Collège F. Joliot Currie Lallaing ALGEBRE

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1 ALGEBRE N1 : Les nombres entiers et décimaux (6 ème ) N2 : Fractions (6 ème ) N3 : Fractions (5 ème ) N4 : Fractions (4 ème ) N5 : Repérage (6 ème ) N6 : Nombres relatifs et repérage (5 ème ) N7 : Addition, soustraction et multiplication (6 ème ) N8 : Division (6 ème ) N9 : Enchainement d opérations (5 ème ) N10 : Addition et soustraction de nombres relatifs (5 ème ) N11 : Multiplication et division de nombres relatifs (4 ème ) N12 : Proportionnalité et pourcentage (6 ème ) N13 : Tableau de proportionnalité (5 ème ) N14 : Proportionnalité et produit en croix (4 ème ) N15 : Fonctions affines et linéaires (3 ème ) N16 : Série statistique et graphique (6 ème ) N17 : Statistiques, fréquences et graphiques (5 ème ) N18 : Moyennes (4 ème ) N19 : Médiane, quartile et étendue (3 ème ) N20 : Calcul littéral et équations (5 ème ) N21 : Calcul littéral : développer et réduire (4 ème ) N22 : Identités remarquables (3 ème ) N23 : Puissances (4 ème ) N24 : Résolution d équations (4 ème ) N25 : Factorisation (3 ème ) N26 : Equations diverses et inéquations (3 ème ) N27 : Système (3 ème ) N28 : Généralités sur les fonctions (3 ème ) N29 : La racine carrée (3 ème ) N30 : Expérience et probabilité (3 ème ) N31 : Arithmétiques : le PGCD (3 ème ) N32 : Grandeurs et unités (3 ème ) N33 : Conversions (5 ème )

2 6ème LES NOMBRES ENTIERS ET LES NOMBRES DECIMAUX N1 A) LA NUMERATION : B) DECOMPOSITION D UN NOMBRE : 1823,45 = (1 1000) + (8 100) + (2 10) + (3 1) + (4 0,1) + (5 0,01) 1 millier 8 centaines 2 dizaines 3 unités 4 dixièmes 5 centièmes C) NOMBRES EN CHIFFRE ET NOMBRES EN LETTRES : 1823,45 se lit «Mille huit cent vingt trois unités et quarante cinq centièmes» 300 s écrit «trois cents» mais 301 s écrit «trois cent un» 80 s écrit «quatre-vingts» mais 81 s écrit «quatre-vingt un» 4000 s écrit «quatre mille» D) LES ZEROS INUTILES 1) Règle : Dans un nombre, les zéros inutiles sont : Ceux à gauche de la partie entière, sauf celui des unités. Ceux à droite de la partie décimale. 2) Exemples : , = , ,00120 = 0,012 E) COMPARAISON 1) Règle : Pour comparer des nombres entre eux, il faut d abord comparer leur partie entière, puis leurs parties décimales si nécessaire, en vérifiant qu elles ont bien le même nombre de chiffres. 2) Exemples : Comparer 4,2 et 4,065 4,2=4,200 donc 4,2 > 4,065 Ranger dans l ordre croissant : 1,23 ; 1,045 ; 1,1254 ; 2,003 1,2300 ; 1,0450 ; 1,1254 ; 2,0030 donc 1,045 < 1,1254 < 1,23 < 2,003 F) CONVERSIONS km hm dam m dm cm mm kg hg dag g dg cg mg hl dal L dl cl ml Convertir revient à placer un nombre dans un tableau de conversion et à placer correctement la virgule. Exemples : Convertir 4,56 m en cm. On place ce nombre dans le tableau, puis la virgule dans la colonne des centimètres. 4,56m = 456,0 cm = 456 cm De la même façon : 54,2 dg = 0,0542 hg = 5420 mg 2L = 0,2 dal = 200 cl

3 6ème FRACTIONS N2 A) DEFINITION : Quand on partage une unité en parties égales et que l on prend quelques parts, on obtient une fraction. B) VOCABULAIRE : 5 se lit «cinq huitièmes» ou «cinq sur huit» se lit aussi «un quart» ; 1 3 se lit aussi «un tiers» ; 1 se lit aussi «un demi». 2 Dans la fraction a, le nombre a est le numérateur et le nombre b est le dénominateur. b Une fraction dont le dénominateur est 10 ; 100 ; 1000 etc s appelle une fraction décimale. Remarque : Le dénominateur est toujours différent de 0. C) FRACTIONS EGALES : On ne change pas la valeur d une fraction en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre différent de Exemples : = = Simplifier une fraction, c est rendre le numérateur et le dénominateur entiers les plus petits possibles. Exemples : :2 = 6 15 :3 = 2 5 ou = = 6 15 = = 2 5 :2 :3 D) DECOMPOSITION FRACTIONNAIRE Tous les nombres décimaux se décomposent en une somme de fractions. Exemples : 8,254 = E) ECRITURE FRACTIONNAIRE : Tous les nombres décimaux peuvent s écrire sous la forme d une fraction. Exemples : 8,254 = = =

4 5ème FRACTIONS N3 A) QU EST- CE QU UNE FRACTION? : 1) Une proportion : 3, c est 3 parties d une unité coupée en 5 parties égales. 5 2) Une opération : 3, c est aussi le nombre par lequel je multiplie 5 pour obtenir 3, c'est-à-dire le nombre manquant dans le 5 calcul 5 = est donc aussi le résultat de la division de 3 par 5. B) DIVISER PAR UN NOMBRE DECIMAL : On ne change pas le résultat d une division en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur par un même nombre différent de 0. Exemples : 2 40,5 : 4,5 = 40,5 4,5 = , = , ,416 : 1,24 = 10, , = 1 041,6 = 8, C) COMPARAISON : 1) Règle : Pour comparer 2 fractions, il faut qu elles aient le même dénominateur. On compare alors leur numérateur < 5 6 Exemples : Comparons 2 3 et 5 = 6 2 2) Remarque : Dans certains cas, il est plus simple de comparer la fraction avec le chiffre Par exemple, < 1 car le numérateur est inférieur au dénominateur > 1 car le numérateur est supérieur au dénominateur. 5 On en déduit alors que < 8 5

5 D) ADDITION ET SOUSTRACTION : 1) Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu elles aient le même dénominateur. On additionne (ou soustrait) alors les numérateurs et on garde le dénominateur commun. 2) Exemples : = = = 6 = = = = - = = = = ) Problème : Jacques est très dépensier : chaque mois, il dépense la totalité de son argent de poche. Il en dépense 1/4 en sucreries, 1/3 en vêtements et le reste en jeux vidéo. Quelle fraction de son argent de poche est consacrée aux jeux vidéo? Il a déjà dépensé = = Il lu i reste donc = 12 = 7 12 E) MULTIPLICATION : 1) Règle : Pour multiplier des fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 2) Exe mples : = = = = = = ) Problème : Ma mère m a donné 1/3 d une plaque de chocolat. J en ai mangé les 3/5. a) Quelle fraction de la plaque entière ai-je mangé? = 5 15 :3 = :3 1 5 J ai donc mangé 1 de la plaque entière. 5 b) Sachant que la plaque pèse 200g, combien de grammes de chocolat ai-je mangé? = 200 = 40g. 5 J ai mangé 40 g de chocolat.

6 4ème FRACTIONS N4 A) LES SIGNES DANS UNE FRACTION : 1) Règle : -a b = a -b = - a -a b -b = a b 2) Exemples : -1-3 = = -4 5 B) PRODUIT DE PLUSIEURS FRACTIONS : A = A = A = A = A = A = avec a et b nombres relatifs, b 0 On simplifie les signes des fractions On détermine le signe du produit. Ici, il n y a qu un seul facteur négatif : le produit est donc négatif. On multiplie alors les parties numériques. On cherche à simplifier la fraction en cours de calcul, en décomposant si nécessaire les numérateurs et dénominateurs. On termine le calcul A = C) SOMME ET DIFFERENCE DE FRACTIONS : B = On simplifie les signes des fractions -6 B = B = B = (-5) B = B = 12 2 = 13 6 = On cherche un dénominateur commun aux 2 fractions. Le premier multiple commun de 4 et 6 est 12. On simplifie le résultat. D) DIVISER PAR UNE FRACTION : 1) Inverse d un nombre: Deux nombres non nuls sont inverses l un de l autre si leur produit est égal à 1. L inverse d un nombre x se note x -1 ou 1 x 2) Inverse d une fraction : L inverse d une fraction a b est la fraction b avec a et b nombres relatifs non nuls. a On note ( a b )-1 = b a 3) Règle : Diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. 4) Exemples : A = : B= = = A = A = B = 7 6 : 3 2 = = =

7 6ème REPERAGE N5 A) REPERAGE D UN POINT SUR UNE DEMI DROITE : Une demi-droite graduée est composée d une graduation et d une origine correspondant à la valeur 0. On repère chaque point de cette demi-droite par une valeur appelée abscisse de ce point. Ci-dessus, l abscisse de A est 1. On note A(1). De la même façon, on note B(3). B) CAS D UNE ABSCISSE FRACTIONNAIRE : Ci-dessus, chaque unité est divisée en trois parties égales. Il faut donc compter en tiers. Ainsi, l abscisse de A est 2 3.De même, on a B ( 10 3 ) et C( 14 3 ). Attention, cette fois chaque unité est divisée en 9 parties égales. Il faut donc compter en neuvièmes. Ainsi, A ( 4 9 ) B ( 8 9 ) et C ( 12 9 ). C) CAS D UNE ABSCISSE DECIMALE : Pour représenter les nombres décimaux sur une demi-droite, on utilise souvent du papier millimétré. Ci-dessus : A (3,8) et B (10,4) Ci-dessus : A (0,44) et B (1,13)

8 5ème NOMBRES RELATIFS ET REPERAGE N6 A) NOMBRES RELATIFS : 1) Définition: Un nombre relatif est composé : d un signe ( «+» ou «-» ) d une partie numérique 2) Exemple et utilisation: «Cet hiver, il fait très froid : la nuit, la température descend à -10 C, et le jour, il fait à peine +2 C.» - 10 est un nombre négatif +2 est un nombre positif Les nombres négatifs sont les nombres inférieurs à 0. Les nombres positifs sont les nombres supérieurs à 0. 3) Droite graduée : Une droite graduée est une droite munie : d une origine dont l abscisse est 0, d un sens positif, d une graduation. L abscisse de A est +2. On note A(+2) L abscisse de B est -3. On note B(-3) 4) Remarque : Le signe «+» est facultatif pour les nombres positifs : le nombre +2 peut s écrire simplement 2. (+ 5) et (-5) ont la même partie numérique mais des signes contraires : ils sont opposés. B) RANGER LES NOMBRES RELATIFS DANS L ORDRE CROISSANT : Pour ranger des nombres relatifs dans l ordre croissant, il suffit de les écrire dans le même ordre que celui de leur position sur la droite graduée de la gauche vers la droite. Ex : Rangeons -1,5 ; 0,5 ; 2 ; -5 dans l ordre croissant. donc -5 < -1,5 < 0,5 < 2 C) REPERE DU PLAN 1) Définition et vocabulaire: 2 droites graduées de même origine O forment un repère du plan. O est appelé origine du repère. Chaque point du plan est alors repéré par 2 nombres appelés coordonnées du point. Le premier nombre est l abscisse du point : c est la coordonnée lue sur la droite graduée horizontale. Le deuxième nombre est son ordonnée : c est la coordonnée lue sur la droite graduée verticale. 2) Exemples: Les coordonnées de A sont (+2 ; +1) +2 est l abscisse de A et +1 est son ordonnée. De la même manière, on a : B(-1 ; +2) C(0,5 ; -1) D(-2 ; -1,5)

9 6ème ADDITION, SOUSTRACTION ET MULTIPLICATION N7 A) SOMME, DIFFERENCE ET PRODUIT : a) Somme : La somme de deux termes est le résultat d une addition. 12,3 et 4,56 sont les termes de la somme 12,3 + 4,56 b) Différence : La différence de deux termes est le résultat d une soustraction. 1 2, 3 + 4, 5 1 6, , 2 4, 6 4, 6-1, 2 6 c) Produit : 3 5, 3 Le produit de deux facteurs est le résultat d une multiplication ,26 et 5,3 sont les facteurs du produit 1,26 5, , B) CALCUL MENTAL : a) Somme : Dans une somme de plusieurs termes, on peut changer l ordre des termes et les regrouper. Ex : 0,75 + 2,39 + 0,25 + 4,6 + 0,01 =0,75 + 0,25 + 2,39 + 0,01 + 4,6 = 1 + 2,4 + 4,6 = = 8 b) Produit : 1- Pour multiplier par 10, 100 ou 1000, on décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite. Ex : 5, = 5300 Pour multiplier par 0,1 ; 0,01 ou 0,001, on décale la virgule de 1,2 ou 3 rangs vers la gauche. Ex : 4,75 0,1 = 0,475 2-Pour calculer un produit de facteurs se terminant par des zéros, on fait les calculs sans en tenir compte,puis on en rajoute autant qu il y en a à la fin des facteurs. Ex : = (on calcule 2 31 = 62, puis on rajoute 4 zéros) 3-Pour calculer un produit dont les facteurs sont des décimaux, on fait les calculs sans tenir compte de la virgule. On la rajoute ensuite en comptant le nombre de chiffres après la virgule dans les facteurs. Ex : 0,04 0,003 = 0,00012 (je calcule 3 4 = 12 et je place ma virgule pour avoir 5 chiffres après la virgule) 4- Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut changer l ordre des facteurs et les regrouper. Ex : 2,5 0, =2,5 2 0, = = 25 4 = 100 C) PROBLEMES : Au supermarché, j achète 6 paquets de biscuits à 0,8 euros, 3 bouteilles de soda à 1,7euros et 3 paquets de bonbons à 2,9 euros le paquet. a) Donner un ordre de grandeur de la somme à payer. 0,8 euros 1 euro 1,7 euros 2 euros 2,9 euros 3 euros (6 1) + (3 2) + (3 3) = = 21 Je vais payer environ 21 euros b) Je paye avec un billet de 50 euros. Donner la valeur exacte de la monnaie rendue. (6 0,8) + (3 1,7) + (3 2,9) = 4,8 + 5,1 + 8,7 = 18,6 Je vais payer 18,6 euros ,6 = 31,4 On va me rendre 31,4 euros. 3

