Identification des paramètres d une prise de vue

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Laurence Labbé
il y a 7 ans
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1 Identification des paramètres d une prise de vue Résumé Dans ce texte, on s intéresse à la détermination de la position et des réglages d un appareil de photographie à partir d une photo dont on a reconnu un certain nombre d éléments géographiques. On propose une modélisation mathématique du problème, ainsi qu une méthode numérique pour le résoudre. ce texte est extrait du polycopié d analyse numérique de Ernst Hairer http :// VI.4 Méthode de Gauss-Newton Dans ce paragraphe, on va s intéresser à des systèmes non linéaires surdéterminés. On considère une fonction où et on cherche une solution de. Evidemment, comme on a plus de conditions que d inconnues, ce problème ne possède en général pas de solution. On se contente donc de trouver un vecteur tel que Si est différentiable, la fonction est aussi différentiable et une condition nécessaire pour que soit un minimum local est d avoir, c.-à-d. Une possibilité pour résoudre (4.1) est d appliquer une méthode itérative, par exemple la méthode de Newton, au système (4.2). Ceci nécessite le calcul de la deuxième dérivée de. Une autre possibilité est de linéariser dans (4.1) autour d une approximation de la solution et de calculer de Une répétition de cette idée donne l algorithme suivant (méthode de Gauss-Newton) for calculer et déterminer de (moindres carrés) (4.1) (4.2) (4.3) end for Pour calculer on peut soit résoudre les équations normales (section IV.6) (4.4) soit calculer la décomposition QR de et appliquer l algorithme de la section IV.7.

2 142 Méthodes Itératives Equations Non Linéaires Etude de la convergence Pour étudier la convergence de la méthode de Gauss-Newton, développons la fonction (4.5) en série de Taylor. Pour ceci, calculons (4.6) Matriciellement, la formule (4.6) s écrit (4.7) où est l application bilinéaire définie par Avec cette notation, la formule de Taylor donne Soit maintenant une solution de (4.1). Elle satisfait. En posant dans (4.8) et en soustrayant (4.4), nous obtenons ainsi le résultat suivant. Théorème 4.1 Supposons que (avec ) soit fois continûment différentiable, que le rang de soit maximal et que soit une solution de (4.1). Alors, pour suffisamment proche de, l erreur de la méthode de Gauss-Newton satisfait (4.8) Une conséquence de cette formule est : en général, la convergence est linéaire; on a convergence quadratique si ; si est trop grand, la méthode diverge. Terminons ce chapitre avec une application typique de cet algorithme. Exemple (Identification de paramètres). La figure VI.3 montre une photographie de la Vallée Blanche (prise par G. Wanner). On y reconnaît le Col des Grandes Jorasses, l Aiguille du Géant, l Aiguille Blanche de Peterey, l Aiguille du Tacul, le Petit Rognon et l Aiguille du Moine. La figure VI.4 est une copie d une carte géographique de cette région. Le problème consiste à trouver la position de la caméra, ses caractéristiques (foyer) et les angles d inclinaison. Pour la formulation mathématique de ce problème, nous avons choisi des coordonnées sur la photographie (figure VI.3, l origine est au centre) et des coordonnées sur la carte ( représente l altitude). Les valeurs mesurées pour les points reconnus sont données dans le tableau VI.2.

3 Méthodes Itératives Equations Non Linéaires 143 FIG. VI.3: Photographie de la Vallée Blanche TAB. VI.2: Les données pour le problème Vallée Blanche 1. Col des Grandes Jorasses 2. Aiguille du Géant 3. Aig. Blanche de Peterey 4. Aiguille de Tacul 5. Petit Rognon 6. Aiguille du Moine Pour fixer les inconnues, notons par ( la position du foyer de la caméra, par le vecteur la direction de vue avec norme correspondant à la distance du plan du film et par l angle de rotation de la caméra autour du vecteur. On a donc paramètres à trouver. De plus, considérons la base orthogonale (4.9) dont les deux vecteurs et engendrent le plan du film, étant horizontal et vertical. Alors, le vecteur dans l espace qui montre du centre de la lentille vers le point sur le film est donné par où Les conditions à satisfaire sont que les vecteurs et soient

4 144 Me thodes Ite ratives Equations Non Line aires F IG. VI.4: La region de la Valle e Blanche coline aires. Ceci donne deux conditions pour chaque. Mais, par syme trie, il est plus naturel de conside rer les trois conditions (pour chaque ) (4.10)

5 Méthodes Itératives Equations Non Linéaires 145 En tout, ceci donne conditions pour inconnues. Voici le programme FORTRAN pour la fonction. En appliquant la méthode de Gauss-Newton à ce système avec comme valeurs initiales,,,,,,, après peu d itérations on obtient la solution,, avec une précision de chiffres (voir le tableau VI.3). On a donc bien trouvé la position de la caméra. C est à l Aiguille Verte (altitude 4122) que Gerhard a pris cette photo. TAB. VI.3: Convergence de la méthode de Gauss-Newton

6 Suggestions. (le candidat est libre de ne pas les suivre) 1. on pourra préciser la modélisation, en s aidant en particulier d un dessin ; 2. on pourra justifier la construction de l algorithme de Gauss-Newton, en particulier la formule (4.4) ; 3. on pourra effectuer une simulation numérique de la méthode de Gauss- Newton pour une fonction f simple, et en illustrer la convergence ; une comparaison pourra être effectuée avec la méthode de Newton proposée dans le texte.

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