CARGO. 2nde LIVRE DU PROFESSEUR. Collection de Mathématiques

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1 RG ollection de athématiques nde LVRE U PRFESSEUR

2 SN : Hachette Livre nternational, 06 Suivi éditorial et mise en page : cquansù Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. L article L. - du ode de la propriété intellectuelle dispose que «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite, il en est de même pour la traduction, l adaptation ou la transformation». Ne sont autorisées aux termes de l article L. -5 du ode que «les copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et «les analyses et les courtes citations notamment dans un but d exemple et d illustration». ette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 5- et suivants du ode de la propriété intellectuelle français. Le entre Français de l exploitation de la opie (0, rue des Grands-ugustins Paris France) est, conformément à l article L.-0 du ode de la propriété intellectuelle, le seul habilité à délivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous réserve en cas d utilisation aux fins de vente, de location, de publicité ou de promotion de l accord de l auteur ou des ayants droit.

3 Sommaire ngle inscrit et polygones inscriptibles...5 ctivités d'introduction... 5 Savoir-faire... 6 Exercices d'entraînement... 7 Faire le point... Exercices d'approfondissement... 6 Transformations du plan...80 ctivités d'introduction Savoir-faire... 8 Exercices d'entraînement... 8 Faire le point... 9 Exercices d'approfondissement... 9 ngles orientés et trigonométrie...9 ctivités d'introduction... 9 Savoir-faire... 0 Exercices d'entraînement... Faire le point... 6 Exercices d'approfondissement Géométrie dans l'espace...00 ctivités d'introduction Savoir-faire... 0 Exercices d'entraînement... 0 Faire le point Exercices d'approfondissement... 0 Vecteurs... ctivités d'introduction... Savoir-faire... Exercices d'entraînement... Faire le point... 0 Exercices d'approfondissement... 8 Statistiques...8 ctivités d'introduction... 8 Savoir-faire... 0 Exercices d'entraînement... Faire le point... Exercices d'approfondissement... 6 Produit scalaire...6 ctivités d'introduction... 6 Savoir-faire... 8 Exercices d'entraînement... 9 Faire le point Exercices d'approfondissement Équations de droites et de cercles...65 ctivités d'introduction Savoir-faire Exercices d'entraînement Faire le point... 7 Exercices d'approfondissement alculs dans R...9 ctivités d'introduction... 9 Savoir-faire... Exercices d'entraînement... Faire le point... 9 Exercices d'approfondissement Fonctions Généralités...6 ctivités d'introduction... 6 Savoir-faire... 7 Exercices d'entraînement... 9 Faire le point... 5 Exercices d'approfondissement... 5

4 Sommaire Fonctions usuelles...60 ctivités d'introduction Savoir-faire... 6 Exercices d'entraînement... 6 Faire le point Exercices d'approfondissement... 7 Polynômes et fractions rationnelles...76 ctivités d'introduction Savoir-faire Exercices d'entraînement Faire le point Exercices d'approfondissement Équations et inéquations dans R...9 ctivités d'introduction... 9 Savoir-faire... 9 Exercices d'entraînement... 9 Faire le point Exercices d'approfondissement... 0 Fonctions usuelles...07 ctivités d'introduction Savoir-faire Exercices d'entraînement Faire le point... 5 Exercices d'approfondissement... 6

5 ngles inscrits et polygones inscriptibles ctivités d introduction ngle inscrit et demi-tangente. a. Voir figure ci-dessous. À l entraînement. a. () T T b. n conjecture que mes T = mes.. a. b. Le triangle est isocèle en et est le milieu de [], donc () ^ () ; de plus mes T 90 ; donc les droites () et (T) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes en un point. c. Puisque () ^ (T) : dans le triangle, on a : mes + mes = 90 et ; dans le triangle rectangle en (puisque (T) est tangente au cercle), on a : mes + mes = 90 d où l égalité. d. mes = mes T donc : mes T = mes + mes mes = mes. r, puisque le triangle est isocèle en, () est aussi la bissectrice de l angle. insi, mes = mes et mes T = mes. 5 b. n observe que mes + mes = 80 et et que mes + mes = 80.. a. L angle inscrit intercepte l arc ; tandis que l angle inscrit intercepte l arc. n en déduit que mes + mes = 80. b. Puisque mes + mes 80, c est que le ploynôme n est plus inscriptible dans le cercle () ; un joueur est sorti du cercle : le jeu s arrête.. a. mes = 80 mes, or l angle inscrit intercepte l arc, donc l angle intercepte l arc et est situé sur le même cercle que, et. b. Les points,,, sont donc tous situés sur le même cercle. n en déduit que le quadrilatère est inscriptible. Sinus d un angle côté opposé. a. sin = hypothénuse =. H H b. = ; sin =. K c. = ; sin = K. H K d. e l égalité =, on déduit que H K =. argo de S Livre du Professeur

6 ngles inscrits et polygones inscriptibles insi sin = K = l égalité. H K. a. = = d où = H = K. b. n en déduit que K = H. Relations métriques dans un triangle. a. : angle aigu sin = K : angle droit sin = = ; H H = = H, d où = K b ; : angle obtus sin = K = K b. b. ans chacun des cas : K sin sin = = =. sin ac sin c. = = sin ab sin et = =.. a. abc = abc sin = a sin. b. En procédant de même avec les expressions obtenues au. c., on en déduit que : a sin = b sin = c sin. Savoir-faire E 50 T 0 T F 5 0 T 6 a. Les points vérifient mes 0. b. Les points vérifient mes a. mes = 0. x y L ensemble des points est constitué des demi-droites ]x) et ]y). b. mes = 90. () L ensemble des points est constitué du cercle () de diamètre [] à l exception des points et. c. mes = 80 L ensemble des points est constitué du segment [] à l exception des points et. 0 a. Les arcs et sont de même longueur, donc mes = mes. insi, () est la bissectrice de l angle. b. Puisque l angle intercepte l arc et l angle intercepte l arc, mes = mes. r le triangle est équilatéral, donc mes = 60. insi mes = 60. n utilise les propriétés du paragraphe. b. e 8 = R d où sin E = sin E 8 =, donc mes E = 5. Puisque le triangle EFG est isocèle en E : 80 mes E mes F = mes G = = 67,5. argo de S Livre du Professeur 6

7 ngles inscrits et polygones inscriptibles Exercices d entraînement a. ; b. ; c.. F et E. a. Le triangle est isocèle en. b. Les arcs et sont de même longueur. c. Les arcs et sont de même longueur. 5 a. et. b. et. 6 a. ( ) est la bissectrice de l angle. b. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes donc ( ), ( ) et ( ) sont concourantes. 7 a. Les angles E et sont correspondants et () // (), donc mes E = mes = 0. r, mes = mes, donc mes = 60. b. mes = 60 et =, donc le triangle est équilatéral. 8 a. et E. b. F et. 9 et T. 0 a. l angle NP est complémentaire à NP puisque mes NP = mes NP = 60. b. L angle QST est supplémentaire à NP puisque mes NP = mes RQS = mes TSR = 0, donc mes QST = 50. a. () b. mes = mes et mes = mes, donc mes = mes. Le triangle est donc isocèle en. Puisque le triangle est rectangle en : mes = 90 mes = 90 θ. Premier cas : mes T = mes = 90 θ. T () euxième cas : mes T = 80 mes T, or mes T = mes, donc mes T = 80 (90 θ) mes T = 90 + θ. () T T θ θ T 70 () Le triangle est isocèle en, donc mes = mes = = 55. () est la bissectrice de l angle car () est la médiatrice de [] et que le triangle est isocèle en, donc mes = 5. Le triangle est isocèle en car =, donc mes = 5. Puisque (T) est tangente à () en, mes T = 90. insi mes T = mes + mes T = 5. e même, mes T = 5. ans le quadrilatère T : mes T = 60 (mes T + mes T + mes ) mes T = 60 ( ) = 0. 7 argo de S Livre du Professeur

8 ngles inscrits et polygones inscriptibles () ( ) 8 a., b., c. a. Puisque ( ) est tangente à () en, () ( ), donc le triangle est rectangle en. Le triangle est rectangle en donc il est inscrit dans un cercle dont le diamètre est [ ]. est le milieu de [ ] et donc le centre de ce cercle. insi =. où on en déduit que le triangle est isocèle en. Puisque = = =, on en déduit que le triangle est équilatéral. b. mes = 80 mes = 0. mes = mes puisque le triangle est isocèle en. e plus, puisque ( ) est tangente à () en : mes = mes = 0. insi, mes = 0. 5 l s agit du cercle de diamètre [] à l exception des points et. 6 ui, tous les autres points situés sur l arc de cercle symétrique de par rapport à (). 9 0 L ensemble des points tels que mes J = 0 est situé sur le (l un des) cercle(s) tangent(s) à (JK) en J et l ensemble des points tels que mes JK = 50 est situé sur le (l un des) cercle(s) tangent(s) à (K) en. K J 7 θ 50 θ 0 Puisque mes = θ, on en déduit que mes = θ. n trace alors le point, centre du cercle circonscrit au triangle. L arc de cercle vert passant par et d extrémités et est l un des arcs capables cherchés. Le deuxième arc capable vert est obtenu par symétrie par rapport à (). argo de S Livre du Professeur 8 mes K = 60. Le triangle K est isocèle en K, donc : mes K = mes K = = 60. onc le triangle K est équilatéral. insi = K = K = et, d après la propriété de Pythagore : K = K K = K = d où K = et K =.

9 ngles inscrits et polygones inscriptibles mes = mes + mes mes = mes = 80. onc les points, et sont alignés. () 8 désigne un losange. Si est un carré, alors il est inscriptible car : mes + mes = = 80. Si est un losange inscriptible alors, d une part mes = mes (car c est un losange et que le triangle est isocèle en ) et d autre part mes + mes = 80 (car il est inscriptible), donc mes = 90. insi est un carré. [) est la demi-tangente en au cercle () passant par et, donc tout point du cercle () vérifie : mes = mes. l suffit alors de choisir le point de () tel que : mes = mes. a. Les arcs rouges sont les arcs capables d extrémités et et de mesure 5. b. Les arcs verts sont les arcs capables d extrémités et et de mesure 5. 5 a. ui car deux de ses angles opposés sont supplémentaires (mes + mes = 80 ). b. ui car deux de ses angles opposés ont même mesure (mes E = mes H = 0 ). c. ui car deux de ses angles opposés sont supplémentaires (mes + mes K = 80 ). d. ui car deux de ses angles opposés sont de même mesure (mes = mes = 90 ). 6 a. a = 50 ; b. a = 70 ; c. a = 90 ; d. a = 0. 7 désigne un parallélogramme. Si est un rectangle, alors il est inscriptible car mes + mes = = 80. Si est un parallélogramme inscriptible alors, d une part mes = mes (car c est un parallélogramme) et d autre part mes + mes = 80 (car il est inscriptible), donc mes = 90. insi est un rectangle. 9 9 a. ans le quadrilatère PNQ, on déduit que : mes QP = mes QNP = 6. ans le quadrilatère croisé 6 0 N NQP, on déduit que : 6 mes NQ = mes PQ = 0. 0 ans le quadrilatère NPQ, on déduit que : P mes QP = 80 mes NP = 0. b. mes NP = N a. Puisque le trapèze est isocèle, on a : mes = mes et mes = mes. r mes + mes + mes + mes = 60, donc : mes + mes = 80, donc est inscriptible. b. mes = mes + mes = mes + mes = mes + mes = mes + mes + mes = mes + mes = mes + mes = 80 mes = 80 mes. insi, mes + mes = 80, donc le quadrilatère est inscriptible. argo de S Livre du Professeur

10 ngles inscrits et polygones inscriptibles Triangle équilatéral : a = 60, θ = 0 arré : a = 5, θ = 90 Pentagone régulier : a = 6, θ = 7 Hexagone régulier : a = 0, θ = 60 a. n note EF cet hexagone régulier de centre et d aire = dm. l est constitué de six triangles équilatéraux de côté a et d aire. r, cos,5 = ' donc = cos,5,7. insi, sin = donc,7 sin 5.,07. F E G a a a H a H r, d une part, = 6 = H où H = H = a ( a ) donc = a a = a = cm et, d autre part, = a dm. insi, a = d où a = 6 et a = dm. b. Le rayon de son cercle inscrit est H = dm. n note E ce pentagone régulier de centre et d aire = 5 cm. r E est constitué de cinq triangles isocèles identiques à, donc () = 5 5 = cm. r, () = a a sin 7 () = a insi, a = et a = Puisque EFGH est un octogone régulier, mes = 60 8 = 5. ans le triangle, on note H le pied de la hauteur issue de et le point d intersection de la médiatrice de [] et [H]. est le centre du cercle circonscrit au triangle. argo de S Livre du Professeur 0 5 L hexagone régulier est constitué de six triangles équilatéraux d aire = R R sin 60, c est-à-dire = R. onc l aire de l hexagone est : ' = 6 = R. r l aire du disque de rayon R est π R. insi l aire en rouge est πr R. 6 désigne un trapèze. Si est isocèle, alors mes = mes et mes = mes. r, mes + mes + mes + mes = 60. onc mes + mes = 80. insi, il est inscriptible. Si est inscriptible, alors mes + mes = 80. a Puisque () // () : mes = mes = a et mes = 80 a. e plus, mes = 80 mes, donc dans le triangle, mes = 80 (80 mes ) a. mes = mes a. H a β

11 ngles inscrits et polygones inscriptibles insi mes = mes + mes = mes a + a = mes. e qui prouve que le trapèze est isocèle. 7 a. sin = H d. sin = H. ; b. sin = K ; c. sin = K ; 8 Le projeté orthogonal de N sur (P) ou le projeté orthogonal de P sur (N). 9 n note (resp. J ) le projeté orthogonal de sur (KJ) (resp. de J sur (K)). sin = JJ' J K ; sin J = ' J J J ; sin K = ' K. 50 l s agit de triangles isocèles rectangles en. 5 a. = sin 0 =. 0 9,5 8,5 b. = 5 d où = 0,75. 5 a. e = bc sin, on déduit que : ( + 6 ) = ( + 6) sin donc sin =, donc mes = 60. a b. R = sin, donc R = =. c a. = de sur () or sin = H insi, = b. abc = H où H est le projeté orthogonal donc H = sin bc sin abc bc sin. = a. sin. Puisque la somme des trois mesures des angles d un triangle est égale à 80, un triangle possède toujours au moins un angle aigu.. a. sin H = H = b. mes H = a R = a R. mes = mes. a R a c. u. a., on déduit que sin = donc R =. sin a 5 sin = R, de même sin = b c et sin = R R. onc, sin + sin + sin = a + b + c. R r R = abc a + b + c, donc sin + sin + sin =. abc 55 a. = bc sin = =. b. = ab sin = 5 = a. mes = mes = 50. e plus, mes = mes, donc mes = 5. b. ans le triangle, = R, donc sin sin = 0 d'où mes 5,6. onc mes = ,6 09,. e même, = R, sin donc = 7 sin, cm. 57 mes P = 0 donc mes P = 0. insi, le triangle P est isocèle en et P = 700 m. P P P r, = donc P = sin sin sin sin P = sin 0 = = 700. sin 0 argo de S Livre du Professeur

12 ngles inscrits et polygones inscriptibles 58 a. mes H = 5 ; mes = 7 ; mes = 80 (7 + ) =. b. après la propriété de Pythagore, dans le triangle H rectangle en H, on a = = 0. insi, 0 =. sin sin 0 donc = sin 0/0,5 0,8 7,. sin La largeur d un but de football est environ 7, m. Faire le point 59 L arc rouge est noté et l arc vert. L angle EH est un angle inscrit et l angle est au centre. Le polygone EFGH est un octogone régulier et inscrit. 60 a. Fodje : «mes = 6» Fodje : «Non, dans ce cas, n a pas de sens». b. Non, les arcs capables sont les arcs rouges à l exception des points et. 6 Le rayon calculé ici est le rayon du cercle circonscrit au triangle, tandis que R est le rayon du cercle circonscrit au pentagone E. ans le triangle, on note le milieu de [] qui est également le projeté orthogonal de sur () puisque le triangle est isocèle en. mes = 6,5 sin = donc sin 6 = R.,5 ainsi R =,5. sin 6 6. Tracer le segment [].. Tracer la demi-droite [T) telle que mes T = θ.. Tracer la droite ( ) perpendiculaire à [T) passant par.. Tracer la médiatrice de [], elle coupe ( ) au point. 5. L arc de cercle, de centre, passant par les points et et situé dans le demi-plan délimité par () ne contenant pas, est l un des arcs capables. 6. Le deuxième arc capable est obtenu par symétrie par rapport à (). Remarque : ne pas oublier de préciser que les points et ne font pas partie des solutions. argo de S Livre du Professeur 6 0 c = 0 0 = b a. = 0 0 sin 0 = 50 sin 0.,. a b. mes = mes = 70. = a b sin., a 0 sin 70. a, 6,8. 5 sin 70 c. abc 0 0 6,8 = R c est-à-dire R., donc R 5,. 6 après la propriété de Pythagore, =. = 6 donc = 6. ans le triangle rectangle en : sin = donc = sin. ainsi = sin 60 = 6. Les points,, sont alignés ; les points,, sont alignés et () // ( ). après la propriété de Thalès : = = donc ' ' ' 7 = 6 7. ainsi = 6. L aire du triangle est : = sin 60. = 6 r = R = 8. =, donc = 6.

13 ngles inscrits et polygones inscriptibles Se tester 65. vrai ;. faux ;. vrai ;. faux. 66. vrai. Le quadrilatère EHFG est un quadrilatère croisé inscriptible, donc mes EHF = mes EGF ; puisque mes EHF = mes EF = 5 ; ces deux angles sont complémentaires.. vrai. Le triangle EF est isocèle rectangle en E, donc mes EF = 5. e plus, mes EGF = mes JEF = 5. onc (EF) est la bissectrice de l angle JEF.. faux. mes EF mes EJF donc le quadrilatère EFJ n est pas inscriptible.. faux. L aire du triangle EFJ est égale à 67. a. ;. b. ;. a. E EJ =,5 =. 68. b. En effet, tous les angles au centre entre deux sommets consécutifs ont même mesure puisque ce polygone est régulier, donc 7 mes = 60, ainsi, mes 5.. b. En effet : mes E = mes E et mes E = mes. onc mes E 5. c. En effet, le triangle est isocèle en, donc le milieu de [] est également le pied de la hauteur issue de. insi, dans le triangle rectangle en, sin = donc sin 5,5 = 5 R, donc R = 5 sin 5,5 5 0,,6.. a. En effet, l aire de cet heptagone régulier est égale à sept fois l aire du triangle. r = sin, c est-à-dire = R sin 5, donc,6 0,78 5,7. onc, l aire de l heptagone est environ : 7 5,7 67. Exercices d'approfondissement 69. Supposons que mes = mes = 5. ans ce cas, = bc bc sin 5 = et = ac sin 5 = ac. r, d après l énoncé, =, ainsi bc = et ac =. Puisque mes = mes, le triangle est isocèle en, donc a = b. Les différents cas possibles avec a, b, c des nombres entiers naturels sont donc : er cas : a =, b =, c = ; e cas : a =, b =, c =. er cas : puisque abc = c, on a sin = =, sin ce qui est impossible car sin. onc un tel triangle n existe pas.. Supposons que mes = 0 ans ce cas, a sin = R. a sin 0 = donc a = =. onc, il n existe pas de tel triangle. 70 a. n considère les aires de chacun des triangles du quadrilatère : () = sin ; () = sin ; () = sin ; () = sin. r, mes = mes donc sin = sin ; argo de S Livre du Professeur

14 ngles inscrits et polygones inscriptibles de plus, les angles et sont supplémentaires, donc ils ont le même sinus : sin = sin. e même, sin = sin. insi : () = () + () + () + () = sin ( ) = sin [ ( + ) + ( + )] = sin ( + ) insi, H = + H. H = + H. H = +. H = ( + ). b. ( ) = sin. ( ) =. ( ) =. = sin ( ) = sin. b. () = 56 sin 0 8 m. 7. sin = H donc b = H. insi, puisque b sin R = b, on obtient : R = b sin sin = H sin sin.. après le., H = R sin sin. e même, on obtient H = R sin sin et H = R sin sin. a. H + H + H = R (sin sin + sin sin + sin sin ). b. H H H = 8R sin sin sin H. mes = 60 = 0.. a. Les triangle est isocèle en, donc mes = 5, ainsi, mes = 60. e même, mes = 60. ans le triangle H rectangle en H, = =. sin 60 = H' donc H = ' =. argo de S Livre du Professeur e plus, ( ) = H ( + ) ( ) = ( ) = + où, + = et = = + ( + )( ) =. c. ans le triangle H, cos 5 = H, donc cos 5 = H. insi, cos 5 = ( + ) et sin 5 = H, donc sin 5 = H = ; ainsi, sin 5 =. 7. Puisque = et que le triangle est isocèle rectangle en, on en déduit, d après la propriété de Pythagore, que 0 =.. ans le triangle H rectangle en H, d après la propriété de Pythagore : H = ( 0 ) = 0 = 0. insi, H = = 0. ans le triangle H, rectangle en H, d après la propriété de Pythagore : = ( 0 ) + ( 0 =

15 ngles inscrits et polygones inscriptibles = 0. = 0.. n procède de même en notant H le pied de la médiatrice du segment [ ]. insi, H =, H = et = =.. a. Le n polygone possède n côtés. b. En tenant le même raisonnement qu aux questions et : n = n. onc P = n n n. c. 0,765 ; 0,9 ; 0,96 ; 0,098 ; 5 0,09 ; 6 0,05 ; 7 0,05 ; 8 0,006. P,06 ; P, ; P, ; P, ; P 5, ; P 6, ; P 7, ; P 8,. Plus le nombre de côtés du polygone augmente, plus le polygone se rapproche du demi-cercle. Le périmètre du demi-cercle étant π, le demipérimètre du polygone se rapproche de π lorsque le nombre de côtés devient grand. 7 Pour le triangle : mes = mes + mes = =. est le centre du cercle circonscrit au triangle, donc : = d où = 50 sin 75,5 m. sin b. n note l aire du triangle. une part, = sin 57,5 75,5 sin 6 m. autre part, = H où H est le pied de la hauteur issue de. insi, H 6 = 6, donc H, m. 75,5 La rivière est large d environ m. 75 n note le centre du cercle circonscrit au triangle. ès lors, mes = θ. n trace alors le point, centre du cercle circonscrit au triangle. l arc de cercle vert passant par et d extrémités et est l un des arcs capables cherchés. le deuxième arc capable vert est obtenu par symétrie par rapport à () Pour le triangle : le triangle est isocèle en, donc mes = mes = = 55. insi, = sin 70 sin a. () 50 d où = sin 70 57,5 m. ( ) sin 55 Pour le triangle, on procède de la même façon et on obtient : 50 mes = 76 et = sin8, m. sin 76 Pour le triangle, on procède de la même façon et on obtient : 50 b. Le triangle est isocèle en et le triangle mes = et = sin 98 75,5 m. sin est isocèle en. 5 argo de S Livre du Professeur

16 ngles inscrits et polygones inscriptibles c. Puisque les triangles et sont isocèles et que mes = mes, on en déduit que mes = mes et enfin que mes = mes. insi, les droites () et ( ) sont parallèles. r, la tangente en à () est perpendiculaire à () et la tangente en à ( ) est perpendiculaire à ( ), donc ces deux tangentes sont perpendiculaires.. a. () ( ) mes H = 80 mes H H 70. ans le triangle H rectangle en, cos H = H, d'où = H cos H, = 09 cos 70 7 pm. Finalement, H = + H pm. 78 Puisque EF = FG, les arcs de cercle EF et FG sont de même longueur, donc mes EHF = mes FHG. r, il faut que mes FHG = donc que mes EHG = 6. Le quadrilatère étant inscriptible, les angles EHG et EFG sont supplémentaires. La condition cherchée est donc mes EFG = 80 6 c est-à-dire mes EFG = a = 6. b. et c. Réponses identiques au. b. et c.. n note R (resp. R ) le rayon de cercle ( ) (resp. ( )). Les points,, sont alignés ; les points,, sont alignés dans le même ordre ; de plus, ' = R R' et ' = R donc R' ' = '. insi, d après la propriété de Thalès, () // ( ). r, la tangente à ( ) (resp. à ( )) en (resp. en ) est perpendiculaire à () (resp. à ( )). onc ces deux tangentes sont perpendiculaires. 77 a. n considère un triangle H H, où représente l'atome de carbone et H, H deux atomes d'hydrogène. Le ' triangle H H est isocèle en, donc le projeté orthogonal ' de sur [H H ] est aussi le milieu de [H H ]. H ans le triangle H ', rectangle en ' : cos H ' = H ' H ' = 89 09' d'où mes H ' 5. e même, mes H ' 5. insi, mes H H = 80 (mes H ' + mes H ') mes H H 0. b. Sur le schéma précédent, on note le point d'intersection de (H ) et de la perpendiculaire à (H ) passant par H. argo de S Livre du Professeur H a. Q P b. La droite (QP) est une tangente commune aux cercles () et ( ).. a. La somme des mesures des quatre angles d un quadrilatère est égale à 60, or mes QP = mes QPN = 90, donc mes QN + mes NP = 80. Les angles QN et NP sont supplémentaires. b. (QP) est la demi-tangente à () en Q, donc : () mes RQP = mes QR = mes QN. c. (PQ) est la demi-tangente à ( ) en P, donc : mes RPQ = mes RNP = mes NP. R N ( ) d. mes RPQ + mes RQP = mes NP + mes QN = (mes NP + mes QN) = 80 = 90. Les angles RPQ et RQP du triangle PQR sont complémentaires, donc mes PRQ = 90, c est-à-dire que le triangle PQR est rectangle en R.

17 ngles inscrits et polygones inscriptibles 80 a. e nonagone régulier est constitué de neuf triangles isocèles identiques au triangle. mes = tan H = H d où tan 0 = H a ainsi r = tan0 a 0,7. r a H a = 0, donc mes H = 0. a r, () = H = a r a a = 0,7 a =,. a insi, l aire du polygone est : = 9,. b. L aire de la partie colorée en rouge est égale à l aire du polygone à laquelle on soustrait l aire du disque de rayon r, c est-à-dire : a 9, a πr = 9, π a ( 0,7) = a ( 9, π ) 0,7 0,89a 8 T n note E le point d intersection des droites () et (). après le théorème des milieux, le triangle E est équilatéral donc mes E = 60. r, pour milieu de [], = et mes = 60, donc le triangle est équilatéral. l en est de même pour les triangles et ; et est le centre du cercle ( ) circonscrit à. insi, mes T = mes = 0. e même, mes T = mes = 0. où, mes T = = a. ans le triangle J rectangle en J, cos J = J ; or J = et =, d où l égalité : J = cos J. b. après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle en : = + '' = ( ) + = 5. = = 5/, donc = = 5 = 5 et J = = 5 car J est le milieu de []. c. après b., c. et le fait que cos 7 = 5, on en déduit que mes = 7. après la construction : mes = mes E = mes = mes = mes E = 7, donc le polygone E est un polygone régulier. 8. a. Le triangle 0 est isocèle en (puisque 0 = ), donc mes 0 = mes 0 = θ. b. a = mes P = 80 (mes + mes 0 ) donc a = 80 θ.. a. Tous les triangles n n + sont isocèles en et identiques car 0 = = = n = n +, donc 0 = = = n n +. La ligne brisée constituée des points 0,,, n + est formée de segments de même longueur. b. Si θ = 5, alors mes 0 = 80 (5 + 5 ) = 7. J E 7 argo de S Livre du Professeur

18 ngles inscrits et polygones inscriptibles e même, mes = mes = mes = mes 0 = 7, et 0 = = = = 0. insi, 0 est un pentagone régulier. c. Si θ = 8, alors mes 0 = 80 (8 8 ) =. e même, mes = mes = mes = mes 0 =, et 0 = = = = 0. insi, 0 est le pentagone décrit, appelé pentagone régulier étoilé.. Le rayon lumineux fait une fois le tour lorsque : mes n 0 = 60, c est-à-dire lorsque n mes 0 = 60. insi mes 0 = 60 n. r, mes 0 + θ = 80, donc θ = 80 mes 0 = n.. Supposons que n est pair : n = k avec k *. Le rayon lumineux fait deux fois le tour lorsque : mes mes n 0 = 70, c est-à-dire : n mes 0 = 70 et qu il n est pas ressorti au bout d un tour, c est-à-dire : mes mes 60, k 0 soit k mes r, si n = k et que n mes 0 = 70, alors, on a nécessairement k mes 0 = 60, donc il faut prendre n impair. ans ce cas, mes 0 + θ = 80, donc θ = 80 mes 0 = n. 8 a. n note J le point d intersection des droites ( ) et ( ). ans le triangle J, mes J = 80 (mes J + mes J) mes J = 75. J sin = donc J = J = 900 sin 75 J sin 6 = 900 sin 75 sin 75 sin 6,5 m. sin 6 80, m. argo de S Livre du Professeur 8 ans le triangle J, mes J = 80 mes J = 05 ; mes J = 80 (mes J + mes J ) mes J = 5 J sin = sin 05 = J sin 5 6,5 donc J sin 6, m ; sin 5 6,5 sin m. sin 5 ans le triangle J, mes J = mes J = 05 ; mes J = 80 (mes J + mes J ) = 6. J sin 9 = sin 05 = J donc J sin 6 80, J sin 6 sin 9 888,9 m ; sin 05 6, m. sin 6 insi, 775 m et = J + J 6, ,9 5 m. b. En utilisant, on déduit que : mes = 80 ( ) = 59 donc mes J =. ans le triangle J, J = sin J sin J 6,5 d où = sin sin La distance entre les deux îlots est d environ 880 m. c. La longueur du trajet est d environ : = 09 m. 85 Les quadrilatères E, EF et F sont tous les trois non croisés et inscriptibles dans les cercles (), ( ) et ( ). insi, mes + mes E = 80 ; mes F+ mes E = 80 ; mes F + mes = 80. r : mes F + mes F = 80 mes + 80 mes E = 80 (80 mes ) + 80 (80 mes E) = mes + mes E = 80. insi, mes F + mes F = 80, donc les points, F, sont alignés.

