BREVET BLANC. Épreuve de MATHÉMATIQUE. Durée : 2 heures

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1 REVET LAN Épreuve de MATHÉMATIQUE Durée : heures Année scolaire Mercredi 8 avril 009

2 Exercice 1 PREMIÈRE PARTIE ATIVITÉS NUMÉRIQUES (1 points) es trois exercices sont indépendants. Rédigez avec soin toutes les étapes des calculs. 1) Par l'algorithme de votre choix, calculez le P.G..D. des nombres : et Un confiseur possède dragées bleues et 1 50 dragées roses. Il veut réaliser des petits sachets de façon à ce que : tous les sachets contiennent le même nombre de dragées roses tous les sachets contiennent le même nombre de dragées bleues. ) a) Quel est le nombre maximal de sachets réalisables? b) Dans chaque sachet, quel est le nombre de dragées roses et celui de dragées bleues? Exercice On donne l'expression : E= 4x 1x 7, où x est un nombre réel. 1) alculez la valeur numérique exacte réduite de E, pour : x =. ( ) ( ) ) Démontrez l'égalité : 4x 9 x+ =E. ) Factorisez : ( 4x 9). 4) Factorisez E, chaque facteur étant réduit. 5) Résolvez l'équation : E = 0. Exercice Les représentations graphiques se feront sur un axe gradué, d'unité : OI=1 cm, avec les conventions usuelles. 1) Résolvez et représentez graphiquement, sur la même droite graduée, les deux inéquations d'inconnue : x ( x ) x+ 9Ô 4 et x+ 7< 9 x. ) Exprimez, sous forme d'un encadrement de x, l'ensemble des solutions communes x+ 9Ô ( x 4) aux deux inéquations :. x + 7 < 9 x

3 DEUXIÈME PARTIE ATIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (1 points) es trois exercices sont indépendants. Les figures ci-après ne sont pas conformes aux dimensions données. Exercice 1 Pour les calculs de trigonométrie, utilisez les valeurs exactes du tableau. A est un triangle tel que : A = 6 cm A = cm et = 4 cm. 1) Démontrez que le triangle A est rectangle. Déduisez-en la mesure de l angle A. M est le point du segment [A] et P est le point du segment [] tels que (MP) est perpendiculaire à () avec MP. = cm ) Montrez que la longueur M est égale à 4 cm. La droite (M) coupe, au point N, la droite parallèle à la droite () passant par A. ) alculez les longueurs exactes MA puis NA. A 0º 60º sin cos tan 1 M P 1 N Exercice Le rectangle ci-contre représente une table de billard. Deux boules de billard et N sont placées telles que : D = 90 cm, = 5 cm et ND = 5 cm. Les angles D et ND sont droits. E est sur [D]. Le joueur veut toucher la boule N avec la boule en suivant le trajet EN, avec E = NED. On pose : E = xcm. 1) a) Donnez un encadrement de x. b) Exprimez ED en fonction de x. c) Dans le triangle E, exprimez tan E en fonction de x. d) Dans le triangle NED, exprimez tan NED en fonction de x. ) a) En égalant les quotients trouvés en 1)c) et 1)d), on obtient l'équation : 5( 90 x) = 5x (on ne demande pas de justification). Résolvez cette équation. b) Déduisez-en la valeur commune, arrondie au degré, des angles E et NED. Exercice D N E x est un cercle de centre O de diamètre [A]. est un point de. (A) et (O) sont perpendiculaires. E E est un point de l'arc A auquel n'appartient pas. 1) ombien mesure l'angle EA? Justifiez. A O ) ombien mesure l'angle E? Justifiez. ) Que représente [E) pour l'angle AE? Justifiez. Tournez la page

