Leçon n 7 Les vecteurs Opérations de base

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1 Leçon n 7 Les vecteus Opéations de base Il est tès impotant de bien tavaille cette notion ca cet outil est tès utilisé en Mathématiques et en Physique. Il faut bien compende d où vient la notion de vecteu et connaîte les ègles qui pemettent de les utilise. Un ésumé du cous Dans le plan (P), avec deux points quelconques A et B, nous pouvons défini un bi-point (A ; B) : il s agit d un couple de points et il est caactéisé pa sa diection (la diection de la doite (AB)), le sens pou alle de A ves B (le bi-point (B ; A) est difféent donc du bi-point (A ; B)) et sa longueu (la longueu du segment [AB]) Pa exemple, nous pouvons considée un bi-point (A ; B) qui soit hoizontal, de la gauche ves la doite et de longueu 8 petits caeaux : Y-a-t-il un seul bi-point ayant les caactéistiques données ci-dessus? La éponse est non en effet dans le plan (P), on peut touve une infinité de bi-points ayant la même diection, le même sens et la même longueu. On dit que tous ces bi-points epésentent un seul vecteu u : u est don un ensemble de bi-points : u = AB mais u = AB = A B Un vecteu peut donc ête dessiné su un bi-point quelconque de la famille, on disait, il y a quelques années, que le vecteu était libe ou glissant, un bi-point pemet donc de le fixe à un endoit paticulie du plan (P). Il en découle un théoème impotant : Théoème Deux vecteus u et v sont égaux si et seulement si leus epésentants exemple foment un paallélogamme (ABDC). AB et CD pa Ici, on ABB A, ABB A et A B B A qui sont des paallélogammes pa définition (Ils ont deux côtés opposés paallèles et de même longueu).

2 Nous constuisons donc un ensemble de vecteus dans le plan (P) appelé ( P ) : ( P ) = {Les vecteus du plan (P)}. Cet ensemble contient une infinité de vecteus ca il y a une infinité de diections, de sens et de longueus dans (P). Il existe un vecteu paticulie : le vecteu nul 0 dont les epésentants sont les bi-points fomés à pati d un seul point (A ; A), (B ; B) etc. 0 = AA = BB = etc. A) L addition dans ( P ) Le pocédé le plus simple, pou touve la somme de deux vecteus, est de place le second vecteu à l extémité du pemie. C est la physique qui a pouvé pa l expéience que ce pocédé est justifié. On voit appaaîte alos la elation de Chasles. u + v = OA + AB = OB Les popiétés sont : u + v = v + u = u + v + w u + 0 = u v Tout vecteu u possède son opposé noté u ( u + v) + w = u + ( v + w) B) La soustaction dans ( P ).Il faut utilise v c est-à-die l opposé de v. La soustaction n a pas de popiétés paticulièes.

3 La multiplication de deux vecteus n existe pas dans l ensemble des vecteus, pa conte, on append en pemièe le poduit scalaie de deux vecteus et plus tad, on append le poduit vectoiel de deux vecteus qui sont des opéations plus difficiles que les opéations pécédentes. L addition ou la soustaction sont des opéations intenes, c est-à-die, nous penons deux vecteus et le ésultat de l opéation est un nouveau vecteu. Il existe une aute opéation que l on append en seconde : C) Multiplication d un vecteu pa un éel (opéation extene) AB = AC et AD =,5 AB Si le éel est positif, le sens ne change pas, pa conte, si le éel est négatif, le sens change. La diection ne change pas. La longueu est multipliée pa la valeu absolue du éel c est-à-die pa k si k > 0 et pa k si k < 0 Cette opéation possède des popiétés : k un éel et u et v deux k et k' deux éels et u k et k' deux éels et u u un vecteu : u = u vecteus : k un vecteu : k un vecteu : k ( u + v) = k u + k v ( k' u) = ( kk' ) u u + k' u = ( k + k' ) Remaque : 0 u = 0 Su les vecteus, il y a deux choses impotantes à bien appende : Il faut utilise la elation de Chasles sous sa fome soustactive : en effet, au collège, on append AO + OB = AB mais il vaut mieux utilise u AB = OB OA C est la même chose ca OA = AO et AO + OB = AB mais la deuxième fome monte que l on se place en O pou taite le poblème (voi execices). C est une question de méthode! La notion de vecteus colinéaies est tès utilisée : Définition : Deux vecteus sont colinéaies si et seulement si l un des vecteus est égal à un éel non nul que multiplie l aute (Les deux vecteus ont alos même diection)

