CARGO. 2nde LIVRE DU PROFESSEUR. Collection de Mathématiques

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1 RG ollection de athématiques nde LVRE U PRFESSEUR

2 SN : Hachette Livre nternational, 06 Suivi éditorial et mise en page : cquansù Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. L article L. - du ode de la propriété intellectuelle dispose que «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite, il en est de même pour la traduction, l adaptation ou la transformation». Ne sont autorisées aux termes de l article L. -5 du ode que «les copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et «les analyses et les courtes citations notamment dans un but d exemple et d illustration». ette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 5- et suivants du ode de la propriété intellectuelle français. Le entre Français de l exploitation de la opie (0, rue des Grands-ugustins Paris France) est, conformément à l article L.-0 du ode de la propriété intellectuelle, le seul habilité à délivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous réserve en cas d utilisation aux fins de vente, de location, de publicité ou de promotion de l accord de l auteur ou des ayants droit.

3 Sommaire ngle inscrit et polygones inscriptibles...5 ctivités d'introduction... 5 Savoir-faire... 6 Exercices d'entraînement... 7 Faire le point... Exercices d'approfondissement... 6 Transformations du plan...80 ctivités d'introduction Savoir-faire... 8 Exercices d'entraînement... 8 Faire le point... 9 Exercices d'approfondissement... 9 ngles orientés et trigonométrie...9 ctivités d'introduction... 9 Savoir-faire... 0 Exercices d'entraînement... Faire le point... 6 Exercices d'approfondissement Géométrie dans l'espace...00 ctivités d'introduction Savoir-faire... 0 Exercices d'entraînement... 0 Faire le point Exercices d'approfondissement... 0 Vecteurs... ctivités d'introduction... Savoir-faire... Exercices d'entraînement... Faire le point... 0 Exercices d'approfondissement... 8 Statistiques...8 ctivités d'introduction... 8 Savoir-faire... 0 Exercices d'entraînement... Faire le point... Exercices d'approfondissement... 6 Produit scalaire...6 ctivités d'introduction... 6 Savoir-faire... 8 Exercices d'entraînement... 9 Faire le point Exercices d'approfondissement Équations de droites et de cercles...65 ctivités d'introduction Savoir-faire Exercices d'entraînement Faire le point... 7 Exercices d'approfondissement alculs dans R...9 ctivités d'introduction... 9 Savoir-faire... Exercices d'entraînement... Faire le point... 9 Exercices d'approfondissement Fonctions Généralités...6 ctivités d'introduction... 6 Savoir-faire... 7 Exercices d'entraînement... 9 Faire le point... 5 Exercices d'approfondissement... 5

4 Sommaire Fonctions usuelles...60 ctivités d'introduction Savoir-faire... 6 Exercices d'entraînement... 6 Faire le point Exercices d'approfondissement... 7 Polynômes et fractions rationnelles...76 ctivités d'introduction Savoir-faire Exercices d'entraînement Faire le point Exercices d'approfondissement Équations et inéquations dans R...9 ctivités d'introduction... 9 Savoir-faire... 9 Exercices d'entraînement... 9 Faire le point Exercices d'approfondissement... 0 Fonctions usuelles...07 ctivités d'introduction Savoir-faire Exercices d'entraînement Faire le point... 5 Exercices d'approfondissement... 6

5 ngles inscrits et polygones inscriptibles ctivités d introduction ngle inscrit et demi-tangente. a. Voir figure ci-dessous. À l entraînement. a. () T T b. n conjecture que mes T = mes.. a. b. Le triangle est isocèle en et est le milieu de [], donc () ^ () ; de plus mes T 90 ; donc les droites () et (T) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes en un point. c. Puisque () ^ (T) : dans le triangle, on a : mes + mes = 90 et ; dans le triangle rectangle en (puisque (T) est tangente au cercle), on a : mes + mes = 90 d où l égalité. d. mes = mes T donc : mes T = mes + mes mes = mes. r, puisque le triangle est isocèle en, () est aussi la bissectrice de l angle. insi, mes = mes et mes T = mes. 5 b. n observe que mes + mes = 80 et et que mes + mes = 80.. a. L angle inscrit intercepte l arc ; tandis que l angle inscrit intercepte l arc. n en déduit que mes + mes = 80. b. Puisque mes + mes 80, c est que le ploynôme n est plus inscriptible dans le cercle () ; un joueur est sorti du cercle : le jeu s arrête.. a. mes = 80 mes, or l angle inscrit intercepte l arc, donc l angle intercepte l arc et est situé sur le même cercle que, et. b. Les points,,, sont donc tous situés sur le même cercle. n en déduit que le quadrilatère est inscriptible. Sinus d un angle côté opposé. a. sin = hypothénuse =. H H b. = ; sin =. K c. = ; sin = K. H K d. e l égalité =, on déduit que H K =. argo de S Livre du Professeur

6 ngles inscrits et polygones inscriptibles insi sin = K = l égalité. H K. a. = = d où = H = K. b. n en déduit que K = H. Relations métriques dans un triangle. a. : angle aigu sin = K : angle droit sin = = ; H H = = H, d où = K b ; : angle obtus sin = K = K b. b. ans chacun des cas : K sin sin = = =. sin ac sin c. = = sin ab sin et = =.. a. abc = abc sin = a sin. b. En procédant de même avec les expressions obtenues au. c., on en déduit que : a sin = b sin = c sin. Savoir-faire E 50 T 0 T F 5 0 T 6 a. Les points vérifient mes 0. b. Les points vérifient mes a. mes = 0. x y L ensemble des points est constitué des demi-droites ]x) et ]y). b. mes = 90. () L ensemble des points est constitué du cercle () de diamètre [] à l exception des points et. c. mes = 80 L ensemble des points est constitué du segment [] à l exception des points et. 0 a. Les arcs et sont de même longueur, donc mes = mes. insi, () est la bissectrice de l angle. b. Puisque l angle intercepte l arc et l angle intercepte l arc, mes = mes. r le triangle est équilatéral, donc mes = 60. insi mes = 60. n utilise les propriétés du paragraphe. b. e 8 = R d où sin E = sin E 8 =, donc mes E = 5. Puisque le triangle EFG est isocèle en E : 80 mes E mes F = mes G = = 67,5. argo de S Livre du Professeur 6

7 ngles inscrits et polygones inscriptibles Exercices d entraînement a. ; b. ; c.. F et E. a. Le triangle est isocèle en. b. Les arcs et sont de même longueur. c. Les arcs et sont de même longueur. 5 a. et. b. et. 6 a. ( ) est la bissectrice de l angle. b. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes donc ( ), ( ) et ( ) sont concourantes. 7 a. Les angles E et sont correspondants et () // (), donc mes E = mes = 0. r, mes = mes, donc mes = 60. b. mes = 60 et =, donc le triangle est équilatéral. 8 a. et E. b. F et. 9 et T. 0 a. l angle NP est complémentaire à NP puisque mes NP = mes NP = 60. b. L angle QST est supplémentaire à NP puisque mes NP = mes RQS = mes TSR = 0, donc mes QST = 50. a. () b. mes = mes et mes = mes, donc mes = mes. Le triangle est donc isocèle en. Puisque le triangle est rectangle en : mes = 90 mes = 90 θ. Premier cas : mes T = mes = 90 θ. T () euxième cas : mes T = 80 mes T, or mes T = mes, donc mes T = 80 (90 θ) mes T = 90 + θ. () T T θ θ T 70 () Le triangle est isocèle en, donc mes = mes = = 55. () est la bissectrice de l angle car () est la médiatrice de [] et que le triangle est isocèle en, donc mes = 5. Le triangle est isocèle en car =, donc mes = 5. Puisque (T) est tangente à () en, mes T = 90. insi mes T = mes + mes T = 5. e même, mes T = 5. ans le quadrilatère T : mes T = 60 (mes T + mes T + mes ) mes T = 60 ( ) = 0. 7 argo de S Livre du Professeur

