Coefficients de dilatation thermique et d expansion hygrométrique µe1

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1 Micromécanique des composites août5 D. Roub Coefficients de dilatation thermique et d epansion hgrométrique µe1 CHAPERY R.A., Thermal epansion coefficients of composite materials based on energ principles. Journal of Composite Materials, vol., pp , HALPIN J.C., tiffness and epansion estimates for oriented short fiber composites. Journal of Composite Materials, vol. 3, pp , Ce Module vient en complément de la fiche E sur les contraintes thermiques résiduelles dans un composite unidirectionnel. On s intéresse ici plus particulièrement à la détermination des coefficients de dilatation thermiques d un composite unidirectionnel à partir de ceu de ses constituants. Les problèmes de gonflement dû à l absorption d humidité et de retrait dû à la polmérisation peuvent être abordés de façon tout à fait similaire. La prise en compte de ces effets dans l analse des matériau stratifiés (cf. les Modules Macro) est évoquée à la fin de cette fiche. Il s agit d outils pour évaluer les contraintes thermiques résiduelles dans un stratifié et ses coefficients de dilatation. On utilise les indices "bas" habituels : fibres et matrice : indices respectifs f et m. directions : (longitudinal), (transversal) et s (cisaillement de tpe ). Les indices "hauts" sont définis comme suit : ε β γ i, ε i, ε i : déformations non mécaniques induites respectivement par la dilatation thermique, l'epansion due à l'humidité et le retrait de polmérisation. À l'échelle considérée (fibre/matrice, pli 1D, stratifié) elles ne génèrent pas directement de contraintes. ε T i, σ T i, k T i sont relatifs à ce qui est induit par les incompatibilités de déformation, à chaque échelle considérée. ε i, k i sont les déformations finales du stratifié (). Elles correspondent donc à ε i et k i, à l'échelle de la réponse thermique du stratifié pris dans son ensemble. 1. Les déformations non mécaniques Il s agit de déformations induites par des effets thermiques ou phsico chimiques. Elles ne génèrent pas de contraintes directement. D une manière générale, on les note : e f, e f et e fs (e fs = ) e m, e m et e ms (e ms = ) En ce qui concerne le composite, suivant les directions d orthotropie, on a alors les déformations non mécaniques suivantes : e (longi.) et e (trans.) ; e s = (cis.) 1.1. Dilatation thermique Dans ce cas, on a (cf. Équ.E1, fiche E) : (E1.1) e f = ε f = f (T T ) e m = ε m = m (T T ) et (E1.) e = ε = (T T ) e = ε = (T T ) où i est un coefficient de dilatation thermique (supposé linéaire), et T est la température de référence (le plus souvent celle à laquelle le composite est eempt de contraintes (usuellement la température d élaboration) et T est la température actuelle. La Fig. 1 ci dessous montre ces déformations non mécaniques dans le cas d un refroidissement après élaboration. ε fibre matrice T non liés liés ετ m ε m Τ ε f ε f ε Figure 1 chéma des différentes déformations induites par une ecursion thermique. 1.. Epansion hgroscopique (E1.3) On définit les coefficients suivants : e f = ε f β = β f c f Les déformations en cisaillement sont nulles car on considère que les constituants sont isotropes, et on peut aussi écrire : e f = e f = e f ; e m = e m = e f [D. ROUBY], [5], INA de Lon, tous droits réservés. et (E1.4) e m = ε m β = β m c m e = ε β = β c e = ε β = β c

