TS MARINE DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS

Transcription

1 TS MARINE DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS DS1 18/09/2013 page 2 (étude de fonctions) DS2 08/10/2013 page 4 DS3 12/11/2014 page 8 DV 02/12/2014 page 13 DS 17/12/2014 page 14 Bac Blanc 13/01/2015 page 18 DV 03/02/2015 page 22 (probabilités) DS 11/03/2015 page 23 DV 03/04/2015 page 27 DS 13/05/2015 page 28 A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

2 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Pervenche, Turquoise 17/09/2014 1h30 UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. EXERCICE I : (14,5 points) Partie A : Lecture graphique On donne la courbe représentative d une fonction. On a tracé les asymptotes à la courbe et les tangentes en 0 ;0,5 et 0,5 ; Par lecture graphique : 1 Donner l ensemble de définition 2 Donner les limites aux bornes ouvertes de l ensemble de définition. 3 Donner les équations des asymptotes. 4 Dresser le tableau de variations de la fonction (tableau complet : limites, signe de la dérivée ) 5 Donner l équation de la tangente au point. 6 Donner les nombres dérivés 0 et 0,5 A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

3 Partie B : On admet que la courbe de la partie A représente la fonction définie par : = Les questions suivantes ont pour but de retrouver par des calculs et raisonnements appropriés certaines réponses de la partie A. 1 Justifier l ensemble de définition de la fonction. 2 a) Déterminer la fonction dérivée b) Etudier le signe de. En déduire le sens de variation de la fonction. 3 a) Déterminer : lim! lim " En déduire l existence d une asymptote. b) Déterminer lim! lim #$ %$ En déduire l existence d une asymptote. c) Etudier la position relative de la courbe et de la droite & d équation ' = 2 EXERCICE II : (5,5 points) On donne le tableau de variation d une fonction ( définie sur [0 ;2[ ]2 ;+ [. On note - sa courbe représentative ( ( Aucune justification n est attendue dans cet exercice. En exploitant ce tableau de variation : 1 Pour chacune des affirmations, préciser si elle est vraie ou fausse. a) ( 3 = 0 b) La tangente à - au point d abscisse 4 a pour équation ' = 5 c) L intervalle image de [3 ;+ [ par la fonction ( est ] 2 ;0] 2 Donner les limites aux bornes ouvertes de l ensemble de définition. 3 Donner les équations des asymptotes à la courbe -. 4 Donner l intervalle image de [3 ;7] par la fonction (. 5 Donner le nombre de solutions de l équation ( = 3. 6 Donner le tableau de signe de (. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

4 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine, Pervenche, Turquoise 08/10/2014 4h UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Chacun traitera l exercice III qui le concerne : Ex III SPECIALITE ou Ex III NON SPECIALITE L exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (5 points) On considère la fonction définie sur ] ;1[ ]1; + [ par : = 1² On note sa courbe représentative dans un repère du plan. 1 a) Déterminer la fonction dérivée. b) Etudier le signe de. 2 Déterminer la limite de la fonction en, puis en +. 3 Déterminer la limite de la fonction en 1. Interpréter graphiquement. 4 Dresser le tableau de variation de la fonction. 5 Etudier la position relative de la courbe par rapport à la droite D d équation ' = +2 6 Déterminer l abscisse du point de la courbe en lequel la tangente est parallèle à la droite D. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

5 EXERCICE II : (5 points) 1 On considère la fonction définie sur [0 ; ) par 3 4 a) Justifier que la fonction est bien définie sur )0 ; ) b) Montrer que, pour )0 ; ) on a : Etudier son signe. c) Calculer 567 #$ d) Dresser le tableau de variations de la fonction. 2 On considère la courbe d équation ' pour )0 ; ). On place 2 ;0. Soit 8 un point quelconque de, on note son abscisse. On veut déterminer la position du point 8 sur qui rend minimale la distance 8. a) Démontrer que la distance 8 est donnée par pour )0; ). b) En réinvestissant les résultats obtenus dans la question 1, déterminer la position du point 8 pour laquelle la distance 8 est minimale. On précisera les coordonnées de ce point M et la valeur exacte de cette distance minimale. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