10 6ème DIVISIONS N8 A) DIVISION EUCLIDIENNE (ou division entière) : 1) Définitions : Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 56 par 5, c est répondre à la question : «Dans 56, il y a combien de fois 5? Combien reste-t-il?» Mathématiquement, on écrit : 56 = ( 11 5 ) + 1 Le quotient est 11. Le reste est 1. De manière générale : Donner le quotient et le reste de la division euclidienne du nombre entier a par le nombre entier b, c est répondre à la question : «Dans le nombre a, il y a combien de fois le nombre b? Combien reste-t-il?» a est appelé le dividende et b est appelé le diviseur. 2) Exemples de division euclidienne posée : ) Critère de divisibilité. Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b, si le reste de la division euclidienne de a par b est 0. Autrement dit, «le nombre a est dans la table de multiplication du nombre b». Quelques cas particuliers : Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre composé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. B) DIVISION DECIMALE : - 1) Définition : Donner le quotient de la division décimale de 10 par 4, c est compléter l opération à trou «10 = 4». Réponse : 10 = 4 2,5 Mathématiquement, on écrit : 10 4 = 2,5 1 4, , 4 9 2) Exemples de division décimale posée : 3) Résultat approché , , , , Quand la division «ne s arrête jamais», on est obligé de donner un résultat approché. On remarque que le reste sera toujours 4 : on n obtiendra jamais 0! On va donc écrire ,17 C est un résultat approché au centième.

11 5ème ENCHAINEMENTS D OPERATIONS N9 A) AVEC DES PARENTHESES : 1) Règle : Dans une suite d opérations, les calculs entre parenthèses sont prioritaires. 2) Exemple : [ 2 (5 + 3) ] + [4 (2+1) ] = [ 2 8 ] + [ 4 3 ] = = 17 3) Remarque : Quand il n y a pas de signe entre un nombre et une parenthèse, alors c est obligatoirement. 4( 5 + 6) = 4 (5+6) = 4 11 = 44 B) SANS PARENTHESE : 1) Quand il n y a que des sommes ou des produits. On peut changer librement la place des nombres et commencer par le calcul que l on veut. Exemple : 5, , , ,9 = 5,5 + 0, ,1 + 0, = = = 30 2) Quand il y a plusieurs opérations différentes. On calcule toujours de la gauche vers la droite en commençant par les multiplications et les divisions. Exemples : : 2 = = = = 18 3) Nommer un calcul : Pour nommer une expression, il faut d abord regarder la dernière opération à effectuer. Exemple : (5-3) C est la SOMME de «2 4» et de «5-3» C est donc la SOMME du produit de 2 par 4 et de la différence de 5 et de 3. C) AVEC UNE BARRE DE FRACTION : 1) Règle : Une barre de fraction dans un calcul signifie que l on divise tout ce qui est au numérateur par tout ce qui est au dénominateur. Il ne faut donc pas oublier de rajouter des parenthèses. 2) Exemple : = 4 + (25 1) : ( 2 4) = : 8 = = 7 D) DEVELOPPER ET FACTORISER : 1) Règle : k ( a + b) = k a + k b k ( a b) = k a k b 2) Exemples : Développer, c est transformer un produit en somme ou différence = 8 (100 1) = = = 792 Factoriser, c est transformer une somme ou différence en produit. 7 4, ,5 = 7 (4,5 + 5,5) = 7 10 = 70

12 5ème ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS DE NOMBRES RELATIFS N10 A) SOMME DE 2 NOMBRES RELATIFS : 1) Somme de 2 nombres de même signe: Le signe de cette somme est ce signe commun. La partie numérique de cette somme est la somme des parties numériques. Ex : (+3) + (+5) = (+8) car (+3) et (+5) sont 2 nombres positifs, et la partie numérique est ( -4) + (-6) = (-10) car (-4) et (-6) sont 2 nombres négatifs, et la partie numérique est ) Somme de 2 nombres de signes différents: Le signe de cette somme est celui du nombre qui a la plus grande partie numérique. La partie numérique de cette somme est la différence entre les 2 parties numériques. Ex : (+5) + (-12) = -7 car (-12) a la partie numérique la plus grande et 12-5 = 7 (+7,5) + (-4) = (+3,5) car (+7,5) a la partie numérique la plus grande et 7,5-4 = 3,5 B) DIFFERENCE DE 2 NOMBRES RELATIFS : 1) Règle: Soustraire un nombre, c est additionner son opposé. 2) Exemples: (+5) (+10) = (+5) + (-10) = -5 (-4 ) (-3) = (-4) + (+3) = -1 (-8) (+4) = (-8) + (-4) = -12 3) Distance entre 2 points sur une droite graduée : Pour calculer la distance séparant 2 points sur une droite graduée, il suffit de calculer la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse. AB = (+21) (-33) = (+21) + (+33) = 54 unités C) ENCHAINEMENT DE CALCULS : 1) Première méthode : Calculer de gauche à droite après avoir transformé toutes les soustractions = 4 + (-5) (-7) + 8 = (-1) (-7) + 8 = 5 + (-7) + 8 = (-2) + 8 = 6 2) Deuxième méthode : Rassembler les nombres positifs et les négatifs après avoir transformé toutes les soustractions = 4 + (-5) (-7) + 8 = (-5) + (-7) = 18 + (-12) = 6 3) Remarque : On peut faire mentalement les transformations des soustractions et gagner du temps = = 6

13 4ème MULTIPLICATION ET DIVISION DE NOMBRES RELATIFS N11 A) PRODUIT DE NOMBRES RELATIFS : 1) Règle des signes: Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes différents est positif. Il suffit alors de multiplier les parties numériques. 2) Exemple: 5 (-4) = -20 (-3) (-6) = ) Attention : Il ne faut pas confondre (-2) + 3 qui est positif et (-2) 3 qui est négatif. Ce n est pas la même règle des signes! B) QUOTIENT DE 2 NOMBRES RELATIFS : 1) Règle des signes: C est la même règle des signes que pour la multiplication. Il suffit alors de diviser les parties numériques. 2) Exemples: (-10) : (-2) = +5 (-9) : 3 = : (-4) = -3 C) ENCHAINEMENT DE CALCULS : 1) Enchaînement de produits: A = (-2) 3 (-5) (-0,01) 8 (-100) (-4) On déterminee le signe du produit : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif. Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif. Ici, il y a 5 facteurs négatifs, donc le produit sera négatif. A = , Il n y a plus qu à multiplier les parties numériques, en les regroupant astucieusement. A = , A = A = = ) Priorités opératoires : Les priorités sont les mêmes qu avec les nombres positifs. B = = = = = [ -2 + (-3) (-4) ] 6 + (-18) : 3 [ ] 6 + (-6) (-6) (-6)

14 6ème PROPORTIONNALITE ET POURCENTAGE N12 A) PROPORTIONNALITE : 1) Définition et exemple : Des chocolats sont vendus par paquet de 20 au prix de 3. Craignant l indigestion, je ne veux en acheter que 4. Combien vais-je payer? On cherche d abord le prix de 1 chocolat: 3 : 20 = 0,15 Puis je multiplie par le nombre de chocolats : 0,15 11 = 1,65 Cette situation peut se résumer sous la forme du tableau suivant : On dit que ce tableau représente une situation de proportionnalité ; c'est-à-dire que pour passer d une ligne à l autre, d une colonne à une autre, on multiplie ou on divise les valeurs par un même nombre. Ainsi, si je veux savoir combien de chocolat je peux acheter avec 15, il suffit d après mon tableau de calculer 15 : 0,15 = 100. Je peux donc m acheter 100 chocolats. 2) Exemple de situation non proportionnelle : Tous les problèmes ne peuvent pas se résoudre avec la proportionnalité. Par exemple : B) PROPORTION ET POURCENTAGE : 1) Proportion : Si je mesure 1,80m à 20 ans, à 40 ans, je ne vais pas mesurer 1,80 2 = 3,60m et à 60 ans 1,80 3=5,40m!! Ce n est pas une situation proportionnelle. Un gâteau pèse 400g. J en mange les 3. Combien de grammes de gâteau ai-je mangé? 4 Manger les trois quarts signifie que j ai coupé mon gâteau en 4 parts égales (qui représente chacune 1 4 du gâteau) et j en ai mangées 3. C est une situation de proportionnalité. Je dois donc faire les calculs suivants : 400 g : 4 = 100 g donc 1 de gâteau pèse 100 g g 3 = 300 g donc j en ai mangé 300 g 2) Pourcentage : Un fromage de 250g contient 45% de matière grasse. Combien de grammes de matière grasse contient-il? 45% signifie que le fromage contient 45 grammes de graisse pour 100 grammes de fromage. C est une situation de proportionnalité : C) MULTIPLIER PAR UNE FRACTION : 1) Règles : a b = a : b par exemple 1 2 On effectue alors le calcul suivant : 45 : 100 = 0,45 g pour 1 g de fromage 0, = 112,5 g pour 250g de fromage OU en une seule ligne de calcul (45 : 100) 250 = 112,5 g = 1:2 = 0,5 c a b = c (a : b) = (c a) : b = (c : b) a par exemple 4 3 = (4 3) : 8 = 12 : 8 = 2,25 8 2) Prendre une fraction de quelque chose Pour prendre les 3 4 d un gâteau de 400g, il faut calculer (400 : 4) 3. Ce calcul peut s écrire Pour prendre 45% d un fromage de 250g, il faut calculer 250 (45 :100). Ce calcul peut s écrire Pour prendre une proportion d une quantité, il faut multiplier cette quantité par la fraction correspondante.

15 5ème TABLEAU DE PROPORTIONNALITE N13 A) TABLEAU DE PROPORTIONNALITE 1) Définition : Un tableau de proportionnalité est un tableau représentant une situation de proportionnalité. Cela signifie que tous les nombres de la 2 ème ligne du tableau s obtiennent à partir des nombres de la 1 ère ligne grâce à une multiplication ou une division par un même nombre (différent de 0). Ce nombre est un coefficient de proportionnalité. Exemples : Ce tableau est proportionnel car 3 1,5=4,5 2 1,5=3 5 1,5=7,5 6 1,5=9 8 1,5=12 1,5 est un coefficient de proportionnalité Ce tableau n est pas proportionnel car 3 3=9 6 3=18 MAIS Il n y a pas de coefficient de proportionnalité. 2) Calculer un coefficient de proportionnalité : Pour calculer un coefficient de proportionnalité, on peut utiliser une «opération à trou» ou équation (voir BAO N20). Par exemple, il suffit de traduire par un calcul la phrase suivante : «Par combien doit-on multiplier 8 pour obtenir 9,6?» 8 x = 9,6 où x est le nombre que l on cherche. On trouve x grâce à la division 9,6 : 8 x vaut donc 1,2 (on vérifie facilement que 8 1,2 = 9,6). Le coefficient de proportionnalité est donc 1,2. 3) Compléter un tableau de proportionnalité : On veut compléter le tableau suivant : B) EXEMPLE : L ECHELLE : a) «La méthode du 1» On rajoute 1 dans le tableau et on cherche des multiplications ou des divisions se rapportant à 1. b) Grâce au coefficient de proportionnalité. On cherche un coefficient et on l utilise. 3 x = 7,2 donc x = 7,2 : 3 = 2,4 Le coefficient de proportionnalité est 2,4. 7 2,4 = 16,8 L échelle est utilisée dans les plans, les cartes, les maquettes...etc... Elle exprimer le rapport entre les longueurs représentées et les longueurs réelles. Par exemple, sur un plan, l échelle 1/ signifie que 1cm sur le plan représente cm en réalité. si on mesure 1,7cm, quelle est alors la longueur réelle? Il s agit en fait d une situation de proportionnalité : Il suffit de calculer 1, = cm = 170 m 1,7 cm sur le plan représente 170m en réalité.

