LEÇON N 31 : Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications.

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1 LEÇON N 3 : Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. pplications. Pré-requis : ngles orientés de vecteurs, mesure principale, notation «modulo» ; Relation de Chasles ; π = mesure de l angle plat (indépendant de l orientation choisie du plan) ; Pour tout triangle C, (, C) + ( C, ) + ( C, C) = π (mod 2π). On se place dans le plan affine euclidien orienté P. 3. L angle inscrit Définition : Soient C un cercle de centre O et M,, trois points distincts de ce cercle. L angle orienté ( M, M) est appelé l angle inscrit. L angle ( O, O) est appelé l angle au centre. Théorème : Soient C un cercle de centre O et M,, trois points distincts de ce cercle. On a alors 2 ( O, O) = ( M, M) (mod π) ou ( O, O) = 2( M, M) (mod 2π). Comme les triangles OM et OM sont isocèles, on a M ( O, OM) = π 2( MO, M) (mod 2π) et ( OM, O) = π 2( M, MO) (mod 2π). / / O / En utilisant la relation de Chasles, on obtient donc ( O, O) = 2π 2 ( ( M, MO) + ( MO, M) ) d où le résultat. = 2( M, M) (mod 2π) = 2( M, M) (mod 2π), (mod 2π)

2 2 Théorème de l angle inscrit Corollaire : Soit τ la tangente au cercle C en, et T un point de τ. lors 2 ( O, O) = ( T, ) τ Soit le point de C diamétralement opposé à. lors (, ) = ( T, ) τ O T Donc, par le théorème, on a d où le résultat. 2 ( O, O) = (, ) (mod π) = ( T, ) (mod π), Corollaire 2 : On a ( T, ) = ( M, M) Le corollaire implique que 2 ( O, O) = ( T, ) Le théorème, quant à lui, implique que 2 ( O, O = ( M, M) Par soustraction membre à membre, on obtient 0 = ( T, ) ( M, M) (mod π), soit ( T, ) = ( M, M) 3.2 Lignes de niveau Dans la suite, et sont deux points distincts de P, et α un réel donné. On pose Γ α π = {M P ( M, M) = α (mod π)} et Γ α 2π = {M P ( M, M) = α (mod 2π)}. Proposition : (i) Si α = 0 (mod π), alors Γ α π = () ; (ii) Si α 0 (mod π), alors Γ α π est le cercle passant par et de centre l intersection de la droite perpendiculaire à (T) (elle-même définie par ( T, ) = α (mod π)) passant par et de la médiatrice de []. Le cas (ii) ci-dessus est illustré dans cette démonstation. (i) trivial

3 Théorème de l angle inscrit 3 (ii) Nous allons montrer la double inclusion : Soient T un point tel que ( T, ) = α (mod π), O l intersection de la perpendiculaire à (T) passant par et de la médiatrice D de [], et C le cercle de centre O passant par (et donc aussi par ). Remarquons que (T) est la tangente à C en. Si M est un point de C, le corollaire 2 nous assure que ( M, M) = α (mod π), donc M Γ α π. On a donc C Γ α π. Réciproquement, si M Γ α α π, alors on a par hypothèse (α 0 (mod π)) que M,, sont non alignés. Il existe T donc un cercle C passant par ces trois points. Soient O son centre et τ la tangente en à C et T τ. lors par le corollaire 2, ( T, ) = ( M, M) (mod π), ce qui détermine τ et O (comme intersection de " " et D). Donc C = C et M C, d où Γ α π C. O α M Proposition 2 : (i) Si α = 0 (mod 2π), alors Γ α 2π = ()\[] ; (ii) Si α = π (mod 2π), alors Γ α 2π =][ ; (iii) Sinon, Γ α 2π est l un des deux arcs ( et exclus) suivant le cercle défini dans la proposition (ii), déterminé par l appartenance de α (mod 2π) à l intervalle ] π, 0[ ou ]0, π[. (i)-(ii) trivial (iii) Remarquons que Γ α π = Γ α 2π Γα+π 2π, donc Γα 2π Γα π. Or (, M) et ( M, M) sont de même sens et changent donc simultanément de sens selon la position de M par rapport à la droite () (par hypothèse, M ()). Si la mesure principale d un angle ( M, M) défini modulo 2π pour un point de Γ α 2π est dans ]0, π[ (resp. ] π, 0[), celle d un angle analogue pour un point de Γ α+π 2π est dans ] π, 0[ (resp. ]0, π[). Par suite, les angles ( M, M) pour M Γ α 2π et M Γα+π 2π sont de sens opposés, donc Γ α 2π est l un des arcs et Γα+π 2π l autre. M Conséquence de la proposition : On a le critère de cocyclicité suivant : Théorème 2 : Quatre points,, C, D distincts sont alignés ou cocycliques si et seulement si ( C, C) = ( D, D)