2 Dilatation thermique E1. où β i est un coefficient de gonflement dû à l'absorption d'eau. Les termes c f et c m sont les concentrations d humidité (massiques) dans les fibres et la matrice ; dans le composite elle est notée c. Dans un composite eempt de porosité, on peut alors écrire : (E1.5) c = c f m f + c m m m avec m f, m m, les fraction massiques des constituants (cf. Fiche A). En introduisant les masses spécifiques, on a finalement la relation suivante entre les différents tau de porosité : (E1.6) c m = c ρ vm ρ m + v f ρ f c f c m Les fibres de verre et de carbone n absorbent pas d humidité (c f = ), ce n est pas le cas de la fibre de kevlar. Les matrices polmériques peuvent retenir jusqu à 8 % d humidité Retrait de polmérisation Il concerne uniquement la matrice polmérique. Ce retrait est tpiquement de 3 à 6 % : e m = ε m δ =,3 à,6.. Estimation des coefficients de dilatation thermique Le problème a déjà été abordé en partie dans la Fiche E. On considère les epressions de base et les conditions limites suivantes : Dans la direction, les déformations sont uniformes : ε = ε f = ε m (1) Dans la direction, les contraintes sont uniformes et, en fait, nulles car aucune contrainte n est appliquée : σ = σ f = σ f = () Lois des mélanges selon les deu directions (aucun cisaillement n intervient car on se situe suivant les aes de smétrie) : σ = v f σ f + v m σ m (3) σ = v f σ f + v m σ m (4) ε ε m = v f ε f + v m (5) ε = v f ε f + v m ε m (6) Lois de Hooke dans fibre et matrice : 1 ν εf = σ f f σ f + e f E f E f (7) ε f = ν f σ f + 1 σ f + e f E f E f (8) 1 ν εm = σ m m σ m + e m E m E m (9) ν ε m m = σ m + 1 σ m + e m E m E m () Les epressions de base étant écrites, l hpothèse () conduit à : ε f = 1 σ f + e E f f (7 ) ν f εf = σ f + e f E f (8 ) ε m = 1 σ m + e E m m (9 ) ν ε m m = σ m + e m E m ( ) Comme il n a pas de contrainte etérieure appliquée, on a, à partir de (3) : v σf = σ m m v f (11) et, compte tenu de (1) : ε m = ε f = e (1).1. Direction longitudinale À partir de (7 ) et (9 ), avec (11), on obtient : v m E m ε m + v m E m e m = v f E f ε f v f E f e f et (1) permet finalement d écrire : v f E f e f + v m E m e e m = (E1.7) v f E f + v m E m et le coefficient de dilatation longitudinal : (E1.8) = v f E f f + v m E m m v f E f + v m E m L Équ. E1.7 permet aussi d obtenir le coefficient longitudinal s il on a affaire à une epansion non thermique... Direction transversale L epression (6), en utilisant (8 ) ( ) et (7 ) (9 ) conduit à : ε = v f ν f (ε f e f ) + v f e f v m ν m (ε m e m ) + v m e m Comme aucune contrainte n est appliquée, on peut [D. ROUBY], [5], INA de Lon, tous droits réservés.

3 Dilatation thermique E1.3 écrire que ε f = ε m = e et on a alors : e = v f e f (1 + ν f ) + v m e m (1 + ν m )v f E f e (ν m v m + ν m v m ) (E1.9) et le coefficient de dilatation transversal : = v f f (1 + ν f ) + v m m (1 + ν m ) (ν m v m + ν m v m ) (E1.) La figure ci dessous montre un eemple d évolution en fonction du tau de fibres, des coefficients de dilatation longitudinal et transversal dans le cas du verre/épo. 7 Verre/épo 1D , f Fibres Longitudinal m Matrice Transversal,,4,6,8 1, Fraction volumique de fibres v f Figure Variation de et en fonction de v f. Verre/épo 1D. f = 5 MK 1, = 54 MK 1, E f = 7 GPa, E m =,76 GPa, ν f =,, ν m =,35 Cas du carbone/épo ( f =, E f >> E ) m (E1.11) = ; = v (1 + ν ) m m m Cas des fibres courtes orientées au hasard D (E E ) = 1 ( + ) + 1 ( ) E + (1 + ν ) E (E1.1) Pour en savoir plus : Une discussion détaillée, surtout du cas des fibres courtes est faite dans : T W CHOU, Microstructural