19 ngles orientés et trigonométrie ctivités d introduction Une nouvelle unité de mesure d'un angle. a. La longueur du cercle () est égale à π. La longueur de l arc est égale à π. La longueur de l arc J est égale à π. b. insi, mes ( ) = π rad et mes (J) = π rad.. a. (EF) étant la bissectrice de l angle J, la longueur de l arc E est égale à π. Les points E,, F étant alignés, la longueur de l arc EF est π et celle de F est égale à π. insi, mes (E) = π rad, mes (F) = π + π = 5π rad et mes (EF) = π rad. b. omme par construction = et comme =, le triangle est équilatéral. insi, la longueur de l arc est égale à π et celle de est égale à π. ngles orientés et mesure principale. a. b. J E ' π 6 π c. mes (, J ) = π rad. J' F. b. épart e passage «longueur» de l arc orienté π 6 π 6 mes (, ) «longueur» de l arc orienté N mes (, N) π 6 π π π 6 + π π π π π c. La mesure principale de (, ) est π 6 car π ] π, π]. 6 La mesure principale de (, N) est π car π ] π, π]. 9 argo de S Livre du Professeur

20 ngles orientés et trigonométrie osinus et sinus. Point 5 J bscisse rdonnée esure principale de (, N). π 6 a 0 cos (a) sin (a) 0 π π 6 π π π π 0 π 0 π π π π. Les abscisses coïncident avec les cosinus, et les ordonnées coïncident avec les cosinus. En effet, si a = mes (, ), alors l abscisse de est cos(a) et l ordonnée de est sin(a). Tangente a. Les points, T, d une part et les points,, d autre part sont alignés. Les droites (T) et ( ) sont parallèles. après le théorème de Thalès, on a : T = ' = T '. e la relation ' = T T on déduit que =. r =, donc = T x. ' b. ans le triangle rectangle en, comme le segment [ ] est le côté opposé à l angle et le segment [ ] est le côté adjacent à l angle, on a : tan (a) = tan ( ) = ' '. c. n a alors : tan (a) = ' ' = T ' ' = T. π 5π 6 Savoir Faire a. 6 π 80 = π = π. 6 correspond 5 à π π rad. b = π = 7π. 05 correspond à 7π rad. c. π 5 80 π =. π rad correspond à. 5 d. 5π 80 π = 5. 5π rad correspond à 5. argo de S Livre du Professeur 0 5 a. 7 = + donc 7π 6 = π 6 + π 6 = π 6 [π]. b. π = π + π = 8π + π = π [π]. c. 5π = 6π π = π π [π]. d. 0π 8 = 5π = π + π = π [π]

21 ngles orientés et trigonométrie 6 mes (F, FG) = ( π π π ) = π 6 [π]. mes (F, E) = π [π]. mes (G, E) = π [π]. En effet, la somme des mesures des trois angles d un triangle est égale à π et chacun des trois angles d un triangle équilatéral mesure π rad. 0 (x) = 5 cos(x π) + sin( π x). (x) = 5 cos (x) + cos (x) 6 cos (x). (x) = cos ( π + x) sin (π x). (x) = sin (x) sin (x). (x) = 5 sin (x). sin (x) = cos (x) = 9 9 = 0 9 donc sin (x) = 0 9 ou sin (x) = 0 9 donc sin (x) = 0 ou sin(x) = omme x ] π ; π [, sin (x) > 0, on en déduit : sin (x) = 0 7. Exercices d entraînement a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. Une. b. π. c. π. 5 egrés 5 π 80 Radians 5π π π 80 = 5π 6 ; π 7 80 π = 80 7 ; π 8 80 π = 5 80 π 80 π 8 π 9 π 8π = π 9 ; 0 π 80 = π ; 8π 80 π = 80. π ; Par conséquent : mes (, ) + mes (, ) + mes (, ) = 00 + ( 0 ) + ( 0 ) = 0. mes (, ) + mes (, ) + mes (, ) = = mes (, ) = π rad. mes (E, ) = π rad. omme 0 est égal à 0 π 80 = π 9 rad E est rectangle en, on a : mes (E, E) = ( π π 9 π ) = 7π 8. mes (, ) = 0 rad a. F est nécessairement isocèle en car 00 < 80. insi : mes = mes = = 80 = 0 (la somme des mesures des trois angles non orientés d un triangle étant égale à 80 ). π 6 G E b. omme mes (GE, GF) = π rad et comme EFG est 6 isocèle en F, on a : mes (FG, FE) = π π 6 = π rad et mes (EF, EG) = π 6 rad ; mes (FE, FG) = π rad. argo de S Livre du Professeur

22 ngles orientés et trigonométrie 9 a. mes (, U) = mes (, R) + mes (R, U) = π + π = 8π 6 + π 6 = 5π 6 rad. b. mes (, S) = mes (, R) + mes (R, S) = π + π = π 6 + 9π 6 = π 6 rad. c. mes (, T) = mes (, R) + mes (R, T) = π + π = π rad. d. mes (U, T) = π rad. 0 a. ]-π ; π]. b. omplémentaires. c. π mes (u, v) = mes (v, u) [π]. 6 5π 6 argo de S Livre du Professeur 7π 7π 9π 7 et 8 π 6 a. π = π π = π π donc π est la mesure principale de π. b. 5π = 6π + π = π + π donc π est la mesure principale de 5π. c. 09π = 08π + π = 5 π + π donc π est la mesure principale de 09π. d. 5π = 5π π = 6 π π donc π est la mesure principale de 5π. a. 9π = 8π π = π π donc π est la mesure principale de 9π. b. π = π π = π π donc π est la mesure principale de π. 5 c. 75π = 7π + π = 9 π + π donc π est la mesure principale de 75π. d. 6π = 9π = 0π + π donc π est la mesure principale de 6π. a. 9π = 8π + π = π + π donc π est la mesure principale de 9π. b. 6π = 60π + π = 0 π + π donc π est la mesure principale de 6π. c. 5π = 6π + π = 6 π + π donc π est la mesure principale de 5π. d. 50π = 8π π = 8 π π donc π est la mesure principale de 50π. 5 a. 5π 6 = π 6 + π 6 = π + π 6 donc π est la 6 mesure principale de 5π 6. b. 7π 6 = 6π 6 π 6 = π π 6 donc π est la 6 mesure principale de 7π 6. c. π 6 = 6π 6 + 5π 6 = π + 5π 6 donc 5π est la 6 mesure principale de π 6. d. π 6 = π 6 π 6 = π π donc π est la mesure principale de π 6. 6 Le triangle est isocèle rectangle en. onc mes (, ) = π rad et mes (, ) = (π π ) = π = π rad. Le triangle est équilatéral donc : mes (, ) = π rad. 7 omme l hexagone EF est régulier, de centre, chaque angle au centre, de sommet, mesure 60 6 = 60 soit π rad. Par conséquent : mes (, ) = π rad.

23 ngles orientés et trigonométrie Le triangle est équilatéral donc : mes (, ) = π rad. mes (, ) = mes (, ) + mes (, ) (hasles) = π = π rad. [] est un diamètre du cercle ( ) et est un point du cercle ( ) donc mes (, ) = π rad. mes (E, E) = mes (E, EF ) + mes (EF, E) (hasles) = π + (π π ) = π + π 6 = π 6 + π 6 = π 6 = π rad. mes (F, E ) = mes (F, FE ) + mes (FE, E) (hasles) = π [π mes (EF, E )] = π (π π ) = π π = π rad. 8 Le triangle est isocèle en donc : mes (, ) = π π 8 = π π = π mes (, ) = π 8 rad. Les points,, étant alignés : rad et mes (, ) = [π mes (, )] = (π π ) = π rad. Les angles opposés d un parallélogramme sont de même mesure. insi, mes (E, E) = π rad. 9 omme = =, le triangle est équilatéral. insi, mes (, ) = π rad. mes (, ) = mes (, ) + mes (, ) (hasles) = π + π = 9π + π + π = π π [π] = π [π]. mes (, ) = mes (, ) mes (, ) = π π = 9π π = 5π rad (le triangle est équilatéral). mes (, ) = mes (, ) mes (, ) = 5π π = 5π π = π rad (le triangle est équilatéral). 0 a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux. a. Faux. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. a. 5π = 6π π = π π = π [π] et cos ( 5π) = cos ( π ) = sin ( 5π) = sin ( π ) =. b. π = π + π = π (π] et cos ( π) = cos ( π) = sin ( π) = sin ( π) =. c. 7π = π + π = π [π] et cos ( 7π ) = cos ( π ) = sin ( 7π) = sin ( π) =. a. π 6 = 6π 6 5π 6 = 5π 6 [π] et cos ( π) 6 = cos ( 5π) 6 = sin ( π) 6 = sin ( 5π) 6 =. b. 5π 6 = 8π 6 + π 6 = π 6 [π] = π [π] donc cos ( 5π) 6 = cos ( π ) = 0 sin ( 5π 6 ) = sin ( π ) =. c. 5π 6 = 8π 6 π 6 [π] = π [π] donc cos( 5π 6 ) = cos ( π ) = 0 sin ( 5π 6 ) = sin ( π ) =. a. 8π = 6π + π = π [π] et cos ( 8π ) = cos ( π ) = sin ( 8π ) = sin ( π ) = b. π et = 08π + π = π [π] = π [π] cos ( π) = cos ( π) = sin ( π) = sin ( π) =. argo de S Livre du Professeur

24 ngles orientés et trigonométrie c. 70π = 66π + π = π [π] = π [π] et cos ( 70π) = cos ( π) = sin ( 70π ) = sin ( π) =. 5 a. π = π π = π [π] et cos ( π) = 0 sin ( π ) = b. 8π = 80π + π = π [π] et c. 50π et cos ( 8π) = 0 sin ( 8π ) = = 500π π = π cos ( 50π ) = 0 sin ( 50π ) =. 6 a. mes (, ) = π + π 6 = 5π 6 rad b. mes (, ) = π rad c. mes (, ) = π rad d. mes (, ) = π rad 7 Les coordonnées du point sont cos (x) et sin (x) avec x = mes (, ). a. cos (x) = cos ( 7π) = cos ( 8π π ) = cos ( π ) = et sin (x) = sin ( 7π) = sin ( π ) = b. cos (x) = cos ( 5π ) = cos ( π π) = cos ( π) = et sin (x) = sin ( 5π ) = sin ( π ) =. c. cos (x) = cos ( π 6 + 5π 6 ) = cos ( 5π 6 ) = et sin (x) = sin ( 5π 6 ) =. d. cos (x) = cos ( 7π 6 ) = cos ( π 5π 6 6 ) = cos ( 5π 6 ) = et sin (x) = sin ( 5π 6 ) =. 8 a. x, rad ; b. x 0,6 rad ; c. x, rad ; d. x rad. 9 a. x,78 rad ; b. x 0,07 rad ; c. x,896 rad ; d. x 0,77 rad ; e. x 0,8 rad ; f. x 0, rad. 0 a. Le pentagone E étant un pentagone régulier de centre, chaque angle au centre, de sommet, mesure 60 = 7, soit π 5 5 radians. mes (, ) = π 5 rad ; mes (, ) = π 5 = π 5 rad ; mes (, )= π 5 = 6π 5 = 0π π 5 5 = π 5 [π] ; mes (, E) = π 5 rad. b. Pour tout point du cercle de centre et de rayon a : x = a cos (, ) y = a sin (, ) n en déduit que : a pour coordonnées ( a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )) ; a pour coordonnées (a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )) ; a pour coordonnées ( a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )) ; E a pour coordonnées ( a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )). J π H argo de S Livre du Professeur

25 Les points,, sont alignés. En effet : mes (, ) = mes (, ) + mes (, ) (hasles) = π + π = 0 [π]. insi, mes (, ) = π [π]. ans le triangle H rectangle en H, on a : cos ( π ) = H = donc = donc = x = x + x k y k = y + y = =. es égalités = et mes (, ) = π [π], on déduit que l ordonnée de est égale à : sin( π ) = =. Les coordonnées de K sont donc, = + = = + = a. π = π + π Vrai. b. 5π 6 = π + ( π 6 ) Vrai. c. π 5 = π π 5 Vrai. d. 9π = π + π = π [π] Faux. a. cos ( π 7 ) + cos ( 6π 7 ) = cos ( π 7 ) + cos ( π π 7 ) = 0. b. sin ( π ) + cos ( π ) = = 0. a. cos (π x) + cos ( x) = cos (x) + cos (x) = 0. b. sin ( x) + sin (π x) = sin (x) + sin (x) = 0. sin (x) 5 a. tan x = cos(x) =. sin (x) b. tan (x) = cos(x) = = 8. 6 a. cos (π x) + cos (π + x) + cos ( x) = cos ( x) + ( cos (x)) + cos (x) = cos (x). b. sin (π x) sin (π + x) + 5 sin (6π + x) = sin (π x) ( sin (x)) + 5 sin (x) = sin (x) + sin (x) + 5 sin (x) = 7 sin (x). c. sin (x + 7π) cos (x + 5π) cos (x π) = sin (x + π) cos (x + π) cos (x) = sin (x) + cos (x) cos (x) = sin (x) cos (x). 5 ngles orientés et trigonométrie 7 a. cos (x) + sin ( x + π ) + cos (π x) = cos (x) + cos (x) cos (x) = cos (x). b. sin (-x) + cos ( π + x ) + cos ( x 5π ) = sin (x) sin (x) + cos ( x π ) = sin (x) + sin (x) = sin (x). 8 a. cos ( π 9 ) + cos ( π 9 ) + cos ( 5π 9 ) + cos ( 8π 9 ) = cos ( π 9 ) + cos ( π π 9 ) + cos ( π 9 ) + cos ( π π 9 ) = = 0. b. sin ( π ) + sin ( π ) + sin ( 7π ) + sin ( π ) = sin ( π ) + sin ( π π ) + sin ( π ) + sin ( π π = sin ( π ) + sin ( π ) + sin ( π ) + sin ( π ) ) = 0 + sin ( π ) sin ( π ). c. cos ( π 8 ) + cos ( π 8 ) + cos ( 5π 8 ) + cos ( 7π 8 ) = cos ( π 8 ) + cos ( π π 8 ) + cos ( π 8 ) + cos ( π π 8 ) = cos ( π 8 ) + cos ( π 8 ). 9 a. sin ( π ) + sin ( 7π ) sin ( π ) = sin ( π ) + sin ( π ) sin ( π π ) = sin ( π ) =. b. cos ( 5π ) + cos ( π ) + cos ( 7π ) = cos ( π = cos ( π = cos ( π + π ) + cos ( π ) + cos ( π + π ) + π ) + cos ( π ) + cos ( π + π ) + π ) + cos ( π ) cos ( π ) = sin ( π ) + cos ( π ) = =. c. tan ( π ) + tan ( π ) + tan ( 5π ) = tan ( π ) + tan ( π π ) + tan ( π + π ) = tan ( π ) + ( tan ( π )) + tan ( π ) = tan ( π sin ( π ) = ) cos ( π ) =. argo de S Livre du Professeur

26 ngles orientés et trigonométrie sin ( x) sin (x) 50 a. tan (-x) = = = tan (x). cos ( x) cos (x) sin (π x) sin (x) b. tan (π x) = = = tan (x). cos (π x) cos (x) sin (π + x) sin (x) c. tan (π + x) = = = tan (x). cos (π + x) cos (x) 5 a. cos (nπ) = et sin (nπ) = 0. b. cos ((n + ) π) = cos (nπ + π) = cos (π) = et sin ((n + ) π) = 0. c. cos (nπ) = si n pair ou si n impair et sin (nπ) = 0. d. cos ( π + n π ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + n π ) = sin ( π ) =. e. cos ( π + nπ ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + nπ ) = sin ( π ) =. f. cos ( π + (n + ) π ) = cos ( π + π ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + (n + ) π ) = sin ( π + π ) = sin ( π ) =. g. cos ( π + (n + ) π ) = cos ( π + π ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + (n + ) π ) = sin ( π + π ) = sin ( π ) =. 5 a. omme cos (x) =, x = π π 6 ou x = π + π 6 c'est-à-dire x = 5π 6 ou x = 5π 6. e plus, sin (x) < 0, donc x = 5π 6. b. omme sin (x) = c'est-à-dire x = π ou x = π. e plus, cos (x) > 0, donc x = π., x = π ou x = (π π ) 5 a. cos (x) = sin (x) = ( ) = donc : cos (x) = ou cos (x) = omme x π ; π, cos (x) > 0. insi, cos (x) =. b. sin (x) = cos (x) = ( ) = = donc sin (x) = ou sin (x) =. omme x [ π ; 0], sin (x) 0 donc sin (x) =. 5 a. sin (x) = cos (x) = 0,6 = 0,6 donc sin (x) = 0,6 = 0,8 ou sin (x) = 0,8. b. cos (x) = sin (x) = 0,0 = 0,96 donc cos (x) = 0,96 ou cos (x) = 0,96. c. sin (x) = cos (x) = ( = 6 9 ) 8 = 65 8 donc sin (x) = 65 9 ou sin (x) = π ; π donc sin ( π 0 ) > 0 or sin ( π ) = = donc sin ( π 0 ) = 5 8 =. 5 insi, tan ( π sin ( π 0 ) = 0 ) 5 cos ( π = 0 ) = = Faire le point 56 esure principale de 07π 6 éthode n cherche a ] π ; π] et k Z tels que a = 07π 6 + kπ. n a : π 07π kπ π π kπ 0 6 π k 0. argo de S Livre du Professeur 6 onc k = 9. insi : a = 07π 6 8π = π 6. éthode n effectue la division euclidienne de 07 par : 07 = 8 +, = 6π + π π [π] donc 07π 6 6 = π 6 [π]. = π 6 [π] = π 6

27 esure principale de 8π éthode n cherche a ] π ; π] et k Z tels que a = 8π + kπ. n a : π 8π + kπ π 79π kπ 87π 79 8 k ,875 k 0,875. onc k = 0. insi : a = 8π + 0π = π. éthode n effectue la division euclidienne de 8 par 8 ; 8 = donc 8π = π [π]. 57 cos ( 8π ) = cos ( 6π + π ) = cos ( π + π ) = cos ( π ) = cos ( π π ) sin ( 5π n a : 9π 6 = cos ( π ) =. ) = sin ( 5π ) = -sin ( π + π ) = sin ( π ) = = π + 5π 6 = 5π 6 [π] donc cos ( 5π 6 ) = cos ( π π 6 ) = cos ( π 6 ) = sin ( 5π 6 ) = sin ( π π 6 ) = sin ( π 6 ) = et tan ( 9π 6 ) 6 ) = tan ( 5π 6 ) = sin ( 5π = =. cos ( 5π 6 ) = 58 mes (, ) = π [π] (E carré). mes (, ) = π [π] ( équilatéral). ais mes (E, ) = mes (E, ) + mes (, ) = ( π ) + ( π ) = π 6 + π = 5π 6 6 [π]. Joseph n a pas tenu compte de l orientation. 59 a. mes (, ) = π 0 = π rad ; le décagone est 5 régulier, donc chaque angle au centre (de sommet ) mesure π 0 = π ngles orientés et trigonométrie b. mes (, E) = mes (, ) = π 5 rad. c. mes (, G) = 6 mes (, ) = 6π 5 rad. d. mes (F, FE) = mes (F, EF) = π 5 rad. 60. a. L abscisse de est égale à r cos (a). b. L ordonnée de est égale à r sin (a).. a. L abscisse de P est égale à cos ( π 5 ) ; l ordonnée de P est égale à sin ( π 5 ). b. L abscisse de Q est égale à 0, cos ( π ) ; l ordonnée de Q est égale à 0, sin ( π ). c. n note a = mes (, R) = cos (a) es égalités : 7 = sin (a), 7 il vient que a = arcos ( ), rad 7 (ou a = arcsin ( ), rad). 7 6 cos (x) < 0 sin (x) > 0 tan (x) < 0 cos (x) < 0 sin (x) < 0 tan (x) > 0 cos (x) > 0 sin (x) > 0 tan (x) > 0 cos (x) > 0 sin (x) < 0 tan (x) < 0 6 li est parti de la bonne égalité : cos (x) = sin (x), mais ne discute pas selon le signe de cos (x). e plus, 5 = 5 et non 5. Namandou se trompe d égalité! n écrit : cos (x) = sin (x) et non pas cos (x) = sin (x)! orrection cos (x) = ( 5 ) = 5 = donc cos (x) = 5 5 ou cos (x) = 5. omme x π ; π, cos (x) < 0, donc cos (x) = 5 = 6 5 J = 6 5. argo de S Livre du Professeur

28 ngles orientés et trigonométrie Se tester 6 à 66 Voir anuel de l'élève page 57. Exercices d'approfondissement 67. a. Les coordonnées de sont cos ( π ) = et sin ( π ) = car le point appartient au cercle trigonométrique. b. J K insi, N = K = sin ( π ). n conclut que sin ( π ) Puis, cos ( π ) = =. = + omme π ] 0, π [ cos ( π ) > 0 donc : cos ( π ) + =, et enfin, tan ( π ) = +.. = ( ) + ( ) = + + =. c. K désigne le milieu du segment []. ans le triangle K rectangle en K, on a : sin ( π 8 ) = K = K. insi, = K = sin ( π 8 ). n a alors : sin ( π 8 ) =. Puis cos ( π 8 ) = = +. omme π 8 0 ; π, cos ( π 8 ) > 0, donc : cos ( π 8 ) = +. Et enfin, tan ( π 8 ) = +.. N désigne le point du cercle ( ) tels que : mes (, N) = π 6 [π]. Ses coordonnées sont cos ( π 6 ) = et sin ( π 6 ) =. N = ( ) + ( ) = + + =. Soit K le milieu de [N]. ans le triangle K rectangle en K, on a : sin ( π ) = K' = K. argo de S Livre du Professeur 8 68 a. ans le triangle H rectangle en H : sin (x) = H donc H = a sin (x). onc = H = a sin (x) b. ans le triangle H rectangle en : mes (H) = π x rad. ans le triangle rectangle en : mes () = π mes (H) = π ( π x ) = x rad ans le triangle rectangle en, cos (x) = donc = cos (x) c. ans le triangle rectangle en, sin (x) = donc = a sin (x) d. n a donc : a sin (x) = cos (x) = a sin (x) cos (x) or a > 0 donc sin (x) = sin (x) cos (x). 69 a. est équilatéral donc =. insi : = = donc est isocèle en. b. mes (, ) = π [π] mes (, ) = π π = π 6 π 6 = π 6 [π] mes (, ) = (π π 6 ) = 5π [π]

29 ngles orientés et trigonométrie c. mes (, H) = mes (, H) mes (, ) = π 5π = 6π 5π = π [π]. d. alcul de K : dans le triangle K rectangle en K, on a : sin ( π ) = K = K donc K =. insi, H = KH K =. ans le triangle H rectangle en H, on a : tan ( π ) = H = = =. 70 a. π 5 omme est isocèle en, = H. e plus, dans le triangle H est rectangle en H : cos ( π 5 ) = H. onc = cos ( π 5 ). K désigne le pied de la hauteur issue de dans le triangle. omme est isocèle en, = K. e plus, dans le triangle K rectangle en K, cos ( π 5 ) = K. onc = cos ( π 5 ). K π 5 π 5 b. Le triangle étant isocèle en : π 5 π 5 mes () = (π π 5 ) = π 5 rad. () étant la bissectrice de l angle : mes () = mes () = π 5 rad. ans ce triangle, mes () = π, et dans 5 le triangle, mes () = π car la somme des 5 mesures des trois angles d un triangle est égale à π. c. H H désigne le pied de la hauteur issue de dans le triangle. π 5 9 désigne le pied de la hauteur issue de dans le triangle. omme est isocèle en, =. e plus, dans le triangle rectangle en, cos ( π 5 ) =. onc = cos ( π 5 ) = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) En outre, comme mes () = mes () le triangle est isocèle en, donc =. omme mes () = mes (), le triangle est isocèle en donc = insi, on a : = cos ( π 5 ) = cos ( π 5 ) = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) d. omme > 0, on a = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ). omme = + et = : cos ( π 5 ) = + cos ( π 5 ). onc = ( cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) ). r > 0 donc = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) argo de S Livre du Professeur

30 ngles orientés et trigonométrie n obtient le système : cos ( π 5 ) sin ( π 5 ) = cos ( π 5 ) sin ( π 5 ) =. e. e plus, (a + b) (a b) = ab onc en posant a = cos ( π 5 ) et b = cos ( π 5 ), on a : (a + b) = + ( ) = 5. omme π 5 ] 0, π [ et π 5 ] 0 ; π [, a > 0 et b > 0, donc a + b > 0. insi, a + b = 5. e plus, a b =. onc a = 5 + et b = 5 7 après la relation de hasles : mes (E, ) = mes (E, ) + mes (, ) + mes (, ) = π + π 5π = 8π + 9π 5π = π = π rad. onc les points, E, sont alignés. 7 après la relation de hasles : mes (E, ) 7 = mes (E, ) + mes (, ) + mes (, ) = π + ( π ) + π 5π 0π + π = = 8π [π].. E H 7 a. omme le cercle a pour rayon 00 m : mes (, N) = N rad où N est la longueur de 00 l arc N. e plus, N = 00 (d d N ) où d et d N désignent les distances parcourues respectivement par le coureur et le coureur N. e la relation : d = v t, on déduit que : mes (, N) = 00 t(v v ) N t = (v v ) N b. n a : 00 =,5 v 00 = 50 (v v N ) v = 00 = 8 m. s. onc,5 v N = v = 6 m. s E π 7π π. après la relation de hasles : mes (, E) = mes (, ) + mes (, ) + mes (, E) = π + 7π + ( π ) = π π π = π π π = π [π] donc les droites () et (E) sont parallèles. 6. après la relation de hasles : mes (F, ) = mes (F, F) + mes (F, ) = π + mes (, ) = π + π = π rad π F ans le triangle EH rectangle en H : sin ( π) = EH E donc EH = 6 sin ( π). onc EF = sin ( π) 5,5 m. argo de S Livre du Professeur 0 F onc les droites () et (F) sont perpendiculaires. 76 Étant donnés trois points, et alignés, on construit le cercle circonscrit au triangle. Pour cela, on construit les médiatrices de deux segments, par ex. [] et [] ; ils se coupent en le centre du cercle circonscrit.

