Ch.N2 : Calcul littéral et équations

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1 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 1 sur 1 Exercice n 1 page Vrai ou faux? Justifie tes réponses. x est toujours égal à x. (5x) est toujours égal à 5x. 8x est toujours égal à 5x. x = x = 9 x = 6 (5x) = 5x 5x = 5x Ch.N : Calcul littéral et équations 18x est toujours égal à x 9. x + 9x est toujours égal à 11x. x + 5x + 9 est toujours égal à 9 + x + 5x. x = 8x 5 = 8 5 = 11 5x = 5 = 10 x 9 = 9 x = 18x x = x + 9x = + 9 = = 6 11 = 11 8 = 88 Exercice n page Supprime les parenthèses puis réduis. A = (x + 8) (1 + x ) B = 17x (5x + 9 x) C = (x + 7x + 1) (x + x 1) A = (x + 8) (1 + x ) A = x x A = x 1 Exercice n page Chasse aux bulles B = 17x (5x + 9 x) B = 17x 5x 9 + x B = 5x + 1x 9 C = x + 7x + 1 x x + 1 C = x + 5x + x x x 7x 8x 0x 6x x Développe et réduis ces expressions en utilisant les bulles pour répondre. Chaque bulle ne doit être utilisée qu'une seule fois dans l'exercice. A = x(x ) B = (5x + ) x C = (x + 1)( x) D = (x )(x 1) A = x(x ) A = x x x x 6x A = B = (5x + ) x B = 5x x + x B = 0x + 8x Exercice n page Distributivité Développe et réduis ces expressions. A = 11 x(8x 10) B = (x + 9)( x) A = 11 x(8x 10) A = x 55 x B = (x + 9)( x) B = x x x B = x 15x + 7 C = (x + 1)( x) C = x x x x C = x x + x C = x + C = (y + 5)(10 + y) C = (y + 5)(10 + y) C = 0y + y y C = y + 5y + 50 D = (z )( z) D = z z 6 + z D = z + 5z 6 x + D = (z )( z) E = 5(g + 1)(g ) E = 5(g + 1)(g ) E = (15g + 5)(g ) E = 15g 0g + 5g 10 E = 15g 5g 10 Exercice n 5 page Développe et réduis ces expressions. A = 7 (6x + ) + 5 ( x) B = (1 7y) + (y 5)(y 1) C = t (t + 1) + (5 + t )(t ) A = 7 (6x + ) + 5 ( x) A = 1x x A = 9x + 17 B = (1 7y) + (y 5)(y 1) B = 8y + y y 5y + 5 B = y 7y + 9 C = t (t + 1) + (5 + t )(t ) D = (x )(x 1) D = x x x 1 x + 1 D = x x 6x + D = x 7x + F = (x 1)(x + ) F = (x 1)(x + ) F = x + 6x x F = x x + 6x D = (k 1)(9 + k) 9k(10 k) E = (m + )(8 + m) (1 m)(m 7) D = (k 1)(9 + k) 9k(10 k) D = 6k + k 9 k 90k + 7k D = 1k 55k 9 E = (m + )(8 + m) (1 m)(m 7)

2 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page sur 1 C = t + t + 5t 10 + t t C = t + 6t 10 E = 8m + m m (m 7 m + 7m) E = 8m + m m m m 1m E = 5m m DÉVELOPPER AVEC LES IDENTITÉS REMARQUABLES ex. 1 à PROPRIÉTÉS 1 Pour tous nombres réels a et b, (a + b) = a + ab + b ; (a b) = a ab + b ; (a + b)(a b) = a b. Exemple 1 : Développe et réduis l'expression (x + ). On utilise l'identité (a + b) avec a = x et b =. (x + ) = x + x + On remplace a par x et b par dans (a + b) = a + ab + b. (x + ) = x + 6x + 9 On réduit l'expression obtenue. Exemple : Développe et réduis l'expression (x 5). On utilise l'identité (a b) avec a = x et b = 5. (x 5) = (x) x On remplace a par x et b par 5 dans (a b) = a ab + b. Attention! a = x donc a = (x) = x = 9x. (x 5) = 9x 0x + 5 On réduit l'expression obtenue. Exemple : Développe et réduis l'expression (7x + )(7x ). On utilise l'identité (a + b)(a b) avec a = 7x et