Les nombres complexes

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1 Exercices 9 novembre 014 Les nombres complexes Aspect géométrique Exercice 1 1) D est le point de coordonnées ( 3; 3). Quel est son affixe? ) On donne les points A, B, C d affixes respectives : z A = 3+i, z B = 3 i, z C = i Calculer le module et un argument pour ces trois affixes. Que peut-on déduire pour les points A, B et C. 3) Placer les points A, B, C et D à la règle et au compas. 4) Quelle est la nature du quadrilatère AOCD. Pourquoi? 5) Quel est l affixe du point E tel que ODEB soit un parallélogramme? Exercice Dans chacun des cas suivants, représenter l ensemble des point M dont l affixe z vérifie l égalité proposée. 1) z =3 ) Re(z)= 3) Im(z)=1 Opération dansc Exercice 3 Donner la forme algébrique des complexes suivant : 1) z=3+i 1+3i ) z=6+i (+4i) 3) z=1 3i 4 5+8i 4) z=(1+i)(4+3i) 5) z=(3 i)(+7i) 6) z=(1+i) 7) z=(3+i 5)(3 i 5) 8) z=( 5i) 9) z=(1+i)( 3i)(1+i) 10) z=(+i) (1 i) Exercice 4 Donner la forme algébrique des complexes suivants en rendant réel le dénominateur : 1) z= 1 1 i 1 ) z= i 3 1 3) z= 4 3i 4) z= 4 6i 3+i 5) z= 5+15i 1+i 6) z= 1+i 1 i 7) z= 3 6i i 3 i ( )( ) 4 6i 1+3i 8) z= 3i 3+i paul milan 1 Terminale S

2 Résolution d équation du 1 er degré dansc Exercice 5 Résoudre danscles équations suivantes. Donner la solution sous forme algébrique. 1) (1+i)z=3 i ) z+1 i=iz+ 3) (z+1 i)(iz+3)=0 4) z+1 z 1 = i 5) (iz+1)(z+3i)(z 1+4i)=0 Exercice 6 Résoudre les systèmes suivants dansc : 1) { 3z+z = 5i z z = +i 3) { iz+z = i 3z iz = 1 ) { 3z+z = 5+i z+z = 1 i 4) { z z = i iz+z = 1 Complexe conjugué Exercice 7 Donner la forme algébrique du conjugué z des complexes suivants : z 1) z=3 4i ) z= 1 i 1 3) z= 3 i 1+i 4) z= i+1 i+ + 1 i i Exercice 8 Résoudre danscles équations d inconnue z suivantes : 1) z=i 1 ) (z+1 i)(i z+i )=0 3) z 1 z+1 = i Exercice 9 Soit z= x+iy avec x et y réels ; on note Z le nombre complexe : Z= z z+. 1) Calculer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z. ) Résoudre danscl équation : Z= 0 d inconnue z. Exercice 10 Soit z= x+iy avec x et y réels. À tout complexe z, on associe Z= z +6i. 1) Calculer en fonction de x et de y, les parties réelle et imaginaire de Z. ) Existe-t-il des complexes z tels que Z= z? paul milan Terminale S

3 Exercice 11 Dans le plan complexe, M est point d affixe z= x+iy, x et y réels. À tout complexe z, z 1, on associe : z = 5z z 1 1) Exprimer z + z en fonction de z et z. ) Démontrer que «z est un imaginaire pur» est équivaut à «M est un point d un cercle privé d un point». Exercice 1 Pour tout complexe z différent de i, on pose : z = iz 1. Prouver que : z i z R z =1 Vrai-Faux Exercice 13 Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. 1) Si z+z=0, alors z=0. ) Si z+ 1 = 0, alors z=iou z= i. z 3) Si z =1et si z+z =1, alors z = 0. Équations du second degré Exercice 14 Résoudre dansc, chacune des équations suivantes. 1) z 6z+5=0 ) z 5z+9=0 3) z z+3=0 4) z = z+1 5) z + 3=0 6) z (1+ )z+( +)=0 Exercice 15 θ est un réel donné 1) Résoudre l équation (E) : z cosθz+1=0 ) Dans le plan complexe (O, u, v ), A et B sont les point ayant pour affixe les solutions de l équation (E). Quelles sont les valeurs deθpour lesquelles le triangle OAB est équilatéral? Exercice 16 { z1 z = 5 Résoudre danscle système suivant : z 1 + z = Exercice 17 Trouver le complexe p et q tels que l équation : z + pz+q=0 admette pour solutions les nombres : 1+i et 3 5i paul milan 3 Terminale S