8 ngles inscrits et polygones inscriptibles () ( ) 8 a., b., c. a. Puisque ( ) est tangente à () en, () ( ), donc le triangle est rectangle en. Le triangle est rectangle en donc il est inscrit dans un cercle dont le diamètre est [ ]. est le milieu de [ ] et donc le centre de ce cercle. insi =. où on en déduit que le triangle est isocèle en. Puisque = = =, on en déduit que le triangle est équilatéral. b. mes = 80 mes = 0. mes = mes puisque le triangle est isocèle en. e plus, puisque ( ) est tangente à () en : mes = mes = 0. insi, mes = 0. 5 l s agit du cercle de diamètre [] à l exception des points et. 6 ui, tous les autres points situés sur l arc de cercle symétrique de par rapport à (). 9 0 L ensemble des points tels que mes J = 0 est situé sur le (l un des) cercle(s) tangent(s) à (JK) en J et l ensemble des points tels que mes JK = 50 est situé sur le (l un des) cercle(s) tangent(s) à (K) en. K J 7 θ 50 θ 0 Puisque mes = θ, on en déduit que mes = θ. n trace alors le point, centre du cercle circonscrit au triangle. L arc de cercle vert passant par et d extrémités et est l un des arcs capables cherchés. Le deuxième arc capable vert est obtenu par symétrie par rapport à (). argo de S Livre du Professeur 8 mes K = 60. Le triangle K est isocèle en K, donc : mes K = mes K = = 60. onc le triangle K est équilatéral. insi = K = K = et, d après la propriété de Pythagore : K = K K = K = d où K = et K =.

9 ngles inscrits et polygones inscriptibles mes = mes + mes mes = mes = 80. onc les points, et sont alignés. () 8 désigne un losange. Si est un carré, alors il est inscriptible car : mes + mes = = 80. Si est un losange inscriptible alors, d une part mes = mes (car c est un losange et que le triangle est isocèle en ) et d autre part mes + mes = 80 (car il est inscriptible), donc mes = 90. insi est un carré. [) est la demi-tangente en au cercle () passant par et, donc tout point du cercle () vérifie : mes = mes. l suffit alors de choisir le point de () tel que : mes = mes. a. Les arcs rouges sont les arcs capables d extrémités et et de mesure 5. b. Les arcs verts sont les arcs capables d extrémités et et de mesure 5. 5 a. ui car deux de ses angles opposés sont supplémentaires (mes + mes = 80 ). b. ui car deux de ses angles opposés ont même mesure (mes E = mes H = 0 ). c. ui car deux de ses angles opposés sont supplémentaires (mes + mes K = 80 ). d. ui car deux de ses angles opposés sont de même mesure (mes = mes = 90 ). 6 a. a = 50 ; b. a = 70 ; c. a = 90 ; d. a = 0. 7 désigne un parallélogramme. Si est un rectangle, alors il est inscriptible car mes + mes = = 80. Si est un parallélogramme inscriptible alors, d une part mes = mes (car c est un parallélogramme) et d autre part mes + mes = 80 (car il est inscriptible), donc mes = 90. insi est un rectangle. 9 9 a. ans le quadrilatère PNQ, on déduit que : mes QP = mes QNP = 6. ans le quadrilatère croisé 6 0 N NQP, on déduit que : 6 mes NQ = mes PQ = 0. 0 ans le quadrilatère NPQ, on déduit que : P mes QP = 80 mes NP = 0. b. mes NP = N a. Puisque le trapèze est isocèle, on a : mes = mes et mes = mes. r mes + mes + mes + mes = 60, donc : mes + mes = 80, donc est inscriptible. b. mes = mes + mes = mes + mes = mes + mes = mes + mes + mes = mes + mes = mes + mes = 80 mes = 80 mes. insi, mes + mes = 80, donc le quadrilatère est inscriptible. argo de S Livre du Professeur

10 ngles inscrits et polygones inscriptibles Triangle équilatéral : a = 60, θ = 0 arré : a = 5, θ = 90 Pentagone régulier : a = 6, θ = 7 Hexagone régulier : a = 0, θ = 60 a. n note EF cet hexagone régulier de centre et d aire = dm. l est constitué de six triangles équilatéraux de côté a et d aire. r, cos,5 = ' donc = cos,5,7. insi, sin = donc,7 sin 5.,07. F E G a a a H a H r, d une part, = 6 = H où H = H = a ( a ) donc = a a = a = cm et, d autre part, = a dm. insi, a = d où a = 6 et a = dm. b. Le rayon de son cercle inscrit est H = dm. n note E ce pentagone régulier de centre et d aire = 5 cm. r E est constitué de cinq triangles isocèles identiques à, donc () = 5 5 = cm. r, () = a a sin 7 () = a insi, a = et a = Puisque EFGH est un octogone régulier, mes = 60 8 = 5. ans le triangle, on note H le pied de la hauteur issue de et le point d intersection de la médiatrice de [] et [H]. est le centre du cercle circonscrit au triangle. argo de S Livre du Professeur 0 5 L hexagone régulier est constitué de six triangles équilatéraux d aire = R R sin 60, c est-à-dire = R. onc l aire de l hexagone est : ' = 6 = R. r l aire du disque de rayon R est π R. insi l aire en rouge est πr R. 6 désigne un trapèze. Si est isocèle, alors mes = mes et mes = mes. r, mes + mes + mes + mes = 60. onc mes + mes = 80. insi, il est inscriptible. Si est inscriptible, alors mes + mes = 80. a Puisque () // () : mes = mes = a et mes = 80 a. e plus, mes = 80 mes, donc dans le triangle, mes = 80 (80 mes ) a. mes = mes a. H a β

11 ngles inscrits et polygones inscriptibles insi mes = mes + mes = mes a + a = mes. e qui prouve que le trapèze est isocèle. 7 a. sin = H d. sin = H. ; b. sin = K ; c. sin = K ; 8 Le projeté orthogonal de N sur (P) ou le projeté orthogonal de P sur (N). 9 n note (resp. J ) le projeté orthogonal de sur (KJ) (resp. de J sur (K)). sin = JJ' J K ; sin J = ' J J J ; sin K = ' K. 50 l s agit de triangles isocèles rectangles en. 5 a. = sin 0 =. 0 9,5 8,5 b. = 5 d où = 0,75. 5 a. e = bc sin, on déduit que : ( + 6 ) = ( + 6) sin donc sin =, donc mes = 60. a b. R = sin, donc R = =. c a. = de sur () or sin = H insi, = b. abc = H où H est le projeté orthogonal donc H = sin bc sin abc bc sin. = a. sin. Puisque la somme des trois mesures des angles d un triangle est égale à 80, un triangle possède toujours au moins un angle aigu.. a. sin H = H = b. mes H = a R = a R. mes = mes. a R a c. u. a., on déduit que sin = donc R =. sin a 5 sin = R, de même sin = b c et sin = R R. onc, sin + sin + sin = a + b + c. R r R = abc a + b + c, donc sin + sin + sin =. abc 55 a. = bc sin = =. b. = ab sin = 5 = a. mes = mes = 50. e plus, mes = mes, donc mes = 5. b. ans le triangle, = R, donc sin sin = 0 d'où mes 5,6. onc mes = ,6 09,. e même, = R, sin donc = 7 sin, cm. 57 mes P = 0 donc mes P = 0. insi, le triangle P est isocèle en et P = 700 m. P P P r, = donc P = sin sin sin sin P = sin 0 = = 700. sin 0 argo de S Livre du Professeur