b =. (7x )(7x + ) = (7x) On remplace a par 7x et b par dans (a + b)(a b) = a b. (7x )(7x + ) = 9x On réduit l'expression obtenue. Exercice du cours n 1 page 8 Développe et réduis les expressions suivantes. A = (x + 6) B = (x y) C = (a + 1) D = (6x 5) E = (z + )(z ) F = (x 7y)(x + 7y) A = (x + 6) = x + x = x + 1x + 6 B = (x y) = x x y + y = x xy + y C = (a + 1) = (a) + a = 9a + 6a + 1 D = (6x 5) = (6x) 6x = 6x 60x + 5 E = (z + )(z ) = z = z 9 F = (x + 7y)(x 7y) = (x) (7y) = 16x 9y Exercice du cours n page 8 Calcule en utilisant les identités remarquables et sans calculatrice. a) 101 b) 99 c) = ( ) = = = = (100 1) = = = = ( )(100 1) = = = Exercice du cours n page 8 Recopie puis complète les expressions suivantes. A = (x +...) = B = (... 9) = x A = (x + 5 ) = x + x C = (x +...)(......) =... 6 D = (5x...) = B = ( x 9) = x x C = (x + 8 )( x 8 ) = 9x 6 D = (5x ) = 5x 5x + 16

3 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page sur 1 Exercice n 6 page Carré d'une somme Développe puis réduis ces expressions. A = (a + 6) C = (5p + ) B = (t + 10) D = (5x + ) A = (a + 6) A = a + a A = a + 1a + 6 B = (t + 10) B = t + t B = t + 0t C = (5p + ) C = (5p) + 5p + C = 5p + 0p + 16 D = (5x + ) D = (5x) + 5x + D = 5x + 0x + E = (x + 7) E = (x) + x E = 16x + 56x + 9 E = (x + 7) F = (1,5b +,) F = (1,5b +,) F = (1,5b) + 1,5b, +, F =,5b + 10,b + 11,56 G = (0,7 + z) H = (1, + y) G = (0,7 + z) G = 0,7 + 0,7 z + (z) G = 0,9 +,8z + z H = (1, + y) H = 1, + 1, y + y H = 1, +,y + y Exercice n 7 page Carré d'une différence Développe puis réduis ces expressions. A = (5 t) C = (y 1) B = (x 8) D = (x 7) A = (5 t) C = (y 1) A = 5 5 t + t C = (y) y A = 5 10t + t B = (x 8) B = x x B = x 16x + 6 C = 16y 8y + 1 D = (x 7) D = (x) x D = 9x x + 9 Exercice n 8 page Une autre identité Développe puis réduis ces expressions. A = (x )(x + ) C = (x + 5)(x 5) B = (5 y)(5 + y) D = (10 7z)(10 + 7z) A = (x )(x + ) C = (x + 5)(x 5) A = x C = (x) 5 A = x B = (5 y)(5 + y) B = 5 y B = 5 y C = 9x 5 D = (10 7z)(10 + 7z) D = 10 (7z) D = 100 9z E = (6 9w) F = (p,) E = (6 9w) E = 6 6 9w + (9w) E = 6 108w + 81w F = (p,) F = p p, +, F = p,8p + 5,76 E = (5 + g)(5 g) F = (,1x )(,1x + ) E = (5 + g)(5 g) E = 5 (g) E = 5 16g F = (,1x )(,1x + ) F = (,1x) F =,1x 9 G = (10q 1) H = (1,x 1) G = (10q 1) G = (10q) 10q G = 100q 0q + 1 H = (1,x 1) H = (1,x) + 1,x H = 1,96x,8x + 1 G = (i + 6,1)(i 6,1) H = (,j + )(,j) G = (i + 6,1)(i 6,1) G = (i) 6,1 G = i 7,1 H = (,j + )(,j) H = ( +,j)(,j) H = (,j) H = 16 10,j Exercice n 9 page Méli-mélo Développe puis réduis ces expressions. A = (9x 7) B = (x + 9)(11 5x) C = (x )(x + ) A = (9x 7) A = (9x) 9x A = 81x 16x + 9 B = (x + 9)(11 5x) B = 11x 5x x B = 5x x + 99 C = (x )(x + ) C = (x) C = x 9 D = (11 + 8x) E = (x + 1) + 7x( x) F = (x + )(x 1) x(x + 5) D = (11 + 8x) D = x + (8x) D = x + 6x E = (x + 1) + 7x( x) E = x + x x 7x x E = x + x x 7x E = 6x + 16x + 1 F = (x + )(x 1) x(x + 5) F = x x + 6x 6x 15x F = x 10x G = (t + 1)(t 1) (t + ) H = (s + 5)(s 5) + (s + ) I = (x + ) (1 x)(6 + x) G = (t + 1)(t 1) (t + ) G = (t) 1 ((t) + t + ) G = 16t 1 (9t + 1t + ) G = 16t 1 9t 1t G = 7t 1t 5 H = (s + 5)(s 5) + (s + ) H = (s 5 ) + (s) + s + H = (s 5) + 16s + s + 9 H = s s + s + 9 H = 18s + s 1 I = (x + ) (1 x)(6 + x) I = (x) + x + (6 + x 1x x )

