LIMITES ET CONTINUITÉ

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1 LIMITES ET CONTINUITÉ Ph DEPRESLE septembre 05 Table des matières Limites à l infini. Limites infinies Limites finies-asymptotes horizontales Limites en un réel 3. Limites infinies en un réel-asymptotes verticales Limite en un point Règles opératoires concernant les ites 3. ite d une somme ite d un produit ite d un quotient Limite d une fonction composée Limites de fonctions usuelles 5 5 Théorème d encadrement (des gendarmes) 5 6 Continuité 6 6. Définition Théorème des valeurs intermédiaires QCM 8 8 EXERCICES : Les exercices de base 9 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 0

2 Chapitre : Limites et continuité Limites à l infini. Limites infinies Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A, + [. On dit que f (x) tend vers+ lorsque x tend vers+ quand tout intervalle ]M,+ [ contient toutes les valeurs f (x) pour x assez grand. On note f (x)=+. 6 M C f 6 x 0 On définit de la même façon les autres notions de ites infinies en+ ou.. Limites finies-asymptotes horizontales Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A,+ [ et l un nombre réel. On dit que f admet l comme ite en+ lorsque tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f (x) pour x assez grand. Cette définition peut se traduire : ε étant un réel strictement positif arbitrairement choisi, on peut trouver un réel x 0 tel que, dès que x > x 0 on a l ε< f (x)<l+ε. On note f (x)=l. l l + ε l - ε x 0 C f Ph Depresle : Notes de cours Page sur

3 Chapitre : Limites et continuité Définition 3. Si à la courbe C f en+. f (x)=l(l R), on dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale 3 C f Ici f (x)=3 La droite d équation y = 3 est asymptote à C f en Limites en un réel. Limites infinies en un réel-asymptotes verticales Soit a un réel et une fonction f définie sur un intervalle de la forme ]a ε, a[ ou ]a, a+ ε[. Dans chacun des cas suivants on dit que la droite d équation x= a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. 3 Ici x x> f (x)=+ la droite d équation x= est asymptote à C f 3 5 C f 5 3 La droite d équation x = est asymptote verticale à la courbe. et la droite d équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe Ph Depresle : Notes de cours Page 3 sur

4 . Limite en un point Définition. On dit que f admet l comme ite en a lorsque tout intervalle de centre l contient toutes les valeurs de f (x) pour x suffisamment proche de a. On note x a f (x)=l. 3 Règles opératoires concernant les ites Tous les résultats suivants sont admis. f et g sont deux fonctions données. a désigne un réel, ou+ ou, et L et L sont deux nombres réels. 3. ite d une somme Si f (x) = x a l l l + + Si g (x) = x a l + + alors (f + g )(x) = x a l+l + +???? 3. ite d un produit Si f (x) = l l non nul 0 + ou x a Si g (x) = l + ou + ou + ou x a alors (f g )(x) = l. l ±???? ± x a 3.3 ite d un quotient Si x a f (x) = l l 0 l ± 0 ± Si x a g (x) = l 0 l = 0 et g (x) garde un signe constant au voisinage de a ± l 0 ± alors x a ( f g )(x) = l l ± 0 ±???????? Remarque : Il y a formes indéterminées :+ ; 0 ; 0 0 ; 3. Limite d une fonction composée Théorème. admis a, b et c désignant des réels,ou + ou. si f (x)=b et si g (X )=c alors g (f (x))=c. x a X b x a Ph Depresle : Notes de cours Page sur

5 Limites de fonctions usuelles y = x 3 y = x y = x 6 x x =+ x =+ 6 x x3 = x3 =+ x x = 0 x = 0 x x>0 0 x x<0 0 x =+ x = n N : xn =+ x=+ Si n non nul est pair : x xn =+. Si n est impair : x xn =. 5 Théorème d encadrement (des gendarmes) Théorème. a désigne un réel, ou + ou. l est un réel. Si f g h et si les fonctions f et h ont la même ite l en a, alors il en est de même pour g. cos x Exemple : On considère la fonction f : x. Étudier les ites de f en + et en donner une interprétation graphique. x R : cos x et x > 0 donc cos x x x x. On a donc : x f (x) x. x = = 0, le théorème des gendarmes permet de conclure que f (x)=0. x L axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentative de f au voisinage de+ x Ph Depresle : Notes de cours Page 5 sur

