MECANIQUE : VITESSE. Date : pour situer un événement dans le temps, on le "date" par rapport à une origine.

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1 MENIQUE : VITESSE La vitesse caractérise la rapidité avec laquelle un mobile passe d une position à une autre : elle fait donc appel à la notion de position dans l espace, et à la notion de temps. 1 : Notion de temps : Date : pour situer un événement dans le temps, on le "date" par rapport à une origine. Eemple : rthur a eu quarante-cinq ans le 3 avril 1 ; pour lui, l'origine des dates est donc le 3 avril 195. Le choi de l'origine est arbitraire : les Romains comptaient les années avant ou après la fondation de Rome, et le Nouvel n n est pas fêté en même temps par tout le monde... Durée : la durée est l'intervalle de temps qui sépare deu dates. Elle est indépendante du choi de l'origine. Eemple : la durée moenne d'un téléfilm est de 9 minutes. L'unité légale de temps est la seconde (s).. Equations(s) horaires(s) : Décrire un mouvement, c'est pouvoir donner la position du mobile à chaque instant. près avoir choisi un référentiel et un repère lié à ce référentiel, on peut, pour décrire un mouvement : - donner les trois coordonnées (,, z ) du point M à chaque instant (Fig. 1) ; les trois équations: = f(t), = g(t), z = h(t), Figure 1 sont appelées équations horaires du mouvement. M.Domon page 1/9

2 OURS DE MENIQUE - vitesse O Figure et le signe dans l autre cas. - donner l'équation f(, ) ou f(,, z) = de la trajectoire dans le repère, et choisir une origine O sur cette trajectoire pour définir une abscisse curviligne s (Fig. ) : l'équation horaire du mouvement est alors s = f(t), où s représente la longueur de l arc de courbe OM, avec le signe + si le parcours se fait dans le sens positif choisi, 3. Equations(s) horaires(s) et trajectoire : u lieu de tracer point par point les positions succesives du mobile en faisant varier la date, il est possible de déterminer la trajectoire à partir des équations horaires. Le résultat permet de situer le mobile dans l espace, mais plus dans le temps. Pour cela, on eprime la date en fonction de l une des coordonnées, en choisissant l équation la plus simple, et on reporte l epression obtenue dans les autres équations horaires. Eercice résolu Enoncé : un mobile a pour équations horaires : = t + z = -5t² + 3t + 3 quelle est l équation de sa trajectoire? Solution : la plus simple des deu équations horaires est celle qui lie à t : = t + t = ( )/ = /5 en reportant cette epression dans z(t), on obtient : z = -5(/5 )² + 3(/5 ) + 3 qui, une fois développé, donne : z = -5(²/5 8/5 + 1) + 3(/5 ) + 3 = - ²/ / = -²/5 + 3/5 8 qui est l équation d une parabole. M.Domon page /9

3 OURS DE MENIQUE - vitesse Un déplacement du mobile de la position M 1 à la position M peut donc être repéré : - par un vecteur déplacement : M M = OM OM par une variation d'abscisse : ds = s - s 1 et, pour un déplacement infiniment petit, un "vecteur variation d'abscisse" : d s = dom = d. i + d. j + dz. k Eercice résolu Enoncé : Un mobile se déplace sur un cercle centré en O, de raon R = 1m, dans le sens trigonométrique. Il occupe successivement les points suivants : : intersection avec l ae des, côté positif (origine des abscisses curvilignes) : intersection avec l ae des, côté positif : intersection avec l ae des, côté négatif D : intersection avec l ae des, côté négatif alculer le vecteur déplacement et la variation d abscisse curviligne pour chaque changement de position. Solution : les points ont pour coordonnées : : R, :, R : -R, O D :, -R, avec R = 1m. D où les vecteurs déplacement : = i + j D = i j D = + i j O D = + i + j D qui ont tous pour longueur m (1,1m), alors que chaque déplacement correspond à un quart de tour sur le cercle, soit une variation d abscisse curviligne de πm (3,1m). M.Domon page 3/9

4 OURS DE MENIQUE - vitesse Vitesse Vitesse moenne Dans le langage courant, c'est une grandeur scalaire : le quotient de la distance M 1 M parcourue sur la trajectoire 1 par la durée (t t 1 ) du trajet (Fig. 3). Figure I- Figure I- M M t 1 1 t Figure 3 v mo = M 1 M t t 1 Eercice résolu Enoncé : une automobile parcourt 5km en 5 mn ; calculer sa vitesse moenne. Solution : la vitesse moenne est le quotient de la distance parcourue sur la trajectoire par la durée du trajet ; en eprimant la distance en km et la durée en h, on obtient : 5 5. v = = = 7 km/h. 3 / 3 En eprimant les distances en m et la durée en secondes : v = = = m.s Remarque : le fait que le parcours soit effectué ou non en ligne droite n intervient pas dans ce calcul. 1 distinguer de la distance géométrique, qui est la longueur du segment de droite joignant M 1 à M.(cf. eercice résolu page 11) M.Domon page /9