31 ngles orientés et trigonométrie a. Les points tels que mes (, ) = mes ((, ) sont les points de l arc de cercle contenant le point. b. Les points tels que : mes (, ) = mes (, ) sont les points de l arc de cercle ne contenant pas le point. 77 a. Les points,, et,, étant alignés, les droites () et () étant parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : = =. onc = donc est le milieu de []. b. ans le triangle rectangle en (car [] est un diamètre du cercle et un point de ce cercle), on a : cos (a) =, donc = cos (a) c. ans le triangle H rectangle en H, cos (a) = H donc H = cos (a) = cos (a). insi, H = H = cos (a) d. L angle inscrit et l angle au centre interceptent le même arc de cercle. onc mes () = a. ans le triangle H rectangle en H, cos (a) = H donc H = cos (a) Par conséquent : H = cos (a) et H = cos (a). onc cos (a) = cos(a) + puis sin (a) = cos (a) = cos(a). e. cos ( π cos( π 8 ) = 8 ) + = (cos ( π ) + ) = ( + ) = + et sin ( π 8 ) = omme cos ( π 8 ) > 0 et sin ( π 8 ) > 0 ( π 8 ] 0 ; π [), cos ( π 8 ) = + et sin ( π 8 ) =. cos ( π ) = (cos ( π + ) + ) = 6 et sin ( π ) = ( cos ( π )) =. 6 omme cos ( π ) > 0 et sin ( π ) > 0, ( π ] 0 ; π [), cos ( π + ) = et sin ( π ) =. 78. Huit sphères de dimension identique sont tangentes à la neuvième. insi, l angle a représenté ci-dessous est tel que 8 a = π, donc a = π 8. a T = r ans le triangle T rectangle en T, sin a = 'T ' donc T = sin a ; donc r = sin ( π 8 ).. ans le triangle rectangle en, l égalité de Pythagore s écrit : = + donc (R + r) = (R r) + donc = (R + r) (R r) = Rr. a. r = sin ( π n a : 8 ) = rr r donc π = rr ; donc r sin R = sin ( π 8 ). 8 b. r R 0,59. T argo de S Livre du Professeur

32 Vecteurs ctivités d introduction En équilibre R G T P omète. h =, 8(0,5 ı + 0,5 ) 0, ( 0,5 ı + 0,5 ) =, ı + 0,7 + 0, ı 0, =, 5 ı + 0,5. ans le repère terrien, on a h (, 5 ; 0,5).. a. u = 0,5 ı + 0,5 u = 0,5ı + 0,5 u = 0,5ı + 0,5 u = 0,5ı + 0,5 v = 0,5ı + 0,5 v = 0,5ı + u + v =,5 = 0,8u +, 6 v u = 0,5ı + 0,5 (0,8 u +,6 v) u = 0,5 ı + 0, u + 0, v 0,8 u 0, v = 0,5 ı ı =,6 u 0,8 v = 0,8 u +,6 v = 0,8 u +,6 v = 0,8 u +,6 v = 0,8 u +,6 v b. h =,5(,6 u 0,8 v)+,5(0,8 u +,6 v)= u v + u + v = u + v. ans le repère de la station, on a h ( ; ). ontgolfière... a. arte au trésor a. b. F b d c a F d d F b c a b c a S T P G v w u b. n remarque que F est la translatée de F par la translation de vecteur v. c. ppliquer successivement deux translations de vecteurs u et v revient à appliquer la translation de vecteur u + v. argo de S Livre du Professeur c. ST = SG = ( v + u) = u + v. d. T = S + ST = w + SG = w + ( v + u) = u + v + w.

33 Vecteurs Savoir Faire c. = = + = + = (u v) + (u + v) = u + 5v. parallélogramme = et EF parallélogramme = EF. n en déduit que = EF et donc, que FE est un parallélogramme. 5 a. = E + E (Relation de hasles). E = E car E est le milieu de []. où = E + E. b. + = + ( parallélogramme). = (Relation de hasles). = E (E milieu de []) J = + J (Relation de hasles) (). = ( milieu de []). J = (J milieu de []). En remplaçant dans (), on obtient : J = + =. 9 N = + N (Relation de hasles) = + (énoncé) = ( + ) = ( + ) (énoncé) =. J Les vecteurs N et sont colinéaires. Les droites (N) et () sont donc parallèles. 0 P = + P (Relation de hasles). P = + (énoncé). P = + ( parallélogramme). P = + P = ( + P) = P. Les vecteurs P et P sont colinéaires. Les points, et P sont donc alignés. a. dét (u, v) = ( ) (, 5) = 0. u et v sont colinéaires. b. dét (u, v) = ( ) 6 = et 0. u et v ne sont pas colinéaires. a. ( ; ), (6 ; ). dét (, ) = 0 donc () // (). b. ( ; 5), (6 ; ). dét (, ) 0 donc () et() ne sont pa parallèles. 5 a. u ( ; 0), v ( ; ). b. dét (u, v) 0 donc u et v ne sont pas colinéaires. ls constituent donc une base. c. u = v = ı + = u ı = u + v. 6 a. Les droites () et () ne sont pas parallèles. Les vecteurs et ne sont pas colinéaires et constituent donc une base. b. (0 ; 0), ( ; 0), ( ; ), (0 ; ) et ( ; ). x E = ( ) ( + c. E = + y E = ( ) ( + ). où : E( ; ). ) argo de S Livre du Professeur

34 Vecteurs Exercices d entraînement 7 8 w v u + w v 9 a. + = ; b. + = ; c. + E = E ; d. + + =. u u + v u + v + w 0 a. c = f ; b. a = e ou d = g ; c. b, d et g ont même direction. a. + = ; b. + = F ; c. + EF = ; d. E + = EF ; e. E + = 0 ; f. E + F = 0. + E = E = u = + E = = ( + ) E = ( ). où la construction des points et E. v u E a. + = ; b. = ; b. + = ; d. + + = ; e. + = = 0 ; f. + =. est le milieu de [], donc = ; J est le milieu de [], donc J = ; J = + J d après la relation de hasles ; J = + = ( + ) =. 5 a L JKL est un parallélogramme. b. J = + = ( + ) =. LK = + = ( + ) =. où J = LK et JKL est un parallélogramme. J argo de S Livre du Professeur

35 Vecteurs u v et w sont colinéaires.. v = w. 7 k = ; m =. u u a. L addition des deux égalités vectorielles de l énoncé donne : u w = 0 u = w. La soustraction des deux égalités vectorielles de l énoncé donne : v w = 0 v = w. b. E = et F =. 9. a. Les quatre points,, et sont alignés. Les vecteurs et + sont colinéaires. b. = + (relation de hasles). = + (relation de hasles). + = + + = ( milieu de []). onc = ( + ) et k =.. Les égalités vectorielles du. b. ne dépendent pas de la position du point et restent valables.. Pour tout point, on a = ( + ). 0 a. ui ; b. ui ; c. ui ; d. ui a.,, et sont alignés b. et colinéaires, donc, et sont alignés. et colinéaires, donc, et sont alignés. Les quatre points sont donc bien alignés. a. = et N =. parallélogramme =. n déduit de ces trois égalités que : = N, autrement dit N est un parallélogramme. b. = N N parallélogramme ; = parallélogramme ; = N N parallélogramme. a = d = 5e donc a, d et e sont colinéaires. c = b = f donc c, b et f sont colinéaires. a. G + G + G = 0 G + G + + G + = 0 G + + = 0 G =. c. + = r milieu de [] + = 0. onc, on a bien : + =. d. n a démontré que : G = ( + ). onc G =. e. Les points, G et sont donc alignés. 5 argo de S Livre du Professeur

36 Vecteurs 5 a E b. E = + E (Relation de hasles) E = = ( + ) = Les vecteurs E et sont colinéaires. Par conséquent, (E) // (). 6 u = ; v = ; w =. 7 = + donc + 5. onc on a a. a. u( ; ) ; b. v(0 ; ) ; c. ( ; ) ; d. ( ; 0) ; e. (0 ; 6) ; ( ; ).. a. b. c w u v u 0 w v. u = ( ) + = ; v = 0 + ( ) = = ; w = + 0 = 9 =. a. u + v( ; ) ; b. v( ; 6) ; c. u v( ; 7). a u v u v b. u v u + v +. où : u v 5. 9 (u + v) + w u + v + w u + v + w. 0 a. Possible car + ainsi que + et +. b. mpossible car +. c. Possible, mais triangle aplati. Les trois points, et sont alignés. argo de S Livre du Professeur u u 0 0 u b. ( ; ) ; ( 5 ; 6) c. = u x ( ) = x = y = y =. = u x = x = 5 y = y = 6 x = 5 y = 6 d. Le point est le milieu de [] car : = = et, et alignés.

37 Vecteurs 5 a. onjecture : ( ; ). b. parallélogramme =. = x = x = y ( ) = y =. 6 u = + = 5 = 5. u v = donc v(5 ; u 5 ). 7 a. ( ( ) ; ) donc ( ; ) d où : = ( ) + ( ) = 0 ; ( ; ) donc ( ; ) d où : = ( ) + = 0. b. Le triangle est isocèle de sommet. 8. a. ( ; ) ; = + = 5 = 5 ; b. (5 ; ) ; = 5 + ( ) = 6 ; c. ( ; 5) ; = + ( 5) = 9.. Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté le plus long []. +. onc n est pas rectangle. 5 a. E = x 0 = ( ) E x = E y E = ( ) y E = donc E( ; ). F = 0 x = ( ) F x = F y F = ( ) y F = donc F( ; ). G = x = 0 G x = 0 G y G = ( ) y G = donc G(0 ; ). b. = ( ) + ( 5) = 9 ; = + ( 5) = 9. = donc isocèle en. GF = + ( 8) = 80 ; EG = ( ) + ( 8) = 80. GF = EG donc FGE isocèle en G. 5. F( ; ) ; F( ; ).. F( + ; + ) donc F(0 ; ).. a. Verticale de haut en bas. b. P = F = 0 + =. où mg = 9, 8m = m = 0, kg. 9, 8 9 a. (5 ( ) ; ) = (6 ; ) ; ( ( ) ; ( )) = (6 ; ). = est un parallélogramme. b. et J désignent les milieux respectifs de [] et []. ( + ; + ( ) ) donc ( ; ) ; J ( 5 + ( ) ; + ( ) ) donc J ( ; ). Les milieux des diagonales étant confondus, est un parallélogramme. 50 b. E( ; ) ; F( ; ) ; G( ; 0) ; H ( ; ). EF ( ( ) ; ) = (5 ; ) ; HG( ( ) ; 0 ( )) = (5 ; ). EF = HG EFGH est un parallélogramme. d. EG( ; ) ; EH ( ; ) E = EG + EH x ( ) = + ( ) x =. y = + ( ) y = e. H ( ( ) ; ( )) = ( ; ) ; EG( ( ) ; 0 ) = ( ; ). EG = H EGH est un parallélogramme. 7 5 dét (a, b) = ( ) = 8, 8 0 donc a et b ne sont pas colinéaires. dét (b, c ) = ( ) ( 0,5) = 0, donc b et c sont colinéaires. n en déduit que a et c ne sont pas colinéaires. 5 a. dét (u, v) = 6 ( ) ( ) = 0, u et v sont donc colinéaires. b. v = u. 55 ( ; ) ; ( ; 5). dét (, ) = 5 =, 0 donc et ne sont pas colinéaires. Les points, et ne sont pas alignés. 56 EF ( ; ) ; GH (6 ; ). dét (EF, GH ) = ( ) ( ) 6 = 0, donc EF et GH sont colinéaires. Les droites (EF) et (GH) sont parallèles. 57 a. ( ; ) ; ( ; ). dét (, ) = ( ) ( ) = 0, les droites () et () sont parallèles. argo de S Livre du Professeur

38 Vecteurs b. ( ; ) ; ( ; ). dét (, ) = ( ) = 8, 8 0, les droites () et () ne sont pas parallèles. c. ( ; ) ; ( ; ). dét (, ) = ( ) = 0, les droites () et () sont parallèles. 58 ( ; ) ; (6 ; ). dét (, ) = ( ) 6 = 9, 9 0 donc les droites () et () sont sécantes. 59 ( ; ) ; ( ; 9). dét (, ) = ( 9) = 0 donc et sont colinéaires. insi les droites () et () sont parallèles et est un trapèze. 60 a. ( ; ) ; (8 ; ). dét (, ) = ( ) ( ) 8 = 0 donc et sont colinéaires. insi les droites () et () sont parallèles et est un trapèze. b. (8 ; 0) ; ( ; 6). dét (, ) = 8 ( 6) 0 = 8, 8 0 donc et ne sont pas colinéaires. insi les droites () et () sont sécantes. c. (0,7 ; ). d. ( + ; + ) = (0 ; ) ; J ( + 6 ; 7 + ) = ( ; 5). e. La lecture des coordonnées étant approximative, on ne peut que faire une conjecture. ( 0,7 ; ) ; J ( ; ). dét (, J ) = 0,7 ( ) = 0,. vec la valeur exacte de x =, on trouverait 0, donc les points, J et sont alignés. 6 a. dét (u, v) = 9 x = 8 x. u et v colinéaires 8 x = 0 x = 6. b. dét (u, v) = x = x 6. u et v colinéaires x 6 = 0 x = 6. c. dét (u, v) = ( + x) = 6 x. u et v colinéaires 6 x = 0 x =. 6 a. ( + 5 b. G ( ; ) = ( ; ). ; + ) donc G ( ; ). c. G ( ; ) ; ( ; ). dét (G, ) = ( ) = 0 donc les points, G et sont alignés. 6 est sur l axe des ordonnées donc x = 0. () // () donc et sont colinéaires. ( ; ) ; ( ; y ). dét (, ) = 0 y ( ) ( ) = 0 y 8 = 0 y =. 6. (6 ; 0) = (6 ; 0) donc est un parallélogramme. = 6 ; = ; = 5, la réciproque du théorème de Pythagore assure que le triangle est rectangle en. est donc un rectangle.. a. ( 7 + ; + ) donc ( ; ). b. J = x 7 = J x = 0 J y J = 0 y J =. c. K = x = 0 K x = K. y K = ( ) y K = 5 d. K (6 ; 6) ; J ( ; ). dét (K, J ) = 6 6 = 0 donc les points K, et J sont alignés. 65. a. ( ; ) ; ( ; ). dét (, ) = ( ) = 0 donc les points, et sont alignés. b. ( ; ) donc =.. E = 5 x E = 5 x E = 8. y E = 5 ( ) y E =. ( ; 0) ; E(0 ; 0). dét (, E) = = 0 donc les droites () et (E) sont parallèles. 66. a. b. c. ( ; ). 0 0 E F argo de S Livre du Professeur 8

39 Vecteurs. = x ( ) = x =. y = y =. E( ; ) ; EF ( ; ). dét (E, EF ) = ( ) = 0 donc les points E, et F sont alignés. 67 a. dét (u, v) = ( ), 5 = 9, 5. 9, 5 0 donc u et v ne sont pas colinéaires. Les trajectoires ne sont pas parallèles. b. dét (, u) = 0, l archer placé en atteindra la cible. 68 a. dét (u, v) = ( ) 0 0 = et 0 donc u et v ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan. b. u = ı ı = u v = = v donc ı ( ; 0) et (0 ; ). 69 a. et ne sont pas colinéaires. b. (0 ; 0), ( ; 0), ( ; ) et (0 ; ). c. ( ; ) ; (0 ; ). 70. a. u = ı 9 ; b. v = ı 7 ; c. w = 0.. u( ; 9) ; v( ; 7) ; w(0 ; 0). 7 a. dét (u, v) = et 0 donc u et v ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan. ans cette base, ı (0 ; ) et ( ; 0). b. dét (u, v) = et 0 donc u et v ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan. ans cette base, ı ( ; 0) et ( ; ). c. dét (u, v) = et 0 donc u et v ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan. ans cette base, ı ( ; ) et ( ; ). 7 a. dét (ı, ) = ; b. dét (ı, ) = 6 ; c. dét (ı, ı + ) = ; d. dét (ı +, ı ) =. 7. (0 ; 0) ; ( ; 0) ; (0 ; ). ( ; ) ; ( 0 ; ) ; ( ; 0 ). G ( ; ). a. ( ; ) ; b. ( ; ) ; c. G ( ; ) ; G ( 6 ; 6 ).. G(0 ; 0) ; ( ; 0) ; (0 ; ) ; ( ; ). ( ; ) ; ( ; 0 ) ; ( 0 ; ). a. ( ; ) ; b. ( ; ) ; c. G( ; ) ; G ( ; ). 7 b. et ne sont pas colinéaires. (0 ; ) ; E ( ; ) ; F( + ; ). E ( ; ) ; F ( + ; ). c. dét (E, F ) = ( ) ( ) ( + = ( ) = 0. ) Les vecteurs E et F sont colinéaires, donc les points, E et F sont alignés. 75 a. ( ; 0), ( ; 0), (0 ; ) et (0 ; ). b. (0 ; 0), ( ; ), ( ; ) et (0 ; 0). c. (0 ; 0), (0 ; ), ( ; 0) et ( ; ). 76 a. = + ; E = + ; F =. b. (0 ; 0) ; ( ; 0) ; (0 ; ) ; ( ; ) ; E( ; ) ; F(0 ; ). 9 argo de S Livre du Professeur

40 Vecteurs Faire le point 77 a. n prend comme repère : ( ;, ) b. ( ; 0) ; ( ; ) ; P(x ; x). c. P (x ; x) ; ( ; ). dét (P, ) = 0 (x ) ( x) = 0 x + x = 0 x = 0 x =. Le point est donc situé aux de []. 78. ligne : coordonnées ligne : déterminant ligne : k ligne 6 : nul non nul colinéaires non colinéaires.. a. ( ; ) ; (6 ; ). dét (, ) = 0 donc et sont colinéaires. a. ( ; ) ; (6 ; ). dét (, ) = et 0 donc et ne sont pas colinéaires. 79 a. u( ; ). b. u = + =. c. La mesure donne, cm. L erreur est que le repère n est pas orthonormé, l unité sur l axe des ordonnées étant deux fois plus grande que celle sur l axe des abscisses. 80. dét (u, v) = et 0 donc (u, v) est une base du plan.. u = ı + ı = u v. v = ı + = u + v.a. (x ; y ) b. = (x )ı + (y ) = (x )( u v ) + (y ) ( u + = x + y 5 x = x + y 5 c. y = x + y + 8. E u + x + y + v. v ) F G H ( ; ).. b. L erreur porte sur les coordonnées de FG. x + = ( ) x =. y = 0 y = 8 a. J = + + J = + + = + 0 =. b. J = + J = ; = + = + =. où J =. H 8 a. Les points semblent alignés. b. (7 ; 5) ; ( ;, 9). dét (, ) = 7 (, 9) ( 5) = 0, et 0, 0 donc les points, et ne sont pas alignés. Se tester 8 à 87 Voir anuel de l'élève pages argo de S Livre du Professeur 0

41 Vecteurs Exercices d'approfondissement 88 Piste Piste. a. N = + N = + = + P = + P = + 5 = + 5 ( + ) = b. P = + P = = c. P = 9 5 ( + ) = 9 5 N. Les vecteurs P et N sont colinéaires. Les points, P et N sont donc alignés. Piste a. est un triangle rectangle en, donc les vecteurs et sont orthogonaux. b. ( ; 0 ) ; N ( 0; ) ; x P 0 = ( 0) 5 y P = (0 ) 5 c. P( 9 0 ; 5 ) ; N ( ; ) ; dét (P, N) = 0. Les vecteurs P et N sont colinéaires. Les points, P et N sont donc alignés. 89 n se place dans le repère d'origine et de base les vecteurs unitaires colinéaires à d et. a. d ( ; 0) ; u (0 ; 0). Le déplacement réel du bac est donné par le vecteur u + d ( ; 0). dét (', u + d ) = 0 x ' 0 y ' = 0. omme y ' = 0, on en déduit que x ' =. N P donc P ( 5 ; 5 ). b. Le bac aurait dû donc partir m avant. c. u (a ; b). dét (, u + d ) = 0 0 b 0 ( + a) = 0 entraîne que a =. La valeur de b est un nombre réel positif quelconque. 90. = + = +. P = + N + NP = + ( x) + ( + x) = (x ) + ( x). x. = k x = k.. a. x = ; k =. b. Le système a une solution unique, donc le nombre k existe. Par conséquent les points, P et sont alignés.. Le point est situé aux de []. 9 a. J L b. est un carré, donc les vecteurs et sont orthogonaux. ( ; 0 ) ; J ( ; ) ; K(x ; x) ; L( x ; x). c. K (x ; x ) et LJ (x ; x ). K = LJ ; donc KJL est un parallélogramme. d. eux positions possibles : milieu de [] et de []. 9 a. ( 0 ; ) ; J ( ; ) ; F(0 ; m + ) ; E( + k ; 0). b. E ( + k ; ) ; JF( ; m + ). dét (E, JF) = ( + k )(m + ) ( )( ) = 0 () c. () (m + ) = 0 m = 8. d. () = 0 impossible. Le point E est confondu avec donc (E) = () et comme J (), (JE) et () sont sécantes. K argo de S Livre du Professeur

42 Vecteurs 9. = N donc = N. La droite (N) n'existe pas.. a. c. 0, = 60 0, (60 + ) = = 900 = n doit vérifier que + +. Vrai pour a., mais faux pour b. Tracer le cercle de centre et de rayon = et le cercle de centre et de rayon 5. Tracer le cercle de centre et de rayon. Les deux derniers cercles se coupent en. Tracer le représentant du vecteur d'origine. N b. N = N = + x x + = (x + ) + (x + ) = (x + )( + ) = (x + ). onc, si x, N et sont colinéaires et (N // (). 9. a. dét (R, u ) = 0 x R y R = 0. r y R = 0 on a donc x R = 5. b. dét (R, v ) = 0 (x 5) ( ) (y 0) = 0 r x = 0 on a donc y = 7, 5.. a. dét (R, u ) = 0 x R b y R a = 0. 0a r y R = 0 on a donc x R = b. 0a b. 0 x R a 0b b 0 a b. c. dét (R, v ) = 0 (x 0a b ) ( a) (y 0) b = 0. r x = 0 on a donc : 0a ( 0 b ) ( a) (y 0) b = 0 y = 0 a 0a b (0 b ).. La balle touche le bord si 0 y 0. a b 0 0a b 0 ; 0 a b a b 0 et donc 0 y a. S + ms = 0 S + m(s + ) = 0 m S = m b. S = 00 =. e protocole de construction n'est pas unique. 97 a. J = + J = + =. b. LK = L + K = E + = E. c. = E = (E + ) = J + LK. d. onstruire le point en premier en utilisant le résultat du c. Ensuite, par symétries par rapport aux milieux, construire, E et enfin et. 98 a. ire du carré : 6 ; aire du rectangle : 65. b. n prend un repère orthonormé d'origine et de base les vecteurs unitaires portés par les côtés du rectangle. (0 ; 0) ; (8 ; ) et (; 5). c. (8; ) ; (5; ). dét (, ) = ; 0 donc les points, et ne sont pas alignés. l y a donc un trou dans cette figure entre les pièces. 99 a. E argo de S Livre du Professeur

43 Vecteurs b. éthode E = +E = + = + ( + ) = + =. éthode n se place dans le repère (;, ) (0; 0) ; (; 0) ; (0; ) ; (; ). E = x E = ; E( ; y ). E = E ( ; ) ; ( ; ) ; dét (E, ) = = ( + ) + (5 ) = + 6 = 0.. a. = ( + ) + (y ) = 6 + (y ). b. 6 + (y ) = 0 (y ) =. c. (y ) = y = ou y =. 'où ( ; ) et ( ; ).. = x + = + x = ; y 5 = y = = x + = + x =. y 5 = y = 7. = ( + ) + ( ) = 0. = ( + ) + ( 5) = 0. = donc est un carré. = ( + ) + (7 ) = 7. = ( + ) + ( 5) = 8. donc n'est pas un carré. 0 a. Le lieu de points semble être une droite parallèle à (EH). H G () xh = 6 y xh = 6 y () 6 y y + h = 0 y = 0, h x =, y = 0, h Le point K se trouve donc sur la droite verticale d'équation x =,. 0. a. N = + N = + = + ( + ) = + ( ) = ( + ) =. b. parallélogramme donc =. 'où N =. Les vecteurs N et sont colinéaires et les points, et N sont alignés.. a. n se place dans le repère (;, ). (0 ; 0) ; ( ; 0) ; (0 ; ) ; ( ; ). = x = ( ) x = y 0 = ( 0) y =. N = x N 0 = ( 0) x N = y N = ( ) y N = 0. ( ; 0) ; N ( ; 0 ). N =. Les points, et N sont alignés. 0. F u = 6000 cos0 = 856 ; F d = sin 0 = a. R d = sinα = sinα = = 0, d'où α = b. Force utile = cos = 87. E b. ans un repère (E ; ı, ) avec ı unitaire de (EF) et unitaire de (EH). E(0 ; 0) ; F( ; 0) ; H(0 ; h) ; G(6 ; h) et K(x ; y ). EK (x ; y ) ; EG (6 ; h). dét (EK, EG) = 0 xh 6 y = 0 () HK (x ; y h) ; HF ( ; h). dét (HK, HF) = 0 xh (y h) = 0 () K F 0. a. + = 0 x x ( x) = 0 8 = 0 y + y ( y) = 0 = 0. Système impossible, il n'y a pas de point. b. x x ( x ) = 0 0 = 0 y + y ( y) = 0 0 = 0. l y a une infinité de solutions.. + ( + ) ( + ) = 0 =. 05 a. (, ) est une base du plan car est un rectangle. argo de S Livre du Professeur

44 Vecteurs P = + P = + 7 ; P ( ; 7 ). ; R ( ; ). R = + R = + Les vecteurs ne sont pas colinéaires. b. R = + R = + x ; R ( x ; )., P et R sont alignés si P et R sont colinéaires, donc s'il existe un nombre réel k tel que P = kr. = k x x = 7 = k 7 = k. 06. (d) ( ) ( ) (f) (g). a. est un triangle donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires. b. (0 ; 0) ; ( ; 0) ; (0 ;) ; ' ( 0 ; ) ; ' ( ; ) ; ' ( ; 0 ). c. Les points ' et ' ont la même abscisse et étant sur la droite (''), l'abscisse de est aussi égale à. d. dét (N, ) = 0 ( x ) ( k ) ( y k ) ( ) = 0 () ( k )x + y = 0. N 07 a. N = = = N = rayon donc N est un parallélogramme. b. milieu de [N N] donc N = N. N parallélogramme donc N=. Finalement, N =. milieu de [N N] donc N =N. c. N = N + = + N = N. 08. a. = + = E donc et E sont confondus. = = + = donc est un parallélogramme. Le point K est confondu avec et E. b. = = + = E. = + = + = ; = + = E + E = ; onc =. Le point K est confondu avec le point et est tel que K est un parallélogramme.. a. ( ; k ) ; E(k ; ). b. E (k ; k) ; ( ; ). E = ( k ) donc (E) // (). c. K = x K = x K = y K = 0 y K =. K (0 ; ) ; (0; k) ces vecteurs sont colinéaires, donc, K et sont alignés. K ( ; 0) ; E (k ; 0) ces vecteurs sont colinéaires, donc, K et E sont alignés. Le point K est bien l'intersection de () et (E). 09. G ( ; ) = ( ; ).. a.() est l'axe des abscisses, par conséquent la médiatrice de [] est parallèle à l'axe des ordonnées. onc x = 9. b. = = x + y = ( x ) + ( y ) dét (, N) = 0 y kx = 0 y = kx. () ( k ) x + ( kx) = 0 k x = y = ( k) k. e. ' N ( ( k) ; ; ( ; ). ( k)) Les vecteurs sont donc colinéaires. argo de S Livre du Professeur 0 = 8 6 x 6 y 0 = y y =..a. La hauteur relative à [] est parallèle à l'axe des ordonnées. onc x H = x =. x H = k b. H = k' ( 6 9 ) = k ( ) y H =k ( + ) y H =k k = y H = 6.

