Relations. Chapitre 4. 1 Relation binaire

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1 Table des matières 4 Relations 2 1 Relation binaire Définitions Relation d ordre Relation d équivalence Ensemble quotient Exercices

2 Chapitre 4 Relations Après les notions d ensemble et d application qui ont été introduites aux chapitres précédents, il est question ici d aborder les notions de relations sur un ensemble. Nous introduirons les relations d ordre, qui permettent de comparer des éléments dans un ensemble. Par exemple sur N ou sur R, la relation est une relation d ordre. Nous introduirons aussi les relations dites d équivalence, qui permettent dans un ensemble de regrouper des éléments qui ont une même propriété. Par exemple dans Z, on peut regrouper ensemble les entiers pairs d une part et les entiers impairs d autre part. Cette relation sur les entiers s appelle congruence modulo 2. Une relation d équivalence R sur un ensemble E permet de considérer comme équivalents (pour la relation en question) des élements de cet ensemble. Si l on regroupe les éléments équivalents entre eux, apparait alors un nouvel ensemble E/R (appelé ensemble quotient de E par R). C est ainsi que Z peut être construit à partir de N N, que Q peut être construit à partir de Z Z, etc. Les exemples sont très nombreux. Ces notions ne sont pas fondamentalement difficiles et ce cours propose une approche progressive de ces dernières. Le travail du lecteur est de comprendre les définitions abstraites des notions grâce aux nombreux exemples, et surtout d être capable de les manipuler dans les différents contextes proposés dans les exercices. 1 Relation binaire Dans toute la suite E est un ensemble non vide quelconque. Une relation binaire R sur E (ou dans E) est une propriété qui concerne les couples (a,b) d éléments de E, en d autres termes qui concerne les éléments (a,b) de E E. Plus précisément, l élément a de E sera en relation avec l élément b ou ne le sera pas. Dans le premier cas on notera a R b et dans le second a R/ b. Avant de donner une définition formalisée, présentons quelques exemples très simples. Prenons ici E = N et R la relation a est inférieur ou égal à b. Alors 2 R 5 et 5 R/ 2. Le couple (2,5) vérifie la propriété R alors que (5,2) ne la vérifie pas. Cette relation est bien entendu notée aussi par au lieu du symbole générique R. Pour tout a élément de E, a R a. Cette relation est transitive c est-à-dire que : (a,b,c) E 3, (a R b et b R c) a R c. Si E est l ensemble des droites d un plan, la propriété a est perpendiculaire à b est une relation sur E. On la note aussi. Ici, pour tout a E, a R/ a. Cette relation n est pas transitive mais est symétrique, dans le sens que (a,b) E 2, a R b b R a. 2

3 Soient à présent E = Z et n N. La propriété a b est multiple de n est une relation sur Z appelée la relation de congruence modulo n. Si a R b on écrit alors a b [n], (lire a est congru à b modulo n). Par exemple 7 1 [3] puisque 7 1 = 2 3 et 13 2 [3] puisque 13 2 = Définitions Définition Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est une propriété R relative aux éléments de E E (c est-à-dire aux couples d éléments de E). Pour signifier que a est en relation avec b, c est-à-dire que la propriété R(a,b) est vraie, on écrit la plupart du temps a R b. Pour une relation R donnée, l ensemble des couples de E qui sont en relation est un sousensemble de E 2 que l on notera G R. Cet ensemble s appelle aussi le graphe de la relation R. On a donc G R = {(a,b) E 2, a R b}. Les relations binaires sont classées en fonction de leur propriétés. Définition Une relation binaire R sur E est dite - réflexive si a E, a R a, - symétrique si (a,b) E 2, a R b b R a, - antisymétrique si (a,b) E 2, (a R b et b R a) a = b, - transitive si (a,b,c) E 3, (a R b et b R c) a R c. Exemple La relation d égalité est égal à est l unique relation à la fois symétrique et antisymétrique. En effet, si a R b alors par symétrie b R a. Par suite, l antisymétrie implique a = b. La relation est perpendiculaire à sur l ensemble des droites d un plan est seulement symétrique. La relation est parallèle à sur l ensemble des droites d un plan est réflexive, symétrique et transitive. Larelationd inclusionsurl ensemblep(e)dessous-ensemblesdee estdéfiniepar: A R B A B. Elle est réflexive, antisymétrique et transitive puisque : - A P(E), A A, ( 2, - (A,B) P(E)) A B et B A A = B, ( 3, - (A,B,C) P(E)) (A B et B C) A C. La relation sur N définie par a R b adiviseb, est réflexive, antisymétrique et transitive. Pour E = Z (Z\{0}), la relation sur E définie par : (p,q) R (p,q ) pq = p q, est réflexive, symétrique et transitive. Considérons une application f : E F. La relation sur E définie par : x 1 R x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ), est réflexive, symétrique et transitive. Exercice Démontrer les propriétés des relations de ces deux derniers exemples. 3