4 TROISIÈME PARTIE PROLÈME (1 points) Sur la feuille fournie en annexe, quadrillée 5 5 mm et à remettre avec la copie, dessinez la figure comportant tous les éléments géométriques mentionnés dans ce problème. A est un triangle isocèle de base []. [AH] est sa hauteur principale. = 1 cm et AH = 8 cm. 1) Démontrez que : A = 10 cm. ) alculez la valeur exacte du cosinus de l'angle A H. Sur le segment [], O est le point tel que : O = 5 cm. est le cercle de centre O qui passe par le point. e cercle recoupe [A] au point M et [] au point D. ) Démontrez que le triangle MD est rectangle en M. 4) En utilisant la valeur du cosinus de l'angle A H, calculée à la question ), démontrez que la longueur de [M] est égale à 6 cm. 5) Démontrez que la longueur DM est égale à 8 cm. Dans le triangle A, la hauteur qui passe par le sommet coupe le côté [A] au point K. 6) a) Démontrez que les droites (K) et (DM) sont parallèles. b) alculez la longueur K. Les droites (DM) et (AH) se coupent au point I. 7) Que représente le point I pour le triangle AD? Justifiez. Les droites (I) et (AD) se coupent au point J. 8) Démontrez que la droite (J) est perpendiculaire à la droite (AD). 9) Démontrez que le point J appartient au cercle. Rédaction et Présentation : 4 points

5 Figure du problème de la troisième partie A H À remettre avec la copie. Numéro d'anonymat :...

6 Exercice 1 REVET LAN ORRETION DE LA PREMIÈRE PARTIE 1) Soustraction a b a b Division euclidienne Diviseur dividende reste = = = = = = Donc : P.G..D.( )= = ) a) Le nombre maximal de sachets réalisables est le plus grand diviseur commun : 70. b) omme on distribue : 1 50=70 5 dragées roses, alors : chaque sachet comporte : 5 dragées roses. omme on distribue : 1 080=70 4 dragées bleues, alors : chaque sachet comporte : 4 dragées bleues. Exercice 1) Lorsque : x =, l'expression : E= 4x 1x 7 s'écrit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ) 4x 9 x+ = 8x 18 4x + 1x+ 9 = 8x 18 4x 1x 9 = 4x 1x 7 = E. ( ) ( )( ) ) Factorisons la différence de deux carrés : 4x 9= x = x x+. 4) Factorisons l'expression E sous la forme exprimée à la question ) : le facteur commun apparaît : E= 4x 9 x+ = x x+ x+ réduisons : ( ) ( ) ( )( ) ( ) E= ( x+ ) ( x ) ( x+ ) = ( x+ ) [ 4x 6 x ] = ( x+ )( x 9). 5) L'équation : E=0 se résous sous sa forme d'équation «produit nul», x+ x 9 = 0 en se servant du résultat de la question 4) : ( )( ). «Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit qu'un de ses facteurs soit nul.» : Les solutions de E=0 sont donc solutions des deux équations : x + = 0 ou x 9= 0. Les solutions de l'équation : E=0 sont alors : et 9. Exercice 1) x+ 9Ô ( x 4) x+ 9Ô x+ 1 x+ xô 1 9 x Ô. x+ 7< 9 x x+ x< 9 7 x < x >. ) x+ 9Ô ( x 4) x + 7 < 9 x x x > Donc : < x. Et : ] - O I 0 1 O I 0 1 ] < x x Ô Donc : ] O I ] < x - 0 1