6 EXERCICE III : (5 points) pour les élèves NON SPECIALITE MATHEMATIQUES On considère la suite 9 : définie par : 9 ; = 1! 9 :# = 29 : 2+39 : 1. Calculer 9 et a. A l aide la calculatrice, émettre des conjectures sur la suite 9 : 2. b. Montrer par récurrence que pour tout < de, on a : 9 : > c. Montrer que la suite 9 : est décroissante. 2. d. La suite 9 : est-elle convergente? 3. On considère la suite > : définie par : > : = 3. a. Calculer > ;,>,>. 3. b. Montrer que la suite > : est arithmétique de raison c. Exprimer > : en fonction de <. 4. a. En déduire que pour tout < de, on a : 9 : = 2 2+3< 4. b. Calculer la limite de la suite 9 :. 4. c. On considère l algorithme Variables < est un entier naturel, 9 est un réel. Initialisations Affecter à 9 la valeur 1. Affecter à n la valeur 0. Tant que 9 0,05 Traitement Affecter à 9 la valeur? #? Affecter à < la valeur < + 1. Fin tant que Sortie Afficher <. Donner l affichage obtenu. Aucun détail des calculs n est demandé Interpréter cette valeur affichée. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

7 EXERCICE IV : (5 points) Sujet National Juin 2013 Soit la suite numérique 9 : définie sur par : 9 ; = 2 et pour tout entier naturel n, 9 :# = : < a. Calculer 9,9,9! 9 B.On pourra en donner des valeurs approchées à 10 % près. 1. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite. 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 : < b. Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 :# 9 : = <+3 9 :. 2. c. En déduire une validation de la conjecture précédente. 3. On désigne par > : la suite définie sur par > : = 9 : <. 3. a. Démontrer que la suite > : est une suite géométrique de raison. 3. b. En déduire que pour tout entier naturel n, 9 : = 2 : +<. 3. c. Déterminer la limite de la suite 9 :. 4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : EF: : = D9 E EF; = 9 ; : ; H : = : < 4. a. Exprimer : en fonction de n. 4. b. Déterminer la limite de la suite H :. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

8 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Pervenche, Turquoise 12/11/2014 4h UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Chacun traitera l exercice IV qui le concerne : Ex IV SPECIALITE ou Ex IV NON SPECIALITE L exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (4,5 points) POUR TOUS Les trois questions sont indépendantes. 1. Dans le plan complexe, muni du repère orthonormé direct I ; 9JK ; >K, on considère les points A, B et D d'affixes respectives L M = 2 26, L N = 2! L O = a. Calculer l'affixe L P du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer l affixe du centre E du parallélogramme. 1. b. Soit F le point d affixe L Q = 4 6. Démontrer que les points B, D et F sont alignés. 2. On considère la suite 9 : définie par 9 : = Déterminer la limite de la suite 9 :. 3. Dans chaque cas, retrouver la proposition vraie. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Sur votre copie, recopiez le n et la proposition choisie. 3. a. On considère une fonction telle que, pour tout de ]0 ;+ [ : lim = 3 ; "; lim ; "; = + lim #$ = 3 lim = + #$ 3. b. La somme = : est égale à : U1 3 :# V U1 :# V : : A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

9 EXERCICE II : (5,5 points) POUR TOUS Partie A : Etude d une fonction auxiliaire On considère la fonction ( définie sur par ( = 2 +² 1. On donne la courbe - en annexe. 1. a) Calculer la dérivée et étudier son signe. b) Dresser le tableau de variation de la fonction (. Le calcul des limites n est pas demandé. 2. a) Montrer que l équation ( = 0 admet une unique solution dans [0;1] que l on notera α. b) Donner un encadrement de α d amplitude 0,01. c) Placer W sur le graphique. 3. Dresser le tableau de signe de la fonction ( sur. Partie B : Etude de la fonction X On considère la fonction définie sur ] ;0[ ]0; + [ par : = 1 3 U V Une partie de la courbe représentative est donnée en annexe. 1. a. Calculer. On retrouvera les informations données sur la copie d écran : 1. b. A l aide de la partie A, déterminer le signe de. 2. a. Etudier les limites de la fonction en 0. Interpréter graphiquement. 2. b. Etudier les limites de la fonction en et Dresser le tableau de variation de la fonction. 4. Démontrer que : W = W + W où W est la solution unique trouvée partie A 5. Déterminer une équation de la tangente à en son point Y d abscisse 1. On la note &. 6. Sur le graphique donné en annexe, tracer la droite, la ou les tangente(s) horizontale(s), puis la partie manquante de la courbe. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

