Objectifs : vers un rappel... vers un départ intuitif... presque!

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1 Chapitre Un : Objectifs Objectifs : vers un rappel... vers un départ intuitif... presque! Comment définit-on un fluide? Écoulement : définition et classification Cinématique de fluide et descriptions de mouvement Déformation d élément fluide et tenseur de contraintes Fluide Newtonien Équations de mouvement - Équation de Navier-Stokes Conditions aux limites Écoulements potentiels Équation de Bernoulli Ccirculation. Théorème de Kelvin et interprétation Perte de charge ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

2 Fluide Définition d un fluide Fluide Un fluide est un milieu continu qui se déforme continuellement et en permanence dès qu il est soumis à la moindre force de cisaillement. Un solide se déplace, tandis qu un fluide s écoule ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

3 Fluide Définition d un fluide Milieux discrets... milieu continu Bals élastiques -1 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

4 Fluide Définition d un fluide Milieux discrets... milieu continu Bals élastiques -2 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

5 Fluide Définition d un fluide Milieux discrets... milieu continu Bals élastique Fluide visqueux ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

6 Fluide Définition d un fluide Milieux discrets... milieu continu Grains de sel Fluide visqueux ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

7 L écoulement d un fluide L écoulement d un fluide est caractérisé par un champ de vitesse u( x, t), les forces de surface : la pression p, les contraintes visqueuses (ou de viscosité). la densité du fluide ρ, la viscosité du fluide µ le champ de forces volumiques agissant sur le fluide ρ f (comme la force de la pesanteur par : ρ g). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

8 Classification des écoulements Écoulement uniforme Écoulement uniforme On dit qu un écoulement est uniforme si la vitesse ne dépend pas de la position dans l espace. C est-à-dire : u( r, t) = u(t) Par conséquence, dans un écoulement uniforme, les vecteurs vitesse sont partout parallèles. Exemple... ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

9 Classification des écoulements Écoulement permanent ou stationnaire Écoulement stationnaire Un écoulement est dit permanent ou stationnaire si l accélération locale u/ t est nulle. C est-à-dire : u( r, t) = u( r) où r est le vecteur position d un point quelconque dans l espace. Exemple : écoulement d heleshaw sur un profile d aile Exemple : écoulement sur un carrée ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

10 Classification des écoulements Écoulement laminaire Écoulement laminaire On dit qu un écoulement d un fluide réel est laminaire s il se déplace en formant des lames ou couches sans se mélangeant entre elles. Exemples d écoulements laminaires Écoulement laminaire dans une conduite cylindrique Écoulement laminaire sur une plaque plane ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

11 Classification des écoulements Écoulement turbulent Écoulement turbulent On dit qu un écoulement d un fluide réel est turbulent s il est désordonné et se déplace en formant des bouffées ou tourbillons de tailles différentes accompagnés d un mélange ou brassage intensif des particules fluides. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

12 Classification des écoulements Écoulement turbulent Exemples d écoulements turbulents Écoulement dans une conduite circulaire Écoulement de fumée à la sortie d une cheminée ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

13 Classification des écoulements Écoulements laminaire et turbulent : comparaison Comparaison entre des écoulements laminaires et turbulents Écoulement libre Le sillage derrière une plaque plane verticale ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

14 Description du mouvement Champ de vitesses Champ de vitesses L ensemble de vitesses v des particules du fluide, de position r à l instant t ( r = OM), définit un champ de vecteurs v( r, t). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

15 Description du mouvement Description lagrangienne Description lagrangienne Dans la description lagrangienne, on suit une particule de fluide au cours de son mouvement. La particule est repérée par sa position r o ( r o = OM o ) à l instant t o. La position de la particule à l instant t est notée par r = r( r o, t), ( r = OM). Par exemple, pour un observateur sur une barque entraînée par le courant d une rivière, la vitesse de la barque représente la vitesse lagrangienne. En pratique, on utilise un ballon-sonde dans l atmosphère pour l acquissions de données type Lagrangienne, et dans les courants estuariens on utilise de sondes flottants. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