12 ngles inscrits et polygones inscriptibles 58 a. mes H = 5 ; mes = 7 ; mes = 80 (7 + ) =. b. après la propriété de Pythagore, dans le triangle H rectangle en H, on a = = 0. insi, 0 =. sin sin 0 donc = sin 0/0,5 0,8 7,. sin La largeur d un but de football est environ 7, m. Faire le point 59 L arc rouge est noté et l arc vert. L angle EH est un angle inscrit et l angle est au centre. Le polygone EFGH est un octogone régulier et inscrit. 60 a. Fodje : «mes = 6» Fodje : «Non, dans ce cas, n a pas de sens». b. Non, les arcs capables sont les arcs rouges à l exception des points et. 6 Le rayon calculé ici est le rayon du cercle circonscrit au triangle, tandis que R est le rayon du cercle circonscrit au pentagone E. ans le triangle, on note le milieu de [] qui est également le projeté orthogonal de sur () puisque le triangle est isocèle en. mes = 6,5 sin = donc sin 6 = R.,5 ainsi R =,5. sin 6 6. Tracer le segment [].. Tracer la demi-droite [T) telle que mes T = θ.. Tracer la droite ( ) perpendiculaire à [T) passant par.. Tracer la médiatrice de [], elle coupe ( ) au point. 5. L arc de cercle, de centre, passant par les points et et situé dans le demi-plan délimité par () ne contenant pas, est l un des arcs capables. 6. Le deuxième arc capable est obtenu par symétrie par rapport à (). Remarque : ne pas oublier de préciser que les points et ne font pas partie des solutions. argo de S Livre du Professeur 6 0 c = 0 0 = b a. = 0 0 sin 0 = 50 sin 0.,. a b. mes = mes = 70. = a b sin., a 0 sin 70. a, 6,8. 5 sin 70 c. abc 0 0 6,8 = R c est-à-dire R., donc R 5,. 6 après la propriété de Pythagore, =. = 6 donc = 6. ans le triangle rectangle en : sin = donc = sin. ainsi = sin 60 = 6. Les points,, sont alignés ; les points,, sont alignés et () // ( ). après la propriété de Thalès : = = donc ' ' ' 7 = 6 7. ainsi = 6. L aire du triangle est : = sin 60. = 6 r = R = 8. =, donc = 6.

13 ngles inscrits et polygones inscriptibles Se tester 65. vrai ;. faux ;. vrai ;. faux. 66. vrai. Le quadrilatère EHFG est un quadrilatère croisé inscriptible, donc mes EHF = mes EGF ; puisque mes EHF = mes EF = 5 ; ces deux angles sont complémentaires.. vrai. Le triangle EF est isocèle rectangle en E, donc mes EF = 5. e plus, mes EGF = mes JEF = 5. onc (EF) est la bissectrice de l angle JEF.. faux. mes EF mes EJF donc le quadrilatère EFJ n est pas inscriptible.. faux. L aire du triangle EFJ est égale à 67. a. ;. b. ;. a. E EJ =,5 =. 68. b. En effet, tous les angles au centre entre deux sommets consécutifs ont même mesure puisque ce polygone est régulier, donc 7 mes = 60, ainsi, mes 5.. b. En effet : mes E = mes E et mes E = mes. onc mes E 5. c. En effet, le triangle est isocèle en, donc le milieu de [] est également le pied de la hauteur issue de. insi, dans le triangle rectangle en, sin = donc sin 5,5 = 5 R, donc R = 5 sin 5,5 5 0,,6.. a. En effet, l aire de cet heptagone régulier est égale à sept fois l aire du triangle. r = sin, c est-à-dire = R sin 5, donc,6 0,78 5,7. onc, l aire de l heptagone est environ : 7 5,7 67. Exercices d'approfondissement 69. Supposons que mes = mes = 5. ans ce cas, = bc bc sin 5 = et = ac sin 5 = ac. r, d après l énoncé, =, ainsi bc = et ac =. Puisque mes = mes, le triangle est isocèle en, donc a = b. Les différents cas possibles avec a, b, c des nombres entiers naturels sont donc : er cas : a =, b =, c = ; e cas : a =, b =, c =. er cas : puisque abc = c, on a sin = =, sin ce qui est impossible car sin. onc un tel triangle n existe pas.. Supposons que mes = 0 ans ce cas, a sin = R. a sin 0 = donc a = =. onc, il n existe pas de tel triangle. 70 a. n considère les aires de chacun des triangles du quadrilatère : () = sin ; () = sin ; () = sin ; () = sin. r, mes = mes donc sin = sin ; argo de S Livre du Professeur

14 ngles inscrits et polygones inscriptibles de plus, les angles et sont supplémentaires, donc ils ont le même sinus : sin = sin. e même, sin = sin. insi : () = () + () + () + () = sin ( ) = sin [ ( + ) + ( + )] = sin ( + ) insi, H = + H. H = + H. H = +. H = ( + ). b. ( ) = sin. ( ) =. ( ) =. = sin ( ) = sin. b. () = 56 sin 0 8 m. 7. sin = H donc b = H. insi, puisque b sin R = b, on obtient : R = b sin sin = H sin sin.. après le., H = R sin sin. e même, on obtient H = R sin sin et H = R sin sin. a. H + H + H = R (sin sin + sin sin + sin sin ). b. H H H = 8R sin sin sin H. mes = 60 = 0.. a. Les triangle est isocèle en, donc mes = 5, ainsi, mes = 60. e même, mes = 60. ans le triangle H rectangle en H, = =. sin 60 = H' donc H = ' =. argo de S Livre du Professeur e plus, ( ) = H ( + ) ( ) = ( ) = + où, + = et = = + ( + )( ) =. c. ans le triangle H, cos 5 = H, donc cos 5 = H. insi, cos 5 = ( + ) et sin 5 = H, donc sin 5 = H = ; ainsi, sin 5 =. 7. Puisque = et que le triangle est isocèle rectangle en, on en déduit, d après la propriété de Pythagore, que 0 =.. ans le triangle H rectangle en H, d après la propriété de Pythagore : H = ( 0 ) = 0 = 0. insi, H = = 0. ans le triangle H, rectangle en H, d après la propriété de Pythagore : = ( 0 ) + ( 0 =

15 ngles inscrits et polygones inscriptibles = 0. = 0.. n procède de même en notant H le pied de la médiatrice du segment [ ]. insi, H =, H = et = =.. a. Le n polygone possède n côtés. b. En tenant le même raisonnement qu aux questions et : n = n. onc P = n n n. c. 0,765 ; 0,9 ; 0,96 ; 0,098 ; 5 0,09 ; 6 0,05 ; 7 0,05 ; 8 0,006. P,06 ; P, ; P, ; P, ; P 5, ; P 6, ; P 7, ; P 8,. Plus le nombre de côtés du polygone augmente, plus le polygone se rapproche du demi-cercle. Le périmètre du demi-cercle étant π, le demipérimètre du polygone se rapproche de π lorsque le nombre de côtés devient grand. 7 Pour le triangle : mes = mes + mes = =. est le centre du cercle circonscrit au triangle, donc : = d où = 50 sin 75,5 m. sin b. n note l aire du triangle. une part, = sin 57,5 75,5 sin 6 m. autre part, = H où H est le pied de la hauteur issue de. insi, H 6 = 6, donc H, m. 75,5 La rivière est large d environ m. 75 n note le centre du cercle circonscrit au triangle. ès lors, mes = θ. n trace alors le point, centre du cercle circonscrit au triangle. l arc de cercle vert passant par et d extrémités et est l un des arcs capables cherchés. le deuxième arc capable vert est obtenu par symétrie par rapport à () Pour le triangle : le triangle est isocèle en, donc mes = mes = = 55. insi, = sin 70 sin a. () 50 d où = sin 70 57,5 m. ( ) sin 55 Pour le triangle, on procède de la même façon et on obtient : 50 mes = 76 et = sin8, m. sin 76 Pour le triangle, on procède de la même façon et on obtient : 50 b. Le triangle est isocèle en et le triangle mes = et = sin 98 75,5 m. sin est isocèle en. 5 argo de S Livre du Professeur