45 Vecteurs. G ( ; 5 ) ; HG ( ; 5). HG=G donc H, G et sont alignés. 0 n se place dans le repère (E ; E, EF). ( ; 0) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; 0) ; E(0 ; 0) ; F(0 ; ) ; ( ; ). Si les droites sont concourantes, elles se coupent en un point K. l existe un nombre réel k tel que : K = k x = k K x = + k K y K = k y K = k d'où x K y K = 0. l existe un nombre réel k tel que : EK = k E x K = k d'où x K y K = 0. y K = k l existe un nombre réel k tel que : K = k x K = k x = k K y K = k y K = k d'où x K + y K = 0. x K y K = 0 n obtient donc le système : x K y K = 0 x K + y K = 0 y K y K = x K = x K = y K y K =. x K + y K = 0 + = 0 e système a pour solution ( ; ). 5 argo de S Livre du Professeur

46 Produit scalaire ctivités d introduction Poussé par le vent. a. K F F F K π K π π 6 F F F J J J b. ans chacune des situations, le triangle JK est rectangle en K, donc cos (K, J) = K J = F / F, donc F = F cos (K, J). insi, W = F cos (, F). c. Situation : W = 0 cos π 6 = 0. Situation : W = 0 cos π = 0. Situation : W = 0 cos π = 0.. Lorsque et F sont colinéaires, W = F = 0 = 0. Lorsque et F sont orthogonaux, W = 0. Premières propriétés.a. n note v le projeté orthogonal de v sur u. ans les trois cas, on a alors v' = v cos(u, v ). r d après la remarque qui précède, u. v = u v ' on en déduit que u. v = u v cos(u, v ). b. u. v > 0 car cos(u, v ) > 0 ; u. v > 0 car cos(u, v ) > 0 ; u. v < 0 car cos (u, v ) < 0 ; u. v < 0 car cos(u, v ) < 0.. a. n suppose que u 0 et v 0. Puisque, pour tout x de R, cos x = cos ( x), on a cos(u, v ) = cos ( (u, v )) = cos(v, u ). insi, u. v = v. u. n suppose que v = 0 ; dans ce cas, le projeté orthogonal de v sur u est 0 et u. v = u 0 = 0 et v. u = 0 u = 0. où l égalité. b. Puisque pour tout nombre réel x, cos x, on en déduit que cos x. où, u. v u v. c. u. v = 0 ; u. v = u v ; u. v = u v. argo de S Livre du Professeur 6

47 Produit scalaire Théorème de la médiane. a. + = + = ( + ) + ( + ). b. + = = +.( + ) + + = ( + ). c. = et =, donc + = 0. d. + = = + car = = ( = ).. vec la configuration précédente, on note le point où se trouve le photographe, le point de départ, le point d arrivée et le point de mi-course. insi, = 60, = 50, = 00. onc = + 00, ainsi 6 00 = , donc = 550 et,5. Le photographe se trouvera à environ,5 m au moment de la photo. Une autre formule de la médiane. a. b. c. d. c h =. ; =... a. a = b + c bc cos, ainsi b + c a = bc cos et puisque. = c b cos, on en déduit que. = (b + c a ). b. après le théorème de la médiane, b + c = a + a, donc (b + c a ) = a + a a = a a. Finalement,. = a a =. 7 argo de S Livre du Professeur

48 Produit scalaire Savoir-faire a.. E = = 00 ; b. ( ; ) et ( ; ). b.. F = E = 00 ; c.. E = E. = 5 0 = 50 ; d.. =. = 0 5 = 50. E. EF = E EF cos (E, EF) E. EF = E EF cos EF donc 0 = 5 8 cos EF 0 ainsi, cos EF = 5 8 =. onc, mes EF = π rad. 5 HG.H = GH H cos (HG, H) donc cos (HG, H) = HG.H GH H. 7 a. cos (HG, H) = 7 = donc mes (HG, H) = π rad. b. cos (HG, H) = 7 7 = donc mes (HG, H) = π rad. 8 après les codages, (H) et (K) sont les hauteurs de et dans le triangle. Elles sont sécantes en, donc () est la hauteur issue de dans le triangle. insi, () () et. = ' '. a. ans le repère (,, ) orthonormé, ( ; ), (0 ; ), (- ; 0). argo de S Livre du Professeur 8 insi,. = ( ) + ( ) = 0. onc ( ) ( ). a. e la relation a = b + c bc cos, on déduit que : cos = b + c a bc cos =,5 +, 0,8 d où mes,8 rad ;,5, cos J = +,,5 0,58 d où mes J 0,9 rad ;, cos K = +,5, 0,9 d où mes K 0, rad.,5 KJ b. sin = R, donc R sin,8,5. a. J K b. Les trois longueurs à calculer sont celles des médianes du triangle. après la propriété du cours : + + = + d où =. insi, appliqué à cet exemple : = J = K = c.. = =, donc = ; = 6,5, donc J = 6,5 ; = 8,5, donc K = 8,5. = = 9. d.. = cos, donc. cos = = = 9 5. insi, mes 0,6 rad.

49 Produit scalaire Exercices d entraînement a. = ; b. = ; c. = ; d. = 6. 5 a. = ; =. b. = ; =. a. et b. K E 6. a.. = H ; b.. = H.. a.. = H ; b.. = H.. a.. = H ; b.. = H.. a.. = H ; b.. = H. 7 a. HH. H = HH HH = 6 ; H c.. = E. = E K = HH H' b.. = H = 6 ( 5) = 0 ; a. u. u = ; c.. = H = 6 ( ) = 6 ; d. H. = = = 8 où est le projeté orthogonal de sur (). 8 a.. = = ; b.. = = ; c.. = 0 car () () ; d.. = =. 9 c E c b. u. v = = ; c. u. w = ( ) = ; d. u. t = ( ) =. a. Voir figure ci-contre. b. N. P = H P =,5 ; PN. P = PH P =,5 ; NP. P = HP P =,5. c. N. P = N H. r, d après le b., N. P =,5, donc H =,5/5 = 0,9. insi, PH = P H = 0,9 = 8,9. PH = 8,9. H' 5 N H 5 P F c c G a. GE. GF = G GF = c ; b. GF. FG = GF FG = c ; c. E. EF = E E = E = EF F = c ( c d. G. F = G F = c. 0 a. h = c ( c ) = c. b. N. PN = c c = c ; QN. RQ = c c = c ; RS. RQ = c c = c. ) = c ; a. ' H 0. = H = 6 où H est le projeté orthogonal de sur () donc H = 5/0 =,5. Les deux triangles et conviennent. 9 argo de S Livre du Professeur

50 Produit scalaire b. 9 a. Trajet de 50 m W = F 50 cos π H 6 '. = H = où H est le projeté orthogonal de sur (). donc H = 6 = Les deux triangles et conviennent. 5 u. v = ; u. v = ; u. v = ; u. v =. 6 a. u. v = = 6 ; b. u. v = 0 = 5 ; c. u. v = 0, 0 ( ) = 0. 7 a.. = 0 ;. =. = = 6 ;. = 0. b.. = cos (, ). = 0 ; = cos π = 8 ;. = cos π = a où a est la longueur d un côté du triangle. r, en utilisant la propriété de Pythagore, on trouve que = + ( a ) insi, a = 8. Finalement,. =. 8 W =. F = 9 = 8 J. W =. F = 9 0 = 0 J. W =. F = 9 ( ) = 8 J. W =. F = 9 ( ) = 6 J. W 5 =. F 5 = 9 ( ) = 8 J. W 6 =. F = 9 = 8 J. 6 + W = W = 750 ( 6 + ) J. Trajet de km W = ( 6 + ) J. 6 + b = F d où F = 00 J. 6 + u. v 0 cos (u, v ) = u v, d où : a. cos (u, v ) = =, ainsi mes (u, v ) = π rad. 6 b. cos (u, v ) = =, ainsi mes (u, v ) = π 6 rad. u. v cos (u, v ) = u v, d où : a. cos (u, v ) = ainsi, mes (u, v ),687 rad. 5 b. cos (u, v ) = ainsi, mes (u, v ) 0,796 rad. 7 a. mes = 60 = 7 d où mes = 6. 5 n en déduit que mes = 7. insi,. = cos7. r,. = H où H est le projeté orthogonal de sur [], c est-à-dire que H est le milieu de [].. = 5,5 =,5. insi,,5 = 5 cos 7.,5 = cos 7 8,. a. mes (, ) = π 6 = π rad. insi,. = cos π = 8 = 6. b. Le triangle EF est équilatéral, donc E = F = EF. ans le triangle EF rectangle en F, F = 8 =. mes (E, F) = mes (E, F) = π 6 rad. F.E = F E cos π 6 = =. argo de S Livre du Professeur 50

51 Produit scalaire a.. = cos (, ) d où = cos (, ) donc cos (, ) = = est le seul point qui convient. b.. = cos (, ) d où = cos cos (, ) donc cos (, ) =. et sont les points cherchés. c. (u + v).(u v) = u. u u. v + v. u + v. v = u v car u. v = v. u.. n utilise le résultat du. a. pour écrire : u + v = u + u. v + v u + v u v = u. v insi, u. v = ( u + v u v ). 9 u. v = u v cos (u, v) = =. (u v) = u u. v + v = + = 7. (u + v) = (u + v).(u + v) = 9u + u. v + v. u + 6v. v = 9 u + u. v + 6 v = =. 5 a. u = = ; b. v = = ; c. w = + = 5 ; d. t = + = ; e. (u + v) = + = 5 ; f. (v + t ) = + =. 6 Lorsque u = 0, u = 0. 0 = 0. où l égalité. Lorsque u 0 : u = u.u = u u cos (u, u) = u u = u. 7 a. H b. =. = ( + ). =. +. = H + 0 car () () = H. 8. a. (u + v) = (u + v).(u + v) = u.u + u.v + v.u + v.v = u + u. v + v car u. v = v. u. b. (u v) = (u v).(u v) = u.u u. v v. u + v. v = u u. v + v car u. v = v. u. 0 u.v = u v cos (u, v) = 0, 0, = 0,0. (u v) = u u. v + v = 0, 0,0 + 0, = 0,7 0,0. (u + v) = (u + v).(u + v) = 9u + u. v + v. u + 6v. v = 9 u + u. v + 6 v = 9 0, + 0, , =,65 + 0,8. u. v = u v cos (u, v) = =. (u v) = u u. v + v = + = 5. (u + v) = (u + v).(u + v) = 9u + u. v + v. u + 6v. v = 9 u + u. v + 6 v = = = ( + ).( ) =.( + ) =.. 5 argo de S Livre du Professeur

52 Produit scalaire u. v = ( u + v u v ).. = (,,5 ) =,0 e plus,. = cos (, ) d où cos (, ) 0,. a. J. JK = ( J + JK J JK ) = (K J JK ) = ( ) =. J. K = ( J + K J K ) = (KJ J K ) = ( ) =. b. J. K = J K cos (J, K) donc : = cos (J, K) ainsi, cos (J, K) =. mes,8 rad. 5 = + = ( + ) + ( + ) = = +.( + ) +. r, est le milieu de [], donc + = 0 et =. insi, = ( = + ). 6 = = (H + H) (H + H) = H + H. H + H H H. H H = H.(H H) + H H = H. + H H = H H car (H) (). 7 a. u. v = - ( ) + ( ) =. b. u. v = ( ) + ( ) =. 8 a.. = ( ) =. b.. = 5 + ( ) =. c.. = 7 ( ) + ( ) ( 6) = 8. d.. = ( ) + ( ) = 8. 9 = =. = (x x ) (x x ) + (y y ) (y y ) = (x x ) + (y y ). où la formule. 50 a. u. v = 0 ; u = ; v = 7 ; cos (u, v) = 0 donc mes (u, v) 0,8 rad. 7 b. u. v = - ; u = ; v = 6 ; cos (u, v) = 6 = donc mes (u, v),8 rad. 6 5 a. u. v = ; u = ; v = ; cos (u, v) = donc mes (u, v),7 rad. b. u. v =, ; u = 7 ; v = 0 5 ;, cos (u, v) = 7 0 donc mes (u, v),5 rad. 5 5 a. u. v = 9,9 ; u = 0 ; v = 0 5 ; 9,9 cos (u, v) = 0 0 donc mes (u, v) 0, rad. 5 b. u. v = 5 ; u = 0 ; v = 55 ; cos (u, v) = 5 donc mes (u, v), rad cos =. = + ( ) = donc mes, rad. cos =. = + ( ) ( ) = donc mes, rad. cos =. = ( ) + = donc mes 0,9 rad. 5 a. u. v = x z + y t et v. u = z x + t y d où l égalité. b. (u + u ).v = (x + x ) z + (y + y ) t = x z + y b + x z + y t = u. v + u. v c. u.(v + v ) = x (z + z ) + y (t + t ) = x z + y t + x z + y t = u. v + u. v d. k (u. v) = k (x z + y t) = kx z + ky t = (ku).v = x kz + y kt = u.(kv) 55. = 0 ; = 5 + λ ; =. a. mes = π donc cos =. r, cos =. = λ n cherche λ tel que λ =, argo de S Livre du Professeur 5

53 Produit scalaire donc 5 + λ = 0 c est à dire 5 + λ = 00 donc λ = 75, ainsi λ = 75 = 5 5 ou λ = 75 = 5 5. b. mes = π donc cos =. r cos =. = λ n cherche λ tel que λ =, donc 5 + λ = 0 c est-à-dire 5 + λ = 00 donc λ = 5, ainsi λ = 5 ou λ = a. u. v = 0 ; w. v = 0. b. d. u. v = ( + 5) + ( 5) = 0 donc u et v ne sont pas orthogonaux. 60 ans le repère ( ; Q, N) orthonormé, ( ; ) et J ( ; ) donc. J = + ( ) = 0 donc () (J). 6 a. E. FH = E.(FG + GH) = E. FG + E. GH = FG. FG + E. GH = FG + E. GH. b. E. GH = (EF + FG + G).GH = EF.GH + FG. GH + G. GH = EF GH G = =. c. E. FH = FG + E. GH = = 0 donc (E) (FH). W V U 6 Lorsque u = 0 (ou v = 0), u. v = 0 et u v par notation (voir le paragraphe du cours). Lorsque u 0 et v 0, si u. v= 0 c est que cos (u, v) = 0 donc mes (u, v) = ± π rad donc u v. Si u v alors cos (u, v) = 0 donc u. v = 0. Les points U et W ont même projeté orthogonal sur la droite (V). 57 a. ( ; ) et ( ; ) donc = insi, est un parallélogramme. b. = 5, =. cos =. = + ( ) = 5 65 d où mes, rad. e plus, mes = mes, rad ; ensuite, mes = π mes, rad ; enfin, mes = mes, rad. c. + = = 6 et = = 6, d où l'égalité. 58 a. u. v = 0 ; b. u = ; c. v = - ; d. u + v = + = 59 a. u. v = + = 0 donc u et v ne sont pas orthogonaux. b. u. v = 0,5 + 0, ( 5) = 0 donc u et v sont orthogonaux. c. u. v = ( ) + ( ) ( ) = = 0 donc u et v sont orthogonaux. 6 Lorsque u = 0 ou v = 0, l équivalence est immédiate. Lorsque u 0 et v 0, u v u. v = 0 0 = ( u + v u v ) u + v = u + v. 6 ( ) () (). = 0. a.. = 5 + ( ) 5 = 0 donc ( ). b.. = 6 + ( ) = 0 donc ( ). c. E. E = ( ) = 0 donc E ( ). d. F. F = = 0 donc F ( ). 65 a. (5 ; ), ( ; 5), donc = = 6 et. = 5 + ( 5) = 0. est donc un triangle isocèle rectangle en. b. ( ; ), (5 ; -), donc = 5 et = donc le triangle n est pas isocèle en.. = 5 + ( ) = 0. e triangle n est pas non plus rectangle en. est un triangle quelconque. 5 argo de S Livre du Professeur

54 Produit scalaire 66 i = i = (u v).(u v) = 6u 8u. v + v = = donc i =, le vecteur i est unitaire. j = j. j = ( u + v).( u + v) = 9u 6u. v + v = = donc j =, le vecteur j est unitaire. i. j = (u v).( u + v) = u + u. v + u. v v = = 0, donc i j. La base ( i, j ) est bien orthonormée. 67 a. u( ; ), v( ; ) donc u. v =, les vecteurs u et v ne sont pas orthogonaux. La base (u, v) n est ni orthonormée, ni orthogonale. b. n a a = b =, donc ces vecteurs sont unitaires. Par contre, a. b = = 7 0 donc les vecteurs a et b ne sont pas orthogonaux et la base (a, b ) n est pas orthonormée. = ( +,8 ) = 5,69 donc = 5,69. = (,8 + ) =,7 donc =,7. = ( +,8 ) = 5, donc = 5,. 7 n utilise la formule du cours :. =. a.. = 7 ( 7) = 99. b.. = ( 75) 0 = 50. c.. = ( 06) (6 ) = 88. d.. =. = ' 68 a. = +,5,5 cos π 6. = 9 + 6,5 7,5. = 5,5 7,5. b. = cos π. = = = ( + ) = ( ) = [ ( + )] = [ ( + )] =. 69 ans tous les cas, cos = b + c a. c + b a a + c b bc 7 = ; = a. cos = ,96 donc mes 0, rad. 0 a + b c cos = ,785 donc mes 0,7 rad. = donc : 0 0 cos = ,589 donc mes, rad. + + = 0 (a + b + c a + b + c ) b. cos = +,,5 0,978 donc mes 0, rad. = a + b + c a + b + c =, (a + b + c ) cos = +,5, 0,885 donc mes,7 rad. 7,5 Les trois côtés du terrain cos =, +,5 triangulaire mesurent respec- 0,96 donc mes 0, rad.,,5 tivement 70, 6 et = n utilise la formule du cours : 6 7 cos + = + d où cos = qui donne = 6 7 0,97 7 ( + ). ainsi, mes,9 rad. argo de S Livre du Professeur 5

55 Produit scalaire n note l aire de la surface du lac : = 6 7 sin, acres. 75. a. = 0 +,8 0,8 cos π 5 et 7, m. La largeur d un but est d environ 7, m. b. = ( + ) (, , ) 69, 8975,7. Le gardien se trouve à environ,7 m du ballon.. = + cos 7, + 5 7, 5 cos π 6 6,9 9 m. 76 n suppose que. n note le pied de la hauteur issue de qui est aussi le milieu de []. ans le triangle rectangle en : = +. ans le triangle rectangle en : = +. insi : ' = = ( + ).( ) = ( + ).( + ) =. =. 77 après la propriété du paragraphe a du cours, puisque est un triangle rectangle en : + = + = H H = H H = H H = H H = H. Faire le point 78.. = 0 car le produit scalaire est un nombre. = car = 0.. a. u. v > 0 ; b. u. v = 0 ; c. u. v > 0 ; d. u. v < 0 79 a. n nomme certains points de la figure, utiles à la démonstration Le repère (,, J) est orthonormé. J b. ans le repère (,, J) orthonormé, (0 ; 0), (,5 ; ), ( ; 0,5), (0 ;,75). c. (,5 ; ) et ( ;,5). insi,. =,5 ( ) +,5 = 0. onc () ^ (). 80 a. n utilise la formule liant produit scalaire et parallélogramme. u(7 ; ), v( ; 5) donc u + v (8 ; 9). u. v = ( u + v u v ) = [8 + ( 9) (7 + ( ) ) ( + ( 5) )] = 7. n utilise la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé. u. v = 7 + ( ) ( 5) = 7. b. n utilise la formule liant produit scalaire et parallélogramme. u v 55 argo de S Livre du Professeur

56 Produit scalaire Si on pose = a, alors u = v = a + ( a ) = 5a. u + v = u + v = (a) = a. u. v = ( u + v u v ) 8 J. JK = J JK cos (J, JK) = J JK cos ( π π ) =, 5 cos π =, 5 ( ) = 8,5. = 5a (a 5a ) = a. n utilise la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé. ans le repère orthonormé ( ; i, j ) avec i et colinéaires et de même sens, de même que j et : (0 ; 0), (0 ; a ), (a ; 0), (a; a), (0 ; a). insi, u = et ( a ; a ) et v = et ( a ; a ). onc, u. v = a a + a ( a ) = a a = a. 8 est un triangle rectangle en. 8. a.. = c ;. = H = c ( c ) c = c ; H. =.( + ) = c ( + ). b. Le triangle est rectangle isocèle en, donc mes = π ; le triangle est équilatéral, donc mes = π ; ainsi, mes = π π = π. H r, = =. = ( + ). =. +. =. car () ^ () = H car H est le projeté orthogonal de sur (). e plus, = H + H donc = (H + H) H = H + H H d où H = H H ainsi H = H H car le triangle H est rectangle en H. H = H H = H H =. H =. (H + ) =. H +. =. H +. = H +., donc. = 0, ce qui prouve que () ^ () et que le triangle est rectangle en.. = cos, ainsi : c ( + ) = c c cos π. Finalement, cos π = +.. a. après la propriété de l angle inscrit et de l angle au centre interceptant le même arc : mes = mes = π rad. b. ans le triangle H rectangle en H, cos = H. ans le triangle rectangle en, cos =. insi, cos π = H =. c. cos π = H + cos = Finalement, cos π + = π 6. = +. argo de S Livre du Professeur 56

57 Produit scalaire Se tester 8 à 87 Voir anuel de l'élève page 58. Exercices d'approfondissement 88 a. H + EF = (E + EH) + 6E = E + EH = EF + EH = (EF + EH) = EG. b. EG. H = (H + EF). H = H + EF. H = H + EF E = E + EH + EF E = + ( ) + ( ) = 0 donc (EG) ^ (H). 89. Le repère ( ;, ) est orthonormé puisque = = et que () ^ ().. a. ans le repère précédent : ( ; 0,5) ; P (0,5 ; ) ; N ( ; 0,5) ; P ( 0,5 ;,5) et N ( ; ). insi, P. N = 0,5 +,5 = 0 donc (P) ^ (N). Le triangle PN est rectangle en. b. n note le ( ) le cercle circonscrit au triangle PN son diamètre est [PN] (il existe plusieurs façons de répondre). ( ; ). onc P (,5 ; ) et N ( ;,5). insi, P. N =,5 +,5 = 0. Le triangle PN est rectangle en, donc appartient au cercle ( ) de diamètre [PN]. J ( ; ). onc JP( 0,5 ; ) et JN ( ;,5). insi JP. JN = 0,5 + ( ) (,5) = 0. Le triangle JPN est rectangle en J, donc J appartient au cercle ( ) de diamètre [PN]. 90. a. P N 57 b. Lorsque x =,, N, P sont les milieux des côtés du triangle.. a. (P) = P sin = x ( x) sin = x( x) sin = x( x) bc sin. b. () = bc sin = ac sin = ab sin. c. (P) = x( x) (). n montre de même que : (P) = x( x) () et (PN) = x( x) (). insi (P) = (N) = (PN). d. (NP) = () (P) = bc sin x( x) bc sin = bc sin [ x( x)] = () [ x( x)].. a. (NP) = () x( x) = x x + = 0. b. L aire est maximale (et vaut l aire ) pour x =. 9. n peut raisonner en utilisant les coordonnées de vecteurs dans une base orthonormée. u(a ; b), v(a ; b ), w(x ;y) a. w colinéaire à u dét (w, u) = 0 w colinéaire à v dét (w, v) = 0 ay bx = 0 a'y b'x = 0 a'ay a'bx = 0 a'ay ab'x = 0 ay bx = 0 (ab' a'b)x = 0 argo de S Livre du Professeur

58 Produit scalaire r, u et v ne sont pas colinéaires, donc ab a b 0, ainsi x = 0 et y = 0 Réciproquement, si w = 0 alors il est colinéaire à u et à v. b. w orthogonal à u ax by = 0 w orthogonal à v a'x b'y = 0 a'ax + a'by = 0 a'ax ab'y = 0 ax + by = 0 (a'b ab')y = 0 r, u et v ne sont pas colinéaires, donc a b ab 0 ainsi, y = 0 et x = 0. Réciproquement, si w = 0, alors il est orthogonal à u et à v.. a. et b. Premier cas = euxième cas b. Premier cas : et ne sont pas colinéaires (c est-à-dire que les points,, ne sont pas alignés). ans ce cas, en posant u =, v = et w =, on retrouve la question. a. onc w = 0 et = euxième cas : et sont colinéaires (c est à dire que les points,, sont alignés). = 0 est un triangle rectangle en ou = ou = ( ) où ( ) est le cercle de diamètre []. e même,. = 0 ( ') où ( ') est le cercle de diamètre []. insi, est le point d intersection de () et de ( ') ; de plus,, sont alignés =. + ( + ). + ( + ). =.( + + ) +.( + ) = = 0. H est le point d intersection de deux des trois hauteurs (celle issue de et celle issue de ). n sait donc que H. = 0 et H. = 0 r, d après le., H. + H. + H. = H. = 0 donc (H) ^ (). insi, (H) est la hauteur issue de et les trois hauteurs sont concourantes en H. 9. ans le triangle : = + cos d où cos =,9 + 7,7 9,7 0,6 donc,9 7,7 mes, rad. insi () = sin,9 7,7 sin, 8 85,5 m. ans le triangle : = + cos d où cos =, ,7 0,8,6 75 donc mes,075 rad. insi () = sin,6 75 sin, ,5 m. Finalement, l aire de la surface du terrain d bdou est environ 8 85, ,5 c est à dire 7 m.. n cherche la mesure de l angle. () = sin 8 85,5 donc sin 9,7,9 0,677 d où mes 0,7 rad. () = sin 8 66,5 donc sin 9,7,6 0,66 d où mes 0,66. insi, mes 0,7 + 0,66, rad. Finalement, = + cos,9 +,6,9,6 cos, 5 8. insi, m. argo de S Livre du Professeur 58

59 Produit scalaire 9. n conjecture que ( ) et ( ) sont orthogonales.. n note a = et x =. insi, 0 x a. j ans le repère orthonormé ( ; i, j ), (x ; 0), (a ; a), i ' (a ; x), (0 ; a). insi, (x a ; a) et (a ; x a). où. = (x a) a + ( a) (x a) = 0. onc ( ) ^ ( ). 95 a. ans le triangle H, mes H = = ; mes H = 80 ( + 7 ) = sin H = H sin H 50 sin 7 donc H = sin 0,7 m. b. une part, ( H) = H sin H ( H) 50,7 sin ( H) 76 m. autre part, ( H) = H d où H ,0. Finalement, h = H + 0,8. La hauteur de la mosquée de jenné est d environ m. 96. a. mes (, ) = b a. b.. = cos (, ) = cos (b a) = cos (b a).. (cos a ; sin a), (cos b ; sin b). onc. = cos a cos b + sin a sin b. Puisque cos ( x) = cos x pour tout x de R : cos (b a) = cos (a b). après le. b. et le., on en déduit que : cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b.. a. n pose b = b. insi, d après le. : cos(a + b) = cos a cos ( b ) + sin a sin ( b) = cos a cos b sin a sin b. b. n pose a = π a. une part, cos (a + b) = cos ( π a + b ) = cos ( π (a b) ) = sin (a b). '' 59 autre part, cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b = cos ( π a ) cos b sin ( π a ) sin b = sin a cos b cos a sin b. insi, sin (a b) = sin a cos b cos a sin b. c. n pose b = b. sin (a + b ) = sin a cos ( b) cos a sin ( b) = sin a cos b + cos a sin b =. HK = HK = HK.. = ( + ). =. +. =. +. = + = L + l. insi, HK = L + l d où HK = L l = L l L + l.. a. = HK L + l = L l L + l L + l = L l l = L L = l L = l. b. (HK) = K HK. r, H = HK = K puisque = HK, donc HK = L + l et comme K = L + l, on en déduit que (dans le triangle K rectangle en K), K = l K. K = l L + l 9 = 8 l L 9 d où K = 8 l L insi, (HK) = 8 l L L + l. r, L = l donc L = l, on simplifie : (HK) = 8 l l = 6 l l l + l = l = + = ( + ) + ( + ) = = +.( + ) + + = = + ( ) + ( ) (car = = ) = +.. a. + = + = + = = =. appartient au cercle de centre et de rayon. argo de S Livre du Professeur.