4 Exercice 18 Résoudre danscles équations suivantes : 1) z 4 + 3z + =0 ) z 4 3z 144=0 Polynômes de degré supérieur Exercice 19 On pose pour tout complexe z : 1) Vérifier que : f (z)=(z i)(z 3z+4) ) Résoudre dans C l équation : f (z) = 0 Exercice 0 f (z)=z 3 ( 3+i)z + 4(1+i 3)z 8i 1) Montrer que z 3 1=(z 1)(z +z+1) puis en déduire les solutions danscde z 3 1=0. ) On désigne par j le complexe : 1 + i 3 Calculer j, j 3, j 006 Calculer S= 1+ j+ j + + j 006 Exercice 1 On considère le polynôme : P(z)=z 4 19z + 5z 40 1) Déterminer les réels a et b tels que : P(z)=(z + az+b)(z + 4z+a) ) Résoudre alors dansc, l équation : P(z)=0 Exercice Pour tout complexe z, on considère : f (z)=z 4 10z z 90z+61 1) b est réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaires de f (ib). ) En déduire que l équation f (z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution. 3) Démontrer qu il existe deux nombres réelsαetβque l on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z, 4) Résoudre alors dans C, l équation f (z) = 0 f (z)=(z + 9)(z +αz+β) Forme trigonométrique d un nombre complexe Exercice 3 Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : 1) z 1 = +i 3 ) z = +i 3) z 3 = 4 4i 4) z 4 = i 3 4 5) z 5 = i 6) z 6 = 4 1 i paul milan 4 Terminale S

5 exercices Exercice 4 Dans le repère orthonormal direct,on a représenté le carré ABCD ci-contre. B 1 A Donner l affixe et un argument de chacun des sommets du carré ABCD 1 C O 1 1 D Exercice 5 À l aide d une calculatrice, donner une valeur approchée en degré à 10 près d un argument de chacun des nombres complexes suivants : 1) z=4 3i ) z=1+i 3) z= +i Exercice 6 Trouver une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants : 1) z=(1 i) ) z= 1 i 3 1+i 3) z= ( 3+i) 9 (1+i) 1 Exercice 7 On donne les nombres complexes suivants : z 1 = 1) Donner le module et un argument de z 1, z et z 1 z ) Donner la forme algébrique de z 1 z 3) En déduire que : cos π 1 = 6+ 4 Forme exponentielle Exercice 8 6 i et et sin π 1 = 6 4 Donner une forme exponentielle de chacun des complexes suivants : 1) z 1 = 3+6i ) z = (1+i 3) 4 3) z 3 = z = 1 i ( cos π ) 5 i sinπ 5 Exercice 9 Dans chacun des cas suivants, écrire z sous la forme exponentielle et en déduire la forme algébrique de z et 1 z. 1) z 1 = 6 1+i ) z = 3i e iπ 3 3) z 3 = 1e iπ 4 paul milan 5 Terminale S

6 Ensemble de points Exercice 30 Déterminer et construire les ensemblesγ 1,Γ etγ 3 des points dont l affixe z vérifie la condition proposée. 1) z=3e iα avec α [0; π[ ) z=r e iπ 4 avec r [0;+ [ 3) z=k e iπ 3 avec k R Exercice 31 A et B ont pour affixes respectives 1 et 3+i. Déterminer puis construire les ensemblesγ 1 etγ, ensemble des points M dont l affixe z satisfait les conditions suivantes : 1) z 1 = z (3+i) ) z (3+i) =1 Exercice 3 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ). On appelle f l application, qui, à tout nombre complexe z différent de i, associe Z= f (z)= z +i. z+i 1) On pose z= x+iy, avec x et y deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y. On vérifiera que Re(Z)= x + y x+3y+ et Im(Z)= x+y+4 x + (y+) x + (y+). soyez patient et méthodique! ) En déduire la nature de : a) l ensemble E des points M d affixe z, tels que Z soit un réel ; b) l ensemble F des points M d affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul. c) Représenter ces deux ensembles. Exercice 33 La Réunion juin 010 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ). On considère le point A d affixe 1+i. On associe, à tout point M du plan d affixe z 0, le point M d affixe z = z 1 i z Le point M est appelé le point image du point M. 1) a) Déterminer, l affixe du point B, image du point B d affixe i. b) Montrer que, pour tout point M du plan d affixe z non nulle, l affixe z du point M est telle que z 1. ) Déterminer l ensemble des points M du plan d affixe z non nulle pour lesquels l affixe du point M est telle que z =1. 3) Quel est l ensemble des points M du plan d affixe z non nulle pour lesquels l affixe du point M est un nombre réel? paul milan 6 Terminale S

