Cours M1. Cinématique

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1 Cours M1 Cinématique David Malka MPSI Lcée Saint-Exupér

2 Table des matières I Cinématique du point 1 1 Position d un point : sstèmes de coordonnées usuels Base et coordonnées cartésiennes Coordonnées et vecteurs de base Vecteur-position Base et coordonnées clindriques (ou polaires à 2D) Coordonnées et vecteurs de base Vecteur-position Base et coordonnées sphériques Coordonnées et vecteurs de base Vecteur-position Comment choisir la base et le sstème de coordonnées adaptés? Trajectoire, vitesse et accélération d un point Trajectoire d un point dans un référentiel donné Déplacement élémentaire d un point dans un référentiel donné Définition Expressions dans les différentes bases Vitesse instantanée d un point dans un référentiel donné Définition Expressions dans les différentes bases Accélération d un point dans un référentiel donné Définition Expressions dans les différentes bases Très important : ne pas confondre sstème de coordonnées et référentiel!!! Etude cinématique de quelques mouvements simples Mouvement uniformément accéléré Mouvement rectiligne sinusoïdal Mouvement circulaire II Très brève introduction à la cinématique du solide 8 1 Solide indéformable 8 2 Mouvement de translation 8 3 Mouvement de rotation autour d un axe fixe 9 Table des figures 1 Base et coordonnées cartésiennes Base et coordonnées clindriques (ou polaires à 2D) Base clindrique : plans de coupe Base et coordonnées sphériques Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes Déplacement élémentaire en coordonnées clindrique (polaire sur la figure) Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques

3 Capacités exigibles 1. Réaliser et exploiter quantitativement un enregistrement vidéo d un mouvement : évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération. 2. Établir les expressions des composantes du vecteur-position, du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération dans le seul cas des coordonnées cartésiennes et clindriques. 3. Exprimer à partir d un schéma le déplacement élémentaire dans les différents sstèmes de coordonnées, construire le trièdre local associé et en déduire les composantes du vecteur-vitesse en coordonnées cartésiennes et clindriques. 4. Choisir un sstème de coordonnées adapté au problème posé. 5. Mouvement de vecteur-accélération constant : exprimer la vitesse et la position en fonction du temps ; obtenir la trajectoire en coordonnées cartésiennes. 6. Mouvement circulaire uniforme et non uniforme : exprimer les composantes du vecteur-position, du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération en coordonnées polaires planes ; identifier les liens entre les composantes du vecteur-accélération, la courbure de la trajectoire, la norme du vecteur-vitesse et sa variation temporelle ; situer qualitativement la direction du vecteur-accélération dans la concavité d une trajectoire plane. 7. Différencier un solide d un sstème déformable. 8. Reconnaître et décrire une translation rectiligne, une translation circulaire. 9. Décrire la trajectoire d un point quelconque du solide et exprimer sa vitesse en fonction de sa distance à l axe et de la vitesse angulaire.

4 Dans tous le cours, le sstème de coordonnées cartésien sera attaché au référentiel R de l étude. Première partie Cinématique du point 1 Position d un point : sstèmes de coordonnées usuels 1.1 Base et coordonnées cartésiennes Coordonnées et vecteurs de base Voir Fig.1. Coordonnées : (x,, ) Base : (,, ) M OM = x + x + M O M x M x H Figure 1 Base et coordonnées cartésiennes Vecteur-position Vecteur-position en coordonnées cartésiennes OM(t) = x Base et coordonnées clindriques (ou polaires à 2D) Coordonnées et vecteurs de base Voir Fig.2 et 3. Coordonnées : (ρ, θ, ) Base : ( e ρ, e θ, ) 1

5 M O θ ρ e θ x H e ρ Figure 2 Base et coordonnées clindriques (ou polaires à 2D) O. ρ M e θ e ρ θ e θ x H e ρ O ρ H Figure 3 Base clindrique : plans de coupe P Application-1 Exprimer les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées clindriques d un point M de l espace. Réponse : x = ρ cos θ, = ρ sin θ, =. Exprimer les coordonnées clindriques en fonction des coordonnées cartésiennes d un point M de l espace. Réponse : ρ = x x, cos θ = et sin θ = x2 + 2 x2 +, = Vecteur-position Vecteur-position en coordonnées clindriques OM(t) = ρ e ρ + 2

6 1.3 Base et coordonnées sphériques Coordonnées et vecteurs de base Voir Fig.1. Coordonnées : (r, θ, φ) Base : ( e r, e θ, e ϕ ) e r θ M e θ e φ r O φ H e φ x Figure 4 Base et coordonnées sphériques Vecteur-position Position en coordonnées sphériques OM(t) = r e r 1.4 Comment choisir la base et le sstème de coordonnées adaptés? On choisit par défaut un sstème de coordonnées cartésien aux axes judicieusement choisis. On préfère les sstèmes de coordonnées clindriques ou sphériques si le problème présente les mêmes smétries que ces sstèmes de coordonnées. 2 Trajectoire, vitesse et accélération d un point 2.1 Trajectoire d un point dans un référentiel donné La trajectoire d un point M est la courbe définie par l ensemble des positions spatiales occupées à chaque instant par le point M dans un référentiel donné. 3

7 2.2 Déplacement élémentaire d un point dans un référentiel donné Définition Déplacement élémentaire Définition Soit M et M deux positions occupées successivement par un point M dans un référentiel donné R. On définit le vecteur déplacement élémentaire d OM ou (d l ) par : d OM = lim MM M M Expressions dans les différentes bases Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes Voir fig.5). d OM = dx + d + d d M dom O d dx x H Figure 5 Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes Déplacement élémentaire en coordonnées clindriques Voir fig.6. d OM = dρ e ρ + ρdθ e θ + d Déplacement élémentaire en coordonnées clindriques Voir fig.7). d OM = dr e r + rdθ e θ + r sin θ e ϕ 2.3 Vitesse instantanée d un point dans un référentiel donné Phsiquement, la vitesse instantanée, à l instant t est la variation par unité de temps du vecteur position sur une durée infiniment courte dt. 4

