FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES

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1 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES Table des matières. Quelques formules de trigonométrie.. Identité remarquable.. Periodicité.3. Relations remarquables 3.. Formules d addition 3.5. Formules de duplication.6. Formules de l angle moitié.7. Quelques valeurs remarquables 5.8. Identité d Euler 5. Fonctions trigonométriques réciproques 5.. Arc cosinus 5.. Arc sinus 6.3. Arc tangente 7 3. Fonctions hyperboliques Définitions de cosinus sinus hyperbolique Propriétés La tangente hyperbolique 3.. Formules d addition 3.5. Formules de duplication 3. Fonctions hyperboliques réciproques 3.. Argument cosinus hyperbolique 3.. Argument sinus hyperbolique 5.3. Argument tangente hyperbolique 6 5. Exercices Fonctions circulaires Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques 36

2 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES. Quelques formules de trigonométrie,5 0,5 x cos x sin x -, - -,6 -, -0,8-0, 0 0, 0,8,,6, -0,5 - -,5 Figure. Le cosinus le sinus d un arc x.. Identité remarquable. cos x + sin x =, x R. Démonstration. Celle-ci est une consequence directe de la définition de cos x sin x, ainsi que du Théorème de Pythagore... Periodicité. cosx + k π) = cos x, sinx + k π) = sin x, tanx + k π) = tan x, x x R, k Z x R, k Z m + ) π, m, k Z,

3 .3. Relations remarquables. FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 3 cos x) = cos x, x R sin x) = sin x, x R m + ) π tan x) = tan x, x, m Z π ) π ) cos x = sin x sin x = cos x, x R π ) tan x = tan x, x m π, m Z.. Formules d addition. cosx y) = cos x cos y + sin x sin y cosx + y) = cos x cos y sin x sin y sinx y) = sin x cos y cos x sin y sinx + y) = sin x cos y + cos x sin y tan x tan y tan x + tan y tanx y) = tanx + y) = + tan x tan y tan x tan y Démonstration. La formule pour cosx y) est montrée dans l Exercice 5.. À partir de cte formule, on peut montrer toutes les autres. En eff, en utilisant que le cosinus est une fonction paire le sinus est impair, on a cosx + y) = cosx y)) = cos x cos y) + sin x sin y) = cos x cos y sin x sin y, qui montre bien la deuxième formule. Pour montrer la troisième formule on utilise la relation entre le cosinus le sinus voir ci-dessus) π ) π ) ) sinx y) = cos x y) = cos x + y π ) π ) = cos x cos y sin x sin y = sin x cos y cos x sin y. Finalement, on montre comme obtenir la cinquième formule. On a tanx y) = sinx y) sin x cos y sin y cos x cos y sin x tan y cos x) = = cosx y) cos x cos y + sin x sin y cos y cos x + sin x tan y) sin x tan y cos x = cos x + sin x tan y cos xtan x tan y) = cos x + tan x tan y) tan x tan y = + tan x tan y, qui termine la preuve. Essayez de montrer les formules qui restent.

4 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES.5. Formules de duplication. cos x = cos x sin x = cos x = sin x sin x = sin x cos x tan x = tan x tan x Démonstration. Il s agit tout simplement de cas particuliers des formules d addition, il suffit de choisir x = y. À titre d exemple, on montre la formule pour le cosinus. On a donc cosx) = cosx + x) = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x. En utilisant l identité remarquable, on a aussi cosx) = cos x sin x = cos x cos x) = cos x ce qui termine la preuve. cosx) = cos x sin x = sin x) sin x = sin x,.6. Formules de l angle moitié. x ) + cos x cos = x ) cos x sin = tan x = cos x + cos x Démonstration. À titre d exemple, on montre la première. D après les formules de duplication, on sait déjà que cos x = cos x ) = cos x ), c est-à-dire on a que cos x ) Il suffit de prendre la racine carrée pour conclure. = cos x +.

5 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 5.7. Quelques valeurs remarquables. cos 0 = cos π 6 = 3 cos π = cos π 3 = cos π = 0 sin 0 = 0 sin π 6 = sin π = sin π 3 = 3 sin π = tan 0 = 0 tan π 6 = 3 tan π = tan π 3 = 3 Démonstration. Toutes ces valeurs peuvent être derminées en utilisant la définition de cosinus, sinus tangente le Théorème de Pythagore. Par exemple, par construction.) cos π = sin π, cte quantité correspond à la longueur des côtés d un triangle rectangle isocèle, dont l hypothenuse a longueur. On trouve alors cos π + sin π =, en utilisant.), ça implique donc finalement cos π =, cos π =. Essayez de calculer toutes les autres valeurs..8. Identité d Euler..) e i x = cos x + i sin x, x R.. Fonctions trigonométriques réciproques.. Arc cosinus. La fonction cos : R [, ] est surjective, mais pas injective, en tant que fonction périodique. Mais si on considère la restriction du cosinus à l interval [0, π], cte fonction devient aussi injective donc bijective. Sa fonction réciproque s appelle arc cosinus : par définition de fonction réciproque il s agit de la fonction On a donc que arccos : [, ] [0, π] y la seule solution x [0, π] de l équation cos x = y arccos y = le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut y.