16 ngles inscrits et polygones inscriptibles c. Puisque les triangles et sont isocèles et que mes = mes, on en déduit que mes = mes et enfin que mes = mes. insi, les droites () et ( ) sont parallèles. r, la tangente en à () est perpendiculaire à () et la tangente en à ( ) est perpendiculaire à ( ), donc ces deux tangentes sont perpendiculaires.. a. () ( ) mes H = 80 mes H H 70. ans le triangle H rectangle en, cos H = H, d'où = H cos H, = 09 cos 70 7 pm. Finalement, H = + H pm. 78 Puisque EF = FG, les arcs de cercle EF et FG sont de même longueur, donc mes EHF = mes FHG. r, il faut que mes FHG = donc que mes EHG = 6. Le quadrilatère étant inscriptible, les angles EHG et EFG sont supplémentaires. La condition cherchée est donc mes EFG = 80 6 c est-à-dire mes EFG = a = 6. b. et c. Réponses identiques au. b. et c.. n note R (resp. R ) le rayon de cercle ( ) (resp. ( )). Les points,, sont alignés ; les points,, sont alignés dans le même ordre ; de plus, ' = R R' et ' = R donc R' ' = '. insi, d après la propriété de Thalès, () // ( ). r, la tangente à ( ) (resp. à ( )) en (resp. en ) est perpendiculaire à () (resp. à ( )). onc ces deux tangentes sont perpendiculaires. 77 a. n considère un triangle H H, où représente l'atome de carbone et H, H deux atomes d'hydrogène. Le ' triangle H H est isocèle en, donc le projeté orthogonal ' de sur [H H ] est aussi le milieu de [H H ]. H ans le triangle H ', rectangle en ' : cos H ' = H ' H ' = 89 09' d'où mes H ' 5. e même, mes H ' 5. insi, mes H H = 80 (mes H ' + mes H ') mes H H 0. b. Sur le schéma précédent, on note le point d'intersection de (H ) et de la perpendiculaire à (H ) passant par H. argo de S Livre du Professeur H a. Q P b. La droite (QP) est une tangente commune aux cercles () et ( ).. a. La somme des mesures des quatre angles d un quadrilatère est égale à 60, or mes QP = mes QPN = 90, donc mes QN + mes NP = 80. Les angles QN et NP sont supplémentaires. b. (QP) est la demi-tangente à () en Q, donc : () mes RQP = mes QR = mes QN. c. (PQ) est la demi-tangente à ( ) en P, donc : mes RPQ = mes RNP = mes NP. R N ( ) d. mes RPQ + mes RQP = mes NP + mes QN = (mes NP + mes QN) = 80 = 90. Les angles RPQ et RQP du triangle PQR sont complémentaires, donc mes PRQ = 90, c est-à-dire que le triangle PQR est rectangle en R.

17 ngles inscrits et polygones inscriptibles 80 a. e nonagone régulier est constitué de neuf triangles isocèles identiques au triangle. mes = tan H = H d où tan 0 = H a ainsi r = tan0 a 0,7. r a H a = 0, donc mes H = 0. a r, () = H = a r a a = 0,7 a =,. a insi, l aire du polygone est : = 9,. b. L aire de la partie colorée en rouge est égale à l aire du polygone à laquelle on soustrait l aire du disque de rayon r, c est-à-dire : a 9, a πr = 9, π a ( 0,7) = a ( 9, π ) 0,7 0,89a 8 T n note E le point d intersection des droites () et (). après le théorème des milieux, le triangle E est équilatéral donc mes E = 60. r, pour milieu de [], = et mes = 60, donc le triangle est équilatéral. l en est de même pour les triangles et ; et est le centre du cercle ( ) circonscrit à. insi, mes T = mes = 0. e même, mes T = mes = 0. où, mes T = = a. ans le triangle J rectangle en J, cos J = J ; or J = et =, d où l égalité : J = cos J. b. après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle en : = + '' = ( ) + = 5. = = 5/, donc = = 5 = 5 et J = = 5 car J est le milieu de []. c. après b., c. et le fait que cos 7 = 5, on en déduit que mes = 7. après la construction : mes = mes E = mes = mes = mes E = 7, donc le polygone E est un polygone régulier. 8. a. Le triangle 0 est isocèle en (puisque 0 = ), donc mes 0 = mes 0 = θ. b. a = mes P = 80 (mes + mes 0 ) donc a = 80 θ.. a. Tous les triangles n n + sont isocèles en et identiques car 0 = = = n = n +, donc 0 = = = n n +. La ligne brisée constituée des points 0,,, n + est formée de segments de même longueur. b. Si θ = 5, alors mes 0 = 80 (5 + 5 ) = 7. J E 7 argo de S Livre du Professeur

18 ngles inscrits et polygones inscriptibles e même, mes = mes = mes = mes 0 = 7, et 0 = = = = 0. insi, 0 est un pentagone régulier. c. Si θ = 8, alors mes 0 = 80 (8 8 ) =. e même, mes = mes = mes = mes 0 =, et 0 = = = = 0. insi, 0 est le pentagone décrit, appelé pentagone régulier étoilé.. Le rayon lumineux fait une fois le tour lorsque : mes n 0 = 60, c est-à-dire lorsque n mes 0 = 60. insi mes 0 = 60 n. r, mes 0 + θ = 80, donc θ = 80 mes 0 = n.. Supposons que n est pair : n = k avec k *. Le rayon lumineux fait deux fois le tour lorsque : mes mes n 0 = 70, c est-à-dire : n mes 0 = 70 et qu il n est pas ressorti au bout d un tour, c est-à-dire : mes mes 60, k 0 soit k mes r, si n = k et que n mes 0 = 70, alors, on a nécessairement k mes 0 = 60, donc il faut prendre n impair. ans ce cas, mes 0 + θ = 80, donc θ = 80 mes 0 = n. 8 a. n note J le point d intersection des droites ( ) et ( ). ans le triangle J, mes J = 80 (mes J + mes J) mes J = 75. J sin = donc J = J = 900 sin 75 J sin 6 = 900 sin 75 sin 75 sin 6,5 m. sin 6 80, m. argo de S Livre du Professeur 8 ans le triangle J, mes J = 80 mes J = 05 ; mes J = 80 (mes J + mes J ) mes J = 5 J sin = sin 05 = J sin 5 6,5 donc J sin 6, m ; sin 5 6,5 sin m. sin 5 ans le triangle J, mes J = mes J = 05 ; mes J = 80 (mes J + mes J ) = 6. J sin 9 = sin 05 = J donc J sin 6 80, J sin 6 sin 9 888,9 m ; sin 05 6, m. sin 6 insi, 775 m et = J + J 6, ,9 5 m. b. En utilisant, on déduit que : mes = 80 ( ) = 59 donc mes J =. ans le triangle J, J = sin J sin J 6,5 d où = sin sin La distance entre les deux îlots est d environ 880 m. c. La longueur du trajet est d environ : = 09 m. 85 Les quadrilatères E, EF et F sont tous les trois non croisés et inscriptibles dans les cercles (), ( ) et ( ). insi, mes + mes E = 80 ; mes F+ mes E = 80 ; mes F + mes = 80. r : mes F + mes F = 80 mes + 80 mes E = 80 (80 mes ) + 80 (80 mes E) = mes + mes E = 80. insi, mes F + mes F = 80, donc les points, F, sont alignés.