16 4ème PROPORTIONNALITE ET PRODUITS EN CROIX N14 A) REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE SITUATION PROPORTIONNELLE: 1) Règle : Si une situation est proportionnelle, alors sa représentation graphique dans un repère est une droite passant par l origine. Réciproquement, une droite passant par l origine d un repère est la représentation graphique d une situation proportionnelle. 2) Exemples : On a calculé les aires de différentes figures, et on a représenté l aire de ces figures en fonction de x. Situation proportionnelle: Situation non proportionnelle: Situation non proportionnelle : B) EGALITE DES PRODUITS EN CROIX : 1) Règle : 2) 3) Exemple : calcul de pourcentage : Dans une classe de 25 élèves, il y a 10 filles et 15 garçons. 40% des garçons et 20% des filles ont les yeux bleus. Calculer le nombre d élèves aux yeux bleus et le pourcentage d élèves aux yeux bleus dans cette classe. 4) Exemple : vitesse moyenne : V = D T où V est la vitesse moyenne en km/h, D est la distance parcourue en km et T le temps en h. Une automobile parcourt 91 km en 1 h 24 min. Calculons sa vitesse moyenne. 1 h 24 min = 84 min = (84 : 60) h = 1,4 h donc V = 91 = 65 km/h. 1,4 Elle roule à cette vitesse pendant encore 2h 36mn. Quelle distance va-t-elle parcourir? 2h 36min = 156 min = (156 : 60)h = 2,6 h donc 65 = D 2,6 En utilisant les produits en croix, on a D = 65 2,6 = 169 km.

17 3ème FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES N15 A) FONCTION LINEAIRE: 1) Définition : Une fonction f est linéaire si elle peut s écrire sous la forme f : x a a x où a est un nombre relatif fixé. Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité. Le nombre relatif a est alors un coefficient de proportionnalité. 2) Exemples : f : x a 3x est une fonction linéaire dont le coefficient a = 3. g : x a 5(x 2) + 10 est aussi linéaire car 5(x 2) + 10 = 5x = 5x Elle est bien de la forme x a a x avec a = 5. 3) Représentation graphique : La représentation graphique d une fonction linéaire dans un repère est une droite passant par l origine. On peut y lire le coefficient a. Ici, par exemple, f(x) = 2,5x. On dit alors que 2,5 est le coefficient directeur ou la pente de la droite. B) FONCTION AFFINE : 1) Définition : Une fonction f est affine si elle peut s écrire sous la forme f : x a a x + b où a et b sont des nombres relatifs fixés. 2) Exemples : f : x a 3x + 2 est une fonction affine avec a = 3 et b =2. g : x a 3x 2 4 est aussi affine car 3x 2 4 = 3 4 x 2 4 Elle est bien de la forme x a a x + b avec a = 3 4 et b = 2 4 3) Représentation graphique : La représentation graphique d une fonction affine dans un repère est une droite. On peut y lire le coefficient a de la même façon que pour les fonctions linéaires. Le point d intersection de l axe des ordonnées et de la droite a pour ordonnée b. On appelle alors cette valeur l ordonnée à l origine. Ici, par exemple, f(x) = -2x + 4. L ordonnée à l origine est b =4. Le coefficient directeur est a = -2.

18 6ème SERIE STATISTIQUE ET GRAPHIQUE N16 A) SERIE STATISTIQUE : On a posé à 25 personnes les 2 questions suivantes : «Quelle est votre couleur préférée?» et «Combien de fois partez-vous en vacances par an?» Les résultats sont les suivants : Jaune-Bleu-Bleu-Rouge-Jaune-Vert-Vert-Bleu-Rouge-Jaune-Vert-Bleu-Bleu-Rouge-Noir-Noir-Blanc-Jaune- Bleu-Blanc-Jaune-Rouge-Bleu-Noir-Bleu Ces résultats étant peu lisibles, on préfère les classer dans des tableaux. Couleur Jaune Bleu Rouge Vert Blanc Noir Effectifs Nombre de départs en vacances Effectifs Ainsi, grâce à ces tableaux, on peut facilement répondre aux questions suivantes : «Combien de personnes préfèrent le rouge?» Réponse : 4 «Combien de personnes ne partent jamais en vacances?» Réponse : 9 «Combien de personnes partent moins de 2 fois par an?» Réponse : = 18 Ces tableaux s appellent des séries statistiques B) GRAPHIQUES : On peut aussi représenter des données par des graphiques. Il y en a plusieurs types : 1) Le graphique cartésien Ce graphique nous permet par exemple de répondre aux questions suivantes : «Quelle distance a-t-on parcourue en 1 heure?» Réponse : 4km «Combien de temps s est-on arrêté?» Réponse : 1h «Quelle distance a-t-on parcouru au total?» Réponse : 10 km 2) Le diagramme en barre : Ci-contre le diagramme en barre tracé à partir des données du tableau du A) On y lit qu il y a bien 5 personnes qui partent 2 fois par an en vacances Distance (km) 6 Effectifs Une longue promenade Temps (h) Les départs en vacances par an Nombre de départs 3) Le diagramme circulaire : Ci-dessous, un diagramme circulaire tracé à partir des données du tableau en A) On y lit bien que la majorité des personnes a répondu bleu. Jaune Bleu Rouge Vert Blanc Noir La couleur préférée

19 5ème STATISTIQUES, FREQUENCE ET GRAPHIQUES N17 A) FREQUENCE : 1) Classer une population en série statistique : On interroge une classe de 25 élèves. On pose la question suivante : «Quelle est votre matière préférée?». On regroupe les réponses dans un tableau : Matière Mathématiques Français Histoire géographie Effectifs ) Fréquence: La fréquence est la proportion que représente une réponse parmi toutes les réponses données. Par exemple, la fréquence de la réponse «Mathématiques» est de 10 réponses sur les 25 réponses données. Autrement dit, c est la fraction 10, que l on peut calculer 10 : 25 = 0,4. 25 Effectif On peut retenir la formule Fréquence = Effectif total 3) Fréquence en pourcentage : La fréquence en pourcentage est le pourcentage d une réponse parmi toutes les réponses données. Par exemple, la fréquence en % de la réponse «Mathématiques» est de = 0,4 100 = 40% 25 Effectif On peut retenir la formule Fréquence en % = 100 = Fréquence 100 Effectif total On résume le tout dans le tableau suivant : Matière Mathématiques Français Histoire géographie Effectifs Fréquence 10/25 = 0,4 7/25 = 0,28 8/25 = 0,32 Fréquence en % 40% 28% 32% Remarque : la somme totale de toutes les fréquences doit être égale à 1 et la somme de tous les pourcentages à 100% Diagramme en barre (Effectifs en fonction de la matière préférée) B) REPRESENTATION GRAPHIQUE : ) Diagramme en barre : Représentons par un diagramme en barre la série statistique précédente. 2) Diagramme en bande : Effectif La taille des bandes dépend proportionnellement de l effectif. Ainsi, si une bande de 20 cm représente les 25 personnes, alors pour 1 personne, il faut une bande de 20: 25 = 0,8cm. La réponse «Mathématiques» correspond à une bande de 10 0,8 = 8cm La réponse «Français» correspond à une bande de 7 0,8 = 5,6cm La réponse «Histoire Géographie» correspond à une bande de 8 0,8 = 6,4cm 0 Mathematiques Français Hist-Géo, Matière 3) Diagramme semi-circulaire : La mesure de chaque angle formant les «parts de disque» dépend proportionnellement de l effectif. Ainsi, les 25 personnes sont représentées par le demi disque entier, c'està-dire par un angle de personne est donc représentée par un angle de 180 : 25 = 7,2 La réponse «Mathématiques» correspond à un angle de 7,2 10 =72 La réponse «Français» correspond à un angle de 7,2 7 =50,4 La réponse «Mathématiques» correspond à un angle de 7,2 8 =57,6

20 4ème MOYENNE N18 A) MOYENNE A PARTIR D UNE LISTE: On pose la question suivante à 10 personnes : «Quel est votre salaire?» Les réponses sont : La moyenne correspond à la somme que toucheraient ces 10 personnes si elles devaient se partager équitablement la somme totale des salaires. Cette somme totale est égale à = La moyenne est donc M = : 10 = 1295 Remarque : la moyenne est obligatoirement comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs relevées, ici entre 900 et B) MOYENNE A PARTIR D UN TABLEAU : On pose la question suivante à 80 personnes : «Combien avez-vous de téléviseurs?» On range les réponses dans le tableau suivant : Nombre de TV Effectifs La moyenne correspond au nombre de téléviseurs que chacun posséderait si ces 100 personnes en avaient le même nombre. Le nombre total de téléviseurs est = 183 téléviseurs. La moyenne est donc M= 183 : 80 = 2,2875 téléviseurs. Remarque : la moyenne n est pas toujours un nombre «réel» : ici, cela n a pas de sens de parler de décimales de téléviseurs! La moyenne sert avant tout à «résumer» la série des réponses. C) MOYENNE DANS LE CAS DES INTERVALLES : On pose la question suivante à 200 personnes : «Quelle est votre taille? (en cm)» On range les réponses dans le tableau suivant : Taille t (en cm) 140 t< t< t< t<180 Effectifs t<150 signifie que la taille est entre 140 cm et 150 cm, 140 inclus et 150 exclu Pour calculer la moyenne, il faut supposer par exemple que les 12 personnes dont la taille est comprise entre 140 cm et 150 cm ont la même taille : 145cm. On fait de même pour les autres classes. On pourra alors calculer une valeur approchée de la moyenne (qui n est pas exacte car on ne connaît pas précisément la taille de chaque personne) M ( ) : 200 = 165,8 cm Remarque : Les valeurs 145 ; 155 ; 165 et 175 sont appelées centres des classes D) MOYENNE A PARTIR DE FREQUENCES (EN %): Voici un diagramme donnant la répartition des élèves d un collège en fonction du nombre de frères qu a chacun. Nombre de frères Pour calculer la moyenne du nombre de frères, on va alors supposer que l effectif total est de 100 élèves. Ainsi, on suppose qu il y a eu 15 réponses «0 frères», 30 réponses «1 frère», 25 réponses «2 frères» etc 30,00% 15,00% 10,00% 20,00% La moyenne est alors : M = ( ) : 100 = 1,8 frère. 25,00%

21 3ème MEDIANE, QUARTILES ET ETENDUE N19 A) DEFINITIONS: 1) Médiane : La médiane m d une série statistique est une valeur (de la série ou non) telle que : - Au moins 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à la médiane m. - Au moins 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la médiane m. 2) Quartiles : Le premier quartile Q 1 d une série statistique est la valeur de la série telle que : - Au moins 25% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile Q 3 d une série statistique est la valeur de la série telle que : - Au moins 75% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q 3. 3) Etendue : L étendue e d une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs de la série. B) EXEMPLES : 1) Sous forme de liste : On pose la question suivante : «Combien de fois allez vous chez le coiffeur par an?» Les réponses sont : On range les réponses dans l ordre croissant : L effectif total est 11, et donc impair. 11 = , donc la médiane est la 6 ème valeur de la série. Donc m = 5 fois C'est-à-dire qu au moins la moitié des personnes va chez le coiffeur au maximum 5 fois par an et au moins la moitié des personnes y va au minimum 5 fois par an. 11 : 4 = 2,75. Le premier quartile est donc la 3 ème valeur de la série. Donc Q 1 = 4 fois 11 : 4 3 = 8,25. Le troisième quartile est donc la 9 ème valeur de la série. Donc Q 3 = 7 fois C'est-à-dire qu au moins un quart des personnes va chez le coiffeur 4 fois par an au maximum, et les trois quarts des personnes y vont 7 fois au maximum. L étendue e quant à elle vaut : e = 10 2 = 8 fois. 2) Sous forme de tableau: On pose la question suivante : «Combien allez vous de fois au cinéma par an?» Les réponses sont rangées dans le tableau suivant : Nombre de fois Effectifs L effectif total est 3710 et donc pair = , donc la médiane est entre la 1855 ème et 1856 ème valeur =1855, la 1855 ème valeur est dans la classe «2 fois» et la 1856 ème dans la classe «3 fois». Donc m = 2,5 fois : 4 = 927,5 donc Q 1 est la 928 ème valeur qui est dans la classe «0 fois» Donc Q 1 = 0 fois : 4 3 = 2782,5 donc Q 3 est la 2783 ème valeur de la série =2280 et =3125. La 2783 ème valeur est donc dans la classe «4 fois». Donc Q 3 = 4 fois. L étendue e = 6 0 = 6 fois.