60 Produit scalaire b. En procédant de même, on trouve : + = =. onc il n existe pas de tels points. c. En procédant de même, on trouve : + = 6 =. appartient au cercle de diamètre []. d. En procédant de même, on trouve : + = 8 = 0. onc le seul point qui convient est le point. 99 a. K d ( ) H R b. H + K = d car KH est un rectangle c. ans le triangle, d après le théorème de la médiane : + = H + ; R = H + donc = (R H ). ans le triangle, d après le théorème de la médiane : + = K + R = K + donc = (R K ) insi, + = 8R (H + K ) + = 8R d. argo de S Livre du Professeur 60 ( ) d. + = ( + H) + (H + H) = H + H. H + H + H + H. H + H = H + H. (H + H) + H + H = H +. n montre de même que : + = K +. insi, = H + K + + = d + 8R d = R. 00 a. n note α = mes (GH, GE), ainsi : mes (G, GF) = π π π α = π α. GH. GE = GH GE cos α ; G. GF = G GF cos (π α). r, cos (π α) = cos α ; GH = GE et GF = G, donc GH. GE = G. GF et finalement, GH. GE + G. GF = 0. b. GH. GE + G. GF = 0 est successivement équivalent à : (GF + FH).GE + G.(GH + HF) = 0 GF. GE + FH. GE + G. GH + G. HF = FH. GE G. HF = 0 FH. GE + G. FH = 0 FH. GE + FH. G = 0 FH.(G + GE) = 0 FH. E = 0, donc (FH) ^ (E). 0 éthode ans le triangle E rectangle en, tan E = 8. ans le triangle F rectangle en, tan F = 5 8. onc tan E tan F. insi mes E mes F donc les points E,, F ne sont pas alignés. éthode n note le point de [] tel que = et J le point de [] tel que J =. insi, le repère (,, J) est orthonormé. ans ce repère, E ( ; 0), (8 ; 8), F (0 ; ). E ( ; 8), F( 8 ; 5). dét (E, F) = 5 8 ( 8) = 0 donc E et F ne sont pas colinéaires donc, E, F ne sont pas alignés.

61 Produit scalaire 0. Lorsque (), P =. = 0 car alors le triangle est rectangle en (ou = et = 0 ou = et = 0).. a. Le triangle est rectangle en, donc est le projeté orthogonal de sur (), donc. =.. b. P =. ' = ( + ).( + ) = +.( + ) +. = d = d R.. n note le point diamétralement opposé à. P =. = ( + ).( + ) = +.( + ) +. = d = d R.. a. P ne dépend pas de et puisqu il ne dépend que de d et de R, c est-à-dire de la distance du point au centre du cercle et du rayon du cercle. b. Lorsque est extérieur à (), d > R donc P > 0 ; lorsque (), P = 0 ; lorsque est intérieur à (), d < R donc P < a. doit être situé à l intérieur du cercle () et à l extérieur du cercle ( ). P = d R = d 5 ; P ' = d R = d 9. onc P + P ' = d. d = 0 d = 7 d = 7 (car d > 0). onc l ensemble des points cherchés est le cercle de centre et de rayon 7. b. P = P ' d R = d R d = d d = d est équidistant de et. onc l ensemble des points est la médiatrice de [ ]. c. Les deux points doivent être situés à l intérieur de () ou à l extérieur de (). P K P = K R d + R = K d. onc K d = 0, c est-à-dire d = K. onc l ensemble des points est le cercle de centre et de rayon K. 0. a. c = a + b ab cos donc cos = a + b c. ab b. = ab sin ; = ab cos. c. = ab ( + cos )( cos ) = ab ( + a + b c ab )( a + b c ab ) d. = ab ( ab + a + b c ab )( ab a b + c = [(a + b) c ][c (a b) ] ab ) = (a + b + c)(a + b c)(c + a b)(c a + b) = p(p c)(p b)(p a) = p(p a)(p b)(p c). a. p =, ,6 = 7, onc = 7, (7,,6)(7, )(7, 6,6) 6,. b. abc abc = R donc R =,6 6,6 6,,8. 0. a. Le quadrilatère étant inscriptible dans un cercle, on a : mes = mes lorsque le quadrilatère est croisé, donc sin = sin ; mes = π mes lorsque le quadrilatère est non croisé comme c est le cas ici, donc sin = sin (π ) = sin. a d = () + () = ab sin + sin = (ab + cd) sin. b. = a + b ab cos (triangle ) = c + d cd cos (triangle ), d où l égalité. insi, puisque cos = cos (π ) = cos, on en déduit que : a + b c d = ab cos cd cos a + b c d = ab cos + cd cos a + b c d = (ab + cd) cos c b 6 argo de S Livre du Professeur

62 Produit scalaire c. 6 = 6 (ab + cd) sin 6 = (ab + cd) ( cos ) 6 = (ab + cd) (ab + cd) cos. d. p a = a + b + c + d a = a + b + c + d ; de même, p b = a b + c + d p c = a + b c + d et p d = a + b + c d. après le b., (ab + cd) cos = a + b c d donc (ab + cd) cos = (a + b c d ). onc 6 = (ab + cd) (a + b c d ) = [ (ab + cd) + a + b c d ][(ab + cd) a b + c + d ] = [(a + b) (c d) ] [-(a b) + (c + d) ] = (a + b + c d)(a + b c + d)(-a + b + c + d)(a b + c + d) = (p d) (p c) (p b) = 6(p a)(p b)(p c) (p d). insi, = (p a)(p b)(p c) (p d).. a. p = =. onc = ( 5)( 6)( 9)( 8) = 60 = 5. = ( ) sin 5 = 5 sin sin = 5 = 5 donc mes 65, (),7. b. () = sin r, est l angle au centre interceptant l arc, donc mes = mes = 0. insi,,7 6 sin 0.,7/6 9,. 05. (0 ; 0), (b ; 0), (0 ; c), (b ; b), E(0 ; b), F( c ; c), G( c ; 0).. a. () y = m x + p () y = m x + p c = m 0 + p p = c b = m b + p m = b + c m La droite () a pour équation y = b + c b x + c. (F) y = m x + p F (F) y F = m x F + p 0 = m b + p c = m ( b c) c = m x ( c) + p 0 = m b + p m = c b + c m = c b + c c 0 = b + c b + p p = bc b + c c La droite (F) a pour équation y = b + c x + bc b + c. b. H est le point d intersection de ces deux droites. y = b + c x K b H + c c y H = b + c x + bc H b + c b + c c x b H + c = b + c x + bc H b + c y H = b + c x b H + c ( c b + c b + c b ) x = bc H b + c c y H = b + c x H + c b bc (b + c) x (b + c) H = b c bc(b + c) b(b + c) y H = b + c x b H + c bc (b + c) x H = b c bc(b + c) y H = b + c b x H + c bc (b + c) x H = b c y H = b + c x b H + c x = b c H bc (b + c) y H = b + c b c b bc (b + c) + c x = b c H bc (b + c) bc y H = + c + bc c (b + c) bc (b + c) x = b c H bc (b + c) bc y H = + c + bc cb bc c bc (b + c) x = b c H bc (b + c) b y H = c bc (b + c) b. H ( b c bc (b + c) ; b c bc (b + c) ) et ( b ; c) donc b H. = c bc (b + c) + b c bc (b + c) = 0. argo de S Livre du Professeur 6

63 Produit scalaire onc (H) est la hauteur issue de dans le triangle. La droite (H) passe par l origine du repère, elle a donc pour équation y = m x avec m = y H. x H (H) : y = b c x. 06 Lionne L Gazelle G ans le triangle LGS : LG = LS + GS LS GS cos 5 LG (8,66 + 5,5) + 5, (8,66 + 5,5) 5, cos 5 LG 9, LG 57 m. La distance entre la lionne et la gazelle est d environ 57 m. La distance entre la lionne et le scientifique le plus proche est LS 5 m. 07 G S Scientifique 6 80 m 5 0 S Scientifique E π ans le triangle S S : S S S = S = sin S S sin S S sin S S π π 6 J 80 sin donc S = 6,5 m ; sin sin 0 S = 5,5 m. sin 06 mes LG = mes S S = 06. mes LS = mes GS = 7. mes GS = 80 mes GS mes S G = = 7. mes LS = 80 mes LS mes S L = = 60. ans le triangle S G : S G = sin GS sin S G = GS sin GS 5,5 sin 5 donc G =,5 m ; sin 7 5,5 sin 7 GS = 5, m. sin 7 ans le triangle LS : L S = LS = sin S L sin LS sin LS,5 sin 6 donc L = 8,66 m ; sin 60,5 sin 7 LS = 5,66 m. sin 60 a. n commence par déterminer quelques longueurs (par la propriété de Pythagore) et quelques mesures d angles utiles pour la suite. = = G = ; mes E = π ; mes = π donc mes E = π π = π ; de même mes G = π et comme mes E = π 6, on en déduit que mes G = π + π 6 + π = π. insi : E. G = ( + E). G =. G + E. G =. G + E. G = G cos G + E G cos EG = cos π + cos π = + = 0. onc (E) ^ (G) b. e plus, [EJ] et [G] sont les diagonales du carré JGE, donc (EJ) ^ (G). insi, (E) et (EJ) sont parallèles, mais comme elles ont un point commun, elles sont confondues :, E, J sont donc alignés. 6 argo de S Livre du Professeur

64 Produit scalaire 08 a. + + = (G + G) + (G + G) + (G + G) = G + G + G + G = G + 0 = G (car G est le centre de gravité du triangle ). + = (d après la règle du parallélogramme) donc + + = + = H + H +. b. après le a., G = H + H +, donc G H = H +. r, (H) ^ () car (H) est la hauteur issue de, et ( ) ^ () car ( ) est la médiatrice de [], donc les vecteurs H + et sont orthogonaux. insi, les vecteurs H G et sont orthogonaux. c. En procédant comme au a., on peut montrer que + + = G = H + H + puis que G H = H et enfin que H G et sont orthogonaux. (H G). = 0 insi, (H G). = 0 donc H G = 0 (car il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires). Finalement, H = G. onc, les points, G et H sont alignés. d. e H G= 0, on déduit que H = 0 donc H =. 09. a. = = K = + K = + ( ) = ; K = ( ) = donc K K = =. b. = ( + ).( ) = ( + ). = ( +. ). =. =.. c. =. =. = +. = + +. =. d. n cherche l ensemble des points tels que. =. n note H le projeté orthogonal de sur () :. = H = H = H = 5. L ensemble de ces points est donc la droite ( ) perpendiculaire à (), passant par H. r, d après le a., ( ) et K ( ), donc ( ) = (K) et (K) ^ ().. n note le milieu de []. Le repère (,, ) est orthonormé. ans ce repère, K ( ; ) et ( ; ). onc K. = ( ) + = 0. insi, (K) (). argo de S Livre du Professeur 6

65 5 Équations de droites et de cercles ctivités d introduction Équation cartésienne d'une droite. a. ( ; ). b. () et sont colinéaires. c. (x ; y ). () (y ) (x ) = 0 x y + 8 = 0.. a. x y + 8 = = 0 donc (). x E y E + 8 = = 0 donc E (). b. E ( ; ) est un vecteur directeur de (E). (x ; y) (E) et E sont colinéaires y ( )(x ) = 0 y + (x ) = 0 x + y 8 = 0 x + y = 0 Ensemble de points vérifiant une équation a. x y + = 0 6 y + = 0 y = 0 y =. e même, y =, y = 5 et y = 8. b. n constate que les points,, et sont alignés. c. E( ; ). l est aligné avec,, et.. L ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l équation x y + = 0 est une droite. Représentation paramétrique d'une droite. a. Pour t = 0, ( ; ). b. (x ; y + ) d où (t ; t) et = tv. n en déduit que les vecteurs et v sont colinéaires et que appartient à la droite passant par et dirigée par v. Équation cartésienne d'un cercle a. (x ; y) () = = 9. b. (x ; y) () = 9 (x ) + (y + ) = 9. Savoir-faire ( ; ) est un vecteur directeur de la droite (). onc une équation de () est de la forme x ( ) y + c = 0, x + y + c = 0. (), donc x + y + c = 0, c = 0 et c = 0. Une équation de () est x + y = 0. (5 ; ) est un vecteur directeur de la droite (). onc une équation de () est de la forme : x 5y + c = 0. (), donc x 5y + c = 0, c est-à-dire : c = 0 et c =. Une équation de () est x 5y = 0. (x ; y) désigne un point quelconque du plan ainsi, (x + ; y ). appartient à la droite passant par et dirigée par u ( ; ) si et seulement si dét ( ; u) = 0. x + y = 0 (x + ) (y ) = 0 x y = a. EF(8 ; ) et ( ; 8). EF = 8 + ( 8) = = 8 0 donc (EF) et () ne sont pas perpendiculaires. b. v( ; ) est un vecteur directeur de (d ) or (d) // (d ) donc v( ; ) est un vecteur directeur de (d). Une représentation paramétrique de (d) est : x = + t avec t R. y = t 8 a. ( + ; ), c'est-à-dire (0 ; ). ( ; ) est un vecteur directeur de la médiane (). (x ; y) () dét( ; ) = 0 x y = 0 (x ) ( )(y ) = 0 x + + y = 0 x + y + = 0. b. x + y + = = 0, donc (). argo de S Livre du Professeur

66 5 Équations de droites et de cercles a. Les coordonnées du milieu de [] sont ( ; ) et = ( ) + ( 0) = + 9 = 0 = 5. Une équation cartésienne du cercle de centre et de rayon est (x ) + (y 0) = 5, c est-à-dire (x ) + y = 5 ou encore x + y x = 0. b. (x + ; y ) et (x ; y). (). = 0 (x + )(x ) + (y ) y = 0 x + x + y y = 0 x + y + x y = 0. a. x + y + x 0y = 0 x + x + y 0y = 0 (x + ) + (y 5) 5 = 0 (x + ) + (y 5) = 9. est l équation du cercle de centre ( ; 5) et de rayon 9. b. x + y + x = 0 x + x + y = (x + ) + y = (x + ) + y = 5. est l équation du cercle de centre ( ; 0) et de rayon 5. c. x + y + 6x + 0 = 0 (x + ) 9 + y + 0 = 0 (x + ) + y =. e n est pas l équation d un cercle car < 0. Exercices d entraînement a. (0 ; ), u( ; ). b. ( ; ), u( ; ). ( ; ), u(5 ; ). 5 ( ; 0), j(0 ; ). 6 y = y = donc une équation de () est y =. x = x = donc une équation de () est x =. ( ; ) est un vecteur directeur de () donc une équation cartésienne de () est de la forme : x y +c = 0. (0 ; 0) () donc c = 0, c est-àdire c = 0. Une équation cartésienne de () est x y = 0 et, en simplifiant, x + y = 0. 7 a. (5 ; ) est un vecteur directeur de () donc une équation cartésienne de () est de la forme x + 5y + c = 0. r x + 5y + c = 0 et c = donc une équation de () est x + 5y + = 0. Une équation de () est x = car x = x =. b. ( ; ), ( 5 ; ). Une équation de () est x + 5 y + = 0. c. (5 ; ) est un vecteur perpendiculaire à la hauteur (d) issue de du triangle donc u ( ; 5) est un vecteur directeur de (d) et une équation de (d) est 5x y 8 = 0. d. Les coordonnées du milieu, J, de [] sont ( ; 0). (5 ; ) est un vecteur perpendiculaire à la médiatrice, une équation de (d ) est 5x y + 5 = 0. argo de S Livre du Professeur 66 8, et sont respectivement les coefficients directeurs de (d ), (d ) et (d ) qui ont donc pour vecteurs directeurs respectifs u ( ; ), u ( ; ) et u ( ; )., et sont les ordonnées à l origine respectives de (d ), (d ) et (d ) qui ont donc pour équations réduites respectives y = x +, y = x et y = x. 9 a. Une équation de la droite passant par et dirigée par u peut être écrite sous la forme x + y + c = 0, or x + x + c = 0 d où + + c = et c =. Une équation de cette droite est x + y + = 0. b. ( ; ) est un vecteur directeur de la droite (). Une équation de () peut être écrite sous la forme x y + c = 0, or x y + c = 0 d où c =. Une équation de () est x y + = 0. c. Une équation cartésienne de la droite passant par ( ; ) et parallèle à l'axe des abscisses est y =. d. x =. 0 a. ( ; ) est un vecteur directeur de la droite () donc est un vecteur directeur de la droite passant par et parallèle à (), donc une équation de cette dernière est de la forme x + y + c = 0. r x + y + c = 0, d où c = 0. Une équation de la droite passant par et parallèle à () est x + y = 0. b. ( ; ) est un vecteur directeur de (). r le repère est orthonormé donc u ( ; ) est un vecteur

67 perpendiculaire à ( ; ) donc u ( ; ) est un vecteur directeur de la médiatrice du segment []. Le milieu de [] a pour coordonnées ( + ; 0 ), ( ; ). Une équation de la médiatrice de [] est de la forme x y + c = 0, or x y + c = 0, d où c= 7. Une équation de la médiatrice de [] est : x y + 7 = 0. a. u( ; ) b. i ( ; 0) c. i ( ; 0) d. j (0 ; ) e. u( ; ) f. u( ; ). Une équation de la droite passant par le point et de coefficient directeur est de la forme y = x + P. r y = x + P ; y = x + P d où = 5 + P et P = 7. Une équation de la droite passant par et de coefficient directeur est y = x + 7. Les coordonnées du point d intersection de (d) avec l axe des abscisses sont les solutions du système x 5y + = 0 x =. y = 0 y = 0 Les coordonnées du point d intersection de (d) avec l axe des ordonnées sont les solutions du système : x = 0 x = 0. x 5y + = 0 y = 5 L équation réduite de () est y = car y = y =. ( ; ). Une équation cartésienne de () est de la forme x y + c = 0 or x y + c = 0, c = donc x y = 0 est une équation cartésienne de (). e même on trouve x 5y + = 0 et 5x + y = 0 comme équations respectives de () et (). 5 a. y = 5x + et y = x sont respectivement les équations réduites de (d) et (d ) qui s écrivent aussi sous la forme 5x + y = 0 et x + y + = 0. b. 5x + y = = 7 0 donc (d). x + y + = = 7 0 donc (d ). 5x + y = = 08 0 donc (d). x + y + = = 0 donc (d ). 5x + y = = 7 0 donc (d). 67 Équations de droites et de cercles 5 x + y + = = 0,5 0 donc (d ). 5x + y = 50 0 = 8 0 donc (d). x + y + = 5 6 a. ( 6 ; ), ( 6 ; ). 0 + = 0 donc (d ). b. ( 6 ; ) est un vecteur directeur de () or le repère est orthonormé donc u( ; 6) est un vecteur perpendiculaire à et u est un vecteur directeur de la médiatrice de []. Le milieu de [] a pour coordonnées (0 ; 0). Une équation de la médiatrice de [] est de la forme 6x y + c = 0 or 6x y + c = 0 donc c = 0. Une équation de la médiatrice de [] est 6x y = 0 et, après simplification, x y = 0. Une équation de la médiatrice de [] est x 6y + = 0 et, après simplification, x y + 6 = 0. Une équation de la médiatrice de [] est y =. c. y = donc appartient à la médiatrice de [] donc = et le triangle est isocèle en. Le point n appartient pas à la médiatrice de [] car x y 0, donc et le triangle n est pas équilatéral. 7 a. ( ; ) est un vecteur directeur de la droite (). Une équation de () est de la forme x + y + c= 0 or x + y + c = 0 donc c =. Une équation de () est x + y = 0. Les coordonnées de sont les solutions du système : x = 0 x = 0 d'où ( 0 ; ). x + y = 0 y = Les coordonnées de sont les solutions du système : y = 0 y = 0 d'où ( ; 0 ). x + y = 0 y = b. Les coordonnées du point H sont ( ; ). c. La droite ( ) passant par E et perpendiculaire à () a pour équation x + y + =0. Les coordonnées du point G cherché sont donc x + y = 0 solutions du système x + y + = 0. près calculs, on trouve G ( 5 ; ). argo de S Livre du Professeur

68 5 Équations de droites et de cercles 8 a. Pour tout nombre réel k on a : ( + k) x + ky + 6 = ( + k) + k + 6 = 6 k + k + 6 = 0 donc ( k ). b. u k ( k ; + k) est un vecteur directeur de ( k ) et v ( ; ) est un vecteur directeur de (d). ( k ) et (d) sont parallèles si et seulement si u k et v sont colinéaires c est-à-dire si et seulement si dét( u k ; v) = 0 k + k 9 a. x = + t y = t = 0 ( k) ( + k) = 0 6k k = 0 5k = k = 5. avec t R. b. (7 ; ) est un vecteur directeur de (). () : x = + 7t avec t R. y = t c. i ( ; 0) est un vecteur directeur de la droite passant par et parallèle à l axe des abscisses, qui a donc comme représentation paramétrique : x = + t avec t R. y = d. x = avec t R. y = + t 0 a. ( ; 0) (d). u(5 ; ) est un vecteur directeur de (d). x = + 5t avec t R. b. y = + t a. ( ; ), ( ; ), (6 ; ) sont trois points de (d) obtenus respectivement pour t = 0, t = et t =. b. u( ; ), v( ; ) et w( 8 ; 6) sont trois vecteurs directeurs de (d). 0 0 t = 0 = t = t t = 0 9 or 0 0 donc (d). 9 c. E (d) u = + t = t t = 0 = t 9 = t t = t = donc E (d). (d) 5 = + t t = 7 0 = + 0t t = 8 5 donc (d). (d ) 5 = 0 + t t = 5/ 0 = 7 + t t = donc (d ). (d) 6 = + t t = 78 = + 0t t = t = donc (d). (d ) 6 = 0 + t t = 78 = 7 + t t = t = donc (d ). e même (0 ; 79) (d) et (0 ; 79) (d ). a. ( ; 0) (d) et u( ; 5) est un vecteur directeur de (d). b. (d) 0 = + t t = donc (d) 5 = 5t t = (d) = + t t = 0 donc (d) = 5t t = 5 S (d) a. ( ; ) est un vecteur directeur de () et de (d). Une représentation paramétrique de (d) est : x = + t avec t R. y = t x = + t b. (d) = + t y = t 7 = t argo de S Livre du Professeur 68 5 u( ; ) est un vecteur directeur de (d) donc une représentation paramétrique de (d) est x = 5 + t avec t R. y = + t

69 Équations de droites et de cercles 5 6 j (0 ; ) est un vecteur directeur de (d) donc une représentation paramétrique de (d) est : x = 5 avec t R. y = t 7 u( ; ) est un vecteur directeur de (d) et (0 ; ) (d) donc une représentation paramétrique de (d) est : x = t avec t R. y = + t e même (d ) : x = t avec t R. y = t + 5 x = t x = t ou, plus simplement, avec t R. y = t y = t u ( ; ) est un vecteur directeur de la première droite. ( 5 ; ) est un point de la deuxième droite associé à t = et qui admet v( ; 6) pour vecteur directeur. v = u donc u et v sont colinéaires et les deux droites sont parallèles. Les deux droites sont parallèles et ont le point en commun donc elles sont confondues. 8 (0 ; ) (d) et u( ; ) est un vecteur directeur de (d) donc une représentation paramétrique de (d) est : x = t avec t R. y = + t (0 ; ) (d ) et v( ; ) est un vecteur directeur de (d ) donc une représentation paramétrique de (d ) est : x = t avec t R. y = t 9 a. Les coordonnées du point d intersection de (d) avec l axe des abscisses sont les solutions du système : y = 0 y = 0 y = 0 x = + t x = + t x = y = 5 t t = 5 t = 5 donc ( ; 0) est le point d intersection de (d) avec l axe des abscisses. b. Les coordonnées de sont les solutions du système : x = x = x = x = + t t = t = y = 5 t y = 5 y = d où ( ; ). 0 a. Un vecteur directeur de (d) est v ( cos π 6 ; sin π 6 ), c'est-à-dire v ( ; ) donc une représentation paramétrique de (d) est : x = t ou, plus simplement, x = t avec t R. y = t y = t b. Un vecteur directeur de (d) est v ( cos π ; sin π ) c'est-à v ( ; ) donc une représentation paramétrique de (d) est : 69 ( ; 5) est un point et u( ; ) est un vecteur directeur de la droite de représentation paramétrique : x = t avec t R. y = 5 + t ( ; 5) est un point et v( ; ) est un vecteur directeur de la droite d équation réduite y = x + 9. v = u donc u et v sont colinéaires et les deux droites sont parallèles. Les deux droites sont parallèles et ont le point en commun, donc elles sont confondues. a. u( ; ) est un vecteur directeur de (d) et de (d ) donc (d) et (d ) sont parallèles. b. u( ; ) est un vecteur directeur de (d) et u( ; ) est un vecteur directeur de (d ). r u. u' = + ( ) = = 0 donc u et u' sont orthogonaux et les droites (d) et (d ) sont perpendiculaires. c. i ( ; 0) est un vecteur directeur de (d) et u( ; 5) est un vecteur directeur de (d ). r dét (i ; u) = 0 5 = 5 0 et i. u = = 0 donc (d) et (d ) ne sont ni parallèles ni perpendiculaires. d. u( ; ) et u'( ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d) et (d ). r u. u' = + = + = 0 donc u et u sont orthogonaux et (d) et (d ) sont perpendiculaires. u( ; ), u ( 6 ; 9) et u ( ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d), (d ) et (d ). argo de S Livre du Professeur

70 5 Équations de droites et de cercles u = u donc u et u sont colinéaires et les droites (d) et (d ) sont parallèles. u. u = + ( ) = 6 6 = 0 donc u et u sont orthogonaux et les droites (d) et (d ) sont perpendiculaires. 5 u( ; ) et u ( ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d) et (d ), or dét ( u ; u ) = = ( ) = 6 = 8 0 donc u et u ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d ) sont sécantes. Les coordonnées du point d intersection de (d) avec (d ) sont les solutions du système : x = t x = t y = + t y = + t x = + t t = + t y = 5 t + t = 5 t x = t x = t y = + t y = + t t = + t t = + t + ( + t ) = 5 t t = 5 x = 7 y = 5 t = 7 donc le point d intersection de (d) et (d ) est ( 7 ; 5 ). t' = 5 6 a. u( ; ) et u ( 5 ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d) et (d ). 5 r dét ( u ; u ) = = ( ) ( 5) = = 0, donc u et u ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d ) sont sécantes. x y + = 0 x = y b. x + 5y = 0 (y ) + 5y = 0 x = y x = 5 y + = 0 y = donc (5 ; ) est le point d intersection de (d) et (d ). 7 u( ; ) est un vecteur directeur de (d). a. u ( ; ) est un vecteur directeur de la droite (d ) d équation x y + = 0. r dét ( u ; u ) = = 8 = 5 0 donc u et u ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d ) sont sécantes. b. u ( 9 ; 6) est un vecteur directeur de la droite (d ) d équation 6x + 9y = 0 or u = u donc u et u sont colinéaires et les droites (d) et (d ) sont parallèles. e plus (0 ; 0) (d ) et (0 ; 0) (d) donc (d) et (d ) sont strictement parallèles. c. u ( 5 ; 5 ) est un vecteur directeur de la droite (d ) d équation 5 x + 5 y = 0. r dét ( u ; u ) = ( 5 ) ( 5 ) = = 0 donc u et u sont colinéaires et les droites (d) et (d ) sont parallèles. appartient aux deux droites e plus le point ( 0 ; 5 ) (d) et (d ) donc (d) et (d ) sont confondues. d. u ( ; ) est un vecteur directeur de la droite (d ) d équation y = x. r dét ( u ; u ) = = 9 = 5 0 donc u et u ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d ) sont sécantes. e. u 5 ( ; 6) est un vecteur directeur de la droite (d 5 ) de représentation paramétrique x = + t. y = 6t r dét( u ; u 5 ) = = 8 8 = 6 0 donc 6 u et u 5 ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d 5 ) sont sécantes. f. u 6 ( ; 6) est un vecteur directeur de la droite (d 6 ) : x = t avec t R. y = + 6t r dét( u ; u 6 ) 0 donc u et u 6 ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d 6 ) sont sécantes. 8 a. u( ; ) et u ( 6 ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d) et (d ). r u = u donc u et u sont colinéaires et les droites (d) et (d ) sont parallèles. b. ( ; ) est un point de la droite (d ) et x y + = + = 0 donc ( ; ) (d). (d) et (d ) ont le point ( ; ) en commun et elles sont parallèles (d après a), donc elles sont confondues. 9 a. Pour t = 0 on a x = + 0 = y = + k 0 = donc le point ( ; ) est commun à toutes les droites (d k ). argo de S Livre du Professeur 70