19 ngles orientés et trigonométrie ctivités d introduction Une nouvelle unité de mesure d'un angle. a. La longueur du cercle () est égale à π. La longueur de l arc est égale à π. La longueur de l arc J est égale à π. b. insi, mes ( ) = π rad et mes (J) = π rad.. a. (EF) étant la bissectrice de l angle J, la longueur de l arc E est égale à π. Les points E,, F étant alignés, la longueur de l arc EF est π et celle de F est égale à π. insi, mes (E) = π rad, mes (F) = π + π = 5π rad et mes (EF) = π rad. b. omme par construction = et comme =, le triangle est équilatéral. insi, la longueur de l arc est égale à π et celle de est égale à π. ngles orientés et mesure principale. a. b. J E ' π 6 π c. mes (, J ) = π rad. J' F. b. épart e passage «longueur» de l arc orienté π 6 π 6 mes (, ) «longueur» de l arc orienté N mes (, N) π 6 π π π 6 + π π π π π c. La mesure principale de (, ) est π 6 car π ] π, π]. 6 La mesure principale de (, N) est π car π ] π, π]. 9 argo de S Livre du Professeur

20 ngles orientés et trigonométrie osinus et sinus. Point 5 J bscisse rdonnée esure principale de (, N). π 6 a 0 cos (a) sin (a) 0 π π 6 π π π π 0 π 0 π π π π. Les abscisses coïncident avec les cosinus, et les ordonnées coïncident avec les cosinus. En effet, si a = mes (, ), alors l abscisse de est cos(a) et l ordonnée de est sin(a). Tangente a. Les points, T, d une part et les points,, d autre part sont alignés. Les droites (T) et ( ) sont parallèles. après le théorème de Thalès, on a : T = ' = T '. e la relation ' = T T on déduit que =. r =, donc = T x. ' b. ans le triangle rectangle en, comme le segment [ ] est le côté opposé à l angle et le segment [ ] est le côté adjacent à l angle, on a : tan (a) = tan ( ) = ' '. c. n a alors : tan (a) = ' ' = T ' ' = T. π 5π 6 Savoir Faire a. 6 π 80 = π = π. 6 correspond 5 à π π rad. b = π = 7π. 05 correspond à 7π rad. c. π 5 80 π =. π rad correspond à. 5 d. 5π 80 π = 5. 5π rad correspond à 5. argo de S Livre du Professeur 0 5 a. 7 = + donc 7π 6 = π 6 + π 6 = π 6 [π]. b. π = π + π = 8π + π = π [π]. c. 5π = 6π π = π π [π]. d. 0π 8 = 5π = π + π = π [π]

21 ngles orientés et trigonométrie 6 mes (F, FG) = ( π π π ) = π 6 [π]. mes (F, E) = π [π]. mes (G, E) = π [π]. En effet, la somme des mesures des trois angles d un triangle est égale à π et chacun des trois angles d un triangle équilatéral mesure π rad. 0 (x) = 5 cos(x π) + sin( π x). (x) = 5 cos (x) + cos (x) 6 cos (x). (x) = cos ( π + x) sin (π x). (x) = sin (x) sin (x). (x) = 5 sin (x). sin (x) = cos (x) = 9 9 = 0 9 donc sin (x) = 0 9 ou sin (x) = 0 9 donc sin (x) = 0 ou sin(x) = omme x ] π ; π [, sin (x) > 0, on en déduit : sin (x) = 0 7. Exercices d entraînement a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. Une. b. π. c. π. 5 egrés 5 π 80 Radians 5π π π 80 = 5π 6 ; π 7 80 π = 80 7 ; π 8 80 π = 5 80 π 80 π 8 π 9 π 8π = π 9 ; 0 π 80 = π ; 8π 80 π = 80. π ; Par conséquent : mes (, ) + mes (, ) + mes (, ) = 00 + ( 0 ) + ( 0 ) = 0. mes (, ) + mes (, ) + mes (, ) = = mes (, ) = π rad. mes (E, ) = π rad. omme 0 est égal à 0 π 80 = π 9 rad E est rectangle en, on a : mes (E, E) = ( π π 9 π ) = 7π 8. mes (, ) = 0 rad a. F est nécessairement isocèle en car 00 < 80. insi : mes = mes = = 80 = 0 (la somme des mesures des trois angles non orientés d un triangle étant égale à 80 ). π 6 G E b. omme mes (GE, GF) = π rad et comme EFG est 6 isocèle en F, on a : mes (FG, FE) = π π 6 = π rad et mes (EF, EG) = π 6 rad ; mes (FE, FG) = π rad. argo de S Livre du Professeur

22 ngles orientés et trigonométrie 9 a. mes (, U) = mes (, R) + mes (R, U) = π + π = 8π 6 + π 6 = 5π 6 rad. b. mes (, S) = mes (, R) + mes (R, S) = π + π = π 6 + 9π 6 = π 6 rad. c. mes (, T) = mes (, R) + mes (R, T) = π + π = π rad. d. mes (U, T) = π rad. 0 a. ]-π ; π]. b. omplémentaires. c. π mes (u, v) = mes (v, u) [π]. 6 5π 6 argo de S Livre du Professeur 7π 7π 9π 7 et 8 π 6 a. π = π π = π π donc π est la mesure principale de π. b. 5π = 6π + π = π + π donc π est la mesure principale de 5π. c. 09π = 08π + π = 5 π + π donc π est la mesure principale de 09π. d. 5π = 5π π = 6 π π donc π est la mesure principale de 5π. a. 9π = 8π π = π π donc π est la mesure principale de 9π. b. π = π π = π π donc π est la mesure principale de π. 5 c. 75π = 7π + π = 9 π + π donc π est la mesure principale de 75π. d. 6π = 9π = 0π + π donc π est la mesure principale de 6π. a. 9π = 8π + π = π + π donc π est la mesure principale de 9π. b. 6π = 60π + π = 0 π + π donc π est la mesure principale de 6π. c. 5π = 6π + π = 6 π + π donc π est la mesure principale de 5π. d. 50π = 8π π = 8 π π donc π est la mesure principale de 50π. 5 a. 5π 6 = π 6 + π 6 = π + π 6 donc π est la 6 mesure principale de 5π 6. b. 7π 6 = 6π 6 π 6 = π π 6 donc π est la 6 mesure principale de 7π 6. c. π 6 = 6π 6 + 5π 6 = π + 5π 6 donc 5π est la 6 mesure principale de π 6. d. π 6 = π 6 π 6 = π π donc π est la mesure principale de π 6. 6 Le triangle est isocèle rectangle en. onc mes (, ) = π rad et mes (, ) = (π π ) = π = π rad. Le triangle est équilatéral donc : mes (, ) = π rad. 7 omme l hexagone EF est régulier, de centre, chaque angle au centre, de sommet, mesure 60 6 = 60 soit π rad. Par conséquent : mes (, ) = π rad.

23 ngles orientés et trigonométrie Le triangle est équilatéral donc : mes (, ) = π rad. mes (, ) = mes (, ) + mes (, ) (hasles) = π = π rad. [] est un diamètre du cercle ( ) et est un point du cercle ( ) donc mes (, ) = π rad. mes (E, E) = mes (E, EF ) + mes (EF, E) (hasles) = π + (π π ) = π + π 6 = π 6 + π 6 = π 6 = π rad. mes (F, E ) = mes (F, FE ) + mes (FE, E) (hasles) = π [π mes (EF, E )] = π (π π ) = π π = π rad. 8 Le triangle est isocèle en donc : mes (, ) = π π 8 = π π = π mes (, ) = π 8 rad. Les points,, étant alignés : rad et mes (, ) = [π mes (, )] = (π π ) = π rad. Les angles opposés d un parallélogramme sont de même mesure. insi, mes (E, E) = π rad. 9 omme = =, le triangle est équilatéral. insi, mes (, ) = π rad. mes (, ) = mes (, ) + mes (, ) (hasles) = π + π = 9π + π + π = π π [π] = π [π]. mes (, ) = mes (, ) mes (, ) = π π = 9π π = 5π rad (le triangle est équilatéral). mes (, ) = mes (, ) mes (, ) = 5π π = 5π π = π rad (le triangle est équilatéral). 0 a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux. a. Faux. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. a. 5π = 6π π = π π = π [π] et cos ( 5π) = cos ( π ) = sin ( 5π) = sin ( π ) =. b. π = π + π = π (π] et cos ( π) = cos ( π) = sin ( π) = sin ( π) =. c. 7π = π + π = π [π] et cos ( 7π ) = cos ( π ) = sin ( 7π) = sin ( π) =. a. π 6 = 6π 6 5π 6 = 5π 6 [π] et cos ( π) 6 = cos ( 5π) 6 = sin ( π) 6 = sin ( 5π) 6 =. b. 5π 6 = 8π 6 + π 6 = π 6 [π] = π [π] donc cos ( 5π) 6 = cos ( π ) = 0 sin ( 5π 6 ) = sin ( π ) =. c. 5π 6 = 8π 6 π 6 [π] = π [π] donc cos( 5π 6 ) = cos ( π ) = 0 sin ( 5π 6 ) = sin ( π ) =. a. 8π = 6π + π = π [π] et cos ( 8π ) = cos ( π ) = sin ( 8π ) = sin ( π ) = b. π et = 08π + π = π [π] = π [π] cos ( π) = cos ( π) = sin ( π) = sin ( π) =. argo de S Livre du Professeur