7 Triangle Exercice 34 On donne les points A, B et C d affixes respectives a, b et c 1) Placer les points A, B et C. ) Quelle est la nature du triangle ABC? a= i b= 5 4 i c= i 3) Calculer l affixe de A tel que ABA C soit un carré. Exercice 35 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u ; v ), on considère les points A, B et C d affixes respectives a= +i, b= 3 6i et c=1. Quelle est la nature du triangle ABC? Exercice 36 Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives a= i, b= 1+7i, c=4+i, d= 4 i 1)Ω est le point d affixeω= 1+i Prouver que A, B, C, D appartiennent au cercle de centreωet de rayon 5. ) On note e l affixe du milieu E de [AB]. Calculez e puis prouver que a e d e = c e a e La droite (EA) est une droite remarquable du triangle DEC ; préciser laquelle. Exercice 37 Polynésie septembre 011 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ). L unité graphique est 1 cm. On désigne par A, B et C les points d affixes respectives z A = 3i, z B = i et z C = 6 i. On réalisera une figure que l on complétera au fur et à mesure des questions. Partie A 1) Calculer z B z A z C z A. ) En déduire la nature du triangle ABC. Partie B On considère l application f qui, à tout point M d affixe z distincte de i, associe le point M d affixe z telle que : z = i(z +3i) z i paul milan 7 Terminale S

8 1) Soit D le point d affixe z D = 1 i. Déterminer l affixe du point D image du point D par f. ) a) Montrer qu il existe un unique point, noté E, dont l image par l application f est le point d affixe i. b) Démontrer que E est un point de la droite (AB). 3) Démontrer que, pour tout point M distinct du point B, OM = AM BM. 4) Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B, on a l égalité : ( u, ) ( ) OM = BM, AM + π à π près 5) Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 6) Démontrer que si le point M appartient à l axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point M appartient à la droite (AB). Exercice 38 Polynésie juin 006 Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, u, v ) ; unité graphique cm. On appelle A et B les points du plan d affixes respectives a=1 et b= 1. On considère l application f qui, à tout point M différent du point B, d affixe z, fait correspondre le point M d affixe z définie par z = z 1 z+1 On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice. 1) Déterminer les points invariants de f c est-à-dire les points M tels que M=f(M). ) a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 1, (z 1) (z+1)=. b) En déduire une relation entre z 1 et z+1, puis entre arg(z 1) et arg(z+1), pour tout nombre complexe z différent de 1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d angles. 3) Montrer que si M appartient au cercle (C ) de centre B et de rayon, alors M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. 4) Soit le point P d affixe p= +i 3. a) Déterminer la forme exponentielle de (p+1). b) Montrer que le point P appartient au cercle (C ). c) Soit Q le point d affixe q= p où p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P et Q sont alignés dans cet ordre. d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l image P du point P par l application f. paul milan 8 Terminale S

9 Vrai-Faux et QCM Exercice 39 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v ). 1) Soient A le point d affixe 5i et B le point d affixe 7 3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle. ) Soit ( ) l ensemble des points M d affixe z telle que z i = z+i. Proposition : ( ) est une droite parallèle à l axe des réels. 3) Soit z=3+i 3. Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z 3n est imaginaire pur. 4) Soit z un nombre complexe non nul. Proposition 4 : Si π est un argument de z alors i+z =1+ z. 5) Soit z un nombre complexe non nul. Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z + 1 est un nombre réel. z Exercice 40 N lle Calédonie nov 013 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ). Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1) Proposition 1 : Pour tout entier naturel n : (1+i) 4n = ( 4) n. ) Soit (E) l équation (z 4) ( z 4z+8 ) = 0 où z désigne un nombre complexe. Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dansc, de (E) sont les sommets d un triangle d aire 8. 3) Proposition 3 : Pour tout nombre réelα, 1+e iα = e iα cos(α). 4) Soit A le point d affixe z A = 1 (1+i) et M n le point d affixe (z A ) n où n désigne un entier naturel supérieur ou égal à. Proposition 4 : si n 1 est divisible par 4, alors les points O, A et M n sont alignés. 5) Soit j le nombre complexe de module 1 et d argument π 3. Proposition 5 : 1+ j+ j = 0. paul milan 9 Terminale S