16 Description du mouvement Trajectoire Description lagrangienne la trajectoire d une particule de fluide trajectoire d une particule de fluide x z M o ( r o, t o ) M( r o, t) v( r o, t o ) y v( r o, t) La trajectoire d une particule de fluide est l ensemble des positions successives occupées par cette particule au cours de son mouvement. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

17 Description du mouvement Trajectoire Variables de Lagrange L équation de trajectoire On appelle( r o, t) les variables de lagrange. La trajectoire satisfait l équation suivante : dx u( r o, t) = dy v( r o, t) = dz w( r o, t) = dt. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

18 Description du mouvement Trajectoire Exercice On considère le mouvement bidimensionnel x = x 0 e kt + y 0 ( 1 e kt), y = y 0 e kt où (x 0, y 0 ) est la position de la particule à l instant t = 0. Déterminez la trajectoire de particule. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

19 Description du mouvement Trajectoire Resumé de la solution : x = x 0 e kt + y 0 ( 1 e kt), y = y 0 e kt On calcul d abord le vecteur vitesse de particule ke kt (x 0 y 0 ) v( r 0, t) = dy( r 0, t) dt = ky 0 e kt = ky( r 0, t). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

20 Description du mouvement Trajectoire Resumé de la solution : u( r 0, t) = dx( r 0, t) = ke kt (x 0 y 0 ) dt v( r 0, t) = dy( r 0, t) dt = ky 0 e kt = ky( r 0, t). L équation de la trajectoire est donnée par dx u( r 0, t) = dy dx = dt. D où v( r 0, t) k(x y 0 ) = dy ky. En intégrant cette équation et utilsant la condition initiale à t = 0, on trouve finalement : L équation de trajectoire : xy = x 0 y 0 + yy 0 y 2 0. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

21 Description du mouvement Description Eulérienne Description eulérienne Dans la description eulérienne,on s intéresse à la vitesse v( r, t) de toute particule passant par le point géométrique fixe M de vecteur position r au cours de temps. AU LABORATOIRE, on mesure, à chaque instant, les vitesses de particules différentes aux points géométriques fixes. On appelle( r, t) les variables d Euler. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

22 Description du mouvement Ligne de courant Ligne de courant : définitionon a le long d une ligne de courant, à t = t o fixé : À un instant t = t o fixé, on appelle ligne de courant la courbe dont la tangente en chacun de ses points est parallèle au vecteur vitesse. dx u( r, t o ) = dy v( r, t o ) = dz w( r, t o ) ligne de courant v ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

23 Description du mouvement Tube de courant Tube de courant Un tube de courant est la surface engendrée par l ensemble des lignes de courant s appyant sur une courbe fermée. Un tube de courant peut être réel ou fictif. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

24 Description du mouvement Tube de courant xercice : On reconsidère le mouvement bidimensionnel x = x 0 e kt + y 0 ( 1 e kt), y = y 0 e kt de l exercice précédent. Déterminez la vitesse en description eulérienne. L écoulment est-t-il permanent? ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

25 Description du mouvement Tube de courant xercice : Solution : La vitesse en description eulérienne est exprimée en fonction de variables d Euler ( r, t). On a trouvé pour la vitesse u( r 0, t) = k(x 0 e kt y 0 e kt ) = k(x( r 0, t) y 0 ), v( r 0, t) = ky 0 e kt = ky( r 0, t). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

26 Description du mouvement Tube de courant xercice : D où en éliminant (x 0, y 0 ) on trouve ( u, v) en description eulérienne : Continue... u = kx + kye kt, u = kx + kye kt, L écoulement n est pas permanent car u t v = ky. v = ky. 0, v t = 0. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

27 Déformation dans les écoulements Décomposition de champ de vitesse Décomposition de champ de vitesse Considère une ligne infinitésimale tracée dans le fluide dont les extrémités sont en r et en r + d r. Soient v et v + d v respectivement les vitesses aux extrémités r et r + d r. Posons r = (x 1, x 2, x 3 ) et v = (v 1, v 2, v 3 ). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

28 Déformation dans les écoulements Décomposition de champ de vitesse Décomposition de champ de vitesse On a alors au premier ordre d approximation Les quantités dv i = v i t dt + }{{} Translation 3 ( vi ) dx j x j=1 j }{{} Rotation + Déformation G ij = v i x j sont les éléments d un tenseur de rang deux, appelé le tenseur des taux de déformation (ou des gradients de vitesse) du fluide.. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