6 6 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES Par construction, on a arccoscos x) = x, pour tout x [0, π] x = cosarccos y), pour tout y [, ]. Exemple.. On a arccos ) = π 3, car π/3 est le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut /. Faites attention à l exemple suivant. Exemple. Exemple piège!!). Ça fait combien )) 7 arccos cos 6 π =? On aurait envie de répondre 7/6 π, mais comme 7 π [0, π], 6 on sait que celle-ci n est pas la réponse correcte. Par définition de arccos, on sait que la réponse doit être le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut cos7/6 π). Alors, comme ) ) 5 7 cos 6 π = cos 6 π, 5/6 π est le seul arc entre 0 π avec cte proprié, on a que la réponse correcte est bien )) 7 arccos cos 6 π = 5 6 π... Arc sinus. La fonction sin : R [, ] est à nouveau surjective, mais pas injective. Si on considère la restriction du sinus à l interval [ π, π ], cte fonction devient aussi injective donc bijective. Sa fonction réciproque s appelle arc sinus, donc on a [ arcsin : [, ] π, π ] y la seule solution π/ x π/ de l équation sin x = y Par définition, on peut aussi dire arcsin y = le seul arc compris entre π/ π/ dont le sinus vaut y. Bien évidemment, on aura [ π arcsinsin x) = x, pour tout x, π ] x = sinarcsin y), pour tout x [, ].

7 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 7 Exemple.3. On a par exemple arcsin ) = π 6 ) arcsin = π..3. Arc tangente. En ce qui concerne la fonction tangente, elle aussi est périodique, donc elle n est pas injective. De tout façon, sur tout interval du type π/ + k π, π/ + k π) elle est strictement croissante donc injective. En particulier, sa restriction tan : π, π ) R, est bijective, donc il y a la possibilité de définir sa fonction réciproque. Il s agit de la fonction arc tangente arctan : R π, π ) y la seule solution π/ < x < π/ de l équation tan x = y Par définition, on a que arctan x = le seul arc compris strictement) entre π π dont la tangente vaut x. Elle a donc la proprié π arctantan x) = x, pour tout x, π ) y = tanarctan y), pour tout y R 3. Fonctions hyperboliques 3.. Définitions de cosinus sinus hyperbolique. D après l identité d Euler.) on a cos x = Ree i x ) sin x = Ime i x ). En outre, toujours grace à l identité d Euler, on a e i x = e i x) = cos x) + i sin x) = cosx) i sinx), donc e i x est le conjugué de e i x. Ceci perm de dire 3.) cos x = ei x + e i x i sin x = ei x e i x Avec un peu de courage, on peut se demander : qu est-ce qui se passe si on remplace x par i x dans les formules précédentes? Bien sûr, on n a pas le droit de faire ça, car on n a définit les fonctions cosinus sinus que pour des arguments réels...mais bon, voyons qu est-ce que ça donne quand même, au moins au niveau formel. En utilisant que i =, on obtiendra cosi x) = ex + e x i sini x) = ex e x.

8 8 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES,5,5 0,5 -, - -,6 -, -0,8-0, 0 0, 0,8,,6, Figure. Construction du graph de x cosh x Les deux fonctions à droite s appellent avec la notation x ex + e x x ex e x cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x, x R. L argument purement formel!) précédent justifie pourquoi ces deux fonctions s appellent cosinus sinus...mais pourquoi hyperbolique? Une justification de ça vient de l identité remarquable pour les fonctions hyperboliques 3.) cosh x sinh x =, x R. Démonstration. Par verification directe, on a e cosh x sinh x + e x ) e x e x x = qui montre 3.). ) = ex + + e x e x + e x ) =,

9 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 9 cosh x, sinh x) Figure 3. Paramétrisation d une branche de l hyperbole X Y = Remarque 3.. La formule 3.) implique que I = {X, Y ) R : x R tel que X = cosh x, Y = sinh x} = {X, Y ) R : X Y = X 0}, c est-à-dire, grâce à cosh sinh on peut paramétrer une branche de l hyperbole ayant équation cartesienne X Y =. 3.. Propriétés. On observe tout d abord que cosh x) = e x + e x = cosh x, pour tout x R, sinh x) = e x e x = sinh x, pour tout x R, donc le cosinus hyperbolique est une fonction paire, tant que sinus hyperbolique est impaire. Lemme 3. Monotonie). La fonction cosinus hyperbolique est strictement croissante sur [0 + ), tant que la fonction sinus hyperbolique est strictement croissante sur R. Démonstration. On sait déjà que la fonction exponentielle x e x est strictement croissante. On observe alors que si x > x 0, on a e x e x > 0. Toujours grâce au fait que x > x 0, on a aussi e x e x > donc e x e x > ex e x e x e x.

10 0 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES On observe maintenant que e x e x > ex e x e x e x e x e x > e x e x e x + e x > ex + e x ex + e x > ex + e x. Cela montre bien que x cosh x est strictement croissante sur [0, + ). Pour montrer la monotonie de x sinhx), il suffit d observer que x e x x e x, sont deux fonctions strictement croissantes. Donc x sinhx) est strictement croissante en tant que somme de deux fonctions ayant cte monotonie. Comme x cosh x est une fonction paire qui est strictement croissante pour x 0, alors elle est strictement decroissante pour x < 0. Ceci implique que cosh x cosh 0 =, pour tout x R. Comme on a aussi lim cosh x = +, x + que le cosinus hyperbolique est une fonction continue, on obtient que son image coincide avec l intervalle [, + ). On a donc que est une fonction bijective. [0, + ) [, + ) x cosh x Par contre, comme le sinus hyperbolique est strictement croissante sur R, on obtient qu elle est injective. En outre, comme il s agit d une fonction surjective aussi. lim sinh x = + lim sinh x =, x + x. Ici on utilise le Théorème des valeurs intermédiares pour en deduire la surjectivité. Mais ce n est pas vraiment nécessaire, il serait suffisant de revenir à la définition de surjectivité montrer que y, x R tel que ex e x = y. La dernière équation peut être résolue explicitement voir Section ).. À nouveau, pour la surjectivité on pouvait montrer directement que Voir Section. y R, x R tel que ex e x = y.