22 5ème CALCUL LITTERAL ET EQUATION N20 A) EXPRESSION LITTERALE : 1) Définition : Une expression littérale est un calcul comportant une lettre appelée variable. Cette lettre peut généralement être remplacée par n importe quel nombre. 2) Exemple : Exprimons en fonction de x l aire A du polygone ABCDEG. Il se décompose en 3 rectangles dont les aires se calculent grâce à la formule Longueur largeur. L aire de ABCH vaut 5 2 = 10cm² L aire de CEDF vaut 2 x L aire de HCFG vaut 5 x L aire totale est donc A = x + 5 x 3) Calculer pour une valeur donnée : Il s agit de remplacer la lettre d une expression par une valeur et de la calculer. En reprenant l exemple ci-dessus, calculons l expression A pour x=3cm. A = x + 5 x A = A = = 31cm². B) REDUIRE UNE EXPRESSION : Réduire une expression, c est effectuer les calculs autorisés afin de rendre plus simple l expression. 1) Réduire un produit : E = 4 3 x 5 y (dans un produit, l ordre des facteurs peut être changé) E = x y (on multiplie les nombres ensemble et les lettres ensemble) E = 60 x y E = 60xy (on peut supprimer le symbole entre 2 lettres ou 1 nombre et une lettre) 2) Réduire une somme : E = 3x x 3 x +6 (on calcule séparément les termes en x et les nombres) E = 3x x 3 1x +6 (remarque : on peut remplacer 1x par x) 3x + 2x 1x = 4x = 7 donc E = 4x + 7 3) Développer un produit : C est utiliser les formules de développement (voir BAO N9) avec des lettres. E = 5 ( 2x + 3) E = 5 2x E = 10x + 15 F = 6(8 3x) F = x F = 48 18x (on peut supprimer le symbole entre un nombre et une parenthèse) 4) Exemple : un calcul magique. PROGRAMME DE CALCUL EXEMPLE : EXPLICATION : Choisis un nombre au hasard Ajoute lui = 13 J appelle x mon nombre choisi x + 1 Multiplie le résultat par = 26 (x + 1) 2 = x = 2x + 2 Retire le double du nombre choisi = = 2 2x + 2-2x = 2 MAGIQUE :On obtient toujours 2. Le résultat est toujours 2. C) EQUATION : 1) Définition simplifiée : Une équation est une «opération à trou» dans laquelle le nombre inconnu est remplacé par une lettre. 2) Exemples : x + 4 = 10 Pour trouver le nombre x, il faut faire la soustraction 10 4 = 6. Vérification: = 10, donc x = 6 est la solution de l équation 5 a = 20 Pour trouver le nombre a, il faut faire la division 20 : 5 = 4 Vérification : 5 4 = 20, donc a = 4 est la solution de l équation.

23 4ème CALCUL LITTERAL : DEVELOPPER ET REDUIRE N21 A) REDUIRE UNE EXPRESSION: 1) Sans parenthèses : (voir BAO N20) On calcule séparément les termes en x², en x, et les nombres. Ex : A = 5x² + 4x 3 + x² 7x + 6 A = 5x² + 4x 3 + x² 7x + 6 A = 6x² 3x + 3 2) Avec parenthèses (sans produit): a) Parenthèses en début de calcul ou précédées d un «+». On peut supprimer ces parenthèses, ainsi que le signe «+», sans changer l expression. Ex : B = (2x + 1) + (-4x + 3) + (8x 6) (les parenthèses sont précédées d un «+») B = (2x + 1) + ( -4x + 3 ) + (+8x 6) B = 2x + 1 4x x 6 B = 6x 2 (on recopie seules les expressions entre parenthèses) (on réduit l expression) b) Parenthèses précédées d un «-» Soustraire une expression, c est additionner son opposé. On transforme donc d abord les soustractions en additions, avant de supprimer les parenthèses. Ex C = 2x (-2x + 1) (8x 6) (les parenthèses sont précédées d un «-») C = 2x + (+2x 1) + (-8x + 6) C = 2x +2x 1-8x + 6 C = -4x + 5 (on transforme les soustractions en additions) (on retrouve le cas précédent) B) DEVELOPPER UN PRODUIT : 1) Réduire un produit : (voir BAO N20) Ex : D = -3x 5 = -15x E = (-4x) (-2x) = 8x² 2) Développement simple : k ( a + b) = k a + k b avec k, a, b des nombres relatifs. Ex : F = -3x ( 5 7x) F = -3x ( +5 7x ) F = -15x + 21x² F = 21x² 15x On calcule mentalement (ou au brouillon) (-3x) (+5) =( -15x) (-3x) (-7x) = (+21x²) puis on recopie les résultats, en les ordonnant (les x² avant les x ) 3) Développement double : ( a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd avec a,b,c et d des nombres relatifs. Ex : C) EXEMPLE F = (4x 3)(2 5x) F = ( +4x 3 )( +2 5x ) F = 8x 20x² x F = -20x² + 23x 6 On calcule mentalement (ou au brouillon) (+4x) (+2) = (+8x) (+4x) (-5x) = (-20x²) (-3) (+2) = (-6) (-3) (-5x) +(15x) puis on réduit. a) Exprimer en fonction de x l aire A colorée de la figure ci-contre. b) Développer et réduire l expression obtenue. c) Calculer A quand x = 5cm. a) A = x ( x + 10) 2x ( x 1) (C est l aire du grand rectangle auquel on retire l aire du petit rectangle) c) A = - 5² = = 35 cm² b) On commence par repérer les développements que l on met entre crochets A = [ x ( x + 10) ] [ 2x ( x 1) ] A = [ x² + 10x ] [ 2x² 2x ] A = [ x² + 10x ] + [ -2x² + 2x ] A = x² + 10x - 2 x² + 2 x A = - x² + 12x

24 3ème LES IDENTITES REMARQUABLES N22 Dans la suite, a et b sont des nombres relatifs A) LE CARRE D UNE SOMME : ( a + b )² = a² + 2ab + b² Ex : (2x + 3)² = (2x)² + 2 2x 3 + 3² = 4x² + 12x + 9 B) LE CARRE D UNE DIFFERENCE : ( a b )² = a² 2ab + b² Ex : (4 3x)² = 4² 2 4 3x + (3x)² = 16 24x + 9x² = 9x² 24x + 16 C) PRODUIT DE LA SOMME PAR LA DIFFERENCE : D) PROBLEMES : ( a + b )(a b) = a² b² Ex : (5x + 2)(5x 2) = 25x² 4 1) Calcul mental : Calculer mentalement le produit de 102 par = ( ) (100 2) = 100² 2² = = ) Programme de calcul : -Choisis un nombre entier. -Calcule le carré de l entier suivant le nombre choisi. -Retire au résultat le carré de l entier précédant le nombre choisi. Explique pourquoi le résultat est toujours un multiple de 4 (c est-à-dire dans la table de multiplication par 4). Essai : je choisis 9 L entier suivant est 10 ; l entier précédant est 8. On calcule donc 10² 8² = = 36, ce nombre est bien un multiple de 4. Cas général : je choisis un nombre n L entier suivant est n + 1 ; l entier précédant est n 1 On calcule donc (n + 1)² (n 1)² On développe et on réduit : [ n² + 2n + 1 ] [ n² 2n + 1 ] = n² + 2n + 1 n² + 2n 1 = 4n Ce nombre est bien un multiple de 4. 3) En géométrie : Quelle doit être la valeur de x pour que l aire A comprise entre les deux carrés soit égale à 10 cm²? A = (x + 2)² x² = 10 cm² x² + 4x + 4 x² = 10 4x + 4 = 10 4x = 6 x = 6 : 4 = 1,5cm Il faut donc que x soit égal à 1,5cm pour obtenir une aire A de 10cm².

25 4ème PUISSANCES N23 A) DEFINITION: 1) Puissance d un nombre quelconque : x est un nombre quelconque et n est un nombre entier positif. x n = x x x x x x - n = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 n fois le facteur x n fois le facteur x n est appelé l exposant de la puissance. Exemples : 5 3 = = = = 1 16 = 0,0625 2) Cas particuliers: les puissances de 10 : 10 n = n = 0, n zéros n zéros Exemples : 10 6 = = 0,0001 3) Multiplier par une puissance de 10. Quand on multiplie un nombre par une puissance de 10 : d exposant n positif, on décale sa virgule de n rangs vers la droite. d exposant n négatif, on décale sa virgule de n rangs vers la gauche. Exemples : 5, = , = 0,0234 4) Ecriture scientifique : Tout nombre peut s écrire sous la forme x 10 n où x est un nombre relatif et n un entier. Quand x n a qu un seul chiffre différent de 0 avant la virgule, on dit qu il s agit de l écriture scientifique. Exemples : = ,00056 = 0, = 52, = = 5, = 5, Les 2 dernières écritures sont les écritures scientifiques de et 0, B) CALCULER AVEC LES PUISSANCES : 1) Formules : a et b étant deux nombres relatifs, n et p deux nombres entiers. a n a p = a n+p a n a p = a n-p ( a n ) p = a n p ( a b ) n = a n b n ( a b )n = an b n 2) Exemples : = = 8-7 (6 100 ) 2 = ( 2 3 )3 = = ) Exercice «type brevet» Calculer et donner l écriture scientifique de A A = (10 6 ) -3 = = = = (-18) = = 2, = 2,

26 4ème RESOLUTION D EQUATIONS N24 A) RESOUDRE UNE EQUATION : 1) Définition : Une équation d inconnue x est une égalité entre 2 expressions littérales dont la variable est x. Ces deux expressions sont appelées membres de l équation. L égalité peut être vérifiée ou pas : tout dépend de la valeur de l inconnue x. Dans le cas où l égalité est vérifiée, on dit que x est une solution de l équation. Exemple : x = -3 est il solution de l équation x² + 2x + 1 = 5x 4? Le membre de gauche vaut (-3)² +2 (-3) + 1 = 9 + (-6) + 1 = 4 Le membre de droite vaut 5 (-3) 4 = = -19 Donc -3 n est pas solution de l équation. 2) Méthode de résolution : «la balance» 3) Méthode de résolution : la transposition. B) PROBLEMES A METTRE EN EQUATION: 1) Numérique : Avec la même somme, je peux m acheter soit 4 cahiers et 3 crayons à 0,4 l unité, soit 2 cahiers et 8 gommes à 0,3 l unité. Quel est le prix d un cahier? On appelle x le prix d un cahier. On a alors : 4x + 3 0,4 = 2x + 8 0,3 4x + 1,2 = 2x + 2,4 4x 2x = 2,4 1,2 2x = 1,2 x = 1,2 : 2 = 0,6 Un cahier coûte 0,6. 2) Géométrique : Calculer AM. On pose AM = x (MN)//(BC) M [AB] N [AC] D après le théorème de Thalès x x+1 = 3 On utilise alors le produit en croix (3+1,5) 4,5x = 3(x +1) Il faut d abord développer. 4,5x = 3x + 3 4,5x 3x = 3 1,5x = 3 x = 3 :1,5 = 2 Donc AM = 2cm

27 3ème FACTORISATIONS N25 A) GENERALITES : 1) Définition : Factoriser une expression, c est transformer une somme en produit en utilisant les formules de développement «à l envers». 2) Exemple numérique: 45 99, ,02 = 45 (99,98 + 0,02) = = 4500 K A + K B = K ( A + B ) B) FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE EN UTILISANT KA + KB = K(A+B) : 1) Exemple 1 : 2x 3 2x 4x = 2x ( 3 4x ) K A K B = K ( A B ) K est appelé le facteur commun de l expression. 2) Exemple 2 : ( 4x + 5) ( 2x + 3) + (x 4 ) (4x + 5) = (4x + 5) [ (2x + 3) + (x 4) ] K A + B K = K ( A + B ) = (4x + 5) ( 2x x 4 ) = (4x + 5) ( 3x 1) C) FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE EN UTILISANT LES IDENTITES REMARQUABLES : 1) a² + b² + 2ab = (a + b)² : 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² a² + 2ab + b² avec a = 2x ; b = 3 et 2ab = 2 2x 3 = 12x Attention! On ne peut pas toujours factoriser une expression. x² + 5x + 16 a² + 2ab + b² avec a = x ; b = 4 et 2ab = 2 x 4 = 8x 5x donc on ne peut pas factoriser cette expression. 2) a² b² = (a + b) (a b): D) APPLICATIONS : (4x 5)² 25 = [ (4x 5) + 5 ] [ (4x 5) 5 ] A² B² = [ A + B ] [ A B ] avec A = 4x 5 et B = 5 = ( 4x ) ( 4x 5 5 ) = 4x ( 4x 10) Résoudre l équation 2x (5x + 2) (5x + 2)(x + 6) = 0 On ne peut pas résoudre cette équation en l état : il faut d abord factoriser le membre de gauche. 2x ( 5x + 2) (5x + 2)(x + 6) = (5x + 2) [ 2x (x + 6) ] = (5x + 2) ( 2x x 6) = (5x + 2) ( x 6 ) Il suffit alors de résoudre l équation produit nul (5x + 2)(x 6) = 0 (Voir BAO N26) 5x + 2 = 0 ou x 6= 0 5x = -2 x = 6 x = -2 : 5 = -0,4 Les solutions de l équation sont x = -0,4 et x = 6

28 3ème EQUATIONS DIVERSES ET INEQUATION N26 A) EQUATION : La résolution des équations suivantes suppose que l on maîtrise les techniques de la BAO N24 1) Du second degré : 4x² + 1 = 2x² +7 4x² - 2x² = 7 1 2x² = 6 x² = 3 x = 3 ou x = - 3 Les solutions de cette équation sont 3 et - 3 2x² + 4 = -3 6x² 2x² + 6x² = x² = -7 x² = -7/8 Cette équation n a pas de solution car x² est toujours positif. 2) Produit en croix : 5x + 3 2x 1 = 4 3 On écrit l égalité des produits en croix : (5x + 3) 3 = (2x 1) 4 On développe et on résout : 15x + 9 = 8x 4 15x 8x = x = -13 x = = ) Produit nul : Un produit est nul signifie qu obligatoirement, l un de ses facteurs est nul. (4x + 3) ( 2x 5) = 0 signifie que 4x + 3 = 0 ou 2x 5 =0 4x = - 3 2x = 5 3x² + 4x 3 = x + 5 On ne peut généralement pas résoudre cette équation au collège Une solution consisterait à factoriser si cela est possible (voir BAO N25). x = -3 4 x = 5 2 Les solutions de cette équation sont donc -3 4 et 5 2. B) INEQUATION : 1) Règle: On ne change pas une inégalité : -En additionnant (ou soustrayant) à chacun de ses membres un même nombre relatif. -En multipliant (ou divisant) chacun de ses membres par un même nombre strictement positif. Si on multiplie (ou divise) ses membres par un nombre négatif, alors on change le sens de l inégalité. 2) Exemple : Résoudre une inéquation d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l inégalité. Comme il y en a généralement une infinité, on les représente sur une droite graduée par un coloriage. La technique est la même que pour les équations : il faut juste faire attention à la dernière division. 5x + 3 < 3x + 8 5x 3x < 8 3 2x < 5 x < 5 : 2 (on ne change pas le sens car 2 est positif) x < 2,5 2x 4 6x x 6x x 14 x 14 : (-4) (on change le sens car -4 est négatif) x -3,5 Le crochet tourné vers l extérieur du coloriage car la valeur 2,5 ne vérifie pas l inégalité. Le crochet tourné vers l intérieur du coloriage car la valeur -3,5 vérifie l inégalité.