7 Exercice 1 REVET LAN ORRETION DE LA DEUXIÈME PARTIE = = = ( ) = ( ) 1) Dans le triangle A : A 6 6 A 1 = 4 = 48. omme : = 48, alors : A + A =. La réciproque du théorème de Pythagore indique que le triangle A est rectangle en A. Dans le triangle A, rectangle en A : A 1 sin A = = =. Donc : A = 0º. 4 M A et P [ ), alors : MP = A, puis : 1 sin MP = sin A = sin 0º =. Alors : MP = 1 sin MP = =. Donc : M = = 4 cm. M M 1 M A, alors : MA = A M = 6 4 = cm. ) omme : [ ) ) omme : [ ) Les droites (N) et (A) sont sécantes en M et les droites () et (NA) sont parallèles. MN MA NA MA NA Le théorème de Thalès s'écrit : = =. Donc : = puis : = NA. M M M 4 4 Alors : Exercice 4 NA = 4 1) a) omme : E [ D] b) omme : E [ D] = cm., alors : 0 x 90., alors : ED = D E = 90 xcm. c) Dans le triangle E, rectangle en : 5 tan E = =, avec : 0 < x 90. E x d) Dans le triangle NED, rectangle en D : DN 5 tan NED = = DE 90 x, avec : 0 x < = 5x = 5x+ 5x x = = 5,5 cm x = 5x 150 = 60x Avec : 0 < 5, 5 < 90. ( x) ) a) b) Dans le triangle E, rectangle en : tan E = 5. Donc : E,69º 4º. 5,5 Dans le triangle NED, rectangle en D : 5 5 tan NED = =. Donc : NED 4º. 90 5, 5 7, 5 Exercice 1) Dans le cercle, l'angle inscrit EA intercepte le même arc A que l'angle au centre OA. Alors : EA = 1 OA = 1 90 = 45º. ) Dans le cercle, l'angle inscrit E intercepte le même arc que l'angle au centre O. Alors : E = 1 O = 1 90 = 45º. ) La demi-droite [E) partage l'angle AE en deux angles adjacents de même mesure 45º. La demi-droite [E) est donc la bissectrice de l'angle AE.

8 REVET LAN ORRETION DE LA TROISIÈME PARTIE 1) Le triangle A est isocèle en A. [] et sa base. [AH] est sa hauteur principale. Alors : 1 H est le milieu de []. Donc : H = = = 6 cm et le triangle AH est rectangle en H. Le théorème de Pythagore s'y écrit : A = H + AH = = 100. Donc : A = 10 cm. ) Dans le triangle AH, rectangle en H : cos AH = H = 6. A 10 ) Le côté [D] du triangle MD est un diamètre de son cercle circonscrit. Alors le triangle MD est rectangle en M et son hypoténuse est [D]. 4) omme : M [ A) et D [ H) Donc :, alors l'angle AH est identique à l'angle MD. MD = AH et : cos MD = cos AH = Dans le triangle MD, rectangle en M : M M 6 cos MD = = =. Alors : M = 6 cm. D ) Dans le triangle MD, rectangle en M, le théorème de Pythagore s'écrit : DM = D M = 10 6 = 64. Donc : DM = 8 cm. 6) a) Le triangle MD est rectangle en M et les droites (K) et (A) sont perpendiculaires. Alors les droites (K) et (DM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (A) : les droites (K) et (DM) sont donc parallèles entre elles. b) Les droites (KM) et (D) sont sécantes en et les droites (K) et (DM) sont parallèles. D M DM D DM Alors le théorème de Thalès s'écrit : = =. Donc : =. K K K Puis : =. Alors : K = = 9,6 cm. 1 K 10 7) Dans le triangle AD : (AH) est perpendiculaire à [D] et (DM) est perpendiculaire à [A]. (AH) et (DM) sont deux des trois hauteurs du triangle AD. Leur point d'intersection I est donc l'orthocentre du triangle AD. 8) omme J [ I), la droite (I) s'écrit également (J). Elle passe par le sommet et l'orthocentre I. Alors (J) est la troisième hauteur du triangle AD, relative au côté [AD]. Donc : la droite (J) est perpendiculaire à la droite (AD). 9) omme [ AD] J, (J) est perpendiculaire à (JD) et le triangle JD est rectangle en J. Il est donc inscrit dans le cercle dont un diamètre est son hypoténuse [D]. e cercle est le cercle. Donc le sommet J de l'angle droit JDappartient au cercle.

9 REVET LAN ORRIGÉ DE LA FIGURE DU PROLÈME DE LA TROISIÈME PARTIE A K M J I O H D