Angles orientés de vecteurs Trigonométrie
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1 Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés Angles orientés de vecteurs unitaires Angles orientés de vecteurs Cas général Trigonométrie 6.1 Cosinus et sinus Quelques relations Angles associés Propriétés des angles orientés 10.1 Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1
2 TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX Table des figures 1 Le cercle trigonométrique Exemples de mesures d arcs orientés Angles orientés de vecteurs unitaires Angle orienté de vecteurs cas général Cosinus et sinus Angles remarquables Cosinus et sinus de x Cosinus et sinus de x Cosinus et sinus de + x Cosinus et sinus de x Cosinus et sinus de + x Quelques cas particuliers Liste des tableaux 1 Conversion degrés-radians Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente
3 1 MESURES D ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS Activité 1 (fp : Arcs orientés sur un cercle 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés Définition : On appelle cercle trigonométrique un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (voir figure 1. Figure 1 Le cercle trigonométrique L arc orienté ÃB a une infinité de mesures :,, 5... Elles sont toutes définies au nombre de «tours» près. Toute mesure de l arc orienté ÃB est donc de la forme + k, où k Z. Plus généralement : Propriété : Soit A et M deux points du cercle trigonométrique. Si l est une mesure de l arc orienté ĀM, alors toutes les mesures de cet arc sont de la forme l + k, où k Z. On note alors : ĀM = l + k (k Z ou ĀM = l []. La deuxième notation se lit : «l modulo». Exemples : A l aide des propriétés géométriques de la figure, on a : Figure Exemples de mesures d arcs orientés ÃE = [] ; ÃF = 4 [] ; ÃG = 6 [] ; ÃH = 5 6 [] ; ĀK = [] et ÂL = 4 [] Exercices : 0, page 05 et 7 page 06 1 [TransMath] 1. Utilisation du cercle trigonométrique.
4 1. Angles orientés de vecteurs unitaires 1 MESURES D ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS 1. Angles orientés de vecteurs unitaires Définition : Soit u et v deux vecteurs unitaires ( u = v = 1. Il existe deux points M et N du cercle trigonométrique tels que OM = u et ON = v (voir figure. On appelle mesure de l angle orienté de vecteurs ( u, v toute mesure de l arc orienté MN. On utilisera donc les mêmes notations. L unité de mesure est le radian (noté rad. Figure Angles orientés de vecteurs unitaires Remarque : rad correspond à 180. Un tableau de proportionnalité permet donc de passer facilement des degrés aux radians (et réciproquement, voir tableau 1. Mesure de l angle en radians Mesure de l angle en degré Table 1 Conversion degrés-radians On passe de la première à la deuxième ligne en multipliant par 180. Exemples : On se reportera à la figure. 1. Ä ä OA, OE = [] (exemples de mesure : ; + = 7 ; = 5, =. Ä ä OA, OG = 6 [] (exemples de mesure : 6 ; = 6. Ä OF, OL ä = [] (exemples de mesure : ; ; ; 5 4. Ä OE, OK ä = [] Définition : Une seule mesure de l angle orienté ( u, v appartient à l intervalle ] ; ]. Cette mesure est appelée mesure principale de l angle ( u, v. 4
5 1 MESURES D ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS 1. Angles orientés de vecteurs Cas général Exercice : Trouver la mesure principale de l angle 17. On sait que la mesure principale est de la forme 17 + k (avec k Z et qu elle doit être dans l intervalle ] ; ]. On a donc : 17 < + k 17 1 < + k 1 (en divisant par 1 17 < k < k < k 7 De plus, on sait que k Z. Or, le seul entier relatif vérifiant l encadrement précédent est k = 9 =. La mesure principale de l angle est donc : ( = 6 = =. Exercices : 1 page 05 et 6 page 06 4 page 05 5 page 05 4 [TransMath] 1. Angles orientés de vecteurs Cas général Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls. On note C le cercle trigonométrique de centre O. On se référera à la figure 4. On pose u = OM et v = ON. les demi-droites [OM et [ON coupent respectivement le cercle trigonométrique C en A et B. Les vecteurs OA et OB sont unitaires et respectivement de même direction et de même sens que u et v. On appelle alors mesure de l angle orienté ( u, v, toute mesure de l angle orienté Ä ä OA, OB. Figure 4 Angle orienté de vecteurs cas général Exercices : 9, page 05 et 8, 40, 4 page page 06 6 [TransMath]. Angles orientés de vecteurs unitaires.. Mesure principale. 4. Algorithmique. 5. Angles orientés de vecteurs. 6. Ensemble de points. 5