design of fiber composites. Cambridge Universit Press Effets thermiques dans les stratifiés Cette partie vient en complément de l analse macromécanique des matériau stratifiés (Modules 7, 8 et 9) On considère ici les effets des déformations dites hgrothermiques ou non mécaniques qui apparaissent dans chaque pli : δ δ e = ε + ε β +ε et e = ε + ε β +ε Dans ce qui suit on raisonne avec les déformations thermiques (), mais il est très facile de prendre en compte les autres causes de déformation non mécanique (effet de prise d humidité, retrait de polmérisation, etc.) Rotation des coefficients de dilatation Dans un matériau unidirectionnel, la dilatation thermique conduit au déformations suivantes : (E1.) e = ε = (T T ) e = ε = (T T ) e s = εs = (par smétrie) Les coefficients de dilatation thermique obéissent donc au règles de transformation angulaire des déformations (cf. Équ. 3.14, Module 3) Dans un nouveau repère 1, désorienté d un angle θ par rapport au repère initial, (FIg.3), on a donc simplement : (E1.13) 1 = cos θ + sin θ = sin θ + cos θ 6 = ( ) sin (θ) Le coefficient de dilatation, 6 rendant compte d un cisaillement apparaît du fait de l anisotropie ( ). La figure 4 ci après montre un eemple de variation des coefficients de dilatation en fonction de l angle de désorientation dans le cas du verre/épo de la Fig.. [D. ROUBY], [5], INA de Lon, tous droits réservés.

4 Figure 3 La déformation finale du pli 1D est la somme de la déformation non mécanique et de cette induite par les contraintes qu il subit : (E1.14) ε i = ε j + ij σ j ) θ Verre/épo 1D alpha1 alpha alpha Angle de désorientation (degrés) Figure 4 Verre/épo 1D. Évolution de 1,, 6 en fonction de l angle θ. 3.. Contraintes thermiques résiduelles dans un stratifié La figure 5 ci dessous illustre ce qui se passe dans un stratifié [/9] lors du refroidissement après élaboration. T non liés liés ae 1 stratifié εt ε εt ε ε 1 (ε 1 ) σt σt Dilatation thermique E1.4 k 1 Figure 5 Refroidissement d un stratifié [/9] i les plis étaient libres, le pli à se contracte, [D. ROUBY], [5], INA de Lon, tous droits réservés. dans la direction 1, de : ε 1 = ε et le pli à 9, de ε = ε 1. Comme les plis sont liés, l incompatibilité précédente conduit à des déformations résiduelles, différentes dans chaque pli : ε T 1 = ε T.(pli à ) et ε T 1 = ε T.(pli à 9 ) Ces dernières induisent des contraintes résiduelles : σ T 1 = σ T (pli à ) et σ T 1 = σ T (pli à 9 ) En l absence d efforts appliqués on a : σ T (pli à ) + σ T (pli à 9 ) = Remarquons que si le stratifié est smétrique (cas du [/9] par e.) la déformée du stratifié reste plane. La déformation de l ensemble correspond alors au coefficient de dilatation du stratifié dans cette direction : ε 1. i ce n est pas le cas ([/9] T par e.), les contraintes résiduelles induisent un moment et donc une courbure résiduelle de la plaque k 1. On utilise souvent des stratifiés non smétriques pour estimer les contraintes résiduelles à partir de la mesure de la courbure. La procédure qui vient d être décrite dans un cas particulier simple peut se généraliser. On se base pour cela sur ce qui a été fait dans le Module 7 (comportement en membrane des stratifiés smétriques), Module 8 (comportement en fleion des stratifiés smétriques) et le Module 9 (cas général). Écrivons d abord la loi de comportement (E1.14) sous la forme inversée : (E1.15) σ i = Q ij (ε j ε j ) Elle s applique dans chaque pli et s eprime suivant les aes du stratifié (i, j = 1,, 6). La sommation sur l épaisseur du stratifié (cf. Modules 7, 8 et 9) conduit alors à : (E1.16) N i = A ij ε j + B ij k j N i M i = B ij ε j + D ij k j M i où les efforts N i et les moments M i, ainsi que les termes A ij, B ij, D ij ont déjà été définis dans les Modules 7, 8 et 9. Les nouvelles quantités sont définies comme suit : h h N i = Q ij ε i dz, et M i = Q ij ε i z dz h h (E1.17) Les déformations ε i et les courbures k i