4 Execices de base Execice Touve tous les vecteus égaux de la figue ci-dessous (ABCD est un ectangle). A B I D C Execice On donne le paallélogamme (ABCD) ci-dessous. Explique pouquoi B AB + AD = AC et AB AD = DB C A D Execice 3 ) Additions de vecteus : Constuie la somme des tois vecteus. Même question pou les tois vecteus ci-dessus : IA + IB + IC =

5 ) Somme et difféence de vecteus : Constuie le vecteu u v + w. 3) Multiplication d'un vecteu pa un éel On donne deux vecteus quelconques, et on demande de constuie: X = u 4 v Y = 3 u + 6 v 4) Simplifie les expessions suivantes : Z = ( u + 3 v ) + ( u 3 v) 9 Z = ( 3 u + 9 v ) 6 u v 3 Que peut-on die de ces deux vecteus Z et Z? Soit Z 3 = u 3 v. Expime Z et Z en fonction de Z3. Execice 4 Soit un tiangle ABC, place les points I et J sachant que : AI = AB et JA = JC. 3 Démonte que (IJ) est paallèle à (BC). Execice 5 On donne deux points A et B tel que AB = 4. Détemine le point M du plan (P) tel que : MA + MB = AB

6 Execice ABCD est un ectangle, on a : Coection AB = DC ; BA = CD ; AD = BC ; DA = CB ; DI = IB ; ID = BI AI = IC ; IA = CI ; AA = BB = CC = 0 Execice ABCD est un paallélogamme et donc AD = BC donc : AB + AD = AB + BC = AC (Relation de Chasles) On peut donc die aussi, que la somme de deux vecteus est le vecteu poté pa la diagonale du paallélogamme constuit su les deux vecteus en les penant de même oigine. AB AD = DB. Le vecteus DB est ici écit à pati du point A. (Relation de Chasles «fome soustactive») en effet : AB. AD = AB + DA = DA + AB = DB On peut die aussi que la difféence de deux vecteus appaaît su la deuxième diagonale du paallélogamme constuit su ces deux vecteus. Execice 3 ) Additions de vecteus Nous commençons la constuction en O, OA = u puis à pati de A, nous plaçons v ( AB = v ) et enfin, nous plaçons w pou avoi BC = w. u + v + w = OA + AB + BC = OC. Nous patons de I, sans touche le pemie vecteu IA puis à pati de A, nous plaçons IB, cela donne AM = IB puis à pati de M, nous plaçons IC, cela donne MN = IC et donc : IA + IB + IC = IA + AM + MN = IN

7 ) Somme et difféence de vecteus Nous avons choisi un point O quelconque, puis nous penons OA = u, l opposé du vecteu u, ce vecteu a la même diection que u, la même longueu mais le sens contaie, puis à pati de A, nous plaçons AB = v et enfin, nous ajoutons le vecteu BC = w pou obteni le vecteu demandé u v + w. 3) Multiplication d un vecteu pa un éel

8 OA = u ; AB = 4 v ; X = OA + AB = OB Nous constuisons Y à pati du point O. OC = 3 u ; CD = 6 v ; Y = OC + CD = OD. Nous constatons que X et Y sont colinéaies en effet ils ont la même diection : 3 3 Y = X = ( u 4 v) = 3 u + 6 v. 4. Simplifions les expessions données Z/ = ( u + 3 v ) + ( u 3 v) = u 6 v + u 5 5 = u v Z = ( 3 u + 9 v ) 6 u v = u + v 4 u + 3 v = u + v Nous emaquons que Z et Z sont opposés Si nous penons Z 3 = u 3 v alos Z = ( u 3 v) = Z3 et Z = Z3 3 v Execice 4 A Nous patageons [AB] en tois pou place I. Pou le point J, on peut monte que : B I J C AJ = AC. 3 AJ = (AC AJ) = AC AJ 3 donc AJ = AC soit 3 AJ = AC On utilise Chasles et A. Plaçons alos le point J su la figue. Pou démonte que (IJ) est paallèle à (BC), on monte que IJ et BC sont colinéaies. Pou cela, on calcule le vecteu IJ en utilisant A. ( AC AB) BC IJ = AJ AI = AC AB = =

9 Execice 5 M A B MA + MB = AB (Nous pouvons utilise A) AM + AB AM = AB (Relation de Chasles) AM = AB (Nous pouvons alos localise M) AM = AB. AM et AB sont colinéaies et donc A, M et B sont alignés. AM = 0,5 x 4 = en longueu ca AB = 4.