24 ngles orientés et trigonométrie c. 70π = 66π + π = π [π] = π [π] et cos ( 70π) = cos ( π) = sin ( 70π ) = sin ( π) =. 5 a. π = π π = π [π] et cos ( π) = 0 sin ( π ) = b. 8π = 80π + π = π [π] et c. 50π et cos ( 8π) = 0 sin ( 8π ) = = 500π π = π cos ( 50π ) = 0 sin ( 50π ) =. 6 a. mes (, ) = π + π 6 = 5π 6 rad b. mes (, ) = π rad c. mes (, ) = π rad d. mes (, ) = π rad 7 Les coordonnées du point sont cos (x) et sin (x) avec x = mes (, ). a. cos (x) = cos ( 7π) = cos ( 8π π ) = cos ( π ) = et sin (x) = sin ( 7π) = sin ( π ) = b. cos (x) = cos ( 5π ) = cos ( π π) = cos ( π) = et sin (x) = sin ( 5π ) = sin ( π ) =. c. cos (x) = cos ( π 6 + 5π 6 ) = cos ( 5π 6 ) = et sin (x) = sin ( 5π 6 ) =. d. cos (x) = cos ( 7π 6 ) = cos ( π 5π 6 6 ) = cos ( 5π 6 ) = et sin (x) = sin ( 5π 6 ) =. 8 a. x, rad ; b. x 0,6 rad ; c. x, rad ; d. x rad. 9 a. x,78 rad ; b. x 0,07 rad ; c. x,896 rad ; d. x 0,77 rad ; e. x 0,8 rad ; f. x 0, rad. 0 a. Le pentagone E étant un pentagone régulier de centre, chaque angle au centre, de sommet, mesure 60 = 7, soit π 5 5 radians. mes (, ) = π 5 rad ; mes (, ) = π 5 = π 5 rad ; mes (, )= π 5 = 6π 5 = 0π π 5 5 = π 5 [π] ; mes (, E) = π 5 rad. b. Pour tout point du cercle de centre et de rayon a : x = a cos (, ) y = a sin (, ) n en déduit que : a pour coordonnées ( a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )) ; a pour coordonnées (a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )) ; a pour coordonnées ( a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )) ; E a pour coordonnées ( a cos ( π 5 ) ; a sin ( π 5 )). J π H argo de S Livre du Professeur

25 Les points,, sont alignés. En effet : mes (, ) = mes (, ) + mes (, ) (hasles) = π + π = 0 [π]. insi, mes (, ) = π [π]. ans le triangle H rectangle en H, on a : cos ( π ) = H = donc = donc = x = x + x k y k = y + y = =. es égalités = et mes (, ) = π [π], on déduit que l ordonnée de est égale à : sin( π ) = =. Les coordonnées de K sont donc, = + = = + = a. π = π + π Vrai. b. 5π 6 = π + ( π 6 ) Vrai. c. π 5 = π π 5 Vrai. d. 9π = π + π = π [π] Faux. a. cos ( π 7 ) + cos ( 6π 7 ) = cos ( π 7 ) + cos ( π π 7 ) = 0. b. sin ( π ) + cos ( π ) = = 0. a. cos (π x) + cos ( x) = cos (x) + cos (x) = 0. b. sin ( x) + sin (π x) = sin (x) + sin (x) = 0. sin (x) 5 a. tan x = cos(x) =. sin (x) b. tan (x) = cos(x) = = 8. 6 a. cos (π x) + cos (π + x) + cos ( x) = cos ( x) + ( cos (x)) + cos (x) = cos (x). b. sin (π x) sin (π + x) + 5 sin (6π + x) = sin (π x) ( sin (x)) + 5 sin (x) = sin (x) + sin (x) + 5 sin (x) = 7 sin (x). c. sin (x + 7π) cos (x + 5π) cos (x π) = sin (x + π) cos (x + π) cos (x) = sin (x) + cos (x) cos (x) = sin (x) cos (x). 5 ngles orientés et trigonométrie 7 a. cos (x) + sin ( x + π ) + cos (π x) = cos (x) + cos (x) cos (x) = cos (x). b. sin (-x) + cos ( π + x ) + cos ( x 5π ) = sin (x) sin (x) + cos ( x π ) = sin (x) + sin (x) = sin (x). 8 a. cos ( π 9 ) + cos ( π 9 ) + cos ( 5π 9 ) + cos ( 8π 9 ) = cos ( π 9 ) + cos ( π π 9 ) + cos ( π 9 ) + cos ( π π 9 ) = = 0. b. sin ( π ) + sin ( π ) + sin ( 7π ) + sin ( π ) = sin ( π ) + sin ( π π ) + sin ( π ) + sin ( π π = sin ( π ) + sin ( π ) + sin ( π ) + sin ( π ) ) = 0 + sin ( π ) sin ( π ). c. cos ( π 8 ) + cos ( π 8 ) + cos ( 5π 8 ) + cos ( 7π 8 ) = cos ( π 8 ) + cos ( π π 8 ) + cos ( π 8 ) + cos ( π π 8 ) = cos ( π 8 ) + cos ( π 8 ). 9 a. sin ( π ) + sin ( 7π ) sin ( π ) = sin ( π ) + sin ( π ) sin ( π π ) = sin ( π ) =. b. cos ( 5π ) + cos ( π ) + cos ( 7π ) = cos ( π = cos ( π = cos ( π + π ) + cos ( π ) + cos ( π + π ) + π ) + cos ( π ) + cos ( π + π ) + π ) + cos ( π ) cos ( π ) = sin ( π ) + cos ( π ) = =. c. tan ( π ) + tan ( π ) + tan ( 5π ) = tan ( π ) + tan ( π π ) + tan ( π + π ) = tan ( π ) + ( tan ( π )) + tan ( π ) = tan ( π sin ( π ) = ) cos ( π ) =. argo de S Livre du Professeur