4 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page sur 1 I = 9x + x + 16 (6 + x 1x x ) I = 9x + x x + 1x + x I = 11x + 5x + 10 Exercice n 11 page Recopie et complète les expressions. a) (... + ) = x b) (y...) =... 6y +... c) ( )(......) = k... ( x + ) = x + 8x + 16 (y ) = y 6y + 9 ( k + 6)( k 6 ) = k 6 d) (x +...) = f) (... 8) =... 8x +... e) (1...)( ) =... 9x g) ( )(... ) = 100y... (1 7x )( 1 + 7x ) = 1 9x ( x 8) = 9x 8x + 6 ( 10y + )( 10y ) = 100y 9 (x + ) = 9x + 1x + Exercice n 1 page Calcule mentalement. a) 99 b) 10 c) d) 9 e) f) = (100 1) = = = (100 + ) = = = (100 5)( ) = = = (50 1) = = = ( ) = = = ( )( ) = = FACTORISER AVEC UN FACTEUR COMMUN ex. et 5 PROPRIÉTÉS Pour tous nombres a, b et k : k a + k b = k (a + b) et k a k b = k (a b) Exemple : Fais apparaître un facteur commun dans l'expression A = y + 1 puis factorise. A = y + 7 On repère un facteur commun. A = (y + 7) On factorise. Exemple 5 : Factorise l'expression D = (9x )(5x + 6) (9x )(x + 11). D = (9x )(5x + 6) (9x )(x + 11) On repère un facteur commun. D = (9x )[(5x + 6) (x + 11)] On factorise. D = (9x )[5x + 6 x 11] On supprime les parenthèses à l'intérieur des crochets en faisant attention au signe. D = (9x )(x 5) On réduit l'expression à l'intérieur des crochets. Exemple 6 : Factorise l'expression E = (5x 7)(9x ) (5x 7). E = (5x 7)(9x ) (5x 7)(5x 7) On repère un facteur commun. E = (5x 7)[(9x ) (5x 7)] On factorise. E = (5x 7)[9x 5x + 7] On supprime les parenthèses à l'intérieur des crochets en faisant attention au signe. E = (5x 7)(x + 5) On réduit l'expression à l'intérieur des crochets. Exercice du cours n page 8 Écris chacune des expressions suivantes sous la forme a(x + 7). F = x + 8 G = x + 1 H = 0,5x +,5 I = 5x 5 F = x + 8 = x + 7 = (x + 7) G = x + 1 = x + 7 = (x + 7)

5 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 5 sur 1 H = 0,5x +,5 = 0,5 x + 0,5 7 = 0,5(x + 7) I = 5x 5 = 5 x + ( 5) 7 = 5(x + 7) Exercice du cours n 5 page 8 Factorise les expressions suivantes. J = 10x 8 K = 6y 5 8y L = x + x M = (x + )(x ) + (x + )(x 5) J = 10x 8 = 5x = (5x ) K = 6y 5 8y = y y y = y (y ) L = x + x = x x + x = x(x + ) M = (x + )(x ) + (x + )(x 5) = (x + )[(x ) + (x 5)] = (x + )(x + x 5) = (x + )(x 9) Exercice n 1 page Vocabulaire a) Recopie et complète la phrase. «Quand on effectue une addition, les deux nombres additionnés s'appellent les... et le résultat s'appelle....» b) Écris une phrase du même type pour la multiplication et une autre pour la soustraction. Exercice n 1 page Traduis par une phrase les expressions données. Exemple : x(x + 1) est le produit de x par (x + 1). a) 5x + 9 b) (x + 5)(1 x) 5x + 9 5x 9 c) 9x(8 + 1x) d) 15 0x e) (1 + x) + (x ) f) (x + 7) (x + 5)(1 x) (x + 5) (1 x) 9x(8 + 1x) 9x (8 + 1x) 15 0x 15 0x (1 + x) + (x ) (1 + x) (x ) (x + 7) x 7 Exercice n 15 page Facteur commun pas très discret a) Recopie chaque expression et souligne en couleur un facteur commun. A = 5x + x + 10x C = 9x(x ) + 9x(10 + x) B = 7x 7x + 7 D = (x + 1)(8 + x) (x 1)(x + 1) b) Factorise chaque expression. A = 5 x + x + 10 x C = 9x (x ) + 9x (10 + x) B = 7 x 7 x D = (x + 1) (8 + x) (x 1) (x + 1) A = x ( ) B = 7(x x + 1) C = 9x ((x ) + (10 + x) ) D = (x + 1)( (8 + x) (x 1) ) D = (x + 1)(8 + x x + 1)

6 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 6 sur 1 A = 17x C = 9x(x + 7) D = (x + 1)( x + 9) Exercice n 16 page Facteur commun bien plus malin Facteur commun bien plus malin a) Recopie chaque expression et transforme-la pour faire apparaître un facteur commun que tu souligneras en couleur. E = 10x 5x + 15 F = x + 7x G = 9x (x + 1) + 6x(5 + x) H = (11x ) + (11x )(5 + 9x) b) Factorise chaque expression. E = 10x 5x + 15 E = 5 x 5 x + 5 F = x + 7x F = x x + 7 x E = 5(x x + ) F = x(x + 7) G = x ( x(x + 1) + (5 + x) ) G = x(x + x x) G = x(x + 5x + 10) G = 9x (x + 1) + 6x(5 + x) G = x x(x + 1) + x (5 + x) H = (11x ) + (11x )(5 + 9x) H = (11x )(11x ) + (11x ) (5 + 9x) H = (11x )( (11x ) + (5 + 9x) ) H = (11x )(11x x) H = (11x )(0x + ) Exercice n 8 page 7 Factorisations Factorise les expressions suivantes. E = (x + 1) + (x + 1) F = (x ) (x ) E = (x + 1) + (x + 1) E = (x + 1) (x + 1) + (x + 1) 1 E = (x + 1) ((x + 1) + 1 ) E = (x + 1)(x + ) E = (x + 1)( x + 1) E = (x + 1)( (x + 1) ) E = (x + 1)(x + 1) F = (x ) (x ) F = (x ) (x ) (x ) 1 F = (x ) ( (x ) 1 ) F = (x )(6x 9 1) F = (x )(6x 10) F = (x )( x 5) F = (x )( (x 5) ) F = (x )(x 5) G = (x + )(x + ) x H = (x + 7)(x + 1) + (x )( x 1) G = (x + )(x + ) x G = (x + ) (x + ) (x + ) 1 G = (x + ) ((x + ) 1 ) G = (x + )(x + 1) G = (x + )(x + ) G = (x + )( x + 1) G = (x + )( (x + 1) ) G = (x + )(x + 1) H = (x + 7)(x + 1) + (x )( x 1) H = (x + 7)(x + 1) (x )(x + 1) H = (x + 1) ((x + 7) (x ) ) H = (x + 1)(x + 7 x + ) H = (x + 1)(x + 11) FACTORISER AVEC DES IDENTITÉS REMARQUABLES ex. 6 PROPRIÉTÉS Pour tous nombres a et b, a + ab + b = (a + b) ; a ab + b = (a b) ; a b = (a + b)(a b). Exemple 7 : Factorise l'expression A = x + 6x + 9. A = x + 6x + 9 On observe trois termes précédés du signe +. A = x + x + On met en évidence l'identité remarquable a + ab + b = (a + b) avec a = x et b =. A = (x + ) On remplace a par x et b par dans (a + b). Exemple 8 : Factorise l'expression B = 5x 0x +. B = 5x 0x + On observe trois termes et des signes différents. B = (5x) 5x + On met en évidence l'identité remarquable a ab + b = (a b) avec a = 5x et b =. B = (5x ) On remplace a par 5x et b par dans (a b). Exemple 9 : Factorise l'expression C = 6x 9. C = 6x 9 On observe la différence de deux carrés. C = (8x) 7 On met en évidence l'identité remarquable a b = (a + b)(a b) avec a = 8x et b = 7. C = (8x + 7)(8x 7) On remplace a par 8x et b par 7 dans (a + b)(a b).

