Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités

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1 Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités Il faut revoir les fonctions de référence car ce cours prolonge évidemment ce qui a été vu en seconde. Il y a en premier lieu les fonctions affines par morceaux. Beaucoup d exercices font intervenir des fonctions que l on appelle des polynômes et en particulier les trinômes du second degré de la forme : f(x) = ax + bx + c, x R ou x appartenant à un intervalle donné ; a,b et c des réels et a 0. De même, nous trouverons les polynômes de degré 3 de la forme g(x) = ax 3 + bx + cx + d, a, b, c et d des réels avec a 0. Nous rencontrerons aussi un autre type de fonction, les fonctions ax + b rationnelles de la forme h(x) = avec a, b, c et d des réels quelconques (c non nul et a cx + d et b non tous les deux nuls). Théorème Toute fonction de la forme y = ax + bx + c avec x R, a 0, donne comme représentation graphique dans un repère orthonormal de (P) une parabole. Si a > 0 alors la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum absolu b pour x =. a Si a < 0 alors la parabole est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum absolu b pour x =. a Les courbes représentant les polynômes de degré 3 n ont pas de nom particulier mais il est recommandé d en tracer quelques-unes unes à la calculette en utilisant la touche graphique. (y = x 3 x ; y = x 3 + x + ). Théorème ax + b Toute fonction de la forme y =, x R, avec c 0, a et b non tous les deux nuls, donne cx + d comme représentation graphique une hyperbole. Il faut au moins deux fiches pour s entraîner.

2 Lycée Elève : Classe : Première STG Fiche n 6 Les fonctions numériques () Exercice Lors d une expérimentation en physique, on note que la température d un corps a varié de la façon suivante : on appelle t le temps de l expérience en seconde et f(t) la température en degrés. f(t) = t + 5 si t [0 ; 6] et f(t) = t + 0 si t ]6 ; 0]. a) Représenter graphiquement cette fonction après avoir étudier pour t = 6. b) Caractériser les variations de cette fonction. c) Chercher t tel que la température soit égale à. d) Déterminer t pour que la température dépasse. Exercice On considère la fonction f définie par f(x) = 4x + x 5 avec x [ ; ]. a) Calculer f( ) et f(). 8 b) Montrer que f(x) peut s écrire f(x) = 4 x +. En déduire que f possède un 6 minimum que l on déterminera. Tracer la courbe dans un repère orthonormal du plan (P). c) Résoudre dans [ ; ] l équation 4x + x 5 = 5. d) Résoudre dans [ ; ] l inéquation 4x + x 5 < 0. e) Déterminer l intersection de cette courbe avec la droite d équation y = x. Exercice 3 Lorsqu on jette une pierre en l air avec une vitesse v 0, la distance qui sépare la pierre du sol est donnée par la fonction d du temps t : d(t) = gt + v0t + h0 d en mètres, t en secondes (h 0 indiquant la hauteur de la pierre à t = 0 au moment où elle est lancée, g le coefficient de gravitation g 9,8 sur la terre, v 0 vitesse initiale en mètre par seconde). Nous prenons ici le cas où : d(t) = 4,9t ² + 9,6t +,9 () a) Expliquer les données du problème dans la formule () b) Déterminer la hauteur maximale atteinte par la pierre. c) Calculer le temps t pour lequel la pierre retombe sur le sol. Représenter graphiquement. Exercice 4 x 3 Soit g(x) = x [ 5 ; 5]. Décomposer g pour l écrire sous la forme g(x) = a + x + et b étant des réels que l on déterminera. En déduire les variations de g. b x +, a

3 Correction Fiche 6 Exercice a) Cette fonction est une fonction affine par morceaux. Nous pouvons la présenter de la façon suivante : f t [0 ; 6] f(t) = t + 5 t ]6 ; 0] f(t) = t a une image sur le premier intervalle f(6) = (6) + 5 = 7. Par contre sur ]6 ; 0], on ne peut pas chercher l image de 6 mais on peut faire tendre t vers 6, alors f(t) tend vers (6) + 0 = 7. On peut dire que les deux segments qui vont former la représentation graphique de f vont se «raccorder». Nous aurons en fait une ligne brisée continue formée de deux segments de droite. Pour tracer ces segments, nous prenons pour chacun deux valeurs de t. Sur [0 ; 6], f(0) = 5 et f(6) = 7. Sur ]6 ; 0], f(8) = (8) + 0 = 6 et f(0) = (0) + 0 = 5. Sur l intervalle [0 ; 6), la fonction est croissante (le coefficient directeur est de > 0) et sur ]6 ; 0], elle est décroissante (le coefficient directeur est de < 0). f(t) y = t b) Nous pouvons donner le tableau de variations. Nous avons utilisé que si la fonction est de la forme y = ax + b, alors a donne le sens de variations. t f(t) 5 5

