2 Géométrie dans l espace TS 2015/2016 Exercices

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1 Exercices Exercice 2. 1 est un cube (cf annexe). Les points, ", #,$,%,&,',( sont les milieux de certaines arêtes du cube. Dans chaque cas construire la section du cube par le plan 0. a. 0 = ( ) ; b. 0 = (") ; c. 0 = (#$%) ; d. 0 = ( %&) ; e. 0 = ('() ; f. 0 = (# $). Exercice 2. 2 est un tétraèdre., ", # sont les points définis par = , # = , " = : 1. a. Préciser la position relative de ( ") et (). b. Préciser la position relative de ( ") et (). c. Préciser la position relative de ( ") et (). d. Placer le point d intersection de ( ") et (). 2. a. Préciser la position relative de ( "#) et () b. Tracer l intersection de ces deux plans. Exercice 2. 3 est un tétraèdre, (cf annexe) (), () et (). On suppose que la droite () n est pas parallèle au plan (). 1. Placer le point d intersection de () et du plan (). 2. Représenter la section du tétraèdre par le plan (). Exercice 2. 4 est un tétraèdre (cf annexe). Les points,",#,$ sont les milieux respectifs des segments DE, DE, DE, DE et % est un point de la face. Dans chacun des cas, construire la section du tétraèdre par le plan 0. a. 0 = ( %) ; b. 0 = ( "$) ; c. 0 = (#$%) ; d. 0 = ( $%) ; e. 0 est le plan passant par et parallèle aux droites () et (). Exercice 2. 5 (page 308 n 30) cf page 308 n 29 Soit le cube. 1. Représenter les points, " et # définis par = , " = et # = Exprimer le vecteur " en fonction des vecteurs , et Même question avec le vecteur "# En déduire que les points, " et # sont alignés. Exercice 2. 6 est un tétraèdre, est le milieu de DE, # est le point tel que # # + # # = 056 et est le centre de gravité du triangle, c est à dire le point tel que = Démontrer que = En déduire que les points, et sont alignés. 2. Démontrer que #, et sont alignés. Exercice 2. 7 est un cube, et " sont les points tels que = et 3" = Construire le point # intersection du plan (") et de la droite (). 2. Trouver le nombre R tel que # = R En déduire que ( ) est parallèle au plan ("). Exercice 2. 8 ROC On se propose de démontrer la théorème du toit. Soient ' 7 et ' 9 deux plans sécants suivant une droite S et soient T 7 et T 9 deux droites parallèles telles que T 7 ' 7 et T 9 ' Justifier que si T 7 et T 9 sont confondues alors T 7 = T 9 = S. 2. On suppose que T 7 et T 9 ne sont pas confondues. Soit W un vecteur directeur de T 7 et W56 un vecteur directeur de S. a. En supposant que T 7 et S ne sont pas parallèles démontrer que (W ;W56) est un couple de vecteurs directeurs de ' 7. En déduire que ' 7 et ' 9 sont parallèles. b. En déduire que W et X6 sont colinéaires puis que T 7 et T 9 sont parallèles à S. Exercice 9 Soient Y R [,, et trois points de l espace. On considère les points et définis par les égalités vectorielles : Y = 056 et = Exprimer en fonction de et de Y. 2. Soit ] la fonction définie sur R [ par ](Y) = 8[^. ^ a. Montrer que Y R [ ; 0 ](Y) < 1. b. Montrer que pour tout b D0 ;1D il existe un réel positif Y tel que ](Y) = b. c. Montrer que l ensemble des points lorsque Y décrit R [ est le segment D E privé de. 13

