CHAPITRE 1 EQUATIONS ET INEQUATIONS

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1 CHAPITRE 1 EQUATIONS ET INEQUATIONS 1- EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE La forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue est Ax = B où A et B sont des constantes et x l'inconnue. Si A 0 : L'équation A x =B admet une solution unique x= B/A Si A=0 et B0 : L'équation est impossible (n'a pas de solutions) Si A=0 et B=0 : L'équation est indéterminée (infinité de solutions) Exemple 1.1 : Résoudre l équation : (x + 5) - 3(x-) = 5x - Dans un premier temps, on développera et on mettra cette équation sous sa forme générale (x + 5) - 3(x-) = 5x - x +10-3x +6 = +5x - x - 3x - 5x = ( On rappelle que lorsque l on transpose un terme d un membre d une équation ou d une inéquation vers l autre, on change le signe de ce terme ) On trouve -6x = -18 ( forme générale avec A = - 6 et B= -18). La solution de cette équation est alors : x = 3 Exemple 1. : Résoudre l équation : x + 6-3(x-) + 4(x + 3) = 0 En développant, on trouve : x + 6-6x x +1 = 0 soit 0 x +4= 0 ou encore 0 x= -4 ( impossible). Cette équation est impossible Exemple 1.3 : Résoudre : 10x (3x-3) - 4(x + 3) = 0 En développant, on trouve : 10x + 6-6x + 6-4x -1 = 0 soit 0x = 0 ( indéterminée). Cette équation est indéterminée. - INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE Une inéquation du premier degré à une inconnue a pour forme générale l'une des formes suivantes : A x > B ; A x B ; A x < B ; A x B où A, B, sont des constantes et x l'inconnue à rechercher. La précaution à prendre dans la résolution des inéquations du premier degré à une inconnue est l'inversion du sens de l'inéquation lorsque A est négatif

2 Règle : Lorsque l'on multiplie ou l on divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l'inéquation. 5 x > 10 x > 5 et - 5 x > 10 x < - Exemple.1 : Résoudre l'inéquation : (x-4)+ 3(x+7) < 5(x+3) Comme pour une équation, on développe pour mettre cette inéquation sous la forme générale. 4 x x + 1 < 5 x x + 6 x - 5 x < x < soit x < /5 On écrit : S = ] - ; /5[ ( la solution est représentée par l intervalle non hachuré) Exemple. : Résoudre l'inéquation: 3(1-x) (3+x) (3+x) Le développement de cette inéquation donne : 3-3 x 6 4 x x soit - 3 x 4x - 4 x ou encore - 11 x 9 ce qui donne ( A étant négatif, on change le sens de l inéquation ) La solution de cette inéquation s écrit : S = [- 9/11 ; + [ 9 x 11 Exemple.3 : Résoudre l'inéquation : 4(1-3x) (5x ) > 5 On développe : 4-1 x 10 x + 4 > 5-1 x 10 x > ou encore - x > - 3 soit x < -3 / - = 3/ S = ] - ; 3/ [ Exemple.4 : Résoudre l'inéquation: 5(x + 3) 4(1 x) > 7(x +3) On obtient en développant : 10 x x > 14x x + 4x 14x > ou encore 0 x > 10 Cette inéquation est impossible car 0x=0 et 0 n est pas supérieur à 10. On écrit S = (ensemble vide )

3 Exemple.5 : Résoudre l'inéquation : 6(x+) + 8(1 x) > -5(x+4) En développant, cette inéquation devient : 6 x x > -10 x - 0 6x 16x + 10x > ou encore 0 x > - 40 Cette inéquation est indéterminée car 0 x =0 et 0 est toujours supérieur au nombre négatif 40. On écrit S = R = ]- ; + [ ( ensemble des nombres réels) 3- SYSTEMES D INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE Pour résoudre un système d inéquations du premier degré à une inconnue : 1- On résout chaque inéquation séparément - On détermine la solution commune (à partir de la droite réelle) Exemple 3.1 : Résoudre le système d inéquations (3x 4) 5(x 3) 4(1 3x) 10 4(3x ) 5(x 6) 6(x 1) On résout chacune des inéquations séparément : Première inéquation : (3x 4) 5(x+3) > 4(1-3x) 10 6x 8 10x 15 > 4 1x - 10 ou encore 6x 10x + 1x > soit 8 x > 17 d où x > 17/8 Deuxième inéquation : 4(3x + ) 5(x - 6) 6( x + 1) 1 x x x x 10 x 1 x ou encore -10 x - 3 soit x 3/10 Solution commune : On reprend les deux droites précédentes sur la même droite réelle La solution du système est : S = ] 17/8 ; 3/10 ] 4- INEQUATIONS SIMULTANEES