26 ngles orientés et trigonométrie sin ( x) sin (x) 50 a. tan (-x) = = = tan (x). cos ( x) cos (x) sin (π x) sin (x) b. tan (π x) = = = tan (x). cos (π x) cos (x) sin (π + x) sin (x) c. tan (π + x) = = = tan (x). cos (π + x) cos (x) 5 a. cos (nπ) = et sin (nπ) = 0. b. cos ((n + ) π) = cos (nπ + π) = cos (π) = et sin ((n + ) π) = 0. c. cos (nπ) = si n pair ou si n impair et sin (nπ) = 0. d. cos ( π + n π ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + n π ) = sin ( π ) =. e. cos ( π + nπ ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + nπ ) = sin ( π ) =. f. cos ( π + (n + ) π ) = cos ( π + π ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + (n + ) π ) = sin ( π + π ) = sin ( π ) =. g. cos ( π + (n + ) π ) = cos ( π + π ) = cos ( π ) = 0 et sin ( π + (n + ) π ) = sin ( π + π ) = sin ( π ) =. 5 a. omme cos (x) =, x = π π 6 ou x = π + π 6 c'est-à-dire x = 5π 6 ou x = 5π 6. e plus, sin (x) < 0, donc x = 5π 6. b. omme sin (x) = c'est-à-dire x = π ou x = π. e plus, cos (x) > 0, donc x = π., x = π ou x = (π π ) 5 a. cos (x) = sin (x) = ( ) = donc : cos (x) = ou cos (x) = omme x π ; π, cos (x) > 0. insi, cos (x) =. b. sin (x) = cos (x) = ( ) = = donc sin (x) = ou sin (x) =. omme x [ π ; 0], sin (x) 0 donc sin (x) =. 5 a. sin (x) = cos (x) = 0,6 = 0,6 donc sin (x) = 0,6 = 0,8 ou sin (x) = 0,8. b. cos (x) = sin (x) = 0,0 = 0,96 donc cos (x) = 0,96 ou cos (x) = 0,96. c. sin (x) = cos (x) = ( = 6 9 ) 8 = 65 8 donc sin (x) = 65 9 ou sin (x) = π ; π donc sin ( π 0 ) > 0 or sin ( π ) = = donc sin ( π 0 ) = 5 8 =. 5 insi, tan ( π sin ( π 0 ) = 0 ) 5 cos ( π = 0 ) = = Faire le point 56 esure principale de 07π 6 éthode n cherche a ] π ; π] et k Z tels que a = 07π 6 + kπ. n a : π 07π kπ π π kπ 0 6 π k 0. argo de S Livre du Professeur 6 onc k = 9. insi : a = 07π 6 8π = π 6. éthode n effectue la division euclidienne de 07 par : 07 = 8 +, = 6π + π π [π] donc 07π 6 6 = π 6 [π]. = π 6 [π] = π 6

27 esure principale de 8π éthode n cherche a ] π ; π] et k Z tels que a = 8π + kπ. n a : π 8π + kπ π 79π kπ 87π 79 8 k ,875 k 0,875. onc k = 0. insi : a = 8π + 0π = π. éthode n effectue la division euclidienne de 8 par 8 ; 8 = donc 8π = π [π]. 57 cos ( 8π ) = cos ( 6π + π ) = cos ( π + π ) = cos ( π ) = cos ( π π ) sin ( 5π n a : 9π 6 = cos ( π ) =. ) = sin ( 5π ) = -sin ( π + π ) = sin ( π ) = = π + 5π 6 = 5π 6 [π] donc cos ( 5π 6 ) = cos ( π π 6 ) = cos ( π 6 ) = sin ( 5π 6 ) = sin ( π π 6 ) = sin ( π 6 ) = et tan ( 9π 6 ) 6 ) = tan ( 5π 6 ) = sin ( 5π = =. cos ( 5π 6 ) = 58 mes (, ) = π [π] (E carré). mes (, ) = π [π] ( équilatéral). ais mes (E, ) = mes (E, ) + mes (, ) = ( π ) + ( π ) = π 6 + π = 5π 6 6 [π]. Joseph n a pas tenu compte de l orientation. 59 a. mes (, ) = π 0 = π rad ; le décagone est 5 régulier, donc chaque angle au centre (de sommet ) mesure π 0 = π ngles orientés et trigonométrie b. mes (, E) = mes (, ) = π 5 rad. c. mes (, G) = 6 mes (, ) = 6π 5 rad. d. mes (F, FE) = mes (F, EF) = π 5 rad. 60. a. L abscisse de est égale à r cos (a). b. L ordonnée de est égale à r sin (a).. a. L abscisse de P est égale à cos ( π 5 ) ; l ordonnée de P est égale à sin ( π 5 ). b. L abscisse de Q est égale à 0, cos ( π ) ; l ordonnée de Q est égale à 0, sin ( π ). c. n note a = mes (, R) = cos (a) es égalités : 7 = sin (a), 7 il vient que a = arcos ( ), rad 7 (ou a = arcsin ( ), rad). 7 6 cos (x) < 0 sin (x) > 0 tan (x) < 0 cos (x) < 0 sin (x) < 0 tan (x) > 0 cos (x) > 0 sin (x) > 0 tan (x) > 0 cos (x) > 0 sin (x) < 0 tan (x) < 0 6 li est parti de la bonne égalité : cos (x) = sin (x), mais ne discute pas selon le signe de cos (x). e plus, 5 = 5 et non 5. Namandou se trompe d égalité! n écrit : cos (x) = sin (x) et non pas cos (x) = sin (x)! orrection cos (x) = ( 5 ) = 5 = donc cos (x) = 5 5 ou cos (x) = 5. omme x π ; π, cos (x) < 0, donc cos (x) = 5 = 6 5 J = 6 5. argo de S Livre du Professeur

28 ngles orientés et trigonométrie Se tester 6 à 66 Voir anuel de l'élève page 57. Exercices d'approfondissement 67. a. Les coordonnées de sont cos ( π ) = et sin ( π ) = car le point appartient au cercle trigonométrique. b. J K insi, N = K = sin ( π ). n conclut que sin ( π ) Puis, cos ( π ) = =. = + omme π ] 0, π [ cos ( π ) > 0 donc : cos ( π ) + =, et enfin, tan ( π ) = +.. = ( ) + ( ) = + + =. c. K désigne le milieu du segment []. ans le triangle K rectangle en K, on a : sin ( π 8 ) = K = K. insi, = K = sin ( π 8 ). n a alors : sin ( π 8 ) =. Puis cos ( π 8 ) = = +. omme π 8 0 ; π, cos ( π 8 ) > 0, donc : cos ( π 8 ) = +. Et enfin, tan ( π 8 ) = +.. N désigne le point du cercle ( ) tels que : mes (, N) = π 6 [π]. Ses coordonnées sont cos ( π 6 ) = et sin ( π 6 ) =. N = ( ) + ( ) = + + =. Soit K le milieu de [N]. ans le triangle K rectangle en K, on a : sin ( π ) = K' = K. argo de S Livre du Professeur 8 68 a. ans le triangle H rectangle en H : sin (x) = H donc H = a sin (x). onc = H = a sin (x) b. ans le triangle H rectangle en : mes (H) = π x rad. ans le triangle rectangle en : mes () = π mes (H) = π ( π x ) = x rad ans le triangle rectangle en, cos (x) = donc = cos (x) c. ans le triangle rectangle en, sin (x) = donc = a sin (x) d. n a donc : a sin (x) = cos (x) = a sin (x) cos (x) or a > 0 donc sin (x) = sin (x) cos (x). 69 a. est équilatéral donc =. insi : = = donc est isocèle en. b. mes (, ) = π [π] mes (, ) = π π = π 6 π 6 = π 6 [π] mes (, ) = (π π 6 ) = 5π [π]

29 ngles orientés et trigonométrie c. mes (, H) = mes (, H) mes (, ) = π 5π = 6π 5π = π [π]. d. alcul de K : dans le triangle K rectangle en K, on a : sin ( π ) = K = K donc K =. insi, H = KH K =. ans le triangle H rectangle en H, on a : tan ( π ) = H = = =. 70 a. π 5 omme est isocèle en, = H. e plus, dans le triangle H est rectangle en H : cos ( π 5 ) = H. onc = cos ( π 5 ). K désigne le pied de la hauteur issue de dans le triangle. omme est isocèle en, = K. e plus, dans le triangle K rectangle en K, cos ( π 5 ) = K. onc = cos ( π 5 ). K π 5 π 5 b. Le triangle étant isocèle en : π 5 π 5 mes () = (π π 5 ) = π 5 rad. () étant la bissectrice de l angle : mes () = mes () = π 5 rad. ans ce triangle, mes () = π, et dans 5 le triangle, mes () = π car la somme des 5 mesures des trois angles d un triangle est égale à π. c. H H désigne le pied de la hauteur issue de dans le triangle. π 5 9 désigne le pied de la hauteur issue de dans le triangle. omme est isocèle en, =. e plus, dans le triangle rectangle en, cos ( π 5 ) =. onc = cos ( π 5 ) = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) En outre, comme mes () = mes () le triangle est isocèle en, donc =. omme mes () = mes (), le triangle est isocèle en donc = insi, on a : = cos ( π 5 ) = cos ( π 5 ) = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) d. omme > 0, on a = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ). omme = + et = : cos ( π 5 ) = + cos ( π 5 ). onc = ( cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) ). r > 0 donc = cos ( π 5 ) cos ( π 5 ) argo de S Livre du Professeur