5 Vecteur vitesse moenne : OURS DE MENIQUE - vitesse 1 mo 1 Figure Soient M 1, M, M les positions du mobile sur la trajectoire au dates t 1, t, t telles que t = ( t 1 - t )/. On appelle vecteur vitesse moenne au point M (Fig. ) : v mo M1M = t t 1 En général, cette notion est insuffisante pour décrire le mouvement. Par eemple, le vecteur vitesse moenne d un cheval de bois sur un manège, si on fait le calcul sur un nombre entier de tours, est nul, et, sur un nombre non entier, donne une valeur en général bien inférieure à la valeur réelle (cf. eercice suivant). Eercice résolu Enoncé : sur un manège, un cheval de bois décrit un cercle de raon R = m en 1 secondes. Déterminer son vecteur vitesse moenne pour : un quart de tour un demi-tour O un tour complet omparer les résultats obtenus avec la vitesse moenne (scalaire) D Solution : il faut choisir un repère pour décrire le mouvement ; le plus simple est de prendre deu aes perpendiculaires aant pour origine le centre du cercle, et des vecteurs unitaires i et j de longueur 1m. Il faut aussi choisir la position de départ sur le cercle. Par eemple, si le départ est le point de l ae des : pour un quart de tour, v mo = = i + j ; v mo = + = 188, m. s M.Domon page 5/9

6 OURS DE MENIQUE - vitesse pour un demi-tour, pour un tour complet, v v mo mo 8 = = i = i ; v mo = = 133, m. s 3 3 = = i + j ; v mo = m. s alors que la vitesse moenne est dans les 3 cas le rapport de la longueur d un tour sur sa durée, soit : v mo π. π 1 = = =, 9m. s 1 3 Vitesse instantanée : M M ' t ' Par définition, au point M à l'instant t, c'est la limite de la grandeur vectorielle : t v Figure 5. v = M M ' t'- t lorsque t'tend vers t (Fig. 5). Dans ce cas, M'se rapprochant de M, le support de MM'se confond avec la tangente à la trajectoire au point M. En utilisant la relation : MM ' = OM' OM, il est également possible d'écrire : dom d d dz v = = i + j + k. dt dt dt dt Le vecteur vitesse est alors calculé à partir des équations horaires. M.Domon page /9

7 OURS DE MENIQUE - vitesse ONLUSION : aractéristiques du vecteur "Vitesse instantanée": v = lim ite t' t M M ' t'- t Origine : le point M à l'instant t. Direction : tangente à la trajectoire au point M. Sens : celui du mouvement. Valeur : en mètres par seconde (m.s -1 ). Remarque : pour un référentiel donné, le vecteur vitesse est indépendant de l origine O choisie pour le repère, bien que le vecteur position en dépende. Soit O la nouvelle origine. Le vecteur position par rapport à cette origine est : comme, par rapport à la nouvelle origine : O M' = O O' + OM v = do' M dt on obtient, en remplaçant O' M par son epression : d O O' OM + do O' v = = dt dt dom dom + = dt dt car O et O étant deu points fies par rapport au référentiel, le vecteur joignant O à O est constant et sa dérivée est donc nulle. Une autre notation, dite "des mécaniciens", est aussi utilisée assez souvent : v =.i +.j + z.k ; v = s ds = dt dans cette notation, le cercle placé au-dessus d une grandeur indique sa dérivée par rapport au temps. M.Domon page 7/9

8 OURS DE MENIQUE - vitesse Remarque : dans la suite du cours, quand on parlera de «vecteur vitesse» sans autre indication, il s agira du«vecteur vitesse instantanée». Eercice résolu n 1 Enoncé : Déterminez la direction du vecteur vitesse instantanée au point sur les graphes ci-dessous, sachant que le mobile va de vers : Mobile Mobile Mobile O' M M.Domon page 8/9

9 OURS DE MENIQUE - vitesse Solution : au point, le vecteur vitesse instantanée est tangent à la courbe, et dirigé dans le sens du mouvement Mobile Mobile Mobile O' M Eercice résolu n Enoncé : les équations horaires d un mobile sont : = t + 5 = z = -5t² +3t +1 Déterminez son vecteur vitesse instantanée. Solution : Le mouvement se déroule dans le plan Oz ( = ) ; le vecteur vitesse s obtient par dérivation des équations horaires : d dz d dz v = i + k ; = ; = 1t + 3 ; v = i + ( 1t + 3) k dt dt dt dt la valeur et l orientation de la vitesse varient toutes deu dans le temps. M.Domon page 9/9