71 Équations de droites et de cercles 5 b. u k ( ; k) est un vecteur directeur de (d k ) donc u ( ; ) et u ( ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d ) et (d ). r dét( u ; u ) = = 6 0 donc (d ) et (d ) sont sécantes et d après a, leur point d intersection est ( ; ). c. u k et u k sont respectivement des vecteurs directeurs de (d k ) et (d k ). r dét(u k ; u k ) = = k k = (k k ) donc, k k' si k k,alors dét( u k ; u k ) 0, u k et u k ne sont pas colinéaires et les droites (d k ) et (d k ) sont sécantes. 50 (x ( )) + (y ) =, (x + ) + (y ) = 9 et, après développement, on trouve : x + y + x y = = 0 donc (). ( ) + ( ) + 6( ) ( ) = = 6 0 donc () ( ) = = 0 donc (). 5 () est le cercle de centre ( ; 0) et de rayon 5. 5 a. x + y 6x + y = 0 x 6x + y + y = 0 (x ) 9 + (y + ) = 0 (x ) + (y + ) = 0. b. x + y 6x + y = 0 est une équation du cercle de centre ( ; ) et de rayon 0. 5 x + y + x 8y + = 0 x + x + y 8y + = 0 (x + ) + (y ) 6 + = 0 (x + ) + (y ) = 9. onc x + y + x 8y + = 0 est une équation du cercle de centre ( ; ) et de rayon a. = ( ( )) + ( ) = + ( ) = + 9 =. Une équation du cercle de centre et de rayon est (x ( )) + (y ) =, (x + ) + (y ) = et, après développement, on trouve : x + y + x y = 0. b. (x ; y) est un point du cercle de diamètre [] si et seulement si. = 0, (x ( ))(x ) + (y )(y ( )) = 0 (x + )(x ) + (y ) (y + ) = 0 x + y + y y = 0 x + y + y = a. L ensemble des points (x ; y) vérifiant l équation x + y = est le cercle de centre (0 ; 0) et de rayon. b. x + y x + 6y = 0 (x ) + (y + ) 9 = 0 (x ) + (y + ) = 0. est une équation du cercle de centre ( ; ) et de rayon 0. c. x + y x + y 7 = 0 (x ) 9 + (y + ) 7 = 0 (x ) +(y + ) 8 = 0 (x ) + (y + ) = 8. est une équation du cercle de centre ( ; ) et de rayon 8 = 8. d. (x + ) + y + = 0 (x + ) + y =, or (x + ) + y 0 et < 0 donc l ensemble des points (x ; y) vérifiant (x + ) + y = est vide. 57 a. () est le cercle de centre (0 ; 0) et de rayon 5. b. u ( ; ) est un vecteur directeur de (d), or le repère est orthonormé donc v ( ; ) est un vecteur normal de (d). La droite (d ) passant par le centre (0 ; 0) de () et perpendiculaire à (d) admet v ( ; ) pour vecteur directeur. Une équation de (d ) est y = x car elle passe par l origine du repère et admet pour coefficient directeur. Les coordonnées du point d intersection de (d) avec (d ) sont les solutions du système y = x y = x y = x + y 5 = 0 x + x 5 = 0 x = (d) et (d ) se coupent au point ( ; ). () car x + y = + = 5. (d) est perpendiculaire à () et passe par le point appartenant à () donc (d) est tangente à () en. c. Le point ( ; ) est le point de () diamétralement opposé à ( ; ). La tangente (T) à () parallèle (et non confondue) avec (d) est la droite passant par ( ; ) et parallèle à (d). onc une équation de (T) est de la forme 7 argo de S Livre du Professeur

72 5 Équations de droites et de cercles x y + c = 0. r x y + c = c = 0 c = 5, donc une équation de (T) est x y 5 = 0 et, après simplification, x + y + 5 = x + y x + y = 0 (x ) + (y + ) = 0 (x ) + (y + ) = 5 donc () est le cercle de centre ( ; ) et de rayon 5. x + y 6x y + 9 = 0 x 6x y y = 0 (x ) + (y ) = 0 (x ) + (y ) = donc ( ) est le cercle de centre ( ; ) et de rayon. = ( ) + ( ) = + = et la somme des rayons de () et ( ) est égale à + 5 donc () et ( ) ne sont pas tangents. b. y = donc la distance du point à l axe des abscisses est et égale au rayon du cercle ( ), donc l axe des abscisses est tangent à (). 59 a. Le triangle est rectangle en donc le cercle circonscrit au triangle est le cercle de diamètre []. Les coordonnées du milieu,, de [] sont : ( + 0 ; 0 + ) = ( ; ). = (0 ) + ( 0) = 5 = 5. Le cercle circonscrit au triangle est le cercle de centre ( ; ) et de rayon égal à = 5 qui a pour équation ( x ) +(y ) = ( 5 ) et, après développement, x +y x y = 0. b. Le triangle est rectangle en donc sa médiane issue de a pour longueur = 5. onc une équation du cercle de centre et passant par le milieu de [] est (x 0) + (y 0) = ( 5 ) x + y = a. (x ; y) () = r = r (car et r sont positifs) (x a) + (y b) = r. b. (x ; y) () (x a) + (y b) = r (d après a.) x ax + a + y by + b = r x + y ax by + a + b r = 0. 6 x + y 6x + y + k = 0 x 6x + y + y + k = 0 (x ) 9 + ( y + ) 9 k = 0 (x ) + ( y + ) = k (x ) + ( y + ) = 5 + k donc x + y 6x + y + k = 0 est une équation d un cercle si et seulement si 5 k 0 donc si et seulement si k 5. 6 a. ( ; ), ( ; ), L( ; ) est le milieu de [] et J( ; 0) celui de []. La médiatrice de [] est la droite passant par L ( ; ) et de vecteur directeur u( ; ) (car u est perpendiculaire à ) donc d équation de la forme x + y + c = 0. r x L + y L + c = 0, c =, donc d équation x + y = 0. e même, une équation de la médiatrice de [] est x + y = 0 et, après simplification, x + y = 0. Les coordonnées du point d intersection,, des deux précédentes médiatrices sont les solutions du système : x + y = 0 y = x + y = 7 x + y = 0 x + x + = 0 x = donc a pour coordonnées ( ; 7 ). = ( ) + ( 0 7 ) = ( 9 ) + ( 7 ) = = 0 6. Une équation du cercle circonscrit au triangle qui a pour centre ( ; 7 ) et pour rayon est : ( x ) + ( y 7 ) = 0, et après développement, 6 x + y x 7 y 5 = 0. b. x + y x 7 y 5 = = 0 donc n appartient pas au cercle circonscrit au triangle et les points,, et ne sont pas cocycliques. argo de S Livre du Professeur 7

73 Équations de droites et de cercles 5 Faire le point 6 x y 6 = 0 est une équation cartésienne de la droite (d ). y = x est l équation réduite de la droite (d ). ( ; ) est un vecteur directeur de la droite (d ). x = t avec t R y = + t est une représentation paramétrique de (d ). (x + ) + (y ) = est une équation cartésienne du cercle de centre ( ; ) et de rayon. 6 L équation 0x + 0y + = 0 n est pas celle d une droite. En effet 0x + 0y + = 0 = 0 qui n admet pas de solution. L équation x + y = n est pas une équation d un cercle. En effet x + y 0 et < 0 donc l équation x + y = n admet pas de solution. Une équation de l axe des ordonnées est x = 0 qui ne s écrit pas sous la forme y = mx + p. ax + by + c = 0 65 Les solutions du système a x + b y + c = 0 sont les coordonnées des points communs à (d) et (d ) ; donc si (d) et (d ) sont confondues, alors le ax + by + c = 0 système a x + b y + c = 0 admet une infinité de solutions. 66 La droite d équation y = x 0 passe par ( ; ) et a pour vecteur directeur u ( ; ), donc elle est associée à (d ). 0x + 5y + 5 = 0 5y = 0x 5 y = x donc l équation 0x + 5y + 5 = 0 est associée à (d). x = + t avec t R. y = + t est une représentation paramétrique de la droite passant par ( ; ), qui appartient à (d), et de vecteur directeur u ( ; ) qui est aussi un vecteur directeur de (d). onc x = + t avec t R, est associée à (d). y = + t x = + t' avec t' R y = t' est une représentation paramétrique de la droite passant par ( ; ), qui appartient à (d ) et de 7 vecteur directeur u ( ; ) et qui est aussi un vecteur directeur de (d ) car v ( ; )(= u) est un vecteur directeur de (d ). onc le système est associé à (d ). x + y + 6 = 0 y = x 6 y = x. onc l équation y = x est associée à (d ). 6x y 0 = 0 y = 6x + 0 y = x 0 qui est associée à (d ). 67 a. Les coordonnées du milieu,, de [] sont ( ; 5 ). onc la médiane issue de du triangle est la droite passant par ( ; ) et qui a pour vecteur directeur ( 5 ; ), donc une représentation paramétrique de cette médiane est : x = + 5t avec t R. y = + t b. Les coordonnées du milieu, J, de [] sont J ( ; ). (7 ; ) donc u( ; 7) est un vecteur directeur de la médiatrice de []. Une équation de cette médiatrice est de la forme 7x + y + c = 0. r 7x J + y J + c = c = 0 c = 5 ; donc une équation de la médiatrice de [] est 7x + y 5 = 0. c. ( ; ) est un vecteur perpendiculaire à la hauteur issue de du triangle donc v( ; ) est un vecteur directeur de cette hauteur qui admet donc une équation de la forme x + y + c = 0. r x + y + c = c = 0 c = 6 donc une équation de la hauteur issue de dans le triangle est x + y 6 = ( ; 0) est un vecteur perpendiculaire à la droite (d) passant par et perpendiculaire à () donc ( ; 5) est aussi un vecteur normal à (d) et u (5 ; ) est un vecteur directeur de cette dernière. Équation de (d) en utilisant le produit scalaire : (x ; y) (d) v ( ; 5) (x 0) 5(y ) = 0 x 5y + 5 = 0. Équation de (d) en utilisant le déterminant : x 0 5 (x ; y) (d) dét ( ; u) = 0 = 0 y ' x 5(y ) = 0 x 5y + 5 = 0. argo de S Livre du Professeur

74 5 Équations de droites et de cercles Recherche d une équation de la forme ax + by + c = 0 : u(5 ; ) est un vecteur directeur de (d). Une équation de (d) est de la forme x + 5y + c = 0. r x + 5y + c = 0 c = 5 ; donc une équation de (d) est x + 5y 5 = a. Une équation cartésienne du cercle de centre (a ; b) et de rayon r est (x a) + (y b) = r. b. et désignent deux points donnés du plan et () le cercle de diamètre []. n se donne un point (x ; y) quelconque du plan et on exprime les coordonnées de et en fonction de x et y, puis on écrit une condition nécessaire et suffisante à l appartenance de à () : (x ; y) (). = 0 (x x )(x x ) + (y y )(y y ) = 0.. a. Une équation de () est (x x ) + (y y ) = ( 5) (x + ) + (y ) = 5. b. (x ; y) est un point quelconque du plan ; (x + ; y ) et (x ; y ), (x ; y) (). = 0 (x + )(x ) + (y )(y ) = 0 x x + x + y y y + 6 = 0 x + y x 5y + = 0. Se tester 70 à 7 Voir anuel de l'élève page 58. Exercices d approfondissement 7 a. x + y 6x = 0 x 6x + y = 0 (x ) 9 + y = 0 (x ) + y = 9 donc ( ; 0) est le centre de (). b. () donc x + y 6x = 0 ; + y 6 = 0 ; y = 5 ; y = 5. c. ( ; 5) est un vecteur orthogonal à la tangente (T) à () en donc u( 5 ; ) est un vecteur directeur de (T). d. Une équation cartésienne de (T) est de la forme x + 5y + c = 0 ; or x + 5y + c = 0 + 5( 5) + c = c = 0 c = donc une équation de (T) est x + 5y + = 0 75 ( ; ). Une équation de () est de la forme x + y + c = 0 or x + y + c = c = 0 c = 8 donc une équation de () est x + y 8 = 0. Les coordonnées du point d intersection de () avec (d) sont les solutions de : y = x + y = x + x + y 8 = 0 x + ( x + ) 8 = 0 y = x + y = 5 5x + = 0 x = 5 donc les coordonnées du point d intersection des droites (d) et () sont ( 5 ; 5 ). 76. ( 0 ) : x + y + y = 0 x + (y + ) = 0 x + (y + ) = donc ( 0 ) est le cercle de centre (0 ; ) et de rayon. ( ) : x + y x = 0 x x + y = 0 (x ) + y = 0 (x ) + y = donc ( ) est le cercle de centre ( ; 0) et de rayon.. a. x + y mx (m ) y + m m = 0 x mx + y (m )y + m m = 0 (x m) m + (y (m )) (m ) + m m = 0 (x m) + (y (m )) = (m ) m + m (x m) + (y (m )) = m m + m + m (x m) + (y (m )) = or 0 donc, pour tout nombre réel m, ( m ) est un cercle. b. après a. m (m ; m ) et R m =.. argo de S Livre du Professeur 7

75 Équations de droites et de cercles 5. Les coordonnées (x ; y) du centre m de ( m ) sont telles que : x = m avec m R y = m qui est une représentation paramétrique de la droite passant par (0 ; ) et de vecteur directeur u( ; ).. m = K m = m = m = 5 m = donc il n existe pas de valeur de m pour laquelle le centre de ( m ) est K ( ; 5). 77 a. ( 5 ; ), (x ; y + ).. = m 5(x ) + (y + ) = m 5x y + = m 5x + y + 6 m = 0. b. L ensemble des points (x ; y) dont les coordonnées vérifient (E 0 ) est la droite passant par et perpendiculaire à (). 78. (x ; y) (). = 0 (x a)(x 0) + (y 0)(y b) = 0 x ax + y by = 0.. a. b.. 0 a b 0 = 0 donc appartient à () pour tous a et b. Pour tous a et b tels que a + b =, a + b = a + b = 8 (a + b) = 8 = 0 donc ( ; ) appartient à () pour tous a et b tels que a + b =.. x ax + y by = 0 ( x a ) a + ( y b ) b = 0 ( x a ) + ( y b ) = a + b donc ( a ; b ) est le centre de (). Lorsque a et b varient tels que a + b = on a : = x a x = avec a R, a avec a R y = a y = a 75 donc l ensemble des centres des cercles () lorsque a et b varient est la droite passant par J (0 ; ) et de vecteur directeur u ( ; ) ou v( ; ). 5. = (a ) + (0 ) = (a ) +. = (0 ) + (b ) = + ( a ) = + ( a) = + (a ) =. r appartient au cercle de diamètre [] donc le triangle est rectangle en et son aire est égale à : = = [(a ) + ] = (a a + + ) = a a +. L aire du triangle rectangle est égale à : = ab. ab = a( a) = a + a. L aire du quadrilatère est égale à : a a + a + a = 79 L expression de la fonction f convertissant les degrés elsius en degrés Fahrenheit est de la forme f(x) = ax + b. n sait qu elle vérifie : f(0) = b = f(00) = 00a + b = b = b = 00 a = 80 a = = 9 5 donc f(x) = 9 5 x +. Les deux thermomètres indiquent la même valeur pour une température x en degrés elsius vérifiant f(x) = x 9 5 x + = x 9 5 x x = 5 x = x = 5 x = a. onjecture : () et (d) ont un seul point commun. b. (x ; y) est un point d intersection de () et (d) si et seulement si : x = + t y =,55 t x + y + x +6y 5 = 0 argo de S Livre du Professeur

76 5 Équations de droites et de cercles x = + t y =,55 t ( + t) + (,55 t) + ( + t) + 6(,55 t) 5 = 0 La dernière équation est équivalente à : t + 6t + 9 +,605 +,t + t + + t, t 5 = 0 5t +,t + 7,05 = 0. En représentant graphiquement la fonction f 5x +,x + 7,05, on observe que sa courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts. onc () et (d) ont deux points d intersections et la conjecture est fausse. 8. a. = cos x + sin x = = donc appartient au cercle () de centre et de rayon. b. Si N () alors N = et il existe t ] π ; π] tel que mes (, N) = t par conséquent on aurait : x = N cos t = cos t N y N = N sin t = sin t.. après. a. et. b., l ensemble des points (x ; y) vérifiant (E) est le cercle de centre et de rayon. 8. a. Une équation de () est (x ) + (y ) = 5 x x + + y y + = 5 x + y x y = 0. b. ( 0 ; 5) est un vecteur normal à (d ) donc u (5 ; 0) est un vecteur directeur à (d ), or v ( ; ) est colinéaire à u (5 ; 0). Une équation de (d ) est de la forme x + y + c = 0 vérifiant x + y + c = 0, + + c = 0, c = 5 donc une équation cartésienne de (d ) est x + y 5 = 0. c. Une équation de () est y = x + 5. Les coordonnées du système : y = x + 5 y = x + 5 x + y 5 = 0 x + x = 0 y = x + 5 y = + 5 y = 5 x 5 = 0 x = x= donc () et (d ) se coupent en K( ; ). K (). En effet x + K y x x = = 0. K K K () est perpendiculaire à (d ) en un point K appartenant à () donc () est tangente à () en K( ; ).. ( ; ) (). En effet x + y x y = + + = 0. La tangente (d ) à () en a pour vecteur normal ( ; ) donc a pour vecteur directeur u ( ; ). Une équation cartésienne de (d ) est de la forme x + y + c = 0 or x + y + c = 0, c = donc une équation de (d ) est x + y + = 0. (d ). En effet x + y + = + + = 0.. () et. = +( 6)( ) = = 0 donc () est la tangente à () en.. u ( ; ) et ( ; 6) sont respectivement deux vecteurs directeurs de (d ) et (d ) et u. = ( ) + ( 6) = 6 6 = 0 ; donc (d ) et (d ) sont perpendiculaires et, par conséquent, le triangle J est rectangle en J. Une équation du cercle circonscrit au triangle rectangle J est celle du cercle ( ) de diamètre [] : (x ; y) ( ). = 0 (x 7)(x + ) + (y 6)(y ) = 0 x + x 7x + y y 6y + 6 = 0 x + y x 7y 5 = = t v x = t avec t R y = t donc le lieu de la particule P est la droite de représentation paramétrique x = + t avec t R. y = + t. La position de la particule P à l instant t vérifie = t v x = t avec t R y = t donc (d ) est la droite de représentation paramétrique x = + t avec t R. y = + t a. v ( ; ) et v ( ; ) sont respectivement des vecteurs directeurs de (d ) et (d ). r dét( v, v ) = = = 8 = 6 0 donc (d ) et (d ) sont sécantes. (x ; y) est le point d intersection de (d ) et (d ) si et seulement si : + t = + t + t = t + t = + t + t t = 0 t = + t t = + t + t ( + t) = 0 6t + 6 = 0 t = + t = x = 5 t = t = y = 5 donc (d ) et (d ) se coupent en (5 ; 5). argo de S Livre du Professeur 76

77 b. Les particules P et P sont en (5 ; 5) respectivement aux instants et donc il ne peut pas y avoir collision.. (a ; b) est la position de P à l instant t = 0. La position de P à l instant t est x = a + t avec t R. y = b + t l y a collision entre les particules P et P si et seulement si : a + t = + t a = + t avec t R b + t = + t b = donc il y a collision si à l instant t = 0 la particule P se trouve sur la droite de représentation paramétrique x = + t avec t R. y = 8 a. (m ; m), (0 ; m), J( ; m), K(m ; 0), L(m ; ). b. L(m ; m), JK(m ; m). (L) et (JK) sont parallèles si et seulement si dét(l ; JK) = 0, m m = 0 m( m) (m )( m) = 0 m m m + m m + = 0 m + = 0 m =. c. Une représentation paramétrique : de (L) est x = mt avec t R ; y = m + ( m)t de (JK) est x = m + (m )t avec t R. y = mt Pour m, (x ; y) est le point d intersection de (L) et mt = m + (m ) t (JK) si et seulement si : m +( m)t = mt t = + m m t m + ( m) [ + m m t = + m m t m + m + = t = + m m t ( m)(m ) m t = + m m t = m m +) m ( m)(m ) m t ] = mt t mt t m m t t = mt 77 t = + m m t = Équations de droites et de cercles 5 t = + m m t m + m t t = m m + m x = m + (m ) m + m y = m m + m x = m + m y = m + L équation réduite de la droite () est y = x or les coordonnées du point,, d intersection de (L) et (KJ) vérifient y = x, donc appartient à (). 85. x = + 5t x ( ) = 5t y = + t y = t a. l s agit de la demi-droite [). b. l s agit du segment []. c. l s agit de la demi-droite (]. = t avec (x ; y).. a. [) = [). b. [) = [). c. Une représentation paramétrique de [] est : x = + 5t avec t 0 ; y = + t. d. Une représentation paramétrique de [] est : x = + 5t avec y = + t t ;. 86 a. x + y x k = 0 x x + y k = 0 (x ) + y k = 0 (x ) + y = k +. Pour k > on a k + > 0 donc ( ) est le cercle de k centre ( ; 0) et de rayon k +. Pour k = on a k + = 0 donc ( ) est {( ; 0)}. k Pour k < on a k + < 0 donc ( ) est vide. k b. Si k k alors k + k + donc ( k ) et ( k ) sont deux cercles de même centre et de rayon différent, ils sont donc disjoints. 87. L équation réduite de (d) est y = x. Le rayon du cercle () de centre ( ; ) est : = ( ) + = 5 = 5 donc une équation cartésienne de () est (x + ) + (y ) = 5 argo de S Livre du Professeur

78 5 Équations de droites et de cercles x + 6x y 8y + 6 = 5 x + y + 6x 8y = 0. y = x y = x x + y + 6x 8y = 0 x + (x) + 6x 8 x = 0 y = x y = x x + x 0x = 0 5x 0x = 0 y = x y = x x(5x 0) = 0 x = 0 ou x = x = 0 y = 0 ou x = y = donc (d) et () se coupent en (0 ; 0) et en ( ; ).. ntersection de () avec l axe des abscisses : y = 0 y = 0 x + y + 6x 8y = 0 x + 6x = 0 y = 0 y = 0 x(x + 6) = 0 x = 0 ou x = 6 x = 0 y = 0 ou x = 6 y = 0 donc les points d intersection de () avec l axe des abscisses sont (0 ; 0) et ( 6 ; 0). ntersection de () avec l axe des ordonnées : x = 0 x = 0 x = 0 x + y + 6x 8y = 0 y 8y = 0 y(y 8) = 0 et on trouve les points (0 ; 0) et E(0 ; 8).. a. x + y + 6x 8y = ( 6) ( 6) 8 8 = = 0 donc (). b. ( ; ) est un vecteur orthogonal à la tangente (T) en à () donc u( ; ) est un vecteur directeur de (T). Une équation cartésienne de (T) est de la forme x + y + c = 0. r x + y + c = c = 0 c = 8. onc une équation de (T) est x + y + 8 = 0. argo de S Livre du Professeur a. ( ; 0), ( ; ). = + 0 = et = + = =. = donc + ( ; ) est un vecteur directeur de la bissectrice (d) de l angle. Une représentation paramétrique de (d) est x = + t avec t R. y = t. b. Le point,, de (d) d abscisse 5 a une ordonnée y vérifiant : + t = 5 t = y = t y = est un point de la bissectrice de l angle donc il est à égale distance de () et (), par conséquent le cercle de centre ( 5 ; ) et de rayon égal à la distance de à (), égal à est tangent à () et à (). e cercle admet pour équation : (x 5) + ( y ) = ( ) x 0x y 8 y + ( ) = ( ) x + y 0x 8 y + 5 = 0. c. L intersection de () avec () est le point (5 ; 0). ntersection de () avec () : Une représentation paramétrique de () est : x = + t avec t R. y = t x = + t y = t x + y 0x 8 y + 5 = 0 x = + t y = t ( + t) + ( t) 0( + t) 8 t + 5 = 0 x = + t x = + t y = t y = t t 6t + 6 = 0 t t + = 0 x = + t x = y = t y = (t ) = 0 t = onc l intersection de () avec () est le point E( ; ).

79 Équations de droites et de cercles 5 89 ( ; ), ( ; ), (0 ; 8). = + = 5 = 5, = 5 et = 8 donc les vecteurs 5, 5 et ont la même norme ; 8 par conséquent les vecteurs ( 6 5 ; 0 ) et ( 5 ; 9 5 ) sont respectivement des vecteurs directeurs des bissectrices des angles et et sont colinéaires respectivement à u( ; 0) et v( ; ). Une représentation paramétrique de la bissectrice de est x = + t avec t R. y = 5 t L équation réduite de la bissectrice de l angle est y =. Les coordonnées du point,, intersection de ces deux bissectrices sont les solutions de : y = y = y = x = + t x = + t x = 5 y = 5 t = 5 t t = donc ( 5 ; ). La distance du point ( 5 ; ) à la droite () est égale à 5 = (voir graphique). Une équation du cercle inscrit dans le triangle est ( x 5 ) + (y + ) = ( ) x 0 x y + y + = 6 9 x + y 0 x + y + = H. n = (x 0 x H ) a + (y 0 y H ) b = ax 0 ax H + by 0 by H = ax 0 + by 0 ( ax H + by H ) = ax 0 + by 0 ( c) car ax H + by H + c = 0 puisque H appartient à (d). onc H. n = ax 0 + by 0 + c.. H.n = H n cos(h, n) or H et n sont colinéaires donc cos(h, n) = ou cos(h, n) = et cos(h, n) =. Par conséquent on a : H. n = H n cos(h, n)= H. n. H.n. après. on a H = et, en utilisant le n résultat du., on a H = ax + by + c 0 0. a + b. a. La distance de ( ; ) à la droite d équation x 5y + = 0 est égale à : x 5y = + ( 5) 9 = = 9 9. b. x + y + x = 0 (x + ) + y = 0 (x + ) + y = 5 donc le cercle () est de centre ( ; 0) et de rayon 5. La distance de à la droite d équation x + y = 0 est égale à x + y 6 = + = 6 5 donc le cercle () n est pas tangent à la droite d équation y = x +. 9 a. ( 0 ; 0). Une équation cartésienne de () est de la forme 0x + 0y + c = 0 or 0x + 0y + c = 0 donne c = 600 donc une équation de () est : 0x + 0y 600 = 0. La distance du centre à la route est égale à : = = 0 0 = =. onc le rayon du stade doit être égal à : 0,65 0,05 = 0,505 km. b. La surface que le stade va occuper est égale à : 0,65 π( ) km, soit environ 0,8 km. 79 argo de S Livre du Professeur

80 6 Transformations du plan ctivités d introduction bserver pour conjecturer. et. a. () b. n conjecture que : les points, et sont alignés et que est le milieu de [ ] ; les segments et leurs symétriques ont même longueur ; si elle est perpendiculaire à (), alors une droite est sa propre symétrique, si elle est parallèle à (), alors une droite et sa droite symétrique sont parallèles, sinon, une droite et sa droite symétrique sont sécantes en un point de ( ) ; ( ) ( ). c. est le symétrique de ; est le symétrique de ; (, ) est le symétrique de l angle orienté (, ). Par une symétrie orthogonale, un angle orienté a pour symétrique un angle orienté de mesure opposée.. () n conjecture que : les points,, sont alignés et que est le milieu de [ ] ; les segments et leurs symétriques ont même longueur ; les droites et leurs symétriques sont parallèles ; ( ) ( ) ; par une symétrique centrale, un angle orienté a pour symétrique un angle orienté de même mesure. argo de S Livre du Professeur 80

81 Transformations du plan 6. () n conjecture que : les points,, sont alignés et que est le milieu de [ ] ; les segments et leurs translatés ont même longueur ; les droites et leurs translatées sont parallèles ; ( ) ( ) ; par une translation, un angle orienté a pour translaté un angle orienté de même mesure. Le mouvement du robot. a. L ensemble des lieux possibles pour la main du robot est l arc de cercle gris. E Épaule. a. L ensemble des lieux possibles pour la main du robot est l arc de cercle gris. E Épaule bjet bjet oude oude ain ain b. Le robot ne peut saisir l objet. b. Le robot ne peut saisir l objet.. a. À partir de l objet, on trace un arc de cercle de rayon (en noir). Puis, à partir de l épaule, on trace un arc de cercle de rayon E, il coupe l arc bleu au point (en gris). b. La rotation autour de l épaule a pour centre E et pour mesure d angle + 0 environ ; La rotation autour du coude a pour centre et pour mesure d angle + 0 environ. E Épaule 0 oude 70 bjet ain 8 argo de S Livre du Professeur

82 6 Transformations du plan bserver à l'aide d'un logiciel. a à c. N N d. n conjecture que (N) // ( N ). e. Lorsque k = 0, les images de tous les points du plan sont égales à. Lorsque k =, tous les points du plan sont leur propre image.. a. = k b. = k et N = kn, donc N = + N = k + kn = k( + N) = kn c. Les vecteurs N et N sont colinéaires donc les droites (N) et ( N ) sont parallèles. N = k N d après la propriété de Thalès. En effet, = k, N = k N et (N) // ( N ), donc k = = N N = 'N N. aractérisation d'une homothétie. a. Les droites () et ( ) sont parallèles, donc les vecteurs et sont colinéaires, ainsi il existe un nombre réel k, non nul, tel que = k. Si une telle homothétie existe, son rapport est k. b. n note h l homothétie du rapport k qui transforme en, le point est unique et son centre noté, est l unique point tel que = k. le centre et le rapport k sont uniques, donc h est unique. c. = k. '' = ' + ' = k = k( + ) = k + k. r ' = k, donc ' = k. insi, ' est l'image de par h.. a. b.,5 ',5 ' ' ' h homothétie de centre et de rapport k =,5 = 0,. argo de S Livre du Professeur 8 h homothétie de centre et de rapport k =,5 = 0,.

