CH.17 : MECANIQUE DU SOLIDE

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1 COUS CH.7 : Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au pararaphe) **********************. CNEMATQUE DU SOLDE..... DSTBUTON DES VTESSES DANS UN SOLDE..... MOMENT CNETQUE D UN SOLDE AYANT UN PONT DE VTESSE NULLE MOMENT D NETE PA APPOT A UN AXE Définition Théorème de Huyens Trois moments d inertie «classiques» ENEGE CNETQUE D UN SOLDE AVEC UN PONT DE VTESSE NULLE MOMENT CNETQUE SCALAE LOS GENEALES DE LA DYNAMQUE DU SOLDE THEOEME DE LA ESULTANTE CNETQUE THEOEMES DU MOMENT CNETQUE Théorème du moment cinétique vectoriel Théorème du moment cinétique scalaire LOS DE CONSEVATON POU UN SOLDE SOLE THEOEME DE L ENEGE CNETQUE ACTONS DE CONTACT ENTE DEUX SOLDES GENEALTES FOTTEMENT DE GLSSEMENT PUSSANCE DES ACTONS DE CONTACT Cas énéral Cas d une liaison lissière Cas d une liaison pivot... 7 V. CONSELS POU LA ESOLUTON D UN POBLEME CNEMATQUE DU SOLDE **********************.. DSTBUTON DES VTESSES DANS UN SOLDE Soient () un référentiel quelconque, M et M deux points d un solide (S) ; on montre que : où : () t S!!!!!! v = v + M M ω M S M S S ω est le «vecteur vitesse instantanée de rotation» de (S) par rapport à (). ω = Exemples : translation : 0 S v = v M M rotation autour d un axe FXE passant par M : v = v = ω!!!!!!! M M M 0 M S Pae Christian MAE EduKlub S.A.

2 COUS.. MOMENT CNETQUE D UN SOLDE AYANT UN PONT DE VTESSE NULLE ω le vecteur rotation Soit O le point fixe ; M est un point quelconque du solide et S instantanée ;en énéralisant la définition du chapitre 4 à une distribution continue de masse, on peut écrire : σ =!!!! OM v dm =!!!! OM!!!! OM dm o M S M M S S ( ω ) Cette relation définit une application LNEAE de l espace vectoriel des rotations dans l espace vectoriel des moments cinétiques. Cette application est susceptible d une représentation matricielle : ( σo ) = [ Jo]( ωo ) où : [ ] J est la «matrice d inertie», symétrique, du solide (S) en O. o q : cette relation montre, qu en énéral, le moment cinétique n est pas colinéaire au vecteur rotation instantanée. q : la notion de matrice d inertie (sa diaonalisation, l existence d axes principaux d inertie ) n est pas au proramme : elle permet cependant de justifier les relations obtenues dans les pararaphes suivants MOMENT D NETE PA APPOT A UN AXE z Définition ( ') a u M r H G (S) On note J le moment d'inertie du solide (S) par rapport à un axe ( ) passant par O. u est un vecteur unitaire de cet axe; on pose: ( ) O y x ( J = HM dm= r dm M S M S J est en k. m ) q : un moment d inertie prend en compte la masse d un solide (par l intermédiaire de dm), mais éalement la manière dont cette masse se répartit (par l intermédiaire de r )..3.. Théorème de Huyens Si l on note J G le moment d inertie de (S) par rapport à un axe ( ), passant par le centre d inertie G du solide, alors on peut en déduire le moment d inertie de (S) par rapport à un axe ( ' ), parallèle à ( ) et distant de ce dernier de a, en écrivant : J J ma ' = G + (où m est la masse totale du solide) q : le théorème de Huyens n est pas explicitement au proramme (mais pas interdit) ; dans la plupart des cas, nous verrons que l on peut s en dispenser et on lui préférera les théorèmes de Köni. Pae Christian MAE EduKlub S.A.