6 Chapitre : Limites et continuité Théorème 3. a désigne un réel, ou+ ou. Si f g au voisinage de a et si f (x)=+ alors g (x)=+. x a x a Si g h au voisinage de a et si h(x)= alors g (x)=. x a x a 6 Continuité 6. Définition Définition 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. On dit que f est continue en a lorsque f admet une ite en a. Cette ite est nécessairement f (a). Exemple : La fonction f définie par : f (x)= x + si x ] ;[ C f f ()= 3 f (x)= x + si x ],+ [ f est continue en 0 car f (x)= x 0 mais f n est pas continue en car f (x)= f () x x< Définition 6. On dit qu une fonction f est continue sur un intervalle I dersi elle est continue en tout point de cet intervalle. Exemple : Dans l exemple précédent f est continue sur ],[ et sur ],+ [ mais f n est pas continue surr. Remarque : Une fonction continue sur un intervalle est représentée par un trait continu. 6. Théorème des valeurs intermédiaires Théorème. admis Soit une fonction f continue sur un intervalle I de R et a et b deux points de I. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c)=k. Ph Depresle : Notes de cours Page 6 sur

7 f (b) 5 3 f(a) 3 a b Corollaire : Soit une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors pour tout réel k de f (I ) l équation f (x)=k admet une unique solution dans I. Démonstration : Supposons que f est une fonction continue et strictement croissante sur l intervalle I. Soit k un réel de f (I ), k a au moins un antécédent dans I. Démontrons par l absurde que cet antécédent est unique. Supposons que k soit l image de deux réels distincts c et c avec c < c Comme f est strictement croissante sur I, f (c)< f (c ), soit k < k. Ce qui est absurde. Nécessairement c = c et l antécédent est unique. Exemple : Démontrer que l équation x 3 + x+ =0 a une seule solution. On pose f (x)= x 3 + x+, f est dérivable et continue surret f (x)=3x +. x R, f (x)>0 et f (x)= ainsi que f (x)=+. On a donc le tableau de variation : x x α + f (x) + + f 0 + f est continue et strictement croissante surr,donc l équation f (x)=0 a une seule solution α. f ( )<0 donc α> f (0)>0 donc < α<0 Ph Depresle : Notes de cours Page 7 sur

8 7 QCM Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :. Si a un réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur ]a; + [, alors f (x)=.. Soient f et g deux fonctions définies sur [0;+ [, g ne s annulant pas : Si f (x)= et g (x)=+, alors f (x) g (x) =. 3. Si f est une fonction définie sur [0;+ [ telle que 0 f (x) x sur [0;+ [, alors x x. Une fonction g est définie sur l intervalle ] ; 0] par : g (x) = x 3. SoitΓsa courbe représentative dans un repère du plan. Γ admet une asymptote. 5. Si pour tout réel x négatif f (x) g (x) h(x) et f (x)=, alors x g (x)= x f (x) x = 0. Solutions. La fonction définie sur ]0,+ [ par f (x)= est strictement décroissante sur ]0,+ [. Or x f (x)= 0. La proposition est FAUSSE.. Soient f et g les fonctions définies sur [0;+ [par f (x)= x et g (x)= x. f (x)= et La proposition est FAUSSE f (x) x x sur [0;+ [. g (x)=+. Mais f (x) g (x) = x = 0. f (x) que x = 0. La proposition 3 est VRAIE. x x. g (x)= x( 3 x ) = x ( 3 x ). g (x)=. x DoncΓadmet une asymptote horizontale d équation : y =. La proposition est VRAIE. 5. Soit f (x)=+ x et g (x)=. Pour tout réel négatif, f (x) g (x) et La proposition 5 est FAUSSE. = 0. Le théorème d encadrement nous permet d affirmer x x f (x)= mais g (x)=. x Ph Depresle : Notes de cours Page 8 sur