5 Dilatation thermique E1.5 thermiques du stratifié résultent des termes N i et M i lorsque les efforts N i et les moments M i appliqués sont nuls. Elles sont données par les epressions suivantes pour le cas général (cf. Équ. 9.9, Module 9) : (E1.18) ε i = ij N j + β ij M j k i = β ij N j + δ ij M j L Équ. E1.16 peut donc être réécrite de la façon suivante : N i = A ij (ε j ε j (E1.19) ) + B ij (k j k j M i = B ij (ε j ε j ) + D ij (k j k j Dans l épaisseur du stratifié (pli par pli), les déformations thermiques résiduelles sont données par (elles peuvent dépendre de z, via la courbure éventuelle) : (E1.) ε i = e i + z k i et donc les contraintes thermiques résiduelles sont obtenues en tout point du stratifié par : (E1.1) σ i T = Q ij (ε j ε j ) = Q ij ε j La déformation résiduelle correspondante est : (E1.) ε i T = ε i ε i ε i est la déformation du stratifié en l absence d efforts etérieurs (N i = M i = ). Dans le cas d un stratifié smétrique (k i = ), ε i est lié (via ΔT) au coefficient de dilatation du stratifié (ε i = ε i ). La Fig. 6 est relative au même verre/épo que précédemment, mais cette fois stratifié smétrique [/9]. On constate que 1 et sont égau (,37 MK 1 ) et ne dépendent pas de l angle de désorientation, 6 est nul. La déformation ε M i, dite mécanique, due au N i, M i appliqués, est donnée par : (E1.3) M ε i = ε i ε i L Équ. E1.15 peut alors s écrire : (E1.4) ou bien : (E1.5) σ i = Q ij (ε M T j + ε j ) T σ i = Q ij ε j M + σ j La contrainte que subit chaque pli est la somme de la contrainte issue des efforts appliqués et de la contrainte thermique résiduelle σ i T. [D. ROUBY], [5], INA de Lon, tous droits réservés. T ) ) L utilisation des critères de limite (cf. Module 5) doit donc tenir compte de ces contraintes résiduelles Verre/épo [/9] alpha1 alpha alpha Angle de désorientation (degrés) Figure 6 Verre/épo [/9] Évolution de 1, et 6 en fonction de l angle θ. Annee : Utilisation du classeur de calcul EXCEL "TRATIFIE". Il utilise i et ΔT. Pour rendre compte des autres causes non mécaniques, on prend des valeurs de i et ΔT qui les simulent correctement. Les valeurs numériques des i et ΔT doivent être données sur la 1ère feuille "F1 Matériau 1D" en même temps que les données mécaniques. Dans les feuilles suivantes F, F3 et F4, les contraintes locales dans chaque pli sont eprimées par l'équ. E1.5 : c'est la somme des contraintes thermiques et celles induites par les efforts appliqués. L'analse des critères de limite (Tsaï Hill, Tsaï Wu, etc.) se font donc avec les contraintes thermiques résiduelles inclues. i on ne s'intéresse qu'au phénomènes mécaniques sans prendre en compte des contraintes résiduelles, il faut veiller à ce que ΔT soit nul. Les contraintes thermiques résiduelles seules (en l'absence de chargement eterne) sont données, pour chaque pli, dans la feuille F tratifié smétrique plan" dans une zone accessible via l'onglet "contraintes thermiques" : sth, sth, ssth et s1th, sth, s6th. Dans le cas général, si on peur savoir l'effet des contraintes thermiques, le plus simple est de mettre tous les efforts appliqués à.