4 Les inéquations simultanées se ramènent à un système classique d inéquations. Exemple 4.1 : Résoudre 3(x-5) + (1-x) < 5x 3 < 3(x-) + ( x 5) Ces inéquations peuvent s écrire sous la forme du système suivant : 3x 15 4x 5x 3 5x 3 3x 6 4x 10 soit 6x 10 x 13 c'est-à-dire ou x 10/ 6 x 13/ 3x 4x 5x x 3x 4x d où la solution commune : x > 13/ ou encore ]13/ ; +[ 5- SYSTEME DE DEUX EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES La forme générale d un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est : ax by c a'x b'y c' où a, b, c,a, b ; et c sont des constantes, x et y sont les inconnues On peut résoudre ce système par la méthode de substitution ou d addition. On exposera ces deux méthodes à travers le même exemple. Exemple 5.1 : Résoudre le système suivant : x 3y 1 5x y 3 Méthode de substitution Elle consiste à exprimer à partir d une des deux équations, une inconnue en fonction de l autre et ensuite remplacer dans l autre équation pour aboutir alors à une équation à une seule inconnue. De la première équation, exprimons x en fonction de y : x +3y = -1 implique 1 3y x On remplace dans la deuxième équation par x ainsi trouvé en fonction de y 1 3y 1 3y y 3 soit 5 y ou encore 5( 1 3y) 4y 6 Ce qui donne 5( 1 3y) 4y 5 15y 4y 6 soit : y 1 1 3y 1 3 On trouve alors la valeur de x : x 1 La solution du système est : ( x,y) (1, 1) Méthode d addition Elle consiste à multiplier une ou les deux équations par des constantes de telle manière que les termes en x ou en y soient opposés. On additionne alors membre à membre les nouvelles équations pour aboutir à une inconnue uniquement. Reprenons le système précédent et multiplions la première équation par et la deuxième équation par -3. On obtient :

5 4x 6y 15x 6y 9 L addition membre à membre donne : 11x 11 soit x 1 On remplace dans une des deux équations x par sa valeur pour trouver la valeur de y. On trouve y 1 La solution du système est alors (x,y) = (1,-1) Remarque : La solution d un système de deux équations du premier degré à deux inconnues représente géométriquement les coordonnées du point d intersection des deux droites formées par les deux équations. 6- SYSTEME DE DEUX INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES La résolution d un système d inéquations du premier degré à deux inconnues ne peut se faire que graphiquement. On rappelle qu une équation du premier degré de la forme ax+by=c représente une droite du plan et que l inéquation ax+by>0 est une partie du plan. Ainsi l inéquation x + 5y > 10 est la partie non hachurée de la représentation ci-dessous :

6 La résolution d un système d inéquations consiste donc à trouver la partie du plan qui vérifie chacune des inéquations. Exemple 6.1 : x 3y 6 x 3y 3 Résoudre graphiquement le système suivant 7- EQUATIONS ET INEQUATIONS DU SECOND DEGRE A UNE INCONNUE. Une équation du second degré à une inconnue a pour forme générale Ax Bx C 0 où A, B et C sont des constantes ( A 0) et x l inconnue

7 Une inéquation du second degré à une inconnue se présente sous l une des formes générales suivantes : Ax Bx C 0 ; Ax Bx C 0 ; Ax Bx C 0 ou Ax Bx C 0 L expression Ax Bx C est appelée trinôme du second degré en x (A 0). Résoudre une équation ou une inéquation du second degré à une inconnue x revient pratiquement à étudier le trinôme Ax Bx C et pour cela, on utilise le théorème fondamental suivant : Théorème fondamental : Pour étudier le trinôme T(x) = Ax Bx C, on détermine tout d abord le discriminant que l on notera, sauf avis contraire, par et qui est égal à B 4AC. Trois cas peuvent se présenter : > 0 a) L équation Ax Bx C 0 admet deux solutions données par : x 1 et x sont appelées racines du trinôme T(x) B x1 B et x A A b) Le trinôme T(x) est du signe de A à l extérieur des racines et du signe contraire à celui de A à l intérieur des racines. c) Le trinôme T(x) se factorise sous la forme (x) A(x x )(x x ) = 0 T 1 a) L équation Ax Bx C 0 admet une solution double ( les deux solutions x1 et x sont égales) : x 1= x B A b) Le trinôme T(x) est du signe de A quelque soit x différent de B/A c) Le trinôme T(x) se factorise sous la forme T(x) A(x x 1 ) A(x x ) < 0 a) L équation Ax Bx C 0 n admet pas de solutions réelles. b) Le trinôme T(x) est du signe de A quelque soit x c) Le trinôme T(x) ne peut pas se factoriser en produit de facteurs du premier degré. Exemple 7.1 : Etudier les trinômes suivants : x 3x 5 3 x 4x 4 4 x 0x 5

8 x 3x 5 Le Trinôme x 3x 5 est sous la forme générale A x Bx C avec A= B=3 et C= - 5 Le discriminant est donné par = B 4AC = 9 4()(-5) = 49 B a) Ce trinôme admet donc deux racines x A ( ) 4 B et x A ( ) 4 5 b) Ce trinôme se factorise sous la forme A (x - x1)( x - x) = [ x -( 5 )] ( x-1) = (x+ 5 ) (x -1) ou encore x +3x-5= (x+5)(x-1) c) Ce trinôme est du signe de A donc positif à l extérieur des racines et négatif à l intérieur des racines c est dire : x +3x-5 0 pour x ]- ; -5/] [1 ; +[ x +3x-5 0 pour x [ -5/ ; 1] Le Trinôme 3 x 4x 4 est sous la forme générale A x Bx C avec A= - 3 B=4 et C=4 Le discriminant est donné par = B et 4AC = 16 4(-3)(4) = 64 B a) Ce trinôme admet donc deux racines x A ( 3) 1 6 B et x A ( 3) 6 b) Ce trinôme se factorise sous la forme 3 A (x - x1)( x - x) = -3 (x-) ( x - ( 3 ) ) = -3 (x-)(x+ 3 ) ou encore -3x +4x+4 = - (x-) (3x+) c) Ce trinôme est du signe de A donc négatif à l extérieur des racines et positif à l intérieur des racines c est dire -3x +4x+4 0 pour x ]- ; -/3] [ ; +[ et -3x +4x+4 0 pour x [ -/3 ; ] Le Trinôme 4 x 0x 5 est sous la forme générale A x Bx C avec A=4 B= -0 et C= 5 Le discriminant est donné par = B 4AC = 400 4(4)(5) = 0 0 a) Ce trinôme admet donc une racine double 0 x1 x B ( ) A ( 4) 8 5