29 Déformation dans les écoulements Décomposition de champ de vitesse Décomposition de champ de vitesse Soit G = v = v 1 x 1 v 2 v 1 x 2 v 2 v 1 x 3 v 2 x 1 v 3 x 2 v 3 x 3 v 3 x 1 x 2 x 3 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

30 Déformation dans les écoulements Décomposition de champ de vitesse Décomposition de champ de vitesse Remarque : Tout tenseur A ij se décompose de la manière suivante : A ij = 1 2 (A ij + A ji ) + 1 }{{} 2 (A ij A ji ). }{{} symétrique antisymétrique Cette identité appliquée à v i x j conduit à ou G ij = v i = 1 ( vi + v ) j x j 2 x j x i ( vi v ) j x j x i symétrique antisymétrique {}}{{}}{ e ij + ω ij, ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

31 Déformation dans les écoulements Décomposition de champ de vitesse Décomposition de champ de vitesse avec e ij = 1 ( vi + v j 2 x j x i ω ij = 1 ( vi v j 2 x j x i ), ). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

32 Déformation dans les écoulements Décomposition de champ de vitesse Décomposition de champ de vitesse On peut aussi écrire v = 1 ( v + ( v) T ) + 1 ( v ( v) T ), } 2 {{}} 2 {{} tenseur symétrique tenseur antisymétrique où ( v) T est le transposé du v. D où on tire v( r + d r) = v = à comparer avec v M2 = v M1 + Ω M 1M 2 en solide {}}{ v( r) + 1 ( v) d r } 2 {{} changement dû à la rotation + e d r }{{} changement dû à la déformation ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

33 Déformation dans les écoulements Interprétation de e ij Interprétation de tenseur symétrique e ij L analyse de tenseur symétrique e ij montre qu il s écrit sous forme d une somme d un terme diagonal et d un terme de trace nulle (somme des termes diagonaux de la matrice) : e ij = 1 3 δ ije ll }{{} dilatation volumique + (e ij 13 δ ije ll ) } {{ } tenseur déviateur = t ij + d ij où δ ij désigne le tenseur de Kronecker : δ ij = 1 si i = j, et δ ij = 0 si i j. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

34 Déformation dans les écoulements Interprétation de e ij Interprétation de tenseur symétrique e ij Remarque : Ici, et par la suit, on utilise la sommation sur les indices muets : si deux indices sont répétés dans une expression, la sommation est faite implicitement sur ces indices. Ainsi : v i x i = 3 i=1 v i x i. Remarque : Le tenseur déviateur d ij est associé aux déformations sans changement du volume d éléments de fluide. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

35 Déformation dans les écoulements Interprétation de e ij Interprétation de tenseur symétrique e ij avec e ij = 1 3 δ ije ll }{{} dilatation volumique + (e ij 13 δ ije ll ) } {{ } tenseur déviateur = t ij + d ij Dilatation volumique ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

36 Déformation dans les écoulements Interprétation de e ij Interprétation de tenseur symétrique e ij avec e ij = 1 3 δ ije ll }{{} dilatation volumique + (e ij 13 δ ije ll ) } {{ } tenseur déviateur = t ij + d ij Déformation ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

37 Déformation dans les écoulements Interprétation de ω ij Interprétation de ω ij = 1 2 ( vi v ) j ω ij : rotation pure x j x i ω ij est antisymétrique : ω ij = ω ji, ω 11 = ω 22 = ω 33 = 0. ω ij représente la vitesse de rotation locale sans déformation de l élément fluide. En général on remplace ω ij par le pseudo-vecteur ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ) tel que : ω k = ε ijk ω ij avec ε ijk = +1 dans une permutation direct des indices i, j et k, et ε ijk = 1 pour une permutation inverse des indices, et ε ijk = 0 si deux indices au moins, sur les trois, sont égaux. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

38 Déformation dans les écoulements Interprétation de ω ij Interprétation de ω ij = 1 2 On appelle ω vorticité de l écoulement : ( vi v ) j ω ij : rotation pure x j x i ω = rot v = v. On appelle Ω = 1 v vecteur tourbillon. 2 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