10 EXERCICE III : (5points) POUR TOUS Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct I ; 9JK ; >K. On désigne par! Z les points d affixes L M = 6 ; L N = 1 6 À tout point 8 d affixe L distincte de 1 i, on associe le point 8 d affixe L telle que : L = 6L 1 L 1+6 Le point 8 est appelé image du point a. Calculer les affixes des points et I. 1. b. Déterminer l affixe du point \ ayant pour image le point \ d affixe Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l exercice (unité graphique 4 cm). 3. Montrer que l équation L = ]^% ^%#] En déduire l existence de points invariants. admet deux solutions que l on précisera. 4. a. Pour tout L de privé de 1 6, on pose L = +6' avec!' réels Montrer que : L '+1 +2'+1 = 1 +6²+'² +'+1² 1 +'+1² 4. b. Déterminer l ensemble _ des points 8 d affixe L tels que L soit réel. Tracer _. 5. Montrer que si le point 8 décrit la droite Z privée du point B, alors le point 8 appartient à une droite que l on précisera. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

11 EXERCICE IV: (5points) NON SPECIALITE On considère la suite 9 : définie par 9 ; = 0 et, pour tout entier naturel <, 9 :# 9 : 2<2 1. Calculer 9 et 9 2. On considère les deux algorithmes suivants : Algorithme 1 Algorithme 2 Variables n est un entier naturel u est un réel n est un entier naturel u est un réel Entrée Saisir la valeur de n Saisir la valeur de n Traitement u prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à n u prend la valeur u +2i +2 Fin Pour u prend la valeur 0 Pour i allant de 0 à n 1 : u prend la valeur u +2i +2 Fin Pour Sortie Afficher u Afficher u De ces deux algorithmes, lequel permet d afficher en sortie la valeur de 9 :, la valeur de l entier naturel < étant entrée par l utilisateur? 3. À l aide de l algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où < figure en abscisse et 9 : en ordonnée. n u n a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite 9 :? Démontrer cette conjecture. 3. b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l existence de trois réels `, a et b tels que, pour tout entier naturel n, 9 : `<²a<b. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l aide des informations fournies. Vous pourrez réinvestir les valeurs de 9 ;,9,9. L expression de 9 : que l on a obtenue est basée sur une conjecture. La question 4 a pour but de valider cette conjecture par une autre méthode. 4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite > : par : > : 9 :# 9 :. 4. a. Exprimer > : en fonction de l entier naturel <. En déduire que la suite > : est une suite arithmétique dont on précisera la raison. 4. b. On définit, pour tout entier naturel <, EF: : D> E > ; > > : EF; Démontrer que, pour tout entier naturel n, : <1<2 4. c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, : 9 :# 9 ;, puis exprimer 9 : en fonction de <. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

12 Exercice II Annexe Nom : y 4 C f x -1-2 C g -3-4 A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

13 MATHEMATIQUES TS Marine 28/11/2014 1H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE On considère la fonction définie sur par : = + +1 % Partie A - Étude d une fonction auxiliaire c Soit ( la fonction définie sur par ( = + 1. Calculer la dérivée de ( et étudier les variations de (. 2. Déterminer les limites de ( en + et en. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction ( 4. Montrer que l équation ( = 0 admet une solution unique α dans Justifier l encadrement 0,57 < W < 0, En déduire le signe de ( (x). Partie B - Étude de la fonction X 1. Déterminer la limite de f en a. Montrer que = + +1 % 2. b. Déterminer la limite de la fonction en 3. On admet que la fonction est dérivable sur. 3. a. Montrer que = (. % 3. b. Etudier le signe de 4. Dresser le tableau de variation de la fonction. 5. Montrer que W = 1 W f 6. Etudier la position relative de la courbe représentative et de la droite & d équation ' =. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

14 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Pervenche, Turquoise 17/12/2014 4h UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Chacun traitera l exercice IV qui le concerne : Ex IV SPECIALITE ou Ex IV NON SPECIALITE L exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (6 points) POUR TOUS D après Liban 2003 Partie A : Etude d une fonction auxiliaire c. La fonction ( est définie sur par : ( = Restitution organisée de connaissances : Prérequis : 567 #$ = +. Montrer : 567 %$ 2. Etudier les limites de la fonction ( en et en Etudier le sens de variation de la fonction ( sur, et donner son tableau de variation. = 0 4. Montrer que l équation ( = 0 admet dans une solution unique, notée α. Donner une valeur approchée à 10 % près de W 5. Etudier le signe de ( sur Partie B : Etude d une fonction X. La fonction est définie sur par : = 2 51 %. 1. Etudier le signe de sur. 2. Etudier les limites de en en et en a. Calculer, où désigne la fonction dérivée de. On montrera que = % ( 3. b. Etudier le signe de. 4. Dresser le tableau de variation de la fonction. 5. Démontrer l égalité : W = h2w 5i2 2W 7 A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

