CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques

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1 CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques 9- Exercice Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique associée.. Montrer l'identité de Cauchy q (q(uv B(u, vu q(u [q(uq(v B(u, vb(v, u]. (. En déduire, si q est dénie positive, l'inégalité de Cauchy-Schwarz B(u, vb(v, u q(uq(v. ( Solution -. La formule s'obtient par un calcul direct utilisant la bilinéarité de B. En eet pour tous u, v V, on a : q (q(uv B(u, vu B(q(uv B(u, vu, q(uv B(u, vu q(u B(v, v q(ub(u, vb(v, u B(u, vq(ub(u, v + B(u, v B(u, u q(u q(v q(ub(u, vb(v, u B(u, v q(u + B(u, v q(u q(u q(v q(ub(u, vb(v, u q(u [q(uq(v B(u, vb(v, u].. Si q est dénie positive alors le membre de gauche de l'identité de Cauchy est positif ou nul et donc, pour tout u, v V, q(u [q(uq(v B(u, vb(v, u]. Si u est nul, l'inégalité de Cauchy-Schwarz est trivialement vériée.

2 Supposons u non nul. Alors q(u >, et l'on déduit encore que pour tout vecteur v, q(uq(v B(u, vb(v, u. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc également vériée. Exercice Soit R n [X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n (n. Pour tous P, Q R n [X], on pose B(P, Q tp (tq (tdt et q(p B(P, P.. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique? antisymétrique?. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle dénie? Si ce n'est pas le cas, exhiber un vecteur isotrope non nul. 3. Calculer la matrice de q dans la base B n (, X,..., X n. 4. Pour n, déterminer la signature de q. La forme q est-elle positive? négative?. Déterminer une base de R [X] qui soit q-orthogonale. Solution -. Pour tous P, P, Q R n [X] et tout a R, on a B(P + ap, Q t(p (t + ap (tq (tdt tp (tq (tdt + a tp (tq (tdt B(P, Q + ab(p, Q, et donc B est linéaire à gauche. D'un autre côté, pour tous Q, Q, P R n [X] et tout a R, on a B(P, Q + aq tp (t(q + aq (tdt tp (tq (tdt + a tp (tq (tdt B(P, Q + ab(p, Q, et donc B est linéaire à droite, ce qui achève de montrer que B est une forme bilinéaire.

3 Remarquons que B(, X tdt, et B(X, t dt, et donc B n'est ni symétrique ni antisymétrique.. Par construction, q est une forme quadratique. D'autre part, q( B(, t dt, donc est un vecteur isotrope et q n'est pas dénie. 3. Notons que la forme polaire S de q n'est pas B mais sa symétrisée dénie pour tous P, Q R n [X], S(P, Q (B(P, Q + B(Q, P. Donc la matrice de q dans la base B n est la matrice M n (m ij i,j n+, où m ij ( B(X i, X j + B(X j, X i. Donc m ij ( (j t i+j dt + (i ( j i + j + i i + j t i+j dt i + j (i + j. Finalement M n ( i + j. (3 (i + j i,j n+ 4. La matrice de q dans B est M et donc, q(a + bx + cx 3 b + c + ab + 3 ac bc. 3

4 Nous allons eectuer une réduction de Gauss de q. On a q(a + bx + cx (b b(a + 3 c + 3 ac + c 3 (b a c 3 (3 4 a c + 3 ac + c 3 (b a c 3 6 a 7 64 c 9 6 ac + 3 ac + c 3 (b a c 7 3 c + 48 ac 3 6 a 3 (b a c 3 6 (a 9 ac 7 3 c 3 (b a c 3 6 (a 8 c + 78 c 7 3 c 3 (b a c 3 6 (a 8 c 3 c. De cette expression, q est de signature (, et q est non-dégénérée. De plus, q n'est ni positive ni négative.. On considère les formes linéaires l, l, l 3 gurant dans la réduction de Gauss de q obtenue ci-dessus : si P a + bx + cx, l (P b a c, l (P a 8 c et l 3(P c. La famille (l, l, l 3 est une base de (R [X] et la base (P, P, P 3 dont la base duale est (l, l, l 3 est une base q-orthogonale. 3 4 Soit Q la matrice de passage de B à (l, l, l La matrice de passage de B à (P, P, P 3 est donnée par P t Q. Pour calculer Q, nous allons résoudre le système linéaire a A Q b c B C. Ce système s'écrit 3 4 a + b A a B 9 8 a 8 b + c C. 4