9 8 EXERCICES : Les exercices de base Exercice Soit f (x)= 5x x.. Déterminer les ites de f en+ et en. Interprétez graphiquement.. Déterminer les ites de f en et en. Interprétez graphiquement. 3. En admettant que f est décroissante sur tous les intervalles où elle est définie, donner l allure de sa courbe représentative dans un repère du plan. Exercice f est la fonction définie sur R par f (x)= + x. C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, #» ı, #» j ).. Étudier la ite de f en+.. Vérifier que pour tout réel x, f (x) x = x+ + x. 3. Quelle est la ite de f (x) x quand x tend vers+?. Précisez la position de C par rapport à la droite d d équation y = x sur ]0; + [. Exercice 3 On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ et on nomme C sa représentation graphique dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j ) x 0 + f (x) Répondre par VRAI ou par FAUX. Les réponses devront être justifiées, éventuellement par des graphiques.. Pour tout réel x de ]0; ], f (x). L équation f (x)=0 admet au moins une solution dans ]0,[. 3. L équation f (x) = 3 admet une solution unique dans ]0, [. Exercice Soit f (x)=x x. 0n admet que f est strictement décroissante sur ] ;] et strictement croissante sur [;+ [. Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x)=0et un encadrement à 0 3 près de chacune des solutions. Exercice 5 Déterminer la ite en+ de la fonction définie pour x > 0 par f (x)= sin x x. Ph Depresle : Notes de cours Page 9 sur

10 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) Exercice : 5x. x = 5x x = 5 x = 0. 5 x = 0. De même f (x)= x x Donc la droite d équation y = 0 est asymptote horizontale à C en+ et.. (5x )= et (x )= 0 x x Pour déterminer la ite du quotient, on détermine le signe de x. x + signe de x On en déduit que x x< f (x)= et x x> f (x)=+ (5x )= 9 et (x )=0 x x Grâce au tableau de signes précédent : f (x)= et x x< f (x)=+ x x> Les droites d équations x = et x = sont donc asymptotes verticales à la courbe C Exercice :. Posons u(x)=+ x et v(y)= y, on a f (x)= v (u(x)). u(x)= y + + x =+. (ite d une fonction composée). v(y)= y + (+ x )=+ 6 y =+ } donc. f (x) x = + x x = ( + x x)( + x + x) + x + x Le numérateur devient : ( + x x)( + x + x)=( + x ) x = + x x =. Donc f (x) x = + x + x. Ph Depresle : Notes de cours Page 0 sur

11 3. + x =+, donc ( + x + x)=+ (ite d une somme). On en déduit que : = 0 (ite d un inverse). + x + x C y = x. f (x) x = Exercice 3 : donc f (x) x > 0. #» j 0 #» ı + x + x et sur ]0;+ [ on a x > 0 et + x > 0, La courbe C est «au-dessus» de la droite d sur ]0;+ [.. VRAI. Sur l intervalle ]0;] la fonction f est croissante. Donc si x on a f (x) f (). Comme f ()=, on a bien f (x).. VRAI. La fonction f est continue sur l intervalle ]0;] et à valeurs dans ] ;]. 0 appartient a cet intervalle. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans ]0,[. 3. FAUX. On a vu à la question. que pour tout réel x de ]0;], f (x). L équation f (x)=3 n a donc pas de solution dans ]0;]. Exercice : On a f (x)= x x x =+ et Le tableau de variations de f est : f (x)= x =+. x α β f (x) 0 α β C D après ce tableau de variations : Sur [ ;[ f est continue et strictement décroissante et f ([ ;[)=[ ;+ [ donc l équation f (x)= 0 a une solution unique α sur [ ;[. Sur [; + [ f est continue et strictement croissante et f ([; + [) = [ ; + [ donc l équation f (x) = 0 a une solution unique β sur [;+ [. Ph Depresle : Notes de cours Page sur

12 Conclusion : L équation f (x) = 0 a deux solutions α et β. En utilisant la calculatrice on trouve que f ( 0, 8) < 0 et f (0, 9) > 0. Donc 0,9< α< 0,8. On trouve de même que,663<β<,66 Exercice 5 : Pour tout x > 0, sin x, donc x sin x x x f (x) x x Comme x = x = 0. D après le théorème des gendarmes on a f (x)=0. Ph Depresle : Notes de cours Page sur