11 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 3.3. La tangente hyperbolique. On définit aussi la tangente hyperbolique de x R comme tanh x = sinh x cosh x = ex e x +, x R. C est immediat à voir que tanh x) = sinh x) cosh x) = sinh x = tanh x, x R. cosh x Lemme 3.3. La fonction tangente hyperbolique est strictement croissante sur R. En outre, on a 3.3) < tanhx) <, pour tout x R. Démonstration. Pour montrer la monotonie, on observe tout d abord que on peut écrire la tangente hyperbolique comme 3.) tanh x = e x e x + = e x + e x = + e x +. Comme la fonction x e x + est strictement croissante, on a que est strictement decroissante finalement x e x +, x e x +, est strictement croissante. En utilisant cte information dans 3.), on trouve que x tanh x est strictement croissante. En ce qui concerne 3.3), on observe que comme e x < e x +, alors tanh x = e x e x + < e x + e x + =. D autre part, comme e x > e x, on a aussi Cela termine la preuve. tanh x = ex e x + > ex e x + =. En particulier on a que x tanh x est une fonction injective, dont l image est compris dans l intervalle, ). On verra dans la prochaine section qu en eff elle est bien une bijection entre R, ).

12 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 3.. Formules d addition. Pour tout x, y R, on a les identités suivantes coshx + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y coshx y) = cosh x cosh y sinh x sinh y sinhx + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y sinhx y) = sinh x cosh y cosh x sinh y tanhx y) = tanhx + y) = tanh x tanh y tanh x tanh y tanh x + tanh y + tanh x tanh y Démonstration. La démonstration de la première est par verification directe. On a en eff cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex + e x Pour coshx y) il suffit de remarquer que e y + e y + ex e x = ex+y + e x y + e y x + e x y + ex+y e x y e y x + e x y = ex+y + e x y = coshx + y). e y e y coshx y) = coshx + y)), après utiliser la formule précédente, ainsi que le fait que cosh y) = cosh y que sinh y) = sinh y. En ce qui concerne le sinus hyperbolique, on a sinh x cosh y + cosh x sinh y = ex e x ce qui termine la preuve. e y + e y + ex + e x = ex+y + e x y e y x e x y + ex+y e x y + e y x e x y = ex+y e x y = sinhx + y), e y e y

13 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 3 Finalement, on demontre la première formule pour la tangente hyperbolique. En revenant à la définition en utilisant les formules d additions précédentes, on a donc tanhx y) = Essayez de montrer les formules qui restent. sinhx y) sinh x cosh y cosh x sinh y = coshx y) cosh x cosh y sinh x sinh y cosh y sinh x cosh x tanh y) = cosh y cosh x sinh x tanh y) sinh x cosh x tanh y = cosh x sinh x tanh y cosh x tanh x tanh y) = cosh x tanh x tanh y) tanh x tanh y = tanh x tanh y. Remarque 3.. On pouvait deviner les formules d addition du cosinus hyperbolique du sinus hyperbolique, en utilisant celles pour le cosinus le sinus le fait que au niveau purement formel) Cela donnait par exemple cosi x) = cosh x i sini x) = sinh x. coshx y) = cosi x i y) = cosix) cosi y) sini x) sini y) où on a utilisé que i =. = cosi x) cosi y) + i sini x)) i sini y)) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, 3.5. Formules de duplication. En choisissant x = y dans les formules d addition, on obtient les identités suivantes cosh x) = cosh x + sinh x sinh x) = cosh x sinh x tanh x) = tanh x tanh x.. Fonctions hyperboliques réciproques.. Argument cosinus hyperbolique. On a vu que si on considère la restriction du cosinus hyperbolique sur la demi-droite [0, + ), alors cosh : [0, + ) [, + ),

14 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES devient bijective donc elle adm l application réciproque, qui s appelle argument cosinus hyperbolique. Il s agit de la fonction arg cosh : [, + ) [0, + ) y la seule solution x [0, + ) de l équation cosh x = y Par définition d application réciproque, elle a les propriétés arg coshcosh x) = x, pour tout x 0, cosharg cosh y) = y, pour tout y. Il se trouve qu on peut aussi donner une forme explicite de arg cosh x : pour cela, pour tout y il nous suffit de résoudre par rapport à x) l équation suivante, cosh x = y, parmi les x 0. En revenant à la définition de cosh x, ceci est équivalent à chercher x 0 tel que e x + e x = y. On observe que e x + e x = y ex + e x = y e x + = y e x e x y e x + = 0. Au fin de résoudre la dernière équation, on pose A = e x celle-ci devient Les solutions sont A y A + = 0. A = y + y A = y y. Maintenant on se souvient qu on avait posé A = e x qu on avait la condition x 0, donc la seule solution qui est la bonne pour nous est celle telle que A e 0 =. Finalement, ça veut dire donc On peut donc en conclure que arg cosh y = ln e x = y + y, x = ln y + ) y. y + ) y, y.

