Le caractère universelle de la loi de gravitation lui confère une souplesse d emploi qui rend simple ce qui paraît compliqué et permet de résoudre

Transcription

1 La gravitation Un concept bien plus coplexe qu il n y parait. Mais perettant aussi d entreprendre des projets fantastiques : - Peser les astres, que ce soit la Terre, la Lune, le Soleil ou d autres étoiles - S arracher du sol pour se ettre en orbite - S échapper de l attraction terrestre pour envoyer des sondes explorer les autres planètes - Quitter l attraction du systèe solaire pour partir à la découverte de la Galaxie, et bien d autres choses encore. Cet exposé est le troisièe d une série de quatre, expliquant chacun coent anipuler la loi de gravitation pour nous perettre, graduelleent de résoudre les problèes que posent chacun de ces objectifs.

2 Le caractère universelle de la loi de gravitation lui confère une souplesse d eploi qui rend siple ce qui paraît copliqué et peret de résoudre toute une faille de problèes d aspects différents ais qui ne sont que les ebres d une êe faille, celle de la atière. Dans cette troisièe partie, nous allons coprendre la troisièe loi de Kepler grâce à la loi de gravitation de Newton.

3 Docuent ANAP Serge Rochain Bases de la écanique céleste Newton justifie Kepler Où l on rencontre la loi de gravitation

4 Troisièe volet sur la gravitation. Cette troisièe partie va nous préparer à anipuler la loi de gravitation à d autres fins et nous préparer à de plus grandes transforations qui nous perettrons dans la dernière partie de peser des étoiles à distance. Les lois de Kepler, notaent celle connue sous le no de troisièe qui n était pas coprise par Kepler trouve sa justification dans la loi de gravitation coe nous allons le déontrer.

5 Expression de la loi de gravitation F G 1 d Cette loi exprie, en newtons (N * ), que deux corps de asse 1 et s attirent avec une force F (N) qui est proportionnelle à leur asse et inverseent proportionnelle au carré de la distance d qui les sépare G est la constante de gravitation qui relie les différentes unités eployées. G = 6,67*10-11 dans le Systèe International (SI), dans lequel le teps s exprie en seconde, les distance en ètres et les asses en kilograes. *) Un newton est la force colinéaire au ouveent qui, appliquée pendant une seconde à un objet d'un kg, en odifie la vitesse d un ètre par seconde.

6 On reconnait l expression générique de la loi de gravitation que nous avons vu dans les deux preiers volets de la série.

7 Considérons le ouveent de la Terre autour du Soleil, c est une trajectoire qui conduit la Terre à accoplir la totalité de son orbite à la vitesse angulaire de t Coe toutes les planètes, la Terre subit une accélération correspondant au produit du carré de sa vitesse par le rayon r de son orbite conduisant à l expression : r Nous développons la forulation en utilisant les grandeurs connues de la relation ( r, et t ) pour obtenir : = 4 r t Le produit de l accélération par la asse T de la terre conduit à la force F F = = r( π t ) r Τ 4 t r

8 Ici, nous allons rapprocher des expressions basiques de écanique doestique associant successiveent, teps, vitesse, accélération, et force. Le teps, avec période d un objet en orbite conduisant à la vitesse; La vitesse avec une centrifugation selon un rayon conduisant à l accélération; Et la asse de l objet souis à l accélération conduisant à la force

9 Mais cette force F = 4 t r T qui aintient la Terre sur son orbite est la êe que celle de la loi de gravitation F Alors 4 t r T A partir de cette relation nous avons de nobreuses possibilités. * * r G S T * * r G S T

10 On constate que cette force correspond à celle que traduit la loi de gravitation de Newton appliquée dans la relation Soleil-Terre

