1 Produit scalaire hermitien

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1 Espaces préhilbertiens complexes. Espaces hermitiens. PSI Paul Valéry Dans tout ce chapître on travaille avec des espaces vectoriels complexes. z représente le module du complexe z et z son conjugué z. On va chercher à étendre les propriétés vues dans le chapître des espaces euclidiens. On reprend exactement le même plan. 1 Produit scalaire hermitien Soit E un espace vectoriel complexe. 1.1 Formes sesquilinéaires hermitiennes associées Définition 1 Soit ϕ une application de E E dans C. On dit que ϕ est une forme sesquilinéaire sur E si et seulement si ϕ est linéaire par rapport à la deuxième variable et sesquilinéaire par rapport à la première, cad pour tout (x, y) E 2 : y ϕ(x, y) est linéaire x ϕ(x, y) vérifie : (λ 1, λ 2 ) C 2 (x 1, x 2 ) E 2 ϕ(λ 1 x 1 + λ 2 x 2, y) = λ 1 ϕ(x 1, y) + λ 2 ϕ(x 2, y). Définition 2 Une forme sesquilinéaire ϕ est dite hermitienne ssi (x, y) E 2 ϕ(x, y) = ϕ(y, x). Remarque pour une forme sesquilinéaire hermitienne ϕ sur E, x E ϕ(x, x) R. Proposition 1 L ensemble des formes sesquilinéaires hermitiennes sur E est un espace vectoriel complexe. Identités de polarisation Soit ϕ une forme sesquilinéaire hermitienne. Soit (x, y) E 2. ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + 2 Re(ϕ(x, y)) ϕ(x + iy, x + iy) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) 2 Im(ϕ(x, y)) ϕ(x, y) = 4 1[ϕ(x + y, x + y) ϕ(x y, x y)] 4 i [ϕ(x + iy, x + iy) ϕ(x iy, x iy)] Re(ϕ(x, y)) = 1 4 [ϕ(x + y, x + y) ϕ(x y, x y)] Im(ϕ(x, y)) = 4 1 [ϕ(x + iy, x + iy) ϕ(x iy, x iy)] 1.2 Produit scalaire hermitien Définition 3 On appelle produit scalaire hermitien sur E toute forme sesquilinéaire hermitienne définie positive cad toute application ϕ de E 2 dans C telle que : 1. ϕ est une forme sesquilinéaire hermitienne 2. x E ϕ(x, x) 0 3. x E ϕ(x, x) = 0 = x = 0 Définition 4 Un C-espace vectoriel muni d un produit scalaire est appelé espace préhilbertien complexe. Si, de plus, il est de dimension finie, on dira que c est un espace hermitien. Caractérisation d un produit scalaire hermitien Pour prouver que ϕ : E 2 C définit un produit scalaire hermitien sur E, il suffit de prouver que : 1. Pour tout vecteur x, y ϕ(x, y) est linéaire 2. (x, y) E 2 ϕ(x, y) = ϕ(y, x) 3. x E ϕ(x, x) 0 4. x E ϕ(x, x) = 0 = x = 0 Notations usuelles : B(x, y), (x/y), < x, y >, x y Remarque importante : si un vecteur x de E vérifie y E (x/y) = 0, alors x = 0 1 / 6

2 1.3 Exemples et contre-exemples 1. E = C n x y = n 2. E = C m ([a, b], C) (f/g) = x i y i = t XY. b a f(t)g(t) dt. 3. E = C 2π (f/g) = 1 2π f(t)g(t) dt 2π 0 4. E = {f : I C continue et de carré intégrable sur I} (f/g) = f(t)g(t) dt. I (P/Q) = n p i q i si P = p i X i et Q = q i X i 5. E = C n i=0 0 i n 0 i n [X] 1 B(P, Q) = P (t)q(t) dt 6. E = M n (C) (A/B) = tr( t ĀB) 1.4 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski Proposition 2 Inégalité de Cauchy-Schwarz 0 Soit E un espace préhilbertien complexe muni d un produit scalaire noté (./.). (x, y) E 2 (x/y) (x/x) (y/y) On a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. PSI Paul Valéry démonstration spécifique au cas complexe. Proposition 3 Inégalité de Minkowski Soit E un espace préhilbertien complexe muni d un produit scalaire noté (./.). (x, y) E 2 (x + y/x + y) (x/x) + (y/y) On a égalité si et seulement si λ R + x = λy ou y = λx. démonstration presque semblable au cas réel. 1.5 Norme hermitienne Définition 5 Soit E un espace préhilbertien complexe. On pose x = (x/x). On définit ainsi une norme sur E dite norme hermitienne. Relations entre norme et produit scalaire : identités de polarisation. Soit E un espace préhilbertien complexe. Soit (x, y) E 2. x + y 2 = x 2 + y 2 +2 Re((x/y)) x + iy 2 = x 2 + y 2 2 Im((x/y)) (x/y) = 1 4 [ x + y 2 x y 2 ] i 4 [ x + iy 2 x iy 2 ] x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) 2 / 6 hermitien.tex