15 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 5.. Argument sinus hyperbolique. On a vu que la fonction sinh : R R, est bijective. Donc elle adm l application réciproque, qui s appelle argument sinus hyperbolique. Il s agit de la fonction Comme d habitude, on a arg sinh : R R y la seule solution x R de l équation sinh x = y arg sinhsinh x) = x, pour tout x R, sinharg sinh y) = y, pour tout x R. À nouveau, on peut donner une forme explicite de y arg sinh y, en terme de fonctions usuelles. Pour cela, pour tout y R il nous suffit de résoudre par rapport à x) l équation suivante, sinh x = y, En revenant à la définition de sinh x, ceci est équivalent à On observe que e x e x e x e x = y. = y ex e x = y e x = y e x Comme avant, on pose A = e x l équation précédente devient dont le solutions sont A y A = 0, e x y e x = 0. A = y + y + A = y y +. Maintenant on se souvient qu on avait posé A = e x qui est toujours une quantité positive, donc la seule solution qui est la bonne pour nous est celle telle que A 0. Comme on a ça veut dire qu il faut choisir donc On en peut donc conclure que arg sinh y = ln y y = y < y +, e x = y + y +, x = ln y + ) y +. y + ) y +, x R.

16 6 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES.3. Argument tangente hyperbolique. On essaye maintenant de montrer que tanh : R, ) x ex e x + est une fonction bijective. On a d jà vu qu elle est injective, en tant que strictement croissante. On trouvera au même temps sa fonction réciproque, qui s appellera argument tangente hyperbolique. Pour cela, il nous suffira de montrer que 3 y, ),! x R tel que ex e x + = y. On a donc pour tout < y < e x e x + = y ex = y e x + ) e x y) = + y) e x = + y y ) + y x = ln y qui montre que l équation initiale à une seule solution x, donnée par x = ) + y ln. y Donc la tangente hyperbolique est bjective comme fonction de R à, ) sa fonction réciproque arg tanh :, ) R, est définie par arg tanh y = ) + y ln, < y <. y Remarque.. L hypothèse < y < est cruciale pour pouvoir dire que l équation e x = + y y, adm une solution. En eff, on remarque que e x > 0 pour tout x R, donc il est nécessaire d avoir + y y > Faites attention : le fait qu une solution existe donnera la surjectivité ; l unicité de cte solution montrera bien l injectivité. On sait déjà que cte dernière propriété est vraie : on va la rrouver quand même, avec une mhode differente.

17 On voit assez facilement que 5.. Fonctions circulaires. FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 7 + y y > 0 < y <. 5. Exercices Exercice 5.. Justifier géométriquement que cosx y) = cos x cos y + sin x sin y, x, y R. Démonstration. Tout d abord, on observe qu on peut toujours supposer que x y, car le cosinus est une fonction paire, donc cosx y) = cosy x). En outre, on peut supposer x > y, car si x = y l identité est évidente. On fait l hypothèse supplementaire que x, y [0, π/], pour simplicité. Si on se refère à la Figure, on voit que cosx y) = OC, donc il faut montrer que On observe que que OC = cos x cos y + sin x sin y. OM = cos x cos y, MC = sin x OM sin y) sin y = sin x sin y cos x cos y sin y. Finalement on obtient cosx y) = OC = OM + MC = cos x cos x + sin x sin y cos y cos y sin y = cos x cos y sin y) + sin x sin y = cos x cos y + sin x sin y, qui termine la preuve, dans l hypothèse 0 y x π/. Exercice 5.. Montrer les formules cos p + cos q = cos p + q sin p + sin q = sin p + q cos p q cos p q cos p cos q = sin p + q sin p sin q = sin p q sin p q cos p + q

18 8 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES y M C O x y y Démonstration. On observe que Figure. La formule d addition du cosinus p = p + q + p q q = p + q donc d après les formules d addition du cosinus, on obtient cos p + cos q = cos p + q + cos p + q = cos p + q cos p q cos p q cos p q. sin p + q + sin p + q p q, Pour les autres formules on pourra procéder de la même manière. sin p q sin p q Exercice 5.3. Montrer que, avec t = tanx/) pour des valeurs de x que l on precisera, on a cos x = t + t sin x = t + t tan x = t t. Démonstration. On observe que t = tan x/ implique que pour tout x π, π) on a donc x = arctan t, cos x = cos arctan t) = cos arctan t) = + tan arctan t) = t + t,

19 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 9 où on a utilisé la formule de duplication pour le cosinus la rélation 5.) + tan x = cos x. Pour montrer la formule pour sin x on procède de manière similaire : on a sinx) = sin arctan t) = sinarctan t) cosarctan t) = tanarctan t) cos arctan t) = t + t, où on a utilisé à nouveau la rélation 5.). Finalement, pour la troisième formule on a tan x = sin x cos x = évidemment on doit avoir x ±π/. Exercice 5.. Montrez que Démonstration. On a 3x = x + x, donc t + t + t t = t t, sin 3x = 3 sin x sin 3 x sin 3x = sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x + sin x sin 3 x, où on a utilise les fomules sin x = sin x cos x cos x = sin x. Pour terminer, il suffit d utiliser l identité fondamentale cos x + sin x =, donc qui termine la preuve. Exercice 5.5. Montrez que Exercice 5.6. Résoudre l équation sin 3x = 3 sin x sin 3 x, cos 3x = cos 3 x 3 cos x. cos x + cos x + cos 3x = 0. Démonstration. On va utiliser deux méthodes. Première mhode. En utilisant l Exercice précédent la formule de duplication, on a cos x + cos x + cos 3x = cos x + cos x + cos 3 x 3 cos x = cos 3 x + cos x cos x = cos x cos x + ) cos x + ) = cos x + ) cos x ),. Faites attention : on a le droit de diviser par cosarctan t) car ceci n est pas zero...pourquoi?