4 1.2 Relation d ordre Définition On appelle relation d ordre sur un ensemble E une relation binaire sur E qui est réflexive, antisymétrique et transitive. Par exemple la relation est inférieur ou égal à (notée ) sur l ensemble des nombres entiers relatifs Z est une relation d ordre (de même pour Q ou R). Un autre exemple est celui de la relation d inclusion sur l ensemble P(E) des sous-ensembles de E : (A R B A B). Définition Un ensemble E muni d une relation d ordre R est appelé un ensemble ordonné. On note alors (E,R) pour signifier que l on considère cet ensemble avec la relation d ordre R. Un ensemble ordonné (E,R) est dit totalement ordonné si deux éléments quelconques a et b de E sont comparables c est-à-dire si : a E, b E, a R b ou b R a. On dit alors que la relation d ordre est totale. Si ça n est pas le cas, on dit qu elle est partielle. Exemple La relation est strictement inférieur à (notée <) sur Z n est pas une relation d ordre. 2. Les ensembles (Z, ) et (P(E), ) sont des ensembles ordonnés. 3. L ensemble (Z, ) est totalement ordonné. En revanche, l ensemble (P(E), ) ne l est pas si E est un ensemble ayant plus d un élément: en effet, deux éléments distincts x et y de E donnent deux sous-ensembles {x} et {y} de E qui ne sont pas comparables. 4. La relation de divisibilité dans N est une relation d ordre partielle. 5. La relation définie sur R 2 par (x,y) (x,y ) x < x ou (x = x et y y ) est une relation d ordre totale. On l appelle l ordre lexicographique sur R L ordre employé pour les mots d un dictionnaire est aussi un ordre lexicographique. Définition Soit (E, ) un ensemble ordonné et A une partie de E. On dit que M E est un majorant de A si pour tout a A, a M. On dit que m E est un minorant de A si pour tout a A, m a. Un majorant de A qui appartient à A est appelé plus grand élément de A. Un minorant m de A qui appartient à A est appelé plus petit élément de A. Un majorant de A plus petit que tous les autres s appelle borne supérieure de A. Un minorant de A plus grand que tous les autres s appelle borne inférieure de A. 4

5 Exemple Considérons le sous-ensemble A =]2, 3] de l ensemble ordonné (R, ). 4 est un majorant de A, 1 est un minorant de A; 3 est borne supérieure de A, 2 est borne inférieure de A; 3 est un plus grand élément de A. L ensemble A n admet pas de plus petit élément. L ensemble B = [1,+ [ ne possède ni majorant, ni borne supérieure, ni plus grand élément. Considérons le sous-ensemble C = {2,4,6} de N muni de la relation de divisibilité. 2 est le plus petit élément de C (puisqu il divise tous les autres), et est donc aussi sa borne inférieure. C n a pas de plus grand élément car aucun d entre eux n est multiple de tous les autres. Sa borne supérieure, le plus petit multiple commun à 2, 4 et 6, est 12. Proposition Soit (E, ) un ensemble ordonné et A une partie de E. Si A admet un plus grand élément, il est unique. Si A admet un plus petit élément, il est unique. Si A admet une borne supérieure, elle est unique. Si A admet une borne inférieure, elle est unique. Preuve. Montrons l unicité de la borne inférieure. Supposons que m et m soient des bornes inférieures de A. m et m étant des minorants de A plus grands que tous les autres, on a m m et m m. La relation étant antisymétrique, on en déduit m = m. On montre de la même façon les autres propriétés. 1.3 Relation d équivalence Les relations dites d équivalence sont fondamentales. C est un outil qui crée de nouveaux objets mathématiques. Une relation d équivalence R sur un ensemble E permet de coller ensemble les éléments en relation entre eux et d obtenir ainsi un nouvel ensemble E/R, l ensemble quotient de E par R. Définition On appelle relation d équivalence sur un ensemble E une relation binaire sur E qui est réflexive, symétrique et transitive. Exemple Donnons quelques exemples en vrac : -1- La relation d égalité est égal à sur un ensemble E. -2- La relation est parallèle à sur l ensemble des droites d un plan. -3- La relation x et y ont des parties entières égales sur l ensemble R. -4- Pour E un ensemble non vide et F un sous-ensemble de E, La relation sur l ensemble P(E) des sous-ensembles de E définie par : (A R B A F = B F). -5- La relation sur E = N N définie par : (a,b) R (a,b ) a+b = a +b. -6- La relation sur E = Z Z définie par : (p,q) R (p,q ) pq = p q. -7- Pour E l ensemble des suites de nombres rationnels, E = {u = (u n ) n N,u n Q}, la relation sur E définie par : u R v lim n + (u n v n ) = Pour une application f : E F, la relation sur E définie par : x 1 R x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ). -9- La relation de congruence modulo 2π sur R définie par : θ R θ e iθ = e iθ ( k Z, θ = θ +k 2π) -10- Pour P un plan affine, la relation sur P P, appelée relation d équipollence, définie par : (A,B) R (C,D) Les segments [A,D] et [B,C] ont même milieu. 5