83 Transformations du plan 6 Savoir-faire '. et. b. π 6 ' ' 5 J () ' ' ' K ' J' 0 Une symétrie axiale (resp. une symétrie centrale ; resp. une translation) conserve l alignement, or les points,, sont alignés donc leurs images respectives,, sont alignées. Une symétrie axiale (resp. une symétrie centrale ; reps. une translation) conserve les longueurs, donc =, =. r, est le milieu de [], donc = d où =. insi, puisque,, sont alignés, est le milieu de [ ]. ( ) ' ( ) 6 E F 9. et.a. ' H G = E' H' ' F' G' n sait que ( ) // ( ). n place, comme sur le schéma quatre points,,, sur ( ) et ( ) de sorte que est un parallélogramme. n note r la rotation et = r(), = r(), = r() et = r(). Une rotation conserve les longueurs donc =, =, =, =. r, est un parallélogramme donc = et =. insi, = et = donc est un parallélogramme. insi, les droites ( ) et ( ), images des droites ( ) et ( ) par la rotation, sont parallèles. 8 argo de S Livre du Professeur

84 6 Transformations du plan ' 5 (EF) // (E F ). E F E est l image de E par cette homothétie 6 a. E' F' ' b. Une homothétie transforme un angle orienté en un angle orienté de même mesure, donc : mes (, ) = mes (, ) = π. onc le triangle est rectangle en. c. ( ) = ( 7 ) () ( ) = 9 6 ( ) = 7 8 cm. ' 7 ' Exercices d entraînement 7 a. s (ES) () = Q ; s (ES) (P) = ; b. s () = Q ; s (P) = J ; c. t F () = ; t F (P) = L. 8 a. La symétrie orthogonale d axe (SH) ; b. la symétrie centrale de centre ; c. la translation de vecteur GN. est l image du point par la symétrie centrale de centre ; est l image du point par la translation de vecteur. 0 a. ' 9 ' est l image du point par la symétrie orthogonale d axe () ; argo de S Livre du Professeur 8 b. Si est un carré alors son image par la symétrie orthogonale d axe () est le carré lui-même.

85 Transformations du plan 6 () (') 5 ( ) ' ( ) N J J K K () L L 6 ( ; ), ( ; ), ( ; 5), ( ; ). 7 ( ; ), ( ; ), (0 ; -), ( ; ). F G 8 (, ), ( ; ), (0 ; 7), ( ; ). 9 ( ; ), ( ; 5), (0 ; 7), ( ; 5). 0 = ( ; ), (0 ; ), ( ; ), (5 ; ). F E G H. a. b. () E H La symétrie orthogonale d axe () (ou ()) laisse le carré invariant. La symétrie centrale de centrale le centre du carré laisse le carré invariant. La symétrie orthogonale d axe la médiatrice de [EP] (ou celle de [EH]) laisse le rectangle EFGH invariant. La symétrie centrale de centre le centre du rectangle EFGH laisse le rectangle EFGH invariant. La symétrie orthogonale d axe toute droite qui passe par laisse le cercle invariant. La symétrie centrale de centre laisse le cercle invariant. 85 N. n note s () la symétrie orthogonale d axe ( ). L image de (N ) par s ( ) est ( N) donc le point d intersection de ces deux droites vérifie s ( ) () =, donc ( ). r, ( ) est la médiatrice de [N ] et de [NN ], donc = et N = N, de plus mes N = mes N. insi, les triangles N et N sont semblables et N = N. N argo de S Livre du Professeur

86 6 Transformations du plan a. ' ' b. est le milieu de [ ] et de [ ], donc est un parallélogramme, donc ) // (). est le milieu de [ ] et de [ ], donc est un parallélogramme, donc ( ) // (). r, () = () donc ( ) // () et comme ( ) et ( ) ont le point en commun, on en déduit que ( ) = ( ) donc les points,, sont alignés. L aire du rectangle EFGH est EF EH. La translation conserve les longueurs et les angles, donc l image E F G H du rectangle EFGH est un rectangle. omme E F = EF et que E H = EH, on en déduit que l aire du rectangle E F G H est, elle aussi, égale à EF EH. La symétrie centrale conserve les angles donc elle transforme deux droites (par exemple () et ()) perpendiculaires (c est-à-dire telles que mes = 90 ) en deux droites ( ) et ( )) perpendiculaires (car mes = mes = 90 ). 5 a. ' = =,5 =, 75 d où =,75. L aire du triangle est donc :,5,75 =. Le périmètre du triangle est donc : + + = 0,5. 6 (E ) est le cercle ( ). () () 7 (E ) est la demi droite [E F ). E F 8 (E ) est le rectangle. E ( ) F J J b. Le triangle est isocèle en et tel que = =,5 et = = car la symétrie centrale conserve les distances. e plus, est le milieu de [ ] car la symétrie centrale conserve les milieux. ans le triangle rectangle en : argo de S Livre du Professeur 86 9 a. L image du point L est R ; l image du point J est. b. L image du point L est N ; l image du J est P. c. L image du point L est H ; l image du point J est X. 0 a. La rotation de centre Q et d angle de mesure π rad. b. La rotation de centre S et d angle de mesure π rad. c. La rotation de centre et d angle de mesure π rad.

87 Transformations du plan 6. et. a.. et. b. 5 a. ( ) (0 ; ), ( ; 0), ( ; 0). b. () a. ( ; ), ( ; ), ( ; ). 6 La rotation de centre, le centre du carré, et d angle de mesure π rad, laisse le carré invariant. La rotation de centre, le centre du cercle circonscrit au triangle EFG, et d angle de mesure π rad, laisse le triangle EFG invariant. La rotation de centre et d angle de mesure quelconque, laisse le cercle invariant. b. e polygone est un octogone régulier. a. b. 7 () 87 argo de S Livre du Professeur

88 6 Transformations du plan 8 N P () insi, ' ' = ' donc, d après la propriété réciproque ' de Thalès dans les triangles, les droites ( ) et ( ) sont parallèles. insi, par une rotation, les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. 9 S 5 n note le milieu de [NP]. ans le triangle P rectangle en, sin P =,8 = 0, donc P 7,5. 6 insi, l angle de cette rotation, qui est (N, P), a pour mesure environ 7,5 c est-à-dire 5. U U 50 n note r une rotation. et sont deux points de milieu. = r(), = r() et = r(). Puisqu une rotation transforme trois points (ici,, et ) alignés en trois points alignés, on en déduit que, et sont alignés. omme, de plus, une rotation conserve les longueurs, = et =, or =, donc = donc est le milieu de [ ] 5 a. À main levée T T S () 5 Un losange est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu, or une rotation conserve les angles et les milieux, donc l image d un losange est un losange. L aire d un losange de centre est, or une rotation conserve les longueurs et les milieux, donc = et = (avec,,, images des points,,, par la rotation), donc =. insi le losange et le losange image ont la même aire. 5 a. b. n note r la rotation de centre qui transforme en. Par hypothèse : r() = et r() = r, est un parallélogramme, donc =. Une rotation conserve les longueurs donc =. insi, =. onc le triangle est isocèle en. ' b. Les triangles et sont en configuration de Thalès, donc =. r, une rotation conserve les longueurs, donc : =, =, =, =. argo de S Livre du Professeur a.n note le centre du carré JKL. La rotation de centre et d angle de mesure π rad est notée r. r(j) = K car JKL est un carré ; r() = J car JKL est un carré donc r((j)) = (JK) et l image de [J) et tel que = b par r est X [KJ) et tel que JX = b, donc X = N. n montre de la même façon que r(n) = P. insi, l image par r du triangle JN est le triangle NKP.

89 Transformations du plan 6 b. La rotation r transforme en N et N en P, donc N = NP et (N) (NP). n montre de la même façon que PQ = Q et (PQ) (Q). onc NPQ est un carré. c. ans le triangle JN rectangle en J. N = J + JN = (a + b) + b donc N = (a + b) + b. insi, l aire du carré NPQ est (a + b) + b. 65 n sait que les points, et sont alignés, de plus =, donc ' = ' =. insi, d après la propriété réciproque de Thalès, () // ( ). Le point est donc à l intersection des droites () et de la parallèle à () passant par. ' 56 a. = 0, ; b. =. 57 a. est l image de par l homothétie de centre et de rapport 5 ; b. est l image de par l homothétie de centre et de rapport ; c. est l image de par l homothétie de centre K et ' de rapport ; d. F est l image de G par l homothétie de centre E et de rapport 0,. 66 N' N 58 a. ' = ; b. P = P ; c. N = N ; d. N = N. 59 a. ; b. ; c.. ' 67 (N) // ( N ). N 60 a. L image du point K est ; l image du point W est. b. L image du point K est H ; l image du point W est N. N' ' 6 a. h(w ; ) ; h( ; ). b. h( ; ) ; h( ; /). 68 (N) // ( N ). N' 6 a. ; b.. P ' 6 a. = donc k = b. = donc k =. c. + + = 0 donc = donc k =. d. ( + ) = 0 donc = donc k =. 6 a. = donc k =. b. + ( + ) = 0 donc + = 0 donc = donc k =. c. ( + ) + = 0 N 69 a. b. J J + = 0 = donc k =. 89 argo de S Livre du Professeur

90 6 Transformations du plan 70 a. et b. () ( ) 5 a = a a = 5 donc. 8 b = b b = 8 insi h ( ( 5 ; 8 ) ; ) c. k = et x a = (x c) y b = (y b) 7 a = a a = 0 donc. b = b b = 7 = k or (x ; y ) et (x ; y) x = kx ; donc y = ky. a. x = x ; b. x = x ; c. x = 5 x ; y = y y = y y = 5 y. insi h ( (0 ; ) ; ). 75 n note, deux points distincts et, leurs images par l homothétie. n a donc = k. n note le milieu de [], donc = et l image de par l homothétie. = k = k et = k donc = donc est le milieu de [ ] 7 a. =. x = (x ) x = x donc y + = (y +) y = y +. b. J = /J x + = (x + ) x = donc x 5 y = (y ) y = y + 5. c. K = K x = (x ) x = x + donc y = (y ) y = x +. 7 ans les trois cas, on cherche un point (a ; b) tel que = k, donc tel que x a = k(x a). y b = k(y b) x 6 a = (x a) a. k = et y + b = (y b) 6 a = a donc a =. b = b b = insi h( ( ; ) ; ). b. k = et x + 5 a = (x a) y + 8 b = (x b) argo de S Livre du Professeur () et () sont deux droites parallèles. n note,,, les images des points,,, par une homothétie de rapport k. n a donc = k et = k. omme les droites () et () sont parallèles, les vecteurs et sont colinéaires, donc il existe un nombre réel l non nul tel que = l. insi, = k = k l = l k = l. onc les vecteurs et sont colinéaires et les droites ( ) et ( ) sont parallèles. 77 n note,,, les images des images des points,,, par une homothétie de rapport k. Une homothétie conserve les angles orientés, ainsi, de mes = π, on déduit que mes = π. l en est de même pour les autres angles. onc est un rectangle. n sait que = k et = k. insi, ( ) = = k k = k = k = k ().

91 Transformations du plan 6 78 Les droites () et () sont parallèles, les droites () et ( ) sont parallèles donc les droites () et ( ) sont parallèles. insi, les triangles et sont en configuration de Thalès, d où : ' = ' = ''. n note k le nombre '. insi, et sont les images de et par l homothétie de centre et de rapport k. e plus, = et =, donc ' = '' = k. insi, est l image de par l homothétie de centre et de rapport k. où, = k. onc les vecteurs et sont colinéaires. n en déduit que les droites () et ( ) sont parallèles. 79 QP = QR et Q = QT, donc P et sont les images des points R et T par l homothétie h de centre Q et de rapport. QN = Q + N = Q + QP = QT QR = (QT + QR) = (QT + TS) = QS donc N est l image de S par h. insi, NPQ est l image de TSRQ par h. b. (NPQ) = Q QP = = (NPQ) = ( ) (TSQR) = 6 8 =. 80 Homothétie Rapport ire de F ire de F h 0 90 h 5 ou 5 5 h 0, h 5 ou 5 ire de F = k ire de F. 8 ( ) ( '),5,5 5 Les triangles et sont en configuration de Thalès, donc (resp ) est l image de (resp de ) par l homothétie de centre et de rapport ' =,5 =,6. insi ( ) =,6 () =,56 5 =,8. L aire du domaine coloré en bleu est donc,8 5 = 7,8. ' ' Faire le point 8 a. Propriété Symétrie orthogonale Symétrie centrale Translation Rotation Homothétie Transforme un segment en un segment de même longueur ui ui ui ui Non () Transforme trois points alignés en trois points alignés ui ui ui ui ui Transforme une droite en une droite parallèle Non () ui ui Non () ui Transforme un angle orienté en un angle orienté de même mesure Non () ui ui ui ui Transforme une figure en une figure de même aire ui ui ui ui Non Transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles ui ui ui ui ui Transforme deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires ui ui ui ui ui b. () Si et sont les images de et par une homothétie de rapport k, alors = k. 9 argo de S Livre du Professeur

92 6 Transformations du plan () ontre-exemple : ( ) ( ) ( ) S ( ) (()) = ( ) et ( ) n est pas parallèle à ( ). () ontre-exemple : r = rot ( ; π ). ( ) π ( ) r(( )) = ( ) et ( ) n est pas parallèle à ( ). () Si,, sont les images de,, par une symétrie orthogonale, alors mes (, ) = mes (, ). (5) Si F est l image d une figure F par une homothétie de rapport k, alors ire de F = k ire de F. 8 Elle n a pas pris en compte le sens de l angle orienté (sens trigonométrique) bjet mage bjet mage [] [] milieu de [] milieu de [] triangle triangle E F () (E) () (F) [] [] Homothétie Transforme entre Rapport. a. et b. G ' h en h en h F en et F en h en et en h 5 [ ] en [FF ] h 6 [EE ] en [FF ] ' ' ' E' E F H F' Se tester 86 à 89 Voir anuel de l'élève page 59. argo de S Livre du Professeur 9

93 Transformations du plan 6 Exercices d approfondissement 90 Le trajet arché-aison de aba ne peut pas être modifié. l faut donc minimiser le trajet : aison de aba ateau ateau arché. aison de aba ' ateau arché ( ) er n note le symétrique de par la symétrie orthogonale d axe ( ). n sait que le trajet + est minimal (car c est une ligne droite) et que =, donc le trajet + est minimal pour le point ainsi placé. 9. G = G; = ; = donc les points G, et appartiennent à la médiatrice de [].. a. r = rot ( ; π ). b. r(g) = ; r() = E ; r() = H. b. r, d après le., les points G,, sont alignés, donc les points, E, H sont alignés.. a. F E H b. est un point invariant par f lorsque =, c està-dire : = + ; =. L unique point invariant par f est le point tel que est un parallélogramme. c. n sait que le centre de cette homothétie est (son unique point invariant) et que : =, c est-à-dire =. + = donc =. = + + = + ( + ) + = = + + = ( + ) + = + =. h est l homothétie de centre et de rapport. 9. a. ' ' ' ( ) G b. () (G). r, r() =, r() = F, r(g) =, r() = H. insi r(()) = (F) et r((g)) = (H). r, une rotation transforme deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires. onc, (F) (H). 9 a. = +. Les points,, sont fixés donc à chaque point correspond un unique point. Pour = : =. ' b. h est l homothétie de centre et de rapport. h est l homothétie de centre et de rapport.. Lorsque décrit (), l ensemble (E ) des points est le cercle de centre = h () et de rayon. () Pour = : = +. Pour = : = +. 9 argo de S Livre du Professeur

94 6 Transformations du plan. Lorsque décrit (), l ensemble (E ) des points est le cercle de centre = h () et de rayon. () ( 7 ; ) donc = onc cos(, ) = 5 5 = 0. insi, mes (, ) = 90 c. (7 ; ) donc = 5 ; (0 ; ) donc =. insi, donc n est pas l image de par r. (6 ; ) donc = 5 ; ( ; ) donc =. insi, donc n est pas l image de par r. 9. et. a. argo de S Livre du Professeur ( ; ), ( ; ), donc = = 0 et. = + ( ) = 0. e plus, le milieu de [] a pour coordonnées ( 9 ; ) et le milieu de [] a pour coordonnées ( 9 ; ). insi, le quadrilatère possède des diagonales de même longueur qui se coupent perpendiculairement en leur milieu. onc est un carré. n montre de même que est un carré. omme ( ; ) et ( ; ), on en déduit que = = 5. onc ces carrés sont superposables.. a. Le point est le point d intersection des médiatrices de [ ] (puisque = ) et de [ ] (car = ). n lit (ou on démontre que) ( ; ). b. après la formule d l-kashi : = + cos(, ) donc cos(, ) = + ' '. ' r, ( ; ) donc = 5. ( ; ) donc = a. et b. ' J J' ( ) c. S ( ) () = ; S ( ) (J) = J ; S ( ) ( ) = ; S ( ) (J ) = J. onc S ( ) ((J )) = S ( ) (( J)) et S ( ) (( J)) = (J ). insi, S ( ) ((J ) ( J)) = ( J) (J ) r, comme (J ) ( J) = ( J) (J ). n en déduit que ce point d intersection des deux droites reste invariant par S ( ), donc il appartient à ().. a. H G K E b. [FG] et [EG] ont même milieu, donc EFGH est un parallélogramme. 96. x = x + α, y = y + β.. x + x' = a donc x = a x ; y + y' = b donc y = b y.. a. t est la translation de vecteur u( ; ). a pour coordonnées : x = x + α = = et y = y + β = + =. onc ( ; ) e x = x + α, on déduit que x = x α = x +. e y = y + β, on déduit que y = y β = y. F

95 Transformations du plan 6 () : x + y = 0 donc x + + y = 0 insi, ( ) : x + y = 0 () : x + (y ) = donc (x + ) + (y ) =. insi, ( ) : (x + ) + (y 5) =. c. L aire du secteur angulaire est : mes (, ) R 0,6,6. L aire de la figure (F ) est donc : 6,6.. a et b () ( ) ( ) (F ) u () (F ) (F ) b. S est la symétrie centrale de centre ( ; ). a pour coordonnées : x = a x = 6 = 5 et y = b y = ( ) =. onc (5 ; ). e x = a x, on déduit que x = a x = 6 x. e y = b y, on déduit que y = b y = y. ( ) : x + y = 0 donc 6 x + y = 0. insi, ( ) : x y + 7 = 0 () : x + (y ) = donc (6 x ) + ( y ) =. insi, ( ) : (x 6) + y =. () u () ( ) ( ) c. ire (F ) = ire (F ) 6,6 ire (F ) = ( ) ire (F ), k =. a. ' b. n sait que G vérifie G + G + G = 0. n a : G ' ' 97. a. () = 5 = 5. b. (5 ; 0), ( ; ), donc. = = 0. e plus,. = cos (, ) donc 0 = cos (, ) ainsi, cos (, ) = 5. À la calculatrice, on en déduit que : mes (, ) 0,6 rad. 95 = + + G + G = (G + G) + (G + G) + (G + G) G = G + G + (G + G + G) G = G + 0 G = G, donc f est l homothétie de centre G et de rapport.. k =. argo de S Livre du Professeur

96 6 Transformations du plan n a : = + +. onc = + + = ( + ) + ( + ) = +. Les points,, sont fixés donc le vecteur + aussi. insi, f est la translation de vecteur +. b. +. a. f = rot( ; mes (, )) et f = rot( ; mes (, )). b. Voir figure précédente. c. n note N, P (resp. N,P ) les images des points N, P par f (resp. par f ). Le lieu des points est la droite (N P ) Le lieu des points est la droite (N P ). 00 La direction et la longueur du pont sont invariables. n note p le vecteur correspondant au pont. V Village Fleuve. k n a : = k + + K + K = k(k + K) + (K + K) + (K + K) p V Village K = K + (k + + ) K + kk + K + K K = kk + 0 K = kk, donc f est l homothétie de centre K et de rapport k.. a. n note p le périmètre de l image de par f. p = k p. b. n note l'aire de l image de par f. = k. 99. a. et. b. & c. Les trajets V + + V et V + + V sont de même longueur (puisque V est un parallélogramme). r le trajet + V est minimal (ligne droite), donc le trajet V + + V également, ainsi que le trajet V + + V. l faut donc placer le pont au point. 00. a. ( ) ( ) () () b. Puisque,, (), on en déduit que = =, donc que les triangles et sont isocèles en. argo de S Livre du Professeur 96 b. ans ce cas, = donc β = 0 et α = γ car ( ) est alors la bissectrice de l angle (, ). La rotation de centre et d angle de mesure α transforme en.

97 Transformations du plan 6. ( ) b. ' ' ' () Figure () est la bissectrice de (, ) et ( ) est la bissectrice de (, ). n note (resp. ) le milieu de [ ] (resp. de [ ]). β = mes (, ) = mes (, ) et γ = mes(, ) = mes (, J). onc β + γ = (mes (, ) + mes (, J)) β + γ = α. La rotation de centre et d angle de mesure α transforme en.. La succession de deux symétries orthogonales d axes sécants peut être décrite comme une rotation dont l angle a pour mesure le double de l angle situé entre les axes.. a. π Figure. a. En procédant avec (), on se retrouve dans le cas de la question. et on peut construire. b. ès lors (), on se retrouve à nouveau dans le cas de la question. et on peut construire : est le point d intersection de la parallèle à () passant par et de la parallèle à () passant par. ' ' ' Figure ' ' ' ' H b. ette mesure est π rad. c. Les axes () = () et ( ) = (H), où H est le milieu de [], conviennent. 0. a. h() =, h() =, h() =, donc () // ( ) et () // ( ). insi, le point est le point d intersection de la parallèle à () passant par et de la parallèle à () passant par. 97 ' ' ' Figure 0. a. Les triangles (resp. N) et (resp. N ) sont isocèles, l un en et l autre en. omme = et que mes = mes (resp. mes N = mes N ), on en déduit que ces triangles sont superposables et donc que = (resp. N = N ). e plus, les points,, (resp. N,, N ) sont alignés, donc est le milieu de [ ] (resp. est le milieu de [NN ]). onc, S () = et S (N) = N. argo de S Livre du Professeur

98 6 Transformations du plan b. est le milieu des diagonales [ ] et [NN ], donc N N est un parallélogramme.. ui, en prenant pour N le point diamétralement opposé à sur le cercle ().. a. N N est un rectangle donc N = N = = 6, et si on note H le pied de la hauteur issue de dans le triangle N, H = N = =. N H insi, (N ) = = 9 b. Le triangle N est rectangle donc les points N,,,, N sont alignés. N est une base du triangle N et N = 6 et la hauteur associée est =. N '' insi, (N ) = = 9. 0 a. h (K ; R' R ) et h (K ; R' R ). ( ') ' ' K K ( ) b. Lorsque et sont confondus, il n existe qu une seule homothétie qui transforme () en ( ), c est : h( ; R' R ). 05. n suppose que toute droite ( ) est sa propre image par f.. Si et sont deux points de ( ), qui ont pour images par f deux points et distincts de ( ), alors et sont eux-mêmes distincts.. n suppose que ( ) et ( ) sont sécantes en un point. a. n a f() =. L image par f de la droite () est la parallèle à ( ) passant par. onc f[( )] = ( ) et, de même, f[( )] = ( ). b. ( ) ( ) f() f[( )] f[( )]. r f[( )] = ( ), f[( )] = ( ) et ()= ( ) ( ) ; donc f() = et est invariant par f. ( ) f() f[( )] ( ) et ( ) = ( ), en contradiction avec (). onc ( ) et est distinct de et. c. Soit ( ) et = f(). ( ) ' ' ( ') La droite () a pour image par f la droite ( ), qui lui est parallèle ; donc (). La droite () a pour image par f la droite ( ), qui lui est parallèle ; est donc un point de la parallèle à () passant par. onc () et la parallèle à () passant par sont sécantes en. d. Soit [ ] \{} et = f(). ' ( ) ' ( ) ( ') Soit un point du plan, ( ) et ( ) deux droites sécantes en. L image de par f appartient à l intersection des images par f des droites ( ) et ( ), qui sont invariantes. onc est invariant par f, qui est l application identique. n suppose dans la suite qu il existe une droite ( ) dont l image ( ) lui est strictement parallèle (). ( ') ( ) ; par un raisonnement analogue à celui du c., on démontre que () et la parallèle à () passant par sont sécantes en. e. Soit h l homothétie de centre qui transforme en. n a : h() = = f() et h() = = f(). Par ailleurs, h() est le point d intersection de () avec la parallèle à () issue de ; donc h() =. argo de S Livre du Professeur 98

99 Transformations du plan 6 Soit un point du plan. er cas : =. h() = = f() ; donc h() = f(). e cas : ( ) \(). h() est le point d intersection de la droite ( ) avec la parallèle à () issue de. après d., on a donc h() = f(). e cas : ( ). h() est le point d intersection de la droite () avec la parallèle à () issue de. après c., on a donc h() = f(). f est donc l homothétie de centre qui transforme en.. n suppose que ( ) et ( ) sont parallèles. ( ) a. Les côtés opposés du ' ( ') quadrilatère sont ' ' parallèles, donc =. b. Soit () et = f(). ésignons par t la translation de vecteur. L image par t de la droite () est la parallèle à () passant par ; donc : t(()) = ( ). L image par t de la droite () est la parallèle à () passant par ; donc : t(()) = ( ). Les droites () et () sont sécantes en ; on en déduit que : t() = et =. c. Soit () et = f(). après b., = t() et =. Soit () \ {}. n a : (). L image par t de () est la parallèle à () passant par ; donc : t(()) = ( ). L image par t de () est la parallèle à () passant par ; ( ) donc : t(()) = ( ). ' {} = () () ; on en déduit ' ' que : t() = et =. ' d. f est donc la translation de vecteur. 5. Les seules applications du plan dans lui-même, qui transforment une droite en une droite qui lui est parallèle, sont les homothéties et les translations. 06. = k donc x 0 = k(x 0), c'est-à-dire x = kx. y 0 = k(y 0) y = ky. a. = k donc + = k d où = k +. b. x = k(x a) + a y = k(y b) + b. ( '). a. x = (5 ) + y = ( ( )) + ( ) insi, a pour coordonnées (9 ; 6). b. e x = k(x a) + a, on déduit que x a = k(x a) et x = x a k + a. e même, y = y b + b. k r, ( ) : x y + = 0. onc : x y ( ) + ) + ( ) + = 0 donc x + 9 y + + = 0. insi, ( ) : x 9 y + = 0. c. Le cercle () a pour centre ( ; ) et pour rayon 5, donc le cercle ( ) a pour centre (image de par h) et pour rayon k 5 = 5. r, x = ( ) + = et y = ( ( )) + ( ) =. onc ( ; ). 07 a. À main levée. (F ) (F ) (F ) b. F est le pavé de base. n obtient (F ) et (F ) à partir de (F ) par rotation de centre et d angle de mesure ± π rad ; puis le reste par des symétries orthogonales (par exemple d axes (),() et ()). F = F + F + F est le pavé de base. n peut obtenir des pavés analogues par rotation de centre (ou ou ) et d angle de mesure ± π rad. Également par des translations de vecteur (ou ou ). 99 argo de S Livre du Professeur

