logarithme népérien f() = ln. sont aussi représentées les droites tangentes D 1 en = 1, D 2 en = 2, D 3 en = 3 et D 4 en = 4. de même que les droites 1, 2, 3 et 4 respectivement parallèles à D 1, D 2, D 3 et D 4. y D 1 D 2 D 3 D 4 1 C f rappeler ce que représente graphiquement le nombre f (1) et déterminer sa valeur en détaillant le calcul. 2. compléter le tableau de valeurs suivant grâce au graphique f () calculs : 3. conjecturer alors une formule acceptable : f () = (ln) =...

9 B. Etude des variations 1. A partir du signe de la dérivée, déterminer le sens de variation de f pour >0 2. Donner un tableau de variation de f pour > 0 signe de f () compris. C. représentation graphique 1. Compléter le tableau de valeurs à 0,1 près 0,25 0,5 1 1, ln 0,4 1,1 1,6 1,8 1,9 2,1 2. Compléter le graphique y i i déterminer l équation de la tangente T à la courbe de f en = 1 et construire cette tangente.

10 corrigé activité A. voici une partie de la courbe de la fonction logarithme népérien f() = ln. sont aussi représentées les droites tangentes D 1 en = 1, D 2 en = 2, D 3 en = 3 et D 4 en = 4. de même que les droites 1, 2, 3 et 4 respectivement parallèles à D 1, D 2, D 3 et D 4. y D 1 D 2 D 3 D 4 1 C f rappeler ce que représente graphiquement le nombre f (1) et déterminer sa valeur en détaillant le calcul. f (1) est le coefficient directeur de la droite D 1, tangente à la courbe de f au point d abscisse = 1. pour le déterminer, il suffit de calculer le coefficient directeur de la droite D 1 donc de 1 car D 1 // 1. avec les points A(3; 3) et B(9;3), on a : a = f (1) = y B y A = 3 ( 3) = 1 B A compléter le tableau de valeurs suivant grâce au graphique. calculs : f () pour = 2, sur 2, avec les points A(3; 3) et C(9;0), on a : a = f (2) = y C y A = 0 ( 3) = 1 C A pour = 3, sur 3, avec les points A(3; 3) et D(9; 1), on a : a = f (3) = y D y A = 1 ( 3) = 1 D A pour = 4, sur 4, avec les points A(3; 3) et E(7; 2), on a : a = f (4) = y E y A = 2 ( 3) = 1 E A conjecturer alors une formule acceptable : f () = (ln) = 1

11 B. Etude des variations 1. A partir du signe de la dérivée, déterminer le sens de variation de f pour >0 f () = 1 pour > 0 donc f () > 0 pour > 0. (1 > 0 et > 0 donc 1 > 0) donc f est strictement croissante pour > 0 Remarque : pour l annulation, 1 = 0 1 = 0 ce qui est absurde donc f () = 0 n a pas de solution et f ne s annule pas. 2. Donner un tableau de variation de f pour > 0 signe de f () compris. C. représentation graphique 1. Compléter le tableau de valeurs à 0,1 près 2. Compléter le graphique y i 0 + f () + f() ր 0,25 0,5 1 1, ln -1,4-0,7 0 0,4 0,7 1,1 1,4 1,6 1,8 1,9 2,1 2 T i déterminer l équation de la tangente T à la courbe de f en = 1 et construire cette tangente. y = f (1)( 1)+f(1) avec f(1) = ln1 = 0 et f (1) = 1 1 = 1 donc y = 1( 1)+0 donc y = 1

12 2.2 à retenir propriété 1 : (dérivée ) (1) si f() = ln alors f () = 1 pour > 0 (2) si f = lnu où u est une fonction dérivable alors f = u u pour u > eercices eercice 5 : calculer la dérivée dans chaque cas. (a) f() = 3+1+ln (b) g() = ln (c) f() = +2+3ln (d) h() = ln eercice 6 : calculer la dérivée dans chaque cas (a) f() = 2(1 ln) (b) g() = ln (c) f() = 2 (3 ln) (d) g() = ln 2+1 (e) g() = 2 +2(ln) 2 eercice 7 : soit : f() = 2 1 2ln pour > 0 (a) calculer f () (b) en déduire les variations de f (c) déterminer l équation de la tangente en = 1 eercice 8 : f() = +4+2ln pour > 0 (a) calculer f () (b) en déduire les variations de f (c) déterminer l équation de la tangente en = 1 eercice 9 : f() = ln pour > 0 (a) calculer f () (b) en déduire les variations de f (c) déterminer l équation de la tangente en = 1

13 2.4 corrigés eercices corrigé eercice 5 : calculer la dérivée dans chaque cas. (a) f() = 3+1+ln f () = 3+ 1 f () = 3+1 (b) g() = ln g () = g () = 42 4 (c) f() = +2+3ln f () = f () = +3 (d) h() = ln h () = h () = h () = h () =

14 corrigé eercice 6 : 1. f() = 2(1 ln) f = uv donc f = u v +uv avec u = 2 = u = 2 et v = 1 ln = v = 1 donc f () = 2(1 ln)+2 1 f () = 2(1 ln) 2 f () = 2 2ln 2 f () = 2ln 2. g() = ln g = u v donc g = u v uv v 2 avec u = ln = u = 1 1 = 1 et v = = v = 1 donc g 1 () = ( ln) 1 2 g () = 1 +ln 2 g () = 1+ln 2 3. f() = 2 (3 ln) f = uv donc f = u v +uv avec u = 2 = u = 2 et v = 3 ln = v = 1 donc f () = 2(3 ln)+ 2 1 f () = 2(3 ln) f () = 6 2ln f () = 5 2ln f () = (5 2ln)

15 4. g() = ln 2+1 g = u v donc g = u v uv v 2 avec u = ln = u = 1 et v = 2+1 = v = 2 donc g 1 () = (2+1) (ln) 2 (2+1) 2 g () = ln (2+1) 2 g () = 2+1 2ln (2+1) 2 5. g() = 2 +2(ln) 2 g() = 2 +2(u 2 ) g () = 2+2uu avec u = ln donc u = 1 g () = 2+2 ln 1 g () = 22 +2ln