29 3ème SYSTEMES N27 A) SYSTEME DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES: 1) Définition : Une solution d un système de deux équations à deux inconnues x et y est un couple (x ; y) de valeurs qui sont solutions de la première équation et de la deuxième équation. 2) Exemple : 5x + 2y = 17 2x + 4y = 10 Le couple (3 ; 1) est solution du système car =17 et =10 Le couple (1 ; 6) n est pas solution du système car =17 mais =26 10 B) RESOLUTION PAR SUBSTITUTIONS : 1) Cas favorable : On utilisera cette méthode lorsqu on peut isoler facilement l une des deux inconnues. 2) Exemple : 3x + y = 10 E1 2x + 0,5y = 4 E2 On isole y dans l équation E1 : y = 10 3x On remplace y dans E2 par l expression obtenue : 2x + 0,5(10 3x) = 4 On obtient une équation à une inconnue que l on peut résoudre facilement après développement. 2x + 0,5 10 0,5 3x = 4 2x + 5 1,5x = 4 0,5x = -1 x = -2 On remplace le résultat obtenu dans l expression du début : y = 10 3 (-2) = 16 3 ( 2 ) + 16 = 10 On fait la vérification dans E1 et E2 : 2 ( 2 ) + 0,5 16 = 4 donc (-2 ; 16) est solution du système. C) RESOLUTION PAR COMBINAISONS : 1) Propriété : Si on multiplie ou on divise les membres d une équation par un même nombre non nul, alors on obtient une nouvelle équation qui admet le même ensemble de solutions. Si on additionne ou soustrait membre à membre les termes de deux équations qui admettent le même ensemble de solutions, alors on obtient une nouvelle équation qui admet le même ensemble de solutions. 2) Exemple : 3( x + 2 ) + 2y = 5 x 4y + 2x = 3 + y On présente chaque équation sous la «bonne» forme : les inconnues dans le membre de gauche et les nombres dans le membre de droite. 3x y + x = 5 4y + 2x y = 3 4x + 2y = 1 donc E1 2x + 3y = 3 E2 On veut «éliminer» l inconnue x. On veut «éliminer» l inconnue y. 4x + 2y = 1 E1 12x + 6y = 3 3 E1-4x + 6y = 6 2 E2-4x + 6y = 6 2 E2-4y = -7 8x = -9 y = -7-4 = 1,75 x = -9 8 = -1,125 4 ( 1,125 ) + 2 1,75 = 1 Vérification : 2 ( 1,125 ) + 3 1,75 = 3 donc (-1,125 ; 1,75) est solution du système.

30 3ème GENERALITES SUR LES FONCTIONS N28 A) GENERALITES : 1) Définition : Une fonction est un processus qui, à un nombre, fait correspondre un autre nombre. Si f est le nom de la fonction, au nombre x, elle fait correspondre son image que l on note f(x). On dit que x est un antécédent de f(x). On note f : x a f(x) 2) Exemple : f : x a x² - 5x +11 L image de 3 se note f(3). f(3) = 3² = 5 On dit que 5 est l image de 3. On dit que 3 est un antécédent de 5. 2 est aussi un antécédent de 5 car f(2) = 2² = 5 B) TABLEAU DE VALEURS : Un tableau de valeurs indique certaines images d une fonction f. En général, par ce procédé, seules quelques images sont données et la fonction f n est connue qu en partie. Exemple : Le tableau ci-dessous détermine en partie la fonction f qui, à la masse x d une lettre, associe le prix du timbre en euros. Masse x en grammes Prix f(x) en euros 0,54 0,86 0,86 1,30 On lit par exemple que f(15) = 0,54. On peut remarquer que 0,86 a 2 antécédents qui sont 30 et 45. Enfin, le tableau ne permet pas de connaître le prix du timbre pour une lettre de 55g. C) REPRESENTATION GRAPHIQUE : 1) Définition : La représentation graphique d une fonction f dans un repère est l ensemble des points de coordonnées (x ; f(x) ) lorsque x varie. 2) Exemple : On appelle V la fonction qui à x associe le volume obtenu en retirant un petit cube de x cm d arête à un cube de 5cm d arête. C'est-à-dire que V(x) = x x x donc V : x a 125 x 3 La valeur minimale de x est 0 et la valeur maximale est 5. Dressons un tableau de valeurs, puis reportons dans le repère les points correspondants. x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 V(x) , , , , , ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

31 3ème LA RACINE CARREE N29 Dans toute cette leçon, a et b sont des nombres entiers, positifs si nécessaire. A) DEFINITION : 1) Définition : On appelle «racine carrée du nombre positif a» le nombre positif x tel que x² = a. On note ce nombre a. Ex : 36 = 6 car 6² = = 10 car 10² = 100 2) Propriété : Ex : ( 3 ) 2 = 3 ( a ) 2 = a 3) Remarque La racine carrée d un nombre est toujours positive. Il n existe pas de nombre positif qui soit la racine carrée d un nombre négatif. B) CALCUL AVEC LES RACINES CARREES : 1) Calcul sous le radical: Dans un enchaînement de calcul, on commence toujours par les calculs sous le radical. Ex : ( ) 20 = ( ) 20 = 5 20 = 100 = 10 2) Règles : a b = a b a b = a b Ex : 3 12 = 3 12= 36 = 6 50 : 2 = 50 2 = 25 = 5 3) Calculer une expression et donner le résultat sous la forme a + b Par exemple, en développant : ( ) (3 2 5) = = ( 2)² 20 2 = = = C) DIFFERENTES ECRITURES D UNE RACINE CARREE : 1) Mettre sous la forme a b, avec b le plus petit possible. 72 = 36 2 = 36 2 = 6 2 2) Mettre une expression sous la forme a b avec b le plus petit possible = = = = = -10 5

32 3ème EXPERIENCE ET PROBABILITE N30 A) VOCABULAIRE : 1) Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard. Les résultats possibles sont les issues. Ex : On jette un dé à 6 faces. Les issues sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6. 2) Evénement : On appelle événement une affirmation en relation avec une expérience aléatoire. Elle correspond à une ou plusieurs issues. On note un événement par une lettre majuscule. Ex : On note A l événement : «j obtiens un chiffre pair avec le dé». Il correspond aux issues 2 ; 4 et 6. B) PROBABILITE : APPROCHE EXPERIMENTALE : 1) Définition : On répète plusieurs fois une expérience aléatoire et on calcule la fréquence qu a un événement A de se produire. On remarque qu à partir d un très grand nombre de répétitions, cette fréquence reste presque constante. Ce nombre est une valeur approchée de la probabilité de l événement A. On note cette probabilité p(a). Elle est comprise entre 0 et 1. Plus elle est proche de 0, plus l événement est rare. Plus elle s approche de 1, plus l événement est courant. 2) Exemple : Résultat On jette un dé à 6 faces fois Effectif Fréquence Si A est l événement «obtenir 3 avec le dé», alors p(a) 0,167 Si B est l événement «obtenir un chiffre pair avec le dé» alors il suffit d ajouter les fréquences correspondant aux résultats pairs (c'est-à-dire 2, 4 et 6) : p(b) 0, , , ,5 Si C est l événement «obtenir un chiffre inférieur à 10», alors cela est toujours vrai : p(c) = 1 Parfois, les fréquences et les probabilités sont données en pourcentage (voir BAO N17) Par exemple, p(b) 0,5 peut être donnée sous la forme p(b) 50%. On dit parfois que B a 50 chances sur 100 de se réaliser (c est-à-dire, après simplification, 1 chance sur 2) C) CALCUL DE PROBABILITES : 1) Propriété : Dans certains cas, on peut calculer la valeur exacte de ces probabilités en utilisant la formule : Nombre d issues favorables Probabilité = Nombre d issues total 2) Exemples : On jette un dé à 6 faces. A est l événement «obtenir 3 avec le dé» On a 1 issue favorable (quand le résultat est 3) sur 6 issues au total. Donc p(a) = 1/6 0,167(ou 16,7% ) B est l événement «obtenir un chiffre pair». On a 3 issues favorables (quand le résultat est 2,4 ou 6) sur 6 issues au total. Donc p(a) = 3/6 = 0,5 (ou 50% ) C est l événement «obtenir 3 avec le dé ou obtenir un chiffre pair», c'est-à-dire «A ou B». On a 4 issues favorables (quand le résultat est 3, 2, 4 ou 6) sur 6 issues au total. P(C) = 4/6. Comme A et B ne peuvent se produire en même temps, on dit qu ils sont incompatibles. On aurait pu alors additionner les probabilités p(a) et p(b), ce qui donne p(c) = 1/6 + 3/6 = 4/6 On choisit un élève au hasard dans une classe de 25 élèves. On sait qu il y a 10 garçons. A est l événement «l élève choisi est un garçon». On a 10 issues favorables sur 25 issues au total. Donc p(a) = 10/25 = 0,4 (ou 40%) L événement «l élève choisi n est pas un garçon» est appelé événement contraire de A, que l on note «non A» Comme il y a 40% de chance que A se réalise, p(non A) = 100% 40% = 60% (ou 1 0,4 = 0,6) D) EXPERIENCE A DEUX EPREUVES : On considère par exemple le jeu qui consiste à jeter une pièce et à piocher dans une urne contenant deux boules bleues et une boule rouge. On gagne si l événement A : «obtenir pile et piocher une boule rouge» se réalise. Quelle est sa probabilité? Que l on présente les résultats en arbre ou en tableau, on obtient 1 cas favorable sur 6 résultats possibles : p(a) = 1/6, c'est-à-dire que l on a 1 chance sur 6 de gagner à ce jeu.

33 3ème ARITHMETIQUE : LE PGCD N31 A) DEFINITIONS: Dans la suite, a et b sont toujours deux nombres entiers. 1) Diviseurs : Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul,(voir BAON8), on dit alors que : b est un diviseur de a ou a est divisible par b ou a est un multiple de b Exemple : 8 est un diviseur de 128 car 128 = ) Diviseurs communs de deux nombres: On appelle diviseur commun de a et b tout nombre qui est diviseur de a et diviseur de b. Exemple : Cherchons les diviseurs de = = = 4 23 Les diviseurs de 92 sont 1 ; 2 ; 4 ; 23 ; 46 ; 92 Cherchons les diviseurs de = = = = = 6 6 Les diviseurs de 36 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 Les diviseurs communs sont 1, 2 et 4 3) Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres : Parmi les diviseurs communs de a et b, il en existe un qui est «le plus grand» Ce nombre s appelle le plus grand diviseur commun et se note PGCD( a ; b ) Dans l exemple précédent, PGCD(92 ; 36) = 4. B) UNE METHODE : L ALGORITHME D EUCLIDE 1) Méthode: 2) Exemples: Calcul du PGCD(3094 ; 546) 3094 : 546 5,66 donc 3094 = Le reste est 0? non 546 : 364 = 1,5 donc 546 = Le reste est 0? non 364 : 182 = 2 donc 364 = Le reste est 0? oui donc PGCD(3094 ; 546) = 182 3) Remarques : Quand le PGCD de deux nombres a et b est égal à 1, alors on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux. Cela signifie en pratique que le seul diviseur commun à a et b est 1. Dans ce cas, la fraction a est irréductible. b 320 Exemple : est-elle irréductible? = Le reste est 0? non 320 = Le reste est 0? non 159 = Le reste est 0? non 2 = Le reste est 0? oui donc PGCD(320 ;2079) = 1 et donc la fraction est irréductible.