4 c) Pour déterminer le temps t pour lequel nous avons la température égale à, nous pouvons tracer l horizontale d équation y =. Le graphique nous montre seulement une intersection sur le premier intervalle. Cherchons la valeur par le calcul. t + 5 = t = 5 t = 6 et donc t = 3. La température sera de au bout de 3 secondes. d) Il faut résoudre une inéquation mais le graphique nous permet ici aussi de conjecturer la solution. Si t [0 ; 6], t + 5 > donne t > 6 et t > 3. t ]3 ; 6]. Si t ]6 ; 0], t + 0 > donne t > 0 t > 9. 9 Nous divisons par un négatif, le sens change. t < soit t < 8. Toutes les valeurs de l intervalle ]6 ; 0] conviennent. t ]6 ; 0]. En conclusion, la solution est S = ]3 ; 6] ]6 ; 0] = ]3 ; 0]. La température sera supérieure à au-delà de 3 secondes jusqu à 0 secondes. Exercice f(x) = 4x + x 5, x [ ; ]. Cette fonction est une fonction polynôme de degré, elle est toujours calculable sur l intervalle [ ; ]. a) f( ) = 4( ) + ( ) 5 = 6 5 = 9. f() = 4() + 5 = = 3. 8 b) Pour montrer que f(x) peut s écrire f(x) = 4 x +, il suffit de développer 6 l expression donnée. 8 4 x + = 4 6 x + x = 4x + x = 4 x + x + = 4 x + x = 4 x + x On peut se demander comment on a trouvé cette façon d écrire f(x). En fait, nous pouvons utiliser la technique de la forme canonique que vous avez du voir en fin de seconde. 4x 5 + x 5 = 4 x + x (Nous factorisons le coefficient de x ) 4 4 = 4 x (Nous utilisons ici une identité remarquable) 4 x + = x + x + (nous enlevons le dernier terme qui n est pas dans l expression étudiée. Il reste alors à réduire et à multiplier à nouveau par 4.)

5 = 4 x = 4 x Cette écriture de f permet de montrer que f aura un minimum, en effet le carré x + prend comme valeur minimale 0 (un carré est toujours positif on nul) lorsque 8 x = c est-à-dire x = 0, La fonction vaut alors. f( 0,5) = 5, Nous aurions pu employer le théorème vu au début de cette leçon. La fonction est un trinôme du second degré, la représentation graphique sera une parabole et a = 4 étant b positif, nous aurons un minimum pour : x = = =. a (4) 8 Le minimum de f est donc 5,065. Traçons la courbe, nous avons un morceau de parabole. y = 5 (Le repère est ici orthogonal, les unités ne sont pas les mêmes sur les deux axes). Nous pouvons donner le tableau de variations de f sans démontrer ces variations car nous utiliserons plus tard la dérivée de f. x f(x) m m = 5,065 c) 4x + x 5 = 5 avec x [ ; ] 4x + x = 0, il faut factoriser et cela donne :

6 x(4x + ) = 0 et donc deux solutions x = 0 ou x = S =. 4 0 ;. (On peut tracer l horizontale y = 5 sur le graphique) 4 d) Nous cherchons les valeurs de x appartenant à l intervalle [ ; ] pour lesquelles la courbe se trouve en dessous de l axe des abscisses. Par le calcul, c est un peu plus compliqué. 4x 8 + x 5 < 0 4 x + < 0. 6 Nous pouvons factoriser le premier membre qui est de la forme a b. 9 9 x + x + + < x + x + + < 0 (x ) x + < Théorème b Toute fonction de la forme ax + b, a 0, possède une racine. Elle est du signe de a a après la racine et du signe contraire avant la racine quand x varie dans R. x s annule pour x = et 5 x + s annule pour x = x,5 5 =,5. 4 4x + x S = ],5 ; [. Voir la courbe pour vérification. e) Dans cette question, nous cherchons les valeurs de x [ ; ] pour lesquelles les deux fonctions y = 4x + x 5 et y = x prennent la même valeur. En fait, nous faisons un système d équations. y = 4x + x 5 y = x Nous avons donc 4x + x 5 = x, nous plaçons tout dans le premier membre, 4x + x 5 x + = 0 4x 4 = 0 soit : x = et donc x = ou x =. (On peut tracer la droite sur le graphique à la calculette pour vérifier) Nous obtenons deux points A( ; 0) et B( ; ).