9 5 1 ) 4 x x 5 b) Ce trinôme se factorise sous la forme A(x x c) Ce trinôme est du signe de A donc positif quelque soit x différent de 5/ Le Trinôme x 3x 5 est sous la forme générale A x Bx C avec A=1 B= 3 et C= 5 Le discriminant est donné par = B a) Ce trinôme n admet pas de racine 4AC = 9 4(1)(5) = -11 b) Ce trinôme ne se factorise pas sous la forme d un produit de facteurs du premier degré c) Ce trinôme est du signe de A donc positif quelque soit x c est à dire x +3x+5 0 pour x R. Pour résoudre des équations et inéquations du second degré, on applique ce théorème fondamental. Exemple 7. : Résoudre l équation suivante : (x - )(x- 3) - (1- x)(4- x) = 3(x ) ( x 5) On commence par développer cette expression, puis on l écrira sous la forme générale d une équation du second degré. (x 4)(x - 3) (4 - x- 4x+ x ) = (3 x 6)(x 5) (x - 4x 6x + 1) ( 4-6x+ x ) = (3x -6x-15x +30) x - 4x 6x x-x - 3x +6x+15x 30 = 0-3x + 17x - = 0 Résoudre l équation donnée consiste donc à trouver les racines du trinôme - 3 x +17x - = B 4AC = 89-4(- 3)(- ) = 5 B x1 B = 11/3 et x A A On dira que l équation proposée admet deux solutions 11/3 et : S = 11/3 ; Exemple 7.3 : Résoudre l inéquation suivante : 3(x-1)(x-3) (3-x)(4-x) < 0 De la même manière que pour l équation, on développe et on aboutit à la forme générale de cette inéquation. (3x-3)(x-3) (6-x)(4-x) < 0 3 x - 9x 3x x + 8x 4 x < 0 - x + 8 x 15 < 0 (forme générale d une inéquation du second degré)

10 L étude du trinôme - x + 8 x 15 donne B 4AC = 64 4(-1)(-15) = 4 B Ce trinôme admet donc racines qui sont : x1 B = 5 et x A = 3 A Ce trinôme est du signe de A donc négatif à l extérieur des racines et du signe contraire (positif) à l intérieur de ces racines. La solution de l inéquation -x + 8x 15< 0 est alors : x ]- ; 3[ ]5 ; +[ Exemple 7.4 : Résoudre l inéquation suivante : (x-1)(1-x)+(x-)(x-4) (x-3)(-x) Le développement et la réduction de cette inéquation aboutissent à la forme générale -x - 5x+1 0. Le trinôme -x - 5x + 1 admet pour discriminant B 4AC = 11. Les racines de ce trinôme sont égales à - 4 et 3/. D après le théorème, -x -5x+1 est du signe de A c est à dire négatif à l extérieur des racines et du signe contraire donc positif à l intérieur des racines. La solution de l inéquation proposée est alors : S = [- 4 ; 3/] Exemple 7.5 : Résoudre - 3 x + 4x - 5 < 0 Le discriminant de ce trinôme est B 4AC = 16-4(-3)(-5) = - 44 ( négatif). Le trinôme 3x + 4x - 5 n a pas de racines et il est du signe de A c est à dire négatif quel que soit x R. La solution de l inéquation proposée est alors S= R = ]- ; +[. Exemple 7.6 : Résoudre - 3x + 4x - 5 > 0 Il s agit du même trinôme que précédemment. Le discriminant étant négatif, le trinôme - 3x + 4x - 5 n a pas de racines et il est du signe de A c est à dire négatif quel que soit x R. L inéquation proposée n a alors pas de solutions. Exemple 7.7 : Résoudre 5x - 0x + 4 > 0 Le discriminant du trinôme 5x - 0x + 4 est nul. L application du théorème permet de conclure que ce trinôme admet une racine double égale à -B/A = /5 Il est du signe de A donc strictement positif quel que soit x différent de /5. La solution de l inéquation proposée est alors : S = R {/5} =]- ; /5[ ] /5 ; + [ Remarques : La solution de l inéquation 5x - 0x est R =] - ; +[ La solution de l inéquation 5x - 0x + 4 < 0 est l ensemble vide ( ) La solution de l inéquation 5x - 0x est S = {/5}

11 4 3 Exemple 7.8 : Résoudre 1 x 1 x Cette inéquation est définie lorsque x-1 0 et x- 0 soit x 1 et x. La réduction au même dénominateur donne : 4(x ) 3(x 1) (x )(x 1) 0 (x 1)(x (x )(x 1) (x )(x 1) 4x 8 3x 3 x x x soit : 0 (x 1)(x ou encore x x 3 0 (x 1)(x La résolution de cette inéquation (signe d une fraction rationnelle) se fait en 3 étapes : - déterminer le signe du numérateur et du dénominateur - déterminer le signe de la fraction par le tableau des signes - Déduire la solution de l inéquation. Signe du numérateur x -x-3 : = 4 4(1)(-3) = 16. Il existe deux racines -1 et 3 x -x-3 > 0 pour x ]- ; -1 [ ] 3 ; + [ x -x-3 < 0 pour x ]-1 ; 3 [ Signe du dénominateur Le dénominateur est un produit de deux facteurs, on détermine le signe de chacun des facteurs Tableau des signes : La solution de l inéquation proposée est alors S = ]-1 ; 1 [ ] ; 3[ Exemple 7.9 : Résoudre le système suivant :