5 Un calcul aisé donne a B, b A 3 4 B et c 8B + C, soit Q De la relation P t Q, on déduit que (X, 3 4 X, X + X est une base q-orthogonale de R [X]. Exercice 3 Soit {( a b V c d } M (R; a d et J (. On dénit l'application B : V V R en posant, pour tous M, N M (R, B(M, N Tr(MJN.. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique, antisymétrique? (( ( (. Montrer que B,, est une base de V. 3. Déterminer la matrice dans la base B de la forme quadratique q dénie en posant, pour tout M M (R, q(m B(M, M. 4. Déterminer la signature de q, son rang et son noyau. La forme q est-elle dénie? positive? négative?. Déterminer F (c'est-à-dire le q-orthogonal de F où F {( a d } M (R; a d. Solution -. Tr désigne l'opérateur trace.

6 . Pour tous M, M, N V et tout a R, on a B(M + am, N Tr((M + am JN et donc B est linéaire à gauche. Tr(M JN + am JN Tr(M JN + atr(m JN B(M, N + ab(m, N, D'un autre côté, pour tous N, N, M V et tout a R, on a B(M, N + an Tr(MJ(N + an Tr(MJN + amjn Tr(MJN + atr(mjn B(M, N + ab(m, N, et donc B est linéaire à droite. Ceci achève de montrer que B est une forme bilinéaire. Nous allons montrer que B n'est ni symétrique ( ni antisymétrique. ( Pour cela, considérons les matrices M et N. On a ( ( ( M JN ( ( (, ( ( ( N JM ( ( (. Il en résulte que B(M, N et B(N, M et donc B(M, N ±B(N, M, ce qui montre B n'est ni symétrique ni antisymétrique. ( a b. Pour tout V, on a c a ( ( ( ( a b a + b + c c a et donc B engendre V. D'un autre côté, ( ( ( a + b ( + c équivaut à a b c et donc B est libre. Ainsi B est une base de V., 6

7 ( a b 3. Soit M c a V. On a ( ( ( ( a b a b q(m Tr c a c a ( ( ( a + b a b a b Tr c + a c a c a ( ( a(a + b + c(a b b(a + b + a(a b Tr a(c + a + c(c a b(c + a + a(c a a(a + b + c(a b + b(c + a + a(c a (ab + ca. Soit q(m (ab + ca. (4 La matrice de q dans B est. ( a b 4. Eectuons une réduction de Gauss de q. Soit M V. On c a a q(m a(b + c (a + b + c (a b c. D'après cette expression, q est de signature (,, elle est dégénérée et rg q. De plus, elle n'est ni positive ni négative et donc non dénie. ( a b De cette expression, on déduit aussi que ker q si et seulement si{( a + b + c a b } c, soit a et b c. Ainsi c a a ker q, a R. a. La partie F est( la droite vectorielle engendrée par la matrice identité a b I. Ainsi M F c a si et seulement si S(M, I où S est la forme polaire de q. La forme polaire S de q est la symétrisée de B, c'est-à-dire que S vérie pour tous M, N M (R, S(M, N (Tr(MJN + Tr(NJM. Donc S(M, I (( ( a b Tr + (( ( a b c a Tr c a (( ( (( a b a + b a b Tr Tr c a c + a c a b + c. 7

8 Ainsi, on déduit que {( F a b b a }, a, b R. Exercice 4 Eectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :. q : R 3 R, q(x, y, z x + y z + 3xy 4xz.. q : R 3 R, q(x, y, z x + y az + 3xy bxz + yz. On discutera suivant les valeurs de a, b R. 3. q : R 4 R, q(x, y, z, t x + ( + λ µy + ( + λz + ( + λ + µt +xy + xz xt + ( λyz ( + λyt + (λ zt. On discutera suivant les valeurs de λ, µ R. 4. q : R R, q(x, y, z, t, s xy xt + yz yt + ys + zt zs + st. Solution -. On a q(x, y, z x + y z + 3xy 4xz (x + x(3y 4z + y z (x y z ( 3 4 y z + y z (x y z 8 y + 3yz 3z (x y z 8 (y 4yz 3z (x y z 8 (y z + z. La signature de q est (,, rg q 3 et donc ker q {}. 8

