GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES

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1 GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES Géométrie analytique C est Descartes ( ) qui a développé l idée de représenter les figures géométriques dans un repère, les points du plan étant définis par leurs coordonnées (x,y), l abscisse et l ordonnée. Si les deux axes sont perpendiculaires, le repère est dit «orthogonal», si de plus on a choisi les mêmes unités sur les deux axes, le repère est «orthonormé». Un ensemble de points est alors défini par une relation entre les coordonnées. Ainsi, dans un repère orthonormé, l ensemble des points du plan dont l abscisse x et l ordonnée y vérifient x²+y²=25 est le cercle centré en l origine du repère et de rayon 5. M 10 M 3 M K M 1 M 7 M 5 M 11 H oo M 9 M 8 M 6 M 4 M 2 M 12 Montrons qu un point de ce cercle vérifie l équation : Soit M(x,y) un point de ce cercle, soient H et K ses projetés orthogonaux sur les axes des abscisses et des ordonnées. H a pour coordonnées (x, 0) et K(0, y). En applicant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM, on obtient x²+y²=25. (On admet que la réciproque est vraie, c'est-à-dire que les points vérifiant la relation sont tous éléments du cercle). Equations de droites Exemple Soient A(-1 ; 2) et B(3 ; 1) deux points repérés dans un repère (O; i, j ), on cherche quelles relations lient les abscisses et les ordonnées des points alignés avec A et B, c'est-à-dire l équation de la droite (AB). Soit M(x ; y) un point du segment [AB].

2 On peut appliquer le théorème de Thalès aux droites (AB) et (OJ) sécantes et aux diverses parallèles à l axe (OI). On obtient : ab a b = am a m. Donc ab a m =am a b, d où 4(2-y)=1 (x ( 1)) C est à dire : 8 4y=x+1, donc x+4y 7=0. On admet qu on parviendrait à la même relation si M appartenait à (AB) [AB]. A a' m' M b' J B a Oo mi b Cas général On admet que toute droite est caractérisée par une équation du type : ux+vy+w=0. Si v est nul la droite est parallèle à l axe des ordonnées. Si v n est pas nul, on peut transformer l équation sous la forme : y=ax+b. a s appelle le coefficient directeur de la droite, b est l ordonnée à l origine. Propriétés Si a est nul, la droite est parallèle à l axe des abscisses. Si deux droites ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles. Si deux droites ont des coefficients directeurs a et a tels que a a = 1, elles sont perpendiculaires.

3 Si b=0, la droite passe par l origine. Si le coefficient directeur est strictement positif, la droite a l allure suivante : Si le coefficient directeur est strictement négatif, la droite a l allure suivante : Plus généralement : a>1 a=1 0<a<1 a=0-1<a<0 a<-1 a=-1

4 Comment tracer une droite sont on connaît une équation? Exemple Soit D la droite d équation : y = 2x 3. L ordonnée à l origine est -3, donc le point de coordonnées (0, 3) est un point de la droite. Il suffit de trouver un deuxième point en choisissant une valeur pratique pour x. (pratique pour le calcul et suffisamment éloignée de 0 pour que les deux points soient assez écartés pour faciliter le tracé). On prend par exemple 3, on calcule 2 3 3=3, donc le point de coordonnées (3,3) appartient à la droite. Comment trouver une équation d une droite dont on connaît deux points? Exemple Soit D la droite passant par A(2,4) et B( 3,2). Cette droite n est pas parallèle à l axe des ordonnées car A et B n ont pas la même abscisse, donc elle a une équation du type y=ax+b. On remplace x et y par les coordonnées de A puis par celles de B et on obtient un système permettant de déterminer a et b. Pour le point A : 4 = 2a+b Pour le point B : 2 = 3a+b La résolution du système nous donne : a = 2/5 et b = 16/5. Quelques formules de géométrie analytique Si A a pour coordonnées (a,a ) et si B a pour coordonnées (b,b ), le milieu de [AB] a pour coordonnées ( a+a 2, b+b 2 ). La distance AB est obtenue par le calcul ( a a')² + ' b b' )². (on le démontre aisément à l aide du théorème de Pythagore) Le centre de gravité d un triangle a pour coordonnées les moyennes arithmétiques des coordonnées des trois sommets du triangle.

5 Un exemple d utilisation : droites remarquables On considère les points A(-2 ; 1), B(1 ; 4) et C(3 ; -1). 1. Quelle est la nature du triangle ABC? 2. Déterminer les équations des droites (AB), (AC) et (BC), 3. Déterminer les équations des hauteurs du triangle. 4. Déterminer les équations des médiatrices du triangle 5. Déterminer les coordonnées de l orthocentre K, du centre du cercle circonscrit I et du centre de gravité G de ABC. 6. Montrer KG = 2GI. B C' H K A' A G I o B' C 1. AC² = (3-(-2))²+(-1-1)² = 29 et BC² = (3-1)²+(-1-4)² = 29 donc AC=BC, le triangle est isocèle en C. 2. (AB) a pour équation y=ax+b avec 1=-2a+b et 4=1a+b, d où a=1 et b=3. Une équation de (AB) est donc y = x+3. De même pour (AC), on trouve : y = -0,4 x + 0,2 et pour (BC) : y = -2,5 x + 6,5. 3. La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC), son coefficient directeur est donc - 1/(-2,5), c'est-à-dire 0,4. Son équation est donc du type : y = 0,4 x + b. Elle passe par A, donc 1 = 0,4 (-2) + b. Donc b = 1,8. On procède de même pour la hauteur issue de B et on trouve : y = 2,5 x + 1,5 et pour la hauteur issue de C : y = - x La médiatrice de [AB] est déjà connue car le triangle est isocèle. La médiatrice de [BC] est parallèle à la hauteur issue de A, elle a donc le même coefficient directeur : 0,4. Elle passe par le milieu A de [BC] dont les coordonnées sont ((1+3)/2,(4-1)/2), donc (2 ; 1,5). On en déduit l équation : y = 0,4 x + 0,7.

6 On procède de même pour la médiatrice de [AC], elle a pour coefficient directeur 2,5 et passe par le point B (0,5 ; 0), son équation est donc : y = 2,5 x - 1, Les coordonnées de K vérifient les équations de deux hauteurs, donc le système y = 0,4 x + 1,8 et y = - x + 2. On en déduit que K a pour coordonnées (1/7 ; 13/7). On procède de même pour I, ses coordonnées vérifient y = - x + 2 et y = 0,4 x + 0,7. D où I(13/14 ; 15/14). Le centre de gravité de ABC a pour coordonnées ((-2+1+3)/3, (1+4-1)/3), donc (2/3,4/3). 6. KG² = (2/3-1/7)²+(4/3-13/7)² = (11² + 11²)/21² donc KG = 11 2 /21 GI² = (13/14-2/3)² + (15/14-4/3)²= (11² + 11²)/42² donc GI = 11 2 /42. Donc KG=2GI.

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