16 corrigé eercice 7 : f() = 2 1 2ln pour > 0 (a) f () = = 22 2 = 22 2 (b) en déduire les variations de f annulation de f () : 22 2 = = 0 de la forme a 2 +b+c = 0 avec b = 0 donc non nécessaire, on isole = 0 2 = 2 2 = 1 = 1 = 1ou = 1 = 1 donc f () s annule en = 1 car -1 est hors domaine de définition. signe de f () pour > est du signe de car > 0 on utilise la règle du signe de a 2 +b+c variations de f : f(1) = ln1 = f () f() ց ր 0 (c) déterminer l équation de la tangente en = 1 y = f (1)( 1)+f(1) avec f(1) = ln1 = 0 et f (1) = = 0 1 donc y = 0( 1)+0 donc y = 0

17 corrigé eercice 8 : f() = +4+2ln pour > 0 (a) f () = = +2 (b) en déduire les variations de f annulation de f () : +2 = 0 +2 = 0 = 2 signe de f () = +2 pour > 0 on utilise un tableau de signes : annulations = 0 = = 0 f () variations de f pour > 0 : f () + 0-3,4 f() ր ց f(2) = 2+4+2ln2 3,4 (c) déterminer l équation de la tangente en = 1 y = f (1)( 1)+f(1) avec f(1) = 1+4+2ln1 = 3 et f (1) = 1+2 = 1 1 donc y = 1( 1)+3 donc y = +2

18 corrigé eercice 9 : f() = ln pour > 0 (a) f () = = 42 9 (b) en déduire les variations de f annulation de f () : 42 9 = = 0 de la forme a 2 +b+c = 0 avec b = 0 donc non nécessaire, on isole = 0 2 = = 4 = 3 = 1,5 ou = 1,5 2 donc f () s annule en = 1,5 car -1,5 est hors domaine de définition. signe de f () pour > est du signe de car > 0 on utilise la règle du signe de a 2 +b+c 0 1, variations de f : 0 1,5 + f () f() ց ր 1,85 f(1,5) = 2 1, ln1,5 1,85 (c) déterminer l équation de la tangente en = 1, 5 y = f (1,5)( 1,5)+f(1,5) avec f(1,5) = 5,5 9ln1,5 1,85 et f (1,5) = 4 1,52 9 = 0 1,5 donc y = 0( 1)+5,5 9ln1,5 donc y = 5,5 9ln1,5 1,85

19 3 équations et Inéquations avec logarithme népérien. 3.1 activité A. Equations de la forme : ln = a 1. Résoudre l équation ln = 2 : a. Graphiquement à 10 1 grâce à la courbe donnée ci dessous. y i i 2 b. Numériquement à 10 2 grâce au tableau de valeurs de la calculatrice. c. Algébriquement grâce au propriétés suivantes (a > 0, b > 0) : (Aide : 2 = 2 1), résolution en valeur eacte puis à 10 4 près. ln lne = 1 lna b = blna lna = lnb a = b 2. Soit a > 0 un nombre réel positif strict, montrer que : ln = a = e a 3. En déduire une résolution algébrique de chacune des équations suivantes puis vérifier graphiquement. i. ln = 2,5 ii. ln = 2 iii. 2ln+2 = 0 iv. 10(ln+1) 10 = 0 B. Inéquations de la forme ln > a 1. Déduire des variations de la fonction ln et du 1.c. l ensemble des solutions de l inéquation ln > 2 2. Grâce à la propriété : (a > 0, b > 0) : a > b lna > lnb, montrer que : ln > a > e a 3. En déduire les ensembles de solutions des inéquations suivantes. ( penser au domaine de définition) i. ln > 10 ii. ln < 10 iii. ln < 10 iv. ln > 0 C. Equations de la forme e = a (a) Quel que soit le nombre réel R on a : ln(e ) =... =... =... (b) en déduire l ensemble des solutions des équations ou inéquations suivantes i. e = 2 ii. e +5 = 5 iii. 10 2e = 14 iv. e > 3 v. e < 3 vi. e < 3

20 3.2 corrigé activité A. Equations 1. Résoudre l équation ln = 2 : a. Graphiquement à 10 1 grâce à la courbe donnée ci dessous, on trouve : ln = 2 7,5 y i i 2 b. à 10 2 grâce à la calculatrice. 7,38 7,39 ln 1,99 2,0001 c. Algébriquement grâce au propriétés suivantes (a > 0, b > 0) : (Aide : 2 = 2 1), résolution en valeur eacte puis à 10 4 près. ln = 2 ln = 2 1 ln = 2lne ln = ln(e 2 ) = e 2 7,3891 donc S = {e 2 } 2. Soit a > 0 un nombre réel positif strict, montrer que : ln = a = e a (de même que ci dessus avec ln = 2) donc ln = 2 7,38 lne = 1 lna b = blna lna = lnb a = b 3. En déduire une résolution algébrique de chacune des équations suivantes puis vérifier graphiquement. B. Inéquations a. ln = 2,5 = e 2,5 donc S = {e 2,5} b. ln = 2 = e 2 donc S = {e 2 } c. 2ln+2 = 0 ln = 2 2 = 1 = e 1 donc S = {e 1 } d. 10(ln + 1) 10 = 0 10ln = 0 ln = 0 10 = 0 = e0 = 1 donc S = {1} 1. Déduire des variations de la fonction ln et du 1.c. l ensemble des solutions de l inéquation ln > 2 ln > 2 ln > 2 1 ln > 2lne ln > ln(e 2 ) > e 2 donc S =] e 2 ; + [ 2. Grâce à la propriété : (a > 0, b > 0) : a > b lna > lnb, montrer que : ln > a > e a (de même que ci dessus) 3. En déduire les ensembles de solutions des inéquations suivantes. ( penser au domaine de définition) a. ln > 10 > e 10 donc S =] e 10 ; + [ b. ln < 10 0 < < e 10 donc S =] 0 ; e 10 [ c. ln < 10 0 < < e 10 donc S =] 0 ; e 10 [ d. ln > 0 > e 0 donc S =] 1 ; + [