15 EXERCICE II : (5 points) POUR TOUS Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct I ;9JK ;>K d unité graphique 2 cm. On note 6 le nombre complexe de module 1 et d argument j 1. Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation suivante : L26hL 2L 34i On considère les points et Z du plan, d affixes respectives : L M 36 et L N Lk M a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes L M et L N 2. b. Montrer que et Z appartiennent à un même cercle Γ de centre I dont on déterminera le rayon. Placer les points et Z dans le plan muni du repère I ;9JK ;>K. 3. On considère l équation d inconnue z : 2L46 6L2 3. a. Démontrer que le nombre complexe 26 est la seule solution de cette équation. 3. b. On note le point d affixe 26. Placer le point. Démontrer que le quadrilatère IZ est un losange. 4 a. Ecrire le complexe m L Z L sous forme exponentielle complexe. 4. b. Calculer le complexe m n sous forme algébrique. 5. Déterminer et construire (E) ensemble des points M d affixe L du plan tels que : L26 pl 36p EXERCICE III : (4 points) POUR TOUS sujet national Juin 2012 Le plan est muni d un repère orthonormé. On considère une fonction dérivable sur l intervalle )3 ;2+. On dispose des informations suivantes : 0 1 La dérivée X de la fonction admet la courbe représentative ci-contre, notée q X r. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse exacte non justifiée ne rapporte aucun point. 1. Pour tout réel x de l intervalle )3 ;1+, C La fonction est croissante sur l intervalle )1 ; Pour tout réel x de l intervalle )3 ;2+, A Soit la courbe représentative de la fonction. La tangente à la courbe au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées 1 ;0 A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

16 EXERCICE IV: (5 points) NON SPECIALITE Nouvelle Calédonie Novembre 2014 On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par = On admettra que la fonction est dérivable sur l intervalle [0 ; + [. On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe C représentative de ainsi que la droite D d équation ' =. 1. Démontrer que la fonction est croissante sur l intervalle [0 ; + [. 2. Résoudre l équation = sur l intervalle [0 ; + [. On note W la solution. On donnera la valeur exacte de W puis on en donnera une valeur approchée à 10 % près. 3. On considère la suite 9 : définie par 9 ; = 1 et, pour tout entier naturel <, 9 :# = 9 : Sur la figure annexe 1, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points 8 ;,8,8 d ordonnée nulle et d abscisses respectives 9 ;, 9 et 9 Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite 9 :? 4. a. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0 9 : 9 :# W où W est le réel défini dans la question 2. b. Peut-on affirmer que la suite 9 : est convergente? On justifiera la réponse. 5. Pour tout entier naturel n, on définit la suite : par : : = D9 E = 9 ; : EF; a. Calculer ;, et. Donner une valeur approchée des résultats à 10 % près. b. Compléter l algorithme donné en annexe 2 pour qu il affiche la somme : pour la valeur de l entier n demandée à l utilisateur. c. Montrer que la suite ( : ) diverge vers +. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

17 ANNEXE EXERCICE IV : Annexe 1 : NOM : Annexe 2 : Entrée : Variables : Initialisation : Traitement : Sortie : < un entier naturel 9 et s sont des variables réelles < et 6 sont des variables entières 9 prend la valeur 1 s prend la valeur 9 6 prend la valeur 0 Demander la valeur de < Tant que... Affecter à 6 la valeur 6 1 Affecter à 9 la valeur... Affecter à s la valeur... Fin Tant que Afficher s A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

18 Lycée Saint Thomas d Aquin 13 janvier 2015 BAC BLANC DE MATHEMATIQUES : SERIE S 4 heures TS JAUNE - TS MARINE - TS PERVENCHE - TS TURQUOISE - TS VERTE Calculatrice personnelle autorisée (Chaque élève ne peut disposer que d une seule calculatrice. Le prêt est interdit) Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4 Ce sujet est composé de quatre exercices indépendants : Les exercices I, II et IV sont à traiter par tous les candidats. Pour l exercice III, chacun traitera celui qui le concerne : Exercice III : spécialité ou Exercice III : non spécialité Correction anonyme : n écrivez pas votre nom! Seulement votre numéro d anonymat La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. EXERCICE I : (5 points) Commun à tous les candidats Amérique du sud Novembre 2014 On considère la suite numérique 9 : définie sur par : 9 ; = 2 et pour tout entier naturel n, 9 :# = 9 :²+39 : Partie A : Conjecture 1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de 9 et Donner une valeur approchée à 10 %t près des termes 9 et 9 B 3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite 9 :. Partie B : Validation des conjectures On considère la suite numérique > : définie pour tout entier naturel n, par : > : = 9 : 3 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, > :# = > :² 2. Démontrer par récurrence que ; pour tout entier naturel n, on a : 1 > : 0 3.a. Démontrer que, pour tout entier naturel <, > :# > : = > : > : +1 3.b. En déduire le sens de variation de la suite > : 4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite > : converge? 5. On note l limite de la suite > : On admet que l appartient à l intervalle [ 1 ; 0] et vérifie l égalité : l = l ² Déterminer la valeur de l. 6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées? A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