34 3ème GRANDEURS ET UNITES N32 A) GRANDEUR SIMPLE: VOIR B.A.O. N33 B) GRANDEUR PRODUIT : 1) Définition : Une grandeur produit s obtient en faisant le produit de deux grandeurs. Les unités se déduisent de celles des autres grandeurs : Si u 1 est l unité de la première grandeur et u 2 l unité de la deuxième, alors on note u 1 u 2 l unité de la grandeur produit. Certaines peuvent cependant avoir un nom particulier. 2) Exemples : L aire est le produit de deux longueurs : l unité est le m.m, que l on note m². La puissance électrique est le produit de la tension (en Volt) par l intensité (en Ampère): l unité est le VA appelé aussi Watt (W). L énergie électrique est le produit de la puissance électrique (Watt) par la durée (heure) : l unité est le Wh 3) Problème : Une ampoule a une puissance de 20W. Calculer en kwh l énergie qu elle consomme en une journée E = 0,020 kw 24 h = 0,48 kwh. Un four électrique d une puissance de 2,1 kw fonctionne 50 min. Calculer l énergie consommée en kwh. 50 min = h donc E = 2,1 kw h = 1,75 kwh Combien de temps doit fonctionner la lampe précédente pour consommer autant que le four? 1,75 kwh : 0,020 kw = 87.5 h = 87 h 30 min. C) GRANDEUR QUOTIENT: 1) Définition : Une grandeur quotient s obtient en faisant le quotient de deux grandeurs. Les unités se déduisent de celles des autres grandeurs : Si u 1 est l unité de la première grandeur et u 2 l unité de la deuxième, alors on note u 1 /u 2 ou u 1.u 2-1 l unité de la grandeur quotient. Certaines peuvent cependant avoir un nom particulier. 2) Exemples : La vitesse est le quotient de la distance (km) par le temps (h) : l unité est le km/h ou km.h -1 La masse volumique est le quotient de la masse (kg) par le volume (m 3 ) : l unité est le kg/m 3. La résistance électrique est le quotient de la tension (V) par l intensité (A) : l unité est le V/A que l on appelle aussi l ohm (Ω) 3) Problèmes : Convertir 72 km/h en m/s. 72 km/h = 72km : 1h = m : 3600s = 20 m/s Le débit d une fuite d une canalisation est de 1,8L/h. Quelle quantité d eau (en ml) est gaspillée en 10 minutes? Quelle quantité d eau (en hl) est gaspillée chaque jour? 1,8 L/h = 1,8L / 1 h = 1800 ml / 60 min = 30 ml/min En 10 minutes, on va donc gaspiller 30 10=300 ml 1,8L/h = 1,8L / 1h = 0,018 hl / 1h = 0,018 hl/h En 24 h, on va gaspiller 0, = 0,432 hl.

35 5ème CONVERSIONS N33 A) UNITES DE LONGUEUR, MASSE ET CAPACITE : Dans une conversion de longueur, de masse ou de capacité, on multiplie ou on divise par 10 le nombre à convertir à chaque fois que l on change d unité. Ex : 5,23 m = 5,23 10 dm = 52,3 dm 41,2 cm = 14,25 : 10 dm = 4,12 dm 1425 dm = 1425 : 10 : 10 : 10 hm = 1,425 hm Remarques : Il existe d autres unités de masse : la tonne (t) qui vaut 1000 kg et le quintal (q) qui vaut 100 kg. B) UNITES D AIRE : Dans une conversion d aire, on multiplie ou on divise par 100 le nombre à convertir à chaque fois que l on change d unité. Ex : 1,2 m² = 1,2 100 dm² = 120 dm² 235 m² = 235 : 100 dam² = 2,35 dam² 18,1 dm² = 18, mm²= mm² Remarques : Il existe d autres unités d aire: l are (a) qui vaut 100 m² et l hectare (ha) qui vaut 100 ares c'est-à-dire m². C) UNITES DE VOLUME : Dans une conversion d aire, on multiplie ou on divise par 1000 le nombre à convertir à chaque fois que l on change d unité. Ex : 12,8 m 3 = 12, dm 3 = dm 3 4,28 dam 3 = 4,28 : 1000 : 1000 km 3 = 0, km 3 Remarques : On peut convertir des unités de volume en capacité et réciproquement en sachant que 1 L = 1dm 3 Ex : 1m 3 = 1000 dm 3 = 1000 L Convertissons 23,4 cm 3 en cl 23,4 cm 3 = 23,4 : 1000 dm 3 = 0,0234 dm 3 = 0,0234 L = 0, cl = 2,34 cl

36 GEOMETRIE G1 : La règle et le compas (6 ème ) G2 : Droites perpendiculaires et droites parallèles (6 ème ) G3 : Angles (6 ème ) G4 : Triangles et quadrilatères (6 ème ) G5 : Construction de triangles et cercle circonscrit (5 ème ) G6 : Le parallélogramme (5 ème ) G7 : Les parallélogrammes particuliers (5 ème ) G8 : La symétrie axiale (6 ème ) G9 : Axe de symétrie (6 ème ) G10 : La symétrie centrale (5 ème ) G11 : Distance d un point à une droite (4 ème ) G12 : Polygones réguliers et angles (3 ème ) G13 : Géométrie dans l espace et volume (6 ème ) G14 : Prisme droit et Cylindre (5 ème ) G15 : Pyramides et Cônes (4 ème ) G16 : Boule et Sphère (3 ème ) G17 : Périmètre et Aire (6 ème ) G18 : Aire du triangle, du parallélogramme et du disque (5 ème ) G19 : Droites et angles (5 ème ) G20 : Triangle et droites parallèles (4 ème ) G21 : Agrandissement, réduction et petit théorème de Thalès (4 ème ) G22 : Le théorème de Thalès et sa réciproque (3 ème ) G23 : Le théorème de Pythagore et sa réciproque (4 ème ) G24 : Le cosinus dans le triangle rectangle (4 ème ) G25 : Cercle et triangle rectangle (4 ème ) G26 : Trigonométrie (3 ème ) G27 : Agrandissement et réduction (3 ème )

37 6ème LA REGLE ET LE COMPAS G1 A) LA REGLE : Un point A Le point d intersection B Une droite (d) La droite (AB) La demi-droite [Ox) La demi-droite [AB) Le segment [AB] I est le milieu de [AB] signifie que : I appartient à [AB] (noté I [AB]) IA = IB B) LE COMPAS : C est le cercle de centre O et de rayon OA=2cm [OA] est un rayon [BD] est un diamètre [EF] est une corde LE POLYGONE : Un polygone est une «figure à plusieurs côtés». Le polygone ci-contre se nomme ABCDE. [AB], [BC], etc sont ses côtés. A,B,C,D et E sont ses sommets. [AC], [AD], [BE], etc sont ses diagonales. ABCD est un quadrilatère : c est un polygone à 4 côtés. [AC] et [BD]sont ses diagonales.

38 6ème DROITES PERPENDICULAIRES ET DROITES PARALLELES G2 A) DROITES SECANTES : Deux droites qui n ont qu un seul point d intersection sont sécantes. Ici, (d) et (d ) sont sécantes en A. B) DROITES PERPENDICULAIRES : Deux droites sécantes formant un angle droit sont perpendiculaires Ici, (d) et (d ) sont perpendiculaires. On note (d) (d )

39 C) DROITES PARALLELES Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles Ici, (d) et (d ) sont parallèles. On note (d) // (d ) D) THEOREMES : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Ici : (d 1 ) (d) et (d 2 ) (d) donc (d 1 ) // (d 2 ) Si deux droites sont parallèles et si une droite est parallèle à l une des deux, alors elle est aussi parallèle l autre. Ici : (d 1 ) // (d) et (d 2 ) // (d) donc (d 1 ) // (d 2 ) Si deux droites sont parallèles et si une droite est perpendiculaire à l une des deux, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. Ici : (d 1 ) // (d) et (d 2 ) (d) donc (d 2 ) (d 1 )

40 6ème ANGLES G3 A) DEFINITIONS : Deux demi-droites de même origine forment un angle : c est «l écartement» entre ces demi-droites que l on code par un petit arc de cercle. Le sommet de cet angle est A. Les côtés de cet angle sont les demi-droites [AB) et [AC). Cet angle se nomme donc a BAC ou a CAB (le som mmet est toujours en 2 ème position) B) LE RAPPORTEUR : 1) L instrumentt : L unité de mesure d un angle est le degré, que l on note. 2) Pour mesurerr un angle :

41 3) Pour tracer un angle : C) LES DIFFERENTS ANGLES D) LA BISSECTRICE D UN ANGLE : C est la demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. Si axoy mesure 6 0 et si [Oz) est la bissectrice de cet angle, alors xoz a = zoy a = 30

42 6ème TRIANGLES ET QUADRILATERES G4 A) Les Triangles : 1) Le triangle quelconque : Un triangle est un polygone à 3 côtés. Il se trace soit au compas si je connais les 3 côtés, soit au rapporteur si je connais 2 angles. 2) Le triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Il se trace à l équerre et au compas. Comme l angle droit est en A, on dit que ABC est un triangle rectangle en A. 3) Le triangle isocèle : Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés de même longueur. Il se trace à la règle et au compas. Comme les côtés égaux ont pour extrémités communes le point B, on dit que ABC est isocèle en B. 4) Le triangle équilatéral : Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur. Il se trace à la règle et au compas. B) Les quadrilatères : 1) Le rectangle : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. Propriété : Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. 2) Le cerf-volant : Un cerf-volant est un quadrilatère qui a 2 paires de côtés consécutifs de même longueur. Il est donc composé de 2 triangles isocèles. 3) Le losange : Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur. Il est donc composé de 2 triangles isocèles identiques. 4) Le carré : Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur. C est donc à la fois un rectangle et un losange.

43 5ème CONSTRUCTION DE TRIANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT G5 A) SOMME DES ANGLES D UN TRIANGLE : 1) Propriété : La somme des 3 angles d un triangle est toujours égale à 180 2) Exemple : A ABC est un triangle tel que a ABC=40 et a ACB=30. Calculer a BAC. B 40,00 La somme des 3 angles d un triangle est toujours égale à ,00 C Ici a ABC=40 et a ACB=30 donc a BAC = 180 donc 70 + a BAC = 180 donc a BAC = = 110 B) INEGALITE TRIANGULAIRE : 1) Propriété : AB<AC + CB Dans un triangle ABC, on a toujours AC<AB + BC BC<BA + AC 2) Exemple : Peut-on tracer un triangle ABC tel que AB=5cm, AC = 3cm et BC=9cm? NON car 5<3+9, 3<5+9 mais 9>5+3! donc les inégalités triangulaires ne sont pas toutes vérifiées. 3) Remarques : En cas d égalité, les points A,B et C sont alignés. Par exemple, si AB=4cm, AC=3cm et BC=7cm. On a 4<3+7, 3<4+7 mais 7 = donc les inégalités triangulaires ne sont pas toutes vérifiées,et comme on a une égalité, les points A,B et C sont alignés. C) CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT 1) Propriétés : Les 3 médiatrices d un triangle se coupent en un même point appelé centre du cercle circonscrit du triangle. 2) Exemples : A A C B O B O C

44 5ème LE PARALLELOGRAMME G6 A) DEFINITION ET PROPRIETES : 1) Définition: Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.. 2) Propriétés: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il a un centre de symétrie. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leurs milieux. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. B) COMMENT DEMONTRER Q UN QUADRILATERE EST UN PARALLELOGRAMME : 1) Théorème 1: Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles 2 à 2, alors c est un parallélogramme. 2) Théorème 2: Si un quadrilatère a ses diagonales se coupant en leurs milieux, alors c est un parallélogramme. C) COMMENT CONSTRUIRE UN PARALLELOGRAMME : Généralement, on passe par la construction d un triangle. Par exemple, on veut tracer un parallélogramme ABCD tel que AB=4cm, AD=3cm et BD=6cm.

45 5ème LES PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS G7 A) LE RECTANGLE: 1) Définition: Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. 2) Propriétés: Un rectangle est un parallélogramme particulier. Dans un rectangle : Les diagonales se coupent en leurs milieux. Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les diagonales ont la même longueur. 3) Théorèmes : Comment montrer qu une figure est un rectangle? Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a 1 angle droit, alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors c est un rectangle. B) LE LOSANGE : 1) Définition: Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés égaux. 2) Propriétés: Un losange est un parallélogramme particulier. Dans un losange : Les diagonales de coupent en leurs milieux. Les côtés opposés sont parallèles. Les angles opposés sont égaux. Les diagonales sont perpendiculaires. Les diagonales sont axes de symétries. 3) Théorèmes : Comment montrer qu une figure est un losange? Si un quadrilatère a 4 côtés égaux, alors c est un losange. Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs égaux, alors c est un losange. Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. C) LE CARRE : 1) Définition : Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés égaux. C est à la fois un rectangle et un losange. 2) Propriétés : Un carré est un parallélogramme particulier. Il a toutes les propriétés du rectangle et du losange. 3) Théorème : Comment montrer qu une figure est un carré? Pour montrer qu une figure est un carré, il suffit de montrer que c est un rectangle ET un losange.