21 3.3 à retenir propriété 2 : ( équations et inéquations avec logarithme népérien ) (1) ln = lny = y pour tout > 0 et y > 0 (2) ln > lny > y pour tout > 0 et y > 0 (3) ln = a = e a pour tout nombre réel a (4) ln > a > e a pour tout nombre réel a (5) ln < a 0 < < e a pour tout nombre réel a (6) ln(e ) = pour tout nombre réel Remarque : cette propriété permet de résoudre des (in)équations où apparaît le logarithme népérien. propriété 3 : ( équations et inéquations avec eponentiel ) (1) e = e y = y pour tout R et y R (2) e > e y > y pour tout R et y R (3) e = a = lna pour tout nombre réel positif strict a > 0 (4) e > a > lna pour tout nombre réel positif strict a > 0 (5) e < a 0 < < lna pour tout nombre réel positif strict a > 0 (6) e ln = pour tout nombre réel positif strict > 0 Remarque : cette propriété permet de résoudre des (in)équations où apparaît un eponentiel. propriété 4 : (signe d un logarithme népérien ) y ln ln < 0 ]0;1[ ln = 0 = 1 ln > 0 ]1;+ [ propriété 5 : ( continuité et variations d un logarithme népérien ) ln ր 1 { ln est continue surr + 0 ln est strictement croissante surr y

22 3.4 eercices eercice 10 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) (ln)(2+ln) = 0 (b) (ln) 2 = 1 (c) (ln) 2 4 = 0 (d) 2ln+3 = 0 eercice 11 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) 2(ln) 2 3ln 5 = 0 (b) (ln) 2 = ln+2 eercice 12 : résoudre chacune des équations suivantes (a) ln( 3) ln(2+5) = 0 (b) ln(+3) ln(2 1) = 0 (c) ln(+3)+ln(5 ) = ln3+ln5 eercice 13 : résoudre chacune des inéquations suivantes. (a) ln( 3+2) ln3 (b) ln(5 2) 0 (c) ln 0 (d) ln 2 eercice 14 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) e 3 = 1 (b) e 2 = e (c) e 3 = e 2+1 eercice 15 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) 1 e 0 (b) 2 e (c) 3e 2 0 (d) e 0,5+1 1

23 eercice 16 : (D après sujet Nouvelle Calédonie 2009) partie I : étude d une fonction On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 15] telle que pour tout réel de cet intervalle f() = 5(1 ln )(ln 2) et dont la représentation graphique est donnée en annee 1. résoudre l équation f() = 0 (les valeurs eactes sont demandées) 2. (a) déterminer le signe de l epression 5(1 X)(X 2) suivant les valeurs du réel X (b) en déduire le signe de f() pour tout réel de l intervalle [1 ; 15] dans un tableau 3. (a) on note f la fonction dérivée de la fonction f. calculer f () et montrer que f () = 5(3 2ln) (b) en déduire les variations de f (on précisera la valeur eacte du maimum de f et la valeur eacte de pour laquelle il est atteint) 4. donner le nombre de solutions de l équation f() = 1 puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01 près de ces solutions. partie II : application Une entreprise fabrique et revend des jouets. f() représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d euros qu elle réalise lorsqu elle fabrique centaines de jouets, pour compris entre 1 et 15, f désignant la fonction étudiée dans la partie I 1. déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte. interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique? 2. cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1000 euros. combien de jouets doit-elle fabriquer? Justifier la réponse. annee 2 y

24 eercice 17 : (eercice avec ajustement affine et changement de variable) Une entreprise a une évolution de son chiffre d affaire donnée par le tableau suivant. où t i désigne le rang de l année à partir de 1985 et c i désigne le chiffre d affaire en milliers d euros. Rang de l année : t i Chiffre d affaire : c i 10 11,2 12,2 13,6 15,2 16,8 On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable y i = lnc i (ln désigne le logarithme népérien). (a) Compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à Rang de l année : t i y i = lnc i 2,303 (b) Déterminer, à l aide d une calculatrice, une équation de la droite de régression de y en t sous la forme y = at+b, où a et b sont à arrondir à (c) A l aide du résultat précédent : i. eprimer c en fonction de t sous la forme c(t) = A B t où A et B seront donnés à 10 3 ii. Donner une estimation du chiffre d affaire en 2020 arrondi à iii. Déterminer l année pour laquelle le chiffre d affaire atteint euros.

25 3.5 corrigés eercices corrigé eercice 10 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) (ln)(2+ln) = 0 domaine de définition : cette équation n a de sens que si > 0 car ln n eiste que si > 0 donc, dans D f = ] 0 ; + [ on a : (ln)(2+ln) = 0 ln = 0 ou 2+ln = 0 = e 0 ou ln = 2 = 1 ou = e 2 S = {e 2 ;1} (b) (ln) 2 = 1 dans D f = ] 0 ; + [ on a : (ln) 2 = 1 ln = 1 = 1 ou ln = 1 = 1 = e 1 ou = e 1 S = {e 1 ;e 1 } (c) (ln) 2 4 = 0 dans D f = ] 0 ; + [ on a : (ln) 2 4 = 0 (ln) 2 = 4 ln = 4 = 2 ou ln = 4 = 2 = e 2 ou = e 2 S = {e 2 ;e 2 } (d) 2ln+3 = 0 dans D f = ] 0 ; + [ on a : 2ln+3 = 0 ln = 3 2 = e 3 2

26 S = {e 3 2} corrigé eercice 11 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) 2(ln) 2 3ln 5 = 0 dans D f = ] 0 ; + [ on a : procédons à un changement de variable, pour cela, posons X = ln 2(ln) 2 3ln 5 = 0 2X 2 3X 5 = 0 il suffit de résoudre cette équation du second degré, est adapté car a,b et c sont différents de zéro tous les trois. = b 2 4ac = ( 3) 2 4(2)( 5) = 49 > 0 donc il y a deu solutions. X = b+ 2a = ( 3) = 2,5 ou X = b 2a = ( 3) = 1 or X = ln il suffit donc de résoudre ln = 2,5 ou ln = 1 soit = e 2,5 ou = e 1 S = {e 2,5,e 1 } (b) (ln) 2 = ln+2 dans D f = ] 0 ; + [ on a : (ln) 2 = ln+2 (ln) 2 ln 2 = 0 procédons à un changement de variable, pour cela, posons X = ln (ln) 2 ln 2 = 0 X 2 X 2 = 0 il suffit de résoudre cette équation du second degré, est adapté car a,b et c sont différents de zéro tous les trois. = b 2 4ac = ( 1) 2 4(1)( 2) = 9 > 0 donc il y a deu solutions. X = b+ 2a = ( 1) = 2 ou X = b 2a = ( 1) = 1 or X = ln il suffit donc de résoudre ln = 2 ou ln = 1