19 EXERCICE II : (6 points) Commun à tous les candidats Asie Juin 2013 On considère les fonctions et ( définies pour tout réel x par : = et ( 1 %. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement et -, sont fournies ci-dessous (fig.1). Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes, tracées à l aide d un logiciel (fig.2). Fig.1 Fig. 2 Partie A Dans cette partie, on admet l existence de ces tangentes communes. On note D l une d entre elles. Cette droite est tangente à la courbe au point A d abscisse ` et tangente à la courbe - au point B d abscisse a. 1.a. Exprimer en fonction de ` le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A. 1.b. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe - au point B. 1.c. En déduire que a ` 2. Démontrer que le réel ` est solution de l équation Partie B La partie B peut être traitée indépendamment de la partie A On considère la fonction v définie sur par v a. Calculer les limites de la fonction v en et. 1.b. Calculer la dérivée de la fonction v, puis étudier son signe. 1.c. Dresser le tableau de variation de la fonction v sur. Préciser la valeur de v0. 2.a. Démontrer que l équation v 0 admet exactement deux solutions dans. 2.b. On note W la solution négative de l équation v 0 et w la solution positive de cette équation. À l aide d une calculatrice, donner les valeurs de W et w arrondies au centième. Partie C Dans cette partie, on démontre l existence de ces tangentes communes, que l on a admise dans la partie A. On note _ le point de la courbe d abscisse W et x le point de la courbe - d abscisse W (W est le nombre réel défini dans la partie B). 1. Démontrer que la droite _x est tangente à la courbe au point _. 2. Démontrer que _x est tangente à - au point F. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

20 EXERCICE III : (5 points) SPECIALITE A traiter sur la même feuille 1. Justifier que Quel est le reste dans la division euclidienne de 2 ;B par 7? 2. Démontrer que pour tout < N, 2 :# Justifier de même que En déduire que, pour tout entier naturel <, 5 :# Démontrer que pour tout < N, 5 :# +2 :# est divisible par 7. EXERCICE III : (5 points) NON SPECIALITE Antilles septembre 2014 On note l ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct I ;9JK ;>K On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe. Le graphique sera fait sur la feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. On considère la fonction qui à tout nombre complexe L associe L = L²+2L Calculer l image de par la fonction. 2. Résoudre dans l équation L = 5. Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l affixe est solution de l équation (A étant le point dont l affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents. 3. Soit ~ un nombre réel. On considère l équation L = ~ d inconnue L. Déterminer l ensemble des valeurs de ~ pour lesquelles l équation L = ~ admet deux solutions complexes conjuguées. 4. Soit (F) l ensemble des points du plan complexe dont l affixe L vérifie L 8 = 3. Prouver que (F) est le cercle de centre Ω 1 ;0 et de rayon 3. Tracer (F) sur le graphique. 5. Soit z un nombre complexe, tel que L = +6' où et ' sont des nombres réels. 5. a. Montrer que la forme algébrique de L est : ² ' '+2'. 5. b. On note (E) l ensemble des points du plan complexe dont l affixe L est telle que L soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites D 1 et D 2 dont on précisera les équations. Compléter le graphique en traçant ces droites. 6. Déterminer les coordonnées des points d intersection des ensembles (E) et (F). A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