6 Exercice La relation sur Z de congruence modulo n. Soit E = Z et n N fixé. La propriété a b est multiple de n est une relation sur Z appelée la relation de congruence modulo n. On écrit a b[n] ou encore a b mod (n) (lire a est congru à b modulo n) pour signifier que a R b. On a donc : a b[n] k Z tel que a b = kn. L ensemble des multiples entiers de n est aussi noté nz. On a donc nz = {kn,k Z}. En utilisant cette notation, la relation sur Z de congruence modulo n s écrit : a b[n] a b nz. Montrer que la relation de congruence modulo n est une relation d équivalence. Remarque Vocabulaire - Une relation d équivalence étant symétrique, si a R b on a aussi b R a, on dit alors simplement que a et b sont en relation. Par exemple on dit que deux droites sont parallèles ou que deux entiers sont congrus modulo n. Si a R b, les vocabulaires a est équivalent à b pour la relation R ou a et b sont équivalents pour la relation R ou encore a et b sont équivalents modulo R sont aussi utilisés dans le cas général. Nous introduisons maintenant la notion de classe d équivalence. Définition Soit E un ensemble muni d une relation d équivalence R et soit x E. On appelle classe d équivalence de x modulo R, le sous-ensemble de E formé des éléments de E équivalents à x. On le note en général C x (ou x ou encore ẋ), ainsi : C x = {y E,y R x} La relation étant réflexive, on a pour tout x E, x R x. La classe d équivalence C x de x contient au moins x et est donc en particulier non vide. Exemple Donnons à présent quelques exemples de classe d équivalence pris parmi les exemples de relation donnés en (1.3.2). - Pour -1-, la classe d un élément x de E est réduite au singleton {x}. - Avec -2-, la classe d équivalence d une droite X est l ensemble des droites du plan parallèles à cette droite X. Une telle classe d équivalence s appelle une direction de droite. - Avec -3-, la classe d équivalence d un réel x est l intervalle [E(x),E(x)+1[ où E(x) est ici la partie entière de x. - En -4-, la classe d équivalence d un sous-ensemble X de E est l ensemble des sous-ensembles Y de E tels que X F = Y F. C X = {Y P(E),X F = Y F} = {(X F) Z,Z P(E \F)} - Avec -5-, pour x N, la classe d équivalence de (0,x) est : C (0,x) = {(a,b) N N,a+x = b} = {(a,a+x),a N} 6