9 . On a q(x, y, z x + y az + 3xy bxz + yz x + x(3y bz + y az + yz (x + 3 y b z 9 4 y b 4 z + 3b yz + y az + yz (x + 3 y b z 4 (y (x + 3 y b z 4 (x + 3 y b z 4 q dégénère si et seulement si ( + 3b yz (a + b 4 z + 3b (y z (a + b 4 ( + 3b z + 3b (y z + (b + 3b a + z. (b + 3b a +. Si c'est le cas (x, y, z ker q si et seulement si x + 3 y b z y + 3b z. En conclusion, si q dégénère alors ker q R( 3+b, +3b,. D'un autre côté, la signature de q dépend du signe de b + 3b a +. Considérons cette quantité comme un polynôme en b de degré. Son discriminant est 9 4( a + a + (4a + et ses racines, quand, sont 3 + a + et 3 a +. En résumé : (a si a < 4 et b R, la signature est égale à (,, le rang est égal à 3 et ker q {} ; (b si a > 4, b / ] 3+ a+, 3 a+ [, la signature est égale à (,, le rang est égal à 3 et ker q {} ; (c si a > 4, bin] 3+ a+, 3 a+ [, la signature est égale à (,, le rang est égal à 3 et ker q {} ; (d si a > 4 et b 3+ a+ ou b 3 a+, la signature est égale à (,, le rang est égal à et ker q R( 3+b, +3b, ; (e si a 4 et b 3, la signature est égale à (,, le rang est égal à 3 et ker q {} ; (f si a 4 et b 3, la signature est égale à (,, le rang est égal à et ker q R( 3+b, +3b,. 9

10 3. Si u (x, y, z, t, on a : q(u x + ( + λ µy + ( + λz + ( + λ + µt + xy + xz xt + ( λyz ( + λyt + (λ zt x + x(y + z t + ( + λ µy + ( + λz + ( + λ + µt + ( λyz ( + λyt + (λ zt. Continuons : q(u (x + y + z t (y + z t + ( + λ µy + ( + λz + ( + λ + µt + ( λyz ( + λyt + (λ zt (x + y + z t + (λ µy + λz + (λ + µt λyz λyt + λzt (x + y + z t + λ(z + z(t y + (λ µy + (λ + µt λyt (x + y + z t + λ(z + t y λ(y t + (λ µy + (λ + µt λyt. Finalement, q(u (x + y + z t + λ(z + t y + (λ µy + (λ + µt. La signature de q, son noyau et son rang sont déterminés de la façon suivante : (a si λ µ, la signature de q est égale à (,, le rang est égal à et ker q {(x, y, z, t R 4, x + y + z t } ; (b si λ et µ, la signature de q est égale à (,, le rang est égal à 3 et ker q R(,,, ; (c si λ > et µ, la signature de q est égale à (4,, le rang est égal à 4 et ker q {} ; (d si λ < et µ, la signature de q est égale à (, 4, le rang est égal à 4 et ker q {} ; (e si λ et µ, la signature de q est égale à (+p +, p, le rang est égal à 4 et ker q {}, où p ± σ ± (λ+σ ± (λ µ+σ ± (λ+µ avec σ ± : R {, } qui vaut sur R ± et sur R.

11 4. Si u (x, y, z, t, s, on a : q(u xy xt + y(z t + s + zt zs + st (x + z t + s(y t + t(z t + s + zt zs + st (x + z t + s(y t t + zt + 3st zs (x + z t + s(y t (t t(z + 3 s zs (x + z t + s(y t (t z 3 s + (z + 3 s zs (x + z t + s(y t (t z 3 s + z + zs s 4 (x + y + z t + s 4 (x y + z + s (t z 3 s + (z + s + 4 s. La signature de q est (3,, rg q et donc q est non dégénérée.