21 EXERCICE IV : (4 points) Commun à tous les candidats Dans chaque cas, retrouver la proposition vraie. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Sur votre copie, pour chaque question, notez le n de la réponse choisie et la proposition choisie. Les quatre questions sont indépendantes. Question 1. On considère la fonction définie sur par = 1 2. La dérivée de la fonction est la fonction définie sur par : = 4 = 1 2 = 4. = 4 4 Question 2. On considère la suite 9 : est définie par 9 ; = et pour tout entier naturel n par la relation 9 :# = 0,959 : On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Retrouver lequel des quatre algorithmes convient. Algorithme 1 Algorithme 2 Variables,Y, sont des nombres Début de l algorithme Saisir la valeur de prend la valeur Pour Y variant de 1 à prend la valeur 0, Afficher Fin Pour Afficher Fin algorithme Variables,, sont des nombres Début de l algorithme Saisir la valeur de prend la valeur 0 prend la valeur Tant que < prend la valeur +1 prend la valeur 0, Fin Tant que Afficher Fin algorithme Algorithme 3 Algorithme 4 Variables Variables,Y, sont des nombres,y, sont des nombres Début de l algorithme Début de l algorithme Saisir la valeur de Saisir la valeur de prend la valeur prend la valeur Pour Y variant de 1 à Pour Y variant de 1 à prend la valeur 0, Afficher Fin Pour prend la valeur 0, Afficher Fin Pour Afficher Fin algorithme Fin algorithme Question 3. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct I ;9JK ;>K, et désigne le point d affixe 26. L ensemble des points 8 d affixe L tels que : L 26 = L est : Le milieu de [I] Le cercle de diamètre [I] Une droite parallèle à l axe I ;9JK Une droite parallèle à l axe I ;>K. Question 4. Le complexe 1 6 ;t est : un réel strictement positif un réel strictement négatif un imaginaire pur ni réel, ni imaginaire pur A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

22 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 03/02/ HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (14 points) d après Asie Juin 2013 Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième. Partie A Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B. 10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : A : «la boîte provient du fournisseur A» ; B : «la boîte provient du fournisseur B» ; S : «la boîte présente des traces de pesticides». 1. Traduire l énoncé sous forme d un arbre pondéré. 2. a. Quelle est la probabilité de l événement Z? 2. b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B? 4. Le grossiste paye 8 une boîte provenant du fournisseur A et 6 celle provenant du fournisseur B. Une remise de 2 par boîte est effectuée en cas de traces de pesticide. On nomme D la variable aléatoire désignant la dépense pour 1 boîte de thé prélevée au hasard dans le stock. 4. a. Déterminer sous la forme d un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire D. 4. b. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire D et l interpréter. Partie B Le gérant d un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans traces de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer la probabilité qu au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides. 4. Déterminer _. Interpréter la valeur obtenue. EXERCICE II : (6 points) d après Nouvelle Calédonie Novembre 2010 Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges. On effectue deux tirages successifs d une boule en respectant la règle suivante : Si la boule tirée est rouge, on la remet dans l urne ; si elle est verte, on ne la remet pas. 1 En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des événements suivants : B : «seule la première boule est verte» C : «une seule des deux boules tirées est verte» 2 Sachant que l on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée? A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

23 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Pervenche, Turquoise 11/03/2015 4h UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Chacun traitera l exercice IV qui le concerne : Ex IV SPECIALITE ou Ex IV NON SPECIALITE L exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (5 points) Amérique du Nord juin 2013 Soit la fonction définie sur l intervalle ]0 ; ) par # T On nomme la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan. La courbe est donnée ci-contre. 1. a. Étudier la limite de en 0. ln x b. Que vaut lim? En déduire la limite de la fonction en. x + x c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe. 2. a. On note la fonction dérivée de la fonction sur l intervalle +0 ; ). Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l intervalle +0 ; ), 12ln 3 b. Résoudre sur l intervalle +0 ; ) l inéquation 12ln = 0. En déduire le signe de sur l intervalle +0 ; ). c. Dresser le tableau des variations de la fonction. 3. a. Démontrer que la courbe a un unique point d intersection avec l axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. b. En déduire le signe de sur l intervalle +0 ; ). 4. Pour tout entier < = 1, on note Y : l aire, exprimée en unités d aires, du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe et les droites d équations respectives et <. a. Démontrer que : 0 C Y C. On admet que la fonction F, définie sur l intervalle +0 ; ) par x %% T, est une primitive de la fonction sur l intervalle +0 ; ). b. Calculer Y : en fonction de <. c. Démontrer que la limite de Y : est égale à. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