20 0 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES d où l équation initiale est équivalente à cos x + ) cos x ) = 0. Toute solution de cte équation sont données par cos x = ou cos x =, c est-à-dire l ensemble de toute solution est donné par { 3 π + k π, 3 π + k π, π + k π } : k Z. Deuxième mhode suggestion de M. Guillaume Guion). D après les formules de l Exercice 5., on a ) ) 3x + x 3x x cosx) + cos3x) = cos cos = cosx) cos x, donc l équation initiale est équivalente à c est-à-dire Après on trouve les solutions comme avant. Exercice 5.7. Résoudre l équation cos x 5 ) π cosx) cos x + cosx) = 0, cosx) cos x + ) = 0. π ) = cos x. Démonstration. Par construction de la fonction cosinus, on a que cos α = cos β α = β + k π ou α = β + k π, k Z. En utilisant ça avec on obtient aussi Donc les solutions de l équation sont { π α = x 5 π β = π x, x 5 π = π x + k π, k Z, x 5 π = x π + k π, k Z. + k π, k + ) π : k Z 3 }.

21 Exercice 5.8. Résoudre l équation cos x + π ) 3 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES = sin x + 3 ) π. Démonstration. Tout d abord, en utilisant que π ) sinx) = cos x, on voit que l équation initiale peut s écrire aussi dans la forme cos x + π ) = cos π ) 3 x. Comme dans l Exercice précédent, ceci revient à dire x + π 3 = π x + k π, k Z, Donc au final on trouve comme solutions { Exercice 5.9. Résoudre l équation x + π 3 = π + x + k π, k Z π + k π 3, π + k π : k Z cosx) + 3 sinx) =. Démonstration. Ici on peut utiliser une astuce : on observe tout d abord que si on multiplie l équation par / 3 cosx) + sinx) =, cte nouvelle équation est équivalente à celle du début, c est-à-dire elle a les mêmes solutions. Quelle est l avantage d avoir fait ça? On se souvient que cos π 3 = sin π 3 3 =, donc finalement en utilisant les formules d addition notre équation devient cos x π ) = 3. }. Ceci revient à dire que ou x π 3 = π + k π, 3 k Z, x π 3 = 3 π + k π, k Z

22 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES donc l ensemble des solutions est donné par { π + k π, 5 } 6 π + k π : k Z. Exercice 5.0. Résoudre l équation tan 3x = tan x. Démonstration. Tout d abord, il faudra avoir 5.) x π + k π = k + ) π x π 6 + k π 3 = k + ) π 6, car sinon les écritures tan 3x tan x n ont pas de sens. Après, on observe que tan α = tan β α = β + k π. Donc tan 3x = tan x 3x = x + kπ. En tenant compte de la restriction 5.), on trouve donc { } k π : k Z avec k pair. comme ensemble des solutions. Exercice 5.. Résoudre l équation Démonstration. On pose pour simplicité alors l équation à résoudre est la suivante cos x + sin x =. X = cos x Y = sin x, X + Y = sous contrainte X + Y =. Finalement, ça revient à résoudre le système suivant { X + Y = X + Y = Ce n est pas difficile à voir que les seules solutions sont { { X = 0 X = Y = Y = 0 En revenant à la variable initiale, on trouve { cos x = 0 sin x = { cos x = sin x = 0 donc les solutions sont tout x tel que le cosinus ou le sinus s annullent, c est-à-dire x = k π, k Z.

23 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 3 Exercice 5.. Soient A, B R. montrez qu il existe r 0 ϕ R tels que 5.3) A cos x + B sin x = r cosx ϕ), pour tout x R. Démonstration. On observe que par la formule d addition du cosinus, on a r cosx ϕ) = r cos ϕ cos x + r sin ϕ sin x, donc pour démontrer 5.3), il nous suffira de prouver que on peut r, ϕ tels que A = r cos ϕ, B = r sin ϕ. On commence par observer que si A = B = 0, alors 5.3) est vraie avec r = 0 ϕ quelconque. Supposons maintenant que A + B 0. En utilisant l identité fondamentale, i.e. cos x + sin x =, on arrive à trouver r. On aura A + B = r, c est-à-dire r = A + B. Donc, pour terminer il nous manque de montrer qu il existe ϕ R tel que A B cos ϕ = sin ϕ = A + B A + B. On observe que si A = 0 B 0, alors il faut que ϕ satisfait 5 cos ϕ = 0 sin ϕ = B B, donc si A = 0 B 0, une solution est donnée par π, si B > 0, ϕ = π, si B < 0. Si A 0, alors on pourra dire que ϕ doit satisfaire On trouve alors comme possible solution ϕ = arctan π + arctan tan ϕ = B A. ) A, si A > 0, B ) A, si A < 0. B Pour comprendre le deuxième cas, il faut noter que arctan x est toujours compris entre π/ π/, donc son cosinus est toujours positif. Mais vu le signe A nous donne le signe 5. Rappel : si x R, on a x = x.