46 6ème SYMETRIE AXIALE G8 A) SYMETRIQUE D UNE FIGURE : Quand une figure s obtient à partir d une autre par pliage suivant un axe, on dit qu elles sont symétriques par rapport à cet axe. B) MEDIATRICE D UN SEGMENT: 1) Définition : A (d) M La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. 2) Propriétés : Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est à la même distance de ses extrémités. Ici : M (d) donc MA = MB Si un point est à la même distance des extrémités d un segment, alors il appartient à sa médiatrice. Ici : MA=MB donc M (d) 3) Construction : On peut construire la médiatrice d un segment [AB] en utilisant la règle et l équerre, mais aussi en utilisant les propriétés précédentes en plaçant 2 points à la même distance de A et de B. B C) LA SYMETRIE AXIALE : 1) Définition : Le point B est le symétrique du point A par la symétrie d axe (d) signifie que (d) est la médiatrice de [AB] On dit aussi que B est l image de A par la symétrie d axe (d). Ou A a pour image B par la symétrie d axe (d). 2) Construction : 3) Propriétés : La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, l alignement, les parallèles, les aires, etc

47 6ème AXE DE SYMETRIE G9 A) AXE DE SYMETRIE D UNE FIGURE : On dit qu une figure a un axe de symétrie (d) si l image de cette figure par la symétrie d axe (d) se superpose à la figure de départ. B) AXES DE SYMETRIE DES TRIANGLES: 1) Le triangle isocèle : Un triangle isocèle a un axe de symétrie : c est la médiatrice du côté opposé au sommet principal. Propriétés : -Un triangle isocèle a deux angles égaux -L axe de symétrie du triangle isocèle est aussi la bissectrice de l angle du sommet principal. 2) Le triangle équilatéral : Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie : ce sont les médiatrices de chacun des côtés. Propriétés : -Un triangle équilatéral a trois angles égaux -Les axes de symétrie du triangle équilatéral sont aussi les bissectrices de chacun de ses angles. C) AXES DE SYMETRIE DU RECTANGLE : Un rectangle a deux axes de symétrie : ce sont les médiatrices de sa longueur et de sa largeur. Propriété : Les diagonales d un rectangle ont la même longueur. D) AXES DE SYMETRIE DU LOSANGE : Un losange a deux axes de symétrie : ce sont ses diagonales. Propriété : Les diagonales d un losange ont le même milieu et sont perpendiculaires. E) AXES DE SYMETRIE DU CARRE : Un carré a quatre axes de symétrie car c est à la fois un rectangle et un losange. Propriété : Les diagonales d un carré ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires.

48 5ème SYMETRIE CENTRALE G10 A) SYMETRIQUE D UNE FIGURE : Quand une figure s obtient à partir d une autre par un demi-tour autour d un point, on dit qu elles sont symétriques par rapport à ce point. B) LA SYMETRIE CENTRALE : 1) Définition : Le point B est le symétrique du point A par rapport à O signifie que O est le milieu de [AB]. On dit aussi que B est l image de A par la symétrie de centre O Ou A a pour image B par la symétrie de centre O A O B 2) Construction. 3) Propriétés : Par une symétrie centrale : L image d une droite est une droite qui lui est parallèle. L image d un segment est un segment de la même longueur. L image d un angle est un angle de même mesure. L image d un cercle est un cercle de même rayon. C) CENTRE DE SYMETRIE D UNE FIGURE : 1) Définition : On dit qu une figure a un centre de symétrie O si l image de cette figure par la symétrie de centre O se superpose à la figure de départ. 2) Cas particuliers : Le rectangle, le losange et le carré ont un centre de symétrie : c est l intersection de leurs diagonales. On en déduit : Propriété : - Les diagonales du rectangle, losange et carré se coupent en leur milieu. - Les côtés opposés du rectangle, losange et carré sont parallèles et égaux deux à deux.

49 4ème DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE G11 A) DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE: Définition : La distance d un point à une droite est la longueur du segment le plus court joignant ce point à cette droite. Ce segment est obligatoirement perpendiculaire à la droite. B) DROITE TANGENTE A UN CERCLE : 1) Définition : La tangente en un point M d un cercle C de centre O est la droite passant par M et perpendiculaire au rayon [OM]. 2) Exemples : La droite (d) est tangente au cercle. Remarque : La distance du centre O à la droite (d) est égale au rayon du cercle. C) BISSECTRICE : Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est à la même distance des côtés de cet angle. Réciproquement, si un point est à la même distance de deux demi-droites, alors il appartient à la bissectrice de l angle formé par ces demi-droites. D) CERCLE INSCRIT DANS UN TRIANGLE : 1) Propriété : Les 3 bissectrices d un triangle sont concourantes en un point.(c'est-à-dire qu elles se coupent en un même point). Ce point est le centre du cercle inscrit du triangle. Ce cercle est tangent aux 3 côtés de ce triangle. 2) Exemple : 3) Remarque : Si le triangle est isocèle en A, alors la bissectrice de l angle d A est aussi médiatrice, hauteur et médiane du triangle.

50 3ème POLYGONES REGULIERS ET ANGLES G12 A) POLYGONES REGULIERS : 1) Définition : Un polygone régulier est un polygone dont les côtés et les angles sont égaux. 2) Propriétés: Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle. Les angles au centre formés par 2 sommets consécutifs et le centre de ce cercle ont tous la même mesure. Elle est égale à 360 où n est le nombre de côtés du polygone. n 3) Exemples : n = 3 n = 4 n =5 n =6 Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier B) ANGLES INSCRITS ET ANGLE AU CENTRE : 1) Définitions : Etant donné un arc c EF d un cercle de centre O : L angle au centre interceptant c EF est l angle a EOF. Un angle inscrit interceptant c EF est un angle a EMF où M est un point quelconque du cercle. 2) Théorèmes : Tous les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure : c est la moitié de la mesure de l angle au centre qui intercepte cet arc. Ici : a EMF et a ENF sont des angles inscrits qui interceptent c EF donc a EMF = a ENF = a EOF : 2 = 32 a EOF est l angle au centre qui intercepte c EF 3) Exemple : Dans un décagone régulier ABCDEFGHIJ, l angle au centre a COD = 360 :10 = 36. a CAD est un angle inscrit interceptant c CD, donc a CAD = a COD :2 = 18

51 6ème GEOMETRIE DANS L ESPACE ET VOLUME G13 A) PAVE DROIT, CUBE ET VOCABULAIRE : 1) Pavé droit ou Parallélépipède rectangle : Un pavé droit est un solide à 6 faces rectangulaires. 2) Cube : Un cube est un solide à 6 faces carrées. 3) Vocabulaire : [AB] est une arête. [DH] est une arête cachée : on la dessine en pointillés. ABCD est une face. A est un sommet. Les arêtes [AB] et [BC] sont perpendiculaires (en réalité), même si sur le dessin, il n y a pas d angle droit. Toutes les arêtes parallèles en réalité le sont aussi sur le dessin. Toutes les arêtes de même longueur sur le dessin le sont aussi en réalité. B) VOLUME : 1) Définition : Le volume en centimètre cube (noté cm 3 ) d un solide est le nombre de cube de 1cm d arête que l on peut mettre à l intérieur de ce solide. 2) Volume du pavé droit :

52 5ème PRISME DROIT ET CYLINDRE G14 A) PRISME DROIT 1) Définition : Un prisme droit est un solide constitué de 2 polygones identiques superposables appelés bases, et de faces latérales rectangulaires. 2) Vue en perspective : 3) Patron : 3) Hauteur d un prisme : Une hauteur d un prisme droit est une arête qui est perpendiculaire aux 2 bases. B) CYLINDRE : 1) Définition : Un cylindre est un solide généré par un rectangle que l on fait tourner autour d un de ses côtés. 2) Vue en perspective : 3) Patron : 3) Surface latérale : La surface latérale d un cylindre est un rectangle dont la longueur d un côte est égale au périmètre du disque de base. C) VOLUME ET AIRE LATERALE : 1) Aire latérale: L aire latérale d un prisme est la somme des aires des faces latérales. L aire latérale d un cylindre est l aire de la surface latérale. 2) Volume : La formule est la même pour le prisme et le cylindre : Volume = Aire de la base Hauteur 3) Exemple : Aire du disque de base: A = π R R A = π 3 3 = 9 π donc le volume du cylindre est : V = A H V = 9 π 5 141,4 cm 3 Périmètre du disque de base : P = 2 π R P = 2 π 3 = 6 π donc la longueur du rectangle vaut 6 π et l aire latérale est : A latérale = 6 π 5 94,25 cm²

53 4ème PYRAMIDE ET CONES G15 A) PYRAMIDE: 1) Définition : Une pyramide est un solide composé d une base de forme polygonale et de faces latérales triangulaires ayant un sommet commun. 2) Vue en perspective : 3) Patron : B) CONE DE REVOLUTION : 1) Définition : En faisant tourner un triangle rectangle autour d un de ses côtés de l angle droit, on génère un solide appelé cône de révolution. 2) Vue en perspective : 3) Patron : Remarque : L angle au centre de la portion de disque dépend du rayon de la base et de la génératrice. Ici, le rayon du disque de base mesure 2cm, donc son périmètre vaut 2 π 2 = 4π L arc c BC mesure donc lui aussi 4π. Le périmètre du disque de rayon 8cm est 2 π 8 = 16π. c BC est donc 4 fois plus petit. Il faut ici que l angle au centre de ce disque soit égal à 360 /4 = 90. C) VOLUME DE LA PYRAMIDE ET DU CONE: 1) Formule : V = B h 3 où B est l aire de la base (polygone ou disque) et h est la hauteur. 2) Exemple : Pour une pyramide dont la base est un carré de côté mesurant 5cm et dont la hauteur mesure 6cm : V = (5 5) 6 3 = = 50 cm3

54 3ème BOULES ET SPHERES G16 A) SPHERE ET BOULE: 1) Définitions : La sphère S de centre O et de rayon R est l ensemble des points situés à la distance R du point O. La boule B de centre O et de rayon R est l ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à R de O. 2) Exemples : N A appartient à S et à B car OA = R. A M M et N n appartiennent pas à S car OM R et ON R. O M appartient à B car OM < R. N n appartient pas à B car ON > R 3) Sections : On appelle P un plan passant par un point D, et tel que (OD) est perpendiculaire à P. Si OD=R, alors la section de S par le plan P est un unique point : on dit que P est tangent à S en ce point D. Si 0<OD<R, alors la section de S par le plan P est un cercle de centre D et de rayon inférieur à R. Si OD=0, alors la section de S par le plan P est le cercle de centre D et de rayon R. D D DO O O 4) Aire et volume : L aire A d une sphère de rayon R est donnée par la formule A = 4 π R² 4π R3 Le volume V d une boule de rayon R est donné par la formule V = 3 B) AUTRES SECTIONS : PRISMES ET CYLINDRES 1) Par un plan parallèle à la base A H D C G C H D La section d un cylindre ou d un prisme droit par un plan parallèle à la base est une figure de même nature que la base et de mêmes dimensions. B E A B F B E A 2) Par un plan perpendiculaire à la base E A D H D C G C H D La section d un cylindre ou d un prisme droit par un plan perpendiculaire à la base est un rectangle. F B G E A B F B E A

55 6ème PERIMETRE ET AIRE G17 A) PERIMETRE : 1) Définition : Le périmètre d une figure est la longueur de la ligne qui délimite cette figure. Par exemple, le périmètre de ABCDE est la longueur de la ligne polygonale qui le forme. P = AB + BC + CD + DE +EA = 3,5 + 3,1 + 6, ,4 = 20,1cm 2) Périmètre du rectangle : P = 2 ( L + l ) ou P = (2 L) + (2 l ) 3) Longueur d un cercle (ou Périmètre du disque) : P = d π ou P = 2 R π où R est le rayon du cercle. π étant un nombre valant environ 3,14 B) AIRE : 4) Exemple : Cette figure est composée de 3 segments et d un demi-cercle. La longueur du demi-cercle est (3 π) : 2 4,71cm Donc le périmètre P = ,71 = 17,71cm 1) Définition : L aire d une figure en centimètre carré (cm²) est le nombre de carrés de 1cm de côté que la figure contient. 2) Aire du rectangle : A = L l 3) Aire du triangle rectangle : Elle vaut la moitié du rectangle correspondant. A = ( AB BC ) : 2