3 COUS.3.3. Trois moments d inertie «classiques» emarque préliminaire : les calculs de moment d inertie ne sont pas au proramme et doivent être fournis par l énoncé ; dans le cas contraire, on se contentera de noter J le moment d inertie du système par rapport à l axe considéré. Les moments d inertie suivants sont donnés à titre indicatif ; on notera M la masse des solides : ( ) ( ) ( ) G L L sphère pleine homoène cylindre plein homoène barre mince homoène J 5 = M J = M J = ML.4. ENEGE CNETQUE D UN SOLDE AVEC UN PONT DE VTESSE NULLE E ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v M dm C S M S v M v M dm M S v M ω OM!!!! = = = dm M S E C S ( ) OM!!!! v = ω M dm ( ω M S peut dépendre du temps, l intération se faisant S selon les variables d espace) ; on reconnaît l expression du moment cinétique, d où : EC = ωs σo = ωs [( Jo) ωs ] En notant u un vecteur unitaire de l axe instantané de rotation ( ) calcul montre que l on a alors :.5. MOMENT CNETQUE SCALAE E C = J ω On s intéresse à la projection du moment cinétique vectoriel o rotation ; avec les mêmes notations que précédemment, on a : σ = u σ o S σ ; le, on a : ω = ω S S u sur l axe instantané de = «moment cinétique scalaire du solide (S) par rapport à l axe ( )» (dans le référentiel ()) () t = J ω () t On montre que : σ S Pae 3 Christian MAE EduKlub S.A.

4 COUS. LOS GENEALES DE LA DYNAMQUE DU SOLDE.. THEOEME DE LA ESULTANTE CNETQUE Pour un solide (S) de centre d inertie G, dans un référentiel (), la quantité de mouvement (ou résultante cinétique) s écrit : p v( M) dm = M S Théorème de la résultante cinétique : dp ; on en déduit : ma ext F dt = = G (pour m = cste) q : si () est non aliléen, il faut prendre en compte les forces d inertie dans les forces extérieures appliquées au solide... THEOEMES DU MOMENT CNETQUE... Théorème du moment cinétique vectoriel Le moment cinétique du même solide, calculé en un point A FXE dans le référentiel (), s exprime ainsi : σ!!!! = AM v( M ) dm A M S Théorème du moment cinétique vectoriel : ; il vient alors : dσ dt = M A ext A (= moment en A des forces ext.) q : si on applique le TMC en G, dans le référentiel barycentrique, les forces d inertie n interviennent pas, même si (*) n est pas aliléen (cf. chapitre 4). q : on rappelle (chapitre 4) la possibilité d utiliser le premier théorème de Köni pour calculer le moment cinétique en un point A quelconque à partir du moment cinétique barycentrique, soit :!!! σ A AG mv G * = σ + ( )... Théorème du moment cinétique scalaire Pour un solide en rotation autour d un axe FXE ( ), on peut projeter le TMC vectoriel sur cet axe pour obtenir : Théorème du moment cinétique scalaire : dσ dt dω = J = M dt S ext q : en pratique, c est ce dernier TMC que nous appliquerons, car la détermination du moment vectoriel des forces de liaison est en énéral incomplète..3. LOS DE CONSEVATON POU UN SOLDE SOLE ext ext F = M A = ; on obtient les deux relations : Pour un système isolé, on a : 0 et : P = cste!!!! σ = cste!!!! q : ces relations sont appelées «intérales premières du mouvement», où n interviennent que des dérivées premières du vecteur position : elles sont en principe plus simples que les théorèmes fondamentaux pour déterminer le mouvement d un solide. A Pae 4 Christian MAE EduKlub S.A.

5 COUS.4. THEOEME DE L ENEGE CNETQUE Dans le chapitre 4, nous avions remarqué que les forces intérieures à un solide ne travaillent pas ; on écrit donc : ext Théorème de l énerie cinétique : E = E () E ( = W ( ) C C C Dans le cas où toutes les forces sont conservatives, le TEC se ramène à la conservation de l énerie mécanique de la forme : ext Eméca = EC + EP = 0 (avec : E = W ( ) ) q : le TEC et la conservation de l énerie mécanique constituent éalement des intérales premières du mouvement. q : si le référentiel d étude est non aliléen, il suffit de prendre en compte le travail de la force d inertie d entraînement (la force de Coriolis, constamment perpendiculaire au déplacement, ne travaille pas). q3 : il sera souvent utile d appliquer le deuxième théorème de Köni, que nous rappelons ici : E = E + mv * C C G P. ACTONS DE CONTACT ENTE DEUX SOLDES.. GENEALTES Considérons deux solides ( S ) et ( S ) en contact ponctuel au point (à l instant t): nous distinuerons ce point purement éométrique, des points et respectivement «ravés» ( S ) et ( S ) ; on se place dans un référentiel () quelconque. sur les solides Nous supposerons qu il existe un plan (P) tanent en aux solides ; nous raisonnerons sur les fiures suivantes : ( S) n ω N ω S (P) v ( S ω T ω est à N ω appartiennent à (P), mais ne sont pas forcément colinéaires. et T v q : (P) ; On appelle «vitesse de lissement» du solide ( S ) par rapport au solide ( S la randeur : On note v = v v = v S S ω le vecteur rotation instantanée de ( ) S (cette vitesse ne dépend pas de ()) S par rapport à ( S ; on peut écrire : Pae 5 Christian MAE EduKlub S.A.