24 EXERCICE II : (5 points) Liban 2014 Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. On considère la suite de nombres complexes L : définie par L ; = 3 6 et pour tout entier naturel n : L :# = 1+6 L :. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose 9 : = L : 1. Calculer 9 ;. 2. Démontrer que (9 : ) est la suite géométrique de raison 2 et de premier terme Pour tout entier naturel n, exprimer 9 : en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (9 : ). 5. Étant donné un réel positif Š, on souhaite déterminer, à l aide d un algorithme, la plus petite valeur de l entier naturel < telle que 9 : >Š. Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l entier n. Variables : 9 est un réel Š est un réel, < est un entier Initialisation : Affecter à < la valeur 0 Affecter à 9 la valeur 2 Entrée : Demander la valeur de Š Traitement : Sortie : Partie B 1. Déterminer la forme algébrique de L. 2. Déterminer la forme exponentielle de L ; et de 1+6. En déduire la forme exponentielle de L. 3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos j. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

25 EXERCICE III : (5 points) La courbe ci-contre, notée, est la courbe représentative dans un repère orthonormé de la fonction ( définie sur Ž0 ; j par ( sin. est le point de coordonnées 1;0 et 8 est un point quelconque de, d abscisse. Le but de l exercice est de trouver la position de 8sur pour laquelle la distance 8 est minimale. 1 Démontrez que 8 1 sin 2 On considère la fonction définie sur Y Ž0 ; j par 1 sin² a) Calculez, pour tout de Y, et. On montrera que 4 cos² b) Déduisez de la question précédente les variations de la fonction et dressez son tableau de variation. c) Démontrez qu il existe un unique réel W de Y pour lequel W 0 d) Donnez un encadrement de W d amplitude 10 % e) Dressez le tableau de signe de la fonction, puis le tableau de variation de la fonction. 3 a) Justifiez que les fonctions et ont les mêmes variations sur Y Ž0 ; j. b) Déterminez les coordonnées de 8 pour lesquelles la distance 8 est minimale. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

26 EXERCICE IV : (5 points) NON SPECIALITE d après Polynésie Juin 2012 On désigne par x un réel appartenant à l intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d un losange et les autres ont leurs faces marquées d une étoile. Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d un cercle, % ont leurs faces marquées d un losange et les autres ont leurs faces marquées d une étoile. Partie A : expérience 1 On tire au hasard un cube de l urne. On considère les événements B : le cube est bleu R : le cube est rouge C : le cube est marqué d un cercle L : le cube est marqué d un losange E : le cube est marqué d une étoile. 1. Démontrer que Š _ = 0,8 0,01 2. a. Démontrer que Š = 0,32 2. b. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d un losange est égale à 0,12 + 0, Déterminer pour que la probabilité de tirer un cube marqué d un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d une étoile. 4. Déterminer x pour que les évènements «tirer un cube bleu» et «tirer un cube marqué d un losange» soient indépendants. 5. On suppose dans cette question que = 50. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu il est marqué d un losange. Partie B : expérience 2 On tire au hasard, successivement et avec remise < cubes dans l urne. 1. Montrer que la probabilité d obtenir au moins un cube marqué d un cercle est égale à : 1 0,68 :. 2. Déterminer le plus petit entier < tel que la probabilité d obtenir au moins un cube marqué d un cercle soit supérieure ou égale à 0,99. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

27 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 03/04/ HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points 0; 4; 1,Z 1; 3; 0,2 ; 1 ; 2! & 7 ; 1 ; 4. D après Amérique du Nord Juin Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés Soit Δ la droite passant par le point D et de vecteur directeur 9JK 1 3 a. Démontrer que la droite Δ est orthogonale au plan Z. b. En déduire une équation cartésienne du plan Z. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ. d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite Δ et du plan Z. 3. Soit le plan d équation +'+L = 0 et le plan d équation +4'+2 = 0. a. Démontrer que les plans et sont sécants. b. Vérifier que la droite, intersection des plans et, a pour représentation paramétrique = 4! 2 ' =!! L = 3! +2 c. La droite et le plan Z sont-ils sécants ou parallèles? 4. Montrer que cosz = š En déduire la valeur à 1 près de Z 5. On admet que l aire du triangle Z est égale à 14 9.`. Déterminer le volume du tétraèdre Z&. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