27 soit = e 2 ou = e 1 S = {e 2,e 1 } corrigé eercice 12 : (a) ln( 3) ln(2+5) = 0 cette équation n a de sens que si : 3 > 0 et 2+5 > 0 > 3 et > 2,5 > 3 donc D f =] 3 ; + [ dans D f on a : ln( 3) ln(2+5) = 0 ln( 3) = ln(2+5) 3 = 2+5 = 8 or 8 ] 3 ; + [ donc S = {} = φ cette équation n a aucune solution. (b) ln(+3) ln(2 1) = 0 cette équation n a de sens que si : +3 > 0 et 2 1 > 0 > 3 et > 0,5 > 0,5 donc D f =] 0,5 ; + [ dans D f on a :

28 ln(+3) ln(2 1) = 0 ln(+3) = ln(2 1) +3 = 2 1 = 4 S = {4} (c) ln(+3)+ln(5 ) = ln3+ln5 cette équation n a de sens que si : +3 > 0 et 5 > 0 > 3 et < 5 donc D f =] 3 ; 5 [. dans D f on a : ln(+3)+ln(5 ) = ln3+ln5 ln(+3)(5 ) = ln15 (+3)(5 ) = = 0 équation du second degré où n est pas nécessaire car c = 0, on met en facteur ( +2) = 0 = 0 ou = 2 S = {0;2} corrigé eercice 13 : (a) ln( 3+2) ln3 Cette inéquation n a de sens que si 3+2 > 0 < 2 3 donc D f =] ; 2 3 [. dans D f on a : ln( 3+2) ln3

29 donc S = [ 1 3 ; 2 3 [ (b) ln(5 2) 0 Cette inéquation n a de sens que si 5 2 > 0 < 5 2 donc D f =] ; 5 2 [. dans D f on a : ln(5 2) e donc S =] ; 2 [ (c) ln 0 Cette inéquation n a de sens que si > 0 donc D f =] 0 ; + [. dans D f on a : ln 0 e 0 1 donc S = [ 1 ; + [

30 (d) ln 2 Cette inéquation n a de sens que si > 0 donc D f =] 0 ; + [. dans D f on a : ln 2 e 2 donc S =] 0 ; e 2 [ corrigé eercice 14 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) e 3 = 1 3 = ln1 = 0 = 3 soit S = {3} (b) e 2 = e 2 = 1 = 3 soit S = { 3} (c) e 3 = e = = soit S = { 4} corrigé eercice 15 : résoudre chacune des équations suivantes. (a) 1 e 0 1 e ln1 soit S =] ;0] (b) 2 e e 2+1 ln ln2 2 (c) 3e 2 0 soit S =] ; 1 ln2 ] 2 (d) e 0,5+1 1

31 corrigé eercice 16 : (D après sujet Nouvelle Calédonie 2009) partie I : étude d une fonction On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 15] telle que pour tout réel de cet intervalle f() = 5(1 ln )(ln 2) et dont la représentation graphique est donnée en annee 1. f() = 0 5(1 ln)(ln 2) = 0 (1 ln)(ln 2) = 0 5 = 0 (1 ln) = 0 ou (ln 2) = 0 ln = 1 ou ln = 2 = e 1 ou = e 2 S = {e,e 2 } 2. (a) on utilise un tableau de signes : X annulations X X = 1 X X = 2 5(1 X)(X 2) (b) d où le tableau de signes : 1 e e 2 15 annulations ln = e ln = e 2 5(1 ln)(ln 2) (a) f() = 5(1 ln)(ln 2) (b) on reconnaît que f est de la forme f = 5uv donc f = 5(u v +uv ) u = 1 ln = u = 1 = 1 avec : v = ln 2 = v = 1 d où f () = 5[ 1 (ln 2)+(1 ln) 1 ] f () = 5[ 1 (ln 2)+(1 ln) f () = 5[ ln+2+1 ln ] ] = f () = 5(3 2ln) 1 e 1,5 15 annulations ln ln = 0 = e 1,5 + + = 0 f () + 0-1,25 f () = 5[ 3 2ln f() ր ց 10 ] 6,04 f(1) = 5(1 ln1)(ln1 2) = 10 le maimum de f vaut 1,25 pour = e 1,5

32 4. l équation f() = 1 admet deu solutions A l aide de la calculatrice, à 10 2 près 3,58 3,59 f() 0,99 1,004 comparaison à 1 < 1 > 1 et 5,60 5,61 f() 1,002 0,997 comparaison à 1 > 1 < 1 donc 3,58 < β < 3,59 donc 5,60 < β < 5,61 partie II : application 1. à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte sont comprises entre e 2,718 centaines et e 2 7,389 centaines donc entre 272 et 738 jouets interprétation concrète du le résultat de la question I. 2. le bénéfice est positif pour une production comprise entre 272 et 738 jouets la courbe de la fonction f est au dessus de l ae des abscisses. 2. cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1000 euros il faut alors fabriquer entre entre 359 et 560 jouets pour que f() > 1 annee 2 y

33 (a) tableau à 10 3 Rang de l année : t i corrigé eercice 17 : corrigé eercice avec ajustement affine et changement de variable y i = lnc i 2,303 2,416 2,501 2,61 2,721 2,821 (b) à l aide d une calculatrice, une équation de la droite de régression de y en t sous la forme y = at + b, où a et b sont arrondis à 10 3 est : y = 0,021t+2,304 (c) A l aide du résultat précédent : y = lnc i. y = 0,021t+2,304 = lnc = 0,021t+2,304 = c = e 0,021t+2,304 = c = e 0,021t e 2,304 = c e 0,021t 10,014 = c (e 0,021 ) t 10,014 = c 1,021 t 10,014 = c 10,014 1,021 t ii. estimation du chiffre d affaire en 2020 arrondi à 10 1 est calculé ainsi en 2020 : t = = 35 donc : y = 0, ,304 3,039 donc : lnc = 3,039 donc : c = e 3,039 20,9 milliers d euros en 2020 ou bien : c 10,014 1, ,7 iii. l année pour laquelle le chiffre d affaire atteint euros est calculée ainsi : c = 30 donc : y = lnc = ln30 donc : 0,021t+2,304 = ln30 donc : t = ln30 2,304 0,021 52,2 donc : l année est = 2037 ou bien : 10,014 1,021 t = 30 1,021 t = 30 10,014 t ln(1,021) = ln( 30 10,014 ) 30 ln( t = 10,014 ) ln(1, 021) 52,8 donc l année est = 2037