12 x 3x 5 0 x x 0 x 3x 9 0 Comme dans le cas d un système du premier degré, on résout séparément chacune des inéquations, et à partir de la droite réelle, on détermine la solution commune. Première inéquation : = 9 4()(-5) = 49. Il existe deux racines du trinôme x 1 = -5/ et x =1. Le trinôme x + 3x- 5 est du signe de A donc positif à l extérieur des racines et du signe contraire (négatif) à l intérieur des racines. L inéquation x + 3x - 5 > 0 a donc pour solution S1 = ]- ; - 5/ [ ]1; + [. Deuxième inéquation : = 1 4(-1)() = 9. Il existe deux racines du trinôme x 1 = -1 et x =. Le trinôme -x +x+ est du signe de A donc négatif à l extérieur des racines et du signe contraire ( positif) à l intérieur des racines. L inéquation x +x+ 0 a donc pour solution S = ]- ; - 1 ] [; + [ Troisième inéquation : = 9 4()(-9) = 81. Il existe deux racines du trinôme x 1 = - 3/ et x =3. Le trinôme x - 3x - 9 est du signe de A donc positif à l extérieur des racines et du signe contraire (négatif) à l intérieur des racines. L inéquation x - 3x a donc pour solution S3 = ]- ; - 3/] [3; + [. La solution commune donc solution du système est : S = ]- ; - 5/[ [3; +[. 8-- SOMME ET PRODUIT DES RACINES Lorsque le discriminant du trinôme Ax Bx C est positif, les racines de ce trinôme B sont données par x1 B et x A. La somme de ces racines alors égale à A S = - B/ A et le produit P = C/A. Deux applications particulières peuvent être déduites de ce qui précède : Application 1 : Détermination de la deuxième racine d un trinôme connaissant déjà la première. L équation 3x - x 1 admet comme racine 1 (3 1=0). La deuxième racine est alors C/A= -1/3. L équation x + x 6 admet comme racine (4+ 6=0). La deuxième racine est alors C/A= - 6/= -3 (P = x 1 x = C/A soit x = -6/1 d où x = - 6/ = -3) Application : Recherche de nombres connaissant leur somme S et leur produit P. Exemple 8.1 : Trouver nombres admettant pour somme 5 et pour produit 6.

13 En posant x 1 et x ces deux nombres. On a le système suivant : x 1 + x = 5 x 1 x = 6 La résolution par la méthode de substitution donne : x 1 ( 5 x 1 ) = 6 soit - (x 1 ) + 5 x 1 6 = 0, équation du second degré dont le déterminant est égal à 5 4(-1)(- 6) = 1. Les solutions de cette équation du second degré sont x 11 = 3 et x 1 = 4. Les nombres cherchés sont x 1 = 3 et x = 4 ou encore x 1 = 4 et x = 3 Théorème : Deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement s ils sont solutions de l équation du second degré X SX+P= 0. Exemple 8. : Déterminer les dimensions des côtés d un rectangle dont la surface vaut 150 cm et le périmètre 50 cm. En notant x et y respectivement la longueur et la largeur de ce rectangle, on peut écrire : Surface = x y = 150 et Périmètre = ( x+y ) = 50 Il s agit donc de trouver nombres réels x et y dont la somme S = 5 ( demi-périmètre) et dont le produit est P=150 ( surface). En utilisant le théorème précédent, x et y sont solutions de l équation x 5 x = 0. Cette équation du second degré admet pour discriminant 65-4(1)(150) = 5 et donc pour solutions x 1 = 10 et x = 15. Les dimensions du rectangle sont donc : 10 cm et 15 cm. Longueur = 15 cm et largeur = 10 cm ou Longueur= 10 cm et largeur = 15 cm 9- EQUATIONS ET INEQUATIONS POUVANT SE RAMENER A DES EQUATIONS OU INEQUATIONS DE DEGRE INFERIEUR 9-1- Quelques rappels utiles : a) La forme générale d un polynôme de degré n est donnée par : P(x) = A n x n + A n-1 x n-1 + A n- x n- + + A 1 x + A 0 où A n, A n-1, A n-,, A 1, A 0 sont des constantes que l on appelle coefficients du polynôme. Les éléments A n x n, A n-1 x n-1, A n- x n-,, A 1 x, A 0 du polynôme ou encore des monômes. sont appelés les termes

