Exercice IV.1 On rappelle que la définition du déterminant à partir des permutations est la suivante

Transcription

1 Eercices avec corrigé succinct du chapitre 4 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce tete sont bien définis dans la version écran complète du chapitre 4) Eercice IV. On rappelle que la définition du déterminant à partir des permutations est la suivante dét A = σ a σ() a σ()... a σ(n)n où la somme est faite sur toutes les permutations de l ensemble {,,...,n}. En utilisant cette définition, montrer que si une matrice est inversible, il eiste une permutation de ses lignes telle que tous les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls. Solution : La définition du déterminant à partir des permutations donne dét A = σ a σ() a σ()... a σ(n)n où la somme porte sur toutes les permutations de l ensemble {,,...,n}. Or si la matrice est inversible, son déterminant est non nul et il eiste donc au moins un élément de cette somme qui est non nul et qui correspond donc à une permutation ˆσ. Il suffit alors de permuter les lignes de la matrice A suivant la permutation ˆσ pour obtenir le résultat attendu. Eercice IV. Donner les matrices D, E et F correspondant à la décomposition A = D E F de la méthode de Jacobi dans le cas 0 A = Solution : D = E = F = Eercice IV. Quelle est, pour la méthode de Gauss-Seidel, la forme de la matrice du système permettant de calculer (k+) à partir de (k). Que pensez-vous de la résolution de ce système? Solution : La matrice D E est triangulaire inférieure. Le nombre de multiplications/divisions est de l ordre de n pour la résolution d un système triangulaire, ce qui est beaucoup moins important que les n de la méthode LU. Par contre, la diagonale de A ne doit pas comporter d éléments nuls.

2 Eercice IV.4 Soit la décomposition A = M N avec M inversible et la méthode itérative { (0) donné, M (k+) = N (k) + b. Donner une condition suffisante sur les matrices M et N pour que la suite (k) converge vers la solution de A = b. Solution : On a donc (k+) = M N (k) + M b, donc en reprenant les notations du paragraphe??, on a C = M N et d = M b. On utilise la proposition??. Si M N <, alors la suite (k) converge vers la solution unique de (I M N) = d M N = M b (M N) = b A = b. On remarque au passage que si M inversible, si M N <, alors la matrice A = M N est inversible, en effet il sufffit de reprendre la proposition??, A = M(I M N) est un produit de matrices inversibles. Eercice IV.5 Montrer que pour la dichotomie, le nombre d itérations nécessaires pour obtenir une précision inférieure b a à ɛ est supérieur ou égal à log ɛ. Solution : La méthode de la dichotomie est basée sur le fait que la solution de f() = recherchée appartient à une suite de segments emboités [a k b k ] pour k IN. Or la longueur de ces segments est donnée par l k = b a k. Ceci implique que a k l k. Pour que a n soit une approimation de avec un précision inférieure à ε, il suffit que l n ε soit b a b a n ε n log ε Eercice IV.6 Pour calculer la racine carrée d un nombre réel a > 0, on résout = a. Il eiste alors différentes manières de se ramener à un point fie : = a et g () = a, = + a, soit = a et g () = a, = + a et g () = + a.

3 Tracer les fonctions g i () et la bissectrice pour > 0. Prendre u 0 quelconque et construire graphiquement la suite u k+ = g i (u (k) pour k > 0. Conclusion? Solution : Vous pouvez vous aider de SCILAB pour tracer graphiquement la courbe g(), la bissectrice et les points (u k,g(u k ). Voir sur la figure un eemple de ce qui vous pourriez obtenir pour g y y=g () y= u 0 u Fig. Point fie Il est facile de calculer dans le cas de g la suite des itérés. En effet u 0 donné, u = a u 0, u n = u 0 u n+ = u,n =,,... La suite prend successivement les valeurs u 0 et u et ne converge donc pas. Voir sur la figure un eemple de ce qui vous pourriez obtenir pour g Le tracé que vous avez effectué pour g vous montre que la suite u k diverge. Voir sur la figure un eemple de ce qui vous pourriez obtenir pour g Le tracé que vous avez effectué pour g vous montre que la suite u k se rapproche de la solution. Après avoir étudié les théorèmes sur la convergence d une telle suite, vous pourrez démontrer qu elle converge. Eercice IV.7 Soit g : [a,b] [a,b], continument dérivable, telle que g () k <, [a,b]. On suppose que g admet deu points fies dans [a,b]. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis, que l on arrive à une contradiction. Solution : Le raisonnement se fait par l absurde en supposant qu il eiste deu points fies distincts et ˆ distincts dans [a,b]. Alors, le théorème des accroissements finis donne g( ) g(ˆ) = ( ˆ)g (ξ),

4 y y= y=g () y= u 0 u u u y y=g () Fig. Point fie y= u 0 u 4 u u u Fig. Point fie où ξ est compris entre et ˆ et donc appartient à [a,b]. Alors ˆ = g( ) g(ˆ) = ˆ g (ξ) < ˆ ce qui est absurde! 4