7 - Avec -8-, la classe d équivalence de x E est l ensemble des éléments de E ayant la même image que x par f : C x = {x E, f(x ) = f(x)} = {x E, x f 1 ({f(x)})} = f 1 ({f(x)}) C x est donc l ensemble des antécédents de f(x) par l application f. - Avec -9-, la classe d équivalence de θ R est C θ = {θ +k 2π,k Z}. z Soit z un nombre complexe non nul; z est de module 1. L ensemble des solutions de l équation z z = eix est de la forme C θ où θ R. On appelle argument de z n importe quel élément de cette classe, par exemple θ. On privilégie en général l élément de la classe qui appartient à ] π,π], que l on appelle argument principal de z. - Avec -10-, la classe d équivalence de (A,B) est l ensemble de tous les couples (X,Y) tels que les segments [A,Y] et [B,X] aient même milieu. On l appelle le vecteur d origine A et d extrémité B et on note C (A,B) = AB. Si (A,B)R(C,D) on a donc AB = CD. Exercice Une classe de congruence modulo n. On se donne x Z et n N. 1) Déterminer la classe d équivalence de x pour la relation de congruence modulo n. On note cette classe x. Une telle classe d équivalence est aussi appelée classe de congruence. 2) Montrer que si l on note r le reste de la division euclidienne de x par n alors x = r. Les classes d équivalences vérifient les propriétés suivantes : Théorème Soit R une relation d équivalence sur E. Pour tous x et y éléments de E on a i) x R y C x = C y ii) x R/ y C x C y =. Preuve. Commençons par montrer i) et débutons la preuve par le sens réciproque. Si C x = C y alors comme x C x on a x C y et donc x R y. Montrons à présent le sens direct de i) c est-à-dire montrons que x R y (C x C y et C y C x ). Montrons C x C y. Si z C x alors z R x; comme x R y, par transitivité, on a z R y, c est-à-dire z C y. Donc C x C y. L inclusion réciproque C y C x se montre de la même manière (ou est immédiate par symétrie). Montrons à présent ii). La contraposée de ii) est : C x C y x R y. Il suffit donc de montrer cette équivalence pour montrer ii). Si z C x C y alors (z R x et z R y); par symétrie sur la première relation (x R z et z R y) et la transitivité donne alors que x R y. Réciproquement, si x R y alors d après i), C x = C y et ainsi C x C y, puisque C x est non vide. Ce qui termine la preuve de (1.3.8). Remarquons que l on a pour tous x et y éléments de E C x C y C x C y = Ainsi, deux classes d équivalence distinctes sont disjointes et les classes d équivalence ont pour réunion E. Cela nous amène à définir la notion de partition d un ensemble. 7

8 Définition Soit I un ensemble et (E i ) i I une famille indexée par I de sous-ensembles non vides de E. On dit que la famille (E i ) i I forme une partition de E si les sous-ensembles de cette famille sont deux à deux disjoints et si leur réunion est E, c est-à-dire: (i,j) I 2,i j = E i E j =, et E i = E. On a alors la propiété suivante : Proposition Soit R une relation d équivalence sur E. Les classes d équivalence de E modulo R forme une partition de E. Remarque Réciproquement, si on se donne une partition de E, (E i ) i I, on peut définir une relation d équivalence R telle que les ensembles E i soient exactement les classes d équivalence modulo R. Il suffit de définir la relation : i I a R b i I tel que a E i et b E i. Exemple Les classes de congruence modulo n. Pour la relation de congruence modulo n définie dans Z, on obtient donc pour deux entiers relatifs x et y: x y mod (n) x = y. x / y mod (n) x y =. Si l on note r le reste de la division euclidienne de x par n alors on a obtenu en (1.3.7) que x = r. La relation de congruence modulo n sur Z possède donc n classes d équivalence distinctes données par les classes d équivalence de restes possibles d une division euclidienne par n : 0 ={kn, k Z} 1 ={1+kn, k Z} = n 2 ={(n 2)+kn, k Z} n 1 ={(n 1)+kn, k Z} La famille constituée de ces n sous-ensembles de Z forme donc une partition de Z. Cela dit, on peut considérer ces classes d équivalence comme les éléments d un nouvel ensemble(sous-ensemble de P(Z)). Ce nouvel ensemble est appelé l ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n. Il est noté Z/ nz (lire Z sur nz ), ainsi : Z/ nz = {0, 1,, n 2, n 1} Par ailleurs on dispose d une application, notée en général π, π : Z Z/ nz, x π(x) = x qui à tout entier relatif x associe sa classe d équivalence modulo n. L application π est une surjection, appelée la surjection canonique associée à la relation. Par exemple pour n = 7, la surjection canonique π : Z Z/ 7Z, donne π(15) = 15 = 1. On remarque que π 1 ({1}) = 1 puisque en tant que sous-ensemble de Z on a La section suivante généralise cette situation. 1 = {, 27, 20, 13, 6,1,8,15,22,29, } 8