39 Déformation dans les écoulements Interprétation de G ij Tenseur de déformation G ij = t ij + d ij + ω ij Lors de son mouvement un élément de fluide est subi aux : ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

40 Déformation dans les écoulements Exemple déformations Exercice On reprned l exercice précéndent. Déterminer e ij et ω ij On a de l exercice précédent u = kx + kye kt, v = ky. Il est commode de poser x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z, v 1 = u, v 2 = v, v 3 = w(= 0) ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

41 Déformation dans les écoulements Exemple déformations Alors D où [e ij ] = [ω ij ] = G = k ke kt 0 0 k ke kt 0 k 1 2 ke kt k ke kt ke kt ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

42 Déformation dans les écoulements Exemple déformations La vorticité ω est déterminée soit à partir de ω k = ε ijk ω ij : ω 1 = ω 2 = 0, ω 3 = ε 123 ω 12 ε 213 ω 21 = ke kt, ou soit à partir de ω = v : / x kx + kye kt ω = / y ky / z 0 = Remarque : trace[e ij ] = δ ll e ll = e 11 + e 22 + e 33 = 0. L écoulement est donc incompressible. 0 0 ke kt. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

43 Déformation dans les écoulements Champ vectoriel ω Retour au champ vectoriel ω. Dans un écoulement fluide, on appelle toute courbe C décrit dans l espace dont la tangente en chacun de ses points est parallèle, à tout instant t fixe, au vecteur tourbillon ω, une ligne ou un fil tourbillonnaire ω C d r Soit d r = (dx 1, dx 2, dx 3 ) la tangente à la courbe C. Alors, d r ω = 0. D où l équation d une ligne tourbillonnaire : dx 1 ω 1 = dx 2 ω 2 = dx 3 ω 3 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

44 Tenseur de contraintes Le tenseur de contrainte σ ij Le tenseur de contrainte σ ij Lors de son mouvement, tout élément de fluide est subi aux contraintes surfaciques : ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

45 Tenseur de contraintes Le tenseur de contrainte σ ij Le tenseur de contrainte σ ij Le tenseur de contrainte σ ij se décompose sous la forme σ ij = pδ ij + σ ij où p est la pression. Soit σ = p I + σ, où I est le tenseur unité. σ ij est l élément général du tenseur des contraintes de viscosité : σ = [ σ ij ]. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

46 Tenseur de contraintes Fluide newtonien Vitesse de déformation vs. la contrainte de cisaillement τ Fluide newtonien Pour un fluide newtonien le tenseur des contraintes de viscosité σ ij s écrit sous la forme σ ij = µ (2e ij 23 ) δ ije ll + η(δ ij e ll ) µ : viscosité dynamique ( ou de cisaillement), η : viscosité de volume (ou deuxième viscosité). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

47 Équations de mouvement Les équations de mouvement En appliquant les principes généraux de la mécanique et de la thermodynamique à un volume quelconque du fluide, on obtient les trois équations suivantes : Conservation de la masse (principe de continuité), conservation de la quantité de mouvement (principe fondamental de la dynamique), conservation de l énergie (premier principe de la thermodynamique). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

48 Équations de mouvement Équation de continuité Équation de continuité : forme intégrale V : un volume de fluide fixé dans l espace et enfermé par la surface S. n : vecteur unité normale extérieur à S Bilan de masse dans V : d ρ ρ dv = dt V V t dv }{{}}{{} variation variation temporelle de la temporelle de la masse dans V masse dans V = ρ v ds } S{{ } flux de masse à travers S ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

49 Équations de mouvement Équation de continuité Écoulement incompressible, uniforme et stationnaire Écoulement incompressible, uniforme à toute section S, et permanent. Débit volumique = v 1 S 1 = v 2 S 2 = v 3 S 3 = Cte. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

50 Équations de mouvement Équation de continuité Conservation de la masse (principe de continuité) ρ + (ρ v) = 0. }{{} t variation locale ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

51 Équations de mouvement Équation de continuité Conservation de la masse (principe de continuité) ρ + v ρ }{{} t }{{} variation convective variation locale + ρ v }{{} variation due à la dilatation volumique = 0. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

