3. Déterminer la mesure du rayon du cercle-section au décimètre près. Exercice 4

Transcription

1 Exercice 1 n considère la sphère et les deux cylindres représentés cidessous : 1. Quelle est la nature de la section de la sphère avec le plan (P)? 2. Quelle est la nature de la section du premier cylindre avec le plan (Q) qui est perpendiculaire à l axe de révolution du cylindre? P Q. Quelle est la nature de la section du second cylindre avec le plan () qui est parallèle à l axe de révolution du cylindre? Correction 1 Le fichier n existe pas Exercice 2 La figure ci-dessous représente la section d une sphère S par un plan (P). n note C le cercle section obtenu. 1. Que peut-on dire des points, et représentés dans la figure cidessous? 1. Que représentent chacun les longueurs, et? 2. Quelle est la nature du triangle? Correction 2 1. Le point est le centre de la sphère ; le point est le centre du cercle-section ; le point est un point appartenant au cercle-section et à la sphère. 2. est un rayon du cercle-section ; est un rayon de la sphère ; La distance représente la distance séparant le centre de la sphère au plan-section.. Le triangle est un triangle rectangle en. Exercice Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). ucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. ucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte. Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous : Le point appartient... à la sphère de centre et de rayon M à la boule de centre et de rayon au plan P M La distance du point au plan M P est... Si M=11,7 cm et M=10,8 cm, alors =... 4,5 cm 1,2 cm 20,25 cm Correction 1. Le point appartient à la boule de centre et de rayon M. 2. La distance du point au plan (P) est. M (P) est le centre de la sphère, le plan P coupe la sphère suivant un cercle de centre, M est un poin de ce cercle, est le milieu de [].. Dans l étude de la section d une sphère par un plan, le triangle formé du centre de la sphère, du centre du cerclesection et d un point du cercle section est un triangle rectangle. n en déduit que le triangle M est un triangle rectangle en M. D après le théorème de Pythagore, on a l égalité : M 2 = 2 + M 2 11,7 2 = ,8 2 2 = 11,7 2 10,8 2 2 = 16,89 116,64 2 = 16,89 116,64 2 = 20,25 = 20,25 = 4,5 cm

2 Exercice 4 Soit S une sphère de rayon 12 m et un plan P situé à une distance de 7 m du centre de la sphère. P I 1. Justifier que les droites (I) et (I) soit perpendiculaire entre elles. 2. elativement à la sphère et au cercle-section, que représentent chacune des longueurs I, I et. Exercice 5 n rappelle la formule du volume d une boule qui est : V = 4 π 1. Calculer la valeur, arrondie au cm, du volume d une boule de rayon =7 cm. 2. n réalise la section de la sphère de centre et de rayon =7 cm par un plan, représenté ci-dessous. Quelle est la nature de cette section?. Déterminer la mesure du rayon du cercle-section au décimètre près. Correction 4 1. Le triangle I est formé du centre de la sphère, du centre du cercle-section et d un point de la section. n en déduit que le triangle I est un triangle rectangle en I. 2. La longueur I représente la distance séparant le centre de la sphère au plan-section ; la longueur I est le rayon du cercle-section ; la longueur est le rayon de la sphère.. Le triangle I est rectangle en I, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité suivante : 2 = I 2 + I = I = I I 2 = I 2 = 95 I = 95 I 9,7 m. Calculer la valeur exacte du rayon de cette section sachant que =4 cm. Correction 5 1. Le volume d une sphère de rayon 7 cm a pour valeur : V = 4 π = 4 π 7 = 172π 147 cm 2. La section d une sphère par un plan est un cercle.. Le triangle formé du centre de la sphère, du centre du cercle-section et d un point de la section est un triangle rectangle. n en déduit que le triangle est un triangle rectangle en. Le triangle est un triangle rectangle. D après le théorème de Pythagore, on a l égalité : 2 = = = = = = cm Exercice 6 Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire l quarium du Pacifique. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l entrée, dont la vitre a une forme sphérique. La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure n est pas en vraie grandeur.