34 4 études de fonctions avec logarithme népérien. 4.1 eercices eercice 18 : (avec une fonction auiliaire) 1. soit la fonction ϕ telle que ϕ() = ln sur [3; 15] (a) étudier les variations de ϕ et dresser son tableau de variations. (b) montrer que ϕ s annule une seule fois sur [3;15] et donner la valeur d annulation α à 0,1 près. (c) déduire de a. et b. le signe de ϕ sur [3;15] 2. soit la fonction f telle que f() = 5+ ln sur ]3;15] 3 (a) montrer que f a le même signe que ϕ sur ]3;15] et en déduire les variations de f sur ]3;15] (b) dresser le tableau de variations de f 3. si est le nombre d objets fabriqués et vendus par un artisan, le bénéfice correspondant est donné par f() eprimé en milliers d euros. (a) combien doit-il fabriquer et vendre d objets pour maimiser son bénéfice? eercice 19 : 1. soit la fonction f telle que f() = 5ln 2 pour [0;10] (a) montrer que f () = 5(1 2ln) 3 (b) en déduire les variations de f et dresser son tableau de variations. (c) montrer que f() = 0,5 admet une seule solution α sur [2;10] et donner un encadrement de α à 10 2 près 2. f donne le bénéfice mensuel des ventes d une entreprise (en millions d euros) en fonction du nombre de milliers d objets vendus ou est d au plus 10 milliers. (a) quelle production maimise le bénéfice? quelle est le bénéfice maimal? (b) pour quelles productions le bénéfice est-il de 0,5 millions d euros? (c) pour quelles productions le bénéfice est-il positif? (justifier clairement) eercice 20 : (un sujet de bac : 2010) Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle [0; 10] par (a) calculer f(0) et f(1) f() = 0, ln(+1) 1,75 3ln2 (b) démontrer que pour tout réel de l intervalle [0; 10] (c) i. étudier le signe de f () sur [0; 10] f () = 0,5(+2)( 5). +1 ii. Déterminer les variations de la fonction f sur [0; 10] iii. Calculer la valeur eacte puis la valeur décimale arrondie à 0,1 du maimum de f sur [0; 10] (d) i. Justifier que l équation f() = 0 admet dans l intervalle [5; 10] une solution unique 0 ii. Donner, à l aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut 10 1 de 0

35 Partie B à l approche des fêtes de fin d année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël. On note le nombre de guirlandes qu il souhaite vendre (en milliers). On suppose que est un réel compris entre 0 et 10 Le bénéfice réalisé pour la vente de milliers de guirlandes, eprimé en milliers d euros, est donné par la fonction f définie sur [0; 10] par : f() = 0, ln(+1) 1,75 3ln2. Déduire de la partie A les réponses au questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On eplicitera la méthode utilisée. (a) Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit? (b) Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maimal? Quel est alors ce bénéfice maimal? (à 100 euros près). eercice 21 : eercice avec ajustement affine et changement de variable Une entreprise a une évolution de son chiffre d affaire donnée par le tableau suivant. où t i désigne le rang de l année à partir de 1985 et c i désigne le chiffre d affaire en milliers d euros. Rang de l année : t i Chiffre d affaire : c i 10 11,2 12,2 13,6 15,2 16,8 On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable y i = lnc i (ln désigne le logarithme népérien). 1. Compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à Rang de l année : t i y i = lnc i 2, on admet que la droite d équation y = 0,021t +2,304, où a et b sont arrondis à 10 3 près réalise un bon ajustement affine de y en fonction de t 3. A l aide du résultat précédent : (a) Donner une estimation du chiffre d affaire en 2020 arrondi à (b) Déterminer l année pour laquelle le chiffre d affaire atteint euros.

36 4.2 corrigés eercices corrigé eercice 18 : 1. soit la fonction ϕ telle que ϕ() = ln sur [3; 15] (a) variations de ϕ et tableau de variations. dérivée ϕ() = +3+3ln ϕ () = = +3 annulation et signe de la dérivée sur [3;15] +3 est une fraction dont on peut consigner le signe dans un tableau de signes Annulations : = 0 = 3 - = tableau variations de ϕ sur [3;15] 3 15 ϕ () 0 - ln27 3,3 ϕ() ց 12+3ln15 8,7 ϕ(3) = 3+3+3ln3 = ln27 3,3 ϕ(15) = ln3 8,7 (b) montrer que ϕ s annule une seule fois sur [3;15] on justifie ce fait par le théorème des valeurs intermédiaires ϕ(3) 3,3 > 0 ϕ(15) 8,7 < 0 ϕ est continue sur [3;15] en tant somme de fontions continues ϕ est strictement décroissante sur [3; 15] Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ϕ() = 0 possède une solution unique α dans [3;15] la calculatrice permet d obtenir 9,8 9,9 ϕ() 0,04-0,02 on a donc α 9,8 (c) on déduit de a. et b. le signe de ϕ sur [3;15] 3 α 9,8 15 ϕ() soit la fonction f telle que f() = 5+ ln sur ]3;15] 3 (a) dérivée f = 5+ u v donc f = u v uv avec u = ln = u = 1 ln+ 1 = ln+1 v 2