30 ngles orientés et trigonométrie n obtient le système : cos ( π 5 ) sin ( π 5 ) = cos ( π 5 ) sin ( π 5 ) =. e. e plus, (a + b) (a b) = ab onc en posant a = cos ( π 5 ) et b = cos ( π 5 ), on a : (a + b) = + ( ) = 5. omme π 5 ] 0, π [ et π 5 ] 0 ; π [, a > 0 et b > 0, donc a + b > 0. insi, a + b = 5. e plus, a b =. onc a = 5 + et b = 5 7 après la relation de hasles : mes (E, ) = mes (E, ) + mes (, ) + mes (, ) = π + π 5π = 8π + 9π 5π = π = π rad. onc les points, E, sont alignés. 7 après la relation de hasles : mes (E, ) 7 = mes (E, ) + mes (, ) + mes (, ) = π + ( π ) + π 5π 0π + π = = 8π [π].. E H 7 a. omme le cercle a pour rayon 00 m : mes (, N) = N rad où N est la longueur de 00 l arc N. e plus, N = 00 (d d N ) où d et d N désignent les distances parcourues respectivement par le coureur et le coureur N. e la relation : d = v t, on déduit que : mes (, N) = 00 t(v v ) N t = (v v ) N b. n a : 00 =,5 v 00 = 50 (v v N ) v = 00 = 8 m. s. onc,5 v N = v = 6 m. s E π 7π π. après la relation de hasles : mes (, E) = mes (, ) + mes (, ) + mes (, E) = π + 7π + ( π ) = π π π = π π π = π [π] donc les droites () et (E) sont parallèles. 6. après la relation de hasles : mes (F, ) = mes (F, F) + mes (F, ) = π + mes (, ) = π + π = π rad π F ans le triangle EH rectangle en H : sin ( π) = EH E donc EH = 6 sin ( π). onc EF = sin ( π) 5,5 m. argo de S Livre du Professeur 0 F onc les droites () et (F) sont perpendiculaires. 76 Étant donnés trois points, et alignés, on construit le cercle circonscrit au triangle. Pour cela, on construit les médiatrices de deux segments, par ex. [] et [] ; ils se coupent en le centre du cercle circonscrit.

31 ngles orientés et trigonométrie a. Les points tels que mes (, ) = mes ((, ) sont les points de l arc de cercle contenant le point. b. Les points tels que : mes (, ) = mes (, ) sont les points de l arc de cercle ne contenant pas le point. 77 a. Les points,, et,, étant alignés, les droites () et () étant parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : = =. onc = donc est le milieu de []. b. ans le triangle rectangle en (car [] est un diamètre du cercle et un point de ce cercle), on a : cos (a) =, donc = cos (a) c. ans le triangle H rectangle en H, cos (a) = H donc H = cos (a) = cos (a). insi, H = H = cos (a) d. L angle inscrit et l angle au centre interceptent le même arc de cercle. onc mes () = a. ans le triangle H rectangle en H, cos (a) = H donc H = cos (a) Par conséquent : H = cos (a) et H = cos (a). onc cos (a) = cos(a) + puis sin (a) = cos (a) = cos(a). e. cos ( π cos( π 8 ) = 8 ) + = (cos ( π ) + ) = ( + ) = + et sin ( π 8 ) = omme cos ( π 8 ) > 0 et sin ( π 8 ) > 0 ( π 8 ] 0 ; π [), cos ( π 8 ) = + et sin ( π 8 ) =. cos ( π ) = (cos ( π + ) + ) = 6 et sin ( π ) = ( cos ( π )) =. 6 omme cos ( π ) > 0 et sin ( π ) > 0, ( π ] 0 ; π [), cos ( π + ) = et sin ( π ) =. 78. Huit sphères de dimension identique sont tangentes à la neuvième. insi, l angle a représenté ci-dessous est tel que 8 a = π, donc a = π 8. a T = r ans le triangle T rectangle en T, sin a = 'T ' donc T = sin a ; donc r = sin ( π 8 ).. ans le triangle rectangle en, l égalité de Pythagore s écrit : = + donc (R + r) = (R r) + donc = (R + r) (R r) = Rr. a. r = sin ( π n a : 8 ) = rr r donc π = rr ; donc r sin R = sin ( π 8 ). 8 b. r R 0,59. T argo de S Livre du Professeur

32 Vecteurs ctivités d introduction En équilibre R G T P omète. h =, 8(0,5 ı + 0,5 ) 0, ( 0,5 ı + 0,5 ) =, ı + 0,7 + 0, ı 0, =, 5 ı + 0,5. ans le repère terrien, on a h (, 5 ; 0,5).. a. u = 0,5 ı + 0,5 u = 0,5ı + 0,5 u = 0,5ı + 0,5 u = 0,5ı + 0,5 v = 0,5ı + 0,5 v = 0,5ı + u + v =,5 = 0,8u +, 6 v u = 0,5ı + 0,5 (0,8 u +,6 v) u = 0,5 ı + 0, u + 0, v 0,8 u 0, v = 0,5 ı ı =,6 u 0,8 v = 0,8 u +,6 v = 0,8 u +,6 v = 0,8 u +,6 v = 0,8 u +,6 v b. h =,5(,6 u 0,8 v)+,5(0,8 u +,6 v)= u v + u + v = u + v. ans le repère de la station, on a h ( ; ). ontgolfière... a. arte au trésor a. b. F b d c a F d d F b c a b c a S T P G v w u b. n remarque que F est la translatée de F par la translation de vecteur v. c. ppliquer successivement deux translations de vecteurs u et v revient à appliquer la translation de vecteur u + v. argo de S Livre du Professeur c. ST = SG = ( v + u) = u + v. d. T = S + ST = w + SG = w + ( v + u) = u + v + w.

33 Vecteurs Savoir Faire c. = = + = + = (u v) + (u + v) = u + 5v. parallélogramme = et EF parallélogramme = EF. n en déduit que = EF et donc, que FE est un parallélogramme. 5 a. = E + E (Relation de hasles). E = E car E est le milieu de []. où = E + E. b. + = + ( parallélogramme). = (Relation de hasles). = E (E milieu de []) J = + J (Relation de hasles) (). = ( milieu de []). J = (J milieu de []). En remplaçant dans (), on obtient : J = + =. 9 N = + N (Relation de hasles) = + (énoncé) = ( + ) = ( + ) (énoncé) =. J Les vecteurs N et sont colinéaires. Les droites (N) et () sont donc parallèles. 0 P = + P (Relation de hasles). P = + (énoncé). P = + ( parallélogramme). P = + P = ( + P) = P. Les vecteurs P et P sont colinéaires. Les points, et P sont donc alignés. a. dét (u, v) = ( ) (, 5) = 0. u et v sont colinéaires. b. dét (u, v) = ( ) 6 = et 0. u et v ne sont pas colinéaires. a. ( ; ), (6 ; ). dét (, ) = 0 donc () // (). b. ( ; 5), (6 ; ). dét (, ) 0 donc () et() ne sont pa parallèles. 5 a. u ( ; 0), v ( ; ). b. dét (u, v) 0 donc u et v ne sont pas colinéaires. ls constituent donc une base. c. u = v = ı + = u ı = u + v. 6 a. Les droites () et () ne sont pas parallèles. Les vecteurs et ne sont pas colinéaires et constituent donc une base. b. (0 ; 0), ( ; 0), ( ; ), (0 ; ) et ( ; ). x E = ( ) ( + c. E = + y E = ( ) ( + ). où : E( ; ). ) argo de S Livre du Professeur