6 COUS!!!!!! vm S S = v S S + M ω S S = v + M ωs S ; par ailleurs : ω S S = ωn + ωt!!!!!! v = v + M ω + M ω M S N T D où : N v traduit le GLSSEMENT de ( S) sur ( S!!! M ω traduit le PVOTEMENT de ( S) sur ( S!!! M ω traduit le OULEMENT de ( S ) sur ( S ) T q : nous rencontrerons souvent le cas particulier du «roulement sans lissement» (SG), v = 0; ω = 0; ω = ω qui correspond à : N S T.. FOTTEMENT DE GLSSEMENT Les actions de contact au point exercées par le solide ( par leur résultante et leur moment résultant en, noté M T «moment de frottement de roulement» (soit M de frottement de pivotement» (soit M N S sur le solide ( S ) se caractérisent ; ce dernier se décompose en un appartenant au plan (P)), et en un «moment perpendiculaire au plan (P)). En pratique, les frottements de roulement et de pivotement sont très souvent nélieables (quelle belle invention que la roue!) ; dans les exercices et les problèmes, nous écrirons donc : M = 0 On décompose à son tour la résultante en : = N + T avec : N = réaction normale (au plan (P)) ; T = réaction tanentielle Les composantes N et T satisfont aux lois phénoménoloiques de Coulomb : Glissement de (S) sur (S : v 0 ; T et v sont COLNEAES, mais de sens CONTAE; T = f N Pas de lissement de (S) sur (S : v = 0 ; T f N q : f est appelé «coefficient de frottement de lissement» ; on distinue parfois un f (pour v = 0 f (pour v 0 coefficient statique S ), d un coefficient cinétique C ) : C S (comme on peut le constater lorsqu on essaie de mettre en mouvement un lourd objet ). q : on dit parfois que pour v = 0, la force T (qui, effectivement, tend à s opposer au lissement) «est de sens contraire à la vitesse v qui apparaîtrait en cas de lissement» ; cette notion est souvent délicate à manipuler, surtout lorsque les conditions initiales du mouvement sont quelconques : on retiendra qu il est préférable de travailler avec une randeur T alébrique, et que le sine de T se découvrira une fois les calculs menés (souvent, ce sine est directement lié à celui de l accélération du solide, qui peut varier au cours des différentes phases du mouvement et dépend des conditions initiales ). f f Pae 6 Christian MAE EduKlub S.A.

7 COUS.3. PUSSANCE DES ACTONS DE CONTACT.3.. Cas énéral On considère le mouvement de solides ( S et ( S ) en contact ponctuel, dans un référentiel () ; avec les mêmes notations que précédemment, la puissance des actions de contact exercées par le solide ( S sur le solide ( S ), calculée dans (), est donnée par : P = v S + ωs M( S) Pour le solide ( S : P = v + ω M ( S S Le principe de l éalité de l action et de la réaction permet d écrire : = et M( S S = M( S) v = v v et ω = ω ω Par ailleurs, on pose: puissance TOTALE des actions de contact entre les solides : S S S P= P + P = v + ω M ( S S ) S ; on peut alors exprimer la q : cette puissance est indépendante du référentiel (), elle ne dépend que du mouvement relatif des solides. q : dans le cas d un roulement sans lissement ( v = 0 (ce que ) où l on peut nélier M l on fera toujours, sauf spécification contraire de l énoncé), on a donc : P = Cas d une liaison lissière Dans ce type de liaison, les points de contact entre les solides seront tels que seuls des mouvements de translation seront autorisés ; les frottements de roulement et de pivotement seront nuls ( M = 0 en chaque point de contact), et l on aura : P= v = v T = v T 0 Liaison lissière parfaite : T = 0 P= Cas d une liaison pivot seront autorisées ; en notant un vecteur unitaire de l axe de rotation et en prenant un point O de cet axe, il vient : Dans ce type de liaison, seules les rotations autour d un axe ( ) u P= ω M = ω u M S O S O P= ω M S q : ( S représente ici le solide autour duquel ( S ) tourne et sur lequel ce dernier est articulé ; M est la projection sur l axe de rotation du moment vectoriel des actions de contact au niveau de l articulation. Liaison pivot parfaite : en l absence de frottement au niveau des surfaces de contact, les forces de contact sont normales à ces surfaces et passent par l axe de rotation ; on a alors : P = M = 0 0 q : ce dernier point est important, car dans ce type de liaison, nous ne sommes renseinés que sur une composante du moment des forces de liaison on devra appliquer le TMC scalaire. Pae 7 Christian MAE EduKlub S.A.