37 v = 3 = v = 1 f () = (ln+1) (3 ) (ln) ( 1) (3 ) 2 annulation et signe de la dérivée sur ]3;15] = 3ln ln+3 +ln (3 ) 2 = ϕ() (3 ) 2 ϕ() est une fraction dont on peut consigner le signe dans un tableau de signes. (3 ) 2 or le numérateur est du signe de ϕ() qui a été déterminé ci dessus et le dénominateur (3 ) 2 est un carré donc positif donc f () est du signe de ϕ(), d où : tableau variations de f sur ]3;15] 3 α 9,8 15 f () + 0-1,71 f() ր ց ( ) 1,61 f(15) = 5+ 15ln ,61 3. si est le nombre d objets fabriqués et vendus par un artisan, le bénéfice correspondant est donné par f() eprimé en milliers d euros. (a) il doit fabriquer et vendre 10 d objets pour maimiser son bénéfice car : f(9) = 1,704 < f(10) = 1,710

38 corrigé eercice 19 : 1. soit la fonction f telle que f() = 5ln 2 (a) montrons que f () = 5(1 2ln) 3 : { f = u v = f = u v uv u = 5ln = u v 2 avec = 5 1 = 5 v = 2 = v = 2 donc f () = 5 2 (5ln) 2 ( 2 ) 2 = 5 10ln 4 = 5(1 2ln) 4 = 5(1 2ln) 3 (b) annulation et signe de f () : f () est du signe de (1 2ln) car 5>0 et 3 > 0 du fait que ]0;+ [ or 1 2ln > 0 ln < 0,5 < e 0,5 et 1 2ln < 0 ln < 0,5 > e 0,5 d où le tableau de signes de f () et de variations de f() ci dessous. 0 e 0,5 1,6 + f () + 0-0,92 f() ր ց 0 f(e 0,5 ) = 5ln(e0,5 ) (e 0,5 ) 2 = 2,5 e 0,92 (c) montrons que f() = 0, 5 admet une seule solution α sur [2; 10] f(2) 0,86 et 0,86 > 0,5 f(10) 0,12 et 0,12 < 0,5 f est continue sur [2;10] en tant que quotient de fonctions continues f est strictement décroissante sur [2; 10] Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f() = 0, 5 possède une solution unique α dans [2;10] un encadrement de α à 10 2 près. 3,56 3,57 la calculatrice permet d obtenir f() 0, ,49 donc α 3,56 (a) la production qui maimise le bénéfice est de e 0,5 1,649 milliers d objets et le bénéfice maimal est d environs 0, 92 millions d euros (b) le bénéfice est de 0,5 millions d euros pour une production d environs 3,56 milliers d objets mais aussi pour une production d environs 1, 138 milliers d objets (calculatrice) (c) f() > 0 5ln 2 > 0 or 5 > 0 et 2 0 donc f() est du signe de ln et nous savons que ln donc le bénéfice est positif à partir d une production de 1 millier d objets

39 corrigé eercice 20 : Partie A (a) f(0) = 0, ln( 0+1) 1,75 3ln2 = 1,75 3ln2 3,83 f(1) 0, ln(1+1) 1,75 3ln2 = 0 (b) démontrons que pour tout réel de l intervalle [0; 10] : f () = 0,5(+2)( 5) +1 f() = 0, ln(+1) 1,75 3ln2 f () = 0, f () = ( 0,5+2)(+1)+3 +1 or 0,5(+2)( 5) +1 donc f () = 0,5(+2)( 5) +1 i et ii = 0,52 +, = 0,52 +1, i. signe de f () sur [0; 10] et variations de f annulations 0, = 0 = = 0 = = 0 = 1 f () = 0,5(+2)( 5) ,3 f() ր ց -3,83-1,63 ii. valeur eacte du maimum de f sur [0; 10] : f(5) = 0, ln(5+1) 1,75 3ln2 f(5) = 2+3ln6 3ln2 = 2+3(ln6 ln2) = 2+3ln3 = 2+ln27 5,3 à 0,1 près. (c) i et ii : l équation f() = 0 admet dans l intervalle [5; 10] une solution unique 0 on justifie ce fait par le théorème des valeurs intermédiaires f(10) < 0 f(5) > 0 f est continue sur [5;10] en tant que fontion continue f est strictement décroissante sur [5; 10] Partie B Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f() = 0 possède une solution unique 0 dans [5;10] 9,3 9,4 la calculatrice permet d obtenir f() 0,14-0,09 on a donc 0 9,4 (a) le supermarché doit vendre entre 1 et 9,3 milliers de guirlandes pour réaliser un bénéfice sur ce produit. en effet : f(1) = 0 et le sens de variations de f permettent de conclure que f() > 0 ]1; 0 [ (b) 5000 guirlandes assurent un bénéfice maimal de 5300 euros à 100 euros près.

40 corrigé eercice 21 : corrigé eercice avec ajustement affine et changement de variable 1. tableau à Rang de l année : t i y i = lnc i 2,303 2,416 2,501 2,61 2,721 2, à l aide d une calculatrice, une équation de la droite de régression de y en t sous la forme y = at + b, où a et b sont arrondis à 10 3 est : y = 0,021t+2, A l aide du résultat précédent : a. une estimation du chiffre d affaire en 2020 arrondi à 10 1 est calculé ainsi en 2020 : t = = 35 donc : y = 0, ,304 3,039 donc : lnc = 3,039 donc : c = e 3,039 20,9 milliers d euros en 2020 b. l année pour laquelle le chiffre d affaire atteint euros est calculée ainsi : c = 30 donc : y = lnc = ln30 donc : 0,021t+2,304 = ln30 donc : t = ln30 2,304 0,021 52,2 donc : l année est = 2037

41 5 logarithme d une fonction : f = lnu 5.1 activité 1. lecture graphique : on dispose ci dessous du graphique partiel de la fonction u définie surr la droite (D) est asymptote à C u en et aussi tangente à C u en = 3 on sait de plus que la fonction f est définie par f = lnu a. déterminer le domaine de définition de f 5 y b. déterminer les valeurs eactes de : 1 f( 3) = f( 2) = 1 (D) 2 f(0) = 3 c. déterminer les valeurs eactes de : (rappel : si f = lnu alors f =... ) f ( 3) = f ( 1) = f (0) = C u d. sachant que u > 0 sur D f, et que f =... que peut-on dire du signe de f par rapport au signe de u? e. qu en déduire pour les variations de f par rapport au variations de u? f. étudier l annulation de f g. en déduire le tableau de variations de f. f () f() h. déterminer lim f() i. déterminer lim 4 f() j. résoudre l inéquation f() > 0 k. en déduire le tableau de signes de f f()