14 A n x n es le monôme de degré n. On notera par la suite un polynôme du 3 degré (x) =A 3 x 3 + A x + A 1 x +A 0 et un polynôme du 4 degré par P(x) = A 4 x 4 + A 3 x 3 + A x + A 1 x + A 0 b) Un polynôme est dit nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. P(x) = 0 A n = A n-1 = A n- = = A 1 =A 0 = 0 c) Deux polynômes non nuls sont dits égaux si set seulement si : - ils ont même degré - les coefficients des termes de même degré sont égaux. Ainsi les polynômes suivants : P(x) = A n x n + A n-1 x n-1 + A n- x n- + + A 1 x + A 0 Q(x) = B n x n + B n-1 x n-1 + B n- x n- + + B 1 x + B 0 sont égaux si et seulement si : A k = B k quel que soit k variant de 0 à n. 9-- Factorisation d un polynôme du 3 degré admettant une racine : a) On appelle racine d un polynôme P, tout nombre réel x o tel que P(x o )=0. b) Un polynôme du 3 degré admettant une racine x 0 peut se factoriser sous la forme (xx o ) ( A x + B x + C) où les coefficients A,B, C du trinôme du degré peuvent être déterminés par identification ou par division. Nous allons traiter ces deux méthodes de détermination des coefficients A, B et C à partir d un exemple. Exemple 9.1 : Considérons le polynôme P(x) = x 3 + 3x 4x - 1 Le nombre x o =1 est racine de P(x) puisque P(1) = 0. Le polynôme P(x) se factorise alors sous la forme P(x) = (x-1) (( A x + B x + C). Détermination de A, B, C par identification : L identification consiste à comparer d un côté les coefficients de x 3 +3x 4x 1 et de l autre côté les coefficients du polynôme développé (x-1) ( A x + B x + C). En développant (x-1) ( A x + B x + C) on obtient : A x 3 + B x + C x - A x B x C = A x 3 + (B A) x + ( C B) x - C L égalité des deux polynômes s écrit : x 3 + 3x 4x 1 = A x 3 + (B A) x + (C B) x - C soit : = A 3 = B-A - 4 = (C-B) - 1 = - C (égalité des coefficients des termes de même degré)

15 ou encore A = B=5 C= 1 P(x) = x 3 + 3x 4x 1 = (x-1)( x + 5x + 1) Détermination de A, B, C par division Si P(x) s écrit sous la forme P(x) =(x-1) ( A x + B x + C), ce trinôme du second degré n et autre que le quotient de P(x) par (x-1). 1ére étape : - On divise le coefficient du monôme du plus haut degré du dividende (x 3 + 3x 4x 1) soit x 3 par le coefficient du plus haut degré du diviseur (x-1) soit x. Le résultat de cette division est de x - On multiplie ensuite ce résultat x par le quotient et on place le résultat obtenu soit x 3 - x sous le dividende en changeant de signe à ses coefficients. - On additionne alors les éléments de la colonne du dividende. Logiquement, les coefficients des termes du plus haut degré s annulent. éme étape : On reprend exactement la même procédure décrite précédemment avec comme nouveau dividende 5x 4x 1 3éme étape : On reprend exactement la même procédure décrite précédemment avec comme nouveau dividende x 1

16 Sauf erreur dans la division, le reste obtenu après ces trois étapes doit être égal à 0. On a donc bien : P(x) = x 3 + 3x 4x 1 = (x-1)( x + 5x + 1) 9-3- Applications à la résolution d équations et d inéquations du troisième degré: Un polynôme du 3 degré admettant une racine x o peut donc se factoriser donc sous la forme d un produit de deux facteurs, l un du premier degré (x-x o ) et l autre du second degré ( A x +B x+c). Résoudre une équation du 3 degré (connaissant une racine) consiste donc à trouver les racines éventuelles du trinôme ( A x +B x+c). Résoudre une inéquation du 3 degré consiste à déterminer le signe d un produit de facteurs. Exemple 9. : Résoudre x 3 + 3x x 3 = 0 Ce polynôme se factorise sous la forme (x-1)( x + 4x + 3). Ce produit de facteurs est nul si et seulement si x-1 = 0 ou x + 4x + 3= 0. Outre la racine évidente x 0 = 1, il y a lieu de chercher les racines du trinôme x + 4x + 3 Le discriminant de ce trinôme est : B 4AC = 16 4(1)(3) = 4. Il admet donc deux racines x 1 = -3 et x = -1 L équation proposée admet donc 3 solutions -3, -1 et 1. Exemple 9.3 : Soit P(x) = x 3 4 x + x + 6 a) Calculer P( - 1). En déduire une factorisation de P(x) b) Résoudre P(x) < 0. a) P( -1) = = 0. On déduit que P(x) se factorise sous la forme (x-(-1)) ( A x +B x+c) soit (x+1) ( Ax +B x+c). Par identification ou division, on trouve A x +B x+c = x 5x+ 6. Le polynôme du 3 ème degré P(x) se factorise alors somme suit : P(x) = x 3 4 x + x + 6 = (x+1)( x 5x+ 6) b) Le signe du produit (x+1)( x 5x+ 6) est déterminé par le tableau des

17 signes suivant : La solution de P(x) < 0 est alors S = ] - ; -1[ ] ; 3[ Exemple 9.4 : Résoudre x 3 - x - x 0. ( x 0 = est racine évidente) x 3 - x - x se factorise sous la forme (x-)(x + x +1). Le signe de x 3 - x - x - dépend à la fois du signe de (x-) qui est positif si x> et négatif si x< et du signe de x + x +1 qui est toujours positif car ce trinôme admet un discriminant négatif. Le polynôme x 3 - x - x est alors du même signe que (x-). Ainsi, la solution de l inéquation x 3 -x -x 0 est alors S= [ ; + [ 10- EQUATIONS ET D INEQUATIONS DU 4 DEGRE: Le raisonnement établi précédemment pour factoriser un polynôme du 3 degré sachant une racine peut être généralisé pour les polynômes de 4 degré si l on connaît deux racines. Un polynôme du 4 degré de forme générale A 4 x 4 + A 3 x 3 + A x + A 1 x +A 0 qui admet comme racines x o et x 1 peut se factoriser sous la forme ( x-x 0 )(x-x 1 ) ( Ax +Bx+C) où les constantes A, B, C peuvent déterminées par identification ou par division. Exemple 10.1 : Soit le polynôme P(x) = x 4-10 x x 50 x + 4 On a : P(1) = = 0 et P() = = 0 Le polynôme P(x) = x 4-10 x x 50 x + 4 se factorise sous la forme P(x) = (x-1)(x-) (A x +B x+c). Par identification ou par division, on trouve A =1 B = -7 et C = 1 P(x) = x 4-10 x 3 +35x 50x+4 = (x-1)(x-) (x -7x+1) = (x - 3x+) (x -7x+1). On peut déduire de la factorisation de P(x) les solutions de l équation ou des inéquations formées à partir de ce polynôme. 11- EQUATIONS ET D INEQUATIONS BICARREES