52 Équations de mouvement Équation de continuité Conservation de la masse (principe de continuité) Dρ Dt }{{} variation particulaire + ρ v }{{} variation due à la dilatation volumique On appelle dérivée particulaire la dérivée D Dt = t + u x + v y + w z = 0. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

53 Équations de mouvement Équation de continuité Conservation de la masse (principe de continuité) Dρ Dt }{{} variation particulaire + ρ v }{{} variation due à la dilatation volumique = 0. On dit qu un écoulement est incompressible si Dρ Dt = 0. Alors, pour un écoulement incompressible, l équation de continuité devient v = u x + v y + w z = 0. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

54 Équations de mouvement Équation de continuité La fonction de courant ψ Écoulement incompressible en 2D : Alors ψ(x, z, t) tel que u x + v x = 0. u = ψ, et v = ψ y x On appelle ψ(x, y, t) fonction de courant ψ(x, y, t) satisfait l équation de continuité. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

55 Équations de mouvement Équation de continuité Exercice On reprend l exercice précédent avec x = x 0 e kt + y 0 (1 e kt), y = y 0 e kt. Déterminez la fonction de courant. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

56 Équations de mouvement Équation de continuité Solution : On a trouvé pour la vitesse en description eulérienne De u = ψ y et v = ψ x u = kx + kye kt, v = ky. on trouve respectivement : ψ(x, y, t) = kxy ky2 e kt + C 1 (x, t) ψ(x, y, t) = kxy + C 2 (y, t). C 1 (x, t) et C 2 (y, t) sont des "constants" d intégrations. En comparant les deux expressions pour ψ on déduit que ψ(x, y, t) = kxy ky2 e kt. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

57 Équations de mouvement Équation de la quantité de mouvement Équation de conservation de la quantité de mouvement : forme intégrale d ρ vdv dt V }{{} forces d inertie = ρ v( v ds) S } {{ } flux de la quantité de mouvement + V ρfdv + } {{ } forces volumiques σ ds. S } {{ } forces de viscosité + forces normales à S ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

58 Équations de mouvement Équation de la quantité de mouvement L équation de la quantité de mouvement ρ v + ρ( v ) v } t {{} force d inertie = ρ f }{{} forces volumiques + σ }{{} forces surfaciques (1) où σ est le tenseur de contraintes, σ = [σij ]. Rappelons que σ se décompose sous la forme où p est la pression. σ ij = pδ ij + σ ij ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

59 Équations de mouvement Équations de Navier Stokes Avec σ ij = pδ ij + σ ij et σ ij = µ (2e ij 23 ) δ ije ll + η(δ ij e ll ) l équation de la quantité de mouvement se transforme en ρ v + ρ( v ) v } t {{} force d inertie = p }{{} forces de pression + ρf }{{} + forces volumiques (η + 13 µ ) ( v) µ v + } {{ } forces visqueuses (2) ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

60 Équations de mouvement Équations de Navier Stokes Équations de Navier Stokes ρ v + ρ( v ) v } t {{} force d inertie = p }{{} forces de pression + ρf }{{} + forces volumiques (η + 13 µ ) ( v) µ v + } {{ } forces visqueuses (2) ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

61 Équations de mouvement Équations de Navier Stokes pour un fluide incompressible Équations de Navier Stokes pour un fluide incompressible Un fluide ou un écoulement est dit incompressible si v = 0, L équation de Navier Stokes devient alors ρ v + ρ( v ) v } t {{} force d inertie = p }{{} forces de pression + ρ f }{{} forces volumiques + µ v }{{} forces visqueuses (3) ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

62 Équations de mouvement Fluide "non-pesant" Fluide "non-pesant" et le traitement de pression Pour un fluide immobile v = 0. D où (3) conduit à ρ f p = 0. (4) Quand f = g = g z ; z un vecteur unité ascendant. On pose p = p + gz. D où p + ρg z = (p + ρgz) = p. L équation de Navier Stokes pour un fluide incompressible s écrit alors : ρ v t + ρ( v ) v = p + µ v. (5) ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

63 Conditions aux limites Condition initiale Problème : Équations EDP + conditions (aux limites + initiales) Condition initiale : Solution connue dans tout le domaine de l écoulement à un instant donné t o. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