3 T Partie visible (calotte sphérique) constant de l eau de mer pour remplir l aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y injectent litres d eau de mer. u bout de combien d heures de fonctionnement, les pompes auront-elles rempli l aquarium? Partie enfouie Sol 1. Calculer le volume en m d une boule de rayon 5 m. Donner l arrondi à l unité près. n rappelle la formule du volume d un boule de rayon : V boule = 4 π 2. En réalité, l aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible aux visiteurs) est une calotte sphérique. La partie inférieure (enfoui) abrite les machines. a. Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l aquarium (la partie grisée sur la figure)? b. Le point désigne le centre de la sphère. n donne les dimensions réelles suivantes : = cm ; = 5 m ; = 4 m où et sont les points placés sur le sol comme sur la figure. Le triangle est-il rectangle? Justifier.. a. T est un point de la sphère tel que les points T,, soient alignés comme sur la figure. Calculer la hauteur T de la partie visible de l aquarium. b. Le volume d une calotte sphérique de rayon 5 m est donné par la formule : V calotte = π h2 (15 h) où h désigne sa hauteur (correspondant à la longueur T sur la figure.). Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique. c. Pour cette question, on prendra comme volume de l aquarium litres. Des pompes délivrent à débit Exercice 7 Correction 6 1. Une boule de rayon 5 m a un volume arrondi au mêtre près : V = 4 π = 4 π 5 = 4 π 5 = 500 π 524 m 2. a. L aquarium est une sphère et le sol est représenté par un plan. L intersection d un plan et d une sphère forme un cercle. b. n remarque les valeurs suivantes : 2 = 5 2 = = = = 25 n remarque l égalité : 2 = Le triangle vérifie l égalité de Pythagore, on en déduit que le triangle est rectangle en.. a. Les segment [T ] et [] sont deux rayons de la sphère. n en déduit l égalité : T = = 5 cm insi, la hauteur T a pour valeur : T = + T = + 5 = 8 m b. insi, le volume de la calotte sphérique est obtenu par : V = π h2 (15 h) = π 82 (15 8) = π 64 7 = 448 π 469,1445 m ,5 dm dm c. En notant x le nombre d heures de fonctionnement et sachant que les pompes délivrent un débit constant, on obtient le tableau de proportionnalité suivant : Nombre de litres Durée 2 x D après le produit en croix, on obtient l égalité : = x x = x = 67 Les pompes doivent fonctionner pendant 67 h pour remplir cet aquarium. N La terre est assimilé à une sphère de rayon 6 70 km. Equateur G B S 1. n considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (N S) et équidistant de ces deux pôles. L intersection de

4 ce plan avec la terre s appelle l équateur. Calculer la longueur de l équateur arrondie au kilomètre près. 2. n note le centre de la terre et G un point de l équateur. n considère deux points et B situés en frique sur l équateur. Ces points sont disposés comme l indique le schéma ci-dessus. n sait que : G=42 o ; GB =9 o. Calculer la longueur de l arc ÃB, portion de l équateur située en frique arrondie au kilomètre près. Correction 7 1. L équateur est un cercle de rayon Sa circonférence a pour valeur : Exercice 8 Le dessin ci-dessous représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6 70 km de rayon. Le cercle de centre passant par M représente l équateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure). n admettra que l angle LS est un angle droit. n donne S =4 880 km. L M S 1. Calculer SL au kilomètre près. 2. Calculer la mesure de l angle SL arrondie au degré près.. En déduire au degré près la lattitude Nord de Londres par rapport à l équateur, c est à dire l angle LM. Correction 8 1. Le rayon de la terre est d environ 6 70 km. n en déduit : L = 6 70 km Le parallèle comprenant le point L est la section de la sphère par un plan parallèle à l équateur et passant par le point L. Le triangle SL est formé du centre de la sphère, du C = 2 π r = 2 π km 2. Des données de l énoncé, on en définit que l arc ÃB est définie par un angle au centre ayant pour mesure : B = o n a proportionnalité entre la mesure d un arc et la mesure de l angle définissant cet arc. n obtient le tableau de proportionnalité ci-dessous : Longueur de l arc 60 ngle au centre x D après le produit en croix, on obtient l égalité : 60 x = x = 60 x km centre du cercle-section et d un point du cercle section : on en déduit que le triangle SL est rectangle en S. Dans le triangle SL est rectangle en S, d après le théorème de Pythagore, on a : L 2 = S 2 + SL = SL 2 SL 2 = SL 2 = SL 2 = SL = SL 4094 km 2. Dans le triangle SL rectangle en S, on a le rapport trigonométrique suivant : cos SL = S L cos SL = Les relations trigonométriques inverses donnent l égalité : ( ) SL = cos SL 40 o. Le plan contenant le parallèle de Londres est parallèle au plan de l équateur. Sachant que la droite (S) est perpendiculaire au plan contenant ce parallèel, on en déduit que la droite (S) est également perpendiculaire à l équateur. n en déduit que l angle MS est un angle droit. Sachant que les angles SL et LM sont adjacents, on a : SL + LM = 90 ML = 90 SL ML = ML = 60 0 Londres a pour la lattitude : 60 o N. Exercice 9 n considère sur la terre, quatre points, B, C, D où on connait les coordonnées géographiques des points et B : : 0 o S 10 o W B : 55 o N 10 o E Déterminer les coordonnées géographiques des N B D C

5 . Correction 9 Le point C est sur le même parallèle que la ville, on en déduit qu ils ont même lattitude : la lattitude du point C est 0 o S. Le point C est sur le même méridien que la ville B : ils ont même longitude. n en déduit que le point C a pour longitude : 10 o E. Le point C a pour coordonnées : 0 o S 10 o E. Le point D est sur le même parallèle que la ville B : les points B et D ont la même lattitude. La lattitude du point D vaut 55 o N. Le point D est sur le même méridien que le point : ils ont même longitude. La longitude du point D est 10 o W. Le point D a pour coordonnées : 55 o N 10 o W.