7 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 7 sur 1 Exercice du cours n 6 page 8 Factorise les expressions suivantes en utilisant une identité remarquable. D = 16x + x + 9 E = 9x 70x + 5 F = x 81 D = 16x + x + 9 = (x) + x + = (x + ) E = 9x 70x + 5 = (7x) 7x = (7x 5) F = x 81 = x 9 = (x 9)(x + 9) Exercice n 17 page Sommes ou différences? Factorise ces expressions. A = t t C = y 7y B = x xy + y D = x E = + 6 1x 9 p + pq + q A = t t C = y 7y A = t + 18t + 81 C = 81 7y + 16y E = 9 p + pq + q A = t + t C = 9 9 y + (y) E = A = (t + 9) C = (9 y) p + p q + q B = x xy + y B = (x) x y + y B = (x y) D = x + 6 1x D = x 1x + 6 D = x x D = (x 6) E = p + q F = π + 10π + 5 F = π + 10π + 5 F = F = ( + 5) Exercice n 18 page Différences de deux carrés Factorise ces expressions. A = x 16 C = 100x 9 B = 1 y D = 6 81z A = x 16 A = x A = (x )(x + ) B = 1 y B = 1 y B = (1 y)(1 + y) C = 100x 9 C = (10x) C = (10x )(10x + ) D = 6 81z D = 6 (9z) D = (6 9z)(6 + 9z) D = ( z)( + z) D = ( + z) ( + z) D = 9( + z)( + z) E = π 5 E = ( ) 5 E = ( 5)( + 5) F = (t + ) 16 F = (t + ) F = ((t + ) )((t + ) + ) F = (t 1)(t + 7) E = π 5 F = (t + ) 16 G = (x + 1) 5 G = (x + 1) 5 G = ((x + 1) 5 )((x + 1) + 5 ) G = (x )(x + 6) G = ( x )( x + ) G = (x ) (x + ) G = (x )(x + ) G = (x + 1) 5 H = (i + 7) (i + 5) H = (i + 7) (i + 5) H = ((i + 7) (i + 5) )((i + 7) + (i + 5) ) H = (i + 7 i 5)(i i + 5) H = (i + )(i + 1) H = ( i + 1)( i + ) H = (i + 1) (i + ) H = 8(i + 1)(i + ) Exercice n 19 page En mélangeant! Factorise ces expressions. A = 6 5x B = x + 9x C = i (i + 1) + i ( + i) D = b 10b + 5 E = ( x) + ( x)(9 + x) F = (5x + 1) 81 G = (7d + ) (d + ) A = 6 5x A = 6 (5x) D = b 10b + 5 D = b b F = (5x + 1) 81 F = (5x + 1) 9 A = (6 5x)(6 + 5x) D = (b 5) F = (5x + 1 9)( 5x ) F = (5x 8)(5x + 10) B = x + 9x E = ( x) + ( x)(9 + x) F = (5x 8)(5 x + 5 ) B = x + (x) E = ( x)( x) + ( x)(9 + x) F = 5(5x 8)(x + ) B = (10 + x) E = ( x)( ( x) + (9 + x) ) E = ( x)( x x) G = (7d + ) (d + ) C = i (i + 1) + i ( + i) C = i (i i) E = 11( x) G = ((7d + ) (d + ) )((7d + ) + (d + ) ) G = (7d + d )(7d + + d + )

8 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 8 sur 1 C = i (i + ) G = (d )(10d + 6) G = ( d 1)( 5d + ) G = (d 1) (5d + ) G = (d 1)(5d + ) Exercice n 0 page Calcule mentalement. a) b) c) d) = (105 95)( ) = = = ( )( ) = = ( )( 00 8) = = Exercice n 9 page 7 En deux coups de cuiller a) Factorise x 9. b) Déduis-en une factorisation de l'expression : J = x 9 + (x + )(x 1). c) Résous l'équation J = 0. x 9 = (x) = (x )(x + ) J = x 9 + (x + )(x 1) J = (x )(x + ) + (x + )(x 1) J = (x + )( (x ) + (x 1) ) J = (x + )(x ) J = 0 x + = 0 x = 0 x = x = = ( )(57 57) = = ÉQUATION PRODUIT ex. 7 PROPRIÉTÉ Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul. Exemple 10 : Résous l'équation (x + )(x 7) = 0. Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs au moins est nul. On en déduit que : x + = 0 ou x 7 = 0 x = ou x = 7. On teste les valeurs trouvées. Pour x = : (x + )(x 7) = ( + )( 7) = 0 ( 10) = 0. Pour x = 7 : (x + )(x 7) = (7 + )(7 7) = 10 0 = 0. Les solutions de l'équation produit (x + )(x 7) = 0 sont et Exercice du cours n 7 page 8 Résous les équations produit suivantes. a) (x )(x + 9) = 0 b) (x 1)(9x ) = 0 c) (x + ) = 0 (x )(x + 9) = 0 x = 0 (x + 9) = 0 x = x = 9 9

9 (x 1)(9x ) = 0 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 9 sur 1 x 1 = 0 9x = 0 x = 1 x = 9 (x + ) = 0 (x + ) (x + ) = x + = 0 x + = 0 x = Exercice n 6 page Quel nombre pour chaque équation? Pour chaque équation, vérifie si les nombres 0 ; et 1 sont solutions ou pas. a) (x + 1) + 5 = 7 b) (x + 1) + 5 = 6 + x c) (x + 1) + 5 = x x + 1 d) (x + 1) + 5 = (x + )( x) x = 0 (0 + 1) + 5 = 7 x = ( + 1) + 5 = 11 x = 1 ( 1 + 1) + 5 = 5 0 (0 + 1) + 5 = 7 x = = 6 ( + 1) + 5 = 11 x = 6 + = 8 ( 1 + 1) + 5 = 5 x = ( 1) = 5 1 (0 + 1) + 5 = 7 x = = 1 ( + 1) + 5 = 11 x = + 1 = 11 ( 1 + 1) + 5 = 5 x = 1 ( 1) ( 1) + 1 = 5 1 (0 + 1) + 5 = 7 x = 0 (0 + )( 0) = 1 ( + 1) + 5 = 11 x = ( + )( ) = 10 ( 1 + 1) + 5 = 5 x = 1 ( 1 + )[ ( 1)] = Exercice n 8 page Pour redémarrer Résous les équations suivantes. a) + 16x = 1 c),5x + 5,6 = 1 b) x 1 = 9 d) 5x + 1 = x x = x = 1 16x = 8,5x + 5,6 = 1,5x + 5,6 5,6 = 1 5,6,5x = 6, e) 8x + = x + 15 f) 7,8i 8 = 1,i + 8x + = x x + = x x = x + 1 8x x = x + 1 x

10 16x 16 = 8 16 x = 1 x 1 = 9 x = x = x = x = e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 10 sur 1,5x,5 = 6,,5 x =,56 5x + 1 = x x = x x = x x x = x + 18 x x = 18 x = 18 x = 6 7x = 1 7x 7 = 1 7 x = 1 7 7,8i 8 = 1,i + 7,8i = 1,i ,8i 1,i = 1,i ,i 6,5i = 10 6,5i 6,5 = 10 6,5 i = 0 1 Exercice n 9 page Avec des quotients Résous les équations suivantes. 7x + 11 = x b) = 5x + x + 1 c) x a) x x + 11 = x x + 11 x = x x x 8x + 11 = 7x + 11 = 7x = 11 7x = 1 7x 7 x = x = 8 = 1 7 ( 7) 7 7x = 5x x 5x 6 = 5x x 6 1x 6 5x 6 + = 1 + 9x 6 = x = x = x = = 7x 1 8 = 7x x 8 5 = 7x ( + x) = 5 (7x 1) + x = 5x 5 + x 5x = 5x 5 5x 11x = 5 11x = 7 11x 11 = 7 11 x = x = x x = x + 1 (6 x) = (x + 1) 1 x = 1x + 1 x 1x= 1x + 1x 1 1x 1= 1 1x = 9 1x 1 = 9 1 x = 9 1 d) 6 x = x + 1 Exercice n 0 page 5 Équations produit Résous les équations suivantes. a) (x + 1)(x 8) = 0 c) (11 8x)(x + 7) = 0 b) (5x )(6 + x) = 0 d) (7 x)(x 7) = 0 (x + 1)(x 8) = 0 x + 1 = 0 x 8 = 0 x = 1 x = 8 (5x )(6 + x) = 0 (7 x)(x 7) = 0 7 x = 0 x 7 = 0 x = 7 x(x + )(x 1) = 0 e) x(x + )(x 1) = 0