3 Espaces préhilbertiens complexes. Espaces hermitiens. PSI Paul Valéry 1.6 Orthogonalité Soit E un espace préhilbertien complexe muni d une forme hermitienne notée (./.). Les définitions et propriétés sont identiques au cas réel ; seules différent les démonstations (en particulier, celle du théorème de Pythagore qui fait intervenir les parties réelles des produits scalaires hermitiens). Définitions : vecteurs orthogonaux Définition 6 Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux si et seulement si (x/y) = 0. orthogonal d une partie Définition 7 Soit A une partie de E.On appelle orthogonal de A noté A l ensemble des vecteurs x de E tels que a A (x/a) = 0. Proposition 4 Pour toutes parties A et B : A B = B A et A = (V ecta) Proposition 5 Pour toute partie A de E, A est un sous-espace vectoriel de E. Proposition 6 Pour tout sous-espace vectoriel F, F (F ), F F = { 0} et E = { 0}. Famille orthogonale, famille orthonormale, vecteurs unitaires Définition 8 Une famille de vecteurs de E (e i ) i I est dite orthogonale si et seulement les vecteurs de cette famille sont 2 à 2 orthogonaux. De plus, si les vecteurs sont unitaires, on dira que la famille est orthonormale, cad (i,, j) I 2 (e i /e j ) = δ j i. Proposition 7 Toute famille orthogonale finie de vecteurs non nuls est libre. Proposition 8 Pour toute famille (x i ) 1 i p orthogonale finie de vecteurs de E x i 2 = x i 2. Pour n = 2, soient x 1 et x 2 deux vecteurs orthogonaux ; x 1 + x 2 2 = x x Re(x1/x2) = x x 2 2. Supposons la relation vraie au rang n et montrons qu elle reste vraie au rang n + 1. Soient (x i ) 1 i n+1 une famille orthogonale finie de vecteurs de E. On a alors n+1 P x i 2 P = n x i + x n+1 2 P = n x i 2 + x n+1 2 P +2 n P Re(x i /x n+1 ) = n x i 2 + x n+1 2 = n+1 P x i 2. On conclut grâce au principe de récurrence. La réciproque est fausse y compris pour n = 2. 3 / 6

4 Sous-espaces vectoriels orthogonaux, sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux. Définition 9 Deux sous-espaces vectoriels de E sont dits orthogonaux lorsque tout vecteur de l un est orthogonal à tout vecteur de l autre. Proposition 9 Des sous-espaces vectoriels 2 à 2 orthogonaux sont en somme directe. PSI Paul Valéry En dimension finie caractérisation de F à l aide d une base (e i ) 1 i q de F : x F i [1, q ](e i /x) = Projections et symétries orthogonales Définition 10 Soit F un sous-espace vectoriel de E qui admette un sous-espace vectoriel H supplémentaire et orthogonal (F H = E). La projection sur F parallèlement à H est appellée projection orthogonale sur F. Proposition 10 Soit p L (E). p est un projecteur orthogonal p p = p et Ker p Im p. 2 Espace hermitien Sauf mention explicite du contraire, dans ce paragraphe E est un espace hermitien. On notera n = dim E. Remarquons que tout sous-espace vectoriel de E reste un espace vectoriel hermitien. 2.1 Bases orthonormales Définition d une base orthogonale, orthonormale. Définition 11 On appelle base orthogonale de E toute base de E formée d une famille de vecteurs 2 à 2 orthogonaux. On appelle base orthonormale de E toute base de E formée de vecteurs unitaires 2 à 2 orthogonaux. Existence de bon Proposition 11 Tout espace hermitien non réduit à { 0} admet au moins une base orthonormale La démonstration est semblable au cas réel en considérant la forme linéaire ϕ : u (e 1 /u). Ecriture dans une bon. Soit (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E. Soient x et y des vecteurs de E. x = n (e i /x) e i, (x/y) = n (e i /x)(e i /y) = t XY et x 2 = n (e i /x) 2 = t XX. 4 / 6 hermitien.tex