6 TRIGONOMÉTRIE Trigonométrie.1 Cosinus et sinus Définition 1 : On dit qu un repère (O ; ı ; j du plan orienté est orthonormal direct si : ı = j = 1 et ( ı ; j = + [] Définition : Soit C le cercle trigonométrique de centre O et A, B deux points du cercle C tels que le repère Ä O ; ä OA ; OB soit orthonormal direct (voir figure 5. Soit x un réel. Il existe un unique point M du cercle trigonométrique C tel que Ä OA ; OM ä = x []. On Ä appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x les coordonnées du point M dans le repère ä O ; OA ; OB. cos x : abscisse du point M sin x : ordonnée du point M. Figure 5 Cosinus et sinus Remarques : 1. Si k Z, x + k est une autre mesure de l angle orienté Ä OA ; OM ä. On a donc : cos (x + k = cos x sin (x + k = sin x. A (1 ; 0 donc : cos (0 = 1 et sin (0 = 0. B (0 ; 1 donc : cos ( ( = 0 et sin = 1. A ( 1 ; 0 donc : cos ( = 1 et sin ( = 0. B (0 ; 1 donc : cos ( ( = 0 et sin = 1.. Le triangle OHM est rectangle en H donc, d après le théorème de Pythagore : OH + HM = OM Or, OM = 1, OH = (cos x et HM = (sin x. On a donc : (cos x + (sin x = 1 Dans toute la suite, on notera : cos x = (cos x et sin x = (sin x. La relation précédente devient alors : cos x + sin x = 1 6
7 TRIGONOMÉTRIE. Quelques relations. Quelques relations On a déjà les relations suivantes : Propriété : Pour tout x Ret tout k Z : cos (x + k = cos x sin (x + k = sin x cos x + sin x = 1 1 cos x 1 1 sin x 1 On rappelle de plus que, si cos x 0, tan x = sin x cos x. Les cosinus, sinus et tangente des angles remarquables sont données dans le tableau. x 0 6 cos x 1 1 sin x 0 tan x Table Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente Remarque : Pour retenir tous les résultats du tableau, on peut s aider du cercle trigonométrique (voir figure 6. Figure 6 Angles remarquables Exercice : Calculer sin α et cos β sachant que : cos α = 0, 6 et < α < 0 sin β = 0, 8 et < β < Exercices : 59, 60, 61 page page 06 et 89 page 11 8 [TransMath] 7. Lignes trigonométriques. 8. Repérage polaire. 7
8 . Angles associés TRIGONOMÉTRIE. Angles associés Dans toute cette section, x désigne un réel et M le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique suivant la définition du.1. Cosinus et sinus de x : voir figure 7. Figure 7 Cosinus et sinus de x M (cos x ; sin x et M 1 (cos ( x ; sin ( x. Comme M et M 1 sont symétriques par rapport à l axe des abscisses, on en déduit que : Cosinus et sinus de x Cosinus et sinus de x : voir figure 8. cos ( x = cos x sin ( x = sin x Figure 8 Cosinus et sinus de x M (cos x ; sin x et M (cos ( x ; sin ( x. Comme M et M sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées, on en déduit que : Cosinus et sinus de x cos ( x = cos x sin ( x = sin x 8
9 TRIGONOMÉTRIE. Angles associés Cosinus et sinus de + x : voir figure 9. Figure 9 Cosinus et sinus de + x M (cos x ; sin x et M (cos ( + x ; sin ( + x. Comme M et M sont symétriques par rapport à l origine du repère, on en déduit que : Cosinus et sinus de + x cos ( + x = cos x sin ( + x = sin x Cosinus et sinus de x : voir figure 10. Figure 10 Cosinus et sinus de x M (cos x ; sin x et M 4 ( cos ( x ; sin ( x. Comme M et M 4 sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x, on en déduit que : Cosinus et sinus de + x ( cos x ( sin x = sin x = cos x 9
10 PROPRIÉTÉS DES ANGLES ORIENTÉS Figure 11 Cosinus et sinus de + x Cosinus et sinus de + x : voir figure 11. ( ( M (cos x ; sin x et M 5 cos + x ; sin ( + x. Comme M 4 et M 5 sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées, on en déduit que : Cosinus et sinus de + x ( cos + x ( sin + x = sin x = cos x Remarque : Pour retenir ces relations, il est vivement conseillé de se référer au cercle trigonométrique. Exemples : 1. cos (. cos ( 7 6 ( ( = cos = cos = 1. ( ( = cos + 6 = cos 6 =.. sin ( 4 = sin ( 4 =. Exercices : 1,, page 197 et 6 page , 5 page 08 et 1 page 0 10 page , 6, 7, 8 page 198 et 68, 69 page page 08 et 71, 7 page , 8, 84, 85 page [TransMath] Propriétés des angles orientés.1 Angles orientés et colinéarité Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls. Les vecteurs u et v sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( u, v = 0 []. Les vecteurs u et v sont colinéaires et sens contraires si et seulement si ( u, v = []. Remarque : On peut donc utiliser les angles orientés pour prouver un parallélisme ou un alignement. 9. Angles associés. 10. Lignes trigonométriques d angles associés. 11. Utilisation d angles orientés pour démontrer. 1. Équations trigonométriques. 1. Avec la calculatrice. 14. Équations plus difficiles. 10
11 RÉFÉRENCES. Relation de Chasles. Relation de Chasles Théorème : Relation de Chasles (admis Soit u, v et w trois vecteurs non nuls. Alors : ( u, v + ( v, w = ( u, w [] Quelques conséquences : Ces égalités sont illustrées sur la figure ( v, u = ( u, v []. ( u, v = ( u, v + [] et ( u, v = ( u, v + []. ( u, v = ( u, v [] Figure 1 Quelques cas particuliers Exercices : 46 page , 1, 15 page 00 ; 0 page 0 et 49, 50, 51, 54, 55, 56 page , 80 page 10 et 90 page [TransMath] Références [TransMath] transmath 1 re S, édition 011 (Nathan, 5, 7, 10, Angles particuliers. 16. Démontrer en utilisant la relation de Chasles. 17. Plus difficiles. 11
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