5 Eercice IV.8 Pour calculer la racine de = 0 sur [, + ], on pose g() = pour appliquer une méthode de point fie = g(). Montrer que la suite n+ = g( n ), avec 0 [, + ], converge vers un unique point fie [,]. Solution : Pour appliquer la proposition?? il suffit de démontrer que l application g va de [,] dans lui-même et que sa dérivée est bornée par une constante strictement inférieure à sur cet intervalle. Faites un tableau de variation de la fonction g sur [,] et vous démontrerez la première partie sans problème. Quant à la dérivée g () =... Eercice IV.9 Soit une suite ( n ) convergeant vers. On suppose que n+ n k n n où k <.. Montrer que. En déduire que, pour p > n, n+ n k n 0. p n (k p k n ) 0.. Après avoir calculé la somme du membre de droite, faites tendre p vers l infini pour obtenir n kn k 0. Solution :. Inégalité évidente en itérant l inégalité de l hypothèse.. On écrit p n = p p + p... n+ + n+ n on prend les valeurs absolues, on utilise l inégalité triangulaire, puis la majoration précédente.. On a k p k n+ + k n = k n (k p n k + ) = k n kp n k ce qui donne p n k n kp n k 0. On passe alors à la limite quand p tend vers + sur les deu membres de l inégalité (le passage à la limite conserve l inégalité). Alors, puisque k < lim p + kp n = 0 et, par hypothèse, lim p + p =, ce qui donne le résultat. Eercice IV.0 On reprend la fonction g() = dont l unique point fie de [,] est racine du trinôme = 0. Soit 0 = 0, calculer le nombre d itérations de point fie n nécessaires pour obtenir 5

6 une précision inférieure à ɛ = 0 pour le calcul de. Vérifier votre résultat en calculant les n premiers itérés de la méthode de point fie. Solution : On utilise les résultats des eercices?? et??, ce qui donne On obtient donc n k n k 0, avec k =. =, kn k 0 = ( ) n, n Il suffit donc d avoir ( ) n ( ) ɛ n ln ln ɛ n 8. ( ) n. Eercice IV. Soit la courbe y = f(). Ecrire l équation de la tangente à cette courbe au point d abscisse = n. Donner alors l abscisse du point d intersection de cette tangente avec l ae O. Montrer que l on retrouve ainsi une itération de la méthode de Newton. Pour illustrer graphiquement et numériquement cette méthode, tracer et calculer deu itérations avec f() = et 0 =. Solution : L équation de la droite tangente est évidemment L intersection avec l ae O donne y = f ( n )( n ) + f( n ). 0 = f ( n )( n+ n ) + f( n ), ce qui redonne la méthode de Newton lorsque l on en etrait n+. Le calcul de et donne = 4 =, = 4 = 7. Eercice IV. Soit la fonction f() = cos. Montrer qu elle admet une racine sur [0,π/]. Calculer trois itérations de la méthode de Newton en partant de 0 = π/4 puis avec 0 = 0. Conclusion. Solution : Puisque f(0)f( π ) < 0 la fonction f admet au moins une racine sur [0, π ]. Utiliser alors une calculatrice pour calculer trois itérations de la méthode de Newton en partant de π 4 puis de 0. Eercice IV. Écrire l équation de la droite passant par les points ( n,f( n )) et ( n,f( n )). Donner l abscisse n+ de l intersection de cette droite avec l ae O. Montrer que l on retrouve l équation de la sécante. Solution : L équation de la droite (pour ceu qui auraient un trou de mémoire) est donnée par y f( n ) n = f( n+) f( n ) n+ n. Annuler alors y et tirer n+ pour retrouver l équation de la sécante. 6

7 Eercice IV.4 Tracer une courbe convee qui coupe l ae O en un point. Considérer deu points 0 et qui entourent ce point. Effectuer alors graphiquement quelques itérations de la méthode de la sécante (modifiée) de telle sorte que la sécante passe toujours par deu points qui entourent. Remarquez alors que soit 0, soit est toujours pris en compte dans toutes les itérations. Solution : Comme on le voit sur la figure 4, la suite construite par la méthode de la sécante modifiée y y=f() 0 Fig. 4 Méthode de la sécante modifiée est obtenue successivement avec les couples 0, puis, 0 puis, 0, chacun des couples encadre la racine. Par la méthode de la sécante simple, à partir de 0, on aurait construit, ( le même! ) puis à partir de, on aurait construit un qui n est pas. Eercice IV.5 On considère les deu équations non-linéaires + ( ) = 4, + = 0. Ecrire une étape de la méthode de Newton. Prenez un vecteur (0) et calculez le vecteur (). Solution : Donnons d abord la fonction f et sa matrice jacobienne { f() = + ( ( ) ) 4 ( + Df() = ) Alors on peut calculer () en fonction de (0) de la manière suivante : ( ( )) ( ) ( Df (0) (),(0) (0) () (0) = (0) ) ( ( ) ) + (0) 4 ( ) ( (0) (0) ) + 7