100 7 Géométrie dans l'espace ctivités d introduction Perspective en architecture a. Un prisme droit à base triangulaire et un pavé droit. b. Le b. est juste. ans la représentation a., les arêtes cachées ne sont pas représentées en perspective cavalière. ans celle de c., la découpe du prisme pour emboîter le pavé droit n est pas parallèle aux arêtes du prisme. a. ans le patron a., il manque le pavé droit. ans le patron c., le pavé droit par du toit. onc c est le patron b. alcul de longueurs. a. b. est le sommet de l angle droit du triangle E J F rectangle J. = 0 0 = 0. J = = après le théorème de Pythagore, 0 J = 00 = 0. c. e même pour KL : H K K G e même pour JK : H J K 00 G KL = 0. L J K = = 0 ; J J = 0 ; KJ = 500 = 0 5. J F istance parcourue = a. En procédant comme au., J = 00 + (a 90), JK = 00 + (0 a). b. d = J + JK + KL = 00 + (a 90) (0 a) + 0. a distance 5, 50, 50,6 5,7 56,5 6,7 68, c. Pour a = 95, la distance semble être minimale. d. argo de S Livre du Professeur 00

101 Géométrie dans l'espace 7 90 J E J K Face de dessous a = EJ, Plan et droite. a. b.. a. b. ui si n est pas le milieu de []. Non sinon. c. () est sécante au plan () ou () est parallèle au plan ().. a. ui, à la droite (). b. En se plaçant dans le plan (), on peut appliquer le théorème de la droite des milieux de côtés d un triangle ou sa contraposée. es droites ni parallèles ni sécantes. a. (H) et (G) sont parallèles. b. ui, dans le plan (G). c. (HG) et ().. a. (G) et (H) sont sécantes. b. ui dans le plan (G). c. (J).. a. (H) et (F) ne sont ni parallèles, ni sécantes. b. Non. c. (HF) et (). 0 argo de S Livre du Professeur

102 7 Géométrie dans l'espace Savoir-faire Recherche de la longueur E. ans le triangle rectangle E, d après la trigonométrie, cos( E) = donc E = E cos( E) soit : E = 6 = = 6. E 5 Pour les faces parallèles, par exemple de dessus et de dessous, l angle de fuite est respecté mais les pointillés ne sont pas tracés. F 8 après le codage, dans le plan (S) d après la contraposée du théorème de la droite des milieux, (J) non parallèle à () et, comme elles sont coplanaires, (J) et () sont sécantes. a. E H G 9 a. (H) // (J) donc (HJ). insi est un point commun aux deux plans. [] et () est incluse dans (). insi est un point commun aux deux plans. (HJ) et () sont donc sécants en (). b. F (E) donc F est un point commun aux deux plans et (GF) donc est un point commun aux deux plans. insi (FG) et (E) sont sécants en (F). b. ans le plan (E) : F triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, = + donc =,5 donc =,5. ans le plan () : triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, = + donc : = 9 +,5 donc = 0,5. ans le plan () : triangle rectangle en, d après la trigonométrie, cos = =,5 0,5. insi, mes,8. Les points G, et définissent le plan (F) alors que appartient au plan (E) parallèle à (F). onc les points G,, et sont non coplanaires et donc les droites () et (G) sont non coplanaires. () et (J) sont deux droites sécantes du plan (J), elles sont respectivement parallèles aux droites (EF) et (F). r (EF) et (F) sont deux droites sécantes du plan (EF). onc les plans (J) et (EF) sont parallèles. Les droites (F) et (G) sont parallèles, les droites (H) et (G) sont parallèles donc les droites (F) et (H) sont parallèles et sont donc coplanaires. argo de S Livre du Professeur 0

103 Géométrie dans l'espace 7 Exercices d entraînement 5 a. b. H G E F E F 0 a. c. d. S 6 a. Faux ; b. Faux ; c. Faux ; d. Faux. S b. V = 50 5 = 750. l faut évacuer 750 m. c. Vue de haut du bassin : Piscine l 7 Pour que HN soit un parallélogramme, il faut et il suffit que (H) // (N) et H = N. Si N est tel que GN = G alors les deux conditions précédentes sont vérifiées. b. l faut que H = or dans le triangle rectangle EH, H = E = 9 a et dans le triangle rectangle, = + = 9 a + a = 9 a. onc H, il n y a pas de position de N pour que HN soit un losange. L L = 50 + ( 0,) = 5, m. l = 5 + ( 0,) = 7, m. arrelée = (5, 7,) (50 5) = 85,76 m. l faut commander environ 86 m de carrelage. a. 8 a. b. H G H G E F E F 9 0 b. Si h = alors la partie supérieure est un cône de révolution de hauteur 8 cm et de rayon cm. insi V / = (π ) 8 = π cm. Pour la partie inférieure : V = (π ) = π cm. Le volume de son bouchon est 6 π cm. argo de S Livre du Professeur

104 7 Géométrie dans l'espace a. et b. E F 8 a. Tracer un plan (P ) et placer un point appartenant à ce plan (P ). Tracer une droite () incluse dans (P ) passant par le point. Placer un point n appartenant pas à (P ). Tracer la droite ( ) passant par et. b. ( ') c. Les faces et EF sont parallèles et les faces latérales sont des parallélogrammes. EF est un prisme à base triangulaire. (P ) ( ) ( ) a. Pour respecter cette condition dans le plan, il faut tracer un quadrilatère dont les côtés et les diagonales ont les mêmes longueurs. eci n est pas possible puisque dans un losange, les diagonales sont de longueurs différentes et dans un carré, les diagonales sont égales mais plus grandes que le côté. b. un tétraèdre régulier. c. e sera le centre de ce tétraèdre. 9 a. (P ) ( ) ( ) (P ') ( ') a. ui (droites parallèles). b. ui ( points non alignés). c. ui. d. Non (trois points alignés). e. Non. f. ui (deux droites sécantes). b. ( ) ( ) 5. a. () ; b. H et () ; c. (HG) et ().. Pour a. : ; pour b. : E et J ; pour c. :, J et K. ( ') 6 a. EFGH parallélépipède rectangle. b. (KL) qui contient les crêtes (E) et (G). c. (KL) qui contient le sommet. 7 Les droites ( ), ( ) et () sont parallèles d après le théorème du toit. 0 a ; b ; d ; e. (P ) (P '') argo de S Livre du Professeur 0 ( ) (P ') a. = + = + 5 =. =. b. F = + F = + = 50/ F = 50. c. = E + E = +,5 = 5,5. = 5,5. d. J = + J = + J = 5,5 + =,5. J =,5. e. = + = 5,5 + =,5. =,5. f. = =,5.

105 Géométrie dans l'espace 7 a. b. H T G F S E b. À l aide du quadrillage, on projette orthogonalement sur () : F J c. alculons FJ puis J. K FJ = FG =. α Puis on utilise la trigonométrie tanα = / = / =. insi α = 5 c. À l aide du quadrillage : = + = 8 donc = 8. insi k = 8 =. J = EG = ( FE + FG ) = =. onc FJK n est pas un tétraèdre régulier. 5 essins à main levée. a. S 5 iagonale du carré de côté a = a + a = a = a. iagonale du cube de côté a = a + (a ) = a = a. 6 a. y y b. Pyramide régulière donc S triangle rectangle car S triangle isocèle en S et milieu de []. insi S + = S. carré donc = + = = 5 5. insi S = 5 ( 5 ) = 5 5 =,5. S =,5. c. V = S =,5 5 = 5,5 cm. S =,5 cm. a. ans le triangle EFG, et J milieu de [EF] et [FG] donc J = EG. e même K = E et JK = G. e plus EFGH est un cube donc EG = E = G et donc J = JK = K. Le triangle JK est équilatéral. 05 x a y cos(0) = x donc x =,5 m. cos(0) x 0 tan(0) = y donc y = tan(0),7 m. b. V ob = V pavé V prisme = ( 0) ( y 0 ) = 60 5 tan(0) = 60 5 = 5. c. V ob 5 m. insi asse kg. 0 argo de S Livre du Professeur

106 7 Géométrie dans l'espace 7 À main levée.. a. 0 a. Parallèles. b. Sécants en (FG). c. onfondus. d. Sécants en (H). a. H G E F (HG) // () donc les quatre points sont coplanaires et HG = donc GH est un parallélogramme. b. ans H rectangle en H = + H = + =. H =. K isocèle en K avec K = et =. insi tan K = K =. onc mes (K) 5 et donc mes (K) = 80 mes (K) 09.. ans E rectangle en E, = E + E = + ( EG ). ans EHG rectangle en H : EG = EH + HG = +8 = 80. insi = = 6. onc = 6. e même = 6. Puis = EG = 80 = cosθ = 5 = 5. onc mes θ. 6 insi mes () = mes () et mes () a. Non coplanaires. b. Perpendiculaires en. c. Parallèles. d. Non coplanaires. 9 a. Sécantes en. b. Parallèles. c. Parallèles. d. Sécantes en E. θ 6 b. (EF) // () donc (EF) // (). () // () e plus EF = (arêtes du cube) donc EF est un parallélogramme, donc (E) // (F). c. (F) est parallèle à (E) qui est une droite incluse dans le plan (EG), donc (F) est parallèle à (EG). a. b. L J (J )et () sont coplanaires et sécantes en L et L est le point d intersection de (J) et (). e même est l intersection de (JK) et (). c. Les plans (JK) et () se coupent en la droite (L). a. () // (FG) donc () // (KG). milieu de [] donc =. e même GK = FG. EFGH pavé droit donc = FG. insi = GK. Finalement, GK est un parallélogramme. ontrons que (J) // (). ans le rectangle, d après la droite des milieux dans, () // (J). ans le triangle, (J) est la droite passant par un milieu de côté et parallèle à un deuxième côté donc (J) coupe [] en son milieu. insi (J) = () = (J). K J argo de S Livre du Professeur 06

107 Géométrie dans l'espace 7 après ce qui précède (J) // (). omme () // (HG), (J) // (HG). e plus, J + = + =. r = HG, donc J = HG. JGH est bien un parallélogramme. b. GH parallélogramme donc (K) // (G). (G) est incluse dans (JH) donc (K) est parallèle à (JH) car (JH) = (JG). P S N b. et sont deux points du plan (P ) et aussi du plan (). insi () est la droite d intersection des plans (P ) et ().. n procède de même avec N intersection de () et ( ) qui est aussi intersection de () et (P ) et donc la droite (N) est la droite d intersection des plans () et (P ). 6 (P ) est le plan dont la section avec le tétraèdre est hachurée en orange., J et K sont le points d intersection du plan (P ) avec les arêtes de S. insi E (J), G (JK) et F (K). ans ce cas, les points E, F et G sont les points d intersection de ces droites et des droites (), () et (). E, F et G appartiennent au plan (P ) et (). r deux plans, s ils sont sécants, se coupent en une droite. onc E, F et G appartiennent à cette droite. Les trois points sont alignés.. a., N, et sont coplanaires et dans le triangle S, S/S SN/S donc (N) est non parallèle à (). b. L intersection de (N) et () est aussi celle de (N) et ().. a. b. Voir. a.. Les deux points d intersection précédents appartiennent aux plans (PN) et () donc appartiennent à la droite d intersection de ces deux plans. 5. a. (P ') P () (P ) () et ( ) sont coplanaires et sécantes en. Et ce point appartenant à ( ) appartient aussi à (P ) car ( ) est incluse dans (P ). 7 a. Non coplanaires. b. Non coplanaires. c. Parallèles. d. Non coplanaires. 8 a. Parallèles. b. Sécants. c. Parallèles. d. Sécants. 9 a. Sécants en (GH). b. Parallèles. c. Sécants. d. Parallèles. 50. L = E = G = et (L) = (E), () = (G) donc (L) // (). L est un parallélogramme. onc () // (L).. a. ans le triangle, K et J sont les milieux de [] et [] donc (KJ) // (). omme (L) // (), (KJ) // (L). b. (L) // (JK) donc L,, J et K sont coplanaires donc LKJ est un quadrilatère. e plus (KJ) // (L) et KJ L donc LKJ est un trapèze et donc (LK) et (J) sont sécantes.. a. L et K sont des points de (F) donc la droite (LK) est incluse dans (F) donc appartient à (F). e même (F). b. (F) et (F) sont deux plans sécants en (F) donc (F). 07 argo de S Livre du Professeur

108 7 Géométrie dans l'espace 5 Figure à main levée. 5 H E K n trace la parallèle à () passant par J que l on nomme ( ). Les droites (J) et ( ) sont sécantes donc elles sont coplanaires et forment donc un plan (Q). Tout plan parallèle à (Q) sera solution. 5 a. J S b. J = + J = S + = (S + ) = S. c. J = S donc J et S sont colinéaires donc (S)//(J). r (J) (JK), ainsi (S) // (JK). d. e même JK = + = donc (JK) // () et comme (JK) (JK), () // (JK). 5 ans, () // (H) donc, d après le théorème de Thalès : = H = H. r milieu de [HF] et = HE donc H =. insi = donc milieu de []. e même J milieu de [N]. insi dans N, et J sont les milieux de [] et [N] donc (J) // (N). L K Justification : () // (EH) et () et (EH) sont incluses respectivement dans (K) et (EH). es deux plans sont sécants puisque K est un point appartenant à ces deux plans. onc d après la «propriété du toit» (), (EH) et la droite d intersection des deux plans sont parallèles. 55. milieu de [], K milieu de [HG] et EFGH est un cube donc = HK et () // (HK). HK est donc un parallélogramme. insi (H) // (HJ). 56 a. Le trapèze GH. b. Le triangle JK. c. Le trapèze L où est le milieu de []. d. Le parallélogramme KN où est le milieu de [N]. e. Le trapèze KN. f. Le trapèze L. 57 a. Le segment [RS]. b. Le segment [RT] c. ui, S appartient aux deux plans. d. Les droites () et (RT). 58 a. et d. E N H b. (F) et (E) sont des plans parallèles donc le plan (G) qui coupe l un en [G] et coupe l autre en une droite parallèle à (G). c. G appartient aux deux plans et N aussi donc [GN] est l intersection du plan (G) et de la face EFGH. F G argo de S Livre du Professeur 08

109 Géométrie dans l'espace 7 59 a. et b. E H N G. a., N, F et G sont quatre points coplanaires. b. (N) donc (NP). e même (FG) donc (FG).. ans ce cube, (F) et (G) sont parallèles donc si (NP) coupe l un, il coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. Faire le point 60 ncluse ; Parallèles ; oplanaires ; Parallèles ou non coplanaires. 6 a. Safi : «Les droites d intersection d un plan avec deux plans parallèles sont parallèles entre elles.» b. Non. Justifications : (P) // (NQ) et (N) // (RQ). R Q P sont sécantes en. H (FG) donc H (EFG). insi (EH) est incluse dans (EFH) et donc (EFH). Finalement, est l intersection de (S) et de (EFG). 6. Le point S appartient aux deux plans.. () et () sont deux droites incluses dans (S) et (S) et ces deux droites sont sécantes. Leur point d intersection (E) appartient à l intersection.. La droite d intersection est (SE). S N 6. ntersection des plans (S) et (S) : ces deux plans ne sont pas parallèles (S point commun) et sont non confondus donc ils sont sécants en une droite ( ) passant par S. Puis () et () sont des droites parallèles dont l une est incluse dans (S) et l autre dans (S). après le théorème du toit, ( ) est parallèle aussi à () et ().. ntersection de (FG) et ( ) : (FG) et ( ) sont incluses dans le plan (S), on peut prolonger ces droites pour déterminer leur point d intersection est H.. Point d intersection du plan (EFG) et de la droite (S) : (EF) et (S) sont incluses dans le plan (S), elles 09 6 Remarque du professeur : n ne peut pas utiliser la propriété du cours.b. puisque (S) et (S) sont des plans sécants. E argo de S Livre du Professeur

110 7 Géométrie dans l'espace Se tester 65 à 68 Voir anuel de l'élève page 59. Exercices d approfondissement 69 a. Un cube de côté b ; un cube de côté a. Trois pavés de dimensions a, a, b. Trois pavés de dimensions b, b, a. V = b, V = a, V = a b et V = ab. b. Volume du cube de base (a + b). onc (a + b) = a + a b + b a + b. 7. a. [HF] est la diagonale du carré EFGH de côté cm donc mesure cm. P = F + FP = + ( ) =. insi P =. H P F 70 a. ' '. b. e même dans H, L =. PL est donc un triangle isocèle.. ans le triangle EG, P et L sont les milieux de [EG] et [G] donc PL = E. r E = donc PL =.. a. P E E' L b. est un tétraèdre régulier d arête cm. c. sin (L) = L L = = =. onc mes (L) 7. () est aussi bissectrice de l angle PL donc : mes (PL) = mes (P). insi mes (PL). 7 a. (P ) ' ' ' ( ) argo de S Livre du Professeur 0

111 Géométrie dans l'espace 7 b. Les points, et ne sont pas alignés donc ils forment un plan (). (P ) et sont sécants en une droite ( ). e plus, () est une droite incluse dans, elle coupe (P ) en qui est un point de () et de (P ) donc ( ). e même ( ) et ( ). Finalement les points, et sont alignés. 7.,5. V = ire carré = (,5) =,5 m.. a. V eau = x ire carré eau,5 h x après Thalès x = h donc,5x,5 = h. insi V eau = x h = x (,5x ) =,5x x Les quotients et,5 6 =,5x. sont-ils égaux? = 6 et 6,5 = 6 donc 6 =,5. insi l eau restante a un volume de 6 x m.. b. À moitié vide donc V eau = 5 m soit 0,75 m. Résolvons 6 x = 0,75 x = 6 0,75 x =. vec le tableau de valeur de la fonction x x sur [0 ; ] : x,,5,6 f(x),75,75,096 on déduit qu'à partir de x,5 m, boubacar peut remplir son récipient. 7. et. b. E P F a b. a. Les points, E, et H forment une face du solide donc sont coplanaires. Puis EH donc (E) et (H) sont sécantes.. ans P, () // (EH) et EH =. H P a b après le théorème dethalès, P PE = HE = b a =. E insi E milieu de [P].. e même (G) et (H) sont coplanaires et sécantes. Supposons que le point d intersection soit différent de P, notons le P. omme en., H sera le milieu de [P ] or H est déjà le milieu de [P] donc la supposition est absurde, le point d intersection est P. e même avec (E) et (F). Finalement (E), (H), (E) et (F) sont concourantes en P. 5. a. (E) et (G) sont sécantes en P donc coplanaires. b. Les plans (P) et (P) sont sécants en une droite qui passe par P. Si on note le centre de, (P). insi appartient à la droite d intersection des plans (P) et (P). e même avec centre de EHGF. P, et appartiennent à une même droite, ils sont alignés. 75 a. E est un tétraèdre. E H G argo de S Livre du Professeur

112 7 Géométrie dans l'espace b. + = 56,5 et = 56,5. après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. Sami a raison c. E est la hauteur de ce tétraèdre donc : V = E. V =,5 6 7 =,5 cm. d. ans le triangle E, d après le théorème de Thalès : E E = EN E = N. insi N 7,5 =, N = 76., 7, 85 E. r E = E + = 85., cm. K' (P ') et sont distincts et n appartiennent pas à (P ) donc (P ) et () sont sécants. () est un plan qui coupe deux plans (P ) et (P ') parallèles dont les droites d intersections sont parallèles. onc ( ) // (). Les droites parallèles à (P ) passant par K sont incluses dans (P ) or H (P ) donc (KH) non parallèle à (P ) donc (KH) coupe (P ). Si (), comme H (), la droite (H) est incluse dans le plan () et donc K qui est un point de (H) et du plan (P ) appartiendrait à ( ) or K ( ), donc la supposition () est absurde donc ().. H () et (HK) donc les points,, H, K et sont coplanaires. Le plan () coupe (P ) et (P ) en droites parallèles entre elles puisque (P ) // (P ). insi () // (K). e même (K) // (). argo de S Livre du Professeur (P ) 77. parallélogramme, donc () // (). e plus () // (N) donc (N) // ().. a. Les plans (S) et (S) sont sécants, (N) et () sont des droites incluses dans ces plans et elles ne sont pas parallèles car N, donc elles sont sécantes. b. S ( ) N Le point d intersection de (N) et () est un point qui appartient aux deux plans (S) et (S) donc il appartient à leur intersection ( ). (S aussi).. () et () sont deux droites incluses dans les plans (S) et (S) donc, d après le théorème du toit, () et () sont parallèles à ( ) intersection des deux plans. 78. a. N milieu de [HF] et J milieu de [F] donc (NJ) // (H). b. milieu de [] et L milieu de [H] donc (L) // (H). c. (NJ) // (H) // (JL) donc (L) // (JN).. (N) // (G) et (K) // (G) (avec les triangles EG et G).. (JN) et (N) sont deux droites sécantes du plan (JN) et elles sont parallèles aux droites (L) et (K) sécantes du plan (JKL) donc les plans (JN) et (KL) sont parallèles. 79 a. G S

113 Géométrie dans l'espace 7 b. (G) et () sont sécants. est le milieu de []. G et sont des points du plan (S) et dans le triangle S, donc d après le théorème S, S = S et SG =. Q N H G de Thalè,s (G) et () sont sécantes. r () est incluse dans () donc (G) et () sont sécants. c. L intersection de (G) et () est l intersection de (G) et (). E F P 80 a. ans le triangle, et J sont les milieux de [] et [] donc (J) // (). e même dans le triangle FE, (KL) // (E). r dans le prisme EF, les droites () et (E) sont parallèles. insi (J) // () et (E) // (KL) et donc, J, K et L sont coplanaires. Enfin le plan (JK) coupe deux plans parallèles () et (EF) donc les droites d intersection de ces plans (J) et (KL) sont parallèles. b. Les plans (J) et (KL) sont sécants en une droite passant par. e plus, d après le théorème du toit, cette droite d intersection est parallèle aux droites (J) et (KL) puisqu elles sont incluses dans ces plans et elles sont parallèles entre elles (a.). insi la droite d intersection de (J) et (KL) est la droite parallèle à (J) passant par. c.. (FN) est un plan qui contient la droite (F) et donc P. e même Q (NF), (NF) est incluse dans (FN) et donc Q (FN). insi P, Q, et N appartiennent au plan (FN), ils sont donc coplanaires.. (N) est incluse dans le plan (FN). e plan coupe (EH) en la droite (PQ). L intersection entre les droites (N) et (PQ) est aussi l intersection de (N) et du plan (EH). 8 N J K L E J 8. a., F, et sont coplanaires et les droites (F) et () sont sécantes. e point d intersection appartient à () qui est, elle, incluse dans le plan (FH) donc (F) et (EH) sont sécants.. b. e même (NF) et (EH) sont sécantes et leur point d intersection appartient à (EH). onc (NF) et (EH) sont sécants. a. N (J) donc N (J) et [) donc (J). insi et N appartiennent au plan (J) donc, N, et J sont coplanaires. b. Voir figure. (J) et () sont deux plans sécants en (J) donc (N), droite incluse dans (J), coupe le plan () en le point d intersection de (N) et (J). argo de S Livre du Professeur

114 7 Géométrie dans l'espace 8 86 a. (d ) S (d ) (d ) N J (R ) ' ' ' (P ) (Q ) K 8 H K J L G ) Tracer [J] et [K] qui sont inclus dans des faces. ) ans le plan de base : K ' E. a. en noir ; b. en gris. 85 N E K H n nomme JK le triangle qui correspond à l intersection de (Q ) et du cube. n nomme la face du cube incluse dans (P ). (K) et () sont sécantes en. (JK) et () sont sécantes en N. (P ) et (Q ) sont sécants en la droite (N). J F G n peut tracer [J]. ) (J) // (S) donc, d après le théorème du toit avec les plans (S) et (S), on obtient [KN] : (KN) // (J) et (KN) // (S)). ) n trace [N]. b. L K S J J' argo de S Livre du Professeur

115 Géométrie dans l'espace 7 ) Tracer [J]. ) ans le plan (S) : S J Pour : n trace la droite d intersection du plan (FG) et du plan (EHP). La droite ( ) et la droite (HP) se coupent en. Pour J : Les droites ( ) et (EP) se coupent en J.. a. H F J' ) ans (S) : on trace [L] en utilisant la droite (J K). ) n trace []. c. S J J K n suppose que (J) non parallèle à (). n trace l intersection des plans (SJ) et (), puis on trace l intersection de (J) et de () : K. n trace (KK ) et on obtient la section du plan (JK) et (). Puis on termine la section (J J) et ( ). K P b. ans le plan (F) et d'après le théorème de Thalès, on a : F = P GE =. 88. () donc () donc (). J () donc J ().. Le plan (P ).. a. ls ont un point en commun : et () mais (P ).. b. Les plans (P ) et () sont sécants en une droite et les points, et J appartiennent à ces deux plans. onc, et J appartiennent à la droite d intersection de (P ) et de () donc ils sont alignés a. b. H E ( ) J P G F. a. 9 = 7 petits cubes. b c. V = 7 7 = 0 7 u.v.. a. 5 argo de S Livre du Professeur

116 7 Géométrie dans l'espace b. S 6 cm 0 c. Pour les 0 petits cubes restants, chacun va perdre 7 des 7 tout petits cubes. onc il reste = ( 0 7 ) du cube. d. Un petit cube tracé à la e étape va perdre 7 7 de cm son volume. r son volume de départ était de 7 donc ces cubes ont pour volume 7 ( ), soit Et il y avait 0 de ces cubes après l étape, donc V = = ( 0 7 ).. a. vec le même raisonnement, il reste (0) cubes qui sont tracés à cette étape et donc qui perdent 7 7 de leur volume qui est de 7. V = (0) b. V = ( 0 7 ). 7 ( 7 ) = 0 7 = ( 0 7 ). 90 a. S triangle rectangle en donc S = S + soit 6 = S +. insi S = cm. V cône = ire du disque hauteur. ci V = π = 6 π. b. ci, la génératrice de ce cône de révolution est 6 cm donc la face latérale est une partie d un disque de rayon 6 cm. c. La longueur du disque de rayon 6 cm est de : π 6 = π cm. La longueur du disque de la base du cône est de : π = π cm. r π π =, donc il faut prendre le tiers de la longueur du disque de rayon 6 cm. Le tiers des 60 de ce disque, soit 0. argo de S Livre du Professeur 6 9., et N ne sont pas alignés ; ces points définissent donc un plan, distinct de chacun des plans des faces du pavé. Les plans distincts (N) et () contiennent le point ; ils sont donc sécants suivant une droite. e plus () // (EFG) ; donc (N) et (EFG) sont aussi sécants suivant une droite. n démontre de même que (N) est sécant suivant une droite avec chacun des plans des autres faces du pavé.. Les segments [] et [J] sont les intersections des faces HE et avec le plan (N) ; les intersections de (N) avec les faces GF et EFGH, lorsqu'elles existent, sont des segments respectivement parallèles à [] et [J]. a. H G K E F N J La section du pavé par le plan (N) est le parallélogramme JK tel que K [FG], (JK) // () et (K) // (J). b. H K G E F N J La section du pavé par le plan (N) est le trapèze JK tel que K [GH] et (K) // (J).

117 Géométrie dans l'espace 7 9. a. ans le rectangle PQR, (NE) // (P) ; donc, (NE) // () et,, N, E sont dans un même plan (P ). ans (P ), les droites (E) et (N), qui ne sont pas parallèles, sont sécantes en un point F. omme (N) (R), F est aussi le point d'intersection de la droite (E) avec le plan (R). P N E F Q R b. n démontre de même que le point d'intersection J de la droite () avec le plan (R) est le point d'intersection des droites () et (). c. Les points F, R et appartiennent au plan (R). Le plan (PR) contient les points R et, car (R) // (P). r la droite (E), qui contient le point F, est incluse dans le même plan, car E (PR) ; donc, les points F, R et appartiennent au plan (PR). n en déduit que F, R et appartiennent à deux plans sécants ; ils sont donc alignés. J. a. Face R, ainsi que les points, N, F et J : a a N F R b. N = + N = a + a = a N = NR + R = a + a = a = + = a + a = 9a r a + a = 9a ; donc N est un triangle rectangle en N.. a. V = a a h = ha ; v = h, où est l'aire du triangle F, rectangle en F tel que :, F = N = a 6 et FJ = N = a. onc, v = a 6 a h = h a. b. n en déduit que : V v =. J 7 argo de S Livre du Professeur