42 5.2 corrigé activité 1. lecture graphique : on dispose ci dessous du graphique partiel de la fonction u définie surr la droite (D) est asymptote à C u en et aussi tangente à C u en = 3 on sait de plus que la fonction f est définie par f = lnu a. déterminer le domaine de définition de f 5 y lnu n eiste que si u > 0 or u() > 0 ] ; 4 [ donc D f =] ; 4 [ A B C D C u b. déterminer les valeurs eactes de : f( 3) = ln[u( 3)] = ln[3] = ln3 f( 2) = ln[u( 2)] = ln[2] = ln2 = 0 (D) 2 3 f(0) = ln[u(0)] = ln[1] = ln1 = 0 c. déterminer les valeurs eactes de : (rappel : si f = lnu alors f = u u ) f ( 3) = u ( 3) u( 3) 1 avec u ( 3) = y B y A B A = f ( 1) = u ( 1) u( 1) = 0 = 0 (tangente horizontale en = 1) 1 f (0) = u (0) u(0) avec ( 3) = 3 et u( 3) = 3 soit f ( 3) = 3 3 = u (0) = y D y C D C = = 1 et u(0) = 1 soit f (0) = 1 1 = 1 d. sachant que u > 0 sur D f, et que f = u u que peut-on dire du signe de f par rapport au signe de u? puisque u > 0 on peut dire que f et u ont le même signe pour toute valeur de D f e. qu en déduire pour les variations de f par rapport au variations de u? puisque f et u ont le même signe, f et u ont les mêmes variations. f. étudier l annulation de f f() = 0 ln[u()] = 0 u() = e 0 = 1 { 2 ; 0 ; 3} g. en déduire le tableau de variations de f f () ln4 f() ց ր ց ln(0,8) h. déterminer lim lim f() f() = lim ln[u()] = lim X + i. déterminer lim f() 4 lim f() = lim ln[u()] = lim lnx = 4 4 X 0 lnx = + j. résoudre l inéquation f() > 0 f() > 0 ln[u()] > 0 u() > e 0 = 1 ] ; 2 [ ] 0 ; 3 [ k. en déduire le tableau de signes de f f()

43 5.3 à retenir (1) domaine de définition : ln(u) n eiste que si u > 0 (2) dérivée : (lnu) = u u (3) variations : les fonctions u et lnu ont le même sens de variation Remarque : (3) permet de justifier le sens de variations de lnu sans utiliser la dérivation. (si u croît (respectivement : décroît) alors lnu croît (respectivement : décroît) )

44 5.4 eercices eercice 1. : un sujet de bac : 2010 : Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle [0; 10] par (a) calculer f(0) et f(1) f() = 0, ln(+1) 1,75 3ln2 (b) démontrer que pour tout réel de l intervalle [0; 10] (c) i. étudier le signe de f () sur [0; 10] f () = 0,5(+2)( 5). +1 ii. Déterminer les variations de la fonction f sur [0; 10] iii. Calculer la valeur eacte puis la valeur décimale arrondie à 0,1 du maimum de f sur [0; 10] (d) i. Justifier que l équation f() = 0 admet dans l intervalle [5; 10] une solution unique 0 ii. Donner, à l aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut 10 1 de 0 Partie B à l approche des fêtes de fin d année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël. On note le nombre de guirlandes qu il souhaite vendre (en milliers). On suppose que est un réel compris entre 0 et 10 Le bénéfice réalisé pour la vente de milliers de guirlandes, eprimé en milliers d euros, est donné par la fonction f définie sur [0; 10] par : f() = 0, ln(+1) 1,75 3ln2. Déduire de la partie A les réponses au questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On eplicitera la méthode utilisée. (a) Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit? (b) Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maimal? Quel est alors ce bénéfice maimal? (à 100 euros près).

45 corrigé eercice 1. : un sujet de bac : 2010 : Partie A (a) f(0) = 0, ln( 0+1) 1,75 3ln2 = 1,75 3ln2 3,83 f(1) 0, ln(1+1) 1,75 3ln2 = 0 (b) démontrons que pour tout réel de l intervalle [0; 10] : f () = 0,5(+2)( 5) +1 f() = 0, ln(+1) 1,75 3ln2 f () = 0, f () = ( 0,5+2)(+1)+3 +1 or 0,5(+2)( 5) +1 donc f () = 0,5(+2)( 5) +1 i et ii = 0,52 +, = 0,52 +1, i. signe de f () sur [0; 10] et variations de f annulations 0, = 0 = = 0 = = 0 = 1 f () = 0,5(+2)( 5) ,3 f() ր ց -3,83-1,63 ii. valeur eacte du maimum de f sur [0; 10] : f(5) = 0, ln(5+1) 1,75 3ln2 f(5) = 2+3ln6 3ln2 = 2+3(ln6 ln2) = 2+3ln3 = 2+ln27 5,3 à 0,1 près. (c) i et ii : l équation f() = 0 admet dans l intervalle [5; 10] une solution unique 0 on justifie ce fait par le théorème des valeurs intermédiaires f(10) < 0 f(5) > 0 f est continue sur [5;10] en tant que fontion continue f est strictement décroissante sur [5; 10] Partie B Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f() = 0 possède une solution unique 0 dans [5;10] 9,3 9,4 la calculatrice permet d obtenir f() 0,14-0,09 on a donc 0 9,4 (a) le supermarché doit vendre entre 1 et 9,3 milliers de guirlandes pour réaliser un bénéfice sur ce produit. en effet : f(1) = 0 et le sens de variations de f permettent de conclure que f() > 0 ]1; 0 [ (b) 5000 guirlandes assurent un bénéfice maimal de 5300 euros à 100 euros près.