10 Complexe et suite Exercice 41 Amérique du Sud nov 013 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l équation (E) : z z 3+4=0 1) Résoudre l équation (E) dans l ensemblecdes nombres complexes. ) On considère la suite (M n ) des points d affixes z n = n e i ( 1)nπ 6, définie pour n 1. a) Vérifier que z 1 est une solution de (E). b) Écrire z et z 3 sous forme algébrique. c) Placer les points M 1, M, M 3 et M 4 sur la figure donnée ci-dessous et tracer, les segments [M 1, M ], [M, M 3 ] et [M 3, M 4 ]. 3 3) Montrer que, pour tout entier n 1, z n = n + ( 1)n i. 4) Calculer les longueurs M 1 M et M M 3. Pour la suite de l exercice, on admet que, pour tout entier n 1, M n M n+1 = n 3. 5) On notel n = M 1 M + M M 3 + +M n M n+1. a) Montrer que, pour tout entier n 1,l n = 3 ( n 1). b) Déterminer le plus petit entier n tel quel n O paul milan 10 Terminale S

11 exercices Exercice 4 Pondichéry avril 014 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (O, u, v ). Pour tout entier naturel n, on note A n le point d affixe z n défini par : z 0 = 1 et z n+1 = i z n On définit la suite (r n ) par r n = z n pour tout entier naturel n. 1) Donner la forme exponentielle du nombre complexe i. 3 ) a) Montrer que la suite (r n ) est géométrique de raison. b) En déduire l expression de r n en fonction de n. c) Que dire de la longueur OA n lorsque n tend vers+? 3) On considère l algorithme suivant : a) Quelle est la valeur affichée par l algorithme pour P=0, 5? b) Pour P=0, 01 on obtient n=33. Quel est le rôle de cet algorithme? 4) a) Démontrer que le triangle OA n A n+1 est rectangle en A n+1. b) On admet que z n = r n e i nπ 6. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A n est un point de l axe des ordonnées. c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A 6, A 7, A 8 et A 9. Les traits de construction seront apparents. Variables : n entier naturel R réel et P réel positif Entrées et initialisation Lire P 1 R 0 n Traitement tant que R>P faire fin n+1 n 3 R R Sorties : Afficher n A 3 A A 4 A 1 A 5 O A 0 paul milan 11 Terminale S

12 Exercice 43 Liban mai 014 On considère la suite de nombres complexes (z n ) définie par z 0 = 3 i et pour tout entier naturel n : z n+1 = (1+i)z n. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose u n = z n. 1) Calculer u 0. ) Démontrer que (u n ) est la suite géométrique de raison et de premier terme. 3) Pour tout entier naturel n, exprimer u n en fonction de n. 4) Déterminer la limite de la suite (u n ). 5) Étant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l aide d un algorithme, la plus petite valeur de l entier naturel n telle que u n > p. Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l entier n. Variables : u, p réels n entier Entrées et initialisation 0 n u Lire p Traitement Sorties : Partie B 1) Déterminer la forme algébrique de z 1. ) Déterminer la forme exponentielle de z 0 et de 1+i. En déduire la forme exponentielle de z 1. ( π 3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos 1) Exercice 44 Centres étrangers juin 014 On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z par : z 0 = 16 z n+1 = 1+i z n, n N On note r n le module du nombre complexe z n : r n = z n. Dans le plan muni d un repère orthonormé direct d origine O, on considère les points A n d affixes z n. 1) a) Calculer z 1, z et z 3. b) Placer les points A 1 et A sur le graphique ci-après. c) Écrire le nombre complexe 1+i sous forme trigonométrique. paul milan 1 Terminale S

13 exercices d) Démontrer que le triangle OA 0 A 1 est isocèle rectangle en A 1. ) Démontrer que la suite (r n ) est géométrique, de raison. La suite (r n ) est-elle convergente? Interpréter géométriquement le résultat précédent. On note L n la longueur de la ligne brisée qui relie le point A 0 au point A n en passant successivement par les points A 1, A, A 3, etc. n 1 Ainsi L n = A i A i+1 = A 0 A 1 + A 1 A + +A n 1 A n. i=0 3) a) Démontrer que pour tout entier naturel n : A n A n+1 = r n+1. b) Donner une expression de L n en fonction de n. c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (L n ). 8 6 A A 4 O A 5 A 6 A paul milan 13 Terminale S