8 COUS V. CONSELS POU LA ESOLUTON D UN POBLEME Avant toute analyse «physico-mathématique», essayer de «sentir», de prévoir «intuitivement» les différentes phases du mouvement (lissement ou non lissement, oscillations, translation ou rotation pure ) ; mais rester prudent quant à ces conclusions intuitives, notamment en cas de «fortes modélisations» (liaisons parfaites par exemple). Définir clairement le système et le référentiel d étude, et trouver le nombre de derés de liberté du système (nombre de paramètres indépendants permettant de caractériser la position du système à tout instant) : on peut trouver un premier nombre «à priori», puis un second qui prend en compte des relations supplémentaires attendues (cas de la SG par exemple). On connaît alors le nombre d équations scalaires indépendantes nécessaires à la détermination des paramètres : dans le cas des systèmes à un deré de liberté, on donnera la préférence aux intérales premières du mouvement (ces dernières conduiront, en énéral, plus rapidement à la position du système, puisqu elles ne comportent que des dérivées premières du vecteur-position). Faire un bilan complet des forces appliquées au système, sans oublier les forces de liaison ; les classer en forces intérieures et extérieures (si des forces intérieures sont inconnues, les théorèmes énerétiques seront inexploitables pour un système qui n est pas un solide) ; remarquer si elles dérivent d un potentiel ou non. Choisir le ou les théorèmes à appliquer en fonction des éléments ci-dessus (dans le cas du TMC, il faut avoir conscience du fait que, le moment vectoriel des forces de liaison étant en énéral inconnu, on appliquera le TMC scalaire, qui ne fournira qu une relation entre les paramètres du système). Choisir la ou les bases de projection, à ne pas confondre avec la notion de référentiel : si le référentiel d étude est aliléen, on ne prendra pas en compte les forces d inertie, même si la base de projection est mobile (base de Frénet, base cylindrique ). Le «meilleur» choix n est pas toujours évident et demande de la pratique ) On peut être amené à appliquer les théorèmes à plusieurs systèmes (certains pouvant être des sous-systèmes du système principal). Dans le cas du TMC, on choisira un point d application (TMC vectoriel) ou un axe (TMC scalaire) par lesquels passent les forces «encombrantes» ; on pensera en premier lieu à l appliquer dans le référentiel barycentrique (même s il est non aliléen, on ne tiendra pas compte des forces d inertie). La relation de SG ( v = 0 ), combinée avec la distribution des vitesses dans un solide (avec le centre d inertie G, elle s écrit : supplémentaire entre vg ( ) relation sera simple si ( inéalité entre T et N. et En revanche, en cas de lissement,!! vg ( S ) = v ( S ) + G ωs ω S S ; en effet : v = 0 v( S ) = v( ) ), fournit une relation (cette S est fixe dans ()). Par ailleurs, toujours en cas de SG, il n y a qu une v n est pas donnée, mais on sait que : T = f N On peut remarquer une «affinité» entre le TEC et le TC (exprimé en coordonnées cylindriques) : pour une rotation autour d un axe fixe, θ par dérivation, puis les reporter dans ( ') EC = J θ on peut obtenir ' a = r r( θ ') et a = rθ + r' θ '. r θ. θ et Enfin, c est la mise en équation qui est essentielle : leur résolution analytique n est pas toujours possible, on peut se contenter d une analyse raphique ou d une résolution numérique. Pae 8 Christian MAE EduKlub S.A.