11 Par exeple nous pouvons calculer la asse du Soleil à partir des éléents orbitaux de la Terre T * T * S En siplifiant par suppression de T 4 t Puis en divisant les deux ebres par G et en les ultipliant par r nous obtenons l équation donnant la asse solaire : 4 r Gt 3 S X A partir de cette êe relation nous pouvons aussi calculer certains éléents orbitaux de la planète située à la distance r du Soleil en transforant la relation pour aboutir à la troisièe loi de Kepler expliquée dans la preière partie de l'exposé sur la Mécanique Céleste r G (1,5*10 ) 11 (6,67*10 ) X r *10 30 kg

12 Nous avons déjà utilisé cette forulation pour peser la Terre à partir des éléents orbitaux de la Lune. Entrainons nous en le refaisant pour estier la asse du Soleil grâce aux éléents orbitaux de la Terre avant de passer à un autre aspect de ce qu elle peret de faire

13 T 4 t r G * r T * Divisons les deux ebres de cette équation par r T S G et ultiplions les par t Côté des constantes 4 t GS r Avec les unités du systèe Internationale, nous avons t en secondes et r en ètres. Mais si nous choisissons des unités telles que le quotient de chaque ebre soit égal à 1 avec par exeple le teps orbital en années et le rayon de l orbite en UA (Unité Astronoique) nous universalisons la relation en la rendant indépendante des constantes de noralisation de la relation : 3 S Côté des Variables t r ce qui conduit à la relation t = r 3

14 Cette fois, visons un autre but. Passons à gauche du signe = tout ce qui est constant dans le systèe solaire et à droite tout ce qui varie en fonction de la planète choisie. Nous avons retrouvé la 3 e loi de kepler à partir de la loi de gravitation. Mais allons plus loin. Résolvons entre elles toutes les constantes qui se trouvent à gauche du signe = pour créer une constante qui intégrera toutes ces constantes. Et forçons cette constante résultante à égaler la valeur 1

15 La relation t = r 3 peret ainsi de déteriner le teps orbital d un corps en orbite si l on connaît la distance (en UA) qui le sépare du barycentre autour duquel il tourne, ou encore, réciproqueent, cette distance si l on connaît la période orbitale (en années) En choisissant des unités relatives à la position et au teps orbital de la Terre nous siplifions considérableent les calculs tout en nous donnant des grandeurs significatives pour les terriens que nous soes.

16 Cette relation ipose de choisir des unités telles que le carré du teps soit égal au cube du rayon orbital Quelles unités pouvons nous choisir pour la Terre en restant cohérents avec des unités connues?

17 Nous choisissons donc la esure du teps en années terrestres et la esure des distances en rayons de l orbite terrestre c est-à-dire en UA. Pour la Terre nous avons donc bien 1 = 1 3

18 Ainsi pour la Terre l unité de teps peutêtre l année et le rayon de l orbite terrestre l UA et nous avons bien 1 =1 3

19 Pour Jupiter dont la période sidérale est de 11,86 de nos années nous avons l identité : 11,86 années = 5, 3 UA Connaissant la période sidérale nous obtenons la distance au Soleil de 3 11,86 5,UA Réciproqueent, connaissant la distance au Soleil de 5, UA nous obtenons la période sidérale : 5, 3 11,86années

20 Vous pouvez vérifier cette identité pour n iporte quelle planète ce que je vous invite à faire pour vous failiariser avec le calcul astronoique.

21 Mettons ces connaissances à profit Nous savons que la Lune orbite à la distance oyenne de k de la terre en 7 jours 1/3. Nous savons aussi que le rayon de la Terre est de 6400 k Questions : A quelle altitude faut-il faire orbiter un satellite pour qu il soit géostationnaire?

22 Ce petit exercice doit pouvoir être fait aintenant par tous. Mais la leçon, c est que la loi de gravitation et d une portée générale, elle nous a peris de connaitre des paraètres très différents ne concernant que notre planète en nous donnant sa asse, où sa vitesse de libération, ais aussi des paraètres concernant les autres planètes coe leur distance au Soleil par l observation de leur période orbitale.

23 Docuent ANAP Serge Rochain Merci de votre aiable attention Y a-t-il des questions?