28 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Jaune, Marine, Pervenche, Turquoise 13/05/2015 4h UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Chacun traitera l exercice IV qui le concerne : Ex IV SPECIALITE ou Ex IV NON SPECIALITE L exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (6 points) Antilles Septembre 2014 Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D expérience, le concepteur sait que 9 % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. À l issue des tests, il est noté que 96 % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; 97 % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l issue des tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l entreprise. On note N l évènement : «la peluche répond aux normes en vigueur» ; A l évènement : «la peluche est acceptée à l issue des tests». Partie A 1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment. 2. Démontrer que la probabilité qu une peluche soit acceptée à l issue des tests est 0, Calculer la probabilité qu une peluche qui a été acceptée à l issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième. Partie B On considère que la vie d une peluche se termine lorsqu elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage... ). On admet que la durée de vie en années d une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre ~. 1. On sait que & 4 = 0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de ~. 2. On prendra ici ~ = 0,1733. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième. Partie C Un cabinet de sondages et d expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres et œ. Il apparaît que = 358 jours. 1. Soit = %tž. Quelle est la loi suivie par X? Ÿ 2. On sait que 385 = 0,975. Déterminer la valeur de œ arrondie à l entier le plus proche. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

29 EXERCICE II : (5 points) Pondichéry 2013 Partie 1 On s intéresse à l évolution de la hauteur d un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction «logistique» du type : `! 1a %;,;B où ` et a sont des constantes réelles positives,! est la variable temps exprimée en jours et! désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu initialement, pour! 0, le plant mesure 0,17 et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 27. Déterminer les constantes ` et a afin que la fonction corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie 2 On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction définie sur )0; 250+ par : 2! 119 %;,;B. 1. Déterminer! en fonction de!. En déduire les variations de la fonction sur l intervalle )0 ; Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m. 3. a. Vérifier que pour tout réel! appartenant à l intervalle [0 ; 250] on a! 2 0,04! 0,04! 19 Montrer que la fonction x définie sur l intervalle )0; 250+ par x! 50ln ;,;B 19 est une primitive de la fonction. 3. b. Déterminer la valeur moyenne de sur l intervalle )50 ; En donner une valeur approchée à 10 2 près et interpréter ce résultat. 4. On s intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t. En utilisant le graphique donné ci-dessous, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

30 EXERCICE III : (4 points) Antilles Juin 2010 On donne la représentation graphique d une fonction f définie et continue sur l intervalle Y = [ 3 ; 8+. On définit la fonction F sur Y par x =!!. ; 1. a. Que vaut x0? 1. b. Donner le signe de x : pour )0;4+ pour )3 ;0+ Justifier les réponses. 1. c. Faire figurer sur le graphique page 5/5 les éléments permettant de justifier les inégalités : 6 C x4 C a. Que représente pour x? 2. b. Déterminer le sens de variation de la fonction x sur Y. Justifier la réponse à partir d une lecture graphique des propriétés de. 3. On dispose de deux représentations graphiques sur Y. Courbe A Courbe B L une de ces courbes peut-elle représenter la fonction F? Justifier la réponse. A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

31 EXERCICE IV : (5 points) NON SPECIALITE Pondichéry Avril 2015 Soit un cube ABCDEFGH d arête 1. Dans le repère ;Z JJJJJK ;& JJJJJK ;_ JJJJJK, on considère les points 8, et de coordonnées respectives : 81 ;1 ; B, 0 ; ;1 1 ;0 ;%t B. 1. Placer M, N et P sur la figure donnée page 5/5. 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs 8 JJJJJJJK et 8 JJJJJJK. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés. 3. On considère l algorithme 1 ci-dessous. Algorithme 1 Algorithme 2 (à compléter page 5/5) Saisir,',L,,',L,,',L prend la valeur prend la valeur ' ' prend la valeur L L ( prend la valeur prend la valeur ' ' 6 prend la valeur L L prend la valeur g( g g6 Afficher Saisir,',L,,',L,,',L prend la valeur prend la valeur ' ' prend la valeur L L ( prend la valeur prend la valeur ' ' 6 prend la valeur L L prend la valeur g( g g6 3. a. Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus. 3. b. À quoi correspond le résultat affiché par l algorithme? Qu en déduire pour le triangle MNP? 4. On considère l algorithme 2 donné ci-dessus. Le compléter pour qu il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M. 5. On considère le vecteur <JK5 ;8 ;4 normal au plan (MNP). 5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP). 5. b. On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur <JK Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ. 6. Soit K le point d intersection du plan (MNP) et de la droite Δ. 6. a. Démontrer que les coordonnées du point K sont B š ;B t ; t. 6. b. On donne x\ š. Calculer le volume du tétraèdre 8 x. t A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

32 Annexe à rendre Exercice III NOM Exercice IV Saisir,',L,,',L,,',L prend la valeur prend la valeur ' ' prend la valeur L L ( prend la valeur prend la valeur ' ' 6 prend la valeur L L prend la valeur g( g g6 Algorithme 2 (à compléter) A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33

33 A.Berger TS Marine Année 2014/ / 33