2 Exercice cf page 310 n 44 à 47 Dans un repère cd ;e6,f6,r56g on donne les points (5 ;0 ;0), (2 ; 1 ;1), (10 ;1 ; 2) et (3 ;2 ;1). 1. On pose W56 = , X6 = et i556 = Démontrer que ( ; W56,X6,i556) est un repère de l espace. 2. On se place dans le repère ( ; W56,X6,i556). est le milieu du segment DE, $ est le point tel que 3$ = et est le centre de gravité du triangle. Démontrer que les droites ( ) et ($) sont parallèles. 3. Soit " le point tel que 3" = Démontrer que la droite (") est parallèle au plan () Exercice On considère un cube. 1. Justifier que j = c ; , , g est un repère de l espace. Dans la suite de l exercice l espace est rapporté au repère j. 2. Donner sans justification les coordonnées des sommets du cube. 3. Déterminer les coordonnées des points, " et #, milieux respectifs des faces, et. 4. a. Démontrer que les points,, " et # sont coplanaires. b. Tracer la section du cube par le plan ( "#). 5. a. Démontrer que le centre de gravité $ du triangle est également le centre de gravité du triangle "#. b. Démontrer que les points, et $ sont alignés. 5. a. Quelle est la nature du triangle "#? b. Démontrer que () est perpendiculaire au plan ( "#). 6. Calculer le volume du tétraèdre "#. Exercice (Centres étrangers, juin 2011) 14 Exercice cf page 315 n 85 à 88, 91 à Donner un point et un vecteur directeur de la droite T de représentation o = 2Y + 1 paramétrique np = 3Y r où Y R. q = 2 2. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par (1 ; 3 ;4) dirigée par le vecteur W56(4 ;6 ; 8). 3. Soient (2 ;1 ; 1) et (2 ; 1 ;1). a. Donner une représentation paramétrique de la droite (). b. Donner une représentation paramétrique du segment DE. c. Donner une représentation paramétrique de la demi-droite D). o = 4 4. Soit la droite de représentation paramétrique np = 3Y r où Y R. q = Y a. Le point (1 ; 3 ;13) appartient-il à? b. Le vecteur W56(0 ; 1 ; 4) dirige-t-il? c. Déterminer les coordonnées du point de de paramètre Soient ( 2 ;0 ; 2) et (13 ; 10 ;3). o = 1 3Y a. La droite () admet-elle pour représentation paramétrique np = 2 + 2Yr où Y R? q = 1 Y b. Déterminer les coordonnées du point de () d abscisse 5. c. La droite () passe-t-elle par le point u 10 ; 7v 8 ; 7: 8 w?

3 Exercice cf page 315 n 64 L espace est rapporté à un repère orthonormé cd ;e6,f6,r56g. On note T la droite passant par 1 ; h2 ; h1 et 3 ; h5 ; h2. o 1 1 N 2Y 1. Démontrer qu une représentation paramétrique de T est np 1 h2 h 3Yr où Y Z. q 1 h1 h Y o 1 2 h Y x 2. T x est la droite de représentation paramétrique np 1 1 N 2Y x r où Y x Z. q 1 Y x Démontrer que les droites T et T x ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan ' passant par le point 0 ; h3 ;0 et dirigé par les vecteurs W561 ; h4 ;0 et X60 ; h5 ;1. a. Démontrer que ' contient T. b. Démontrer que le plan ' et la droite T x se coupent en un point dont on déterminera les coordonnées. o 1 3 N 2Y o 1 7 h 4Y np 1 5 h 2Yr où Y Z et np 1 1 N 4Yr où Y Z. q 1 1 N Y q 1 3 h 2Y Exercice Amérique du nord n 3 Exercice cf page 313 n 66 à 76, page 315 n 82 à Déterminer un vecteur normal de chacun des plans suivants : a. ' o N p N ; b. ' q 1 2o h ' est le plan passant par 3 ;1 ; h2 et de vecteur normal z564 ;6 ;3. a. Déterminer une équation cartésienne de '. b. Le point 0 ;2 ;0 appartient-il à '? 5. a. Justifier que les points 0 ; h2 ; h1, 2 ;7 ;2 et 1 ;4 ;2 définissent un plan. b. Démontrer que le plan admet pour équation cartésienne 3o N p h 5q h c. Le vecteur z56h6 ; h2 ;10 est-il normal au plan? Exercice Dans chacun des cas suivants donner une représentation paramétrique de la droite parallèle à T et passant par h4 ;5 ; h2. a. T 1 où h1 ;3 ; h8 et h3 ;3 ; h4. o 1 2 b. T a pour représentation paramétrique np 1 h2y r où Y Z. q 1 2 h 5Y 2. On donne les droites T et T x de représentations paramétriques : o 1 6 h 3Y o 1 h3 N Y np 1 h7 N 2Yr où Y Z, np 1 h3 r où Y Z. q 1 h1 N Y q 1 h5 N 2Y a. Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. b. T et T x sont-elles perpendiculaires? 3. Montrer que les systèmes d équations suivants déterminent une même droite. 15 Exercice Dire si les plans sont parallèles, perpendiculaires ou ni l un ni l autre. a. ' o N 3p h q 1 0 et ' x :ho N 2p N 5q N ;