46 6 évaluations 6.1 corrigé devoir maison 1 Eercice 1 : (40p54) A. Etude d une fonction Soit f définie par f() = 8ln pour [1;10] corrigé Devoir Maison 1. calcul de f () : f = u v donc f = u v uv v 2 avec u = 8ln = u = 8 et v = = v = 1 d où : f 8 () = 8ln 1 2 = 8 8ln 2 = 8 1 ln 2 2. Inéquation : 1 ln 0 1 ln e On en déduit le signe de f () 1 e 10 1 ln f () = 8 1 ln a. Variations de f : 1 e 10 f () + 0-2,943 f() ր ց 0 1,842 f(e) = 8 e b. f(e) = 8 e 2,943 B. Application économique 1. bénéfice maimal = 2943 euros pour 2,718 tonnes. 2. a. recette = pri d une tonne nombre de tonnes = 4 b. pourcentage du bénéfice par rapport à la recette : p 2,943 4 e 27% 3. a. f() = R() C() b. C() = R() f() = 4 8ln c. Coût associé au bénéfice maimal : C(e) = 4 e 8lne 7,93 e Eercice 2 : (43p263) 1. X suit une loi binomiale car : on répète 50 tirages, avec indépendance et pour chaque tirage il n y a que deu résultats possibles, succès ou échec. les paramètres sont n = 50 et p = 0, p(x = 0) = C ,010 (1 0,01) ,5% p(x = 1) = C ,011 (1 0,01) ,5% p(x 2) = 1 p(x = 0) p(x = 1) 9%

47 3. il faudrait prélever au maimum 10 pièces pour que la probabilité qu il n y ait aucune pièce défectueuse soit d au moins 90%, car : p(x = 0) 0,9 Cn 0 0,01 0 (1 0,01) n 0 0,9 0,99 n 0,9 n ln0,9 n 10,4 = n 10 soit 10 pièces au plus ln0,99

48 6.2 corrigé devoir maison 2 corrigé Devoir Maison eercice 1 : 24 page 94 déterminer l ensemble de définition et ecrire sous la forme d une somme de logarithmes a. f() = ln(( 2 ( 3)) ensemble de définition : f() = ln(( 2 ( 3)) n eiste que si 2 ( 3) > 0. il suffit donc d étudier le signe de 2 ( 3). on utilise un tableau de signes annulations = 0 = = 0 = 3 2 ( 3) conclusion : D f =] 3 ; + [ ecrire sous la forme d une somme de logarithmes : f() = ln(( 2 ( 3)) = ln( 2 )+ln( 3) = 2ln+ln( 3) b. f() = ln( 4 +3 ) ensemble de définition : f() = ln( 4 4 ) n eiste que si > 0. il suffit donc d étudier le signe de on utilise un tableau de signes annulations = 0 = = 0 = conclusion : D f =] 3 ; 4 [ ecrire sous la forme d une somme de logarithmes : f() = 4 +3 = ln(4 ) ln(+3)

49 eercice 2 : 33 page 95 a. étudier les variations de f avec f() = 2 1+2ln pour > 0 b. déterminer l équation de la droite tangente à la courbe de f en = 1 a. f () = = = annulation de f () : = = 0 de la forme a 2 +b+c = 0 avec b = 0 donc non nécessaire, on isole = 0 2 = 2 2 = 1 qui n a pas de solution réelle donc la f () ne s annule pas. signe de f () pour > est du signe de car > est positif strict car 2 > 0 et 2 > 0 donc f () > 0 pour > 0 variations de f : f croît strictement pour > 0 car f () > 0 pour > 0 ( un tableau de signes n est pas nécessaire ) 0 + f () + f() ր b. déterminer l équation de la tangente en = 1 y = f (1)( 1)+f(1) avec f(1) = ln1 = 0 et f (1) = = 4 1 donc y = 4( 1)+0 donc y = 4 4

50 6.3 corrigé devoir maison 3 corrigé Devoir Maison eercice 122 page étude de l offre. a. sens de variation : f() = 4ln()+1 f () = 4 1 = 4 or 4 > 0 pour [ 1 ; 8 ] par conséquent, f () > 0 pour [ 1 ; 8 ] en conclusion, f est strictement croissante sur [ 1 ; 8 ] b. équation f() = 5 f() = 5 4ln()+1 = 5 ln() = 5 1 = 1 4 = e 1 c. courbe 9 y f() = pri de l offre G 4 3 g() = pri de la demande =quantité en millions étude de la demande. a. nuage de points un ajustement affine est justifié car les points sont relativement alignés b. point moyen la calculatrice donne G( 4,72;ȳ = 5,22) c. droite de régression la calculatrice donne : p() = 0, 6 + 8, 1 à 0,1 près. quantité en millions : i 2,5 3,3 4 5,5 6 7 d. valeurs de g( i ) pri de la demande en euros :y i 6,7 6 5,5 4,8 4,5 3,8 g( i ) 6,6 6,12 5,7 4,8 4,5 3,9 si le pri était en francs, le coefficient directeur serait a 3, 93 ( 0, 6 6, 55957)

51 3. étude du point d équilibre. a. sens de variation de h h() = 4ln()+0,6 7,1 h () = ,6 = 4 +0,6 or 4 > 0 pour [ 1 ; 8 ] et 0,6 > 0 par conséquent, h () > 0 pour [ 1 ; 8 ] en conclusion, h est strictement croissante (monotone) sur [ 1 ; 8 ] b. équation h() = 0 h(1) 6,5 < 0 h(8) 6 > 0 h est continue sur [1;8] en tant somme de fontions continues h est strictement croissante sur [1; 8] Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation h() = 0 possède une solution unique q dans [1; 8] c. approimation de la quantité d équilibre. à l équilibre on a : pri de l offre = pri de la demande donc : f() = g() donc : 4ln+1 = 0,6+8,1 soit : 4ln+1+0,6 8,1 = 0 d où : h() = 0 3,49 3,50 la calculatrice permet d obtenir h() -0,0064 0,01105 on a donc 3,49 < q < 3,5 par conséquent q 3,5 à 0,01 près d. pri d équilibre et chiffre d affaire au pri d équilibre. le pri d équilibre est environs égal à f(3,5) 6 euros. le chiffre d affaire est alors de : 3,5 6 = 21 millions d euros. eercice 114 page soit la fonction ϕ telle que ϕ() = 2 2ln sur [2;20] a. variations de ϕ et tableau de variations. dérivée ϕ() = 2 2ln ϕ () = = 2 annulation et signe de la dérivée sur [2;20] 2 est une fraction dont on peut consigner le signe dans un tableau de signes Annulations : = 0 = 2 + = tableau variations de ϕ sur [2;20] 2 20 ϕ () ϕ() ր 1,4