4 4 Théorème de l angle inscrit : Si alignés, l égalité est immédiate. Supposons alors,, C, D cocycliques et notons O le centre du cercle obtenu. lors le théorème nous assure que 2 ( O, O) = ( C, C) (mod π) et 2 ( O, O) = ( D, D) D où ( C, C) = ( D, D) (mod π), : Notons α la mesure principale de ( C, C), de sorte que ( C, C) = α (mod π) et ( D, D) = α D où C, D Γ α π et donc, par la proposition, C, D () si α = 0 (mod π) et les quatre points sont alignés, ou alors C, D C avec C cercle passant par et, et les quatre points sont cocycliques. 3.3 pplications 3.3. Symétries Proposition 3 : Soit C un triangle non aplati, H son orthocentre et C son cercle cireconscrit. Les trois cercles définis par symétrie de C par rapport aux côtés du triangle sont concourrants en H. (les notations supplémentaires présentes sur la figure seront introduites dans la démonstration) H 3 C H H C H 2 Soient H, H 2 et H 3 les symétriques de H par rapport à (C), (C) et (). Par définition de la hauteur, ( C, HC ) = π 2 (mod π) et (, H ) = π 2 Donc d après le théorème 2, les points, H,, C sont cocylciques. De plus, puisqu une symétrie axiale change les angles orientés en leurs opposés, on a les égalités suivantes, modulo π : ( H, H C) = ( H, HC) = ( H, HC ) = ( HC, H ) thm 2 = ( C, ) = (, C), donc (toujours par le théorème 2), les points,, C, H sont cocycliques, d où H C. On montre de la même manière que H 2, H 3 C. Le symétrique de C (contenant, C, H ) par rapport à (C) passe donc par, C et H, et on montre ainsi avec les deux autres cercles que le point H est leur seul point d intersection.

5 Théorème de l angle inscrit Point de Miquel Proposition 4 : F Soit C un triangle non aplati, D une droite coupant respectivement (C), (C) et () en D, E et F. Les cercles circonscrits aux triangles C, DF, EF, DEC sont concourrants en un point appelé point de Miquel. D E D C Notons C à C 4 les quatres cercles donnés par l énoncé (dans le même ordre). est une intersection de C et C 2, nous allons donc noter M l autre. On a alors que M, car sinon il existerait une homothétie transformant C en C 2, en particulier en F et C en D, ce qui impliquerait que (C) // (DF), ce qui est absurde. On montre de même, en utilisant C 2 et C 3, que M E. Ensuite, M (resp. M C, M D, M F ) car sinon C 2 (resp. C 2, C, C ) contiendrait,, F (resp., C, D ;, C, D ;,, F ) qui sont alignés. On peut ainsi appliquer le théorème 2 au cercle C 2 : ( DM, DF) = ( M, F) (mod π) ( DM, DE) = ( M, ) (mod π), et au cercle C : ( CM, C) = ( M, ) (mod π), donc ( DM, DE) = ( CM, C) (mod π) = ( CM, CE) (mod π), et donc M C4. De plus, ( DM, D) = ( DM, DC) (mod π) ( FM, F) = EM, EC) (mod π) (théorème 2 dans les cercles C 2 et C 4 ), ce qui est encore équivalent à ( FM, F) = EM, E) (mod π) M C 3. Finalement, le point M se trouve sur chacun des cercles C à C 4, le résultat est ainsi démontré.

6 6 Théorème de l angle inscrit Droite de Simson Proposition 5 : S P Soit C un triangle non aplati, S P et P, Q, R les projetés orthogonaux de S sur les trois côtés. lors P, Q, R sont alignés si et seulement si S est sur le cercle circonscrit au triangle C. R Q C On a (C) (RS) et () (QS), donc ( R, Q) = (, C) (mod π) = ( SR, SQ) (mod π) thm 2, S, R, Q cocylcilques thm 2 ( RQ, RS) = ( Q, S) On montre de même que (C) (PS) et (C) (RS) thm 2 ( RS, RP) = ( CS, CP) Donc ( RQ, RP) = ( RQ, RS) + ( RS, RP) = ( Q, S) + ( CS, CP) insi, P, Q, R alignés ( RQ, RP) = 0 (mod π) ( Q, S) = ( CP, CS) (mod π) (, S) = ( C, CS) (mod π) S,,, C cocycliques S est sur le cercle circonscrit au triangle C. c 200 par Martial LENZEN. ucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l article L du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite sans l autorisation expresse de l auteur.