TS - Maths - Bac blanc - Correction Spécialité SVT-Physique

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1 TS - Maths - Bac blanc - Correction Spécialité SVT-hysique Exercice 1 5 points Des probabilités Commun à tous les candidats Dans un laboratoire, se trouve un atelier nommé «L école des souris». Dès leur plus jeune âge, les souris apprennent à effectuer régulièrement le même parcours. Ce parcours est constitué de trappes et de tunnels que les souris doivent emprunter pour parvenir à croquer une friandise. lus la souris effectue le parcours, plus elle va vite. Une souris est dite «performante» lorsqu elle parvient à effectuer le parcours en moins d une minute. Cette «école» élève des souris entraînées par trois dresseurs : 48% des souris sont entraînées par Claude, 16% par Dominique et les autres par Éric. Après deux mois d entraînement, on sait que : parmi les souris de Claude 60% sont performantes; 20% des souris de Dominique ne sont pas encore performantes; parmi les souris d Éric, deux sur trois sont performantes. On choisit au hasard une souris de cette «école». On note C, D, E et les évènements suivants : C : «la souris est entraînée par Claude»; D : «la souris est entraînée par Dominique»; E : «la souris est entraînée par Éric»; : «la souris est performante». 1. a. Déterminer pc, pe, p D et pe. On a pc = 0,48, pe = 1 0,48 0,16 = 0,6. p D = 0,2 et pe = 2. b. Traduire l énoncé à l aide d un arbre pondéré. 0,48 C 0,6 0,4 0,16 D 0,8 0,2 0,6 E 2 1 TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 1/8

2 2. Déterminer la probabilité de l évènement «la souris est entraînée par Claude et est performante». La probabilité cherchée est : pc = 0,48 0,6 = 0,288.. Démontrer que la probabilité pour une souris d être performante est de 0, 656. C, D et E forment une partition de l univers, d après la loi des probabilités totales : p = pc +pd +pe = 0,288+0,16 0,8+0,6 2 = 0,656. our les questions suivantes, on arrondira les résultats au millième. 4. On choisit au hasard une souris parmi celles qui sont performantes. Quelle est la probabilité que cette souris soit entraînée par Dominique? p D On cherche p D = = 0,128 pd 0,656 0, our cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte. On choisit maintenant au hasard quatre souris de cette «école». On assimile ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité d obtenir au moins une souris performante? On considère l évènement on tire une souris. On a deux issues : Le succès S, la souris est performante avec ps = 0,656 L echec S, la souris n est pas performante avec ps = 1 0,656 On répète quatre fois ce tirage de façon identique, les expériences étant indépendantes entre elles tirage avec remise Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = px 1 = 1 px = 0. Avec la calculatrice on trouve : px 1 0,986. La probabilité d obtenir au moins une souris performante est d environ 0, 986. TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 2/8

3 Exercice 2 5 points Des complexes our les candidats n ayant pas choisi la spécialité maths On désigne par E l équation d inconnue complexe z. z 4 +4z = 0 1. Résolution dans C de l équation Z 2 +4Z +16 = 0 : On a une équation du second degré à coefficients réels. = = 16 = 4i 2 ; < 0 donc cette équation a deux solutions complexes conjuguées. Z 1 = 4+4i 2 = 2+2i et Z 2 = 2 2i 2. On désigne par a le nombre complexe égal à 2 +2i i. Calculer a 2 sous forme algébrique. On a a = 2 +2i = 2 +2i +i i i +i = 6+2 i+2 i 2 4 On a alors a 2 = 1+ i 2 = 1+2 i = 2+2i = 4+4 i 4 = 1+ i En déduire les solutions dans C de l équation z 2 = 2+2i. On écrira les solutions sous forme algébrique. On remarque que z 2 = 2+2i z 2 = a 2 z = a ou z = a Les solutions de cette équation sont donc : i et 2 2i.. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + iy où x R et y R, le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z = x iy. Démontrer que : our tous nombres complexes z 1 et z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2. z 1 z 2 = x 1 +iy 1 x 2 +iy 2 = x 1 iy 1 x 2 iy 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 ix 1 y 2 +x 2 y 1 z 1 z 2 = x 1 +iy 1 x 2 +iy 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 +ix 1 y 2 +x 2 y 1 = x 1 x 2 y 1 y 2 ix 1 y 2 +x 2 y 1 Ainsi : z 1 z 2 = z 1 z 2 1. Démontrer que : our tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, z n = z n. Soit n la propriété : z n = z n Initialisation On a z 1 = z = z 1, donc 1 est vraie. TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age /8

4 Hérédité On suppose qu à un rang k fixé, k est vraie c est à dire que z k = z k, montrons alors que k+1 est vraie c est à dire que z k+1 = z k+1 On a z k+1 = z k z d après la propriété précédente. z k+1 = z k z d après l hypothèse de récurrence. D où z k+1 = z k z = z k+1 Donc k+1 est vraie Conclusion D après le principe de récurrence, pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n : z n = z n. 4. Démontrer que si z est une solution de l équation E alors son conjugué z est également une solution de E. si z est une solution de l équation E alors z 4 +4z = 0 donc z 4 +4z = 0 donc z 4 +4z = 0 car le conjugué d une somme est la somme des conjugués. On a alors z 4 +4z = 0 donc z 4 +4z = 0 d après la propriété précédente. D où z 4 +4z = 0 d après la propriété 1 donc z est solution de E. Donc si z est une solution de l équation E alors son conjugué z est également une solution de E. En déduire les solutions dans C de l équation E. On admettra que E admet au plus quatre solutions. On a établi à la question 2. que les nombres a et a sont tels que a 2 = Z 1 et a 2 = Z 1. Comme par ailleurs on a dit que Z 1 est solution de l équation Z 2 +4Z +16 = 0, cela signifie que a a = 0, donc que a 4 +4a = 0, donc a est solution de E et de la même façon, a est aussi une solution de cette équation. En appliquant la propriété démontrée au début de cette question, on en déduit que les nombres a et a sont également des solutions à cette équation. Nous avons donc 4 solutions à l équation, qui sont distinctes : a = 1+i ; a = 1 i ; a = 1 i et a = 1+i, donc puisqu il y a au maximum 4 solutions à l équation, celle-ci ne peut avoir d autre solution que celles trouvées, et donc l équation E a été résolue. TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 4/8