7 Exercice 3 a) 4,9 représente l opposé de la moitié du coefficient de gravitation sur la terre (a). 9,6 la vitesse initiale de la pierre (t = 0) c est-à-dire au moment du lancement (b).,9 la hauteur initiale c est-à-dire à t = 0 moment de lancement de la pierre (c). La fonction est de la forme y = ax + bx + c avec a 0. b) La fonction donnant la distance au sol de la pierre étant un polynôme du second degré avec b 9,6 9,6 a< 0, nous aurons un maximum atteint pour x = soit x = = = a ( 4,9) 9,8 donc secondes. d () = 4,9 () + 9,6 () +,9 =,5 donc la hauteur maximale est de,5 mètres. c) Pour chercher le temps t où la pierre retombe sur le sol, cherchons t tels que : d (t) = 0 (t positif évidemment) Nous pouvons faire une lecture graphique t légèrement supérieur à 4s. et donc il faudra environ 4, secondes ou 4, secondes. d(4,) = 4,9 (4,) + 9,6 (4,) +,9 = 0,89m. Si on veut être un peu plus précis, 4,4 secondes environ. Nous pouvons faire l équation 4,9t + 9,6t +,9 = 0 pour trouver ce résultat. Une occasion de voir ceci sur les calculettes Casio ou Texas Instrument. Ici, l axe des abscisses représente le sol. Nous voyons que cette fonction est seulement définie pour x compris entre 0 et environ 4,(Départ et arrivée sur le sol de la pierre). Exercice 4 x 3 g(x) = x [ 5 ; 5]. x + Il faut en premier poser x car pour cette valeur la fonction n est pas calculable. Si x =, nous avons une division par zéro! Nous allons ici procéder par identification, c est une façon de démontrer que vous emploierez souvent en terminale. Nous voulons que deux expressions soient égales pour toute la valeur de la variable x.

8 x 3 b x [ 5 ; 5] mais x, = a + x + x + x 3 a(x + ) + b Nous développons à droite, = x + x + x 3 ax + (a + b) = x + x + Nous identifions alors les deux numérateurs, degré par degré. Conclusion, a = et a + b = 3 ce qui donne b = g(x) = + que nous pouvons écrire aussi g(x) = x + x +. Pour les variations de g, nous pouvons remarquer que nous avons ici une fonction constante y 5 = et une fonction croissante f(x) =. En effet la fonction f (x) = sera décroissante x + x + sur [ 5 ; [ et décroissante sur ] ; 5], si nous multiplions par 5, le sens de variations change. g sera donc croissante sur [ 5 ; [ et croissante sur ] ; 5]. x g( 5) = = 3, g(x) 3,5 7 g(5) =. 6 Graphiquement, nous avons un morceau d hyperbole.(voir calculette)

9 Lycée Elève : Classe : Première STG Fiche n 7 Les fonctions numériques () Il faut apprendre à utiliser sa calculette graphique pour représenter les fonctions. Représenter les fonctions suivantes en indiquant comment vous régler la fenêtre graphique de votre calculette. y = 00q + 45 avec q [0 ; 0]. y = 0,05x + 3x + avec x [0 ; 50]. y = q 3 0q + 3q + 00 avec q [0 ; 8]. 40 y = avec t [0 ; 0]. 0,t + 5 Ensuite, on rencontre des équations et des inéquations dans les problèmes, il faut savoir les traiter par le calcul et s aider du graphique. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes. Chercher x R tels que : ) x 4x = 0 ) x 3x = x 4 3x 3) x 4 = 0 x 4) x + = 4x x Chercher x R tels que : ) x + 8x > 0 ) x 0 x + 3