18 On appelle expression bicarrée toute expression de la forme Ax n + Bx n + C Cette expression se ramène au trinôme du second degré AX + BX + C par le changement de variable X= x n Une expression bicarrée (du quatrième degré) toute expression de la forme Ax 4 + Bx + C où A, B et C sont des constantes réelles. Une expression bicarrée du 6 ème degré est de la forme Ax 6 + Bx 3 + C Exemple 11.1 : Résoudre l équation x 4-5x + 4 = 0 En posant X= x, cette équation bicarrée se réduit à l équation suivante du second degré : X - 5X + 4 = 0. La résolution de cette équation du second degré donne comme solutions X 1 = 1 et X = 4 Les solutions de l équation du 4 degré sont alors : x 1 = -1 ; x =+1 ; x 3 = - et x 4 = + Par ailleurs l expression bicarrée peut se factoriser sous la forme : (x 1)(x 4) (x 1)(x 1)(x )(x ) Exemple 11. Résoudre l inéquation x 6-7x 3-8 > 0 Posons X =x 3. L inéquation du 6 ème degré ( bicarrée) s écrit alors X -7X 8 > 0 Le trinôme du second degré X - 7X 8 admet deux solutions X = -1 et X = 8 et se factorise sous la forme X - 7X 8 = ( X +1) (X -8) L inéquation donnée s écrit alors : (x 3 +1) (x 3-8) > 0 ou encore (x+1) (x -x +1) (x-) ( x +x +4) > 0 Comme les trinômes du second degré (x -x +1) et ( x +x +4) sont toujours positifs ( leurs discriminants respectifs sont de -3 et -1 ), le polynôme du sixième degré x 6-7x 3-8 admet le même signe que le produit (x+1)(x-) soit positif pour x appartenant à l intervalle ]- ; -1[ ] ; + [ et négatif pour x appartenant à l intervalle ]-1 ; [. La solution de l inéquation x 6-7x 3-8 > 0 est donc ]- ; -1[ ] ; + [ 1- Signe de produits et de fractions rationnelles Signe d un produit : Pour étudier le signe d un produit de facteur, on étudie séparément le signe de chacun des produits et on détermine le signe du produit à partir d un tableau des signes en appliquant la règle des signes. Exemple 1.1 : Etudier le signe du produit P(x) = ( x-1) (x -x-3) (x-1) est un facteur du premier degré. Il a une racine x=1, il est strictement positif pour x>1 et est strictement négatif pour x<1. (x -x-3) est du second degré. Il a deux racines x= -1 et x=3 ; il est strictement positif dans l intervalle ]-, -1[]3 ; + [ et strictement négatif sur ]-1 ; 3[

19 Le tableau des signes se présente comme suit : Exemple 1. : Etudier le signe de x 3x F(x) x x 6 Cette fraction est définie lorsque x +x-6 est non nul soit sur R-{ -3 ; } Chaque terme de cette fraction est du second degré. Le numérateur a pour racines - et 1 et le dénominateur a pour racines -3 et 1. Le tableau des signes se présente sous la forme suivante : La résolution d inéquations faisant intervenir des produits ou des fractions rationnelles, consiste dans un premier temps à étudier le signe et ensuite choisir le domaine des solutions. x 3x Exemple 1.3 : Les solutions de l inéquation 0 x x 6 précédent et sont : ] -3 ; -] [1 ; [ sont déduites du tableau EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes a) (1 x) + 3(3 x) = - 3(3 + x) 5(4 3x) b) 3( x ) 4( 3x) = - 5( x) 14 c) - ( 3x) = 3( + 4x) - (1 + x) d) x 3(1 3x) (4 5x) = -11 e) ( 3-x) + 4(1+x) = 15 f) 3(- x) (- 3x) = 4( 3x) 5( -3x + )