5 Proposition 12 f E!a E / x E f(x) = (a/x) Espaces préhilbertiens complexes. Espaces hermitiens. PSI Paul Valéry Soit f E P. Choisissons une base orthonormale de E (e i ) 1 i n. Pour tout vecteur x = n P x i e i de E, on a f(x) = n x i f(e i ), ce P qui s écrit de manière unique sous la forme f(x) = (a/x) où a est un vecteur de E défini par a = n f(e i )e i. Remarquons que cette démonstration s adapte très bien au cas réel aussi. Proposition 13 Soit E un espace préhilbertien complexe de dimension quelconque. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors F et F sont supplémentaires orthogonaux dans E démonstration similaire en prenant garde à l ordre des composantes des produits scalaires. Si F = { 0}, F = E et la propriété est vérifée. Sinon, choisissons (e 1,, e p) une base orthonormale de F. Soit x E.Posons y = (e i /x)e i et z = x y. y F et i 0 [[1, p]] (z/e i0 ) = (x/e i0 ) (y/e i0 ) = (x/e i0 ) (e i0 /x) = 0, donc z F. On vient de prouver que tout vecteur de E s écrit sous la forme de la somme d un vecteur de F et d un vecteur de F. Comme F F = { 0}, ces deux espaces sont donc supplémentaires. Conséquences : 1. Dans un espace hermitien, on a E = F F pour tout sous-espace vectoriel F. En particulier, dim E = dim F + dim F. 2. Toute famille orthonormale d un espace hermitien se complète en une base orthonormale. 3. Dans un espace hermitien, pour tout sous-espace vectoriel F, F = (F ). Proposition 14 Si H est un hyperplan d équation n a i x i = 0, a = n a i e i est un vecteur normal à H 2.2 Projections orthogonales sur un sous-espace vectoriel de dimension finie Soit E un espace préhilbertien complexe de dimension quelconque. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie. On note p F la projection orthogonale sur F. Proposition 15 Soit (e 1,..., e p ) une bon de F. x E p F (x) = (e j /x)e j. Proposition 16 x p F (x) représente la distance de x à F, cad p F (x) est l unique vecteur de F réalisant ce minimum. x E x 2 = x p F (x) 2 + p F (x) 2 x p F (x) = inf y F x y. Proposition 17 Inégalité de Bessel Soit (e 1,..., e p ) une famille orthonormale de E. x E (e i /x) 2 x 2 Expressions de p F (x) lorsque F est une droite, un hyperplan. Si D est une droite de E dirigée par le vecteur u, alors x E p D (x) = ( u/x) u u 2 Si H est un hyperplan de E de vecteur normal n, alors x E p H (x) = x ( n/x) n n 2 5 / 6

6 PSI Paul Valéry Application Procédé d orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soit (u i ) 1 i q une famille libre de vecteurs de E. Il existe une famille orthogonale de vecteurs de E 2 à 2 orthogonaux non nuls (e i ) 1 i q telle que j [1, q ] V ect(u 1,..., u j ) = V ect(e 1,..., e j ). même démonstration de l existence que celle faite dans le cas euclidien en faisant attention aux conjugués Comme V ect(u 1 ) = V ect(e 1 ), choisissons e 1 = u 1. Soit p N.Supposons construits les vecteurs e 1,, e p vérifiant les conditions demandées. Comme e p+1 V ect(e 1,..., e p+1 ) = V ect(e 1,..., e p, u p+1 ), posons e p+1 = u p+1 + λ i e i, λ i C. Pour j [1, p], (e p+1 /e j ) = (u p+1 /e j ) + λ i (e i /e j ) = (u p+1 /e j ) + λ j (e j /e j ). Donc e p+1 e j λ j = (u p+1/e j ) (e j /e j ). e On prend alors e p+1 = u p+1 (u p+1 /e j ) j e j 2 = u e p+1 (e j /u p+1 ) j e j 2 = u p+1 P Fp (u p+1 ) où F p est l esapce vectoriel engendré par (u j ) 1 j p. e p+1 est non nul car sinon u p+1 V ect(e 1,..., e j ) = V ect(u 1,..., u j ), ce qui contredit le caractère libre de la famille des (u i ). On construit ainsi par récurrence les vecteurs (e i ) 1 i q demandés. Pour obtenir une famille orthonormale, il suffit de normaliser chacun des vecteurs. 2.3 Symétries orthogonales Définition d une symétrie orthogonale, d une réflexion comme dans le cas réel. Expressions de s F (x) lorsque F est une droite, un hyperplan. Si D est une droite de E dirigée par le vecteur u, alors x E s D (x) = 2( u/x) u u 2 x Si H est un hyperplan de E de vecteur normal n, alors x E s H (x) = x 2( n/x) n n 2 Table des matières 1 Produit scalaire hermitien Formes sesquilinéaires hermitiennes associées Produit scalaire hermitien Exemples et contre-exemples Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski Norme hermitienne Orthogonalité Projections et symétries orthogonales Espace hermitien Bases orthonormales Projections orthogonales sur un sous-espace vectoriel de dimension finie Symétries orthogonales / 6 hermitien.tex