9 1.4 Ensemble quotient Définition Ensemble quotient- Soit R une relation d équivalence sur E. L ensemble dont les éléments sont les classes d équivalence de E modulo R est appelé ensemble quotient de E par la relation R et est noté E/ R. L application π, π : E E/ R, x π(x) = C x qui à un élément x de E associe sa classe d équivalence est appelée la surjection canonique associée à la relation R. Remarque Pour tout élément x de E, il faut remarquer que π 1 ({C x }) = C x c est-à-dire C x = π 1 ({π(x)}). En effet, pour un x fixé de E, on a pour tout y de E, En particulier π est bien une surjection! π(y) = π(x) C y = C x y C x. Il est quelquefois délicat d interpréter l ensemble quotient E/ R. Pour cela on cherche en général un sous-ensemble F de E où deux éléments distincts de F ont des classes d équivalence distinctes et où toutes les classes d équivalence sont représentées dans F. En d autres termes on cherche un sous-ensemble F de E tel que la restriction de π à F soit bijective. Un tel F E s appelle un système complet de représentants pour la relation R. Exemple Pourlarelationdecongruencemodulo7,lesous-ensembleF = {0,1,2,3,4,5,6} est un bon candidat mais on aurait aussi pu prendre F = { 7,1,16,10,4,19,27}. Dans les deux cas, l application h = π F est bijective : h : F Z/ 7Z, x h(x) = x - Pour la relation de congruence modulo 2π, on note l ensemble quotient R/ 2πZ. L intervalle F =] π,π] est un bon candidat. Mais on peut tout aussi bien prendre l intervalle F = [0,2π[. Dans les deux cas l application h = π F est bijective : h : F R/ 2πZ, θ h(θ) = C θ = {θ +k 2π,k Z} 2 Exercices Exercice 2.1 Dire si les relations suivantes sur E sont réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives, totales, partielles 1. E = Z et x,y Z, xry x = y; 2. E = R et x,y R, xry cos 2 x+sin 2 y = 1; 3. E = R et x,y R, xry x < y; 4. E = C et z,z C, zrz z z ; 5. E = R et x,y R, xry x y 0; 6. Soit X un ensemble non vide et soit E l ensemble des parties de X. Pour A et B deux parties de X on définit la relation: A,B E, ARB (A = B ou A = X \B). 9

10 Exercice 2.2 Soit X un ensemble et P(X) l ensemble des parties de X. Montrer que l inclusion desensemblesestunerelationd ordresurp(x). PourX = {1,2,3,4,5},onposeA = {{1,3},{1,4}}. 1. Dresser la liste des majorants de A, puis des minorants de A. 2. A admet-il un plus grand élément, un plus petit élément? Une borne supérieure? Une borne inférieure? Exercice 2.3 Soit E = {1,2,3,,10} muni de la relation de divisibilité: a R b a divise b. Montrer que cette relation est une relation d ordre. Déterminer le graphe G R de cette relation. En déduire que la relation R n est pas une relation d ordre total sur E. L ensemble E admet-il un plus grand élément? L ensemble E admet-il un majorant dans N? Une borne supérieure? Exercice 2.4 Montrer que la relation suivante sur N est une relation d ordre: p,q N, prq k N,q = p k. Déterminer l ensemble des majorants de l ensemble {2, 3} pour cet ordre. Même question pour l ensemble {2, 8}. Exercice 2.5 On considère l ordre lexicographique sur R 2. 1) Représenter graphiquement l ensemble des majorants et l ensemble des minorants du singleton {(2,3)}. 2) Représenter graphiquement l ensemble A = {(x,y) R 2, ( 1, 3) (x,y) (2,3)}. 3) Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de X = {( 1,2),(2, 3),(2,0)}. Exercice 2.6 L ensemble des applications de R dans R est noté F(R,R). On considère la relation sur l ensemble F(R, R) définie par Déterminer les propriétés de cette relation. f R g x R, f(x) = g(x). Exercice 2.7 L ensemble des applications de R dans R est noté F(R,R). On considère la relation sur l ensemble F(R, R) définie par f R g ( A R +, x R,x > A f(x) = g(x)). 1) Déterminer les propriétés de cette relation. 2) Expliciter le fait que f R/ g. Exercice 2.8 Soit f : R R l application définie par f(x) = x 2 2. Montrer que la relation R définie sur R par xry f(x) = f(y) est une relation d équivalence. Discuter suivant x R, le cardinal de la classe de x modulo R. Mêmes questions avec g : R R définie par g(x) = xe x. On représentera le graphe de g. 10