20 x 3 g) x 1 3 x x 3 4x x Exercice : Résoudre les inéquations suivantes a) (-5x 3) 3(4x ) < - 4(1 + x) 3(6x 5) + 1 b) 3(- x 1) (x 3) < -( + x) - c) 4 (x ) 3(1- x) > 5(x - 3) d) 5( 3x) (1-5x) < - 5(1 + x) e) (x 1) (1 x) x 3(x ) Exercice 3 : Résoudre les systèmes d équations suivants : x 3y 1 a) 3x 4y 10 3x 5y 8 b) 6x 10y 1 x 3y 1 c) 4x 6y Exercice 4 : Résoudre les systèmes d inéquations suivants : a) (1 x) ( x) 3 x 3(x 4) 3(1 x) 5( x) 0 b) (x-3) 3( -x) 4( 1-3x) +18 < 5 ( - +3x) +5 Exercice 5 : a) En résolvant l équation (x 3) ( x 1) = (x 1) ( x 4), un de vos collègues a écrit x 3 = x 4 soit x-x = ou encore x = -1. Cette méthode de résolution est-elle exacte? si non, quelle est l erreur commise? Résoudre alors cette équation. b) De la même manière, pour résoudre l inéquation suivante 3 x 4, ce même x 1 collègue a écrit : 3x 4 < ( x-1) soit 3x-4 < x- ou encore 3x-x < ce qui lui a donné x <. Votre collègue a fait une erreur. Expliquez-lui son erreur en lui proposant une méthode correcte. Exercice 6 : Deux frères A et B possèdent respectivement 8000 euros et 3000 euros. Ils économisent chacun 1000 euros par an. Dans combien d années la fortune de A sera-t-elle le double de celle de B?

21 Exercice 7 : Un théâtre propose formules de tarification : Formule 1 : la séance coûte 7 euros Formule : une carte de fidélité de 1 euros et 4 euros la séance. Dans quelles conditions une formule est plus avantageuse qu une autre? Exercice 8 : Pour équiper la salle informatique, un établissement achète 5 ordinateurs et imprimantes pour un coût total de 3730 euros. Pour compléter ce matériel, cet établissement achète, aux mêmes tarifs, 3 ordinateurs et une imprimante pour un coût total de 190 euros. Quel est le prix d un ordinateur et le prix d une imprimante? Exercice 9 : Trois amis A, B et C discutent. A dit à B «Quand j avais ton âge, C était un petit garçon de 10 ans». B répond à A : «Mais quand j aurais le tien, C sera un homme de 6 ans» ; C ajoute : «quand je suis né, la somme de vos âges était le double de mon âge actuel». Calculer les âges respectifs de A, B et C. Exercice 10 : a) (x + 3) (x ) = - ( x + ) (1 x) + x b) (x +5) ( x) + 1 = (1-x) (x 6) + 4(1 + x ) c) 3(x +4) (- 3 x) = - (x 7) (x+6) d) x x Exercice 11 : Factoriser si possible chacun des trinômes suivants a) x - 3x - 5 b) 4x + 0x 5 c) 3x - 4x + 9 d) x 4x EXERCICE 1 : Résoudre les inéquations suivantes a) (x-1) (x ) - (x+) (x 3) > (1 - x) b) - (x 3) (1 x) 3(x ) (x-1) c) (x 3) ( + x) (x 1) (x 4) + 6 d) 3x + 5x + 7 > 0 e) - x - 3x - 5 > 0 f) 4x 4x g) 4x 4x + 1 > 0 h) 4x 4x + 1 0

22 Exercice 14 : Résoudre les équations et inéquations suivantes a) 1 x 1 3 x b) c) x x 8 x x 1 x 4 x 5 3 5x x 3 (x )(x 3) d) x 4 x x x 3 Exercice 15 : Résoudre les systèmes d équations suivants ( x 4x 3)(x 10x 8) 0 a) (x 9x 14)( x 7x 6) 0 b) x x 0 x x 3 0 x x 6 0 x 16 0 Exercice 16 : Déterminer le nombre réel m tel que l équation 5x +x+m-3=0 admette une solution double ; calculer alors cette solution. Exercice 17 : Etudier suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre et le signe des solutions de l équations suivante : (m-3) x m x + ( m+1)=0 Exercice 18 : Dans une division euclidienne, le quotient (q) est le quart du diviseur ( d), le reste (r ) est le tiers du diviseur (d) et le dixième du dividende. Calculer D, d, q et r. ( On rappelle que dans une division euclidienne : D = dq + r ( d 0 et r < d) Exercice 19 : On considère un triangle ABC rectangle en A. Le côté AC mesure 4 cm de moins que l hypoténuse BC et le côté AB mesure cm de plus que AC. Calculer les mesures des côtés du triangle. (On rappelle que dans un triangle ABC rectangle en A : AB + AC = BC (Théorème de Pythagore )

23 Exercice 0 : Vous placez un capital de euros pendant ans à un taux annuel de x %. Les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de cette période. Après ces deux années, vous retirez les intérêts et vous replacer à nouveau le capital de 1000 euros pendant encore 1 an au même taux. Sur les 3 années, vous avez cumulé 1830 euros d intérêts. Calculer le taux de placement x%. Exercice 1 : Résoudre x y 3 a) x y 6 xy 3 b) 4( x y ) 5 Exercice : Deux villes sont reliées par une autoroute. Une voiture quitte la ville B à 13 heures et roule à la vitesse constante de 40 km/h vers la ville C. Trente minutes plus tard, une autre voiture quitte B et roule vers C à la vitesse constante de 55 km/h. Si l on ne tient pas compte de la longueur des voitures, à quel moment la seconde voiture rejoindra-t-elle la première? Exercice 3 : Déterminer un polynôme du 3 degré P(x) tel que P(1) = -14, P(-1) = 36, P() = 0 et P(-) = 8. Résoudre alors P(x) 0. Exercice 4 : On considère le polynôme du 3 degré P(x) = x 3 7x+6 a) Calculer P() puis factoriser P(x) sous forme d un produit de 3 facteurs du 1 degré. b) En déduire les solutions de l inéquation P(x) > 0. Exercice 5 : On considère le polynôme P(x) = x 3 +x +x +1. a) Calculer P(-1) b) Résoudre alors l inéquation x 3 +x +x +1 0 Exercice 6 : Soit P(x) le polynôme du 4 degré suivant P(x) = x 4 x 3 7x +x+6 a) Vérifier que P(x) peut se factoriser sous forme d un produit de facteurs du degré dont l un est (x 1) b) Résoudre P(x) 0. Exercice 7 : a) x 4 5x + 4 = 0 b) 3 x 4 x + 1 = 0 c) x 4 10x + 9 < 0 Exercice 8 : Résoudre les équations et inéquations bicarrées suivantes Après avoir décelé une racine évidente, factoriser chacun des polynômes suivants sous forme de produits de facteurs du 1 et degré :