10 Correction Fiche 7 Sur les Texas Instruments, on peut taper la fonction en utilisant la touche y =, puis on lance le graphe. Sur les Casio, il faut aller dans le menu GRAPH puis taper la fonction et valider pour avoir la représentation graphique. Dans les deux cas, il faut régler la fenêtre graphique pour observer au mieux la représentation de la fonction. Les conditions sur la variable permettent souvent de régler le x minimum et le x maximum, par contre pour les valeurs de y, il faut faire au cas par cas. Sans indications sur x et y, je conseille 5, 5 pour les x et 0, 0 pour les y. y = 00q + 45 avec q [0 ; 0]. On prend ; pour la variable x et 00 ; 050 pour les y. Il s agit d une fonction affine, si nous utilisions cette fonction dans un problème, nous limiterions la courbe au segment correspondant à [0 ; 0]. y = 0,05x + 3x + avec x [0 ; 50]. On prend ; 5 pour la variable et ; 50 pour les y. Pour x [0 ; 50], nous avons un morceau de parabole.

11 y = q 3 0q + 3q + 00 avec q [0 ; 8]. On prend ;9 pour la variable et 30 ; 30 pour les y. y = 40 avec t [0 ; 0].(Attention à taper 40/(0,x+5) sur la calculette) 0,t + 5 On prend ; pour la variable et 5 ; 0 pour les y. Il s agit d un morceau d une branche d hyperbole. Sur les calculettes, il y a aussi le menu «TABLE» qui permet d avoir les valeurs de la fonction quand x varie, intéressant pour vérifier certains calculs! ) x 4x = 0 x R. Il faut penser à factoriser. x(x 4) = 0 x = 0 ou x = 4. S = {0 ; 4}. En fait, nous cherchons ici les racines du polynôme x 4x, nous pouvons voir sur la calculette les valeurs de x où la courbe coupe l axe des abscisses. ) x 3x = x 4 x R. Il faut tout passer dans le premier membre et factoriser.

12 x 3x x + 9 = 0 x 4x + 4 = 0 (x ) = 0 et donc une seule solution x =. S ={}. Théorème a R, a = 0 a = 0. Graphiquement, nous avons deux fonctions y = x 3x qui donne une parabole et y = x 4 qui donnent une droite. En fait nous cherchons les valeurs de x correspondant aux points d intersection. Nous avons trouvé une seule valeur, la droite est en effet tangente à la parabole. 3) 3x = 0. Il faut poser x 4. x 4 4) Cette équation est équivalente à 3x = 0 et donc x = 0. S ={0}. Théorème a b = 0 avec b 0 a = 0. Graphiquement, nous avons une hyperbole et nous avons trouvé la valeur de x correspondant au point où l une de la branche coupe l axe des abscisses. x x + = 4x. Il fait poser x et x (Conditions de calculs) x Nous appliquons la règle du «produit en croix». x( x) = (x +)( 4x). Le signe du deuxième membre est affecté au numérateur. x 4x = 4x 4x x 4x + 4x + 4x = 0 6x = 0. Une seule solution 6x = 0 donne x = 0. S = {0}. Graphiquement, il s agit d observer les points d intersection de deux hyperboles. Il y a un seul point d intersection.

13 En foncé, la courbe de la première hyperbole Nous avons horizontalement la même asymptote y =. En effet, quand x tend vers + ou, les deux fonctions tendent vers. Sur les calculettes, on peut tracer les asymptotes, si elles sont verticales, on change de type de fonctions (Menu graph, touche F3 sur les Casio.) Pour les inéquations, nous utilisons les tableaux de signes. ) x + 8x > 0 x( x + 4) > 0 x x x x( x + 4) Conclusion : S =]0 ; 4[. Graphiquement, il s agit de voir les valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) = x + 8x est positive c est-à-dire au-dessus de l axe.

14 x ) Cherchons x R tels que 0 x + 3 Il y a une condition de calcul à poser, x 3. Nous devons ici aussi faire un tableau de signes. x x 0 + x x x S = ] ; 3[ [0 ; + [. Graphiquement, nous regardons les valeurs de x où l hyperbole est au-dessus de l axe des abscisses.