5 Exercice 5 points Des suites Commun à tous les candidats Soit v n la suite définie par v 1 = ln2 et, pour tout entier naturel nnon nul, v n+1 = ln 2 e vn. On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul. On définit ensuite la suite S n pour tout entier naturel n non nul par : S n = n v k = v 1 +v 2 + +v n. k=1 Le but de cet exercice est de déterminer la limite de S n. artie A Conjectures à l aide d un algorithme 1. Recopier et compléter l algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de S n pour une valeur de n choisie par l utilisateur : Variables : n, k entiers S, v réels Initialisation : Saisir la valeur de n v prend la valeur ln2 S prend la valeur v Traitement : our k variant de 2 à n faire v prend la valeur ln2 e vn S prend la valeur S +v Fin our Sortie : Afficher S 2. A l aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de S n. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : n S n 2,4 4,6 6,9 9,2 11,5 1,8 En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite S n. D après les valeurs affichées il semble que la suite S n soit croissante. artie B Etude d une suite auxiliaire our tout entier naturel n non nul, on définit la suite u n par u n = e vn. 1. Vérifier que u 1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, u n+1 = 2 1 u n. On a u 1 = e v 1 = e ln2 = 2. our tout entier naturel n, u n+1 = e v n+1 = e ln2 e vn = 2 e v n donc u n+1 = 2 1 e vn = 2 1 u n. TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 5/8

6 2. Calculer u 2, u et u 4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. D après le résultat précédent : u 2 = = 2 ; u = 2 2 = 4 ; u 4 = 2 4 = Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n+1 n. Soit n la propriété : u n = n+1 n Initialisation : la relation est vraie pour n = 1 car u 1 = Hérédité : Supposons qu à un rang k fixék non nul, k est vraie c est à dire que u k = k +1 k montrons alors que k+1 est vraie c est à dire que u k+1 = k +2 k +1. On a u k+1 = 2 1 u k = 2 k k +1 = 2k +2 k k +1 = k +2 k +1 donc k+1 est vraie. Conclusion : On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, u n = n+1 n. artie C Etude de S n 1. our tout entier naturel n non nul, exprimer v n en fonction de u n, puis v n en fonction de n. our tout entier naturel n non nul, u n = e vn v n = lnu n. De la question précédente on peut écrire : v n = ln n+1 = lnn+1 lnn. n 2. Vérifier que S = ln4. S = v 1 +v 2 +v = ln2 ln1+ln ln2+ln4 ln = ln4 ln1 = ln4.. our tout entier naturel n non nul, exprimer S n en fonction de n. En déduire la limite de la suite S n. ; S n = v 1 +v 2 + +v n S n = ln2 ln1+ln ln2+ln4 ln+ +lnn lnn 1+lnn+1 lnn = lnn+1. On a lim n + 1 = + et lim lnn = + donc par composition lim S n = + La suite n + N + n + S n est divergente. TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 6/8

7 Exercice 4 5 points Q.C.M. Commun à tous les candidats Cet exercice est un QCM. Il n y a qu une réponse exacte. Aucune justification n est demandée. Sur votre copie, vous indiquerez le numéro de la question et la réponse choisie. 1 point sera attribué pour une bonne réponse, 0 point sera attribué pour une réponse fausse ou une absence de réponse. Les questions 1., 2. et sont indépendantes. 1. our tout réel x l expression e 5x e x est égale à : e 4x e x e 4x 1 e5x e x reuve : e 5x e x = e x+4x e x = e x e 4x e x = e x e 4x Dans le tétraèdre régulier ABCD on place I milieu de [AB], J sur [AC] tel que AJ = 2 AC et K milieu de [BD]. La section de ABCD par IJK forme un : Triangle Quadrilatère entagone reuve :. On considère la fonction f définie sur R par fx = x cos a. f est périodique de période : 2π 2π f n est pas périodique reuve : x+2π i. fx+2π = x+2πcos fx. Donc f n est pas 2π-périodique. ii. fx+ 2π = x+ 2πcos + 2π 9 fx. Donc f n est pas 2π -périodique. b. La dérivée de la fonction f sur R, notée f x est égale à : x sin cos x sin cos x sin reuve : f est dérivable sur R comme composée et produit de fonctions dérivables sur R. x On a f x = 1 cos +x 1 sin = cos x sin c. Soit F la primitive de la fonction f sur R qui vérifie F0 = 0. Son expression pour tout réel x est : Fx =... x2 x 2 sin 9cos +x sin autre proposition reuve : TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 7/8

8 i. gx = x2 x 2 sin est dérivable sur R comme composée et produit de fonctions dérivables sur R. On a g x = x sin + x2 2 1 cos fx. x ii. hx = 9cos +x sin est dérivable sur R comme composée, produit et somme de fonctions dérivables sur R. On a h x = 9 1 sin + sin +x 1 cos = x cos = fx. De plus h0 = 9 cos0+0 = 9 0. TS - Bac Blanc Spé SVT-hy Correction - age 8/8