8 θ ρ dθ M dom e θ dρ ρdθ M' e ρ Figure 6 Déplacement élémentaire en coordonnées clindrique (polaire sur la figure) Définition Vitesse instantanée Définition Soit M et M deux positions occupées par un point M dans un référentiel donné R, respectivement à l instant t et à l instant t. Le vecteur-vitesse instantanée v(m) R du point M dans le référentiel R est définie par : MM v(m) R = lim t t t t soit encore (d ) OM v(m) R = dt R R Par définition, les vecteurs déplacement élémentaire et vitesse sont tangents à la trajectoire et orientés dans le sens du mouvement Expressions dans les différentes bases Les expressions de la vitesse s obtiennent soit par dérivation du vecteur position, soit en utilisant l expression du vecteur déplacement élémentaire. En coordonnées cartésiennes Vitesse en coordonnées cartésiennes v(m) = ẋ + ẏ + ż 5

9 θ dr rdθ M dom θ+dθ M' e r e θ e φ r O φ φ + dφ rsin(θ)dφ x Figure 7 Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques En coordonnées clindriques Vitesse en coordonnées clindriques v(m) = ρ e ρ + ρ θ e θ + ż En coordonnées sphériques Vitesse en coordonnées sphériques v(m) = ṙ e r + r θ e θ + r sin θ ϕ e ϕ 2.4 Accélération d un point dans un référentiel donné Phsiquement, l accélération (instantanée) à l instant t est la variation par unité de temps du vecteur vitesse sur une durée infiniment courte dt. 6

10 2.4.1 Définition Accélération Définition Soit M et M deux positions occupées par un point M dans un référentiel donné R respectivement à l instant t et à l instant t. Le vecteur-accélération instantanée a(m) R du point M dans le référentiel R est définie par : v(m, t ) v(m, t) a(m) R = lim t t t t soit encore ( ) d v(m) a(m) R = dt R (d 2 ) OM = dt 2 R Expressions dans les différentes bases En coordonnées cartésiennes Accélération en coordonnées cartésiennes a(m) = ẍ + ÿ + En coordonnées clindriques Accélération en coordonnées clindriques a(m) = ( ρ ρ θ 2 ) e ρ + (2 ρ θ + ρ θ) e θ + En coordonnées sphériques Accélération en coordonnées clindriques a r = r r θ 2 r sin 2 θ ϕ 2 avec : a θ = 2ṙ θ + r θ r ϕ 2 sin θ cos θ a ϕ = 2r ϕ θ cos θ + 2ṙ ϕ sin θ + r sin θ ϕ a(m) = a r e r + a θ e θ + a ϕ e ϕ 2.5 Très important : ne pas confondre sstème de coordonnées et référentiel!!! En effet, on peut tout à fait exprimer une vitesse ou une accélération par rapport à un référentiel dans une base mobile par rapport à ce référentiel. Réciproquement, ce n est pas parce qu on écrit une vitesse dans une base que cette vitesse est évaluée par rapport à un référentiel fixe par rapport au sstème de coordonnés associé à cette base. 7

11 3 Etude cinématique de quelques mouvements simples 3.1 Mouvement uniformément accéléré P Application-2 Soit un point M dont l accélération vaut a = a (a et constants) à chaque instant et dont la vitesse initiale vaut V 0, et aant pour position x 0 = 0 à t = 0. Déterminer la position x(t) de M à chaque instant. Réponse : x(t) = 1 2 a.t2 + v 0.t 3.2 Mouvement rectiligne sinusoïdal P Application-3 Soit un point M se déplaçant le long d un axe Ox. Sa position est donnée à chaque instant par x(t) = a cos(ωt) où ω et a sont des constantes positives. Déterminer sa vitesse v(t) puis son accélération a(t). Réponse : v(t) = aω sin(ωt), a(t) = aω 2 cos(ωt) 3.3 Mouvement circulaire P Application-4 Soit un point M décrivant de façon uniforme un cercle de raon R à la vitesse angulaire ω. On se place dans la base polaire ( e r, e θ ). Montrer que la vitesse v(t) et l accélération a(t) du point M vérifie : a(t) = v2 (t) R Sur le Web Pour visualiser les sstèmes de coordonnées dans l espace : Deuxième partie Très brève introduction à la cinématique du solide 1 Solide indéformable Solide indéformable On appelle solide indéformable (S), un sstème tels que (M, N) (S), MN est indépendant du temps. 2 Mouvement de translation Solide en translation Un solide (S) est en translation par rapport aux référentiel R si t, M (S), v(m) R = cste c est-à-dire que le champ des vitesses est uniforme dans le solide. Tous les points décrivent la même trajectoire. Cas particuliers : 8

12 si la trajectoire des points M de (S) est une droite, la translation est rectiligne ; si la trajectoire des points M de (S) est un cercle, la translation est circulaire. 3 Mouvement de rotation autour d un axe fixe Solide en rotation Soit une droite fixe dans le référentiel R. Si chaque point M du solide (S) est en mouvement circulaire autour de dans R alors le solide (S) est en rotation autour de. Champ des vitesses Pour tout point M (S), la vitesse de ce point dans R peut s écrire : v(m) R = rω e θ avec r la distance M à, ω = θ la vitesse angulaire de rotation du solide (S) autour et e θ orthoradial de la base polaire. le vecteur A chaque instant t, l ensemble des points M de (S) a même vitesse angulaire. 9