24 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES de cos ϕ aussi, quand A < 0 il faut rajouter à arctanb/a) un demi tour : de cte manière, la tangente de π + arctanb/a) reste la même par periodicité de la tangente), mais on changé de signe à son cosinus. Exercice 5.3. Appliquer l Exercice précédent à cos x + sin x. Démonstration. Il suffira d utiliser l Exercice précédent, avec A = B =. Alors on obtient la formule 5.3) avec r = ϕ = arctan = π, c est-à-dire cos x + sin x = cos x π ). qui termine l Exercice. Exercice 5.. Pour x R, simplifier n cosk x). k=0 Démonstration. L astuce est de regarder cte somme de cosinus comme une somme de puissances. À ce propos, on se souivent que e i x = cos x + i sin x, donc Plus en général, on aura donc cos x = ei x + e i x. alors n cosk x) = k=0 cosk x) = ei k x + e i k x, k N, n e i k x + e i k x = k=0 n e i k x + k=0 n e i k x. Maintentant il faudra utiliser l égalité suivante pour la somme des puissances voir les exercises de Quelques outils ) : si a C \ {}, on a n k=0 a k = an+ a, k=0

25 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 5 on utilise ça avec a = e i x a = e i x. On a donc n cosk x) = k=0 = Maintenant on utilise à nouveau que ) e n+) i x e i x + e n+) i x e i x ) e i x e i n+) x + e i n x e i x e i x + ei x + e i n x e i n+) x e i x e i x. e i x + e i x = cos x e i n x + e i n x = cosn x), e i n+) x + e i n+) x = cosn + ) x), donc on obtient n cosk x) = k=0 cos x + cosn x) cosn + ) x) cos x) = cos x + cosn x) cosn + ) x) cos x = + cosn x) cosn + ) x). cos x En utilisant la formule d addition du cosinus, on pourra encore un peu simplifier cte expression : on a n cosk x) = + k=0 = cosn x) cosn + ) x) cos x + cosn x) + sinn x) sin x cos x Remarque 5.5. Évidemment, la formule précédente est très utile quand n N devient grand. Au lieu d avoir une somme de n termes, on n a que trois termes, qui dependent seulement des cosinus sinus de x n x. Exercice 5.6. Pour tout n N, écrivez cosn x) seulement en fonction de puissances de sin x cos x. ).

26 6 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES Démonstration. À nouveau, on pourra utiliser l identité ei x = cos x + i sin x. On a donc, en utilisant la formule du bynôme de Newton voir dans les exercises de Quelques outils ) cosn x) = ei n x + e i n x Tout d abord, on observe que = ei x ) n + e i x ) n = cos x + i sin x)n + cos x i sin x)n = n ) n i) k cos n k x sin k x k k=0 + n ) n i) k cos n k x sin k x k k=0 = n ) n [i k + i) k ] cos n k x sin k x. k k=0 i k + i) k = i k + ) k i k = après on se souvient que i =, donc c est-à-dire que en général { i k, si k est pair, 0, sinon, i =, i =, i 6 =... ainsi de suite, i m = ) m, m N. Donc la bonne nouvelle est que dans l expression précédente pour cosn x)...il n y a jamais i! Plus précisement, on aura { k i k + i) k = ), si k est pair, 0, sinon, Donc, finalement on obtient 6 cosn x) = 0 k n tel que k est pair ) n ) k cos n k x sin k x, k c est-à-dire, en remplaçant k par un nouveau index m = k/, on obtient 5.) cosn x) = qui termine la preuve. [n/] m=0 ) n ) m cos n m x sin m x, m 6. Ici, on note [α] la partie entière d un nombre α, c est-à-dire le plus grand nombre entier inferieur ou égal à α.

27 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 7 Exercice 5.7. Repez l exercice précédent, en remplaçant cosn x) par sinn x). Remarque 5.8. On observe que pour n =, la formule 5.) donne ) cos x) = ) m cos m x sin m x m m=0 = cos x sin x, c est-à-dire, on a rrouvé la formule usuelle de duplication pour le cosinus. Pour n = 3, on rrouve ) 3 cos3 x) = ) m cos 3 m x sin m x m comme dans l Exercice 5.5. m=0 5.. Fonctions circulaires réciproques. = cos 3 x 3 sin x cos x = cos 3 x 3 cos x, Exercice 5.9. Montrer que pour tout x [, ], on a arcsin x + arccos x = π/. Démonstration. On commence par observee que pour x = x = la formule est vraie. Maintenant on considère 0 x < on voit que l identité dans ce cas vient directement de la constuction géomrique de cosinus sinus pourquoi?). Pour le cas < x < 0, on observe que car il s agit d une fonction impaire, aussi Donc on a arcsinx) = arcsin x), arccosx) = π arccos x). arcsinx) + arccosx) = π arcsin x) + arccos x)), si < x < 0, alors 0 < x < donc on peut utiliser la partie précédente de l exercice conclure. Exercice 5.0. Calculer arcsin sin sin arcsin Démonstration. On observe que ) sin 3 π )) 3 π )) 5 8 arccos sin cos arcsin 5 )) 5 π )) ) π ) = sin 3 π π = sin, 3