4 b. ' ~ q +110 et 'x h3ohphqn 9 10 ; c. ' ohpnqn110 et ' x o1p ; d. ' oh2pnq13 et ' x q1hon2ph5. 2. a. Justifier que les plans ' oh3pn2q15 et ' x 2oNpN7q11 sont sécants et donner une représentation paramétrique de leur intersection. b. Même question avec ' on2pnq11 et ' x onpnq Donner une équation du plan ' x parallèle à ' d équation h2onqh110 et passant par le point h5 ;0;7. Exercice Nouvelle Calédonie n 3 Exercice cf page 316 n 94 à Etudier les positions relatives du plan ' et de la droite T. o12yn1 a. ' ohpnq10 et T np1hyh1roù Y Z ; q1yn2 o1hyn1 b. ' on2pnq1h1 et T np12 r où Y Z. q1yn3 o1hyhy x 2. Soient 0 ;3; h4, 4 ;2;1 et ' np1hy x N1 roù Y ;Y x Z 9. q12yn3y x h2 a. Donner une représentation paramétrique de la droite. b. Vérifier que 2oNpNqN110 est une équation de '. c. Démonter que et ' sont sécantss et préciser les coordonnées de leur point d intersection. o11ny 3. Quelle est l intersection du plan ' 2oNph2q18 et de la droite T np14n2yr Y Z. q13n2y 4. Dans chaque cas dire si le plan ' et la droite T sont perpendiculaires. o1yn1 a. ' on2p14 et T np1y r où Y Z ; q12yh1 b. ' ohphq11 et T passant par 0 ;1;2 et 2 ; h1 ;0. 5. Déterminer une équation du plan ' perpendiculaire à la droite où 5 ;2;0 et 3 ;5; h1 '. 6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par 1 ; h4 ;3 perpendiculaire au plan ' d équation oh2ph4qn a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan ' 2ohpNqN510 et passant par 2 ;1;0. b. Déterminer les coordonnées du point, projeté orthogonale de sur '. c. En déduire la distance de à '. 8. Déterminer une droite T passant par le point 3 ; h2 ; h4 qui est parallèle au plan ' 3oh2ph3qh710 et qui la droite ƒ ;W56 où 2 ; h4 ;1 et W563 ; h2 ;2. Exercice 21 Centres étrangers n 4 16

5 Exercice (Amérique du Nord n 1) Exercice (page 314 n 77 et 79) cf page 314 n 78, 80, Soient (2 ;5 ; h1 et 4 ;1 ; h3. a. Déterminer une équation de la sphère de diamètre DE. b. Déterminer une équation du plan tangent à en. 2. a. Déterminer le centre et le rayon de la sphère o 9 N p 9 N q 9 4o + 6p + 9 = 0. b. Montrer que le plan d équation o 1 4 est tangent à S en 4 ; 3. On considère la sphère de centre 3 ;1 ;3 et de rayon 3, 2 ; h1 ;1 et la droite de représentation paramétrique : o 1 1 N Y np 1 h3 N 2Yr où Y Z. q 1 Y a. Montrer que le point appartient à la droite. b. Montrer que le point appartient à la sphère. c. Montrer que la droite coupe la sphère en un deuxième po 3 ;0). le point de coordonnées oint. Exercice (Polynésie n 1) Exercice (Pondichéry n 4) 17

6 Exercice (Métropole n 2) 18

7 Exercice (Métropole juin 2011 n ) Sujets (1) Amérique du Sud n 2 (2) Antilles Guyane n 1 (3) Antilles Guyane n 1 (4) Nouvelle Calédonie n 4 (5) Métropole n 4 (6) Nouvelle Calédonie n 3 (7) Polynésie n 1 (8) Liban n 1 (9) Amérique du Nord n 1 (10) Métropole n 4 QCM1 Liban n 2 QCM 2 Asie n 1 QCM 3 Pondichéry n 2 19

8 Exercice 2. 1 Exercice 1 20

9 Exercice 2. 3 Exercice