64 Conditions aux limites Conditions aux limites Problème : Équations EDP + conditions (aux limites + initiales) Conditions aux limites à la surface d un corps solide Condition de non-penetration : v fluide n = v solide n, n vecteur unité normal à la surface du solide. Condition de non-glissement appliquée seulement pour l écoulement visqueux : v fluide t = v solide t, t vecteur unité tangent à la surface du solide. Conditions cinématiques imposées au vecteur vitesse aux frontières de l écoulement. Conditions dynamiques imposées aux contraintes ( et pressions) aux frontières de l écoulement. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

65 Écoulement potentiel Définition Écoulement irrotationnel : écoulement potentiel Un écoulement est dit potentiel si ω = v = 0. Alors, une fonction potentiel φ tel que v = φ. Pour un écoulement incompressible v = 0 (Eq. de continuité) Par conséquent, φ = 2 φ = 0. On appelle potentiel de vitesse la fonction φ. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

66 Écoulement non-visqueux Équation d Euler Équation d Euler : écoulements non visqueux, µ = η = 0 ρ D v Dt = p + ρ f (6) Force d inertie force de pression Force volumique due à la pesanteur : ρ f = (0, 0, g) En coordonnées cartésiennes : Du Dt = 1 p ρ x, Dv Dt = 1 p ρ y, Dw Dt = 1 p ρ z g (7) Dérivée particulaire : D Dt = t + u x + v y + w z ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

67 Écoulement non-visqueux Équation d Euler Ω = gz, ω et l équation d Euler en 3D, ρ = constante On pose f = Ω Ω = gz Alors, l équation d Euler devient ( ) v p + ( v ) v = t ρ + Ω. (8) Introduisons l identité ( v ) v = ( ) 1 v v v ( v) 2 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

68 Écoulement non-visqueux Équation d Euler Ω = gz, ω et l équation d Euler en 3D, ρ = constante ω = v L équation (8) s écrit sous la forme ( v 1 t + 2 v v + p ) ρ + Ω = v ω, (9) Écoulement permanent, v t = 0 : ( 1 2 v v + p ) ρ + Ω = v ω, (10) ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

69 Écoulement non-visqueux Thérème de Circulation de Kelvin Théorème de circulation de Kelvin Circulation autour d une courbe arbitraire et fermée C : Γ = v d r C Alors : DΓ Dt = D v d D r = Dt C C Dt ( v d r ) Soit : DΓ [ D v Dt = C Dt d r + v D ] Dt (d r ) D où DΓ [ ( ) 1 Dt = p + Ω d r + v d ] v C ρ DΓ [ ( ) 1 Dt = p + Ω d ( )] 1 r + d 2 v C ρ 2 Donc [ DΓ Dt = dp ( )] [ 1 C ρ dω + d 2 dp v = d 2 C ρ + Ω 1 ] 2 v 2 Finalement : DΓ [ dp Dt = ρ + Ω 1 ] 2 v = 0 2 C ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

70 Écoulement non-visqueux Thérème de Circulation de Kelvin Théorème de circulation de Kelvin. Conséquences D après le théorème de Stokes Γ 0 = v d r = ω ds C S est la surface engendrée par C Un tube tourbillonnaire se déplace avec le fluide en tant que surface matérielle déformable. S Un fil tourbillonnaire se déplace avec le fluide en tant qu une ligne d intersection de deux surfaces matérielles déformables. Il se déplace avec le fluide en tant que surface matérielle déformable. Il se déplace avec le fluide en tant qu un cas limite d un tube tourbillonnaire. Un tube tourbillonnaire de longueur finie ne peut pas se terminer/commencer dans le fluide car S 0 implique ω. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

71 Écoulement non-visqueux Thérème de Circulation de Kelvin Exemples de tube tourbillonnaires Un tourbillon engendré par le vidange d un baignoire Une tornade ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

72 Écoulement non-visqueux Équation de Bernoulli Équation de Bernoulli, ρ = constante, v t = 0 Remarque : F est à (la surface) F ( r) = constante v ω est à v et à ω Projection sur une ligne de courant : ( 1 v 2 v v + p ) ρ + Ω = v ( v ω) = v v + p + Ω = constante. (11) ρ RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