28 8 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES π/3 [ π/, π/], donc on obtient arcsin )) sin 3 π = π 3. Le deuxième est un peu plus compliqué, mais d après l Exercice 5.9, on sait que )) 8 arccos sin 5 π = π )) 8 arcsin sin 5 π, on observe que sin ) ) ) π = sin 5 π = sin 5 π π = sin 5 ) π, /5 π [ π/, π/], donc au final )) 8 arccos sin 5 π = π arcsin sin 5 )) π = π + 5 π = 9 0 π. Pour le troisième il n y a pas grand chose à faire, d après la définition de fonction réciproque on a )) sin arcsin = 5 5, car /5 [, ]. Et finalement, pour le dernier, on observe tout d abord que par construction on a ) π arcsin 5 π donc )) 0 cos arcsin. 5 Finalement, en utilisant cte information l identité remarquable, on a )) )) )) cos arcsin = cos 5 arcsin = sin arcsin 5 5 ) = = Exercice 5.. Calculer cosarcsinx)) sinarccosx)). Démonstration. On commence par remarquer que π arcsinx) π, x [, ], donc cosarcsinx)) est toujours unq quantité positive. Alors cosarcsinx)) = cos arcsinx)) = sin arcsinx)) = x.

29 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 9 De manière similaire, on a 0 arccosx) π, donc sinarccosx)) est toujours positif à nouveau sinarccosx)) = sin arccosx)) = cos arccosx)) = x. Exercice 5.. Calculer cosarctanx)) sinarctanx)). Démonstration. Comme avant, grâce au fait que π < arctanx) < π, on a que cosarctanx)) est toujours positif donc cosarctanx)) = cos arctanx)) = où on a utilisé que + tan arctanx)) = + tan x = cos x, x π + k π, k Z. Pour le sinus, il faudra faire un peu plus attention : on voit que sinarctanx)) 0, si x 0, sinarctanx)) < 0, si x < 0. Donc on aura sinarctanx)) = sin arctanx)) = cos arctanx)) = x + x = + x x =, si x 0, + x + x, c est-à-dire sinarctanx)) = sin arctanx)) = cos arctanx)) = x + x = + x x =, si x < 0, + x sinarctanx)) = x + x, x R.

30 30 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES Exercice 5.3. Calculer tanarccosx)), pour tout x [, 0) 0, ], tanarcsinx)), pour tout x, ). Démonstration. Il nous suffit d utiliser un exercice précédent la définition de tangente. On a donc tanarccosx)) = sinarccosx)) x cosarccos x) =, x 0 x aussi tanarcsinx)) = sinarcsinx)) cosarcsin x) = x, < x <. x Exercice 5.. Verifiez qu on a les rélations suivantes ) arctanx) + arctan = π x, x > 0 ) arctanx) + arctan = π x, x < 0. Démonstration. Il nous suffira de montrer la première après il suffit d utiliser que l arctangente est une fonction impaire. Mhode géométrique. On considère un triangle rectangle ayant côtés de longueur x. Soit α l angle opposé au cathète de longueur x, alors on a De la même façon, on a x = tan α, c est-à-dire α = arctanx). = x tan β, c est-à-dire β = arctan ), x où est l angle opposé au cathète de longueur. Vu que α β sont complementaires, on obtient ) π = α + β = arctanx) + arctan. x Mhode analytique. On considère la fonction hx) = arctanx) + arctan qui est dérivable sur 0, ). Sa dérivée vaut ), x > 0, x h x) = + x = 0, x > 0, + x

31 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 3 α β x donc la fonction h est constante sur 0, + ), c est-à-dire que hx) = h) = π + π = π, x > 0, qui termine la démonstration. Exercice 5.5. Vérifier qu on a 5.5) π arctanx) + arctany) π, x, y R tels que x y. Démonstration. En fait, on observe que si x y 0, c est-à-dire si x 0 y 0 ou viceversa, on a 0 arctanx) π π arctany) 0 ou viceversa, donc on obtient π arctanx) + arctany) π, dans ce cas. Supposons maintenant que 0 x y que y 0, alors en utilisant que la fonction y arctanx) + arctany) est croissante, on obtient ) 0 arctanx) + arctany) arctanx) + arctan = π x. Si par contre 0 x y y 0, alors on a x 0 aussi y /x. En utilisant à nouveau la croissance de l arctangente la rélation précédente, on a donc π ) arctanx) + arctan arctanx) + arctany) 0, x

32 3 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES qui termine la démonstration de 5.5) Exercice 5.6. Vérifiez que π arctanx) + arctany) π, x, y > 0 x y, π arctanx) + arctany) π, x, y < 0 x y. Démonstration. Il suffit d utiliser la monotonie de l arctangente ) π arctanx) + arctan arctanx) + arctany) π. x Pour la deuxième, on peut utiliser le même argument. Exercice 5.7. Vérifiez qu on a arctantan x), si x π, π ), x = arctantan x) π, si x [ π, π ) arctantan x) + π, si x π, π] Démonstration. Soit x π/, π/), alors sur c interval la fonction tangente est inversible, son fonction réciproque ant donnée par arctan, donc on a arctantan x) = x. Si π x < π/, alors il existe 0 y < π/ tel que x = y π donc d où on obtient arctantan x) = arctantany π)) = arctantan y) = y, x + π = arctantan x). Le cas π/ < x π se démontre de manière similaire. Exercice 5.8. Montrer que arctanx) + arctany) = ) x + y arctan, si x y <, x y ) x + y arctan + π, si x y > x, y > 0, x y ) x + y arctan π, si x y > x, y < 0, x y x x π, si x y =.