24 a) x 5 5x 3 + 4x b) - x 4 + 4x + x Exercice 9 : Soit P(x) = x 4 0 x + 64 a) Vérifier que P(x) = (x 8) - 4 x et en déduire une factorisation de P(x) sous la forme Q(x) R(x) où Q et R sont des polynômes du degré. b) Retrouver ce résultat en traitant P(x) comme une expression bicarrée. Exercice 1 : REPONSES AUX EXERCICES DU CHAPITRE 1 a) x = g) x= - h) x= -5/ i) x=0 j) Pas de solutions k) Indéterminée g) x= -5/ Exercice : a) x < 3 b) x > 3 c) Infinité de solutions d) x< -13/5

25 e) x < /5 Exercice 3 : a) (x, y)=(, -1) b) Pas de solutions (impossible) c) Indéterminé (infinité de solutions) Exercice 4 : a) 6/5 < x < 9/5 b) 1 < x Exercice 5 : a) La simplification par (x-1) n est possible que si x 0. L équation proposée a deux solutions x= 1 et x= -1 b) Ce qui a été fait est complétement faux car on ne peut multiplier les deux membres par (x-1) tel que cela a été fait que si x-1>0. Il aurait fallu écrire : Soit après réduction au même dénominateur La solution est alors 1<x< Exercice 6 : ans Exercice 7 : La première formule est moins avantageuse que la seconde lorsque le nombre de séances est supérieur à 4. Exercice 8 : Imprimante : 40 Ordinateur : 650 Exercice 9 : Les âges de A, B, C sont respectivement de 40, 3 et 18 ans. Exercice 10 : a) x 1 = -1 et x = - b) x 1 =x = 3/ c) Pas de solutions réelles d) x 1 = 1 et x = -7 Exercice 11 : a) (x+1)(x-5) d) 5 4 x = - (x-5)

26 e) Pas de factorisation d) x EXERCICE 1 : a) -3 < x< 4 b) ]- ; 0] [5 ; + [ c) ]- ; + [ d) ]- ; + [ e) Pas de solutions f) x= 1/ g) ]- ; 1/ [ ]1/ ; + [ h) ]- ; + [ Exercice 14 : a) L expression est définie sur R- { - ; 3} et a deux solutions -11/3 et b) L expression est définie sur R- { - ; 3} et a pour solutions - et 3 (double) c) L expression est définie sur R- { -5 ; 4} et a pour solutions ]-5 ; 4[ d) L expression est définie sur R- { ; 3} et a pour solutions ] ; 3[ [8 ; + [ Exercice 15 : a) ]1 ; ] [ 6 ; 7] b) [-4 ; -] [3 ; 4] Exercice 16 : m = 16/5 et x = -1/5 Exercice 17 : On peut déjà distinguer le cas m=3 qui donne une équation du 1 er degré dont la solution est x= /3 Si m est différent de 3, l équation est du second degré. Le discriminant de l équation est alors m+3 Si m > -3/ solutions de même signe lorsque m ]-3/ ; -1[ ]3 ; + [ et de signes contraires si -1 < m < 3 Si m = -3/ une solution double x=1/3 Si m < -3/ pas de solutions réelles

27 Exercice 18 : D=40 d=1 q=3 r=4 Exercice 19 : AC=6 AB=8 et BC =10 cm Exercice 0 : 5% Exercice 1 a) (x,y)=(6, -3 ) ou (x,y)=(-3, 6 ) b) (x,y)=(, -3/) ou (x,y)= (-3/, ) ou (x,y)=( -, 3/) ou (x,y) =( 3/, -) Exercice : La première voiture rejoint la seconde à 14h50 Exercice 3 : P(x) = 6x 3 +x -31x+10 et P(x) 0 a pour solutions ]- ; - 5/][1/3 ; ] ) Exercice 4 : P(x)= (x-)(x-1)(x+3) et P(x) > 0 a pour solutions ]- 3;1[] ;+ [ ) Exercice 5 : Les solutions de l inéquation sont [-1 ; + [ Exercice 6 : Les solutions de l inéquation P(x) 0 sont [- ; -1][1 ; 3] Exercice 7 : a) { - ; -1 ; 1 ; } b) Pas de solutions réelles c) ]-3 ; -1[]1 ; 3[ Exercice 8 : a) x(x -1)(x -4) b) (x -x-)(-x -x+1) Exercice 9 : a) Le polynôme P(x)= x 4-0x +64 peut s écrire P(x)= x 4-16x +64-4x et alors P(x) = (x -8 ) -4x On a alors une différence de deux carrés d où P(x)=(x -8+x)(x -8-x) b) En considérant P(x) comme expression bicarrée on trouve comme racines -4 ; - ; ; 4 et P(x) = [(x+4)(x-)] [ (x+)(x-4) ] d où le résultat trouvé en a)