73 Écoulement non-visqueux Équation de Bernoulli Équation de Bernoulli : équation de conservation d énergie Dans un écoulement incompressible non visqueux et permanent l énergie est conservée le long de toute ligne de courant. 1 2 v v + p ρ + Ω(= gz) = constante. Énergie Travail fait par les Énergie cinétique forces de pression potentielle ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

74 Écoulement non-visqueux Équation de Bernoulli Équation de Bernoulli, ρ = constante, v t 0, ω = 0 ω = 0 φ( r, t) tel que v = φ v = φ et v = 0 2 φ = 0 ( v 1 Équation d Euler : t + 2 v v + p ) ρ + Ω = v ω ( φ ω = 0 = t v v + p ) ρ + Ω = 0. D où f(t) : fonction arbitraire d intégration φ t v v + p + Ω = f(t) (12) ρ ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

75 Écoulement non-visqueux Équation de Bernoulli v Équation de Bernoulli, ρ = constante, t = 0, ω = 0 Écoulement irrotationnel et stationnaire, v t = 0 : 1 2 v v + p ρ + Ω = constante. Équation valable partout dans le fluide. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

76 Appareilles de mesures Tube de Prandtl Mesure de vitesse à l aide de la pression : tube de Prandtl Tube de Pitot = pression de stagnation p S. Pression statique : p a. Tube de Prandtl = pression dynamique (p S p a ) = p b p a Un petit dispositif destiné à mesurer la vitesse. S : point d arrêt, V = 0. Pression de stagnation p S = p amont + ρ 1 V 2 amont/2 = p b p b = p a + ρ 2 gh ρ 2 : masse volumique du liquide du manomètre. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

77 Appareilles de mesures Tube de Venturie Mesure de débit : tube de Venturie Un dispositif pour mesurer le débit volumique Q Écoulement uniforme, Éq. de continuité : Q = V 1 (πd 2 1/4) = V 2 (πd 2 2/4), Éq. de Bernoulli : p ρ 1V 2 1 = p ρ 1V 2 2. Mesure de p 1 p 2 = ρ 2 gh = 1 2 V 2 2 [1 (D 2 /D1) 4 ] D où V 2 et par la suite Q. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

78 Exemples d application Exemples : force sur une pale Force sur une pale de turbine On considère un jet d eau de diamètre D (dans le plan horizontal xy) et de vitesse V. Le jet frappe les pales concave d une turbine. Au moment de l impact, le jet est parallèle à la surface inférieure de la pale. Déterminer la force R = (R x, R y ) agissant sur la pale dans les deux cas suivants : (i) la pale est stationnaire, (ii) la pale s éloigne à la vitesse V p = V p x. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

79 Exemples d application Exemples : force sur une pale (i) Force sur une pale de turbine : solution - cas de pale stationnaire On commence par choisissant un volume de contrôle stationnaire délimitant la région de l écoulement qui nous intéresse. On appelle volume de contôle V tout volume (fixe selon le système de coordonnées choisi) délimitant la région de l écoulement que l on étudie. La surface délimitant V constitue la surface de contôle S. n désigne le vecteur unitaire normal extérieure à S. e2 est un vecteur unitaire parallèle à v2. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

80 Exemples d application Exemples : force sur une pale (i) Force sur une pale de turbine : solution - cas de pale stationnaire Un fluide qui subit un changement de direction, avec ou sans frottement, exerce une force de réaction égale à la somme des forces extérieures, F, appliquée au volume de fluide. Le principe de conservation de la quantité de mouvement pour V est exprimé par F ρ v = t dv + (ρ v)( v n )ds S V ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

81 Exemples d application Exemples : force sur une pale (i) Force sur une pale de turbine : solution - cas de pale stationnaire Comme l écoulement est stationnaire, les dérivées par rapport au temps sont nulles : F = (ρ v)( v n )ds S La force F s exprime par : F = Kg + K p + K S où K g : la force de pesanteur, K p : les forces de pression sur les sections, K S : la force de pression exercée sur le fluide par les parois de pales. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