33 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 33 Démonstration. Il faut distinguer 3 cas : si x, y R sont tels que x y <, alors on a vu que π arctanx) + arctany) π, donc d après l exercice précédent les formules d addition pour la tangente, on obtient ) x + y arctanx) + arctany) = arctantanarctanx) + arctany))) = arctan. x y Par contre, si x y >, alors arctanx) + arctany) = arctan ) x + y + π, si x, y > 0, x y ) x + y arctanx) + arctany) = arctan π, si x, y < 0. x y Et finalement, dans le cas x y =, on a tout simplement qu on a déjà montré. Exercice 5.9. Calculer arctanx) + arctany) = π, si x > 0, arctanx) + arctany) = π, si x < 0, arctan ) ) ) + arctan + arctan. 7 3 Essayez de ne pas utiliser la calculte, sinon l exercice ne sert absolument à rien...) Démonstration. On observe tout d abord qu en utilisant 5.5) avec x = y = /, on obtient ) ) ) arctan = arctan + arctan ) = arctan 8 = arctan. 5 6 De manière similaire, on a ) arctan 3 = arctan 3 = arctan ) + arctan ) = arctan ) 3. 8

34 3 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES On s est ramené à calculer arctan ) 8 + arctan 5 ) + arctan 7 ) 3. 8 En utilisant à nouveu 5.5), cte fois avec x = 8/5 y = /7, on a ) ) 8 8 arctan + arctan = arctan ) = arctan ) 7 = arctan. 97 Finalement, en utilisant encore une fois 5.5) on obtient ) ) ) 7 arctan + arctan + arctan = arctan ) + arctan 7 = arctan = arctan = arctan) = π. Pour montrer que le rapport ci-dessous vaut, on a utilisé que = 8 =, donc si pour un instant on appelle p = 97 q = 7, la fraction à calculer devient p + q q = p p + q 7. Observez que les nombres 3, 7 97 sont primes. = + p p q q p q q p + q) + p p q) p p + q) q p q) q p + q + p q p = p + p q q p + q =. ) )

35 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 35 En particulier, on n avait pas besoin de developper tous les calculs. Exercice Résoudre l équation arctan x) + arctanx) = π. Démonstration. On commence en remarquant que les solutions de cte équation on pourra les chercher directement parmi les x > 0, car De la même manière, on observe que arctanx) + arctanx) 0, si x 0. x > = arctanx) > π, donc on sait déjà que les solutions, si elle existent, elles seront compris dans l interval 0, /). Donc on en train de résoudre arctan x) + arctanx) = π, parmi les x tels que 0 < x <. Maintenant on observe que pour x 0, /), on a x x = x <, on peut donc utiliser l Exercice 5.8 obtenir donc finalement on doit résoudre arctan x) + arctanx) = arctan arctan ) 3 x x = π, ) 3 x x, pour 0 < x < /. Comme x arctan x est une fonction injective, l équation précédente donne 3 x x =, qui a une seule solution dans l interval 0, /), ceci ant donnée par 8 8. Pas besoin de la calculte pour verifier que Il suffit d observer que x = < < > <. = = 3 + =, = > 0.

36 36 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES Cela termine l exercice Fonctions hyperboliques. Exercice 5.3. Montrer que pour tout x R on a 5.6) tanh x = cosh x. Démonstration. Il suffit d utiliser la définition de tangente hyperbolique l identité remarquable pour les fonctions hyperboliques. Alors on a tanh x = sinh x cosh x = cosh sinh x cosh = x Ça termine la preuve. Exercice 5.3. Montrer que pour tout x [, + ) on a sinh arg cosh x) = x. Démonstration. On commence par observer que que On a donc sinh arg cosh x) = arg cosh x 0 pour tout x, sinhy) 0, pour tout y 0. cosh x. sinh arg cosh x) = cosh arg cosh x) qui termine la démonstration. Exercice Montrer que pour tout x R on a = x, cosh arg sinh x) = x +. Démonstration. Il suffit de noter que le cosinus est toujours positif donc cosh arg sinh x) = cosh arg sinh x) = + sinh arg sinh x) = + x. Exercice 5.3. Montrer que pour tout < x <, on a cosh arg tanh x) =, x aussi sinh arg tanh x) = x x.

37 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES 37 Démonstration. Pour montrer la première, il nous suffit d utiliser 5.6) le fait que le cosinus hyperbolique est toujours positif. Ceci perm de dire cosh arg tanh x) = cosh arg tanh x) = tanh arg tanh x) = x. Pour le sinus hyperbolique il faudra faire un peu d attention, car on a Donc on a c est-à-dire, on a sinh y 0 si y 0, sinh y < 0 si y < 0, arg tanh x 0 si x [0, ), arg tanh x < 0 si x, 0). sinh arg tanh x), x [0, ), sinharg tanh x) = sinh arg tanh x), x, 0), cosh arg tanh x), x [0, ), = cosh arg tanh x), x, 0), tanh, x [0, ), arg tanh x) = tanh, x, 0), arg tanh x) sinharg tanh x) = Finalement, cela montre bien que sinharg tanh x) = x, x [0, ), x x, x, 0). x x, x, ). x On observe qu on a utilisé x = x = { x, si x 0, x, si x < 0.