56 5ème AIRE DU TRIANGLE, DU PARALLELOGRAMME ET DU DISQUE G18 A) DROITES REMARQUABLES 1) du triangle : a) Les hauteurs : Les 3 droites passant chacune par un sommet d un triangle et perpendiculaire à son côté opposé sont appelées les hauteurs du triangle. b) Les médianes : Les 3 droites passant chacune par un sommet d un triangle et passant par le milieu de son côté opposé sont appelées les médianes du triangle. 2) du parallélogramme : Une hauteur d un parallélogramme est une droite passant par un sommet du parallélogramme et perpendiculaire au côté opposé. B) AIRE DU PARALLELOGRAMME : 1) Formule : Aire = Hauteur Coté associé 2) Exemple : A ABCD = h 1 DC = 5 3 = 15cm² C) AIRE DU TRIANGLE : 1) Formule : Aire = (Hauteur Coté associé) : 2 2) Exemple : A ABC = (CH 2 AB) : 2 = (5,9 8,3) :2 = 24,485 cm² 3) Propriété : Chaque médiane d un triangle le partage en 2 triangles de même aire. A ACI = A ABI = (3 3,5) : 2 = 5,25cm² D) AIRE DU DISQUE : 1) Formule : Aire = π R R où R est le rayon du disque. 2) Exemples : A = π 3 3 = π 9 28,27 cm²

57 5ème DROITES ET ANGLES G19 A) ANGLES ADJACENTS ET ANGLES OPPOSES PAR LE SOMMET: 1) Angles adjacents: Deux angles ayant le même sommet et se situant de part et d autre d un côté commun sont adjacents. 2) Angles opposés par le sommet: Deux angles ayant le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement l un de l autre sont opposés par le sommet. 3) Théorème : Si 2 angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. B) ANGLES COMPLEMENTAIRES ET SUPPLEMENTAIRES : 1) Angles complémentaires: Deux angles dont la somme vaut 90 sont complémentaires. xoy a et a yoz sont par exemple complémentaires. 2) Angles supplémentaires: Deux angles dont la somme vaut 180 sont supplémentaires. vou a et a uot sont par exemple supplémentaires. C) DROITES ET ANGLES : 1) Angles alternes internes : Deux droites coupées par une sécante déterminent des paires d angles alternes internes : ils sont situés entre les 2 droites, ils ont des sommets différents et sont de chaque côté de la sécante. Par exemple, a xab et a ABt sont alternes internes. De même, a yab et a zba sont alternes internes. 2) Angles correspondants : Deux droites coupées par une sécante déterminent des paires d angles correspondants : ils sont situés pour l un entre les 2 droites, et pour l autre non ; ils ont des sommets différents et sont du même côté de la sécante. Par exemple, a xau et a zbu sont correspondants. 3) Théorèmes : Si 2 droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes internes (ou correspondants) égaux, alors ces 2 droites sont parallèles. Si 2 droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles déterminent des angles alternes internes (ou correspondants) égaux.

58 4ème TRIANGLE ET DROITES PARALLELES G20 A) THEOREME DE LA DROITE DES MILIEUX: 1) Théorème : Si une droite passe par les milieux de 2 côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. 2) Exemple : Si une droite passe par les milieux de 2 côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. Ici : M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] donc (MN) // (BC) B) THEOREME DU SEGMENT DES MILIEUX : 1) Théorème : Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d un triangle, alors il mesure la moitié du troisième côté. 2) Exemple : Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d un triangle, alors il mesure la moitié du troisième côté. Ici : M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] donc MN = BC : 2 = 7,14cm C) THEOREME DE LA DROITE PARALLELE : 1) Théorème : Si une droite est parallèle à un côté d un triangle en passant par le milieu d un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté. 2) Exemple : Si un une droite est parallèle à un côté d un triangle en passant par le milieu d un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté. Ici : M est le milieu de [AB] et (d) // (BC) donc N est le milieu de [AC]

59 4ème AGRANDISSEMENT,REDUCTION ET PETIT THEOREME DE THALES G21 A) AGRANDISSEMENT ET REDUCTION: 1) Définition : Reproduire une figure à l échelle k, c est multiplier toutes ses dimensions par un nombre strictement positif k. Si k > 1, alors on effectue un agrandissement à l échelle k Si 0 < k <1, alors on effectue une réduction à l échelle k. 2) Exemple : Scorpion à la taille réelle Agrandissement à l échelle 2,3 3) Propriétés : Dans un agrandissement ou une réduction : - les mesures des angles sont conservées. - Les droites parallèles restent parallèles. - Les milieux sont conservés. B) LE PETIT THEOREME DE THALES : 1) Théorème : Si une droite est parallèle à un côté d un triangle en coupant les deux autres côtés, alors elle détermine deux triangles dont les côtés sont proportionnels. Le plus petit des deux triangles est une réduction du triangle le plus grand. 2) Exemple : On utilise le théorème de Thalès dans ABC : (MN) // (AB) M appartient à [AC] N appartient à [BC] Donc les côtés de CMN et CAB sont proportionnels. CM CA = CN CB = MN AB 2 4,5 = CN 5 = MN 6 En utilisant l égalité des produits en croix. 4,5 CN = 2 5 donc 4,5CN = 10 CN = 10 : 4,5 2,2cm. 4,5 MN = 2 6 donc 4,5MN = 12 MN = 12 : 4,5 2,7cm. Remarque : CMN est une réduction de CAB à l échelle 2 4,5

60 3ème THALES G22 A) LE THEOREME DE THALES : 1) Théorème : Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés sont proportionnels. 2) Exemples : Dans les 2 figures ci-dessous, (MN) et (BC) sont parallèles et AM=3cm ; AB=5cm ; AC=6cm et BC=7cm. On va calculer MN et AN. On utilise le théorème de Thalès : Ici : donc (BM) et (NC) sont sécantes en A et (MN) // (BC) AM AB = AN AC = MN BC 3 5 = AN 6 = MN 7 5 AN = 3 6 donc AN = 18 : 5 = 3,6cm 5 MN = 3 7 donc MN=21 : 5 = 4,2cm B) LA RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES : 1) Théorème : Si deux droites sécantes coupées par deux autres droites déterminent deux triangles dont les côtés sont proportionnels et dans une «situation de Thalès», alors ces deux droites sont parallèles. 2) Exemple : Dans la figure ci-contre, OB=ON=3cm ; OC=4,5cm et OM=2cm. Démontrons que (BC) // (MN) D une part, OB OM = 3 2 = 1,5 D autre part, OC ON = 4,5 3 = 1,5 On utilise la réciproque du théorème de Thalès : Ici : M, O et B sont alignés dans le même ordre que N, O et C et OB OM = OC ON donc (BC) // (MN)

61 4ème LE THEOREME DE PYTHAGORE ET SA RECIPROQUE G23 A) LE THEOREME DE PYTHAGORE: 1) Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 2) Exemple : Calcul de l hypoténuse. Dans le triangle ABC rectangle en A On a d après le théorème de Pythagore. BC² = AB² + AC² BC² = 3² + 4² = BC² = 25 BC = 25 = 5cm 3) Exemple: Calcul d un côté de l angle droit. Dans le triangle ABC rectangle en A On a d après le théorème de Pythagore. BC² = AB² + AC² 6² = AB² + 4,8² 36 = AB² AB² = = BC = 12,96= 3,6cm B) LA RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE : 1) Théorème : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle. 2) Exemple : AB² = 6,5 ² = 42,25 BC² = 6 ² = 36 AC² = 2,5² = 6,25 donc BC² + AC² = ,25 = 42,25 BC² + AC² = AB², donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en C.

62 4ème LE COSINUS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE G24 A) VOCABULAIRE ET DEFINITION: 1) Vocabulaire : Dans le triangle ABC rectangle en B [AC] est l'hypoténuse. [AB] est le côté adjacent de l'angle d A [BC] est le côté adjacent de l'angle d C 2) Définition. Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est égal au quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse. B) CALCUL D UN ANGLE : cos( d A ) = AB AC cos( d C ) = CB CA Calculons l angle d A, arrondi à 1 près. Dans ABC rectangle en B, cos( d A ) = AB AC cos( d A ) = 2,3 4,34 A = cos -1 (2,3 : 4,34) 58 C) CALCUL DU COTE ADJACENT D UN ANGLE : Calculons AB, arrondi à 0,1 cm près. Dans ABC rectangle en B, cos( d A ) = AB AC cos(46 ) = AB 5,47 AB = 5,47 cos(46 ) 3,8 cm. D) CALCUL DE L HYPOTENUSE : Calculons AC, arrondi à 0,1 cm près. Dans ABC rectangle en B, cos( d A ) = AB AC cos(30 ) = 5,4 AC AC cos(30 ) = 5,4 AC = 5,4 : cos(30 ) 6,2 cm.

63 4ème CERCLE ET TRIANGLE RECTANGLE G25 A) CERCLE CIRCONSCRIT D UN TRIANGLE RECTANGLE: 1) Théorème : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Ici : ABC est un triangle rectangle en C donc le cercle circonscrit de ABC a pour diamètre [AB] 2) Remarque : Dans ce cas, la médiane issue du sommet de l angle droit est aussi un rayon du cercle : elle mesure donc la moitié de l hypoténuse, c'est-à-dire qu ici, OC = AB/2 B) TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE : Théorème : Si on joint un point d un cercle aux extrémités d un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle. Ici : C appartient au cercle de diamètre [AB] donc ABC est un triangle rectangle en C. C) EXEMPLE : ABC est un triangle quelconque. Le cercle de diamètre [AC] coupe [AB] en H. 1) Démontrer que (HC) est perpendiculaire à (AB). 2) Le cercle de diamètre [BC] passe-t-il par H? 1) Si on joint un point d un cercle aux extrémités d un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle. Ici : H appartient au cercle de diamètre [AC] donc AHC est rectangle en H. Donc (HC) est perpendiculaire à (AB) 2) D après 1), le triangle BHC est rectangle en H. Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Ici : BHC est un triangle rectangle en H donc le cercle circonscrit de BHC a pour diamètre [BC] Donc le cercle de diamètre [BC] passe bien par H.

64 3ème TRIGONOMETRIE G26 A) VOCABULAIRE: [AC] est l hypoténuse du triangle ABC [BC] est le côté adjacent de l angle d C [AB] est le côté opposé de l angle d C [BC] est le côté opposé de l angle d A [AB] est le côté adjacent de l angle d A B) SINUS ET TANGENTE : 1) Définitions : Le Sinus d un angle aigu d un triangle rectangle est égal au quotient Sin( d C ) = AB AC Sin( d A ) = BC AC La Tangente d un angle aigu d un triangle rectangle est égal au quotient 2) Astuce : 3) Exemple : C) FORMULES : Tan ( d C ) = AB BC CA/H SO/H a) Calculer AH, BH puis HC (arrondis à 0,1cm) Dans ABH rectangle en H : sin( 55 ) = AH 8 AH = 8 sin( 55 ) 6,6cm Dans ABH rectangle en H : cos( 55 ) = BH 8 BH = 8 cos( 55 ) 4,6cm HC = 14 4,6 = 9,4cm b) Calculer la mesure de l angle d C (arrondi à 1 ) Dans ACH rectangle en H : tan( d C ) = AH HC = 6,6 9,4 d C = tan -1 (6,6 : 9,4) 35 Tan ( d A ) = BC AB TO/A Cosinus = Adjacent Hypoténuse Opposé Sinus = Hypoténuse Tangente = Opposé Adjacent x étant la mesure d un angle aigu d un triangle rectangle: tan(x) = sin(x) cos(x) sin(x) ² + cos(x) ² = 1 côté opposé de l angle hypoténuse côté opposé de l angle côté adjacent de l angle

65 3ème AGRANDISSEMENT ET REDUCTION G27 A) DEFINITION: VOIR B.A.O. G21 B) EFFET SUR LES AIRES : 1) Propriété : Après un agrandissement ou une réduction de coefficient k, les aires sont multipliées par k². 2) Exemple : A I J S K M L E Une pyramide ABCDES dont l aire de la base vaut 34cm² est coupée par un plan parallèle à la base. Ce plan détermine alors une section IJKLM telle que SJ=6cm. On sait de plus que SB=10cm. Quelle est l aire de IJKLM? On utilise le théorème de Thalès dans le triangle SBC : (JK) // (BC), J appartient à [SB] et K appartient à [SC] donc SK SC = JK BC = SJ = 6/10 = 0,6 SB B C D De la même manière, dans les autres faces latérales, on démontre que JK BC = KL CD = ML = etc = 0,6. ED IJKLM est donc une réduction de ABCDE, dont le coefficient de réduction est 0,6. On en déduit alors que l aire de IJKLM vaut 34 0,6² = 12,24cm² C) EFFET SUR LES VOLUMES : 1) Propriété : Après un agrandissement ou une réduction de coefficient k, les volumes sont multipliés par k 3. 2) Exemple : C S O Un cône de révolution C de hauteur [SA] et dont la volume vaut 180cm 3 est coupé par un plan parallèle à la base, et passant par O le milieu de [SA]. La section obtenue est alors un cercle de rayon [OC]. Quel est le volume du cône C de sommet S et de base le disque de rayon [OC]? On utilise le théorème de Thalès dans le triangle SBA : (AB) // (OC), O appartient à [SA] et C appartient à [SB] donc OC AB = SO SA = 1 = 0,5 (car O est le milieu de [SA] ) 2 B A Le cône C est donc une réduction du cône C dont le coefficient de réduction est 0,5. On en déduit alors que le volume de C vaut 180 0,5 3 = 22,5 cm 3