82 Exemples d application Exemples : force sur une pale (i) Force sur une pale de turbine : solution - cas de pale stationnaire La pression atmosphérique règne sur toute S et par conséquent la résultante due à p subi par V est nulle. Le jet étant dans le plan horizontale, xy, la force de pesanteur n entre pas en considération. La seule force est K S (K Sx, K Sy ) dont la norme est égale à la force de réaction, K S (K Sx, K Sy ) = R(R x, R y ). Selon la définition du produit scalaire, on a ( v n ) = v cos α où α est l angle entre le vecteur vitesse v et n. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

83 Exemples d application Exemples : force sur une pale Alors +K Sy = K Sx = S 1 ρv 1x v 1 cos α 1 ds+ S 2 ρv 2x v 2 cos α 2 ds S 1 ρv 1y v 1 cos α 1 ds+ S 2 ρv 2y v 2 cos α 2 ds Puisque α 1 = π on a cos α 1 = 1. De plus, on a v 1x = v 1 = V. À la sortie du jet, α 2 = θ, et v 2x = v 2 cos θ. Le principe de continuité donne V 2 = V 1 = V. Le débit volumique, selon la figure, s écrit sous la forme : D où S 2 = S 1 / sin θ. Q = V 1 cos 0S 1 = V 2 cos(θ π/2)s 2 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

84 Exemples d application Exemples : force sur une pale On a donc dans la direction des x : S 1 ρv 1x V 1 cos α 1 ds = ρv 2 1 S 1 = ρv 2 S 1 On a donc dans la direction des y : À la sortie du jet : v 2y = V 2 sin θ S 2 ρv 2x V 2 cos α 2 ds = ρv 2x cos α 2 V 2 cos θs 2 = ρv 2 tan θs 1 S 1 (ρv 1y )v 1 cos α 1 ds = 0 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

85 Exemples d application Exemples : force sur une pale (i) Force sur une pale de turbine : solution - cas de pale stationnaire On a donc dans la direction des y : S 1 (ρv 1y )v 1 cos α 1 ds = 0. S 2 (ρv 2y )V 2 cos α 2 ds = ρv 2 2 sin 2 θs 2 = ρv 2 sin θs 1 Alors : K Sx = ρv 2 (1 + tan θ)s 1 K Sy = ρv 2 sin θs 1 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

86 Perte de charge Perte de charge Perte de charge : définition On appelle charge la constante au deuxième membre de l équation 1 2 v v + p ρ + Ω = constante. En général, on exprime la charge sous la forme d une hauteur de la colonne du liquide : h = constante g ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

87 Perte de charge Perte de charge Types de la perte de charge Dans un écoulement permanent le fluide perd d énergie pour vaincre les forces de frottement interne (viscosité/turbulence) ce qui conduit à ce qu on appelle perte de charge. Perte de charge "linéaire" (ou "linéique") ou régulière H r : c est la perte de charge liée à la longueur et la rugosité de la conduite et la viscosité. Perte de charge singulière, H s : il s agit des pertes de charge dues aux formes géométriques de canalisation (coude, tés, élargissement ou contraction brusque, cônes, joints, clapets, passage à travers une grille, vanne, robinet,...). ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

88 Perte de charge Perte de charge Coefficient de perte de charge En générale et dans la pluspart des cas on trouve expérimentalement que les pertes de charge sont proportionnelle au carrée de la vitesse moyenne U et s exprime sous la forme : (H r + H s ) = K U 2 2g. ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

89 Perte de charge Perte de charge Lignes de charges : représentation graphique ligne piézometrique plan de charge; ligne de charge totale v 2 1/2g v 2 /2g v 2 2 /2g p/ρg p 2 /ρg p 1 /ρg H Canalisation ligne moyenne z z2 z1 plan de référence ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72

90 Perte de charge Perte de charge Exemple de perte de charge Equation de Benoulli modifiée : v1 2 2g + p 1 ρg + z 1 = v2 2 2g + p 2 ρg + z 2 + (H r + H s ) plane de charge fluide parfait Hr + Hs fluide réel v 2 1/2g v 2 2/2g p 1 /ρg lignes de courant z v1 z1 p 2 /ρg v2 x z2 ADIL RIDHA (Université de Caen) DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS / 72