11 Exercice 2.9 Considérons la relation R définie sur R 2 par : (x,y) R (x,y ) x = x. 1) Démontrer que cette relation est une relation d équivalence. 2) Expliciter la classe d un couple de réels (a,b) de R 2. 3) Soit l application h : R R 2 / R, a C (a,0). Montrer que h est bijective. Exercice 2.10 Soit A une partie non vide de R. On définit la relation R sur A : xry le segment d extrémités x et y est inclus dans A 1. Montrer que R est une relation d équivalence. 2. Dans le cas où A = R\{ 1,1}, déterminer les classes d équivalences modulo R. Exercice 2.11 Construction de Z et de Q 1. Dans N N on considère la relation R définie par (a,b) R (a,b ) a+b = a +b. Montrer que c est une relation d équivalence sur N N. 2. Montrer que {(n,0), n N} {(0,n), n N } est un système complet de représentants pour la relation R. On note généralement n la classe du couple (n,0) et n celle du couple (0,n) et Z le quotient (N N)/R. 3. Sur Z Z on définit la relation d équivalence (a,b) R (a,b ) si et seulement si ab = a b. Montrer que c est une relation d équivalence. Exercice 2.12 (Partiel 2014) Dans tout l exercice, on se fixe X un ensemble, n un entier non nul et l on note F l ensemble des applications de [[1,n]] dans X. On définit la relation R sur F par f R g i [[1,n]], f(i) = g(i). 1. Exprimer en langage mathématique la propriété f R/ g. 2. Montrer que la relation R est une relation d équivalence sur F. 3. Fixons f,g,h des éléments de F. Supposons qu il existe i [[1,n]] tel que f(i) g(i). Montrer que f(i) h(i) ou h(i) g(i). Pour f et g dans F on définit le sous-ensemble de [[1,n]] suivant : D f,g = {i [[1,n]], f(i) g(i)}, et l on note d(f,g) le cardinal de l ensemble D f,g. 4. Pour tous f et g dans F, montrer que d(f,g) = 0 si et seulement si f R g. 5. A l aide de la question 3., montrer que pour tous f,g,h dans F on a : D f,g D f,h D h,g. 11

12 6. En déduire que pour tous f,g,h dans F on a : d(f,g) d(f,h)+d(h,g). 7. On se fixe une application f dans F et on suppose que X est fini de cardinal p. Combien y-a-t-il d applications g dans F satisfaisant d(f, g) = 1? Exercice 2.13 ( ) Soit E un ensemble non vide. On rappelle qu une relation binaire R sur E est une propriété qui concerne les éléments (a,b) de E E. Pour une relation R donnée on notera ici G R le sous-ensemble de E E des couples en relation, soit G R = {(a,b) E E, a R b}. On note R(E) l ensemble des relations binaires sur E. Deux relations binaires sur E, R 1 et R 2 (autrement dit deux élements de R(E)) sont distincts lorsque G R1 G R2, c est-à-dire lorsque G R1 / G R2 ou G R2 / G R1. 1. Exprimer en terme de couples le fait que G R1 G R2, le fait que G R1 = G R2, le fait que G R1 / G R2 et le fait que G R1 G R2. 2. Soit P(E E) l ensemble des sous-ensembles de E E. Soit G un sous-ensemble quelconque de E E (c est-à-dire G P(E E)). On associe à G la relation binaire notée R G sur E suivante : a R G b (a,b) G. Montrer que l application f : f : P(E E) R(E) G R G est bijective et expliciter f 1. En déduire que si card(e) = n alors le nombre de relations binaires sur E est 2 (n2). 3. Pour n = 2, déterminer le nombre de relations qui ne sont ni d ordre, ni d équivalence. 4. Pour n = 4, déterminer le nombre de relations qui ne sont ni d ordre total, ni d équivalence. 12

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