11 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 11 sur 1 5x = x = 0 5x + = x 6= 0 6 5x = x = 6 5x 5 = 5 x = 5 x = 6 x = 6 (11 8x)(x + 7) = x = 0 x + 7 = x 11 = 0 11 x = 0 7 8x = 11 x = 7 8x 8 = 11 8 x = 11 8 x = 7 x = 7 Exercice n 1 page 5 Soit A = (y + 5)(y ) 6(y + 5). a) Développe et réduis l'expression A. b) Factorise A. c) Résous l'équation (y + 5)(y 8) = 0. A = (y + 5)(y ) 6(y + 5) A = y y + 5y 10 6y 0 A = y y 0 A = (y + 5)(y ) 6(y + 5) A = (y + 5)( (y ) 6) A = (y + 5)(y 8) (y + 5)(y 8) = 0 y + 5 = 0 y 8 = 0 y = 5 y = 8 x = 0 x + = 0 x 1 = 0 x = 0 x + = 0 x = x = 0 x = x = 1 x = 0 x = x = 0 x = x = 1 x = 1 Exercice n page 5 Soit B = (x + ) 81. a) Développe l'expression B. b) Factorise B. B = (x + ) 81 B = (x) + x + 81 B = 9x + x B = 9x + x 65 B = (x + ) 81 B = (x + ) 9 B = (x + 9)(x + + 9) B = (x 5)(x + 1) c) Calcule B pour x = 5 puis pour x = 5. d) Résous l'équation B = 0. x = 5 B = ( ( 5) 5 )( ( 5) + 1 ) = 0 ( ) = 0 x = 5 B = = 0 (x 5)(x + 1) = 0 x 5 = 0 x + 1 = 0

12 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 1 sur 1 x = x = 0 1 x = 5 x = 1 x = 5 x = 5 x = 1 x = 1 Exercice n page 5 Cocktail de sommes et de produits Résous les équations suivantes. a) (5x + 1)(8 x) = 0 c) (8 + x) (x + ) = 0 b) (x 1) + (7 x) = 0 d) ( 10x)(x + ) = 0 (5x + 1)(8 x) = 0 5x + 1 = 0 8 x = 0 5x = x 8= 0 8 5x = 1 x = 8 5x 5 = 1 5 x = 1 5 x = 8 x = 8 (x 1) + (7 x) = 0 x x = 0 x + 6 = 0 x = 0 6 x = 6 x = 6 x = (8 + x) (x + ) = x x = 0 x+ 5 = 0 x+ 5 5 = 0 5 x = 5 x = 5 x =,5 ( 10x)(x + ) = 0 10x = 0 x + = 0 10x = 0 x + = 0 10x = x = 10x 10 = 10 x = 10 x = x = e) 6(y + ) (y 1) = 0 6(y + ) (y 1) = 0 6y + 18 y + = 0 y + 0 = 0 y = 0 0 y = 0 y = 0 y = 5 5 METTRE EN ÉQUATION UN PROBLÈME ex. 8 Exemple 11 : Sur le schéma, ABCD est un carré et ABE est un triangle rectangle en A tel que AE = cm. Tous les points sont distincts. Quelle doit être la longueur du côté du carré ABCD pour que son aire soit égale à l'aire du triangle rectangle ABE? Étape n 1 : choisir l'inconnue Soit x la mesure en cm du côté du carré ABCD. Comme les points sont distincts alors x > 0. Donc AB = BC = CD = DA = x. Étape n : mettre en équation = AB AD = x x = x (ABCD) AB AE = = x = 1,5x (ABE) On veut que : Aire du carré ABCD = Aire du triangle rectangle ABE. Le nombre cherché vérifie donc l'équation : x = 1,5x. Étape n : résoudre l'équation Pour résoudre l'équation, on se ramène à une équation produit. x 1,5x = 1,5x 1,5x x 1,5x = 0 x x 1,5 x = 0 x(x 1,5) = 0. Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs au moins est nul. x = 0 ou x 1,5 = 0 x = 0 ou x = 1,5. On repère la grandeur inconnue parmi celles exprimées dans l'énoncé. On la note x. On exprime les informations données dans l'énoncé en fonction de x. La phrase de l'énoncé se traduit donc par l'égalité cicontre. On élimine les termes en x dans le membre de droite. On factorise pour se ramener à une équation produit. On résout l'équation produit. E A D B C

13 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 1 sur 1 Étape n : vérifier que les valeurs trouvées sont solutions du problème On teste les valeurs trouvées. Pour x = 0 : x = 0 et 1,5x = 0. On vérifie que les valeurs trouvées répondent Pour x = 1,5 : x = 1,5 =,5 et 1,5x = 1,5 1,5 =,5. à la question. Comme x est un nombre strictement positif, la solution 0 ne convient pas à ce problème. Étape n 5 : conclure La solution du problème est donc 1,5 cm. On conclut. Exercice du cours n 8 page 8 Trouve la (ou les) valeur(s) de x pour qu'un parallélogramme de base (x 5) et de hauteur 7 et un rectangle de longueur (x + 1) et de largeur (x 5) aient la même aire. x 5 7 (x 5) 7 x + 1 x 5 (x + 1) (x 5) (x 5) 7 = (x + 1) (x 5) (x 5) 7 (x + 1) (x 5) = 0 (x 5) (x 5)[7 (x + 1)] = 0 (x 5)(7 x 1) = 0 (x 5)(6 x) = 0 x 5 = 0 6 x = 0 x = 5 x = 5 x = 5 0 x = 5 = + 1 = 7 Exercice n page En fonction de a) Exprime l'aire du carré ABCD en fonction de x puis développe l'expression ainsi obtenue. b) Calcule l'aire de ce carré lorsque x =. 7 A B 9x A = (9x ) = 81x 7x + 16 A = 9 A = (6 ) A = A = A = A = A = D C Exercice n page Carré n désigne un nombre entier. On pose A = (n + 1) + 16n 6n +. a) Développe et réduis A. b) Montre que A est le carré d'un nombre entier. A = (n + 1) + 16n 6n + A = (n) + n n 6n +

14 e - programme 01 mathématiques ch.n cahier élève Page 1 sur 1 A = 9n + 6n n 6n + A = 5n 0n + A = (5n) 5n + A = (5n ) Exercice n page 5 La somme de trois nombres entiers naturels, impairs et consécutifs est égale à 95. Quels sont ces trois nombres? (x ) x (x + ) x = 95 (x ) + x + (x + ) = 95 x = 95 = Exercice n 6 page 5 Extrait du Brevet Aujourd'hui, Marc a 11 ans et Pierre a 6 ans. Dans combien d'années l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc? La démarche suivie sera détaillée. x 6 + x = (11 + x) 6 + x = + x 6 + x = + x + x = x + x x = x x = x 11 (11 + x) 6 (6 + x) x Exercice n 8 page 5 Programme de calcul Choisis un nombre. Calcule son double augmenté de 1. Calcule le carré du résultat. a) Effectue ce programme avec les nombres 7 ;,1 et 5. b) Trouve le(s) nombre(s) qui donne(nt) zéro pour résultat. 7 ( 7 + 1) = 15 = 5,1 (,1 + 1) = 5, = 7,0 5 : = 11 = x (x + 1) = 0 x + 1 = 0 x = 0,5